Ứng dụng của bất đẳng thức tổ hợp vào bài toán nội suy largrange

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNLÊ BẢO TOÀN ỨNG DỤNG CỦA ĐẲNG THỨC TỔ HỢP VÀO BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN Bình Định - Năm 2020... 10 2 ỨNG DỤNG ĐẲNG THỨC TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ BẢO TOÀN

ỨNG DỤNG CỦA ĐẲNG THỨC TỔ HỢP VÀO BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

Bình Định - Năm 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ BẢO TOÀN

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi củabản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy TS Trịnh Đào Chiến Mọi kếtquả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác nếu có đều được trích dẫn cụthể Luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo

vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kỳ một phươngtiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên

Bình Định, ngày 30 tháng 7 năm 2020

Tác giả luận văn

Lê Bảo Toàn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chânthành tới thầy TS Trịnh Đào Chiến, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉbảo tận tình tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quí thầy giáo, cô giáo đã và đang công táctại khoa Toán và Thống Kê,quí thầy,cô giáo và nhân viên hiện đang công táctrường đại học Qui Nhơn, đã tạo điều kiện và nhiệt tình giúp đỡ tôi xuyên suốttrong cả quá trình học tập tại lớp Cao học khóa 21

Tôi cũng chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu, quí thầy giáo, cô giáo cùngtoàn thể anh,chị, em đồng nghiệp trường Trung Học Phổ Thông Nguyễn Trãi,Thị xã An Khê, Tỉnh Gia Lai, các bạn và gia đình, là những người luôn luônbên cạnh hỗ trợ và động viên trong suốt thời gian hoc tập và hoàn thành luậnvăn này

Mặc dù đã rất cố gắng nhiều nhưng do kiến thức bản thân còn hạn chế luậnvăn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến của thầy cô,bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn

Bình Định, ngày 30 tháng 7 năm 2020

Tác giả luận văn

Lê Bảo Toàn

Mục lục

1.1 Công thức nội suy Lagange 4

1.2 Ý nghĩa hình học của công thức nội suy Lagrange 5

1.3 Các đồng nhất thức cảm sinh từ công thức nội suy Lagrange 6

1.4 Các biểu diễn và tính toán liên quan đến số tổ hợp 8

1.4.1 Biểu diễn một tích qua số tổ hợp 8

1.4.2 Khai triển nhị thức Newton và các hệ quả 10

2 ỨNG DỤNG ĐẲNG THỨC TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE 19 2.1 Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào các bài toán nội suy Lagrange có yếu tố giải tích 19

2.2 Ứng dụng bất đẳng thức tổ hợp vào bài toán nội suy Lagrange có yếu tố hình học 45

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình tính toán, nhiều khi ta cần phải xác định giá trị của mộthàm số f (x) tại một điểm tùy ý cho trước, trong khi đó điều kiện chỉ mới chobiết một số giá trị rời rạc của hàm số và của đạo hàm hàm số đến cấp nào đócủa nó tại một số điểm x1, x2, , xk cho trước Với những trường hợp như vậy,người ta thường tìm cách xây dựng một hàm sốP (x) dạng đơn giản hơn, thường

là các đa thức đại số, thỏa mãn các điều kiện đã cho Ngoài ra, tại những giátrị x ∈R mà x không trùng với x1, x2, , xk thì P (x) ≈ f (x) (xấp xỉ theo một độchính xác nào đó)

Hàm số P (x) được xây dựng theo cách vừa mô tả trên được gọi là hàm nộisuy của f (x) Các điểmx 1 , x 2 , , xk thường được gọi là các nút nội suy Bài toánxây dựng hàm P(x) như vậy được gọi là bài toán nội suy

Các bài toán nội suy và những vấn đề liên quan đến nó là một phần quantrọng của đại số và giải tích toán học Chúng không chỉ là đối tượng của nghiêncứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên tụccũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lýthuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,

Các bài toán nội suy cổ điển của Giải tích đã xuất hiện cách đây hơn mộtthế kỷ, khởi đầu bằng các công trình khoa học của các nhà toán học lỗi lạcnhư Lagrange, Hermite, Newton, và đã tìm thấy rất nhiều ứng dụng trong lýthuyết các bài toán biên và trong các bài toán của Vật lý Toán, Kỹ thuật Cóthể kể đến một số bài toán nội suy cổ điển như: Bài toán nội suy Taylor, Bàitoán nội suy Lagrange, Bài toán nội suy Newton, Bài toán nội suy Hermite, Trong các bài toán nội suy, Bài toán nội suy Lagrange có nhiều ứng dụngtrong chương trình Toán ở bậc Trung học phổ thông, chủ yếu vì trong giả thiếtcủa bài toán chưa có yếu tố đạo hàm, đặc biệt là các đạo hàm cấp cao Nhiềubài toán khó trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở các nước và Olympic Toánquốc tế đôi khi được giải quyết một cách thuân lợi nhờ vào sự ứng dụng của Đa

thức nội suy Lagrange.

Trong Bài toán nội suy Lagrange thường xuất hiện những dạng tổng, chẳnghạng như sau

k−1, trong Bài toán nội suy Taylor;

Do đó, các bài toán nội suy cổ điển thường liên quan chặt chẽ đến các đẳngthức tổ hợp, chẳng hạn các đẳng thức sau

2 .Điều này đòi hỏi, trước khi nghiên cứu các bài toán nội suy cổ điển, cần xácđịnh các đẳng thức tổ hợp một cách có hệ thống Đây là một vấn đề cần thiết,

có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn và phù hợp với chuyên ngành Phươngpháp Toán sơ cấp mà học viên chủ yếu là các giáo viên ở cấp Trung học phổthông

2 Mục tiêu nghiên cứu

Luận văn đề cập đến ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào Bài toán nội suyLagrange Từ đó, một số kiến thức trong chương trình Toán ở cấp Trung họcphổ thông sẽ được soi sáng qua lăng kính của Toán cao cấp

Luận văn cũng đề cập đến những ứng dụng của lý thuyết được nghiên cứutrên vào việc giải hoặc đề xuất một số bài toán khó ở cấp Trung học phổ thông,

là đề thi trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các nước và Olympic Toán quốc tế.Nội dung của luận văn là sự nghiên cứu tiếp nối nội dung của tài liệu [1]

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các đẳng thức tổ hợp và Bài toán nội suy Lagrange.Phạm vi nghiên cứu: Toán cao cấp (chủ yếu thuộc lĩnh vực Giải tích) vànhững ứng dụng vào chương trình Toán ở cấp Trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, tổng hợp một số nội dung từ các tài liệu và hình thành luận văn,dưới sự hướng dẫn của người hướng dẫn khoa học

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn có ý nghĩa khoa học khi áp dụng các kiến thức của toán cao cấp đểthiết lập các bài toán về dãy số ở phổ thông

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài các nội dung quy định của cấu trúc một luận văn Thạc sĩ, nội dungchính của luân văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Công thức nội suy Lagrange và các biểu diễn liên quan đến

số tổ hợp

Chương này trình bày ngắn gọn về Công thức nội suy Lagrange, ý nghĩa hìnhhọc của Công thức nội suy Lagrange và các đồng nhất thức cảm sinh từ Côngthức nội suy Lagrange Đồng thời chương này giới thiệu các biểu diễn một tíchqua số tổ hợp và các khai triển của nhị thức Newton

Chương 2 Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào các bài toán nội suyLagrange

Chương này trình bày các ứng dụng của đẳng thức tổ hợp vào các bài toánnội suy Lagrange có yếu tố Giải tích và Hình học được đề cập bằng cách giảimột số bài toán khó ở cấp Trung học phổ thông, là đề thi trong các kỳ thi chọnhọc sinh giỏi các nước và Olympic Toán quốc tế

Chương 1

CÔNG THỨC NỘI SUY

LAGRANGE VÀ CÁC BIỂU DIỄN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỔ HỢP

1.1 Công thức nội suy Lagange

Nội dung mục này tham khảo trong [3]

Định lý 1.1 Cho n số x1, x2, , xn phân biệt và n số a1, a2, , an tùy ý.Thế thì tồn tại duy nhất một đa thức P (x) với bậc không quá n − 1, thỏa mãn

1.2 Ý nghĩa hình học của công thức nội suy Lagrange

Nội dung mục này tham khảo trong [3]

Các đa thức (1.3) và (1.4) khá quen thuộc trong chương trình toán phổ thông.Xét đa thức (1.4) chẳng hạn Giả sử rằng, trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3điểm A (x1; y1) , B (x2; y2) , C (x3; y3), với x1, x2, x3 khác nhau từng đôi một.Thế thì, theo (1.1) và (1.2), tồn tại duy nhất một đường cong y = P (x), trong

đó P (x) là đa thức với deg P (x) ≤ 2, thỏa mãn:

P (x1) = y1 (nghĩa là đường cong đi qua điểm A) ;

P (x2) = y2 (nghĩa là đường cong đi qua điểm B) ;

P (x3) = y3 (nghĩa là đường cong đi qua điểm C) Hơn nữa, đường cong còn có phương trình cụ thể là y = P (x), trong đó P (x) códạng (1.4) và các số a j chính là y j ; j = 1, 2, 3

- Với deg P (x) = 2, đồ thị của hàm số y = P (x) là parabol đi qua 3 điểm A, B,C

- Với deg P (x) = 1, đồ thị của hàm số y = P (x) là đường thẳng đi qua 3 điểm

A, B, C và không cùng phương với trục hoành

- Với deg P (x) = 0, đồ thị của hàm số y = P (x) là đường thẳng đi qua 3 điểm

A, B, C và cùng phương với trục hoành

1.3 Các đồng nhất thức cảm sinh từ công thức nội suy

Lagrange

Nội dung mục này tham khảo trong [3]

Giả sử x1, x2, , xn là n số thực phân biệt, n ≥ 2

Đẳng thức (1.11) là một đẳng thức dạng phân thức, thường gặp trong chươngtrình toán phổ thông.

x3(x 3 − x 1 ) (x 3 − x 2 ) = x1+ x2+ x3 (1.13)Bây giờ, ta tiếp tục tìm kiếm các đẳng thức mới, theo một hướng khác

Vế trái của (1.15) là đa thức bậc k, hệ số của xk bằng 1 Vế trái của (1.15) là

đa thức có bậc không lớn hơn n − 1, hệ số của xn−1 bằng

P (x) = (x − x1) (x − x2) (x − x3).Khi đó (1.16) và (1.17) là các đẳng thức sau

1 (x1− x2) (x1− x3) +

1 (x2− x3) (x2− x1) +

1 (x3− x1) (x3− x2) = 0;

x2(x 2 − x 3 ) (x 2 − x 1 ) +

x3(x 3 − x 1 ) (x 3 − x 2 ) = 1

1.4 Các biểu diễn và tính toán liên quan đến số tổ hợp

Nội dung mục này tham khảo trong [2]

1.4.1 Biểu diễn một tích qua số tổ hợp

Bài toán 1.1 Giả sử n là số nguyên dương, n ≥ 2, xác định trước Với mỗi

k ∈ {1, 2, , n}, hãy biểu diễn tích sau qua số tổ hợp

Lời giải Với mỗi k ∈ {1, 2, , n} , ta có

n−k

.k. n!

k! (n − k)! =

1 n!.(−1)

n−k

.k.Cnk.

Bài toán 1.2 Giả sử n là số nguyên dương, n ≥ 1, xác định trước Với mỗi

k ∈ {0, 1, 2, , n}, hãy biểu diễn tích sau qua số tổ hợp

= 1n!.(−1)

n−k

. n!

k! (n − k)! =

1 n! (−1)

n−k

Cnk.

Bài toán 1.3 Giả sử n là số nguyên dương, n ≥ 2, xác định trước Với mỗi

k ∈ {1, 2, , n}, hãy biểu diễn tích sau qua số tổ hợp

Lời giải Với mỗi k ∈ {1, 2, , n}, ta có

=

 n!

1.4.2 Khai triển nhị thức Newton và các hệ quả

Ta đã biết đẳng thức khai triển nhị thức Newton sau

= 1

b C

0 n+1 b0+ Cn+11 .b1+ Cn+12 .b2+ + Cn+1n .bn+ Cn+1n+1.bn+1− C 0

n+1 b0

= 1

b C

0 n+1 b0+ Cn+11 .b1+ Cn+12 .b2+ + Cn+1n .bn
+ C n+1

 (1 + b)n+1− b n+1 + bn+1− 1

= 1

b

 (1 + b)n+1− 1.

Lời giải Sử dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức

1 n!.

n

X

k=0

 (−1)n−k. n!

k! (n − k)! k

n+1



= 1n!.

n

X

k=0

 (−1)n−k Cnk kn+1.

Đồng nhất hệ số của xn ở hai vế, ta có kết quả sau

Lời giải Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức P (x) = xn với

n

X

k=0

 (−1)k.Cnk.(a − k)n.

hay

C20.a2− C21.(a − 1)2+ C22.(a − 2)2 = 2.

Rn−m+1n = Rnm.Bây giờ, ta trở lại bài toán.

n+1

P

i=m

(i − m)n.(−1)n+1−i.Cn+1i

Ta cần chứng minh đẳng thức trên.

Thật vậy, với m tùy ý, 1 ≤ m ≤ n, áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho

đa thức P (x) = (m − x)n, với các mốc nội suyxj = j, 1 ≤ j ≤ n + 1, ta có

k .

1 (n + 1)!.(−1)

n+1

X

k=1

 (m − k)n.(−1)k+1.Cn+1k .

Ta có điều phải chứng minh

Vậy, với cách xác định Rnm trong bài toán trên, ta có kết quả sauĐẳng thức 1.15

Rn−m+1n = Rnm.

Chương 2

ỨNG DỤNG ĐẲNG THỨC TỔ

HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE

2.1 Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào các bài toán nội suy

Lagrange có yếu tố giải tích

Nội dung mục này tham khảo trong [4]

Bài toán 2.1 Cho đa thức A (x) = x81+ x49+ x25+ x9+ x + 1 và B (x) = x3− x.Tìm đa thức dư trong phép chia A (x) cho B (x)

Lời giải Gọi Q (x)và R (x) lần lượt là đa thức thương và đa thức dư củaphép chia A (x) cho B (x) Khi đó, ta có deg R < deg B = 3 và

+R (1) (x + 1) (x − 0)

(1 + 1) (1 − 0) = 5x + 1Vậy R (x) = 5x + 1

Bài toán 2.2 Chứng minh rằng nếu đa thức bậc hai P (x) nhận giá trịnguyên tại 3 giá trị nguyên liên tiếp nào đó của biến số x, thì P (x) luôn nhậngiá trị nguyên tại mọi x nguyên

Lời giải Giả sử tồn tại k ∈Z, sao choP (k − 1) ∈Z, P (k) ∈Z, P (k + 1) ∈Z.

Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức bậc hai P (x) tại 3 điểm phânbiệt k − 1, k, k + 1 ta có

P (x) = (k − 1) (x − k) (x − (k + 1))

(k − 1 − k) (k − 1 − (k + 1)) + P (k)

(x − (k − 1)) (x − (k + 1)) (k − (k − 1)) (k − (k + 1))

+P (k + 1) (x − (k − 1)) (x − k)

(k + 1 − (k − 1)) (k + 1 − k), ∀x ∈R,hay

P (x) = P (k − 1)(x − k) (x − k − 1)

2 + P (k)

(x − k + 1) (x − k − 1)

−1 +P (k + 1)(x − k + 1) (x − k)

2 , ∀x ∈R.Theo giả thiết, ta có P (k − 1) ∈Z, P (k) ∈Z, P (k + 1) ∈ Z.

Ngoài ra, với x ∈Z thì x − k − 1 và x − k là 2 số nguyên liên tiếp, nên

(x − k) (x − k − 1)

2 ∈Z; (x − k + 1) (x − k − 1)

−1 ∈Z;(x − k + 1) (x − k)

2 ∈Z;

Do đó P (x) ∈Z, ∀x ∈Z.

Bài toán 2.3 Cho n số thực a 1 , a 2 , , a n khác nhau từng đôi một, n ≥ 1.Gọi A j là phần dư trong phép chia P (x) cho x − a j, j = 1, 2, , n Tìm phần dư

R (x) trong phép chia P (x) cho (x − a1) (x − a2) (x − an)

Lời giải Với mỗi j = 1, 2, , n ta có

P (x) = hj(x) (x − aj) + Aj.Suy ra

Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức R (x),vớideg R (x) ≤ n − 1, tại

n điểm a1, a2, , an khác nhau từng đôi một, ta có

Ta tìm được phần dư R (x), là đa thức được xác định bởi (2.5)

Bài toán 2.4 (USA - 1975) Cho đa thức P (x) bậc n ≥ 1, thỏa mãn

Vậy P (n + 1) = 1 khi n chẵn và P (n + 1) = 0 khi n lẻ

Bài toán 2.5 Cho đa thức P (x) có bậc n, thỏa mãn

P (k) = 1

k,

với mỗi k ∈ {1, 2, , n, n + 1} Tính giá trị của P (n + 2).

Lời giải Sử dụng Công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy x1 = 1,

n + 2, khi n chẵn và P (n + 2) = 0, khi n lẻ

Bài toán 2.6 (USAMO 1975) Cho đa thức P (x) có bậc n, thỏa mãn

P (k) = k

k + 1,

với mỗi k ∈ {0, 1, 2, , n} Tính giá trị của P (n + 1)

Lời giải Sử dụng Công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy x1 = 0,

P

k=0

 (−1)n−k+1.Cn+2k+1



Hơn nữa, bởi Đẳng thức 1.7, ta có

n

P

k=0

 (−1)k.Cn+1k 

n+1

X

K=1

 (−1)n−K+2.Cn+2K 

n+1

P

K=1

 (−1)K.Cn+2K 

= (−1)n+2.(1 − 1)n+2− (−1)n+2− 1= (−1)n+2.−(−1)n+2− 1

P (n + 1) = n + 1 + 1

n + 2 = 1,khi n lẻ

Bài toán 2.7 Cho đa thức P (x) có bậc n, thỏa mãn

P (k) = 2k,với mỗi k ∈ {1, 2, , n, n + 1} Tính giá trị của P (n + 2)

Lời giải Sử dụng Công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy x1 = 1,

Bài toán 2.8 (United Kingdom) Cho số nguyên dươngk và các số nguyênđôi một phân biệt bất kì a1, a2, , an Chứng minh rằng tổng

Lời giải Xét các đa thức P (x) = xk và Q (x) = (x − a 1 ) (x − a 2 ) (x − a n ) Chia đa thức P (x) cho đa thức Q (x), ta thấy tồn tại các đa thức S (x) và R (x)với hệ số nguyên (trong đó 0 ≤ deg R (x) < deg Q (x) = n) sao cho

Hệ số của xn−1 của đa thứcR (x) ở vế trái là một số nguyên Hệ số của xn−1 của

a1(a1− a2) (a1− a3) +

a2(a2− a1) (a2− a3) +

a3(a3− a1) (a3− a2).Bài toán 2.9 (Việt Nam - 1977) Cho n + 1 số nguyên x0 < x1 < < xn.Chứng minh rằng trong các giá trị của đa thức

P (x) = xn + a1xn−1+ a2xn−2+ + antại các điểm x0, x1, , xn, luôn tìm được một số mà giá trị tuyệt đối của nókhông bé hơn n!

2 n Lời giải Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức P (x), bậc n, tại

n + 1 điểm khác nhau từng đôi một x0 < x1 < < xn, ta có

Lưu ý rằng, với các số nguyên x0 < x1< < xn, ta luôn có

j n

Bài toán 2.10 (Iran - 2011) Cho số nguyên n ≥ 2 và đa thức

f (x) = xn+ an−2xn−2+ an−3xn−3+ + a1x + a0

có các hệ số đều là số thực Chứng minh rằng tồn tại k ∈ {1, 2, , n} sao cho

|f (k)| ≥ n!

C k n

.

Lời giải Giả sử rằng với mọi k ∈ {1, 2, , n}, ta có

|f (k)| < n!

C k n

n (n + 1)!

2

mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.11 Giả sử n là số nguyên dương cho trước và P (x) là đa thứcvới bậc không lớn hơn 2n, thỏa mãn điều kiện

|P (k)| ≤ 1, ∀k ∈ {−n, − (n − 1) , , 0, , n − 1, n} Chứng minh rằng

|P (x)| ≤ 4n.Lời giải Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức P (x), với bậckhông lớn hơn 2n, tại 2n + 1 điểm nguyên khác nhau từng đôi một

|P (x)| ≤ 4n.Lời giải Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức P (x), với bậckhông...

mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.11 Giả sử n số nguyên dương cho trước P (x) đa thứcvới bậc không lớn 2n, thỏa