Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác thiết lập từ hàm lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2020... Mục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC

THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mục lục

1 Bất đẳng thức hình học trong tam giác được thiết lập từ bất đẳng

1.1 Hàm lồi và một số tính chất 6

1.2 Bất đẳng thức Jensen và một số bất đẳng thức liên quan 7

1.3 Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác được thiết lập từ đồng nhất thức 12

1.4 Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác được thiết lập từ một bất đẳng thức 19

2 Quan hệ trội và một số bất đẳng thức trong tam giác được thiết lập từ các quan hệ trội 26 2.1 Các định nghĩa và tính chất liên quan 26

2.2 Quan hệ trội giữa độ dài các cạnh và một số bất đẳng thức liên quan 29 2.2.1 Trong tam giác bất kỳ 29

2.2.2 Trong tam giác cân 34

2.2.3 Trong tam giác tù 35

2.3 Quan hệ trội giữa các góc và một số kết quả 36

2.3.1 Hàm sin 37

2.3.2 Hàm cosin 43

2.3.3 Hàm tang 45

2.4 Quan hệ trội giữa các yếu tố khác và một số bất đẳng thức 48

2.4.1 Cạnh và góc trong tam giác 482.4.2 Chiều cao và bán kính đường tròn bàng tiếp của tam giác 522.4.3 Cạnh, bán kính đường tròn bàng tiếp và trung tuyến của tam giác 54

Danh mục chữ viết tắt và ký hiệu

a , b, c Độ dài các cạnh của tam giác ABC

s a b c

2 Nửa chu vi tam giác ABC

A , B, C Các góc hoặc các đỉnh của tam giác ABC

h a ; h b ; h c Các đường cao tương ứng từ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC

R , r Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC

r a ; r b ; r c Bán kính đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C

F P A( F P B) F là hàm lồi không giảm (lồi không tăng) trên miền xác định

F P C (F P D) F là hàm lõm không tăng (lõm không giảm) trên miền xác định

: maxpx; y; zq nếu k  8

Lời nói đầu

Bất đẳng thức là một trong những nội dung khó trong chương trình toán trung họcphổ thông, thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Đặc biệt,việc đưa ra hay chứng minh các bất đẳng thức hình học trong tam giác, là các bấtđẳng thức liên hệ giữa các đại lượng trong tam giác như: cạnh, góc, diện tích, bán kínhđường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, , thường không dễ dàng Các vấn đề đó đã thu hútrất nhiều người học, làm và nghiên cứu về toán từ những năm trước Cho đến hiện tạithì đây vẫn là một đề tài đa dạng, và nhận được sự quan tâm của rất nhiều người.Chúng ta biết rằng, bất đẳng thức liên quan đến các đối tượng áp dụng, các quyluật áp dụng và liên hệ đa chiều với các chuyên ngành Toán khác nhau Do đó, mộtvấn đề quan trọng được đặt ra trong lĩnh vực này, là nghiên cứu nguồn gốc, bản chấtcủa các bất đẳng thức hình học trong tam giác để có góc nhìn tổng quan hơn

Hàm lồi, Schur- lồi (tương ứng, lõm; Schur- lõm) là một trong những lớp hàm có nhiềuứng dụng quan trọng trong chương trình toán trung học phổ thông, đặc biệt là cácứng dụng trong việc đề xuất hay chứng minh bất đẳng thức

Trong luận văn, chúng tôi nghiên cứu một số bất đẳng thức hình học trong tamgiác được thiết lập từ các hàm lồi (tương ứng, lõm), đặc biệt là bất đẳng thức Jensen,bất đẳng thức liên quan và các áp dụng hàm lồi, hàm Schur-lồi (tương ứng, Schur-lõm)vào các quan hệ trội của các đại lượng hình học trong tam giác Trên cơ sở đó, chúngtôi đề xuất một số bất đẳng thức mới liên quan đến các đại lượng trong tam giác dựatrên một số hàm lồi (lõm) đặc biệt

Ngoài mục lục, danh mục các ký hiệu, phần mở đầu và phần kết luận, nội dungcủa luận văn được chúng tôi trình bày trong 2 chương:

Chương 1 Bất đẳng thức hình học trong tam giác được thiết lập từ bất đẳng thức Jensen và các bất đẳng thức liên quan.

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về các bất đẳngthức, các tính chất và áp dụng Một số bất đẳng thức liên hệ giữa các đại lượng hìnhhọc trong tam giác bởi các hàm lồi (tương ứng, lõm) tổng quát, dưới dạng mệnh đề.Xen vào đó, là một số kết quả đặc biệt, dưới dạng hệ quả

Chương 2 Quan hệ trội và một số bất đẳng thức trong tam giác được thiết lập từ các quan hệ trội.

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về bộ trội, các định nghĩa

về các hàm lồi, các quan hệ trội giữa các đại lượng hình học trong tam giác và các kếtquả đạt được khi được áp dụng các hàm lồi cụ thể cũng dưới dạng mệnh đề, hệ quả

Đề tài này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học và tận tình của PGS TS

Lê Công Trình Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy đã nhận lời hướng dẫn, giúp

đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Nhân đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu Trường Đại họcQuy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý Thầy Côgiáo giảng dạy lớp cao học Toán chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp khóa 21,

đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập vànghiên cứu thực hiện đề tài Đồng thời, tôi cũng không quên cảm ơn đến các bạn cùnglớp, người thân đã động viên, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tôi trong thời gian qua.Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân, nhưng

do điều kiện về thời gian học tập, công tác có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệmnghiên cứu còn hạn chế nên chắc chắn luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Chúngtôi rất mong nhận được những góp ý thẳng thắn, xây dựng của quý thầy cô giáo vàcác bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn

Quy Nhơn, tháng 05 năm 2020

Học viên

Nguyễn Trường Huynh

Chương 1

Bất đẳng thức hình học trong tam giác được thiết lập từ bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức liên quan

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị như hàm lồi(tương ứng, lõm) và các tính chất có liên quan, bất đẳng thức Jensen, một số bất đẳngthức sinh ra từ bất đẳng thức Jensen, cùng với một số áp dụng của bất đẳng thứcJensen để đưa ra một số bất đẳng thức liên hệ giữa các đại lượng hình học trong tamgiác

Trong toàn bộ luận văn này, chúng tôi kí hiệu I thay cho Ipa; bq và BĐT thay cho Bất

đẳng thức Và cuối chương, chúng tôi trình bày hệ thống một số các bất đẳng thứchình học trong tam giác dựa vào các hàm lồi đặc biệt Nội dung chủ yếu được lấy ra

từ tài liệu tham khảo [2] và [4] trong luận văn này

Định nghĩa 1.1.1. Hàm số fpxq được gọi là hàm lồi (lồi dưới) trên I € R nếu với mọi

x, y P I và với mọi cặp số dương α, β thoả mãn α β  1, ta đều có

f pαx βyq ¤ αfpxq βfpyq.

Nếu dấu ”  ” trên xảy ra khi và chỉ khi x  y, thì ta nói hàm số fpxq là lồi thực sự

Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn hàm lồi) Nếu fpxq khả vi bậc hai trên I thì fpxq lồi (lõm)

trên I khi và chỉ khi f2pxq ¥ 0 pf2pxq ¤ 0q trên I.

Với mọi hàm lồi chặt, đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi : x1  x2   x n

Chú ý 1.2.1 Khi hàm f là hàm lõm trên tập mở I thì ta có BĐT ngược lại với

BĐT (1.2.1) Và với mọi hàm lõm chặt thì dấu ”  ” trên xảy ra khi và chỉ khi

x  x   x

Định lý 1.2.2 (BĐT Jensen tổng quát) Cho f là hàm liên tục và lồi trên I.

Nếu x1, x2, , x n P I và t1, t2, , t n P p0; 1q sao cho t1 t2 t n  1, ta có

f pt1x1 t2x2 t n x n q ¤ t1f px1q t2f px2q t n f px n q. (1.2.2)

Với mọi hàm lồi chặt, đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi: x1  x2   x n

Chú ý 1.2.2 Khi hàm f là hàm lõm liên tục trên tập mở I thì ta có BĐT ngược lại

với BĐT (1.2.2) Và với mọi hàm lõm chặt thì dấu ”  ” trên xảy ra khi và chỉ khi

Nếu hàm f là hàm lõm trên tập mở I thì ta có BĐT ngược lại.

Hệ quả 1.2.2. Cho f là hàm liên tục và lồi trên I Khi đó với mọi x i thuộc I, với mọi

Nếu hàm f là hàm lõm trên tập mở I thì ta có BĐT ngược lại.

Hai định lý sau được đưa ra dựa vào BĐT Jensen

Định lý 1.2.3 (M Petrovic) [4] Cho f : r0; 8q Ñ R là một hàm lồi và a, b, c là

các cạnh của một tam giác Khi đó ta có

Chứng minh. Áp dụng BĐT Jensen với

Vậy vế trái được chứng minh

Tương tự, áp dụng BĐT Jensen, với các điều kiện ban đầu cho ba biến x, y, z và các

Bây giờ, chúng ta sử dụng giả thiết đã cho với x  s
a, y  s
b, z  s
c, nên ta

có vế phải được chứng minh Vậy định lý đã được chứng minh

Ta xét một số ví dụ khi áp dụng hai BĐT trên vào một tam giác với giả sử rằng:

Ví dụ 1.2.4 Cho tam giác ABC Khi đó ta có

1.3 Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác

Nếu F là hàm lõm, ta có BĐT ngược lại.

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp hàm F lồi, trường hợp còn lại chứng minh tương tự Thật vậy, áp dụng BĐT Jensen cho hàm lồi F ta có

nΦ .

Vậy ta có điều phải chứng minh

Chú ý 1.3.1. Nếu F là lồi với x ¥ 0 và nếu F p0q  0 thì do Định lý 1.2.4, ta có

Áp dụng BĐT (1.3.3) ta có điều phải chứng minh.

Một số kết quả suy ra từ Mệnh đề 1.3.1, được chỉ ra sau đây

x Khi đó F pxq lồi Áp dụng Mệnh đề 1.3.1 cho hàm lồi F ,

ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 1.3.2.

?

s ?s
a ?s
b ?s
c ¤?3s. (1.3.6)Đẳng thức xảy ra nếu tam giác là đều

Hệ quả 1.3.3.

3
s3 n ¤ ps
aq n ps
bq n ps
cq n ¤ s n

pn ¥ 2q (1.3.7)Đẳng thức xảy ra nếu tam giác là đều

Chứng minh Xét F pxq  x n , pn ¥ 2, n P Rq Khi đó

F2pxq  npn
1qx n
2 ¥ 0, x ¡ 0.

Nên F pxq là hàm lồi Áp dụng Mệnh đề 1.3.1 cho hàm lồi F , ta được điều phải chứng

minh

Nhằm tránh việc lặp lại không cần thiết, chúng ta giả thiết rằng trong mỗi mệnh

đề sau đây, nếu F P C x - nón lồi (tương ứng, F P C v- nón lõm) thì BĐT ở vế phải

(tương ứng, vế trái) có thêm điều kiện x ¥ 0 và F p0q  0.

Mệnh đề 1.3.2 Cho tam giác ABC Nếu F pxq là hàm lồi với x ¥ 0 và F p0q  0 thì

Đẳng thức xảy ra nếu tam giác là đều

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.3.2 cho hàm lồi F pxq  1

x, ta có điều phải chứngminh

r .

Đẳng thức xảy ra nếu tam giác là đều

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.3.2 cho hàm lõm F pxq ?x, ta có điều phải chứngminh

r a nên Mệnh đề 1.3.1 và Mệnh đề 1.3.2 là tương đương

Mệnh đề 1.3.3 Cho tam giác ABC Nếu F pxq là hàm lồi với x ¥ 0 và F p0q  0 thì

?

r . Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.3.3 cho hàm lõm F pxq ?x, ta có điều phải chứngminh

Hệ quả 1.3.7.

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.3.3 cho hàm lồi F pxq  1

x, ta có điều phải chứngminh

Mệnh đề 1.3.4 Cho tam giác ABC Nếu F pxq là hàm lồi với x ¥ 0 và F p0q  0 thì

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.3.4 cho hàm lồi F pxq  x n , pn ¥ 1, n P Rq, ta có

điều phải chứng minh

Tương tự, ta có hệ quả sau đây

Mệnh đề 1.3.5 Với mọi tam giác ABC Nếu F pxq là hàm lồi với x ¥ 0 và F p0q  0

Hệ quả 1.3.11.

c

2R
r 2R ¤ sin

2

1sin2B

2

1sin2C

2 tan

B

2

ctanB

2 tan

C

2

ctanC

Hệ quả 1.3.17.

1c

tan A2 tanB2

1ctanB2 tan C2

1ctan C2 tanA2

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có các kết quả sau

Nếu F P A (tập các hàm lồi không giảm ) và

Φ1  sin2A, Φ2  sin2B, Φ3  sin2C.

Nên áp dụng Định lý 1.4.1 với F P D, x ¡ 0 ta được điều cần chứng minh.

Chú ý 1.4.1. Với

sin2A sin2B sin2C ¤ 9

4 và Φ1  sin2A, Φ2  sin2B, Φ3  sin2C.

Nếu áp dụng Định lý 1.4.1 với F P B ta được

2 .

bq?sin A ?sin B ?sin C ¤ 3.4

c3

4.

c q M k psin A, sin B, sin Cq 

1

3 sink A sink B sink C

1

k

¤

?3

2 , p0   k ¤ 2q.

Nên F lõm, không giảm Áp dụng Mệnh đề 1.4.1, ta được

log sin2A log sin2B log sin2C ¤ 3 log34.

Nên

logpsin2Asin2Bsin2Cq ¤ p34q3.

Vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.4.2 Cho tam giác ABC, với mọi hàm F pxq lồi không giảm và x ¡ 0 thì

¸

FptanA2q ¥ 3F p

?3

Các đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều.

Chứng minh Theo [2], Mục 2.33 tr 27 ta có

tanA2 tanB2 tanC2 ¥?3.

Vậy nên, áp dụng Định lý 1.4.1 với F P A, x ¡ 0 ta được điều cần chứng minh.

Chú ý 1.4.2. Với

tan A2 tanB2 tanC2 ¥?3 và Φ1  tanA2, Φ2  tanB2, Φ3  tanC2.

Nếu áp dụng Định lý 1.4.1 với F P C, x ¡ 0 ta được

¸

FptanA2q ¤ 3F p

?3

3 q.

cotA2 cotB2 cot C2 ¥ 3?3.

Nên áp dụng Định lý 1.4.1 với F P A, x ¡ 0 ta được điều cần chứng minh.

Tương tự khi xét một số hàm số F pxq, ta thu được kết quả sau

Chứng minh Xét F pxq  x n pn ¥ 1, n P Rq, ta có F P Apx ¡ 0q Khi đó, áp dụng Mệnh

đề 1.4.6 ta được điều cần chứng minh

Tương tự Mệnh đề 1.4.1, ta có mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1.4.7 Cho tam giác ABC, với mọi hàm F P B, x ¡ 0 Khi đó ta có

¸

Fpsin2

Các đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều.

Hệ quả 1.4.10 Với mọi a ¥ 1, ta có

Nên áp dụng Mệnh đề 1.4.7 với F P B, x ¡ 0 ta được điều cần chứng minh.

Do vậy, với mỗi giá trị của a, ta có thể hình thành một số BĐT khác.

Chương 2

Quan hệ trội và một số bất đẳng

thức trong tam giác được thiết lập

từ các quan hệ trội

Trong chương này chúng tôi trình bày các loại quan hệ trội, hàm S-lồi, tựa lồi, trên

cơ sở đó trình bày các BĐT hình học trong tam giác sinh ra từ các quan hệ trội vàhàm S-lồi Nội dung chủ yếu trong chương này được tổng hợp và trình bày lại từ cáctài liệu [4], [7], [10], [11], [13], [14]

Định nghĩa 2.1.1. Cho hai bộ số tx n u , ty n u thỏa điều kiện: x1 ¥ x2 ¥ ¥ x n ; y1 ¥

y2 ¥ ¥ y n Khi đó, bộ py1; y2; ; y n q gọi là được làm trội bởi bộ px1; x2; ; x nq kí

hiệu x ¡ y hay y   x nếu

được gọi là Schur-lồi (S-lồi) trên A nếu:

Hiển nhiên, F là S-lõm khi và chỉ khi
F là S-lồi.

Định nghĩa 2.1.3. Một hàm F : I n Ñ R được gọi là tựa lồi nếu với mọi λ P r0; 1s, với mọi x, y P I n ta có

F pλx p1
λqyq ¤ max(F pxq, F pyqq.

Định lý 2.1.1 Cho I € R là một khoảng mở và F : I n Ñ R là hàm khả vi liên tục.

Điều kiện cần và đủ để F là S-lồi trên I n là F phải đối xứng trên I n và

Định lý 2.1.2 Nếu F đối xứng và lồi thì F là S- lồi.

Định lý 2.1.3 Một hàm nhận giá trị thực F xác định trên tập A€ Rn thoả mãn

x wy ñ F pxq ¤ F pyq

nếu và chỉ nếu F tăng và S- lồi trên A.

Định lý 2.1.4 Nếu I € R là một khoảng và g : I Ñ R là hàm lồi, thì

Định lý 2.1.5 Nếu F đối xứng và tựa lồi thì F là S- lồi.

Chú ý rằng các định lý trên chỉ ra cách để tạo ra được các hàm S- lồi từ các hàmlồi và hàm tựa lồi

Định nghĩa 2.1.4. Cho x  px1, x2, , x n q Hàm T k pxq được gọi là hàm đối xứng sơ

cấp cơ bản thứ k của x nếu có dạng

Mệnh đề 2.1.1 Hàm T k pxq là hàm tăng và S- lõm trên R n , ptrong đó R  r0, 8qq.

Nếu k ¡ 1 thì hàm T k pxq là hàm S- lõm chặt trên R n , ptrong đó pR  p0, 8qq.

là một hàm lõm với xP Rn Nên F k,p pxq là hàm S-lõm trên x P R n , 1 ¤ p ¤ k ¤ n.

Định lý 2.1.7 Nếu F i là S-lồi (lõm) với i  1, , n và F i pxq ¥ 0 với mọi i và x thì

x1 ¥ y1

x1 x2 ¥ y1 y2

x1 x2 x3 ¥ y1 y2 y3

x1 x2 x n
1 ¥ y1 y2 y n
1

x1 x2 x n  y1 y2 y n

Khi đó, với mọi hàm số F pxq lồi, tức là F2pxq ¥ 0 trên R, ta đều có

F px1q F px2q F px n q ¥ F py1q F py2q F py n q (2.1.1)

Tương tự, với mọi hàm số F pxq lõm, tức là F2pxq ¤ 0 trên R, ta đều có

F px1q F px2q F px n q ¤ F py1q F py2q F py n q (2.1.2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x i  y i , i  1, 2, , n.

bất đẳng thức liên quan

Trong phần này, ký hiệu x  s
a, y  s
b, z  s
c.

2.2.1 Trong tam giác bất kỳ

Định lý 2.2.1 Nếu ABC là tam giác bất kỳ thì ta luôn có

Và a   b c nên 2a   a b c ñ a   s Do đó ta có 2s3 ¤ a   s.

Lập luận tương tự cho a b ta cũng có được 4s3 ¤ a b   2s.

Vậy Công thức (2.2.1) đã được chứng minh

Từ đó, theo định nghĩa của hàm S- lồi (S- lồi chặt), ta nhận được kết quả sau

Hệ quả 2.2.1. Cho tam giác ABC Nếu F là hàm S- lồi liên tục (lồi chặt) thì

&

''

s ¡ a

s ¡ b

c 0

.

2 Áp dụng Định lý 2.1.8 với hàm lồi F pxq  x2 và bộ trội (2.2.2), ta vẫn có được BĐT (2.2.6).

Mệnh đề 2.2.2 Cho tam giác ABC bất kỳ, ta luôn có

Mệnh đề 2.2.3 Cho tam giác ABC, với d ¥ 0 tuỳ ý Ta có