Phương trình suy rộng và một số vấn đề liên quan

Mở đầuTrong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến các lớp bài toán mà nói chung có thể thiết lập lại dưới dạng bao hàm thức như sau trong đó f là một hàm liên tục, khả vi Fréchet từ một t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Mục lục

1.1 Không gian Rn và Rm×n 4

1.2 Cơ sở giải tích đa trị 6

1.3 Một số kết quả và khái niệm khác 8

1.3.1 Cơ sở giải tích lồi 8

1.3.2 Định lý điểm bất động Kakutani 10

Chương 2 Phương trình suy rộng và nghiệm của chúng 11 2.1 Các kết quả chính 11

2.2 Trường hợp ánh xạ đa diện 17

2.3 Tính ổn định của phương trình suy rộng tuyến tính 19

Chương 3 Một số ứng dụng vào bài toán quy hoạch phi tuyến 23 3.1 Sơ lược về bài toán quy hoạch toán học 23

3.2 Điều kiện đủ cấp hai 24

3.3 Nghiệm nhiễu địa phương của bài toán quy hoạch phi tuyến 33

3.4 Điều kiện trên Lipschitz trong trường hợp đa diện 36

Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ ii

Mở đầu

Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến các lớp bài toán mà nói chung

có thể thiết lập lại dưới dạng bao hàm thức như sau

trong đó f là một hàm liên tục, khả vi Fréchet từ một tập mở Ω ⊂Rn đến Rn,

và T là một ánh xạ đa trị xác định và nhận giá trị trên Rn Về mặt thuật ngữ,

ta sẽ nói đây là một phương trình suy rộng, dựa theo [1] (Chú ý là, nếu T đồngnhất với ánh xạ x ∈Rn 7−→ {0} thì (1) trở thành phương trình f (x) = 0.) Trongmột số trường hợp, người ta còn xét đến một lớp mở rộng của (1), có dạng

ở đó f : (p, x) ∈Rk× Ω −→Rn, và T như ở (1) Mục tiêu chủ yếu ở đây là nghiêncứu tập nghiệm (giải theo biến thứ hai x) của (2) khi p gần một giá trị cơ sở p 0

nào đó

Một trường hợp riêng của (2) là trường hợp đặc biệt khiT được lấy là toán

tử dưới vi phân ∂ψC [2, Section 23] tương ứng với hàm chỉ tiêu tập lồi đóng

C ⊂Rn Nhắc lại rằng hàm chỉ ψC được xác định bởi

ψC(x) :=

(

0, nếu x ∈ C +∞, nếu x / ∈ C.

Điều này cho ta phương trình suy rộng đặc biệt

0 ∈ f (p, x) + ∂ψC(x) (3)

Về mặt trực quan hình học, bao hàm thức này dẫn đến −f (p, x) là một phápvec tơ của tập lồi C tại x Nhiều bài toán trong quy hoạch toán học, bài toán

bù, bài toán kinh tế và các dạng khác mà ta có thể biểu diễn thành (3) Chẳnghạn, xét bài toán bù phi tuyến

F (x) ∈ K∗, x ∈ K, hx, F (x)i = 0, (4)

ở đó, F : Rn →Rn, K là một nón lồi đa diện khác rỗng trong Rn và

K∗:= {y ∈Rn | hy, ki ≥ 0 với mỗi k ∈ K},

có thể viết lại thành

0 ∈ F (x) + ∂ψK(x).

Người đọc quan tâm đến lớp các bài toán bù phi tuyến (với K = Rn+), có thểtham khảo thêm trong [3, 4, 5, 6] Điều kiện cần Kuhn-Tucker cho quy hoạchtoán học [5] là một dạng đặc biệt của (4) Thật vậy, xét bài toán

min θ(y)với ràng buộc g(y) ≤ 0, h(y) = 0, (5)

trong đó θ, g và h là các hàm khả vi từ Rm đến R,Rq và Rr theo thứ tự Khi đó,điều kiện cần tối ưu Kuhn-Tucker tương ứng là

Luận văn này nhằm trình bày lại một số kết quả liên quan đến dáng điệunghiệm của bài toán(2) và một số ứng dụng quan trọng của chúng ở những lĩnhvực liên quan Về mặt nội dung, luận văn được chia thành các chương như sau:Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này, chúng tôi hệ thống hóa lại các kiến thức cơ sở về giảitích và đại số trên Rn, các khái niệm và định nghĩa để triển khai trong luận vănsau này

Chương 2 Phương trình suy rộng và nghiệm của chúng

Chương này chúng tôi trình bày kết quả chính của luận văn, về phươngtrình suy rộng và dáng điệu nghiệm của chúng (tiêu biểu là Định lý 2.1) Tiếptheo, chúng tôi xem xét một lớp các ánh xạ đa trị quan trọng đảm bảo một sốtính chất cần thiết trong Định lý 2.1 Phần cuối cùng là một số ứng dụng trongtrường hợp phương trình suy rộng tuyến tính

Chương 3 Một số ứng dụng

Trong chương này chúng tôi trình bày một số ứng dụng từ kết quả trongChương 2, về ứng dụng trong điều kiện đủ cấp hai, tìm nghiệm nhiễu của bàitoán quy hoạch phi tuyến, điều kiện trên Lipschitz và một số ứng dụng khác.Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Vũ.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, người đã tận tình giúp đỡ

để tác giả có thể hoàn thành luận văn một cách tốt nhất Tác giả cũng xin chânthành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán và Thống kê, Phòng đào tạo sau đại họctrường Đại học Quy Nhơn, cùng quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Caohọc Toán khóa 21 đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập

và nghiên cứu

Nhân đây tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm, độngviên và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.Cuối cùng tác giả hy vọng luận văn sẽ đóng góp một tài liệu tham khảohữu ích cho các bạn sinh viên, học viên cao học đang tìm tòi nghiên cứu vềnhững chủ đề có liên quan

Tác giả

cỡ m × n Với một ma trận M ký hiệu MT chỉ ma trận chuyển vị của M Nếu

MT = M ta nói đó là ma trận đối xứng.M là nửa xác định dương nếu xTM x ≥ 0với mọi véc tơ x Cuối cùng, M là xác định dương nếu xTM x > 0 khi x 6= 0.Cho trước hai véc tơxT = (x1, x2, , xn)và yT = (y1, y2, , yn) trong Rn, tích

vô hướng của chúng được xác định theo biểu thức

hx, yi := xTy = x1y1+ x2y2+ + xnyn.Khi đó, chuẩn Ơclit tương ứng là hàm số k·k :Rn −→R cho bởi

ii) kABk ≤ kAkkBk; kAxk ≤ kAkkxk; 2hAx, yi ≤ kAxk 2 + kyk2.

Trong các phần sau đây, chúng ta sẽ cần đến một số khái niệm về tôpô [8].Cho trước x ∈Rn và số thực r > 0 Hình cầu mở tâm x bán kính r là tập hợp

B(x, r) = {y ∈Rn : ky − xk < r}.

Tương tự, hình cầu đóng tâm x bán kính r định nghĩa như sau

¯ B(x, r) = {y ∈Rn : ky − xk ≤ r}.

Tập hợp S ⊂Rn được gọi là mở nếu mọi điểm thuộc S đều là điểm trong, nghĩa

là với điểm x ∈ S thì tồn tại một lân cận B(x, r)¯ của x bao hàm trong S TậphợpS được gọi là tập đóng nếu ứng với mỗix / ∈ S thì tồn tại một lân cậnB(x, r)¯của x không chứa điểm nào thuộc tập S

Cho ánh xạ f : Ω ⊂Rn −→Rm f gọi là liên tục tại x ∈ Ω nếu với mỗi dãy(xk) ⊂ Ω hội tụ về x ta có limk→∞f (xk) = f (x) Ánh xạ f được gọi là Lipschitztrên tập hợp Ω0 ⊂ Ω tương ứng với hằng số L > 0 nếu

Cho S ⊂Rn khác rỗng, và x ∈ Rn là một điểm nào đó Hàm khoảng cách

từ x đến S được định nghĩa bởi

d(x, S) := inf{kx − yk | y ∈ S},với quy ước d(x, ∅) = +∞ Với S 6= ∅ bất kỳ hàm d(·, S) là Lipschitz với hằng số

L = 1.[10]

Hình 1.1: Tính chất Lipschitz trên một khoảng X

Một ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được hiểu là ánh xạ từ Rn vào tập hợpgồm các tập con của Rm Đồ thị gph F, miền hữu hiệu dom F và miền ảnh rge Fcủa ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bằng biểu thức [11]

gphF = {(x, y) ∈Rn×Rm | y ∈ F (x)}, domF = {x ∈Rn | F (x) 6= ∅}, rgeF = {y ∈Rm| ∃x ∈Rn sao cho y ∈ F (x)}.

Ánh xạ ngượcF−1: Rm ⇒ Rn của ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được xác định bởiquy tắc

F−1(y) = {x ∈Rn | y ∈ F (x)}, ∀y ∈Rm.Định nghĩa 1.1 (Tính liên tục của ánh xạ đa trị [11]) Xét một ánh xạ đa trị

Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc dom F, thì F được gọi là nửaliên tục dưới.

• Ta nói F là liên tục tại x ∈ dom F ¯ nếu F đồng thời là nửa liên tục trên vànửa liên tục dưới tại x ¯ Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc dom F, thì Fđược gọi là liên tục

từ R vào R là nửa liên tục trên ở trong R nhưng không là nửa liên tục dưới tại

F (x) ⊂ F (¯ x) + lkx − ¯ xk ¯ B

đúng với mọi x ∈ ¯ B(¯ x, δ) Ở đây ký hiệu B¯ chỉ hình cầu đóng đơn vị của Rm

• T : Rn ⇒ Rn được gọi là đơn điệu cực đại nếu nó là đơn điệu và không thể

mở rộng được đồ thị của nó trong Rn ×Rn mà không phá hủy tính đơnđiệu Hay nói cách khác, với mỗi cặp (ˆ x, ˆ v) ∈Rn×Rn \gph T thì tồn tại cặp(˜ x, ˜ v) ∈ gph T với hˆ v − ˜ v, ˆ x − ˜ xi < 0

Ví dụ 1.6 (a) Nếu T là đơn điệu cực đại thì T−1 cũng là đơn điệu cực đại.(b) Nếu T là đơn điệu cực đại, gph T là đóng, khi đó, T là nửa liên tục dưới

(c) Nếu T là đơn điệu cực đại, khi đó cả T và T−1 lồi, đóng

1.3.1 Cơ sở giải tích lồi

Định nghĩa 1.7 (Tập lồi) ([12]) Ta nói một tập C ⊂Rn là tập lồi nếu với bất

kì x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C

Hình 1.4: Một toán tử cực đạiMột tập lồi đồng thời cũng là đóng gọi là tập lồi đóng Tương tự ta có khái niệmtập lồi mở.

Hình 1.5: (a) là tập lồi đóng, (b) là tập không đóng, mở hoặc lồi, (c) là tập lồi mở

Định nghĩa 1.8 (Nón lồi) [12] Tập hợp C ⊂Rn được gọi là một nón nếu vớimỗix ∈ C và mỗi λ ≥ 0, ta cóλx ∈ C Một nón mà đồng thời là tập lồi được gọi

là nón lồi

Ví dụ 1.9 (a) y = |x| không phải là nón lồi vì nó không lồi, nhưng y ≥ |x| lànón lồi

(b) Bất kì hàm tuyến tính nào cũng là nón lồi

(c) Một nửa không gian đóng cũng là nón lồi

Định nghĩa 1.10 (Tập lồi đa diện) Tập hợp P ⊂ Rn là tập lồi đa diện nếu

nó trùng với tập nghiệm của hệ hữu hạn các phương trình và bất phương trìnhtuyến tính

Một tập lồi đa diện tùy ý luôn có thể viết dưới dạng

Định lý 1.13 Cho K ⊂Rn là một tập lồi, compact, khác rỗng Cho G : K ⇒ K

là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi

đó tồn tại x ∈ K ¯ sao cho x ∈ G(¯ ¯ x)

Chứng minh Tham khảo [13, 14, 11]

Chương 2

Phương trình suy rộng

và nghiệm của chúng

Kết quả đầu tiên của mục này là định lý sau đây, mô tả dáng điệu của ánh

xạ nghiệm của phương trình suy rộng tổng quát (1)

Định lý 2.1 [1] Cho Ω là tập mở trên Rn và T là ánh xạ đa trị có đồ thịđóng từ Rn vào chính nó Cho f : (p, x) ∈ Rk × Ω 7−→ f (p, x) ∈ Rn là một hàmsao cho đạo hàm riêng f2= ∂f∂x là liên tục trên Rk × Ω Chọn p0 ∈Rk, ta kí hiệu

Lfx0 = f (p0, x0) + f2(p0, x0)(x − x0) Giả sử rằng tồn tại một tập lồi bị chặn vàkhông rỗng X0 cùng với các hằng số λ, γ, η > 0 với Xγ := X0+ γB ⊂ Ω, sao chovới mỗi x0∈ X ta có:

(i) Xγ∩ (Lfx0 + T )−1(0) = X0;

(ii) Xγ∩ (Lfx0 + T )−1 là U.L.(λ) tại 0 đối với ηB;

(iii) với mỗi y ∈ ηB, tập hợp Xγ∩ (Lfx0 + T )−1(y) là lồi và không rỗng

Khi đó tồn tại một số δ ∈ (0, γ] và một lân cận U  (p 0 ) sao cho ánh xạ đa trị xác

định bởi

Σ(p) :=

({x ∈ X0+ ηB | 0 ∈ f (p, x) + T (x)} nếu p ∈ U,

Chứng minh Chọn x 0 ∈ X 0; ta kí hiệu Lf x 0 + T = Q(x0) Lấy θ ∈ (0, η] với λθ ≤ γ

và chọn y ∈ θB, Xγ ∩ Q(x0)−1(y) ⊃ X0+ λkykB ⊃ Xγ Giả thiết (iii) kết hợp vớibao đóng của Q(x0), kéo theo rằng với mỗi y ∈ θB Xγ ∩ Q(x0)−1(y) là một tậplồi, compact và không rỗng Nói riêng, X 0 là tập lồi, compact

Ý tưởng cơ sở của chứng minh là đánh giá toán tử ngược của f (p, x) + T (x)thông qua toán tử ngược của

Q(π(x))(z) := Lfπ(x)(z) + T (z)

:= f (p0, π(x)) + f2(p0, π(x))(z − π(x) + T (z),

ở đây π(x) là điểm gần với x nhất trong X 0 Tiếp theo ta sẽ sử dụng định lýđiểm bất động Kakutani (Định lý 1.13) Với hai tập A ⊂ Rn, C ⊂ Rn ta địnhnghĩa đại lượngd[A, C] = sup{d(a, C) | a ∈ A} Ký hiệuπ là phép chiếu từ Rn lên

X 0; π được xác định hoàn toàn và là ánh xạ không dãn, do đó nên nó liên tục Dùng tính chất liên tục và compact, ta có thể kiểm tra được rằng hàm số

β(δ) := max{kf2(p0, x) − f2(p0, π(x)k | x ∈ X0+ δB}

là xác định khiδ ≥ 0 đủ nhỏ, và liên tục tại 0 với β(0) = 0 Vì thế ta có thể chọn

δ ∈ (0, γ] sao cho λB(δ) ≤ 12 và δβ(δ) ≤ 12θ Tiếp theo ta có thể chứng minh đượcvới δ cố định, hàm số

αδ(p) := max{kf (p, x) − f (p0, x)k | x ∈ Xδ}

là xác định với mọi p ∈ Rk và liên tục tại p0 với αδ(p0) = 0 Do đó, ta có thểchọn lân cận U (p0) sao cho với mỗi p ∈ U, αδ(p) < 12θ và λαδ(p) ≤ 12δ Bây giờchọn p ∈ U bất kì và định nghĩa hàm đa trị

Fp: Xδ −→Rn

x 7−→ Fp(x) := Xγ ∩ Q(π(x))−1[Lfπ(x)(x) − f (p, x)].

Nếu x là điểm bất kì của Xδ ta có

kLfπ(x)(x) − f (p, x)k ≤ kf (p, x) − f (p0, x)k + kf (p0, x) − Lfπ(x)(x)k. (2.1)Bây giờ ta định nghĩa (với x cố định) một hàm với biến thực τ

2θ = θ. (2.3)

Do đó, Fp(x)là một tập lồi, compact và không rỗng như nhận xét trước đây củachúng ta Dùng (i), (ii) và (2.3) khi x ∈ X 0 ta cũng có

Lfπ(xp)(xp) − f (p, xp) ∈ Lfπ(xp)(xp) + T (xp).

Điểm xp này sẽ thỏa mãn bao hàm thức

0 ∈ f (p, x p ) + T (x p ),nên xp∈ Σ(p), và do đó Σ(p) không rỗng Ta có

graph Σ = {(p, x) ∈ U × Xδ | 0 ∈ f (p, x) + T (x)}

là đóng trong U × Xδ bởi tính liên tục củaf và bao đóng của T Tuy nhiên, ảnhcủa Σ là bao hàm trong tập compact Xδ; vì thế theo kết quả trong [14, Lemma4.4], Σ là nửa liên tục trên thực sự từ U đến Xδ Nếu x0 ∈ X0 thì bởi (i) ta có

0 ∈ Lf x 0 (x 0 ) + T (x 0 ) = f (p 0 , x 0 ) + T (x 0 ) Vì thế x 0 ∈ Σ(p 0 ), và do đó Σ(p 0 ) ⊃ X 0.Mặt khác, nếu x ∈ Σ(p0) thì x ∈ Xδ và 0 ∈ f (p0, x) + T (x); do đó

Lfπ(x)(x) − f (p 0 , x) ∈ Lfπ(x)(x) + T (x),nên ta suy ra x ∈ Fp0(x) Khi x ∈ Xδ, từ (2.4) với p = p0 ta có

d(x, X0) ≤ d[Fp (x), X0] ≤ λkLfπ(x)(x) − f (p0, x)k.

Nhưng từ (2.3) với p = p0 ta thấy rằng

kLfπ(x)(x) − f (p 0 , x)k ≤ β(δ)kx − π(x)k = β(δ)d(x, X 0 ).

Vì thế ta có đánh giá

d(x, X0) ≤ λβ(δ)d(x, X0) ≤ 1

2d(x, X0),nghĩa là x ∈ X0 do X0 đóng Hệ quả là Σ(p0) = X0

Lấy > 0bất kì và chọn(δ∈ (0, δ])sao cho(σ ∈ [0, δ]) Ta cóλβ(σ) ≤ 2(λ+)

Có thể kiểm tra được hàm số

γ(p) := max{kf2(p, x) − f2(p0, x)k | x ∈ X0+ δB}

là xác định được trên Rk và liên tục tại p0 Chọn lân cận U(p0) ⊂ U sao cho nếu

p ∈ U  ta có Σ(p) ⊂ Σ(p 0 ) + δ  B và λγ(p) ≤ 2(λ+) Bây giờ chọnp ∈ U  và x ∈ Σ(p)bất kì Sử dụng (2.4) và x ∈ Fp(x), ta có

Mặt khác, nếu λ = 0 , thì (2.5)⇐⇒ d(x, Σ(p0)) = 0 , trong trường hợp này, (2.6)

là hiển nhiên Vì vậy, trong cả hai trường hợp

Σ(p) ⊂ Σ(p 0 ) + (λ + )α 0 (p)B.

Chứng minh hoàn thành

Nhận xét 2.2 Việc kiểm tra toàn bộ giả thiết của Định lý 2.1 trong tình huống

cụ thể thường là khá khó khăn Nhận xét này thực sự đúng với (ii) và (iii) Do đóngười ta mong muốn xây dựng một lớp bài toán mà việc kiểm tra là dễ dàng hơn.Trong phần tới, chúng ta sẽ khảo sát cụ thể một lớp như vậy cho giả thiết (ii).Một vài điều kiện đảm bảo (iii) sẽ được làm rõ trong mệnh đề tiếp theo đây

Mệnh đề 2.3 [1]

Trong Định lý 2.1, giữ nguyên tất cả các điều kiện và thay giả thiết (iii)bởi điều kiện sau đây

(iii)’ f2(p0, x0) là nửa xác định dương và T là toán tử đơn điệu cực đại

Khi đó kết luận của định lý vẫn còn đúng

Chứng minh Ta thấy rằng giả thiết cuối kết hợp với các giả thiết khác của Định

lý 2.1 ta sẽ được (iii) Chọn x0 ∈ X0 bất kì; dưới (iii)0 hàm Lfx0 sẽ là một toán

tử đơn điệu cực đại Vì T cũng là đơn điệu cực đại và domLfx0 =Rn (domLfx0

là miền hữu hiệu của Lfx0) Dựa theo kết quả trong [15, Corollary 2.7], ánh xạQ(x0) là đơn điệu cực đại Do đó, Q(x0)−1 cũng là đơn điệu cực đại Qx0−1(0) làtập lồi, vì thế từ (i) suy ra Q(x0)−1(0) = x0 Từ đó, cho y ∈ ηB thì bao hàm thức

Xγ∩Q(x0)−1(y) ⊂ X0+λkykB xảy ra (bởi (ii)) Bây giờ, chọnα ∈ (0, η]vớiλα < γ.Nếuy ∈ αB, thì từ tính lồi củaQ(x0)−1(y)ta suy ra Xγ∩Q(x0)−1(y) = Q(x0)−1(y),vậy nênQ(x0)−1 là U.L.(λ) địa phương tại 0( trên Lipschitz với mô-đun λ tại 0).Nhưng điều này kết hợp với tính bị chặn của Q(x0)−1(0) kéo theo rằng Q(x0)−1

có bị chặn địa phương tại 0 Trên thực tế, nó bị chặn địa phương tại mỗi điểmtrong của hình cầu αB, vì ảnh của một hình cầu xung quanh mỗi điểm như thế

sẽ được chứa trong ảnh của αB, mà tập ảnh ấy được bao hàm trong tập bị chặn

Xλα = X0+ λαB Sử dụng kết quả từ [16, Theorem 1] ta thấy rằng tập các điểmtrong int(αB) của αB không chứa bất kì điểm biên nào của domQ(x0)−1 Tuy

nhiên, bởi vì 0 ∈ dom Q(x0)−1, và αB là liên thông( tập liên thông là tập hợpkhông thể biểu diễn dưới dạng hợp của hai tập mở không rỗng rời nhau), chúng

ta kết luận rằng int αB ⊂ int dom Q(x0)−1 Do đó, với mỗi y mà kyk < α thì tậpQ(x0)−1(y) là lồi, không rỗng và được bao hàm trong Xγα∩ Xγ Bây giờ chọn η0sao cho 0 < η 0 < α Do giả thiết (ii) của Định lý 2.1 là đúng cho η và α ≤ η, thìgiả thiết sẽ thỏa mãn với η0 Hơn nữa, giả thiết (iii) cũng đúng với η0, và điềunày chứng tỏ kết luận Mệnh đề 2.3 là đúng

Nhận xét 2.4 Giả thiết (iii)0 đơn giản hơn (iii), tuy nhiên (iii) phủ lên mộtlớp bài toán tổng quát hơn Ví dụ, xét phương trình suy rộng tuyến tính

0 ∈ −αx + β + ∂Ψ[−1,1](x),với α > 0 Lúc này (iii)0 không thỏa Tuy nhiên, nếu |β| 6= α thì mỗi nghiệm của

nó (một nếu |β| > α, ba nếu|β| < α) có thể phân tích được trên (iii) Nếu|β| = αthì nghiệm có thể phân tích được tại −sgnβ, nhưng nghiệm tại sgnβ là khôngthể(thật vậy, kết luận cho Định lý 2.1 là không đúng đối với nghiệm này).Trong đó sgn là hàm dấu được định nghĩa

Trong phần này, ta sẽ trình bày một lớp bài toán mà giả thiết (iii) củaĐịnh lý 2.1 luôn đúng Để thuận tiện, chúng tôi nhắc lại một vài khái niệm cầnthiết

Định nghĩa 2.5 [1] Một ánh xạ đa trịQ : Rn ⇒ Rm được gọi là là đa diện nếu

đồ thị của nó là hợp hữu hạn (có thể rỗng) tập hợp các tập đa diện lồi (đượcgọi là thành phần)

Rõ ràng một ánh xạ đa trị đa diện thì luôn đóng, và nghịch của nó thìtương tự như đa diện Hơn nữa,có thể kiểm chứng được họ các ánh xạ đa trị đa

diện là đóng dưới phép nhân với vô hướng, phép lấy tổng hữu hạn và phép lấyhợp thành Mệnh đề dưới đây cho thấy rằng ánh xạ đa diện có những tính chấttốt như là trên Lipschitz liên tục.

Mệnh đề 2.6 ([17, 1]) Cho F : Rn ⇒ Rm là một ánh xạ đa diện Khi đó tồntại một hằng số λ sao cho F là U.L(λ) địa phương tại mỗi x 0 ∈Rn

Một điều rất đáng chú ý là hằng số λ chỉ phụ thuộc vào F chứ không phụthuộc vào x0 (xem [1]), mặc dù tất nhiên tính liên tục trong vùng lân cận của

x 0 nói chung sẽ phụ thuộc vào x 0 Tầm quan trọng của lớp ánh xạ đa diện trongcác ứng dụng được thể hiện qua mệnh đề sau đây, được lấy từ [2]

Mệnh đề 2.7 [1] Chọn f là một hàm đa diện lồi từ Rn đến (−∞, +∞] Khi

đó dưới vi phân ∂f là một ánh xạ đa trị đa diện

Từ mệnh đề ta thấy rằng dưới vi phân của hàm đa diện lồi liên tục Lipschitztrên thỏa trong Định lý 2.1 Theo các nhận xét ở trên về ánh xạ đa diện, tínhchất đa diện này sẽ không mất đi nếu ta kết hợp các dưới vi phân với ánh xạ

đa trị đa diện khác nhau thích hợp Ví dụ, chọn C là một tập lồi đa diện khôngrỗng trong Rn và đặt

ψC(x) :=

(

0 nếu x ∈ C +∞ nếu x / ∈ C

Khi đó ψC là một hàm lồi đa diện Bây giờ, nếu A là biến đổi tuyến tính từ Rnđến chính nó và a ∈Rn, thì toán tửAx + a + ∂ψC(x) và nghịch đảo của nó, theoMệnh đề 2.6 và Mệnh đề 2.7 là trên Lipschitz địa phương hầu khắp nơi Do đó,phương trình tuyến tính suy rộng có tính chất liên tục tốt theo nhiễu của vếphải, chúng ta sẽ sử dụng kết quả này cho phần tới

Thảo luận này cho thấy rằng, nếu toán tử T trong Định lý 2.1 là đa diện,thì toán tử tuyến tính Lf x 0 + T có ít nhất một số tính liên tục của giả thiết (ii)của định lý này; nó sẽ cần để chứng minh tính đồng nhất, nhưng điều này làtầm thường nếu X0 là đơn tử, trong khi nói chung nó thường được thực hiệnbằng cách sử dụng cấu trúc bài toán cụ thể (ví dụ, trong quy hoạch phi tuyến,xem 2.2)

2.3 Tính ổn định của phương trình suy

rộng tuyến tính

Để minh họa một ứng dụng của Định lý 2.1, chúng ta sẽ khảo sát dángđiệu nghiệm của phương trình tuyến tính suy rộng

0 ∈ Ax + a + ∂ψC(x), (2.7)trong đó A là một ma trận cỡ n × n, a ∈Rn và C là một tập lồi đa diện khôngrỗng trong Rn Trường hợp đặc biệt bao gồm các bài toán quy hoạch tuyến tính,quy hoạch toàn phương và bài toán bù tuyến tính Chúng ta sẽ đặc trưng tính ổnđịnh tập nghiệm của (2.7) khi ma trận A là nửa xác định dương (nhưng khôngcần phải đối xứng); mở rộng hơn (nhưng phức tạp hơn), kết quả có thể đạt đượcbằng cách bỏ giả thiết nửa xác định dương nhưng thừa nhận giả thiết (iii) trongĐịnh lý 2.1

Định lý 2.8 [1] Cho A là một ma trận nửa xác định dương cỡ n × n, C là mộttập lồi đa diện không rỗng trong Rn và a ∈Rn Khi đó các điều sau đây là tươngđương

(a) Tập nghiệm của (2.7) là bị chặn và không rỗng

(b) Tồn tại 0> 0 sao cho với mỗi ma trận A0 cỡ n × n và a0∈Rn sao cho

0:= max{kA0− Ak, ka0− ak} < 0, (2.8)tập hợp

S(A0, a0) := {x | 0 ∈ A0x + a0+ ∂ψc(x)}

là khác rỗng

Hơn thế nữa, giả sử điều kiện được giữ nguyên Chọn µlà một chặn trên S(A, a),

và λ là một hằng số trên Lipschitz địa phương của ánh xạ [A(·) + a + ∂ψC(·)]−1 tại

0 (tồn tại bởi kết quả của mục trước) Khi đó,với bất kì tập mở bị chặn Ψ chứaS(A, a) tồn tại một 1 > 0 sao cho với mỗi A0, a0 mà max{kA0− Ak, ka0− ak} < 1

ta có

∅ 6= S(A0, a0) ∩ Ψ ⊂ S(A, a) + λ0(1 − λ0)−1(1 + µ)B. (2.9)

Cuối cùng, nếu (A0, a0) được hạn chế ở các giá trị mà S(A0, a0) là tập liên thông(nói riêng, nếu A0 là ma trận nửa xác định dương), thì Ψ có thể thay thế đượcbởi Rn.

Chứng minh Ta lần lượt chứng minh từng phát biểu của Định lý 2.8

Chứng minh (b) ⇒ (a). Nếu (b) đúng thì S(A0, a0) là không rỗng cho tất

cả a0 trong một hình cầu nào đó quanh a Điều này nghĩa là 0 thuộc phần trongtập ảnh của toán tử A(·) + a + ∂ψC(·) Đây là một toán tử đơn điệu cực đại ([15,Corollary 2.7]) Từ đây suy ra, nghịch đảo của toán tử này bị chặn địa phươngtại 0 theo [15, Proposition 2.9] Vì thế, tập hợp S(A, a) là bị chặn

Chứng minh (a)⇒ (b). Chúng ta sẽ áp dụng Định lý 2.1 Nhằm mục đích

đó, ta lấyk = n2+ n và đồng nhất Rk với không gian véc tơ gồm các cặp (A0, a0)

ở đó A0 là ma trận tùy ý cỡ n × nvà a0 là điểm của Rn (Mỗi cặp (A0, a0)như vậyđược tương ứng với một véc tơ k-chiều tạo thành bằng cách ghép liên tiếp cáccột của A0 thêm vào véc tơ a0.) Khoảng cách giữa hai điểm có dạng (A0, a0) và(A”, a”) được cho bởi max{kA0− A”k, ka0− a”k} Chọn P0 := (A, a) và T := ∂ψC,

f ((A0, a), x) := A0x + a0 Khi đó tập hợp X0 trùng với S(A, a) Ta chọn Ω là tập

mở chứaX0 bất kì, và vì LFx0 = Ax + a với mọi x0, rõ ràng là mọi giả thiết đượcthỏa mãn (Chú ý rằng Mệnh đề 2.3 kéo theo (iii) đúng.) Khi đó ta thấy rằng,choδ > 0, 0 > 0và với mọi (A0, a0)với 0< 0, ta cóS(A0, a0) ∩ [s(A, a) + ∂B] khôngrỗng, và điều này suy ra (b)

Chứng minh (2.9). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng Ψđược chọn trùng với Ω trong phép chứng minh ở trước Khi Ψ là bị chặn, ta cóthể tìm được 1∈ (0, 0] với λ1< 1 sao cho với mỗi x ∈ Ψ, 1(1 + kxk) ≤ η, trong

đó η là tham số được sử dụng trong Định lý 2.1 Bây giờ cho (A0, a0) bất kì Với

0<  1, bởi chứng minh ở trênS(A0, a0) ∩ Ψ là khác rỗng, và ta lấyx0 bất kì thuộcphần giao nhau đó Ta có thể kiểm tra được

0 ∈ A0x0+ a0+ ∂ψC(x0),

và điều này tương đương với

x0 ∈ [A(·) + a + ∂ψC(·)]−1[(A − A0)x0+ (a − a0)].

Nhưng vì x0 ∈ Ψ, ta có

k(A − A0)x0+ (a − a0)k ≤ max{kA − A0k, ka − a0k}(1 + kx0k)

≤  1 (1 + kx0k) ≤ η,

và bởi tính trên Lipschitz

d(x0, S(A, a)) ≤ λk(A − A0)x0+ (a − a0)k.

Bây giờ chọn x0 là điểm gần với x0 nhất trong S(A; a), ta có đánh giá

k(A − A0)x0+ (a − a0)k ≤ k(A − A0)x0+ (a − a0)k + k(A − A0)(x0− x0)k

Do x0 là tùy ý trong S(A0, a0) ∩ Ψ, nên ta có (2.9)

Trường hợp S(A0, a0) là tập liên thông. Ta thấy rằng với mọi  đủnhỏ, S(A0, a0) ∩ Ψ được chứa trong S(A, a) + δB, mà bản thân tập hợp sau lạinằm trong Ψ Nếu S(A0, a0) là cũng có điểm chung với phần bù của Ψ thì nó sẽ

vi phạm giả thiết liên thông Do đó, nếu S(A0, a0) là liên thông, thì nó phải nằmhoàn toàn trong Ψ, vì thế ta có thể thay thế Ψ bởi Rn trong (2.9) Đặc biệt,nếu A0 là nửa xác định dương thì A0(.) + a0+ ∂ψC(.) là đơn điệu cực đại, vì thếS(A0, a0) là lồi khi nghịch ảnh của 0 nằm trên toán tử này

Nhận xét 2.9 Để ý là tập Ψchỉ được sử dụng một lần trong chứng minh, câuhỏi tự nhiên đặt ra là có thể thay thế Ψ bởi Rn trong mọi trường hợp được haykhông? Ví dụ sau đây sẽ cho thấy rằng điều này là không thể, thậm chí đối với

n = 1 Xét C =R+, A = [0] và a = [1], vậy nên bài toán bây giờ là

0 ∈ [0]x + [1] + ∂ψR (x),

tập nghiệm của bài toán là S([0], [1]) = {0} Tuy nhiên, ta kiểm tra được, vớibất kì  > 0 nào thì S([−], [1]) = {0, −1} Vì thế ta không thể thay Ψ =R trongtrường hợp này.

Như đã được đề cập trong [1], Định lý 2.8 nói riêng cung cấp cho ta một lýthuyết ổn định đầy đủ cho quy hoạch toàn phương (bao gồm quy hoạch tuyếntính) và cho bài toán bù tuyến tính với ma trận nửa xác định dương Điều này

mở rộng kết quả trước đó của Daniel [18] cho quy hoạch toàn phương lồi ngặt,

và của S M Robinson [19] cho quy hoạch tuyến tính Kết quả về tính ổn địnhnghiệm của bài toán quy hoạch phi tuyến sẽ được đề cập trong phần sau củaluận văn này

Dạng phát biểu mạnh của Định lý 2.8(với A0 bị hạn chế là nửa xác địnhdương) đôi khi có thể đúng bởi cấu trúc đặc biệt của lớp bài toán cụ thể Ví dụ,xét bài toán quy hoạch toàn phương

min 12hx, Qxi + hq, xi + hp, yi,với ràng buộc Bx + Dy ≤ d.

(2.10)

Ở đây Q là ma trận m × m, B là ma trận r × m và D là ma trận r × s Khi đóđiều kiện KKT của (2.10) như một phương trình suy rộng (khi Q là đối xứng)







+







+ ∂ψC(x, y, u), (2.11)

trong đóC = Rm×Rs ×Rr

+ Ta thấy ma trận trong (2.11) là ma trận của Định

lý 2.1 Nó là ma trận nửa xác định dương khi và chỉ khi Q là nửa xác địnhdương (Nghĩa là, khi và chỉ khi bài toán (2.10) là lồi) Bây giờ, nếu Q là xácđịnh dương, khi đó với tất cả các nhiễu đủ nhỏ của các dữ kiện trong (2.10) (đó

là, củaQ, q, p, B, D và d), ma trận trong (2.11) sẽ vẫn còn là nửa xác định dương

Do vậy, phát biểu làm mạnh Định lý 2.8 sẽ đúng Theo kết quả trong [19], cácnhận xét ở đây nói riêng áp dụng được đối với tất cả bài toán quy hoạch quyếntính

Chương 3

Một số ứng dụng vào bài toán quy hoạch phi

x ∈ C,

(3.1)

trong đó Qo là nón đối cực của Q

Qo := {y ∈Rm | hq, yi ≤ 0 với mỗi q ∈ Q}.