Một số định lý xấp xỉ trong giải tích và ứng dụng

Trong giải tích cũng như trong nhiều bài toán ứng dụngkhi cho một hàm số bất kỳ, người ta mong muốn xấp xỉ nó bởi một hàm số có tínhchất "tốt hơn", chẳng hạn hàm đa thức, hàm lượng giác,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯƠNG THỊ MAI TRANG

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ

TRONG GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2020

TRƯƠNG THỊ MAI TRANG

Mục lục

1.1 Giới hạn và liên tục của hàm số 3

1.2 Tính khả vi của hàm số 6

2 Một số định lý xấp xỉ trong giải tích 12 2.1 Định lý xấp xỉ Weierstrass 12

2.1.1 Giới thiệu đa thức đại số 12

2.1.2 Định lý xấp xỉ Weierstrass 14

2.2 Định lý xấp xỉ Taylor 18

2.2.1 Định lý về giá trị trung bình 18

2.2.2 Đa thức Taylor 19

2.3 Định lý xấp xỉ Stone 26

2.3.1 Khái niệm và ví dụ 26

2.3.2 Các hệ quả của định lý Stone 31

2.4 Định lý xấp xỉ Newman 32

3 Ứng dụng trong giải toán sơ cấp 35 3.1 Tính giới hạn của hàm số 35

3.2 Chứng minh bất đẳng thức 38

Lý thuyết xấp xỉ là một trong những chủ đề quan trọng và nhận được nhiều sựquan tâm trong giải tích toán học cũng như toán ứng dụng Ngay cả khái nhiệm cơbản nhất trong giải tích là khái niệm giới hạn (giới hạn dãy số, giới hạn hàm số) cũngxuất phát từ ý tưởng xấp xỉ Trong giải tích cũng như trong nhiều bài toán ứng dụngkhi cho một hàm số bất kỳ, người ta mong muốn xấp xỉ nó bởi một hàm số có tínhchất "tốt hơn", chẳng hạn hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm phân thức hữu tỉ, Luận văn nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống một số định lý xấp

xỉ quan trọng giải tích, bao gồm Định lý xấp xỉ Weierstrass, Định lý xấp xỉ Taylor,Định lý xấp xỉ Stone, Định lý xấp xỉ Newman, Luận văn cũng đề cập đến một sốứng dụng quan trọng của các định lý xấp xỉ và giới thiệu một số bài toán nâng caophù hợp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở bậc trung học phổ thông

Ngoài Lời nói đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì Luận văn được cấu trúcthành ba chương Chương 1 trình bày một số kết quả cơ sở của giải tích cổ điển baogồm giới hạn, liên tục và khả vi của hàm số Chương 2 trình bày các định lý xấp xỉquan trọng trong giải tích Chương 3 dành cho việc giới thiệu một số ứng dụng củađịnh lý xấp xỉ Taylor trong các bài toán sơ cấp thông qua nhiều ví dụ và bài tập minhhoạ

Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm và muốn tìm hiểusâu hơn các vấn đề liên quan đến xấp xỉ trong giải tích

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơndưới sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân đây tôi xinđược bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi cũng biết ơn tất cả các thầy cô KhoaToán và Thống kê đã dạy dỗ, dìu dắt tôi trong suốt 2 năm học Thạc sỹ Tôi xin gửilời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) đã quan tâm,động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua Cuối cùng tôi xin được bày tỏ lòngkính trọng, biết ơn đối với bố, mẹ và gia đình và người thân của tôi

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn

1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở của giải tích cổ điển,bao gồm giới hạn và liên tục của hàm số, tính khả vi của hàm số Phép chứng minhchi tiết có thể tham khảo trong [3]

Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp E € R Số x0 P R được gọi là điểm giới hạn hay điểm

tụ của tập E nếu với mọi ε-lân cận Vεpx0q  tx P R : |x
x0|   εu của x0 thỏa mãn

rVεpx0q X Esztx0u  tx P E : 0   |x
x0|   εu  H

Ví dụ 1.2 1 Mọi x P ra, bs đều là điểm giới hạn của các tập pa, bq, ra, bq, pa, bs,

ra, bs

2 Số 0 là điểm giới hạn duy nhất của tập t1{n : n P Nu

Nhận xét 1.3 1 Điểm giới hạn của một tập E có thể thuộc hoặc có thể khôngthuộc tập E

2 Một điểm của tập E có thể là điểm giới hạn và cũng có thể không là điểm giớihạn của tập E Chẳng hạn, số 3P E1  p2, 3s là điểm giới hạn của E1, trong khi

đó 3P E2  p1, 2q Y t3u không là điểm giới hạn của E2

Điểm xP E gọi là điểm cô lập của E nếu x không là điểm giới hạn của E

Định nghĩa 1.4 Cho c là điểm giới hạn của D € R, và f : D Ñ R là hàm số xácđịnh trên D Số `P R được gọi là giới hạn của hàm số f khi x tiến đến c nếu

@ε ¡ 0, Dδ  δpεq ¡ 0, @x P D, 0   |x
c|   δ ùñ |fpxq
`|   ε

3

Ký hiệu lim

x Ñcfpxq  ` hoặc fpxq Ñ ` khi x Ñ c

Ta biết rằng sự tồn tại hay không tồn tại của lim

x Ñcfpxq phụ thuộc vào “dáng điệu”của f ở cả hai phía của c Ta có tình huống đơn giản hơn là trường hợp giới hạn mộtphía Ta có thể hình dung giới hạn bên trái của hàm số f là số mà fpxq dần về nó khi

x tiến đến c từ phía bên trái; và giới hạn bên phải của hàm số f là số mà fpxq dần về

nó khi x tiến đến c từ phía bên phải

Giả sử D € R, c P R là điểm giới hạn của D Ta ký hiệu

Định nghĩa 1.8 Cho f là hàm số xác định trên D€ R Ta nói rằng

ˆ f liên tục tại x0 P D nếu

@ε ¡ 0, Dδ  δpεq ¡ 0, @x P D, |x
x0|   δ ùñ |fpxq
fpx0q|   ε

ˆ f liên tục trên pa, bq € D nếu f liên tục tại mọi x P pa, bq

Nhận xét 1.9 1 Trong định nghĩa giới hạn hàm số lim

x Ñx 0

fpxq, ta không đòi hỏi

f xác định tại x0, và nếu f xác định tại x0 thì giá trị fpx0q không ảnh hưởngđến giới hạn này mà nó chỉ bị chi phối bởi các giá trị của f tại những điểm gầnvới x0 Tuy nhiên, trong trường hợp hàm số liên tục, ngoài các giá trị của f tạinhững điểm gần với x0 thì yêu cầu f xác định tại x0 và giá trị fpx0q là có ý nghĩaquyết định

2 Nếu x0 P D là điểm giới hạn thì f liên tục tại x0 khi và chỉ khi

xÑx 0

fpxq, hoặc giới hạn này tồn tại nhưng không bằng fpx0q Nói cách khác

Dε ¡ 0, @δ ¡ 0, DxδP D : |xδ
x0|   δ ñ |fpxδq
fpx0q| ¥ ε

Định nghĩa 1.10 Cho f là hàm số xác định trên ra, bs € R Ta nói rằng

ˆ f liên tục trái tại b nếu lim

Định lý 1.4 (Bolzano - Cauchy 1 - Giá trị trung gian) Giả sử f liên tục trên ra, bs

và fpaq.fpbq   0 Khi đó tồn tại c P pa, bq để fpcq  0

Định lý 1.5 (Bolzano - Cauchy 2 - Giá trị trung gian) Giả sử f liên tục trên ra, bs.Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữa fpaq và fpbq Tức là,

@C Pmintfpaq, fpbqu, maxtfpaq, fpbqu,Dc P ra, bs : fpcq  C

Hệ quả 1.6 Giả sử f liên tục trên ra, bs và m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giátrị lớn nhất của f trên ra, bs Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữa m và M Tứclà,

Chú ý rằng giới hạn này phụ thuộc vào x0 nên nếu f có đạo hàm tại mọi xP D €

pa, bq thì ta sẽ có một hàm số f1 xác định trên D và gọi là đạo hàm của hàm f trên D.

2 Xét hàm số fpxq  sin x Với mọi x0 P R ta có

Vì đạo hàm được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn, do đó một cách tự nhiên

ta cũng có khái niệm đạo hàm một phía

Định nghĩa 1.13 Hàm số f xác định trên pa, bq được gọi là có đạo hàm phải tại

x0 P pa, bq nếu tồn tại giới hạn phải

x  sin1

x.

Rõ ràng không tồn tại lim

x Ñ0
sinp1{xq cũng như lim

x Ñ0 sinp1{xq nên f không có đạohàm phải và đạo hàm trái tại x 0

Từ Định lý 1.1 về quan hệ giữa giới hạn và giới hạn một phía ta có định lý sau.Định lý 1.7 (Quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm một phía) Hàm số f xác địnhtrên pa, bq có đạo hàm tại x0 P pa, bq nếu và chỉ nếu f có các đạo hàm một phía và

Nhận xét 1.16 1 Từ định lý trên ta suy ra nếu f không có một trong hai đạohàm trái hoặc phải hoặc có cả hai đạo hàm trái và phải nhưng không bằng nhautại x0 thì f không có đạo hàm tại x0 Trong trường hợp sau, điểm px0, fpx0qq sẽ

là điểm góc của đồ thị hàm số f

2 Với cùng một phương pháp chứng minh như trong Định lý 1.8 ta nhận được(a) Nếu f có đạo hàm trái (phải) tại x0 thì f liên tục trái (phải) tại x0;

(b) Nếu f có đạo hàm trái và phải tại x0 thì f liên tục tại x0

Định lý 1.8 (Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục) Nếu hàm số f có đạo hàm tại

xP pa, bq thì f liên tục tại x

Nhận xét 1.17 Điều ngược lại của định lý trên nói chung không đúng Thật vậy, taxét hàm số fpxq  |x| Rõ ràng fpxq liên tục tại x  0 nhưng f không có đạo hàm tại

x 0

Định lý 1.9 (Đạo hàm hàm hợp) Nếu g có đạo hàm tại x và f có đạo hàm tại gpxqthì hàm hợp f  g có đạo hàm tại x và

pf  gq1pxq  f1 gpxq.g1pxq

Định lý 1.10 (Đạo hàm hàm ngược) Cho f là hàm đơn điệu nghiêm ngặt trên pa, bq

và có đạo hàm tại x P pa, bq với f1pxq  0 Khi đó hàm ngược f
1 của f có đạo hàm

tại y  fpxq và

pf
1q1pfpxqq  1

f1pxq.

Giả sử hàm số y  fpxq có đạo hàm tại x Khi đó

là một vô cùng bé bậc cao hơn so với ∆x khi ∆xÑ 0 Tức là ta có thể viết

∆y fpx ∆xq
fpxq  f1pxq∆x op∆xq khi ∆x Ñ 0 (1.1)

Mặt khác, vì f1pxq không phụ thuộc vào ∆x nên f1pxq∆x là một đại lượng tỷ lệvới ∆x Vậy ta có kết luận: Nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x thì tại điểm đó sốgia ∆y có thể phân tích thành tổng của một đại lượng tỷ lệ với số gia ∆x và một đạilượng vô cùng bé bậc cao hơn so với ∆x khi ∆xÑ 0

Ngược lại, nếu số gia ∆y tại x có thể viết dưới dạng

∆y  fpx ∆xq
fpxq  A∆x op∆xq khi ∆x Ñ 0, (1.2)trong đó A không phụ thuộc vào ∆x, thì f có đạo hàm tại x và f1pxq  A Thật vậy,

Tóm lại ta có kết quả sau

Định lý 1.11 Hàm số f có đạo hàm tại điểm x nếu và chỉ nếu tại x số gia ∆y có thểphân tích thành tổng của một đại lượng tỷ lệ với số gia ∆x và một đại lượng vô cùng

bé bậc cao hơn so với ∆x khi ∆xÑ 0 Hơn nữa

∆y  fpx ∆xq
fpxq  f1pxq∆x op∆xq khi ∆x Ñ 0 (1.3)Định nghĩa 1.18 Đại lượng f1pxq∆x trong (1.3) được gọi là vi phân của hàm số ftại x và ký hiệu là dy, tức là dy  f1pxq∆x

Hàm số f được gọi là khả vi tại x nếu nó có vi phân tại x Nếu hàm số f khả vi tạimọi xP D € Df ta nói f khả vi trên D

Định nghĩa 1.19 Giả sử hàm số fpxq có đạo hàm f1pxq trong pa, bq Khi đó rõ ràng

ˆ khả vi liên tục cấp n trên I € R nếu f khả vi cấp n trên I và hàm số fpnq liên

tục trên I Lúc đó ta nói f thuộc lớp Cn trên I và viết f P CnpIq Trong trườnghợp n 1 ta nói f khả vi liên tục trên I

ˆ khả vi vô hạn trên I € R nếu f khả vi vô hạn lần trên I Lúc đó ta nói f thuộclớp C8 trên I và viết f P C8pIq

Chú ý, ta quy ước sẽ nói f là đạo hàm cấp không của nó, tức là fpxq  fp0qpxq.Định lý 1.13 (Các quy tắc tính đạo hàm cấp cao) Giả sử các hàm số f và g khả vicấp n tại x0 Khi đó

Công thức (1.4) được gọi là công thức Leibniz.

Các định lý giá trị trung bình của phép tính vi phân đóng một vai trò quan trọngtrong giải tích toán học Trong phần này ta sẽ giới thiệu và chứng minh ba định lý giátrị trung bình, đó là Định lý Rolle, Định lý Lagrange và Định lý Cauchy

Định lý 1.14 (Rolle) Giả sử hàm số f liên tục trên ra, bs, khả vi trên khoảng pa, bq

và fpaq  fpbq Khi đó tồn tại c P pa, bq sao cho f1pcq  0

Định lý 1.15 (Lagrange) Giả sử hàm số f liên tục trên ra, bs, khả vi trên khoảng

pa, bq Khi đó tồn tại c P pa, bq sao cho

fpbq
fpaq

b
a  f1pcq.

Hệ quả 1.16 Giả sử hàm số f liên tục trên ra, bs và f1pxq  0 với mọi x P pa, bq Khi

đó f là hàm hằng trên ra, bs

Dưới đây là một kết quả tổng quát hơn so với Định lý Lagrange

Định lý 1.17 (Cauchy) Giả sử các hàm số f và g liên tục trên ra, bs, khả vi trênkhoảng pa, bq và g1pxq  0 với mọi x P pa, bq Khi đó tồn tại c P pa, bq sao cho

fpbq
fpaq

gpbq
gpaq 

f1pcq

g1pcq.

Chương 2

Một số định lý xấp xỉ trong giải tích

Ý tưởng xấp xỉ là một trong những ý tưởng quan trọng nhất của giải tích toán học.Trong chương này chúng tôi trình bày một số định lý xấp xỉ cổ điển và quan trọng củagiải tích toán học

Trước khi phát biểu và chứng minh các kết quả chính của phần này, ta trình bàymột lược đồ tổng quát để xây dựng đa thức đại số và đa thức lượng giác tiện lợi choviệc biểu diễn xấp xỉ của các hàm số Một số bất đẳng thức liên quan đến hàm số sin tcũng được đưa ra.

fpuqKnpt
uq du

là một đa thức lượng giác có bậc¤ n có được từ đa thức hạt nhân Kn

Nói tóm lại, các đa thức Ppxq và Tnpxq nhận được nhờ vào nhân đa thức Kn

2 Các bất đẳng thức quan trọng sau đây đúng

2.1.2 Định lý xấp xỉ Weierstrass

Định lý 2.1 (Weierstrass, [5]) Cho hàm số f liên tục trên đoạn ra, bs và ε ¡ 0 Khi

đó tồn tại một đa thức đại số Ppxq sao cho

|fpxq
P pxq|   ε @x P ra, bs (2.5)Chứng minh Trên đoạn r
1, 1s, xét đa thức Chebyshev bậc 2n 1 dạng

3 γn¡ n, n  1, 2,

Thật vậy, theo cách xác định γn từ (2.7), T2n 1 là lẻ (tính chất 2) và các bất đẳng

2
arcsin xqx

sinp2n 1qt2sin2t

2

cost

2dt¡

» π 2n 1

0

sinp2n 1qt2sin2t

0

2t

π

2n 1 2 t 2

2

1

2dt 2

» π 2n 1

0

2n 1π

cosp2n 1q arccos x

2

¤ 1n

»1 δ

dx

x2   1

nδ (2.8)

Ta đã chứng minh định lý Weierstrass trên đoạn r
1, 1s

Trên đoạnr
2, 2s, hàm số f được thác triển liên tục bằng cách đặt

0  δ   1 sao cho với mọi x1 và x2 thuộc r
2, 2s và |x1
x2|   δ, ta có

|fpx1q
fpx2q|   ε

2.Với n 1, 2, , ta xác định đa thức Pn bậc nhỏ hơn hoặc bằng 4n bằng cách đặt

dt

Bằng phép đổi biến t
x

3  η, ta được

Pnpxq 

» 2
x 3 p
2
xq 3

Với xP r
1, 1s ta kết luận

|fpxq
Pnpxq|  

» δ 3

δ 3

|fpxq
fp3η xq|Knpηqdη

» δ 3

1

»1

δ 3

|fpxq|Knpηqdη

»
δ 3 p
2
xq 3

» 2
x 3 δ 3

|fpxq
Pnpxq|   ε

Như vậy Định lý Weierstrass đã được chứng minh trong trường hợp a
1 và b  1.Tiếp theo ta chứng minh định lý cũng đúng trong trường hợp a, b là 2 số bất kì Tađổi biến

và từ (2.9) và (2.10) ta kết luận

|fpxq
Pnpxq|  |ϕpuq
πnpuq|   ε

Nhận xét 2.2 Định lý trên có thể được chứng minh theo một cách khác bằng cách

sử dụng đa thức Bernstein Cụ thể là, cho hàm số f P Cr0, 1s Đa thức bậc n được chobởi

đồng thời φpxq bằng 0 tại mọi điểm thuộc lân cận đủ nhỏ của kπ

Vì ánh xạ x  arccos y là một phép đồng phôi từ đoạn r
1; 1s vào r0, πs nên cáchàm số

f parccos yq và φparccos yq

sinparccos yqliên tục trên đoạn r
1, 1s Do vậy bằng cách áp dụng định lý xấp xỉ Weierstrass chocác hàm số này, ta tìm được các đa thức Ppyq và Qpyq thỏa mãn

f pxq
P pcos xq  ε và φpxq
psin xqQpcos xq  εvới mọi 0¤ x ¤ π Hơn thế nữa các bất đẳng thức trên cũng đúng với mọi x P R nhờvào tính chất chẵn của f pxq, P pcos xq và nhờ vào tính chất lẻ của φpxq, psin xqQpcos xq

và nhờ vào tính chất tuần hoàn của các hàm này Từ đó suy ra

fpxq
P pcos xq
psin xqQpcos xq

¤f pxq
P pcos xq f
pxq
φpxq

φpxq
psin xqQpcos xq

  3εvới mọi xP R

Dễ dàng nhận thấy mỗi hàm coskx có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tínhcủa 1, cos x, , cos kx và mỗi hàm psin xq coskx có thể được viết dưới dạng tổ hợptuyến tính của sin x, sin 2x, , sin kx Định lý được chứng minh

với ít nhất 1 điểm c thuộc ra, bs

Bổ đề 2.4 Nếu fpxq và gpxq ¥ 0 liên tục trên đoạn ra, bs thì

P3100pxq  10 2

20
228000

phụ thuộc vào ∆x và n, càng gần đến 0 khi ∆x càng nhỏ và n càng lớn Đa thức Taylorcủa fpxq với n  0, Pa

0pxq  fpaq cho ta xấp xỉError  fpxq
fpaq  f1paqpx
aq  f1paq∆x

Với 0¤ t ¤ 1, ta có

fpxq
fpaq  f1 a tpx
aqpx
aq  f a t∆x∆x (2.13)Mặt khác

f1pa t∆xq∆xdt  Pa

0pxq Ra

0pxqvới cách đặt

Ra0pxq  px
aq

»1 0

f1pa tpx
aqqdt  ∆x

»1 0

f1pa t∆xqdtĐây là trường hợp cụ thể của Định lý Taylor

Định lý 2.5 (Taylor, [4]) Nếu hàm số fpxq có đạo hàm liên tục đến cấp n 1 trongmột khoảng chứa a và x thì

fpxq  fpaq f1paqpx
aq f ”paq

2! px
aq2    fpnqpaq

n! px
aqn

Ranpxq, (2.15)trong đó

Ranpxq  px
aqn 1

n!

»1 0

ϕp1q  ϕp0q

»1

0

ϕ1ptqdt

rồi sử dụng tích phân từng phần

»β α

pt Cqf”pa t∆xq∆xdt

 ∆xf1pa ∆xqp1 Cq
∆xf1paqC
p∆xq2

»1 0

fp3qpa t∆xqp1
tq2dtloooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon

Ra2pxq

Giả sử định lý Taylor đúng với n k nghĩa là fpxq  Pa

kpxq Ra

kpxq Ta chứng minhđịnh lý đúng với n k 1 tức là fpxq  Pa

npxq tiến đến 0 nhanhhơn px
aqn 1 Điều trên là hoàn toàn đúng, để hiểu vì sao chúng ta viết lại Ra

npxq ởdạng khác

Hệ quả 2.6 (Phần dư Lagrange, [4]) Với x a, tồn tại θ  θpx, aq với 0 ¤ θ ¤ 1 saocho

fpn 1qpa t∆xqp1
tqndt

 p∆xqn 1fpn 1qpa θ∆xq

n!

»1 0