Chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phương

SpecR Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành RMaxR Tập tất cả các iđêan cực đại của vành R AnnM Linh hóa tử của môđun M AssM Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của môđun MSuppM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ THANH CHƯƠNG

CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ THANH CHƯƠNG

CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

Người hướng dẫn

TS NGUYỄN THÁI HÒA

Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Chiều và bội của môđun đốiđồng điều địa phương là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôidưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thái Hòa, nội dung không sao chép củabất kỳ ai và chưa từng được công bố dưới bất kỳ hình thức nào, các kếtquả không phải của riêng tôi mà đều được trích dẫn với nguồn gốc rõ ràng.

Bình Định, ngày tháng năm 2020

Người thực hiện

Nguyễn Thị Thanh Chương

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình củathầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, Trường Đại học Quy Nhơn Tôixin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn Tôi cũng xin gửi lờicảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạoSau Đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớpcao học Đại số và lí thuyết số khóa 21 đã giảng dạy và tạo điều kiện thuậnlợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè đã luôn giúp

đỡ động viên để tôi hoàn thành khóa học và luận văn này

Spec(R) Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R

Max(R) Tập tất cả các iđêan cực đại của vành R

Ann(M ) Linh hóa tử của môđun M

Ass(M ) Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của môđun MSupp(M ) Giá của môđun M

PsuppiR(M ) Giả giá thứ i của môđun M

psdi(M ) Giả chiều thứ i của môđun M

lR(M ) Độ dài của R-môđun M

gr(R) Vành phân bậc liên kết của vành R

gr(M ) Môđun phân bậc liên kết của môđun M

d(M ) Bậc của đa thức Hilbert-Samuel của môđun M

dim R Chiều Krull của vành R

dim M Chiều Krull của môđun M

ht(I) Chiều cao của iđêan I

idR(M ) Chiều nội xạ của môđun M trên vành R

depth M Độ sâu của môđun M

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Một số ký hiệu

1.1 Đầy đủ 4

1.2 Tôpô Zariski 6

1.3 Địa phương hóa 7

1.4 Sự phân tích nguyên sơ 10

1.5 Lý thuyết biểu diễn thứ cấp 12

1.6 Đa thức Hilbert, chiều Krull và môđun Cohen-Macaulay 13

1.7 Đồng cấu phẳng 22

1.8 Đối đồng điều địa phương 23

1.9 Đối ngẫu Matlis 29

1.10 Tính catenary của vành và vành Gorenstein 30

PHƯƠNG 332.1 Đa thức Hilbert, chiều và bội của môđun Artin 342.2 Công thức bội liên kết của môđun đối đồng điều địa phương 38

MỞ ĐẦU

Cho M là mộtR-môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether giao hoánđịa phương (R,m) với d = dim M ≥ 1 và q là iđêan m-nguyên sơ của R(tương đương q là một iđêan định nghĩa) Đa thức Hilbert của M có dạng:

Pq(M, n) = e0 n + d

d

!+ e1 n + d − 1

d − 1

!+ + en, khi n ≥ 0,trong đó e0 = e(q, M ) là số bội của môđun M ứng với iđêan q Khi đó ta

có công thức bội liên kết của môđun Noether M ứng với iđêan m-nguyên

sơ q (xem [6]):

e(q, M ) = X

p∈Supp(M ) dim R/p=d

lRp(Mp)e(q, R/p)

Năm 1973, D Kirby [11] đã chỉ ra rằng với mỗi R-môđun Artin A, nếu

q là iđêan của R sao cho l(0 :A q) hữu hạn thì l(0 :A qn) là một đa thứckhi n đủ lớn Ông gọi đa thức này là đa thức Hilbert của một R-môđunArtin A Năm 1974, R N Roberts [18] đưa ra khái niệm chiều Noether chomôđun Artin A và chứng tỏ rằng nó bằng bậc của đa thức Hilbert-Samuelcủa môđun A Khi đó

Pq(A, n) = gs n + s

s

!+ es−1 n + s − 1

s − 1

!+ + g0, khi n ≥ 0,

trong đó gs = e(q, A) là số bội của A ứng với iđêan q và s = N − dim A

là chiều Noether của môđun A

Biết rằng, với mỗi số nguyên không âm i, môđun đối đồng điều thứ i

Hmi(M ) của M là môđun Artin Năm 2002, M Brodmann và R Y Sharp(xem [5]) đưa ra hai khái niệm giả giá thứ i của M, kí hiệu PsuppiR(M )

và giả chiều thứ i của M, kí hiệu là psdi(M ) :

(i) Giả giá thứ i của M, kí hiệu PsuppiR(M ), được cho bởi công thức

PsuppiR(M ) = {p ∈ Spec(R) | HpRi−dim(R/p)

Nếu Hmi(M ) 6= 0 thì

e0(q, Hmi(M )) = X

p∈Psupp i (M ) dim R/p=psdi(M )

lRp(HpRi−dim(R/p)

p (Mp))e(q, R/p)

Với mục đích tìm hiểu sâu hơn về đại số giao hoán, chúng tôi chọn đềtài: "Chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phương" Mụctiêu của luận văn là trình bày lại một số kết quả liên quan đến chiều và

bội của môđun đối đồng điều địa phương trong [3], [4], [5], [6], [8], [14],[19],

Nội dung của luận văn gồm hai chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức về đầy đủ, địa phương hóa,

sự phân tích nguyên sơ, biểu diễn thứ cấp, đa thức Hilbert-Samuel, chiềuKrull, môđun Cohen-Macaulay, đối đồng điều địa phương, tôpô Zariski,đối ngẫu Matlis, vành catenary phổ dụng, vành Gorenstein và đồng cấuphẳng

Chương 2: Chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phươngChương này trình bày một số kết quả về chiều và bội của môđun Artin;chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phương trong hai trường hợp làvành cơ sở là ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein địa phương và vành

cơ sở là catenary phổ dụng địa phương mà tất cả thớ hình thức của nó làCohen-Macaulay

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bảnthân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinhnghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để luậnvăn được hoàn thiện hơn

Nội dung của phần này được trình bày theo [14].

Định nghĩa 1.1.1 Một vành lọc R là một vành R cùng với một họ(Rn)n>0 các nhóm con của (R, +) thỏa mãn các điều kiện:

(i) R0 = R;

(ii) Rn+1 ⊂ Rn với mọi n > 0;

(iii) RnRm ⊂ Rn+m với mọi n, m > 0

Ví dụ 1.1.2 (i) Giả sử R là một vành bất kì Cho R0 = R và Rn = 0 vớimọi n > 1 Khi đó (Rn)n>0 là một lọc của vành R và nó được gọi là một

lọc tầm thường của R.

(ii) Cho I là một iđêan của R Khi đó (In)n>0 là một lọc của R, nóđược gọi là một lọc I-adic của R

(iii) Cho (Rn)n>0 là một lọc của R và S là một vành con của R Khi

đó (Rn ∩ S)n>0 là một lọc của S, nó được gọi là lọc cảm sinh trên S.Định nghĩa 1.1.3 Cho R là một vành lọc với lọc(Rn)n>0 Một R-môđun

M lọc là mộtR-môđun M cùng với một họ (Mn)n>0 các R-môđun con của

M thỏa mãn các điều kiện:

(i) M0 = M;

(ii) Mn+1 ⊂ Mn với mọi n> 0;

(iii) RmMn ⊂ Mm+n với mọi n, m > 0

Ví dụ 1.1.4 (i) Cho M là mộtR-môđun và R có lọc tầm thường Khi đó

M cũng có một lọc tầm thường và được định nghĩa bởi M0 = M, Mn = 0với mọi n> 1

(ii)Xét lọc I-adic củaR vớiI là một iđêan củaR Định nghĩa lọc I-adiccủa M là Mn = InM với mọi n ≥ 0 Khi đó M là một R-môđun lọc.Cho M là một R-môđun lọc Lọc (Mn)n>0 trên M xác định một tôpôtrên M tương thích với cấu trúc nhóm con abel của M mà (Mn)n≥0 là một

cơ sở lân cận của 0 Tôpô này được gọi là tôpô cảm sinh bởi lọc (Mn)n>0.Trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm dãy Cauchy: Một dãy (xn) cácphần tử trong M được gọi là một dãy Cauchy nếu với mỗi k ∈ N, tồn tại

n0 sao cho xm− xn ∈ Mk, với mọi m, n > n0

Gọi T là tập tất cả các dãy Cauchy trong M Trên T quan hệ hai ngôiđược định nghĩa bởi: Với mọi (xn), (yn) ∈ T, (xn) ∼ (yn) khi và chỉ khivới mỗi m ∈ N,tồn tại n0 sao cho xn− yn ∈ Mm, với mọi n ≥ n0.

Khi đó quan hệ trên là quan hệ tương đương Kí hiệu

Cho I là một iđêan của vành R, tôpô được định nghĩa trên M bởi lọc

I-adic được gọi là tôpô I-adic và bao đầy đủ cM được gọi là bao đầy đủ

I-adic

Nội dung phần này được trình bày theo [14]

Kí hiệu Var(a) = {p ∈ Spec(R) | a ⊂ p} cho tập hợp tất cả iđêannguyên tố chứa a.

Bổ đề 1.2.1 Cho a,b ∈ Id(R) và (ci)i∈Γ là một họ các iđêan của vành

Định nghĩa 1.2.2 Tôpô trên Spec(R) xác định bởi họ các tập con mở

T := {M ⊆ Spec(R) | a ∈ Id(R) sao cho M = R\ Var(a)} được gọi

là tôpô Zariski Không gian tôpô (Spec(R), T ) thường được gọi là phổ(spectrum) của R Tôpô cảm sinh trên Max(R) gọi là phổ cực đại

Ví dụ 1.2.3 1) Cho R là một trường khi đó Spec(R) = {0}

2) Cho R = Z khi đó Spec(R) = {0; pZ}, p là số nguyên tố

Nội dung của phần này được trình bày theo [9]

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Tập S ⊂ R được gọi là mộttập nhân đóng nếu 1 ∈ S và với mọi x, y ∈ S thì xy ∈ S Xét tập

S × R = {(s, r) | s ∈ S và r ∈ R}

và định nghĩa trên S × R một quan hệ hai ngôi:

∀(s, r), (t, k) ∈ S × R, (s, r) ∼ (t, k) ⇔ ∃u ∈ S : u(ks − tr) = 0

Khi đó, quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương Với mỗi (s, r) ∈ S × R,

ta kí hiệu lớp tương đương (s, r) là r

s và tập thương (S × R)/∼ là S−1Rhay RS Ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:

1.Định nghĩa 1.3.1 Vành RS được gọi là vành các thương của vành Rtương ứng với tập nhân đóng S

Chú ý rằng, với mỗi p ∈ Spec(R), S = R \p là một tập nhân đóng Khi

Cho M là một R-môđun Xét vành các thương RS với S là một tậpnhân đóng Xét tập

S × M = {(s, m) | s ∈ S và m ∈ M }

Trên tập S × M ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi:

∀(s, m), (t, n) ∈ S × M, (s, m) ∼ (t, n) ⇔ ∃u ∈ S : u(tm − sn) = 0

Khi đó, quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên S × M và với mỗi

(s, m) ∈ S × M, ta kí hiệu lớp tương đương (s, m) là m

s và tập thương(S × M )/∼ là S−1M hay MS Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vôhướng như sau:

Định nghĩa 1.3.3 Môđun MS trên vành RS được gọi là môđun địaphương hóa của M tương ứng với tập nhân đóng S

Chú ý rằng, với mỗi p ∈ Spec(R), S = R \p là một tập nhân đóng Khi

đó, môđun MS còn được kí hiệu là Mp

Định nghĩa 1.3.4 Cho M là một R-môđun Tập

SuppR(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp 6= 0}

được gọi là giá của môđun M

Mệnh đề 1.3.5 Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

SuppR(M ) = Var(AnnRM )

Cho f : R −→ S là một đồng cấu giữa các vành Một S-môđun M cóthể xem là mộtR-môđun thông qua ánh xạf bằng định nghĩaax = f (a)xvới mọi a ∈ R và mọi x ∈ M.

Định nghĩa 1.3.6 Cho M là một R-môđun Môđun S ⊗R M là một

S-môđun với phép nhân vô hướng được xác định bởi s(s1 ⊗ x) = ss1 ⊗ xvới mọi s, s1 ∈ R và mọi x ∈ M

Định lý 1.3.7 Ánh xạ chính tắc f : RS ⊗R M −→ MS được cho bởi

f [(a/s) ⊗ x] = ax/s, với mọi a ∈ R, s ∈ S, x ∈ M, là đẳng cấu các

RS-môđun

Trong chương này, chúng tôi trình bày sự phân tích nguyên sơ của mộtmôđun theo [13]

Cho R là một vành Noether giao hoán và M là một R-môđun

Định nghĩa 1.4.1 Môđun con thực sự N của M được gọi là nguyên sơnếu với mọi α ∈ R, x ∈ M sao cho αx ∈ N thì x ∈ N hoặc tồn tại k ∈ Nsao cho αkM ⊂ N

Mệnh đề 1.4.2 Cho N là môđun con nguyên sơ của M Khi đó

RadM(N ) = {α ∈ R | ∃k ∈ N, αkM ⊂ N } = p là một iđêan nguyên tốcủa R Môđun con N được gọi là môđun con p-nguyên sơ

Định nghĩa 1.4.3 Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là một iđêannguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho

i với pi ∈ Spec(R), với mọi i = 1, , n Hơn nữaAssR(M ) ⊆ {p1, , pn} ⊆ SuppR(M )

và tập các phần tử cực tiểu của ba tập này là trùng nhau

Cho N là một môđun con của M Một phân tích nguyên sơ của N làmột biểu diễn N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr với mọi Qi là môđun con nguyên

sơ trong M Hơn nữa, một phân tích nguyên sơ được gọi là tối thiểu nếu

không thể bỏ đi bất cứ một Qi nào (tức là T

k6=i

Qk * Qi) và với mọi i 6= j,RadM(Qi) 6= RadM(Qj)

Hiển nhiên, một phân tích nguyên sơ của N có thể đưa về một phântích nguyên sơ tối thiểu

Định lý 1.4.5 Mọi môđun con thực sự của một môđun Noether đều có

sự phân tích nguyên sơ tối thiểu

Mệnh đề 1.4.6 Cho R là một vành Noether và M là R-môđun hữu hạn

sinh Khi đó 0 = T

p∈Ass(M )

Q(p), trong đó Q(p) là môđun con p-nguyên sơ

Ta đều biết rằng lý thuyết về sự phân tích nguyên sơ của các môđuncon của một môđun Noether đóng vai trò quan trọng trong Đại số giaohoán Một lý thuyết tương tự đối với các môđun Artin gọi là lý thuyết biểudiễn thứ cấp được đưa ra bởi D Kirby và I G Macdonal Chúng tôi tríchdẫn một số nội dung của lý thuyết này theo ngôn ngữ của Macdonal [12].Định nghĩa 1.5.1 Cho C là một R-môđun

(i) C gọi là môđun thứ cấp nếu C 6= 0 và với mọi x ∈ R, tự đồng cấu

C −→ Cx hoặc là toàn cấu hoặc là lũy linh

Trong trường hợp p = Rad(0 : C) là một iđêan nguyên tố và ta nói C

Dễ thấy rằng, mọi biểu diễn thứ cấp của R-môđun C đều có thể quy

về tối thiểu Tập hợp {p1, ,pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứcấp tối thiểu của C Vì thế ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn kết

của C và kí hiệu là AttR(C) Các hạng tử Ci, i = 1, , n, được gọi là cácthành phần thứ cấp của C Nếu pi là tối thiểu trong AttR(C) thì Ci đượcgọi là thành phần cô lập Tập AttR(C) đóng vai trò quan trọng tương tựnhư tập Ass(M ) của một môđun Noether M.

Định lý 1.5.2 Mọi R-môđun Artin L đều có một biểu diễn thứ cấp tốithiểu

Mệnh đề 1.5.3 Giả sử L là một R-môđun biểu diễn được Khi đó cácphát biểu sau là đúng:

(i) AttRL 6= ∅ khi và chỉ khi L 6= 0

(ii) min AttRL = min Var(AnnRL) Đặc biệt,

dim(R/AnnRL) = max{dim(R/p) |p ∈ AttRL}

(iii) Cho 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễnđược Khi đó ta có AttRL00 ⊆ AttRL ⊆AttRL’∪AttRL00

Cohen-Macaulay

Nội dung của phần này được trình bày theo [9], [13] và [14]

Định nghĩa 1.6.1 Vành R được gọi là vành phân bậc nếu tồn tại một

họ các nhóm con (Rn)n>0 của nhóm (R, +) thỏa mãn các điều kiện sau:(i) R = ⊕n≥0Rn;

(ii) RnRm ⊂ Rn+m với mọi n, m > 0

Ví dụ 1.6.2 (i) Cho R là một vành bất kì và R0 = R và Rn = 0 với mọi

n> 1 Khi đó R là vành phân bậc và gọi là vành phân bậc tầm thường.(ii) Xét vành đa thức n biến R = K[X1, X2, , Xn] với K là mộttrường Gọi Rd là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc d và đa thứckhông Khi đó ta có R = ⊕d≥0Rd vàRdRm ⊂ Rd+m với mọi d, m> 0 Vậy

R = K[X1, X2, , Xn] là một vành phân bậc

Định nghĩa 1.6.3 Giả sử R = ⊕n≥0Rn là một vành phân bậc, R-môđun

M được gọi làR-môđun phân bậc nếu tồn tại một họ các nhóm con(Mn)n>0của (M, +) thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) M = ⊕n≥0Mn;

(ii) RnMm ⊂ Mn+m với mọi n, m > 0

Ví dụ 1.6.4 Xét vành đa thức nbiến R = K[X1, X2, , Xn] với sự phânbậc được định nghĩa ở ví dụ(ii)ở trên, khi đóR được xem là mộtR-môđunphân bậc

Những phần tử của Rn hoặc Mn trong một vành phân bậc hoặc mộtmôđun phân bậc được gọi là thành phần thuần nhất bậc n

Định nghĩa 1.6.5 Cho R là một vành lọc với lọc (Rn)n>0 Đặt

grn(R) = Rn/Rn+1; gr(R) = ⊕n≥0grn(R)Khi đó gr(R) có một phép toán nhân được cho bởi

(a + Rn+1)(b + Rm+1) = ab + Rn+m+1

với a ∈ Rn, b ∈ Rm Khi đó gr(R)là một vành phân bậc Vành này đượcgọi là vành phân bậc liên kết của R.

Ví dụ 1.6.6 Xét lọc I-adic của vành lọc R, Rn = In với mọi n ≥ 0 Đặt

grn(R) = In/In+1; gr(R) = ⊕n≥0grn(R) Vành gr(R)cùng với phép toánnhân được cho bởi (a + In+1)(b + Im+1) = ab + In+m+1 với a ∈ Rn,b ∈ Rm,

là vành phân bậc liên kết của vành R

Định nghĩa 1.6.7 Cho M là một R-môđun lọc trên vành lọc R với lọc(Mn)n>0 của M và lọc (Rn)n>0 của R Đặt

grn(M ) = Mn/Mn+1; gr(M ) = ⊕n≥0grn(M )Khi đó gr(M ) có một phép toán nhân được cho bởi

(a + Rn+1)(x + Mm+1) = ax + Rn+m+1với a ∈ Rn, x ∈ Mm Khi đó gr(M ) là một R-môđun phân bậc Môđunnày được gọi là môđun phân bậc liên kết của M

Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm đa thức Hilbert và chiều Krullcủa một môđun

Định nghĩa 1.6.8 Một hàm đa thức f là một ánh xạ f : N −→ Q saocho tồn tại một đa thức g(X) ∈ Q[X] thỏa mãn f (n) = g(n) khi n đủlớn

Chú ý rằng, đa thức g(X) là duy nhất Bậc và hệ tử cao nhất của đathức này được gọi là bậc và hệ tử cao nhất của hàm đa thức f

Định lý 1.6.9 Cho f : N −→ Q là một ánh xạ Khi đó, f là mộthàm đa thức bậc r khi và chỉ khi ∆f : N −→ Q được định nghĩa bởi

∆f (n) = f (n + 1) − f (n) là một hàm đa thức bậc r − 1

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một loại hàm đa thức đặc biệt

Mệnh đề 1.6.10 Cho R = ⊕n≥0Rn là một vành phân bậc, trong đó R0

là vành Artin, R là R0-đại số hữu hạn sinh bởi r phần tử a1, , ar trong

R1 và M = ⊕n≥0Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó, mỗi

Mn là một R0-môđun hữu hạn sinh

Hệ quả 1.6.11 Với mỗi n ≥ 0, lR0(Mn) < ∞

Định lý 1.6.12 Cho R = ⊕n≥0Rn là một vành phân bậc với R0 là vànhArtin và R là một R0-đại số hữu hạn sinh và sinh bởi r phần tử a1, , artrong R1 Cho M là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó, ánh xạχ(M, ) : N → Z được xác định bởi χ(M, n) = lR0(Mn) là một hàm đathức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng r − 1

Hệ quả 1.6.13 Cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại

m sinh bởi r phần tử và k = R/m Khi đó χ(grm(R), n) = lk(mn/mn+1)

là một hàm đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng r − 1

Định nghĩa 1.6.14 Đa thức được định nghĩa từ hàm đa thức χ(M, n)được gọi là đa thức Hilbert của môđun M

Tiếp theo, chúng tôi trình bày trường hợp đặc biệt của đa thức Hilbert

Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m.Một iđêan I được gọi là một iđêan định nghĩa của R nếu mk ⊆ I ⊆ m vớimột k > 1 Điều này tương đương với I ⊆m và R/I là Artin.

Cho I là một iđêan định nghĩa của R và M là một R-môđun hữu hạnsinh Khi đó M/IM là môđun hữu hạn sinh trên R/I Xét lọc I-adic của

R và M Khi đó ta có vành phân bậc liên kết và môđun phân bậc liên kết

grI(R) = ⊕n>0In/In+1 và grI(M ) = ⊕n>0InM/In+1M và grI(M ) là một

grI(R)-môđun hữu hạn sinh Hơn nữa, nếu I sinh bởi a1, , ar trên Rthì ảnh của chúng a1, , ar trong I/I2 sinh ra grI(R) trên R/I Vì vậy,hàm đa thức χ(grI(M ), n) được xác định, trong đó

χ(grI(M ), n) = lR/I(InM/In+1M )

Vì mns(M/InM ) = 0 nên lR(M/InM ) < ∞

Ký hiệu PI(M, n) = lR(M/InM ) Từ dãy khớp ngắn các R-môđun

0 −→ InM/In+1M −→ M/In+1M −→ M/InM −→ 0

và lR(InM/In+1M ) = lR/I(InM/In+1M ), ta được

∆PI(M, n) = PI(M, n + 1) − PI(M, n) = χ(grI(M ), n)

Mệnh đề 1.6.15 Cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cựcđại m, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan định nghĩa của Rsinh bởi r phần tử Khi đó, PI(M, n) = lR(M/InM ) là một hàm đa thứctheo n và có bậc nhỏ hơn hoặc bằng r khi n ≥ 0

Mệnh đề 1.6.16 Bậc của hàm đa thức PI(M, n) của môđun M khôngphụ thuộc vào iđêan định nghĩa I và được kí hiệu là d(M ) = deg PI(M, n).Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1 6= 0 Một dãy hữu hạn gồm

n + 1 iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pn được gọi là một dây chuyềnnguyên tố độ dài n Nếu p ∈ Spec(R), chặn trên nhỏ nhất của tất cả độdài của các dây chuyền nguyên tố với p = p0 được gọi là độ cao của p và kíhiệu là ht(p) Vì vậy ht(p) = 0 tức là p là iđêan nguyên tố tối tiểu của R.Cho I là một iđêan thực sự của R Chúng ta định nghĩa độ cao của I

là chặn dưới lớn nhất của các độ cao của các iđêan nguyên tố chứa I:

ht(I) = inf{ht(p) | p ⊇ I}

Định nghĩa 1.6.17 Chiều Krull của R được định nghĩa là chặn trên nhỏnhất của tất cả độ cao của tất cả iđêan nguyên tố của R:

dim R = sup{ht(p) | p ∈ Spec(R)}

Ví dụ 1.6.18 1) Cho K là một trường Khi đó dim K = 0

2) dimZ = 1

Nhận xét 1.6.19 (i) Với mỗi p ∈ Spec(R), ht(p) = dim(Rp)

(ii) Với mỗi iđêan I của R, dim(R/I) + ht(I) 6 dim R

Định nghĩa 1.6.20 Cho M 6= 0 là một R-môđun Chiều Krull của M là

dim(M ) = dim(R/ Ann(M ))

Nếu M = 0, qui ước dim(M ) = −1

Bổ đề 1.6.21 Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương và

M 6= 0 là một R-môđun hữu hạn sinh, và đặt dim(M ) = r Khi đó tồntại r phần tử x1, , xr ∈ m sao cho `(M/(x1, , xr)M ) < ∞

Định lý 1.6.22 Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương

và M 6= 0 là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

d(M ) = dim(M ) = δ(M )trong đó δ(M ) là số tự nhiên nhỏ nhất r sao cho tồn tại x1, , xr ∈ m

để `(M/(x1, , xr)M ) < ∞

Mệnh đề 1.6.23 Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương

và M 6= 0 là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

(i) dimR(M ) = dim

b

R(M ).c(ii) dim M = max{dim(R/p) | p ∈ Ass(M )}

Chúng tôi sẽ trình bày một số nội dung về môđun Cohen-Macaulay.Định nghĩa 1.6.24 Cho (R,m) là vành giao hoán Noether địa phươngvới iđêan cực đại m, M là một R-môđun hữu hạn sinh chiều d Một hệphần tửx1, , xd ∈ m sao cho `(M/(x1, , xd)M ) < ∞được gọi là một

hệ tham số của M

Ví dụ 1.6.25 Cho R là vành Noether địa phương với dim R = d và

I = (x1, , xd) là iđêan định nghĩa của R Khi đó x1, , xd là hệ tham

số của R

Nếu R = k[[X1, , Xn]], k là một trường thì X1, , Xn là hệ tham sốcủa R.

Ghi chú 1.6.26 Cho (R,m) là vành Noether địa phương, M là R-môđunhữu hạn sinh với dim M = d và q là iđêan m-nguyên sơ Đa thức Hilbertcủa M có dạng

lR(M/qnM ) = Pq(M, n) = e0

n + dd

!+e1

n + d − 1

d − 1

!+ .+en, khi n ≥ 0.Khi đó e0 = e(q, M ) là số bội của M ứng với iđêan q.Với q = (x1, , xd),

x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M thì số e0 là số bội của M ứngvới hệ tham số x = (x1, , xd) và kí hiệu là e(x, M ) = e(q, M )

Định nghĩa 1.6.27 ChoM là một R-môđun Một dãya = a1, a2, , ancủa R được gọi là một dãy chính quy đối với M (còn gọi là M-dãy chínhquy hay M-dãy) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

(1) (a)M 6= M với (a) = (a1, a2, , an)

(2) ai không là ước của không đối với M/(a1, a2, , ai−1)M, với mọi

b ∈ I sao cho a1, a2, , an, b là M-dãy thì a1, a2, , an được gọi là một

M-dãy cực đại trong I

Định lý 1.6.28 Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương, M làmột R-môđun hữu hạn sinh trên vành R và I là một iđêan của R sao cho

IM 6= M Khi đó hai M-dãy cực đại bất kì trong I có cùng độ dài

Định nghĩa 1.6.29 Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vànhNoether giao hoán R và I là một iđêan của R sao cho IM 6= M Sốphần tử của một M-dãy cực đại chứa trong I được kí hiệu là depthI(M ).NếuRlà một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m thìdepthm(M )được gọi là độ sâu của môđun M và được kí hiệu là depth(M )

Mệnh đề 1.6.30 Nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoánNoether địa phương R thì depth(M ) 6 dim(M )

Định nghĩa 1.6.31 Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

M = 0 hoặc dim M = depth M

Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđunCohen-Macaulay

Mệnh đề 1.6.32 (Xem [14]) Các điều kiện sau là tương đương

(i) M là môđun Cohen-Macaulay

(ii) Tồn tại một hệ tham số x của M sao cho e(x; M ) = `(M/(x)M ).(iii) e(x; M ) = `R(M/(x)M ) với mọi hệ tham số x

(iv) Mọi hệ tham số của M đều là M-dãy

(v) Hmi(M ) = 0 với i = 0, , d − 1

(vi) Mc là môđun Cohen-Macaulay

1.7 Đồng cấu phẳng

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kết quả theo [13]

Giả sử f : R → S là đồng cấu vành Khi đó mỗi S-môđun L đều cócấu trúcR-môđun, trong đó phép cộng đã có sẵn trongL và tích vô hướngxác định bởi ∀r ∈ R, ∀a ∈ L, f (r)a = ra Cấu trúc R-môđun L xác địnhnhư thế được gọi là cấu trúc R-môđun xác định bởi f

Một đồng cấu f : R → S được gọi là đồng cấu phẳng nếu S xét như

R-môđun xác định thông qua f là R-môđun phẳng, tức là với mỗi dãykhớp các R-môđun

0 → L0 → L → L00 → 0dãy cảm sinh 0 → L0 ⊗ S → L ⊗ S → L00 ⊗ S → 0 là khớp

Một đồng cấu f : R → S được gọi là đồng cấu hoàn toàn phẳng nếu

S xét như R-môđun xác định thông qua f là R-môđun hoàn toàn phẳng,tức là với mỗi dãy

0 → L0 → L → L00 → 0các R-môđun là khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh

0 → L0 ⊗ S → L ⊗ S → L00 ⊗ S → 0 là khớp.Mệnh đề 1.7.1 Các phát biểu sau là đúng:

(i) Nếu f : R → S là đồng cấu hoàn toàn phẳng thì ánh xạ cảm sinh

af : SpecS → SpecR cho bởi af(p) = f−1(p) := p ∩ R với p ∈ SpecS làtoàn ánh

(ii) Nếu f : R → S là đồng cấu hoàn toàn phẳng và L là R-môđun khác

0 thì L ⊗R S là S-môđun khác 0

Cho f : R → S là đồng cấu giữa các vành Noether Ta nói rằng f thỏamãn Định lý Going down nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của Rvới q 6= p và mỗi iđêan nguyên tố P của S sao cho f−1(P ) = p đều tồntại iđêan nguyên tố Q của S sao cho Q ⊂ P và f−1(Q) = q

Mệnh đề 1.7.2 Cho (R,m) và (S,n) là các vành Noether địa phương.Nếu f : R → S là đồng cấu phẳng địa phương (tức là f (m) ⊆ n) thì fthỏa mãn Định lý Going down

Bổ đề 1.7.3 (Xem [10], 8.1) Cho h : (R,m) −→ (B,n) là một đồng cấuphẳng của các vành địa phương với mB ⊂ n Khi đó

dim B = dim B/mB + dim R

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được quan tâm nghiên cứu bởirất nhiều nhà toán trên thế giới như A Grothendieck, R Hartshorne, M.Brodmann, J Rotman, C Huneke Lý thuyết đối đồng điều địa phương

đã có những ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học Trướchết, chúng tôi trình bày khái niệm hàm tử xoắn theo [5]

Cho R là vành giao hoán Noether, M là R-môđun, a ⊂ R là một iđêan

của R và N là một môđun con của M, kí hiệu

(N :M a) = {m ∈ M |am ⊆ N },với am = {am | a ∈ a} Khi đó (N :M a) là một môđun con của M và

Khi đó Γa(M ) là một môđun con của M

Mệnh đề 1.8.2 Cho R là vành giao hoán Noether và a là một iđêan của

R Khi đó nếu h : M −→ N là một đồng cấu các R-môđun thì

h(Γa(M )) ⊂ Γa(N )Nhận xét rằng, từ Mệnh đề trên ta có h |Γa(M ): Γa(M ) −→ Γa(N ) làmột đồng cấu và kí hiệu Γa(h) = h |Γa(M )

Xét phép gán từ phạm trù các R-môđun vào chính nó

Γa = Γa(.) : M odR M odRVới mỗi R-môđun M, M Γa(M )

Với mỗi R-đồng cấu h, (M −→ N )h (Γa(M ) −−−→ ΓΓa(h) a(N ))

Mệnh đề 1.8.3 Với các giả thiết như trên, phép gán Γa(.) là một hàm

tử tuyến tính hiệp biến các R-môđun Hàm tử Γa(.) được gọi là hàm tửa-xoắn