Một số mở rộng và áp dụng của các định lý giá trị trung bình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNVÕ THỊ THỊNH MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020... Lý do chọn đề tài Xuất phát từ tính thờ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

VÕ THỊ THỊNH

MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

VÕ THỊ THỊNH

MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới TS Mai Thành Tấn người đã tận tình hướng dẫn để

em có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán - Thống kê Đại học Quy Nhơn đã dạy bảo em tậntình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè cùng các anh chị trong lớp Cao học Toán K21 đã giúp đỡ em trongsuốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Trong quá trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắc chắn không thểtránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự thông cảm và ý kiếnđóng góp của Thầy cô

Xin trân trọng cảm ơn

Mục lục

1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange 4

1.2 Định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân 7

1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy 13

1.4 Định lý giá trị trung bình Pompeiu 16

2 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 19 2.1 Vi phân đối xứng của hàm thực 19

2.2 Định lý giá trị tựa - trung bình 23

2.3 Một số dạng suy rộng của định lý giá trị trung bình 28

2.4 Đạo hàm Dini của hàm thực 31

2.5 Định lý giá trị trung bình đối với các hàm không khả vi 36

2.6 Định lý giá trị trung bình tích phân và các mở rộng 41

2.7 Ứng dụng: Biểu diễn tích phân của các trung bình 49

2.8 Sự trùng nhau các giá trị trung bình 54

i

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG 593.1 Bài toán cơ bản 593.2 Bài toán nâng cao 66

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Xuất phát từ tính thời sự của định lý giá trị trung bình và các suy rộngcủa nó và nhu cầu muốn tìm hiểu về các suy rộng của định lý giá trị trungbình Lagrange cùng các ứng dụng của chúng trong đạo hàm suy rộng vàtích phân đặc biệt là dành cho khối chuyên toán, chúng tôi quyết địnhchọn đề tài với tên gọi: Một số mở rộng và áp dụng của các định lýgiá trị trung bình để tiến hành nghiên cứu Vấn đề này luôn mang tínhthời sự trong giải tích Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảotốt cho những người tìm hiểu về định lý giá trị trung bình và một số suyrộng của nó với các ứng dụng trong đạo hàm, tích phân và giới thiệu một

số ứng dụng định lý giá trị trung bình trong giải toán phổ thông nhằmgóp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Lịch sử vấn đề

Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọngtrong giải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, được chứng minh bởinhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652 - 1719) đối với đa thức vàonăm 1691 Định lý này xuất hiện lần đầu trong cuốn sách Methode pourresoudre leségalitez không có chứng minh và không có nhấn mạnh đặc biệtnào Định lý Rolle được sự công nhận khi Joseph Lagrange (1736 - 1813)

1

trình bày định lý giá trị trung bình trong cuốn sách của mình Theorie desfunctions analytiques vào năm 1797 Nó nhận thêm được sự công nhậnkhi Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) chứng minh định lý giá trị trungbình trong cuốn sách Equationnes differentielles ordinaires Gần đây nhiềuphương trình hàm được nghiên cứu xuất phát từ các định lý giá trị trungbình và các suy rộng của chúng.

3 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn nhằm nghiên cứu các định lý giá trị trung bìnhLagrange, Cauchy, Pompeiu, một số mở rộng định lý giá trị trung bình.Trình bày về định lý giá trị trung bình và các suy rộng của nó đối với hàm

có đạo hàm đối xứng và đạo hàm Dini Ở đây, chúng tôi sẽ giới thiệu kháiniệm vi phân đối xứng và sau đó là định lý giá trị trung bình đối với cáchàm khả vi đối xứng Khái niệm đạo hàm Dini được giới thiệu với một số

ví dụ, định lý giá trị trung bình đối với hàm không khả vi và định lý giátrị trung bình đối với tích phân

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là định lý giá trị trung bình Lagrange

và một số suy rộng và áp dụng của nó Phạm vi nghiên cứu đề tài là cácđịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số mở rộng và

áp dụng định lý giá trị trung bình trong đạo hàm và tích phân suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứuliên quan đến các suy rộng của định lý giá trị trung bình và các ứng dụngcủa chúng

- Tham gia các buổi hướng dẫn của thầy để trao đổi các kết quả đangnghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

- Tổng quan các kết quả đã nghiên cứu liên quan đến Định lý giá trịtrung bình Lagrange và các suy rộng nhằm xây dựng một tài liệu thamkhảo cho những ai muốn nghiên cứu về định lý giá trị trung bình

- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một

số ví dụ minh họa hay và hợp lý nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cậnvấn đề được đề cập

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo trong luận văn gồm

có 3 chương như sau:

Chương 1, Các định lý giá trị trung bình

Chương 2, Một số mở rộng của định lý giá trị trung bình

Chương 3, Một số ứng dụng trong giải toán phổ thông

Tất cả các nội dung của luận văn được trình bày lại và tham khảo từcác tài liệu P K Sahoo và T Riedel [4]

Chương 1

CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Trong chương này chúng tôi trình bày định lý giá trị trung bình củaphép tính vi phân, nghiên cứu định lý giá trị trung bình đối với tỉ saiphân Cuối cùng sẽ chứng minh định lý giá trị trung bình của Cauchy vàchứng minh định lý giá trị trung bình Pompeiu

1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange

Một trong những định lý quan trọng nhất của phép tính vi phân là định

lý giá trị trung bình Lagrange Định lý này được phát hiện lần đầu tiênbởi Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc áp dụngđịnh lý Rolle vào một hàm bổ trợ thích hợp được đưa ra bởi Bonnet Ossian(1819-1892) Tuy nhiên, công bố đầu tiên của định lý này xuất hiện trongmột bài báo của nhà vật lý nổi tiếng André - Marie Ampére (1775-1836).Nhiều kết quả của giải tích thực là hệ quả của định lý giá trị trung bình

Cơ sở của định lý Rolle dựa vào hai kết quả sau

Mệnh đề 1.1.1 Nếu một hàm khả vi f : R → R đạt cực trị (cực đại hoặc

4

cực tiểu) tại một điểm c trong khoảng mở (a, b) thì f0(c) = 0

Mệnh đề 1.1.2 Một hàm f : R →R liên tục trên đoạn [a, b] thì nó phảiđạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b]

Định lý 1.1.3 (Định lý Rolle) Giả sử f là hàm liên tục trên khoảng đóng

[x1, x2] và có đạo hàm tại mọi x ∈ (x1, x2) Nếu f (x1) = f (x2) thì tồn tại

ít nhất một điểm η ∈ (x1, x2) sao cho f0(η) = 0

Như vậy định lý Rolle có thể giải thích về mặt hình học như sau nếu cómột cát tuyến nằm ngang của đồ thị f thì có một tiếp tuyến nằm ngangcủa đồ thị sao cho tiếp điểm nằm giữa hai giao điểm của cát tuyến với đồthị

Một giải thích khác của định lý Rolle là giữa hai nghiệm thực của mộthàm thực khả vi f có ít nhất một điểm tới hạn của f (nghiệm của đạohàm cấp một f0)

Định lý Rolle được tổng quát hóa bằng cách quay đồ thị của hàm f để

có định lý giá trị trung bình Lagrange

Định lý 1.1.4 Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng I vàvới mọi cặp x1 6= x2 trong I, tồn tại một điểm η phụ thuộc vào x1 và x2

sao cho

f (x1) − f (x2)

x1 − x2 = f

0(η(x1, x2)) (1.1)Chú ý 1.1.5 Ta kết thúc mục này bằng một chứng minh khác của định

lý Lagrange mà không sử dụng Mệnh đề 1.1.1 và Mệnh đề 1.1.2 Chứngminh này của Tucker (1997) và Velleman (1998)

Giả sử f là hàm khả vi trên khoảng đóng [x1, x2] và

với mọi n = 1, 2, và lim

n→∞(bn − an) = 0 Gọi η là điểm duy nhất tronggiao của các khoảng này Nếu η = aN với N nào đó thì η = an với mọi

bn− η

,

với mọi n, trong đó 0 < µn = η − an

bn − an < 1.

1.2 Định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân

Trong phần này, chúng ta chứng minh định lý giá trị trung bình đối với

tỉ sai phân và trình bày một số ứng dụng đối với việc nghiên cứu các trungbình Chúng ta bắt đầu với định nghĩa tỉ sai phân và một biểu diễn tíchphân của tỉ sai phân Một số kết quả của phần này có thể tìm thấy trongsách của Isaacson và Keller (1966) và Ostrowski (1973) Trong mục này

f(n) biểu diễn đạo hàm cấp n của hàm f, trong khi f0 biểu diễn đạo hàmcấp một của f

Định nghĩa 1.2.1 Với các số thực phân biệt x1, x2, , xn tỉ sai phân củahàm f : R →R được định nghĩa là

trị trung bình trở thành

f [x1, x2] = f0(η(x1, x2)) (1.2)

Rõ ràng η phụ thuộc vào x1 và x2 và có thể yêu cầu f như thế nào khigiá trị trung bình η phụ thuộc vào x1 và x2 theo một cách nào đó Từquan điểm này, phương trình (1.2) xuất hiện như một phương trình hàmvới ẩn f và η được cho

Định lý 1.2.2 Giả sử f : R →R có đạo hàm cấp n liên tục trong khoảng

dt2

Z t n−1 0

Chứng minh Ta chứng minh định lý này bằng quy nạp Nếu n = 1, thìphương trình (1.3) trở thành

f [x0, x1] =

Z 1 0

f0(t1(x1 − x0) + x0) dt1

Trước tiên ta thấy rằng tích phân ở vế bên phải của phương trình là tỉsai phân của f dựa trên hai điểm phân biệt x0 và x1 Xét tích phân

Z 1 0

f0(t1(x1 − x0) + x0) dt1

Khi x1 6= x0, đặt z = t1(x1 − x0) + x0, ta có dz = (x1 − x0)dt1 hay

dt1 = xdz−x

Z t n−2 0

dt2

Z t n−1 0

dt2

Z t n−2 0

Từ biểu diễn tích phân ở trên, ta thấy rằng lấy tích phân là một hàmliên tục theo các biến x0, x1, , xn và vì thế f [x0, x1, , xn] cũng là hàmliên tục theo các biến này Nếuf (x)có đạo hàm cấpnliên tục thì biểu diễntích phân ở trên xác định duy nhất mở rộng liên tục của f [x0, x1, , xn].Chẳng hạn, nếu n = 1 thì mở rộng liên tục của f [x0, x1] là

miễn sao f có đạo hàm cấp một

Bây giờ chúng ta trình bày giá trị trung bình đối với tỉ sai phân

Định lý 1.2.3 Cho f : [a, b] → R là một hàm giá trị thực với đạo hàm

cấp n liên tục và x0, x1, , xn trong [a, b] Khi đó tồn tại một điểm η trongkhoảng [min{x0, x1, , xn}, max{x0, x1, , xn}] sao cho

f [x0, x1, , xn] = f

(n)(η)n! .

Chứng minh Vì f(n)(x) liên tục trên [a, b], hàm f(n)(x) có cực đại và cựctiểu trên [a, b] Đặt m = min f(n)(x) và M = max f(n)(x) Khi đó từ biểudiễn tích phân của f [x0, x1, , xn], ta có

dtk =

Z 1 0

dt1

Z t10

dt2

Z tn−10

dtn = 1

n!.

Ta được bất đẳng thức

m 6 f [x0, x1, , xn] (n!) 6 M

= f

0(b) − 2f [b, a] + f0(a)

(b − a)2 .

Để đơn giản kí hiệu, ta kí hiệu f [b, b, a, a] bởi f [b[2], a[2]] Tổng quát

f [b[n], a[n]] = f [b, b, , b, a, a, , a],trong tỉ sai phân này a và b xuất hiệnđúng n lần

Giả sử f khả vi liên tục (2n − 1) lần Ngoài ra, ta giả sử f(2n−1)(x) đơnđiệu chặt trong [a, b] Khi đó theo định lý giá trị trung bình đối với tỉ saiphân, tồn tại một điểm η ∈ [a, b] sao cho

f [b[n], a[n]] = f

(2n−1)(η)(2n − 1)!.

Chú ý 1.2.5 Tính đơn điệu chặt của f(2n−1)(x) buộc η là một giá trịtrung bình, nghĩa là a < η < b Hơn nữa, vì f(2n−1)(x) là đơn điệu chặt,

một η như thế cũng duy nhất và điều này xác định một trung bình hàm

Mfn(a, b) theo a và b Do đó

Mfn(a, b) = f(2n−1)

−1n(2n − 1)!fhb[n], a[n]io

Nếu n = 1 thì Mfn(a, b) trở thành

Mf(a, b) = (f0)−1 f (b) − f (a)

b − a

,

đó là một trung bình hàm, được giới thiệu bởi Stolarsky (1975) và Mays(1983)

Dưới đây là hai ví dụ minh họa bằng cách sử dụng trung bình hàm

h

b[n], a[n]

io

= 1(2n)!(2n − 1)!n(a + b) =

a + b2

Đặtf (x) = xp, vớip ∈ R Ví dụ 1.2.5 cho thấy rằng nếuplà một nguyêndương lơn hơn hoặc bằng n thì trung bình hàm Mfn(a, b) là trung bình sốhọc của a và b Ví dụ 1.2.6 minh họa rằng nếu p = −1, khi đó trung bìnhhàm Mfn(a, b) là trung bình hình học của a và b Horwitz (1995) đã chứng

tỏ rằng

lim

x→∞Mfn(a, b) =

√ab

trong đó f (x) = xp với p ∈ R Kết quả này nói rằng nếu f là một hàmlũy thừa thì trung bình hàm tiến đến tiệm cận trung bình hình học Cũng

có các trung bình khác xuất hiện trong trường hợp giới hạn của Mfn(a, b)

khi n → ∞ Chẳng hạn, nếu f (x) = ex thì

lim

x→∞Mfn(a, b) = a + b

2 .1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy

Augustine - Louis Cauchy (1789 - 1857) đưa ra một suy rộng dưới đâycủa định lý giá trị trung bình mà hiện nay mang tên của ông

Định lý 1.3.1 Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên khoảng sốthực I và với mọi cặp x1 6= x2 trong I, tồn tại một điểm η phụ thuộc vào

x1 và x2 sao cho

[f (x1) − f (x2)] g0(η) = [g(x1) − g(x2)] f0(η) (1.6)

Định lý 1.3.3 Cho f, g : [a, b] → R là những hàm giá trị thực có đạo hàm

cấp n liên tục và g(n)(t) 6= 0 trên [a, b] Hơn nữa, cho x0, x1, , xn trong

[a, b] Khi đó tồn tại một điểmη ∈ [min {x0, x1, , xn} , max {x0, x1, , xn}]

sao cho

f [x0, x1, , xn] g(n)(η) = g [x0, x1, , xn] f(n)(η) (1.7)Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x0 6 x1 6 6

xn Nếu x0 = x1 = = xn thì từ định nghĩa của tỉ sai phân và từ việc f

và g khả vi liên tục cấp n, (1.7) đúng với x0 = x1 = = xn = η

Giả sử x0 < xn Với x0 6 t6 xn, định nghĩa

F (t) = f [t, x1, , xn−1] và G(t) = g [t, x1, , xn−1] (1.8)

với ξ(t) nào đó trong khoảng đóng [x0, xn] Vì vậy từ (1.13) và (1.14) tacó

h(n)(η)

Sử dụng (1.13) trong (1.18) , ta thấy rằng

g [x0, x1, , xn] f(n)(η) − f [x0, x1, , xn] g(n)(η) = 0, (1.19)với η ∈ [x0, xn]

1.4 Định lý giá trị trung bình Pompeiu

Vào năm 1946, Pompeiu giới thiệu một biến thể của định lý giá trị trungbình Lagrange và ngày nay gọi là định lý giá trị trung bình Pompeiu.Định lý 1.4.1 Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng đóng

[a, b] không chứa 0 và với mọi cặp x1 6= x2 trong [a, b], tồn tại điểm ξ ∈(x1, x2) sao cho

− 1

ηf

0 1η

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (ξ, f (ξ)) là y = (x − ξ)f0(ξ) + f (ξ).Tiếp tuyến này cắt trục tung tại điểm(0, y), trong đóy = −ξf0(ξ) + f (ξ).Nếu tiếp tuyến này cắt trục tung cùng điểm của cát tuyến trên thì ta có

x1f (x2) − x2f (x1)

x1 − x2 = f (ξ) − ξf

0(ξ)

Đó là phương trình (1.20) trong Định lý 1.4.1 Do đó ý nghĩa hình học

là tiếp tuyến tại điểm (ξ, f (ξ)) cắt trục tung tại điểm như của cát tuyếnnối các điểm (x1, f (x1)) và (x2, f (x2))

2.1 Vi phân đối xứng của hàm thực

Nhắc lại rằng đạo hàm của hàm thực f là hàm từ R →R tại một điểm

x được cho bởi giới hạn f0(x) = lim

năm qua các nhà toán học đã đề xuất nhiều đạo hàm suy rộng bằng cáchthay vế bên phải của định nghĩa đạo hàm đã nêu ở trên Nếu ta thay thế

f (x+h)−f (x)

h bởi f (x+h)−f (x−h)2h , khi đó ta được một đạo hàm suy rộng Đạohàm suy rộng này được gọi là đạo hàm đối xứng của hàm f

Định nghĩa 2.1.1 Một hàm thực f trong khoảng (a, b) được gọi là khả

vi đối xứng tại điểm x trong (a, b) nếu giới hạn lim

h→0

f (x+h)−f (x−h) 2h tồn tại

Ta sẽ kí hiệu đạo hàm này là fs(x) Nếu một hàm là khả vi đối xứng tạimọi điểm của một khoảng, khi đó ta nói nó khả vi đối xứng trên khoảng

đó Dễ dàng chứng tỏ rằng nếu một hàm là khả vi, khi đó nó cũng khả viđối xứng

Tuy nhiên điều ngược lại không đúng như các ví dụ dưới đây

Ví dụ 2.1.3 Hàm f (x) = |x| là khả vi đối xứng tại 0 nhưng không khả

Do đó giới hạn không tồn tại tại 0 Vì vậy f không khả vi tại 0.

Bây giờ ta xét tính khả vi đối xứng của f Ta có

Nhận xét: Hàm giá trị tuyệt đối f (x) = |x| có một góc nhọn tại 0 và

do đó nó không khả vi Tuy nhiên, góc nhọn này không có liên quan đếnhàm khả vi đối xứng Chúng ta đã biết mỗi hàm khả vi là liên tục Bâygiờ ta tự hỏi nếu điều này cũng đúng cho hàm khả vi đối xứng Ví dụ sauđây sẽ làm sáng tỏ thắc mắc này

Ví dụ 2.1.4 Hàm f (x) = 1

x2 là khả vi đối xứng tại 0 nhưng không xácđịnh tại 0

Để thấy điều này ta xét giới hạn

là hàm khả vi đối xứng tại 0 nhưng nó không liên tục

Dễ dàng thấy rằng f không liên tục tại 0 Vì

hàm f khả vi đối xứng

Ví dụ này cho thấy rằng nếu giới hạn của f tồn tại khi x tiến tới 0 thì

f là khả vi đối xứng tại 0 mặc dù f không liên tục tại 0 Trong ví dụ tiếptheo cho thấy rằng nếu một hàm gián đoạn có bước nhảy hữu hạn không

có giới hạn tại 0 thì nó không có đạo hàm đối xứng

Chú ý rằng bằng việc suy rộng định nghĩa của khả vi đến khả vi đốixứng, ta đã mất một số đặc tính như liên tục và tính trơn của đường cong.Trong các ví dụ tiếp theo ta minh họa rằng nếu một hàm gián đoạn cóbước nhảy hữu hạn tại một điểm, khi đó nó có thể có hoặc không khả viđối xứng

Do đó hàm này không có đạo hàm đối xứng

2.2 Định lý giá trị tựa - trung bình

Trong mục này, ta thiết lập một định lý giá trị trung bình cho hàm vớicác đạo hàm đối xứng Ta sẽ tiếp tục cho thấy rằng mỗi hàm liên tục màđạo hàm đối xứng của nó có tính chất Darboux tuân theo định lý giá trịtrung bình Lagrange

Định lý giá trị trung bình thông thường thì không đúng cho đạo hàmđối xứng như minh họa ví dụ sau

Ví dụ 2.2.1 Hàm f (x) = |x| không thỏa mãn định lý giá trị trung bìnhthông thường trên [−1, 2].

Đạo hàm đối xứng của hàm f (x) = |x| được cho bởi

Bổ đề dưới đây được chứng minh bởi Aull (1967)

Bổ đề 2.2.1 Cho f liên tục trên [a, b] và f khả vi đối xứng trên (a, b).Nếu f (b) > f (a) thì tồn tại một điểm η ∈ (a, b) sao cho fs(η) > 0 Hơnnữa, nếu f (b) < f (a) thì tồn tại một điểm ξ ∈ (a, b) sao cho fs(ξ) 6 0.Chứng minh Giả sử f (b) > f (a) Cho k là một số thực sao cho f (a) <

là chặn lớn nhất của tập {x ∈ [a, b]|f (x) > k}, có các điểm (η − h, η + h)

sao cho

f (x + h) > k và f (x − h) 6 k

Định lý 2.2.2 Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên (a, b) Giả

sử f (a) = f (b) = 0 Khi đó tồn tại η và ξ trong (a, b) sao cho fs(η) > 0

và fs(ξ) 6 0

Chứng minh Nếu f ≡ 0 thì định lý rõ ràng đúng Do đó, ta giả sử f 6= 0

Vì f liên tục và f (a) = f (b) = 0, có x1 và x2 sao cho

f (x1) > 0 và f (x2) < 0 (2.1)hoặc

f (x1) < 0 và f (x2) > 0 (2.2)hoặc

f (x1) > 0 và f (x2) > 0 (2.3)hoặc

f (x1) < 0 và f (x2) < 0 (2.4)Nếu bất đẳng thức (2.1) đúng, khi đó áp dụng Bổ đề 2.2.2 đối với f

trên khoảng [a, x1] ta được

fs(η) > 0

với một vài η ∈ (a, x1) ⊂ (a, b) nào đó Tương tự áp dụng Bổ đề 2.2.2 đốivới f trên khoảng [a, x2] ta được

fs(ξ)6 0

với ξ ∈ (a, x2) ⊂ (a, b) nào đó Các trường hợp khác tương tự

Bây giờ ta chứng minh định lý giá trị tựa - trung bình đối với hàm khả

vi đối xứng

Định lý 2.2.3 Cho f liên tục trên [a, b] khả vi đối xứng trên (a, b) Khi

đó tồn tại η và ξ trong (a, b) sao cho fs(η) 6 f (b) − f (a)

Từ định lý trên, ta thấy rằng độ dốc của cát tuyến qua các điểm(a, f (a))

và (b, f (b)) có thể không bằng giá trị của đạo hàm đối xứng của f tại mộtđiểm trung gian Bây giờ câu hỏi đặt ra là điều kiện gì áp dụng cho đạohàm đối xứng của f để định lý giá trị trung bình sẽ đúng đối với hàm khả

vi đối xứng Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu đạo hàm đối xứng của f có tính chấtDarboux thì định lý giá trị trung bình sẽ đúng

Định nghĩa 2.2.4 Một hàm giá trị f xác định trên [a, b] được gọi là cótính chất Darboux nếu bất kì η và ξ trong[a, b], và y là số bất kỳ nằm giữa

f (η) và f (ξ), khi đó tồn tại một số γ nằm giữa η và ξ sao cho y = f (γ)

Ta biết từ việc tính toán rằng mỗi hàm liên tục có tính chất trung gian,nghĩa là có tính chất Darboux Tính chất Darboux được cho bởi một sốnhà toán học ở thế kỷ XIX là tương đương với tính chất của sự liên tục.Vào năm 1875, Darboux chứng tỏ rằng điều này là không hợp lý Có thếchứng tỏ rằng một hàm có tính chất Darboux có thể gián đoạn khắp nơi.Định lý 2.2.5 Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên (a, b).Nếu đạo hàm đối xứng của f có tính chất Darboux, khi đó tồn tại γ trong

(a, b) sao cho fs(γ) = f (b) − f (a)

Định lý 2.2.6 Chof (x) là liên tục và khả vi đối xứng trên (a, b) Nếu đạohàm đối xứng của f là liên tục trên(a, b) thìf0(x) tồn tại và f0(x) = fs(x).Chứng minh Chọn h đủ nhỏ để a < x + h < b Vì fs(x) là liên tục, nó cótính chất Darboux Áp dụng định lý trung bình đối với f trên [x, x + h],

2.3 Một số dạng suy rộng của định lý giá trị trung bình

Kết quả dưới đây được chứng minh bởi Reich (1969), là phiên bản đạohàm đối xứng của một kết quả được thiết lập bởi Trahan (1966) Kết quảnày suy rộng định lý tựa- trung bình cho hàm với đạo hàm đối xứng Với

f khả vi trên [a, b], ta áp dụng quy ước f0(b) = fs(b)

Định lý 2.3.1 Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên khoảng

mở (a, b) Giả sử f khả vi tại bên phải điểm cuối cùng b của [a, b] và

[f (b) − f (a)]f0(b) 6 0 Khi đó tồn tại các điểm η, ξ trong (a, b] sao cho

với η và ξ trong (a, b) bất kì

Giả sử [f (b) − f (a)]f0(b) < 0 Điều này kéo theo hoặc f0(b) < 0 và

f (b) > f (a) hoặc f0(b) > 0 và f (b) < f (a) Trong trường hợp đầu tiên, vì

f liên tục trên [a, b] và f (b) > f (a) với f giảm tại b, tồn tại một điểm y

trong (a, b) sao cho

f (y) > f (b) > f (a)

Do đó áp dụng Bổ đề 2.2.2 đối với f trên [y, b], ta được fs(ξ) 6 0 với

ξ ∈ (y, b) nào đó Tương tự áp dụng Bổ đề 2.2.2 đối với f trên [a, b], tađượcfs(η) > 0với η ∈ (a, b) nào đó Trường hợp f0(b) > 0 vàf (b) < f (a)

chứng minh tương tự

Trong định lý tiếp theo, ta trình bày một phiên bản của định lý giá trịtrung bình Flett cho các hàm khả vi đối xứng

Định lý 2.3.2 Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên khoảng

mở (a, b) Giả sử f khả vi tại các đầu mút a và b của [a, b] và

Rõ ràng, h là liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên (a, b] Hơn nữa,

Định lý 2.3.3 Cho f và g liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trênkhoảng mở (a, b) Hơn nữa, cho f và g cả hai đều khả vi tại các đầu mút a

và b của [a, b] với g0(a) 6= 0 6= g0(b) Giả sử g(x) 6= g(a) với mọi x ∈ (a, b]

g0(a) nếu x = a.

Và tiến hành các bước tương tự như chứng minh Định lý 2.3.2

2.4 Đạo hàm Dini của hàm thực

Tầm quan trọng của đạo hàm Dini đã được nhận thấy trong vài thập

kỷ qua khi các bài toán tối ưu hóa không trơn xuất hiện trong kinh tế và

kỹ thuật Các đặc điểm của đạo hàm Dini là chúng luôn luôn tồn tại vàthừa nhận các quy tắc tính toán thông dụng Mục này được đề cập đếnđạo hàm Dini của hàm giá trị thực một biến Ta sẽ trình bày một số tínhchất cơ bản của chúng, một tài liệu tổng quát của đạo hàm này có thể tìmthấy trong bài báo của Giorgi và Komlosi (1992) Ta bắt đầu mục này vớiđịnh nghĩa đạo hàm Dini và một số ví dụ minh họa

Định nghĩa 2.4.1 Cho f : (a, b) → R là một hàm giá trị thực và cho

c ∈ (a, b) là một điểm tùy ý Bốn đạo hàm Dini của f tại c được địnhnghĩa như sau:

trong đó δ là một số thực dương sao cho lân cận |x − c| < δ chứa trong

(a, b) Số f+(c) và f+(c) lần lượt được gọi là đạo hàm Dini phải trên vàđạo hàm Dini phải dưới của f tại c trong khi f−(c) và f−(c) lần lượt đượcgọi là đạo hàm Dini trái trên và đạo hàm Dini trái dưới của f tại c

quanh c và do đó f liên tục tại c.

Chứng minh Giả sử f không liên tục tại c Khi đó tồn tại một ε > 0 vàmột chuỗi cn hội tụ tới c sao cho |f (cn − f (c)| > ε Do đó

f (cn− f (c)

cn− c → ∞

khi cn → c Điều này kéo theo ít nhất một trong bốn đạo hàm Dini khônghữu hạn Đó là một mâu thuẫn

Định lý 2.4.4 Cho f là một hàm giá trị thực xác định trên [a, b], khi đó

Khi đó đạo hàm Dini của f được cho bởi f+(0) = 0,f−(0) = −∞,

f+(0) = 0, f−(0) = ∞ Điều này có thể nhìn thấy từ định nghĩa của đạohàm Dini Chẳng hạn,

Chứng minh Giả sử f+(c) > 0 và f−(c) > 0 Khi đó tồn tại x1, x2 ∈ [a, b]

với x1 < c < x2 sao cho

f (x) − f (c)

x − c > 0.

Điều này chứng tỏ rằng f tăng chặt địa phương tại c.

Tương tự, nếu f+(c) < 0 và f−(c) < 0, khi đó f tăng chặt địa phươngtại điểm c

Định lý 2.4.8 Chof : [a, b] → R là hàm giá trị thực xác định trên khoảng[a, b] Nếu f tăng chặt địa phương tại mọi điểm của [a, b] thì f tăng chặttrên [a, b]

Chứng minh Cho f là tăng chặt địa phương tại mỗi điểm của [a, b] Tamuốn chứng minh rằng f tăng chặt trên [a, b] Giả sử, f không tăng chặttrên [a, b] Khi đó tồn tại x1, x2 ∈ [a, b] sao cho x1 < x2 và

Định lý 2.4.4 Cho f hàm giá trị thực xác định [a, b],