bài tập giới hạn trong các đề thi HSG môn toán lớp 11

Xác định công thức un... Tìm số hạng tổng quát của dãy... Chứng minh rằng dãy số  u n xác định như trên là một dãy số bị chặn... Tính giới hạn 23 lim.. u n n + ìï = ïïï ïî Chứng minh r

Giới hạn trong các đề thi HSG lớp 11

Câu 1: Cho dãy số(un):

* 1

2

0; 1

, 2

n









a Chứng minh rằng: 1

1 1 2

b Xác định công thức un Tính limun

Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi: { u 1 = 1

3 ¿ ¿¿¿ Với mọi n∈N¿

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) và tìm lim un

b)Tính tổng S=u1+

u2

2 +

u3

3 + +

u11

11

Câu 3: Cho dãy số  u n xác định bởi

1

*

1 3

2018

2017

, 4034

n n

n n

u

u















a) Chứng minh rằng u n 2017, n N*

b) Đặt

* 3

1

1 , 2017

n

n

k k

u







Tìm limSn

Câu 4: Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số  u n biết

1 1

3

2 n n 4, khi 1

u









Câu 5: Tìm giới hạn

3

2 1

lim

1

x

x





Câu 6: Cho dãy số (u n ) có u 1 = 2017;

n



1.Chứng minh dãy số (u n) giảm và bị chặn dưới

2.Tính lim(u n)

Câu 7: Tính

5

lim

2 2

x x





Câu 8: Cho dãy số ( un) được xác định như sau : { u 1 = 2 ¿¿¿¿¿

a)Chứng minh dãy ( un) tăng nhưng không bị chặn

b) Đặt

S= 1

u1+1 +

1

u2+1 + + 1

u n+1 Tính n→+∞lim S

Câu 9: Tính giới hạn: lim

x →0

17

√ 2017 x+1−1

x

Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi :

1 1

11

u







Tìm công thức tính un theo n

Câu 11: Tìm giới hạn: H =

x 1

x x x x 2017 lim

x x x x 2018



    

    

Câu 12: Tính giới hạn sau: 1

lim

x

x x



 

Câu 13: Tìm số nguyên dương n sao cho: 2.223.234.24 n.2n 2n12

Câu 14: Cho

( u n ) : ¿ { u 1 =1, ¿ ¿¿

a) CMR un> 0 ∀ n∈N¿

b) CMR (u n ) là có giới hạn và tìm lim u n

Câu 15: Tìm

lim

x →1

x2017−2017 x +2016 (x −1)2

Câu 16: Cho dãy số (Un)xác định bởi:

1

2 1

1 2017

n

u

u









 



1 2

n n

n

u

S

Tìm limS n

Câu 17: Tính giới hạn sau: lim

x →0

√2 x +1 √32.3 x +1 √43.4 x +1 …2017√2016.2017 x +1−1

x

Câu 18: Cho dãy số được lập theo quy tắc:

1





Chứng minh số hạng tổng quát của dãy trên là: u n n2 3n3

Câu 19: Cho dãy số  a n thỏa mãn:    

1

4

a











 Tìm lima n

Câu 20: Cho dãy số thực ( )u xác định bởi: n

1

1

2

n n

u







 a) Chứng minh dãy số đã cho là dãy số giảm

b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) và tìm

3 lim

n

n

u

Câu 21 : Tính giới hạn :

3

0

lim

1 cos





x

x

Câu 22 : Cho dãy số  u n được xác định bởi: 2

1 2018, n 1 n n 1, 1,2,3,

a) Chứng minh rằng dãy  u n

tăng và limu  n

b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt 1 2

n

n

v

  Tính lim v n

Câu 25: Cho dãy số ( )x n xác định như sau :

0

1

1 2 2( 1) 1

n n

n

x

x x











2 lim ( n)

n n x

 

Câu 26: Cho dãy số (xn) (n = 1, 2, …) được xác định như sau:

x1 = 1 và x n1  x x n( n 1)(x n 2)(x n 3) 1 với n = 1, 2, …

1 2

n

n

i i

y

x









(n = 1, 2, ….) Tìm limn y n

 

Câu 27 : Tính giới hạn

2015

2 1

2015 2014 lim

( 1)

x

I

x





Câu 28: Cho dãy số  u n

1

1

4;

u







       





với mọi n N n , 2 Tìm số hạng tổng quát của dãy

Câu 29: Cho n

Câu 30: Tính giới hạn sau:

lim

n→∞

1

√n( √1+1√3+

1

√3+√5+ +

1

√2 n−1+√2 n+1)

Câu 31: Tìm giới hạn sau:

3 2 2

lim

4

x

x





Câu 32: Cho dãy số  u n

được xác định bởi: 1 1 2

sin sin1; n n n

n



, với mọi n, n2 Chứng minh rằng dãy số  u n xác định như trên là một dãy số bị chặn

Câu 33: Cho dãy số  u n được xác định như sau: u11,u2 3,u n2 2u n1 u n1,n1, 2,

Tính lim 2

n

n

u

n

 

Câu 34: Cho Pn= (1− 2

2.3)(1− 2

3 4) (1− 2

(n+1)(n+2))

Gọi Un là số hạng tổng quát của Pn Tìm lim un

Câu 35: Tìm giới hạn:

x 0

lim

x



Câu 36: Cho dãy ( )x được xác định như sau: k

k

k x

k

Tìm limu với n n 1n 2n 2019n

n

Câu 37: Cho dãy số ( )u xác định bởi: n u  và 1 2 2

1 (n1)u u n nnu n với mọi số nguyên dương 1 n

a) Chứng minh rằng: 1 2 2017 2018

2018u 2

b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho u n  với mọi số nguyên dương c n

Câu 38: Cho dãy số nguyên ( )x xác định bởi: n x  , 0 0 x  và 1 1 x n2 3x n1 x n với mọi số tự nhiên n

a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4.

b) Chứng minh rằng x n100 x n (mod 101) với mọi số tự nhiên n

Câu 39: Tìm

2 2

lim

 

 

Câu 40:Cho dãy số (un) được xác định bởi    

1

1

2018

u









Tính giới hạn 2

3 lim

n n

u n

 

Câu 41: Cho dãy số  u n

1

2 1

2

1

2018

u











Tính

n n

u

Câu 42: Tìm giới hạn sau:

   

1

lim

1

x

x





Câu 43: Cho dãy số ( )u n được xác định như sau

1

1

2020

u

n

n

+

ìï = ïïï

ïî

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Câu 44: Cho f n n2  n 12 1

Xét dãy số  u n :

     

     

1 3 2 1

2 4 2

n

u





Tính limn u n

Câu 45: Cho dãy  u n biết u  và 1 2 1 3 4n

u   u  với n N *

Tìm số hạng tổng quát của dãy  u n Tính lim n n1

u