Cơ sở chuẩn tắc của iđêan trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Mở đầuLý thuyết cơ sở chuẩn tắc trong vành các chuỗi lũy thừa được hìnhthành từ các công trình của Hironaka 1964 và Grauert 1972.. Chương 1 trình bày một số kiến thức liên quan đến vành

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

2.1 Định lý chia Grauert 152.2 Cơ sở chuẩn tắc và một số tính chất của cơ sở chuẩn tắc 222.3 Một áp dụng của cơ sở chuẩn tắc 30Kết luận 37

Mở đầu

Lý thuyết cơ sở chuẩn tắc trong vành các chuỗi lũy thừa được hìnhthành từ các công trình của Hironaka (1964) và Grauert (1972) Lýthuyết này đóng vai trò quan trọng, là cơ sở cho các tính toán tronghình học giải tích địa phương, và có nhiều áp dụng trong các lĩnh vựchình học đại số và lý thuyết kỳ dị Do đó, việc tìm hiểu lý thuyết cơ sởchuẩn tắc trong vành các chuỗi lũy thừa là cần thiết và là tiền đề choviệc nghiên cứu các bài toán liên quan trong các lĩnh vực này

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo bao gồmgồm hai chương

Chương 1 trình bày một số kiến thức liên quan đến vành các chuỗilũy thừa hình thức, iđêan đơn thức và thứ tự đơn thức được dùng trongluận văn

Chương 2 tìm hiểu và trình bày về Định lý chia Grauert, cơ sở chuẩntắc và một số tính chất của cơ sở chuẩn tắc, và một áp dụng của cơ sởchuẩn tắc trong vấn đề tính toán

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắcđến TS.Phạm Thùy Hương, cô đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và tạomọi điều kiện trong quá trình học tập và nghiên cứu để tôi có thể hoànthành luận văn này một cách tốt nhất Tôi xin chân thành cảm ơn Ban

giám hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Toán học trường đại học Quy Nhơncùng quý thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong quá trìnhhọc tập tại trường Nhân đây, tôi cũng xin cảm ơn các anh, chị học viêntrong lớp Đại số và Lý thuyết số khóa 21, gia đình và bạn bè đã giúp

đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nênbên cạnh những kết quả đã đạt được, luận văn không thể tránh khỏinhững hạn chế và thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý củaquý thầy giáo, cô giáo và độc giả để luận văn được hoàn thiện hơn

Ngày 10 tháng 9 năm 2020Học viên thực hiện

Võ Thanh Thiện

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về vành các chuỗi lũythừa hình thức, iđêan đơn thức và thứ tự đơn thức, là cơ sở cho việcnghiên cứu cơ sở chuẩn tắc của iđêan trong vành các chuỗi lũy thừa hìnhthức ở chương 2 của luận văn

Trong toàn bộ luận văn, K[x] = K[x1, , xn] ký hiệu vành đa thức

n biến trên trường K Ký hiệu x = (x1, , xn) là các biến và α =(α1, , αn) ∈ Nn Với α = (α1, , αn) ∈ Nn, ta viết xα = xα1

1 · · xα n

n

và gọi là một đơn thức n biến Ký hiệu M onn = {xα | α ∈ Nn} là tậphợp các đơn thức n biến trong K[x] Ký hiệu hxi = hx1, , xni ⊂ K[x]

Mục này trình bày một số kiến thức cơ bản về vành các chuỗi lũy thừahình thức Các kết quả trong mục này được trích dẫn từ [3] và [5]

Định nghĩa 1.1.1 (1) Một biểu diễn P

α∈N n

aαxα, trong đó aα ∈ K, đượcgọi là một chuỗi lũy thừa hình thức Một chuỗi lũy thừa hình thức cũngđược ký hiệu bởi

∞

P

|α|=0

aαxα hoặc P aαxα

(2) Ký hiệu K[[x]] = { P

α∈N n

aαxα | aα ∈ K, α ∈ Nn} là tập tất cả cácchuỗi lũy thừa hình thức n biến với hệ số trong K Trên K[[x]] ta địnhnghĩa phép toán cộng và nhân như sau

α+β=γ

aαbβ



xγ

Khi đó K[[x]] cùng với hai phép toán trên là một vành giao hoán có đơn

vị, được gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức n biến trên trường K

(2) Một dãy {fν}ν∈N, fν ∈ K[[x]], được gọi là một dãy Cauchy nếu vớimọi k ∈ N, tồn tại l ∈ N sao cho

fν − fm ∈ mk với mọi ν, m ≥ l

(3) Một dãy {fν}ν∈N, fν ∈ K[[x]] được gọi là một dãy hội tụ nếu tồntại một f ∈ K[[x]] sao cho với mọi k ∈ N, tồn tại một l ∈ N thỏa mãn

f − fν ∈ mk với mọi ν ≥ l

Khi đó f được xác định duy nhất và ta viết f = lim

ν→∞fν.(4) Một chuỗi

lim

ν→∞(fνgν) = lim

ν→∞fν · lim

ν→∞gν.Định lý 1.1.6 K[[x]] là đầy đủ, nghĩa là mọi dãy Cauchy trong K[[x]]

là hội tụ, và Hausdorff đối với tôpô m-adic

Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan I ⊂ K[x] được gọi là một iđêan đơn thứcnếu I có một hệ sinh là tập các đơn thức.

Cho xα, xβ ∈ M onn Ta nói rằng xβ chia hết cho xα hay xα chia hết

xβ, ký hiệu xα|xβ

, nếu tồn tại γ ∈ Nn sao cho β = γ + α, tức là βi ≥ αi,với mọi i = 1, , n

Bổ đề 1.2.2 Cho I = hAi là một iđêan đơn thức, A ⊂ M onn và

xβ ∈ M onn Khi đó xβ ∈ I khi và chỉ khi tồn tại xα ∈ A sao cho xβ chiahết cho xα

Bổ đề 1.2.3 (Bổ đề Gordan-Dickson) Một tập hợp khác rỗng Mcác đơn thức trong K[x] chứa một tập hữu hạn E ⊂ M sao cho mọi đơnthức của M là một bội của một đơn thức nào đó trong E

E thường được gọi là một cơ sở Dickson của M

Từ Bổ đề 1.2.2 và Bổ đề 1.2.3 ta suy ra hệ quả sau

Hệ quả 1.2.4 Mọi iđêan đơn thức I ⊂ K[x] đều có một hệ sinh gồmhữu hạn các đơn thức

Chứng minh Gọi I = hM | M ⊂ M onni ⊂ K[x] Theo Bổ đề Dickson, tồn tại một tập hữu hạn

Gordan-E = {m1, , mr} ⊂ Msao cho với mọi m ∈ M , m chia hết cho mi0 với một i0 ∈ {1, , r} Khi

Bổ đề 1.2.5 Cho I và J là hai iđêan đơn thức Khi đó I ∩ J và

I : J là các iđêan đơn thức Hơn nữa, nếu I = hm1, , mri và J =

Bổ đề 1.2.6 Cho I = hM | M ⊂ M onni ⊂ R là một iđêan Cho

m ∈ M onn Khi đó m ∈ I khi và chỉ khi tồn tại m0 ∈ M sao cho m chiahết cho m0

Chứng minh Lập luận như trong chứng minh của Hệ quả 1.2.4, tồn tạimột cơ sở Dickson

E = {m1, , mr} ⊂ Mcủa M Khi đó, rõ ràng I = hEi ⊂ R

Ngược lại, giả sử tồn tại m0 ∈ M sao cho m chia hết cho m0, tức là tồntại m0 ∈ M onn sao cho m = m0m0 Suy ra m ∈ hM | M ⊂ M onni = I



1.3 Thứ tự đơn thức

Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất liên quan đến thứ

tự đơn thức, trong đó thứ tự đơn thức địa phương được quan tâm vàđược dùng trong chương tiếp theo của luận văn Các kết quả trong mụcnày được trích dẫn từ [3] và [5]

Định nghĩa 1.3.1 Một thứ tự đơn thức trên K[x] là một thứ tự toànphần > trên M onn thỏa mãn với α, β, γ ∈ Nn ta có

xα > xβ ⇒ xγxα > xγxβ.Định nghĩa 1.3.2 Cho > là một thứ tự đơn thức trên K[x]

(1) > được gọi là một thứ tự địa phương nếu với mọi i = 1, , n

Ví dụ 1.3.3 Thứ tự đơn thức >ds trên K[x] được xác định bởi

xα >ds xβ ⇔ degxα < degxβ, hoặc (degxα = degxβ và

∃1 ≤ i ≤ n : αn = βn, , αi+1 = βi+1, αi < βi)

là một thứ tự đơn thức địa phương

Bổ đề 1.3.4 Cho > là một thứ tự đơn thức trên K[x] Khi đó các điềukiện sau là tương đương

Ví dụ 1.3.6 (1) >ds là một thứ tự bậc địa phương trên K[x].

(2) Cho > là một thứ tự đơn thức trên K[x] Cho ω = (ω1, , ωn) ∈ Rntùy ý Trên M onn ta định nghĩa

xα >ω xβ ⇔ ω(xα) > ω(xβ), hoặc (ω(xα) = ω(xβ) và xα > xβ).Khi đó, >ω là một thứ tự đơn thức Hơn nữa, >ω là địa phương nếu

ωi < 0 với mọi i Đặc biệt, nếu ωi = −1 với mọi i = 1, , n thì >ω làmột thứ tự bậc địa phương

Định nghĩa 1.3.7 Cho > là một thứ tự đơn thức trên K[x], và cho

Khi thứ tự đơn thức > đã được xác định, các ký hiệu LM (f ), LC(f ) và

LT (f ) tương ứng được dùng thay cho LM>(f ), LC>(f ) và LT>(f )

Bổ đề 1.3.8 Cho > là một thứ tự đơn thức và M ⊂ M onn là một tậphữu hạn Khi đó tồn tại ω = (ω1, , ωn) ∈ Zn sao cho xα > xβ nếu

và chỉ nếu ω(xα) > ω(xβ) với mọi xα, xβ ∈ M Hơn nữa, ω có thể đượcchọn sao cho ωi > 0 nếu xi > 1 và ωi < 0 nếu xi < 1

xα  xβ ⇔ xβ > xα

Khi đó  là một thứ tự đơn thức toàn cục trên K[x] Theo Bổ đề 1.3.4,

X có phần tử bé nhất đối với , gọi đó là m Khi đó với mọi m0 ∈ X ta

có m0  m Suy ra m ≥ m0 Do đó m là phần tử lớn nhất của X đối với

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi LT (f ) + LT (g) 6= 0

Chứng minh (1) Giả sử LM (f ) = xα, LM (g) = xβ Gọi mm0 là mộtđơn thức bất kỳ của f g, với m và m0 lần lượt là các đơn thức của f và

thì LT (f ) + LT (g) 6= 0 Ngược lại, giả sử LT (f ) + LT (g) 6= 0 Nếu

LM (f ) ≥ LM (g) thì LT (f ) không thể bị triệt tiêu bởi bất kỳ từ nàocủa f và g Do đó LM (f ) xuất hiện trong f + g và là đơn thức lớn nhấtcủa f + g Tương tự, nếu LM (g) ≥ LM (f ) thì LM (g) là đơn thức lớn

K[x]ei, trong

đó với mọi i = 1, , r

ei = (0, , 1, , 0) ∈ K[x]r,với 1 ở vị trí thứ i và 0 ở các vị trí còn lại, là vectơ thứ i của cơ sở tựnhiên của K[x]r Ta gọi

xαei = (0, , xα, , 0) ∈ K[x]r

là một đơn thức (chứa thành phần thứ i)

Định nghĩa 1.3.12 Cho > là một thứ tự đơn thức trên K[x] Một thứ

tự môđun trên K[x]r là một thứ tự toàn phần >m trên tập các đơn thức{xαei | α ∈ Nn, i = 1, , r}, thỏa mãn

ưu tiên cho các thành phần, và

xαei > xβej : ⇐⇒ xα > xβ hoặc (xα = xβ và i > j),

ưu tiên cho các đơn thức trong K[x]

Với xαei và xβej là hai đơn thức, ta nói rằng xβej chia hết cho xαei

LM (f ) := xαei,LC(f ) := c,

LT (f ) := cxαei,tương ứng là đơn thức dẫn đầu, hệ số dẫn đầu và từ dẫn đầu của f đốivới > Đuôi của f đối với >, ký hiệu T ail(f ), được định nghĩa là

T ail(f ) := f − LT (f )

Chú ý 1.3.14 Cho > là một thứ tự môđun địa phương trên K[x]r ⊂ Rr.Cho f ∈ Rr\{0} Đơn thức dẫn đầu, hệ số dẫn đầu, từ dẫn đầu của fđối với > được định nghĩa một cách tương tự như Định nghĩa 1.3.13

Chương 2

CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA

IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC

CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC

Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả cơ bản của lýthuyết cơ sở chuẩn tắc trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức Mục2.1 trình bày phiên bản hình thức của Định lý chia Grauert, là nền tảngcho lý thuyết cơ sở chuẩn tắc trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức.Tiếp theo, mục 2.2 định nghĩa cơ sở chuẩn tắc và trình bày một số tínhchất của cơ sở chuẩn tắc Cuối cùng, trong mục 2.3, chúng tôi giới thiệumột áp dụng của cơ sở chuẩn tắc trong vấn đề tính toán

Nhắc lại rằng R ký hiệu vành K[[x]] các chuỗi lũy thừa hình thức nbiến trên trường K và m = hx1, , xni là iđêan cực đại duy nhất củaR

2.1 Định lý chia Grauert

Nội dung chính của mục này là Định lý chia Grauert trong vànhcác chuỗi lũy thừa hình thức Đây là một tổng quát của Định lý chiaWeierstrass Các kết quả trong mục này được trích dẫn từ [2] và [3]

Bổ đề 2.1.1 Cho > là một thứ tự đơn thức địa phương trên K[x] ⊂ R.(1) Nếu {mν}ν∈N là một dãy các đơn thức trong K[x] sao cho m1 >

m2 > · · · , thì lim

ν→∞mν = 0 đối với tôpô m-adic

(2) Nếu > là một thứ tự địa phương >ω, và {fν}ν∈N là một dãy trong

R, thì đối với tôpô m-adic ta có

số LM (gifi) = LM (gi)LM (fi), i = 1, , r, và LM (h) là các đơn thứckhác nhau Do đó, các đơn thức này không triệt tiêu nhau.

Giả sử có hai sự biểu diễn của g

Bằng quy nạp, quá trình này hoặc kết thúc sau hữu hạn bước hoặc chúng

ta có các dãy {g(ν)}ν, {gj(ν)}ν, j = 1, , r, và {h(ν)}ν trong R sao cho vớimọi ν = 0, 1, ta có

trong đó với i, j ∈ {1, , r}, i > j, không có đơn thức nào của g(µ)i LM (fi),

µ ∈ {0, , ν}, chia hết cho LM (fj) và không có đơn thức nào của h(µ)chia hết cho LM (fj) với mọi j = 1, , r

Ta chứng minh các dãy {g(ν)}ν, {gj(ν)}ν, {h(ν)}ν hội tụ về 0 trong Rđối với tôpô m-adic Với j = 1, , r, xét iđêan đơn thức Ij ⊂ K[x] sinhbởi tất cả các đơn thức của fj ngoại trừ LM (fj) Với mỗi j, đặt Xj

là tập hợp gồm một cơ sở Dickson của tập các phần tử sinh đơn thứccủa Ij cùng với LM (fj) Khi đó X := ∪r

j=1Xj là một tập hữu hạn cácđơn thức Theo Bổ đề 1.3.8, tồn tại một thứ tự đơn thức địa phương

>ω trên K[x] trùng với thứ tự đơn thức địa phương > trên X, trong đó

ω = (ω1, , ωn) ∈ Zn và ωi < 0 với mọi i = 1, , n Ta chứng minhvới mọi j

LM>ω(fj) = LM (fj)

Cố định j ∈ {1, , r} Gọi Xj = {m1, , ms, LM (fj)}, trong đó

m1, , ms là một cơ sở Dickson của tập các đơn thức của fj ngoạitrừ LM (fj) Lấy m là một đơn thức của fj sao cho m /∈ Xj Khi đó tồntại i0 ∈ {1, , s} sao cho m chia hết cho mi0, tức là m = m0.mi0, trong

Do m = m0.mi0 nên αi = βi+ γi với mọi i = 1, , n Khi đó

ω(m) = ω1(β1 + γ1) + + ωn(βn+ γn),ω(mi0) = ω1γ1 + + ωnγn

Vì ω1β1 + + ωnβn < 0 nên ω(mi0) > ω(m) Suy ra mi0 >ω m

Do vậy LM>ω(fj) ∈ Xj Vì >ω trùng với > trên X nên LM (fj) >ω

mk, với mọi k = 1, , s Vậy LM>ω(fj) = LM (fj) Do đó, lặp lạiquá trình chia trên với > được thay bởi >ω ta sẽ nhận được các dãy{(g(ν))}ν, {(gj(ν))}ν và {(h(ν))}ν trong R như khi chia với >

Cố định k, chỉ có hữu hạn các đơn thức trong K[x] không thuộc mk Đặt

r = min{ω(m) | m là đơn thức sao cho m /∈ mk}

Vì lim

ν→∞LM>ω(g(ν)) = 0 nên tồn tại một số ν0 ∈ N sao cho với mọi ν ≥ ν0

ω(LM> (g(ν))) < r

và một đơn thức m = xα1

1 xαn

n của h sao cho m chia hết cho LM (fj)

h(µ) Suy ra m là một đơn thức của

h(µ2 ) với một µ2 ∈ {0, , ν2} nào đó, một mâu thuẫn Chú ý 2.1.3 Thậm chí khi ta bắt đầu với g, f1, , fr ∈ K[x], Định

lý chia Grauert chỉ khẳng định rằng phần dư h và các thương g1, , grtồn tại trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức Chẳng hạn xét vànhcác chuỗi lũy thừa hình thức một biến K[[x]] với thứ tự đơn thức địaphương 1 > x > x2 > Cho g = x và f1 = x − x2 Quá trình chia gcho f1 có vô hạn bước và kết quả là

g = g1f1,trong đó g1 =

Định lý 2.1.4 ([2], Định lý 9.16) Cho > là một thứ tự môđun địaphương trên K[x]s, và cho f1, , fr ∈ Rs\{0} Với mỗi g ∈ Rs, tồn tại

Mục này trình bày khái niệm cơ sở chuẩn tắc của iđêan trong vànhcác chuỗi lũy thừa hình thức, một số tính chất của cơ sở chuẩn tắc vàtiêu chuẩn Buchberger cho một hệ sinh của một iđêan trong vành cácchuỗi lũy thừa hình thức là một cơ sở chuẩn tắc của iđêan Các kết quảtrong mục này được trích dẫn từ [1], [5] và [6].

Trong mục này, cố định > là một thứ tự đơn thức đơn thức địa phươngtrên K[x] ⊂ R

Định nghĩa 2.2.1 Cho I là một iđêan khác không của R Iđêan dẫnđầu của I, ký hiệu L(I), được định nghĩa bởi

Định nghĩa 2.2.3 Cho I là một iđêan của R.

(1) Một tập con hữu hạn S = {f1, , fr} ⊂ I\{0} được gọi là một

cơ sở chuẩn tắc của I (đối với >) nếu

L(I) = hLT (f1), , LT (fr)i

(2) Một cơ sở chuẩn tắc S = {f1, , fr} của I được gọi là thu gọnnếu với mọi i = 1, , r

(i) LC(fi) = 1,

(ii) LM (fi) - LM (fj) với mọi j 6= i,

(iii) Không có đơn thức nào của T ail(fi) chia hết cho một trong

i : K[x] → R, f 7→ fvới mọi f ∈ K[x] Vậy {f1, , fr} là một cơ sở chuẩn tắc của I 

Mệnh đề 2.2.5 Cho I là một iđêan khác không của R Cho S ={f1, , fr} là một cơ sở chuẩn tắc của I Khi đó I = hf1, , fri.Chứng minh Với g ∈ I ta có g =

r

P

i=1

gifi + N F (g|S) với g1, , gr ∈ R.Suy ra N F (g|S) = g −

Chứng minh Với mỗi g ∈ R, ta có

Định nghĩa 2.2.7 Cho I ⊂ R là một iđêan khác không và S là một

cơ sở chuẩn tắc của I Khi đó, với mọi g ∈ R ta định nghĩa N F (g|I) :=

N F (g|S) là dạng chuẩn của g đối với I

Mệnh đề 2.2.8 Cho I ⊂ R là một iđêan khác không và S = {f1, , fr}

là một cơ sở chuẩn tắc của I Cho g ∈ R Khi đó

0 thì LM (N F (g|S)) ∈ L(I), điều này mâu thuẫn với định nghĩa của

N F (g|S) Do đó N F (g|S) = 0 Ngược lại, nếu N F (g|S) = 0 thì g =

φ : Zr −→ M, εi 7−→ fi, i = 1, , r,trong đó {ε1, , εr} là cơ sở tự nhiên của Zr Khi đó, Kerφ được gọi làmôđun xoắn của f1, , fr, ký hiệu syz(f1, , fr)

Sau đây ký hiệu {e1, , er} là cơ sở tự nhiên của K[x]r ⊂ Rr

Định nghĩa 2.2.10 Cho f1, , fr ∈ R\{0} Khi đó thứ tự môđun cảmsinh >1 trên K[x]r được định nghĩa bởi

xαei >1 xβej ⇔ xαLM (fi) > xβLM (fj), hoặc