Bao hàm thức vi phân với bài toán tử đơn điệu cực đại phụ thuộc thời gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNHUỲNH THỊ TUYẾT TRÂM BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI PHỤ THUỘC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020... TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH THỊ TUYẾT TRÂM

BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI TOÁN

TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI PHỤ THUỘC

THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH THỊ TUYẾT TRÂM

BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI TOÁN

TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI PHỤ THUỘC

Mục lục

1.1 Không gian vectơ Euclide n-chiều 3

1.2 Khoảng cách giữa hai tập hợp 4

1.3 Ánh xạ đa trị 5

1.4 Ánh xạ đa trị đơn điệu 7

1.4.1 Định nghĩa và một số ví dụ 7

1.4.2 Một số tính chất của ánh xạ đa trị đơn điệu 8

1.5 Ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại 10

1.5.1 Định nghĩa và một số ví dụ 10

1.5.2 Một số tính chất của ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại 11 1.6 Khoảng cách giữa hai ánh xạ đơn điệu cực đại 13

1.7 Không gian hàm và sự hội tụ của hàm 15

2 Bao hàm thức vi phân với ánh xạ đơn điệu cực đại biến

i

thiên thời gian 20

2.1 Bao hàm thức vi phân 20

2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 21

2.3 Một số mở rộng 33

2.4 Hệ tuyến tính và ánh xạ đơn điệu cực đại 39

2.5 Hệ bù tuyến tính 46

Tôi xin cam đoan rằng luận văn thạc sĩ về đề tài " Bao hàm thức vi phânvới toán tử đơn điệu cực đại phụ thuộc thời gian " là kết quả của quá trìnhđọc tài liệu, nghiên cứu và làm rõ của tôi dưới sự hướng dẫn của TS LêQuang Thuận tại Trường Đại học Quy Nhơn Luận văn này không trùnglặp với các luận văn thạc sĩ khác cùng chuyên ngành.

Bình Định, ngày 5 tháng 8 năm 2020

Học viên

Huỳnh Thị Tuyết Trâm

Các bao hàm thức vi phân là một đối tượng toán học được tập trungnghiên cứu rất nhiều từ những năm 60 của thế kỉ XX do khả năng ứngdụng lớn cả về khía cạnh lý thuyết và ứng dụng thực tế của lý thuyết này.Việc nghiên cứu tính chất nghiệm của các bao hàm thức vi phân là rấtcần thiết và quan trọng Tương tự như các phương trình vi phân thường,một trong những bài toán đầu tiên cho các bao hàm thức vi phân là sựtồn tại và duy nhất nghiệm cho mỗi điều kiện ban đầu Bài toán này đượctập trung nghiên cứu vào những năm 1970 và đã thu được nhiều kết quảrực rỡ Với mong muốn tìm hiểu những điều kiện cho sự tồn tại nghiệm vàduy nhất nghiệm của các bao hàm thức vi phân kết hợp với ánh xạ đa trịđơn điệu cực đại biến thiên thời gian, học viên đã chọn đề tài "Bao hàmthức vi phân với toán tử đơn điệu cực đại phụ thuộc thời gian" để nghiêncứu cho luận văn thạc sĩ của mình Trong luận văn này, ngoài mục lục, mởđầu và kết luận, nội dung luận văn được trình bày trong hai chương:Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúngtôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị để làm cơ sở cho các lập luận trongcác chứng minh ở những chương sau.

Chương 2 Bao hàm thức vi phân với ánh xạ đơn điệu cực đạibiến thiên thời gian Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày sự tồn

1

tại và duy nhất nghiệm của bao hàm thức vi phân với ánh xạ đơn điệucực đại biến thiên thời gian.

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướngdẫn của thầy TS Lê Quang Thuận Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến Thầy hướng dẫn Thầy không chỉ hướng dẫn tôi nghiên cứukhoa học mà còn thông cảm và tạo mọi điều kiện, động viên tôi trong suốtquá trình làm đề tài Tôi cũng xin chân thành cảm ơn khoa Toán, phòngĐào tạo sau đại học, Trường Đại học Quy Nhơn đã giúp đỡ và tạo mọiđiều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học cùng với luận văn này.Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, những ngườithân đã quan tâm, giúp đỡ và luôn sát cánh bên tôi Trong quá trình viếtluận văn chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rấtmong nhận được sự góp ý của quý thầy cô, quý bạn đồng nghiệp để luậnvăn được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

Bình Định, ngày 5 tháng 8 năm 2020

Học viên

Huỳnh Thị Tuyết Trâm

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị cần thiếtcho các lập luận ở chương sau

Định nghĩa 1.1 Xét không gian véc tơ Euclide n-chiều Rn Với

Biên của tập A được định nghĩa là bd(A) = cl(A) \ int(A).

Định nghĩa 1.2 Cho S ⊆ Rn Hàm khoảng cách dist (·, S) : Rn → R

được định nghĩa là

dist (x, S) = inf {kx − ak : a ∈ S} , x ∈Rn

Nếu tập S là đóng và lồi thì với mỗi x ∈ Rn tồn tại duy nhất một điểm

y ∈ S sao cho kx − yk = dist(x, S) Một điểm y như vậy gọi là hình chiếucủa x lên tập S và được ký hiệu là proj(x, S)

Định nghĩa 1.3 Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con khác rỗng S1

và S2 của Rn được định nghĩa bởi:

dH(S1, S2) := max

inf

Vì dist(x, S) = dist(x, cl(S)) với bất kì điểm x và tập S khác rỗng nênkhoảng cách Hausdorff là bất biến, tức là

1.3 Ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ đa trị F từ Rn vào Rm là một ánh xạ biếnmột phần tử x ∈ Rn thành một tập hợp F (x) ⊂ Rm Ta sẽ kí hiệu ánh xạ

đa trị này bởi F : Rn ⇒ Rm

Chú ý rằng trong định nghĩa trên ta không loại trừ khả năng là có phần

tử x ∈ Rn sao cho F (x) là tập hợp rỗng Nếu với mỗi x ∈ Rn mà F (x) làtập hợp chỉ có một phần tử của Rm thì F trở thành ánh xạ đơn trị và kíhiệu thông thường là F : Rn →Rm

Định nghĩa 1.5 Đồ thị của ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được kí hiệu là

graphF và được xác định bởi

Định nghĩa 1.6 Cho F : Rn ⇒ Rm là ánh xạ đa trị

(a) Nếu graphF là tập đóng trong không gian Rn×Rm thì F được gọi làánh xạ đa trị đóng

(b) Nếu graphF là tập lồi trong không gian Rn ×Rm thì F được gọi làánh xạ đa trị lồi

(c) Nếu với mọi x ∈ Rn, F (x) là một tập đóng trong không gian Rm thì

F được gọi là ánh xạ đa trị có giá trị đóng

(d) Nếu với mọi x ∈ Rn, F (x) là một tập lồi trong không gian Rm thì F

được gọi là ánh xạ đa trị có giá trị lồi

Định nghĩa 1.7 Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được gọi là nửa liên tụctrên tại x0 ∈ Rn nếu với mỗi tập mở G chứa F (x0), tồn tại một lân cận

U của x0 sao cho F (U ) ⊂ G

Ta nói F là nửa liên tục trên trên một miền D ⊆ Rn nếu F là nửa liêntục trên tại mỗi điểm x ∈ D Trong trường hợp khi D = Rn, ta nói F lànửa liên tục trên

Trong phần tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một khái niệm về tính liêntục cho ánh xạ đa trị theo một biến thực Ta ký hiệu N∞# là tập tất cả cácdãy con của N

Định nghĩa 1.8 ([3]) Cho một dãy các tập (Sl)l∈N trong Rn, giới hạnngoài của dãy được định nghĩa là tập

Định nghĩa 1.9 ([3]) Với một ánh xạ đa trị G : [0, T ] ⇒ Rq với T > 0

cho trước, ta định nghĩa

Định nghĩa 1.11 ([3]) Ta nói G : [0, T ] ⇒ Rn là nửa liên tục ngoài tạiđiểm t∗ ∈ [0, T ] nếu

Với ánh xạ đơn trị F : Rn → Rn, điều kiện đơn điệu (1.2) trở thànhdạng sau:

Khi đó, F là ánh xạ đa trị đơn điệu

Ví dụ 1.14 Xét ánh xạ affine đơn trị F (x) = Ax + a, x ∈ Rn, trong đó

a ∈ Rn và A ∈ Rn×n Ánh xạ F là đơn điệu nếu và chỉ nếu A là nửa xác

1.4.2 Một số tính chất của ánh xạ đa trị đơn điệu

Tính đơn điệu của các ánh xạ đa trị cũng như trường hợp riêng đơn trị bảotoàn qua một số phép toán cơ bản như phép lấy nghịch đảo, phép nhânvới vô hướng, phép lấy tổng, phép hợp như các mệnh đề tiếp theo khẳngđịnh

Mệnh đề 1.15 Giả sử F : Rn ⇒ Rn là ánh xạ đa trị đơn điệu Khi đó,ánh xạ đa trị ngược F−1 cũng đơn điệu

Chứng minh Giả sử F là ánh xạ đơn điệu Để chứng minh F−1 cũng đơnđiệu, ta lấy bất kì y1, y2 ∈ dom(F−1) và x1 ∈ F−1(y1), x2 ∈ F−1(y2) Khi

đó, y1 ∈ F (x1) và y2 ∈ F (x2) Do F đơn điệu, nên

hx1 − x2, y1 − y2i = hy1 − y2, x1 − x2i > 0

Vậy, F−1 đơn điệu

Mệnh đề 1.16 Nếu F : Rn ⇒ Rn là đơn điệu thì λF cũng đơn điệu, vớimọi λ > 0.

Chứng minh Giả sử F là ánh xạ đơn điệu và λ > 0 Để ý rằng ánh xạ λF

F + G : Rn ⇒ Rn, x 7→ (F + G)(x) := {y1 + y2 | y1 ∈ F (x), y2 ∈ G(x)}

cũng là ánh xạ đa trị đơn điệu

Chứng minh Lấy bất kỳ x1, x2 ∈ dom(F + G) = dom(F ) ∩ dom(G)

và z1 ∈ (F + G)(x1), z2 ∈ dom(F + G)(x2) Khi đó, tồn tại các điểm

= hy11 − y12, x1 − x2i + hy21 − y22, x1 − x2i > 0.

Điều này chứng tỏ rằng ánh xạ đa trị tổng F + G là đơn điệu

Mệnh đề 1.18 Cho ánh xạ G : Rm ⇒ Rm là đơn điệu và A ∈ Rm×n, a ∈

Rm Khi đó, ánh xạ đa trị F (x) = ATG(Ax + a), x ∈ Rn, là đơn điệu.Chứng minh Trước hết, ta để ý rằng

Lấy bất kỳ x1, x2 ∈ Rn sao cho Ax1+ a, Ax2 + a ∈ dom(G) và lấy bất kỳ

y1 ∈ F (x1), y2 ∈ F (x2) Khi đó, tồn tại z1 ∈ G(Ax1+ a), z2 ∈ G(Ax2+ a)

sao cho y1 = ATz1, y2 = ATz2 Hơn nữa, ta có

hy1 − y2, x1 − x2i = hATz1 − ATz2, x1 − x2i

= hz1 − z2, Ax1 − Ax2i

= hz1 − z2, (Ax1 + a) − (Ax2 + a)i > 0,

trong đó bất đẳng thức cuối là do tính đơn điệu của G Vậy, ánh xạ F làđơn điệu

Khi đó, F là ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại.

Mọi ánh xạ đơn điệu đều có thể mở rộng tới một ánh xạ đơn điệu cựcđại

Mệnh đề 1.21 Với mỗi ánh xạ đa trị đơn điệu F : Rn ⇒ Rn, tồn tại mộtánh xạ đa trị đơn điệu cực đại F : Rn ⇒ Rn sao cho gr(F ) ⊃ gr(F ).1.5.2 Một số tính chất của ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại

Mệnh đề 1.22 Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rn là đơn điệu cực đại nếu vàchỉ nếu hai mệnh đề sau đây là tương đương:

(a) Với mọi (x, y) ∈ gr(F ), hx − ˜x, y − ˜yi > 0;

x = ˆx + εu Theo giả thiết của cặp (ˆx, ˆv), ta có

0 6 hˆv − F (ˆx + εu), ˆx − (ˆx + εu)i = −εhˆv − F (ˆx + εu), ui

hay

hˆv − F (ˆx + εu), ui 6 0, ∀ε > 0, ∀u ∈ Rn (1.4)Tính liên tục của F đảm bảo rằng F (ˆx + εu) → F (ˆx), khi ε → 0 Do đó,trong bất đẳng thức trên, cho ε → 0+, ta nhận được

Mệnh đề 1.25 Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rn là đơn điệu cực đại nếu vàchỉ nếu ánh xạ đa trị ngược F−1 :Rn ⇒ Rn là đơn điệu cực đại

Chứng minh Theo định nghĩa của ánh xạ đa trị ngược, ta có

(x, y) ∈ gr(F ) ⇐⇒ (y, x) ∈ gr(F−1)

Do đó, hai khẳng định sau đây là tương đương nhau:

(1) hx − ˜x, y − ˜yi > 0 với mọi (x, y) ∈ gr(F ) nếu và chỉ nếu y ∈ F (˜˜ x);

(2) hy − ˜y, x − ˜xi > 0với mọi (y, x) ∈ gr(F−1) nếu và chỉ nếu x ∈ F˜ −1(˜y)

Từ đây, theo Mệnh đề 1.22, ta dễ thấy rằng F đơn điệu cực đại nếu và chỉnếu F−1 đơn điệu cực đại

Tổng của hai ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại nói chung không là ánh xạ

đa trị đơn điệu cực đại Để ánh xạ tổng đơn điệu cực đại, ta cần thêm điềukiện như mệnh đề sau đây khẳng định

Mệnh đề 1.26 Cho F, G : Rn ⇒ Rn là hai ánh xạ đa trị đơn điệu cựcđại với dom(F ) ∩ dom(G) 6= ∅ Nếu

thì F + G là đơn điệu cực đại

Mệnh đề 1.27 Giả sử ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rn là đơn điệu cực đại.Khi đó

(a) F là ánh xạ đóng và lồi, tức là F (x) là tập đóng và lồi với mỗi x ∈dom(F );

(b) Đồ thị graph(F ) là tập đóng trong Rn ×Rn

Ta biết rằng nếu F là đơn điệu cực đại thì nó có giá trị đóng và lồi Do

đó, F (x) là tập lồi đóng với mỗi x ∈ dom(F ) Điều này cho phép chúng

ta định nghĩa phần tử cực tiểu của ánh xạ đơn điệu cực đại F bởi

F0(x) := proj(0, F (x))

với x ∈ dom(F ) Rõ ràng, F0(x) ≤ kyk với mọi y ∈ F (x)

Định nghĩa 1.28 Cho F : Rn ⇒ Rn là một ánh xạ đơn điệu cực đại Vớimỗi λ > 0, ta định nghĩa

Jλ := (I + λF )−1 và Fλ := 1

λ(I − Jλ).

Các ánh xạ Jλ và Fλ được gọi là giải thức và xấp xỉ Yosida của F, tươngứng.

Mệnh đề 1.29 Cho F : Rn ⇒ Rn là một ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại.Khi đó, với mọi λ > 0, các khẳng định sau đúng:

(1) dom Jλ = Rn

(2) Jλ là ánh xạ đơn trị và không giãn, i.e kJλ(x1) − Jλ(x2)k ≤ kx1 − x2k

với mọi x1, x2 ∈ Rn

(3) limλ→0Jλ(x) = x với mọi x ∈ Rn

(4) Fλ là Lipschitz với hằng số 1/λ từ Rn vào Rn

Mệnh đề 1.31 ([11]) Với bất kì cặp ánh xạ đơn điệu cực đại F1 và F2,

ta có

dH(dom (F1) , dom (F2)) 6 dis (F1, F2)

Dựa trên khoảng cách được định nghĩa trong Định nghĩa 1.30, người ta

có thể đưa ra một khái niệm về tính liên tục cho các toán tử đơn điệu cựcđại biến thiên thời gian như sau

Định nghĩa 1.32 Một ánh xạ đa trị F : [0, T ] ×Rn ⇒ Rn được gọi làánh xạ đơn điệu cực đại biến thiên thời gian nếu với mỗi t ∈ [0, T ], F (t, ·)

là ánh xạ đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.33 ([11]) Cho F : [0, T ] × Rn ⇒ Rn là một ánh xạ đơnđiệu cực đại biến thiên thời gian Ta nói rằng ánh xạ t 7→ F (t, ·)là liên tụctuyệt đối trên [0, T ] nếu tồn tại một hàm liên tục tuyệt đối không giảm

ϕ : [0, T ] → R sao cho

dis(F (t, ·), F (s, ·)) 6 ϕ(t) − ϕ(s), ∀s, t sao cho 0 6 s 6 t 6 T

Không gian các hàm liên tục tuyệt đối, khả tích và bình phương khảtích định nghĩa từ [a, b], với a < b, đến Rn được ký hiệu lần lượt bởi

AC ([a, b] ,Rn) , L1([a, b] ,Rn) và L2([a, b] ,Rn)

Xét một họ F các hàm f : [0, T ] → Rn Ta nói rằng F là đồng liên tụcnếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho |f (t) − f (s)| < ε với mỗi f ∈ F

và mỗi s, t thỏa |t − s| < δ Ta nói rằng F là bị chặn theo điểm nếu vớimỗi t ∈ [0, T ], tồn tại một Mt < ∞ sao cho |f (t)| 6 Mt với mỗi f ∈ F

Định lý 1.34 (Arzelá-Ascoli) Giả sử rằng F là một họ đồng liên tục và

bị chặn từng điểm các hàm f : [0, T ] → Rn Mỗi dãy {fn} trong F có mộtdãy con hội tụ đều trên mỗi tập con đóng của [0, T ]

Các kết quả cơ bản sau đây sẽ được sử dụng trong phần sau

Mệnh đề 1.35 Cho x : [0, T ] → Rn là một hàm và t∗ ∈ (0, T ] sao cho

˙x (t∗) tồn tại Giả sử rằng {tk} và {τk} là hai dãy sao cho 0 6 tk 6 t∗ 6

τk 6 T và tk < τk với mọi k và limk↑∞tk = limk↑∞τk = t∗ Khi đó, dãy

Mệnh đề 1.36 Giả sử rằng một dãy các hàm (y`)`∈N hội tụ yếu về y

trong L2(dψ, [0, T ],R) với ψ ∈ AC([0, T ],R) Cho (x`)`∈N là một dãy cáchàm liên tục tuyệt đối sao cho nó hội tụ đều đến x ∈ AC ([0, T ],Rn) , và

˙x`(t) = ˙ψ(t)y`(t), với mỗi

t ∈ Γ := t ∈ [0, T ] | x`, xvàψlà khác nhau tại thời điểm t

Khi đó, ˙x(t) = ˙ψ(t)y(t) với mọi t ∈ Γ

Chứng minh Định nghĩa hàm ξ : [0, T ] → Rn bởi

ξ(t) = x(0) +

Z t 0

với t ∈ [0, T ] Với mỗi η ∈ Rn, ta có

hη, x`(t)i = hη, x0i +

Z t 0

hη, y`(s)i ˙ψ(s)ds

với mọi ` ∈ N và

hη, ξ(t)i = hη, x0i +

Z t 0

hη, y(s)i ˙ψ(s)ds

Vì (y`)`∈N hội tụ yếu đến y, ta nói rằng (hη, x`(t)i)`∈N hội tụ đến hη, ξ(t)i

với mỗit ∈ [0, T ]và mỗiη ∈ Rn.Điều này có nghĩa là (x`(t))`∈N hội tụ đến

ξ(t) với mỗi t ∈ [0, T ] Do đó, ta thấy rằng ξ(t) = x(t) với mọi t ∈ [0, T ]

vì (x`)`∈N hội tụ đều đến x Vì thế, theo (1.2) ta được

x(t) = x0 +

Z t 0

y(s) ˙ψ(s)ds

Nói cách khác,

˙x(t) = ˙ψ(t)y(t)

với mọi t ∈ Γ

Mệnh đề 1.37 Cho f` : [0, T ] → R là một dãy các hàm với ` ∈ N sao

cho |f`(t)| 6 1 với mọi ` ∈ N và t ∈ [0, T ] Giả sử rằng dãy (f`)`∈N hội tụyếu đến f trong L2(dµ, [0, T ],R) trong đó dµ là liên tục tuyệt đối tươngđương với số đo Lebesgue Khi đó,

f (t) ∈

lim inf

Chứng minh Cho k > 1 và định nghĩa g`k(t) := supq>kfq(t) − f`+k(t)

Chú ý rằng gkt
`∈N hội tụ yếu trong L2(dµ, [0, T ],R) đến gk cho bởi

gk(t) := supq>kfq(t) − f (t) Vì g`k là không âm với mọi ` ∈ N và t ∈ [0, T ]

nên gk phải không âm với mọi t ∈ [0, T ] Điều này có nghĩa là f (t) 6

supq>kfq(t) với mọi t ∈ [0, T ] Do đó, f (t) 6 lim sup`→∞f`(t) với mọi

t ∈ [0, T ] Áp dụng cùng một đối số cho dãy (−f`)`∈N, ta thu được

f (t)> lim inf`→∞f`(t) với mọi t ∈ [0, T ]

Mệnh đề 1.38 Choy` : [0, T ] → Rq là một dãy các hàm với` ∈ N sao cho

ky`(t)k 6 1 với mọi ` ∈ N và t ∈ [0, T ] Đồng thời cho (S`(t))`∈N là mộtdãy các tập trong Rq với ` ∈ N và t ∈ [0, T ] sao cho y`(t) ∈ S`(t) với mọi

` ∈ N và t ∈ [0, T ].Giả sử (y`)`∈N hội tụ yếu đến y trong L2(dµ, [0, T ],Rq)

trong đó dµ liên tục tuyệt đối tương đương với số đo Lebesgue Khi đó,

y(t) ∈ cl

conv

lim sup

`→∞

S`(t)



với hầu khắp nơi t ∈ [0, T ]

Chứng minh Cho S(t) = cl (conv (lim sup`→∞S`(t))) với t ∈ [0, T ] Theo[8] thì S(t) 6= ∅ với mỗi t ∈ [0, T ] Cho Γ = {t ∈ [0, T ] : y(t) /∈ S(t)}

Định nghĩa hàm z : [0, T ] → R thỏa

z(t) = proj(y(t), S(t))

với mọit ∈ Γ vàz(t) = 0 với mọit ∈ [0, T ]\Γ.Lưu ý rằng |y(t) − z(t)| > 0

với mọi t ∈ Γ Như vậy, z ∈ L∞([0, T ],Rn) vì S(t) chứa một phần tửtrong hình cầu đơn vị của Rn với mọi t ∈ [0, T ] Bây giờ, ta định nghĩa

a : [0, T ] → Rn và b : [0, T ] → R thỏa

a(t) = y(t) − z(t)

y(t) − z(t)ky(t) − z(t)k,

y(t) + z(t)2

với mọi t ∈ Γ và a(t) = 0, b(t) = 0 với mọi t ∈ [0, T ]\Γ Với mọi t ∈ Γ,siêu phẳng Ht = {η : ha(t), ηi = b(t)} tách biệt nghiêm ngặt tập S(t) vàđiểm y(t), ta thấy rằng

với mọiz ∈ S(t) Lưu ý rằnga ∈ L∞([0, T ],Rn) ,và vìy ∈ L2(dµ, [0, T ],Rn)

vàz ∈ L∞([0, T ],Rn), nênb ∈ L2(dµ, [0, T ],R).Do đó, hàmt 7→ ha(t), w(t)i

trongL2(dµ, [0, T ],R) với mỗiw ∈ L2(dµ, [0, T ],Rn) Với mỗi` ∈ N,địnhnghĩa ζ` : [0, T ] → R với ζ`(t) = ha(t), y`(t)i với mọi t ∈ Γ và ζ`(t) = 0

với mọi t ∈ [0, T ]\Γ Khi đó, ta thấy rằng (ζ`)`∈N hội tụ yếu đến ζ chobởi ζ(t) = ha(t), y(t)i với mọi t ∈ Γ và ζ(t) = 0 với mọi t ∈ [0, T ]\Γ TừMệnh đề 1.37 ta thấy rằng

ζ(t) ∈

lim inf

ha(t), y(t)i ∈ [ha(t), y(t)i, ha(t), ¯y(t)i]

trong đó y(t) và y(t)¯ thuộc S(t) Cùng với hai bất đẳng thức trong (1.7)

20

trong đó x(t) là ẩn hàm giá trị véctơ n-chiều và ˙x(t) là kí hiệu đạo hàmcủa x theo biến thời gian t,

Nghiệm của bao hàm thức vi phân (2.1) được hiểu theo nghĩa sau

Định nghĩa 2.1 Với x0 ∈ Rn và T > 0, một hàm liên tục tuyệt đối

x : [0, T ] → Rn được gọi là một nghiệm của bao hàm thức vi phân (2.1)với trạng thái ban đầu x0 nếu x(0) = x0 và x thỏa mãn (2.1) với hầu khắpnơi t ∈ [0, T ]

Mục đích của chương này là tìm hiểu các điều kiện để đảm bảo rằngbao hàm thức vi phân (2.1) tồn tại và duy nhất nghiệm Tính duy nhấtcủa nghiệm (nếu có) ta có thể chứng minh được dễ dàng dựa vào tính đơnđiệu cực đại của F (t, ·) Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, ta xét bao hàmthức vi phân (2.1) với các giả thiết sau:

(A1) Với mỗi t ∈ [0, T ], ánh xạ F (t, ·) là đơn điệu cực đại

(A2) Tồn tại một hàm không giảm ϕ ∈ AC([0, T ],R) sao cho

sup

z∈dom F (s,·)

dist(z, dom F (t, ·)) 6 ϕ(t) − ϕ(s), ∀s, t với 06 s6 t6 T

(A3) Với mỗi số dương r, tồn tại σr ∈ L1([0, T ],R+) sao cho

F0(t, x) ≤ σr(t) (1 + kxk)

với mọi x ∈ Bn(r) ∩ dom F (t, ·) với t ∈ [0, T ].

(A4) Ánh xạ đa trị t 7→ graph F (t, ·) là nửa liên tục ngoài trên [0, T ]

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bao hàm thức vi phân (2.1) đượcthiết lập trong định lý sau

Định lý 2.2 ([3]) Giả sử rằng các điều kiện (A1)-(A4) đúng Với mỗi

x0 ∈ cl(dom F (0, ·)), tồn tại một nghiệm duy nhất x ∈ AC ([0, T ],Rn) củabao hàm thức vi phân (2.1)

Chứng minh Chứng minh sự tồn tại nghiệm dựa trên việc xây dựng mộtdãy nghiệm gần đúng và chỉ ra rằng dãy này hội tụ đến một hàm thỏamãn bao hàm thức vi phân (2.1) Điều này được tiến hành thực hiện theocác bước chính sau:

Bước 1: Rời rạc hóa bao hàm thức vi phân (2.1)

Để đơn giản, chúng ta viết K = K(∆) khi ∆ là rõ ràng

Tiếp theo, xét sự rời rạc hóa của hệ (2.1) dựa trên phân hoạch ∆ chobởi

xk+1 − xk

hk+1

với k ∈ {0, 1, , K − 1} Theo cách viết khác, ta có

xk+1 = (I + hk+1F (tk+1, ·))−1(xk) (2.3)Khi đó, giả thiết (A1) và Mệnh đề 1.29 bảo đảm rằng tồn tạix0, x1, , xK

thỏa mãn (2.2) (hay thỏa mãn (2.3))

Bước 2: Chặn trên các giá trị xk

Giả sử ϕ thỏa mãn (A2) và α sao cho

Vì x0 ∈ cl(dom F (0, ·)) ∩Bn(α), ta có Bn(rα) ∩ dom F (0, ·) 6= ∅ Khi

đó, tồn tại σrα ∈ L1([0, T ],R+) thỏa mãn (A3) Cho β, γ, và rγ sao cho

β = α + ϕ(T ) − ϕ(0) + (1 + α)

Z T 0

Vì x0 ∈ cl(dom F (0, ·)) ∩ Bn(α) và ry > γ > α, ta có Bn(ry) ∩dom F (0, ·) 6= ∅ Khi đó, tồn tại σrγ ∈ L1([0, T ],R+) thỏa mãn (A3)

Định nghĩa ψ : [0, T ] → R+ bởi

ψ(t) := t + 2ϕ(t) + (1 + γ)

Z t 0

σry(s)ds ∀t ∈ [0, T ] (2.7)Dựa vào định nghĩa này, chúng ta đưa ra các chặn đều trên xk trong bổ

Chứng minh Để có được các chặn được cho trong (2.8) và (2.9), chúng tôibắt đầu phân tích dãy (2.3) cho một phân hoạch cố định và đưa ra một số

kí hiệu đơn giản cho toán tử tương ứng:

|¯xk| 6 |¯xk−1| + |¯xk − ¯xk−1| 6 |¯xk−1| + ϕ (tk) − ϕ (tk−1) (2.14)