Các tập w mở và ws mở trong các không gian tôpô tổng quát

22 2.3 Tính liên tục trên các tập ω-mở trong các không gian tôpô tổng quát.. 33 3.3 Tính liên tục trên các tập ωs-mở trong các không gian tôpô tổng quát... Năm 2002, Csaszar [11] định ng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TẠ LÊ LAN HƯƠNG

CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TẠ LÊ LAN HƯƠNG

CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN ĐẠI

Bình Định - 2020

Mục lục

1.1 Đại cương về không gian tôpô 4

1.2 Ánh xạ liên tục 10

1.3 Không gian tích - Không gian thương 11

1.4 Các tiên đề tách 14

1.5 Không gian compact - Không gian liên thông 16

2 Các tập ω-mở và các hàm ω-liên tục 21 2.1 Một số khái niệm trong không gian tôpô tổng quát 21

2.2 Các tập ω-mở trong các không gian tôpô tổng quát 22

2.3 Tính liên tục trên các tập ω-mở trong các không gian tôpô tổng quát 26

3 Các tập ωs-mở và các hàm ωs-liên tục 32 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 33

3.2 Các tập ωs-mở trong các không gian tôpô tổng quát 33

3.3 Tính liên tục trên các tập ωs-mở trong các không gian tôpô tổng quát 38

pτ coc q X : Tôpô đối đếm được trên X

µprod : Tích của pX, µ 1 q và pY, µ 2 q

Aω : ω-bao đóng của A trong pX, τq

intωpAq : ω-phần trong của A trong pX, τq

ExtωpAq : ω-phần ngoài của A trong pX, τq

ω s pX, τq : Họ mọi tập ω s-mở của pX, τq

Aωs : ωs-bao đóng của A trong pX, τq

intω pAq : ωs-phần trong của A trong pX, τq

MỞ ĐẦU

Các không gian tôpô là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa cáckhái niệm như là hội tụ, tính liên thông và tính liên tục Chúng xuất hiện hầunhư trong tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thốngnhất có tính trọng tâm

Cho pX, τq là một không gian tôpô và A € X. Engelking, trong [21], đã địnhnghĩa một điểm x P X được gọi là một điểm tụ của A nếu với mọi U P τ sao cho

x P U,tập U XAlà không đếm được Năm 1982, Hdeib [22] đã định nghĩa các tập

ω-đóng và ω-mở như sau: A được gọi là tậpω-đóng nếu nó chứa tất cả các điểm

tụ của nó Phần bù của tậpω-đóng được gọi là tập ω-mở Họ tất cả các tập con

ω-mở của X là một tôpô trên X,và ký hiệu là τ ω Có rất nhiều khái niệm và kếtquả liên quan đến các tập ω-đóng và ω-mở được nghiên cứu trong thời gian gầnđây Năm 2002, Csaszar [11] định nghĩa không gian tôpô tổng quát như sau: cặp

pX, µq là một không gian tôpô tổng quát nếuX là tập khác rỗng và µlà tập cáctập con của X sao cho H P µ và hợp bất kỳ các tập con của µthuộc µ, các phần

tử của µ được gọi là các tập µ-mở, phần bù các tập µ-mở được gọi là các tập

µ-đóng, hợp tất cả các phần tử của µ được ký hiệu là Mµ và không gian tôpô

pX, µq được gọi là mạnh nếu Mµ  X. Gần đây, năm 2016, Samer và Wafa [34]

đã đưa ra khái niệm các tập ω-mở trong không gian tôpô tổng quát như sau:Cho pX, µq là một không gian tôpô tổng quát và B € X. Một điểm x P X đượcgọi là điểm tụ của B nếu với mọi A P µ sao cho x P A, tập A X B là không đếmđược Tập tất cả các điểm tụ của B ký hiệu là Cond (B) TậpB là ω-µ-đóng nếuCondpBq „ B. Tập B là ω-µ-mở nếu X zB là tập ω-µ-đóng Họ tất cả các tập

ω-µ-mở của pX, µq ký hiệu là µω. Họ đã sử dụng khái niệm này để đưa ra cáclớp mới các ánh xạ trong các không gian tôpô tổng quát, đồng thời cũng trìnhbày nhiều đặc trưng, tính chất và các ví dụ liên quan đến khái niệm mới.Một khái niệm khác có liên quan chặt chẽ với các tập mở đó là các tập nửa

mở Khái niệm này đã được Levine [28] đưa ra lần đầu tiên vào năm 1963 như

sau: Tập hợp A là nửa mở nếu tồn tại tập mở U sao cho U „ A „ U, hoặcnói một cách tương đương là A „ intpAq. Ta ký hiệu SO pX, τq là họ tất cảcác tập nửa mở trong không gian tôpô pX, τq. Bằng cách sử dụng các tập nửa

mở, ông cũng đã tổng quát tính liên tục bởi tính nửa liên tục như sau: Hàm

f : pX, τ 1 q Ñ pY, τ 2 q giữa hai không gian tôpô được gọi là nửa liên tục nếu vớimọi V P τ 2 , f
1 pV q P SOpX, τ 1 q. Năm 2002, Al-Zoubi và Al-Nashef [4], đã sửdụng các tậpω-mở để định nghĩa các tập nửa ω-mở như sau: Tập Alà nửa ω-mởnếu tồn tại tập ω-mở U sao cho U „ A „ U. Họ tất cả các tập nửa ω-mở củakhông gian tôpô pX, τq được ký hiệu là SωO pX, τq. Al-Zoubi, trong [5], đã sửdụng khái niệm tập nửa ω-mở để giới thiệu hàm nửa ω-liên tục như sau: Hàm

f : pX, τ 1 q Ñ pY, τ 2 q giữa hai không gian tôpô gọi là nửa ω-liên tục nếu với mọi

V P τ 2 , f
1 pV q P SωOpX, τ 1 q.Mới đây, một khái niệm yếu hơn “tập mở” và mạnhhơn “tập nửa mở” được Samer và Kafa [33] đề xuất nghiên cứu như sau: Tập A

làωs-mở nếu tồn tại một tập mở U sao cho U „ A „ Uω. Các tác giả đã xem xétlớp các tập này và sử dụng nó để nghiên cứu mối liên hệ chặt chẽ giữa tính liêntục và nửa liên tục của một lớp mới các hàm

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu các đặc trưng của các tập ω-mở

và ωs-mở trong các không gian tôpô tổng quát

Luận văn sẽ tập trung giải quyết các bài toán sau:

1 Nghiên cứu các đặc trưng của các tập ω-mở trong không gian tôpô tổngquát, từ đó nghiên cứu các đặc trưng của các khái niệm Lindel¨of, compact,compact đếm được, liên tục, trong không gian tôpô tổng quát

2 Nghiên cứu vấn đề tương tự như trên đối với các tập ωs-mở

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia thành

ˆ Chương 3 dành cho việc trình bày khái niệm các tậpωs-mở trong các khônggian tôpô tổng quát và sử dụng các khái niệm đó để tìm hiểu lớp các tập,

cũng như mối liên hệ chặt chẽ giữa tính liên tục và nửa liên tục của cáclớp hàm mới.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy TS NguyễnVăn Đại, Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp này tôixin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn,Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán, cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớpcao học Toán giải tích khóa 21 đã dày công giảng dạy trong suốt khóa học, tạođiều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài

Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần củagia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóahọc và luận văn này

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân,nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiêncứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mongnhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để luận văn được hoàn thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn

sợ nhầm lẫn, ta thường ký hiệu vắn tắt không gian tôpô pX, τq là X. Tôpô nàyđược gọi là tôpô thô.

1.1.2 Ví dụ

1) Cho X là một tập hợp khác rỗng tùy ý Lấy τ  tX, Hu. Khi đó 3 tiên đềcủa tôpô được thỏa mãn một cách hiển nhiên Tôpô này được gọi là tôpôthô

3) Cho X là một tập tùy ý τ  PpXq là tập hợp tất cả các tập con của X.

Lúc đó τ cũng là một tôpô trên X. Tôpô này được gọi là tôpô rời rạc

1) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric Gọi τ là họ tất cả các tập mở trên

X. Lúc đó (X, τ) là một không gian tôpô Đặc biệt trên R, tôpô xác địnhbởi mêtric d px, yq  |x
y| gọi là tôpô thông thường

Để ý rằng trên cùng một tập hợp X cho trước, ta có thể cho nhiều tôpôkhác nhau Khi đó ta nhận được các không gian tôpô khác nhau (có chungmột tập nền X) Nếu τ1 và τ2 là hai tôpô như vậy, khi đó ta có hai khônggian tôpô pX, τ 1 q và pX, τ 2 q.

Bây giờ τ 1 và τ 2 là hai tôpô trên X thỏa mãn điều kiện τ 1 € τ 2 , thì ta gọi

τ1 yếu hơn τ2 hay τ2 mạnh hơn τ1 và ký hiệu τ1 ¤ τ 2 Hiển nhiên tôpô thô

là tôpô yếu nhất và tôpô rời rạc là tôpô mạnh nhất trong tất cả các tôpôcùng xác định trên tập X.

Cũng có thể xảy ra trường hợp hai tôpô τ 1 và τ 2 không so sánh được vớinhau, chẳng hạn τ 1 không chứa trong τ 2 hoặc ngược lại, τ 2 không chứatrong τ1.

1.1.3 Lân cận

Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, τ) là một không gian tôpô và x0 P X. Tập A € X

được gọi là một lân cận của x0 nếu tồn tại tập mở U P τ sao cho x0 P U € A.

Hiển nhiên nếu U P τ thì U là lân cận của mọi điểm của nó Tuy nhiên một lâncận của x 0 chưa chắc là một tập mở

Nếu A là một lân cận của x 0 thì x 0 được gọi là một điểm trong của A. Nóicách khác, x0 là điểm trong của A € X khi và chỉ khi tồn tại U P τ sao cho

Định lí 1.1.2 Cho X là một không gian tôpô Khi đó

1) H, X là các tập đóng;

2) Giao một họ tùy ý các tập đóng là một tập đóng;

3) Hợp một số hữu hạn các tập đóng là tập đóng

1.1.5 Phần trong và bao đóng của một tập hợp

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X là một không gian tôpô và A € X. Lúc đó có ítnhất một tập mở chứa trongA chẳng hạn tập rỗng Hợp tất cả các tập mở chứatrong A được gọi là phần trong của tập A, ký hiệu là ˚hay intA. Ta có

Định nghĩa 1.1.4 Cho A € X. Luôn luôn có ít nhất một tập đóng chứa A,

chẳng hạn X. Giao tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của A, kýhiệu A. Hiển nhiên A là tập đóng bé nhất chứa A.

Từ định nghĩa ta có ngay kết quả: A là tập đóng khi và chỉ khi A  A.

Định lí 1.1.4 Cho A, B € X, ta có

1) A  A;

2) Nếu A € B thì A € B;

3) A Y B  A Y B.

1.1.6 Điểm dính - Điểm tụ

Định nghĩa 1.1.5 Cho A là một tập con của không gian tôpô X. Một điểm

x P X được gọi là điểm dính của tập A nếu với mọi lân cận V của x ta đều có

V X A  H.

Nếu với mọi lân cận V của x ta đều có V X pAztxuq  H thì x được gọi làmột điểm tụ của tập A. Hiển nhiên mọi điểm tụ của A đều là điểm dính của A

nhưng điều ngược lại không đúng

Định lí 1.1.5 Bao đóng của tập hợp A là tập hợp tất cả các điểm dính của A.

1.1.7 Tập hợp trù mật - Không gian khả li

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử A, B là hai tập con trong không gian tôpô X. Nếu

B € A thì ta nói tập A trù mật trong tập B. Nếu A € X và A  X thì A đượcgọi là trù mật trong X hay A là một tập hợp trù mật khắp nơi

Ta có các tính chất sau

1) Nếu A trù mật trong B, B trù mật trong C thì A trù mật trong C;

2) Tập A trù mật trong B khi và chỉ khi với mọi x P B và mọi lân cận V của

x ta có V X A  H.

Định nghĩa 1.1.7 Không gian tôpô X được gọi là khả li (hay tách được) nếutrong X tồn tại một tập con A hữu hạn hay đếm được và A trù mật khắp nơi.1.1.8 Cơ sở của tôpô

Thông thường để cho một tôpô trên X ta phải chỉ rõ tất cả các tập mở (tức

là các tập hợp thuộc τ) Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta chỉ cần tìm mộttập con của τ là đủ xác định tôpô τ.

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử (X, τ) là một không gian tôpô và H  B € τ. Họ B

được gọi là một cơ sở của tôpô τ nếu với mọi G P τ tồn tại một họ con B1 € B

sao cho G  ¤

B PB 1 B.

Ví dụ 1.1.1 1) Theo định nghĩa thì τ chính là một cơ sở của không giantôpô pX, τq.

2) Tôpô thông thường trên R nhận họ các khoảng mở pa, bq làm một cơ sởcủa nó.

Định lí 1.1.6 Họ B € τ là một cơ sở của không gian tôpô pX, τq khi và chỉ khivới mọi x P X và với mọi lân cận V của x đều tồn tại B P B sao cho x P B € V.

Định lí 1.1.7 Cho B  tU α : α P Iu € PpXq thỏa mãn hai điều kiện:

a) Với mọiU, V P B và với mọix € UXV,tồn tạiW P Bsao cho x P W € UXV ;

b) Với mọi x P X tồn tại U P B sao cho x P U.

Khi đó tồn tại một tôpô trên X sao cho B là một cơ sở của τ.

1.1.9 Cơ sở lân cận

Định nghĩa 1.1.9 Một họ V những lân cận của điểm x P X được gọi là một

cơ sở lân cận của x P X nếu với mọi lân cận U của x đều tồn tại một lân cận

V P V sao cho x P V € U.

Theo định nghĩa, với mỗi x P X luôn luôn tồn tại cơ sở lân cận của nó (chẳnghạn tập tất cả các lân cận của x) Trong thực tế ta thường quan tâm đến cơ sởlân cận bé nhất (theo quan hệ bao hàm) của điểm x.

Định lí 1.1.8 Cho X là không gian tôpô Giả sử V x là một cơ sở lân cận củamỗi điểm x P X. Khi đó ta có

1) Với mọi x P X, với mọi VxP V x , ta có x P V x ;

2) Nếu Vx1, Vx2P V x thì tồn tại VxP V sao cho Vx € V 1

Định lí 1.1.9 Cho B là một cơ sở của không gian tôpô X. Giả sử họ B đếmđược Khi đó X khả li và tại mỗi điểm x P X đều tồn tại một cơ sở lân cận hữuhạn hoặc đếm được

Định nghĩa 1.1.10 Không gian tôpô X có cơ sở đếm được gọi là không gianthỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai NếuX thỏa mãn tính chất là với mọi x P X

đều tồn tại cơ sở lân cận đếm được thì X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm đượcthứ nhất

Họ U € PpXq được gọi là một phủ của tập A trong không gian X khi và chỉkhi A là một tập con của ¤

B PU

B. PhủU được gọi là phủ mở của A nếu mọi phần

tử của nó là tập mở Phủ con của phủ U là một họ con của U mà bản thân họnày cũng là một phủ của A.

Định lí 1.1.10 (Lindel¨of) Giả sử pX, τq là một không gian tôpô có cơ sở đếmđược Khi đó mọi phủ mở tùy ý U của một tập A € X đều tồn tại một phủ conđếm được

Không gian tôpô được gọi là không gian Lindel¨of nếu với mọi phủ mở bất

kỳ của nó đều tồn tại phủ con đếm được Như vậy, không gian thỏa mãn tiên

đề đếm thứ hai là một không gian Lindel¨of

1.1.10 Không gian con

ChopX, τqlà một không gian tôpô vàY € X.Ta đặtτY  tGXY : G P τu.Lúc

ấy τY là một tôpô trên tập Y. Thật vậy, H  H X Y, Y  X X Y nên H, Y P τ Y

αPI

Gα P τ. Tương tự, giao của hai tập thuộc τY cũng là một tậpthuộc τY.

Định nghĩa 1.1.11 Tôpô τY được gọi là tôpô cảm sinh lên tập Y bởi tôpô τ

trong X. Không gian tôpô pY, τ Y q được gọi là không gian con của không gian

pX, τq.

Giả sử X là một không gian tôpô, Y là không gian con của X và A là mộttập con của Y. Để ý rằng, nếu A là một tập mở (hay đóng) trong Y thì chưachắc A là mở (hay đóng) trong X. Tuy nhiên ta có

Định lí 1.1.11 Cho pX, τq là không gian tôpô và pY, τ Y q là không gian con của

pX, τq. Khi đó

a) A € Y là một tập mở trong không gian con Y khi và chỉ khi A  Y X G với

G là một tập mở trong không gian X.

b) B € Y là một tập đóng trong không gian con Y khi và chỉ khi B  Y X F

với F là một tập đóng trong không gian X.

Hệ quả 1.1.1 Cho Y là một không gian con của không gian tôpô X và y P Y.

Khi đó nếu Vy là một lân cận của y trong Y thì tồn tại một lân cận V của y

trong X sao cho Vy  V X Y.

Hệ quả 1.1.2 Cho X là một không gian tôpô và Y là một không gian con của

Cho X và Y là các không gian tôpô

Ánh xạ f : X Ñ Y được gọi là liên tục tại điểm x0 P X nếu với mọi lân cận

V của f px 0 q tồn tại lân cận U của x0 sao cho f pUq € V.

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu như f liên tục tại mọi điểm x P X.

1.2.2 Định lí

Cho X, Y là hai không gian tôpô và f : X Ñ Y là một ánh xạ Các mệnh đềsau đây là tương đương:

a) f liên tục trên X;

b) Với mọi tập đóng F € Y thì f
1 pF q là tập đóng trong X;

c) Với mọi tập mở G € Y thì tập f
1 pGq mở trong X;

d) f pAq € fpAq với mọi tập A € X.

1.2.3 Định lí

Giả sử X, Y, Z là ba không gian tôpô, f : X Ñ Y là ánh xạ liên tục tại x 0 P X

vàg : Y Ñ Z là ánh xạ liên tục tại y0  fpx 0 q.Khi đó ánh xạ hợph  gf : X Ñ Z

liên tục tại x0 P X.

1.2.4 Phép đồng phôi

Cho X, Y là hai không gian tôpô Giả sử f : X Ñ Y là một song ánh sao cho

f và ánh xạ ngược f
1 của nó cùng liên tục thì f được gọi là một phép đồng

phôi (hay phép biến đổi tôpô ) từ X lên Y. Hai không gian tôpô được gọi là đồngphôi với nhau nếu có một phép đồng phôi từ không gian này lên không gian kia

Ta còn gọi hai không gian này là tương đương tôpô Nếu một tính chất nào cóđối với không gian tôpô X thì nó cũng có đối với không gian tôpô Y đồng phôivới nó thì tính chất ấy được gọi là một bất biến tôpô

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử X là một tập tùy ý, pX α q αPI là một họ các không

gian tôpô và mỗi α P I ta có một ánh xạ fα : X Ñ X α từ tập X vào tập Xα. NếutrênX ta xét tôpô mạnh nhất (tức là tôpô rời rạc) thì hiển nhiên tất cả các ánh

xạ fα đều liên tục Trường hợp này là tầm thường Ta sẽ chứng tỏ rằng trên X

sẽ tồn tại một tôpô yếu nhất τ sao cho tất cả các ánh xạ fα đề liên tục

Ký hiệu τα là tôpô trong Xα. Đặt G 

τ-mở khi và chỉ khi A là hợp của một họ các tập thuộc B.

Giả sử Σ là một tôpô trên X sao cho tất cả các fα đều liên tục Khi đó nếu

Định lí 1.3.1 Giả sử τ là tôpô đầu trên X xác định bởi họ ánh xạ pf α q αPI, fα :

X Ñ X α , Y là một không gian tôpô và f : Y Ñ X là một ánh xạ Khi đó f liêntục khi và chỉ khi với mọi α P I, các ánh xạ fα f liên tục

Bây giờ cho X là một tập vàpX α q α PI là một họ các không gian tôpô Với mỗi

α P I, ta có ánh xạ gα : Xα Ñ X. Nếu trang bị cho X tôpô yếu nhất (tức là tôpôthô) thì tất cả các ánh xạ gα đều liên tục Vấn đề là hãy tìm trên X một tôpômạnh nhất làm cho tất cả các ánh xạ g α đều liên tục Đặt ξ là họ tất cả các tậpcon G € X sao cho g
1

α pGq là tập mở trong X α với mọi α P I. Khi đó ta kiểmtra được ξ là một tôpô trên X. Nếu η là một tôpô trên X sao cho gα liên tục và

G là một η-mở thì g
1

α pGq mở trong Xα với mọi α P I nên G P ξ và do đó η ¤ ξ.

Vậy ξ là tôpô mạnh nhất trên X làm cho tất cả các pg α q liên tục

Định nghĩa 1.3.2 Tôpô ξ mô tả ở trên được gọi là tôpô cuối trên X xác địnhbởi họ các ánh xạ pg α q αPI

Các xα, α P I là các thành phần (tọa độ) của phần tử px α q α PI. Với mỗi α0 P I,

ta xét phép chiếu pα : X Ñ X α , cho bởi

Ta hãy xác định rõ hơn tôpô Tikhonov trên X như sau Nếu Gα0 là một tập

liên tục là với mọi α P I, các ánh xạ p α  f : Y Ñ X α liên tục

1.3.3 Không gian thương

Định nghĩa 1.3.4 Cho X là một không gian tôpô Giả sử trên X có một quan

hệ tương đương R. Ký hiệu X  X{R  t˜x : ˜x là lớp tương đươngu và g là ánh

xạ thương, đó là phép chiếu từ X lên X cho bởi công thức

X Q x Ñ gpxq  ˜x  ty P X{yRxu.

Tôpô mạnh nhất trong các tôpô trênX sao chog liên tục (tôpô cuối xác địnhbởi ánh xạg) được gọi là tôpô thương trênX Khi đóX cùng với tôpô này đượcgọi là không gian tôpô thương của X theo quan hệ R.

Định lí 1.3.2 Cho X là không gian tôpô và R là quan hệ tương đương trên X.

Khi đó

a) Tập hợp V € X là tập mở khi và chỉ khi g
1 pV q  ¤

˜ xPV

˜

x là tập mở trong X.

b) Tập hợp F € X là đóng khi và chỉ khi g
1 pF q là tập đóng trong X.

Định lí sau là một hệ quả của Định lí 1.3.2

Định lí 1.3.3 Cho X, Y là hai không gian tôpô, X {R là không gian thươngtheo quan hệ tương đương R và f : X {R Ñ Y. Khi đó f liên tục khi và chỉ khi

f  g : X Ñ Y liên tục

1.4 Các tiên đề tách

Không gian tôpô theo định nghĩa là một cấu trúc toán học khá đơn giản vàrất tổng quát nên có thể ứng dụng vào nhiều tình huống khác nhau Tuy nhiên,nếu không bổ sung các yêu cầu khác thì nó ít có những tính chất thú vị Chẳnghạn, trong các không gian thô thì ta không thể phân biệt các điểm với nhau,còn không gian rời rạc thì mỗi điểm lại thu về từng ốc đảo nên chúng không có

gì để nghiên cứu thêm Mục này nhắc lại một số vấn đề về tách các điểm cũngnhư các tập đóng trong không gian tôpô

1.4.1 Các định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.4.1 Không gian tôpô pX, τq được gọi là không gian thỏa mãntiên đề tách T1 (hay T1-không gian) nếu với hai điểm khác nhau trong X thì sẽtồn tại một lân cận của điểm này mà không chứa điểm kia

Định lí 1.4.1 Không gian tôpôX là một T 1-không gian khi và chỉ khi mỗi phần

tử x P X, tập hợp txu là tập đóng

Định nghĩa 1.4.2 Không gian tôpô X được gọi là một T2-không gian hay làkhông gian Hausdorff nếu với hai điểm x, y P X, x  y thì sẽ tồn tại các lân cận

U của x, lân cận V của y sao cho U X V  H.

Ví dụ 1.4.1 1) Các không gian metric đều là không gian Hausdorff

2) Mọi T2-không gian đều là T1-không gian

Định nghĩa 1.4.3 Không gian tôpô X được gọi là một T 3-không gian hay làkhông gian chính quy nếuX làT 1- không gian và với mọix P X và mọi tập đóng

F € X sao cho x R F thì tồn tại các tập mở U Q x và V  F sao cho U X V  H.

Định lí 1.4.2 Cho X là một T1-không gian Lúc đó X là T3-không gian khi vàchỉ khi với mọi x P X, với mọi lân cận V của x, tồn tại một lân cận U của x saocho x P U € U € V.

Định nghĩa 1.4.4 Không gian tôpô được gọi là mộtT4-không gian hay là khônggian chuẩn tắc, nếu nó là một T1-không gian và với hai tập đóng A, B khônggiao nhau, sẽ tồn tại hai tập mở U  A, V  B sao cho U X V  H.

Định lí 1.4.3 Để không gian tôpô X là không gian chuẩn tắc, điều kiện cần và

đủ là với mọi tập đóng A và mọi tập mở G  A đều tồn tại một tập mở U saocho A € U € U € G.

Định lí 1.4.4 Cho X là một không gian tôpô chính quy Giả sử X thỏa mãntiên đề đếm được thứ hai Lúc đó X là một không gian chuẩn tắc

1.4.2 Sự tồn tại các hàm liên tục

Định lí 1.4.5 (Bổ đề Uryshon) Giả sử X là một không gian tôpô chuẩn tắc, A

và B là hai tập con đóng của X sao cho A X B  H. Khi đó tồn tại một hàm sốliên tục f : X ÑR sao cho

a) f pxq P r0, 1s, với mọi x P X;

b) f pxq  0 khi x P A;

c) f pxq  1 khi x P B.

Hệ quả 1.4.1 Giả sử X là một không gian chuẩn tắc Khi đó họ C pXq các hàm

số liên tục trên X tách các điểm của X, nghĩa là với mọi x1, x2 P X, x 1  x 2 thìtồn tại một hàm số f P CpXq sao cho f px 1 q  fpx 2 q.

Định lí 1.4.6 (Định lí Tietze-Uryshon) Cho X là một không gian chuẩn tắc

và M là một tập đóng chứa trong X. Giả sử f : M ÑR là một hàm số thực liêntục sao cho sup

x PM |fpxq|   8. Khi đó tồn tại một hàm số thực liên tục F trên X

1.5 Không gian compact - Không gian liên thông

1.5.1 Không gian compact

Định nghĩa 1.5.1 Tập K € X của không gian tôpô X được gọi là một tậpcompact nếu mỗi phủ mở của nó đều có chứa một phủ con hữu hạn Nói cáchkhác, giả sử pG α q α PI là họ các tập mở thỏa mãn K € ¤

Điều ngược lại của định lí chỉ đúng nếu như X là một T 2-không gian

Định lí 1.5.2 Nếu X là một T2 - không gian thì mọi tập con compact của X

đều là tập đóng

Chứng minh Cho K là tập compact chứa trong X. Ta chứng minh X zK là tập

mở Lấy y P XzK. Với mọi x P K đều tồn tại các lân cận mở V pxq của x và lâncậnVxpyq củay sao cho V pxq X V x pyq  H. Họ U  tV pxqu x PK là một phủ mở của

K nên tồn tại phủ con hữu hạn:

Từ việc chứng minh định lí trên ta suy ra

Hệ quả 1.5.1 Nếu X là một T2-không gian, K là một tập con compact của X

và x R K thì tồn tại tập mở U Q x, tập mở V  K sao cho U X V  H.

Định lí 1.5.3 Cho X là một T2-không gian và A, B là hai tập compact của X

và A X B  H. Khi đó tồn tại hai tập mở U, V trong X sao cho A € U, B € V

và U X V  H.

Hệ quả 1.5.2 Giả sử X là một T 2-không gian và đồng thời X còn là compact.Khi đó X là một T4-không gian (tức là không gian chuẩn tắc)

Định nghĩa 1.5.2 Họ F  pF α q α PI € PpXq gọi là một họ có tâm nếu F  H

và giao hữu hạn bất kỳ các phần tử của F đều khác rỗng, nghĩa là với bất kỳtập hữu hạn tα 1 , , α n u € I ta đều có

Định lí 1.5.5 Cho pX, Y qlà hai không gian tôpô và f là một ánh xạ liên tục từ

X vào Y. Nếu K € X là một tập compact thìf pKq € Y cũng là một tập compact.Định lí 1.5.6 (Định lí Tikhonov) Để tích X  ¹

αPI

Xα của họ các không giantôpô pX α q α PI là compact, điều kiện cần và đủ là mọi αP I, X α là các không giancompact

Ta nhắc lại rằng trong không gian Euclide Rn (với tôpô thông thường), mỗitập A €Rn là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn

Định lí 1.5.7 1) Để một tập con A trong Rn là compact, điều kiện cần và

đủ là mọi dãy bất kỳ trong A đều tồn tại một dãy con của nó hội tụ về mộtđiểm trong tập A.

2) Đối với mỗi tập đóng trong Rn , các khái niệm compact, bị chặn và hoàntoàn bị chặn là tương đương

1.5.2 Không gian compact địa phương

Định nghĩa 1.5.3 Không gian tôpôX được gọi là compact địa phương nếu vớimọi x P X đều tồn tại một lân cận đóng và compact

Định lí 1.5.8 a) Không gian con đóng của một không gian compact địaphương là một không gian compact địa phương

b) Không gian con mở của một không gian Hausdorff compact địa phương làcompact địa phương

1.5.3 Compact hóa

Định nghĩa 1.5.4 Cho X là một không gian tôpô không compact và cho cặp

pY, ϕq trong đó Y là một không gian compact, ϕ : X Ñ ϕpXq € Y là một phépđồng phôi sao cho ϕ pXq  Y. Khi đó ta gọi cặp pY, ϕq là một compact hóa củakhông gian tôpô X.

Bây giờ giả sử pX, τq là một không gian compact địa phương nhưng khôngcompact Ký hiệu 8 là một điểm không thuộc X. Đặt X 8  X Y t8u. Ta xácđịnh τ 8 € PpX 8 q gồm tất cả các phần tử của τ và những tập con G € X 8 có

chứa 8 sao cho G  U Y t8u, U P τ và X zU là tập compact của X. Ký hiệu

i : X Ñ X 8 là phép nhúng đồng nhất.

Định lí 1.5.9 (Alexandrov) Với các ký hiệu trình bày ở trên ta có pX 8, iq làmột compact hóa của X.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh X 8 là một tập compact Giả sử pG α q αPI

là một phủ mở củaX 8 và8 P G α 0 vớiα 0 P I.Theo định nghĩa,X zG α 0  X 8 zG α 0

Để ý rằng, họ pG α q αPI cũng phủ X zG α 0 nên tồn tại α 1 , , α n P I để G α 1 , , G α n

phủ X zG α 0 Vậy Gα0, , Gαn phủ X 8.

Ta kiểm trapX, τq là không gian con của X 8. Điều này hiển nhiên vì với mọi

G P τ ta có G  X 8 X G. Hơn nữa, i : X Ñ X 8 rõ ràng là phép đồng phôi từ X

lên i pXq  X € X 8 Ta còn chứng minh X  X 8 Thật vậy, một lân cận của 8

trong X 8 có dạng t8u Y U trong đó U  H do X zU compact

Ta gọi compact hóa vừa xây dựng ở trên là compact hóa một điểm haycompact hóa Alexandrov

Định lí 1.5.10 Cho X là một không gian compact địa phương và đồng thời là

T2-không gian Khi đó với mọi tập compact K € X và mọi tập mở U  K đềutồn tại hàm f : X ÑR liên tục, thỏa mãn các điều kiện sau:

b) f px 0 q  1;

c) f pF q  t0u.

1.5.4 Không gian liên thông

Định nghĩa 1.5.5 Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu trong X chỉ

có hai tập H và X là đồng thời vừa mở và vừa đóng

Nói cách khác,X là một không gian liên thông nếu không tồn tại hai tập mởkhác rỗng A, B sao cho A X B  H và X  A Y B.

Tập Y € X được gọi là tập liên thông nếu Y, xem như là không gian con của

X, là không gian liên thông

Định lí 1.5.11 Nếu A là tập liên thông trong không gian tôpô X thì mọi tập

B thỏa mãn A € B € A đều liên thông

Định lí 1.5.12 Giả sử pA α q αPI là một họ những tập liên thông trong không gian

tôpô X sao cho £

α PI

A α  H. Khi đó A  ¤

α PI

A α là tập liên thông trong X.

Định lí 1.5.13 Cho A1, , An là các tập liên thông trong không gian tôpô X

sao cho AiX A i 1  H với i  1, 2, , n
1. Khi đó

n

¤

i 1

Ai cũng là một tập liênthông trong X.

Định nghĩa 1.5.6 Cho X là không gian tôpô, x P X. Ký hiệu C pxq là hợp tất

cả các tập liên thông A sao cho x P A và ta gọi C pxq là thành phần liên thôngcủax trong X. Nếu C pxq  txu với mọi x P X thì X được gọi là không gian hoàntoàn bất liên thông

Từ định nghĩa ta có

Định lí 1.5.14 Cho X là một không gian tôpô Khi đó

1) Thành phần liên thông C pxq là tập liên thông lớn nhất trong X có chứa x.

2) Vớix, y P X ta có một trong hai trường hợp C pxq  Cpyqhoặc C pxqXCpyq  H.

3) Với mọi x P X ta có C pxq là một tập đóng

Định lí 1.5.15 Giả sử f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y và A là một tậpliên thông trong X. Khi đó f pAq là tập liên thông trong Y.

Định lí sau đây nêu lên đặc trưng của tập liên thông trong R.

Định lí 1.5.16 Tập con E € R là liên thông khi và chỉ khi E thỏa mãn tínhchất: Với mọi x, y P E nếu x   z   y thì z P E.

Hệ quả 1.5.4 Tập E trong R là liên thông khi và chỉ khi E là một khoảng, tức

là một trong các tập có dạng sau:p
8, bq, p
8, bs, pa, 8q, ra, 8q, p
8, 8q,

ra, bq, ra, bs, pa, bs, pa, bq với mọi a, b PR.

X. Ký hiệu làτω. Nhiều khái niệm tôpô và kết quả liên quan đến tậpω-đóng vàtập ω-mở được nhắc đến trong [2], [3], [6], [7], [8], [9], [18], [19], [23], [35], [37]

và trong nhiều tài liệu tham khảo gần đây Năm 2002, Csaszar [11] định nghĩakhông gian tôpô tổng quát như sau: Cặp pX, µq là không gian tôpô tổng quátnếuX  H và µ là tập các tập con của X sao choH P µ và µ đóng với các phéptoán hợp tùy ý Đối với không gian tôpô tổng quát pX, µq, các phần tử của µ

được gọi là tập µ-mở, phần bù của tập µ-mở được gọi là tập µ-đóng, hợp tất cảcác phần tử củaµ được ký hiệu là M µ , và pX, µq được gọi là mạnh nếu M µ  X.

Gần đây, nhiều khái niệm tôpô mới được đưa ra trong cấu trúc của không giantôpô tổng quát, xem [1], [10], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [24], [25], [26], [27],[29], [30], [31], [32], [36] Ở chương này, ta tìm hiểu khái niệm các tậpµ-mở trongkhông gian tôpô tổng quát Sử dụng khái niệm các tập ω-mở để tìm hiểu cácđặc trưng Lindel¨of, compact, liên tục trong các không gian tôpô tổng quát

2.1 Một số khái niệm trong không gian tôpô tổng

quát

Định nghĩa 2.1.1 ([14]) Cho pX, µq là một không gian tôpô tổng quát và B

là tập các tập con của X sao cho H P B. Khi đó, B được gọi là một cơ sở của µ