Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab

Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ThS Võ Trần An

TP Hồ Chí Minh, tháng 05/2021

1

DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM

2

MỤC LỤC

DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 1

BÀI 8.1 4

1 Đề bài 4

2 Lý thuyết liên quan 4

3 Phân tích và giải bài toán 4

4 Kết luận và nhận xét 8

BÀI 8.2 9

1 Đề bài 9

2 Lý thuyết liên quan 9

3 Phân tích và giải bài toán 11

BÀI 8.3 13

1 Đề bài 13

2 Lý thuyết liên quan 13

3 Phân tích và giải bài toán 15

BÀI 8.4 17

1 Đề bài 17

2 Lý thuyết 17

3 Phân tích và giải bài toán 18

BÀI 8.5 20

1 Đề bài 20

2 Lý thuyết liên quan 20

3 Phân tích và giải bài toán 21

TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

3

4

BÀI 8.1

1 Đề bài

Thực hiện tính toán như trong bài 8.1, đối với ancol etylic (a=12.02 và b=0,08407) tại nhiệt

độ 375K và áp suất 2.0 atm So sánh kết quả tính được với định luật khí lý tưởng Sử dụng bất

kỳ các phương pháp đã được học trong môn phương pháp tính Chứng minh cho lựa chọn cách giải của anh/chị

2 Lý thuyết liên quan

Đối với chất khí lí tưởng, ta có công thức:

với R = 0.082054 L.atm/(mol.K), p là áp suất tuyệt đối; T là nhiệt độ tuyệt đối, V là thể tích

và n là số mole Mặc dù được sử dụng rộng rãi trong các chương trình học của bậc phổ thông nhưng công thức (1) còn rất nhiều hạn chế, nhất là đối với khí thực Khi đó ta thường dùng phương trình trạng thái của chất khí sau:

Ở phần này, chúng ta sẽ áp dụng Phương pháp chia đôi để đi tìm nghiệm cho bài toán

3 Phân tích và giải bài toán

Trong phương pháp chia đôi, chúng ta cần tìm được khoảng phân ly nghiệm của phương trình đã cho, sau đó mới thực hiện các bước tính toán

Trong bài tập này, ta sẽ tìm khoảng phân ly nghiệm bằng phương pháp hình học (Graphical Method)

Ta viết lại phương trình (2): pv + 𝑎

𝑣 − 𝑎𝑏

𝑣2 – pb – RT = 0

Hay p𝑣3+ a.v = ab + (pb + RT)𝑣2

5

Đặt vế phải: y =y(x) = p𝑣3+ av (3), vế trái z = z(x )= (pb + RT)𝑣2+ab (4)

Ta thấy phương trình (2) sau khi viết lại là một phương trình bậc 3, vì vậy phương trình có tối đa 3 nghiệm

Để tìm được khoảng phân ly nghiệm theo phương pháp hình học, chúng ta cần tìm được điểm giao của hai đồ thị của hai phương trình trên, sau đó chọn khoảng (a;b) sao cho x thuộc (a;b), từ đó dùng phương pháp chia đôi để tìm ra nghiệm chính xác của phương trình (2)

Theo định luật khí lý tưởng, ta tính được v = 𝑅𝑇

𝑝 = 0.082054.375

2 = 15.3851

Ta thực hiện vẽ đồ thị của hai phương trình y(x) và z(x) bằng phần mềm matlab để tìm giao điểm của hai đồ thị, từ giá trị v suy ra được từ định luật khí lý tưởng, ta ước lượng rằng nghiệm cần tìm đúng của phương trình (2) sẽ có sai số không quá lớn so với giá trị 𝑣0 = 15.3851

Để đơn giản hơn, ta có thể chọn miền giá trị của x để vẽ đồ thị nằm trong khoảng (a;b)=(0;16) (không nhận giá trị v < 0)

Từ đồ thị, ta thấy phương trình có 2 khoảng nghiệm (0;2) và (14;16)

Như ta đã nói ở đầu mục, nghiệm của phương trình (2) sẽ có sai số không quá lớn so với nghiệm tìm được từ phương trình khí lí tưởng, do đó ta chỉ quan tâm tới khoảng nghiệm (14;16)

>> f = inline('2*x.^3 (2*0.08407 + 0.082054*375)*x.^2 + 12.02*x 12.02*0.08407','x');

->> a = 14; b = 16; N = 6

N =

6

Hình 7

Tỉ lệ tái sử dụng có thể được định nghĩa như sau:

𝑅 = 𝑡ℎể 𝑡í𝑐ℎ 𝑐ℎấ𝑡 𝑙ỏ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎𝑦 𝑡𝑟ở 𝑙ạ𝑖 đườ𝑛𝑔 𝑣à𝑜

𝑡ℎể 𝑡í𝑐ℎ 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑐ℎấ𝑡 𝑙ỏ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑘ℎỏ𝑖 ℎệ 𝑡ℎố𝑛𝑔Giả sử rằng chúng ta đang xử lý hóa chất A thành sản phẩm B Trong trường hợp chất A tạo thành B theo phản ứng tự xúc tác (tức là một trong các sản phẩm đóng vai trò như là 1 chất xúc tác hoặc 1 chất kích thích phản ứng) cho thấy rằng phải có một tỷ lệ tái sử dụng tối ưu thỏa mãn phương trình:

𝑙𝑛 1 + 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓) 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓) =

𝑅 + 1 𝑅[1 + 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓)]

Ở đây 𝑋𝐴𝑓 = phân số của phần chất phản ứng A đã biến đổi thành sản phẩm B Một tỷ lệ tái sử dụng tối ưu sẽ tương ứng với một reactor cỡ nhỏ để đạt được mức chuyển đổi mong muốn

Sử dụng kiến thức phương pháp tính, xác định mức tái sử dụng cần thiết để giảm thiểu kích thước của reactor sao cho đạt được mức chuyển đổi 𝑋𝐴𝑓 = 0.9

2 Lý thuyết liên quan

2.1 Khoảng ly nghiệm

Xét phương trình: 𝑓(𝑥) = 0 (1)

10

Định nghĩa 1: Giả sử 𝛼 là một nghiệm của phương trình (1) Ta nói (𝑎, 𝑏) là khoảng cách

ly nghiệm 𝛼 của phương trình (1) nếu trong khoảng đó phương trình (1) chỉ có một nghiệm thực 𝛼 duy nhất

Định lý 2.1: Giả sử 𝑓(𝑥) là hàm số liên tục trên tập 𝐷 ⊂ 𝑅 Khi đó (𝑎, 𝑏) ⊂ 𝐷 là một khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1) nếu 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) < 0 và 𝑓(𝑥) đơn điệu trên [𝑎, 𝑏] Định lý 2.2: Với giả thiết của định lý trên thì là khoảng cách ly nghiệm 𝛼 của phương trình (1) nếu 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) < 0 và tồn tại 𝑓′(𝑥) đồng thời 𝑓′(𝑥) giữ nguyên một dấu ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

Từ định lý trên suy ra, nếu (𝑎, 𝑏) là khoảng cách ly nghiệm 𝛼 của phương trình (1) thì mọi khoảng (𝑐, 𝑑) ⊂ (𝑎, 𝑏), sao cho 𝑓(𝑐) 𝑓(𝑑) < 0 cũng là khoảng cách ly nghiệm của phương trình trên (thu hẹp khoảng chứa nghiệm) Khi đã có khoảng cách ly nghiệm thì tùy theo từng phương pháp có thể chọn điểm 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏] làm xấp xỉ đầu

2.2 Tìm khoảng cách ly nghiệm bằng phương pháp hình học

Giả thiết 𝑓(𝑥) là hàm số liên tục trên tập 𝐷 ⊂ 𝑅 Để tìm KCN nghiệm, ta tiến hành: Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là điểm 𝑥0 ∈ 𝐷 Nếu 𝑓(𝑥0) = 0 thì 𝑥0 = 𝛼 là nghiệm của phương trình Nếu 𝑓(𝑥0) ≠ 0 thì KCL nghiệm 𝛼 của phương trình được chọn là lân cận về 2 phía của 𝑥0, nghĩa là khoảng (𝑎, 𝑏) sao cho 𝑎 < 𝑥0 <

𝑏 , nhưng phải kiểm tra lại các điều kiện để khẳng định sự duy nhất của nghiệm

Trường hợp 𝑦 = 𝑓(𝑥) khó vẽ, ta viết lại dưới dạng ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)

Khảo sát vẽ đồ thị các hàm 𝑦 = ℎ(𝑥) và 𝑦 = 𝑔(𝑥) trên cùng một hệ trục tọa độ, hoành độ giao điểm của hai đồ thị là 𝑥0

Nếu ℎ(𝑥0) = 𝑔(𝑥0) thì 𝑥0 = 𝛼 là nghiệm của phương trình Nếu ℎ(𝑥0) ≠ 𝑔(𝑥0) thì lân cận

về 2 phía của 𝑥0 sẽ là khoảng cách ly nghiệm nếu thỏa các điều kiện khẳng định sự duy nhất của nghiệm

2.3 Phương pháp chia đôi

Giả sử (𝑎, 𝑏) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 Nội dung của phương pháp chia đôi như sau:

Giả sử phương trình có nghiệm chính xác 𝑥 trong khoảng cách ly nghiệm [𝑎, 𝑏] và 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) < 0 Đặt 𝑎0 = 𝑎, 𝑏0 = 𝑏, 𝑑0 = 𝑏0− 𝑎0 = 𝑏 − 𝑎 và 𝑥0 là điểm giữa của đoạn [𝑎, 𝑏]

11

Nếu 𝑓(𝑥0) = 0 thì 𝑥0 chính là nghiệm và dừng lại Ngược lại nếu 𝑓(𝑥0) 𝑓(𝑎0) < 0 thì đặt

𝑎1 = 𝑎0, 𝑏1= 𝑥0 Nếu 𝑓(𝑥0) 𝑓(𝑏0) < 0 thì đặt 𝑎1 = 𝑥0, 𝑏1 = 𝑏0 Như vậy ta được [𝑎1, 𝑏1] ⊂[𝑎0, 𝑏0] và 𝑑1 = 𝑏1− 𝑎1 =𝑑0

2

Tiếp tục quá trình chia đôi đối với [𝑎1, 𝑏1], [𝑎2, 𝑏2] … [𝑎𝑛−1, 𝑏𝑛−1] 𝑛 lần ta được

3 Phân tích và giải bài toán

Từ đề bài ta suy ra được hàm:

𝑅[1 + 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓)]− 𝑙𝑛

1 + 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓)𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓)

12

Hình 8

Từ đồ thị, ta nhận thấy nghiệm của hàm sẽ nằm trong khoảng (0.01, 0.5)

(Không sử dụng cận tại 0 vì hàm số không xác định)

⇨ Chọn khoảng cách ly nghiệm của hàm là (0.01, 0.5)

Sử dụng Matlab, nhập các dòng lệnh sau:

Ở đây, ta có:

⮚ x: biến R: tỉ lệ tái sử dụng

⮚ a: cận trái của khoảng cách ly nghiệm

⮚ b: cận phải của khoảng cách ly nghiệm

⮚ n: số lần lặp theo phương pháp chia đôi

Theo đề, thực hiện lặp 6 lần, tương ứng với n=6 và khoảng cách ly nghiệm (0.01, 0.5), thu được kết quả:

13

Vậy nghiệm gần đúng x, hay tức là tỉ lệ tái sử dụng R tại lần lặp thứ 6 bằng 0.43109375

BÀI 8.3

1 Đề bài

Trong một quá trình kỹ thuật hóa học, hơi nước (H2O) được đun nóng ở nhiệt độ cao vừa

đủ đến một phần đáng kể để đạt được phân ly hoặc tách rời nhau để tạo thành oxy (O2) và hidro (H2):

K =hằng số cân bằng của phản ứng

pt = Áp suất tổng hợp của hợp chất

Nếu pt = 3atm và K = 0.05 Xác định giá trị của x thỏa mãn

2 Lý thuyết liên quan

2.1 Thực hiện phương pháp chia đôi bằng MATLAB

Cho phương trình f(x) = 0, f(x) liên tục và trái dấu tại 2 đầu [a,b] Giả sử f(a) < 0, f(b) < 0 (nếu ngược lại thì xét –f(x)=0 )

Theo định lý 1, trên [a,b] phương trình có ít nhất 1 nghiệm µ

Để tìm nghiệm gần đúng c, ta thực hiện một số hữu hạn lần quá trình lặp các bước sau đây:

Bước 1: Ta chọn c là điểm chính giữa của đoạn [a, b]:

Nếu chất A là chất rắn nên nồng độ không thay đổi, ta được biểu thức tính K sau:

Nếu A là chất lỏng hoặc chất khí thì ta sẽ có biểu thức tính K như sau:

Chú ý: Hằng số cân bằng K chỉ phụ thuộc duy nhất vào nhiệt độ

Ví dụ: Ở một nhiệt độ nhất định, phản ứng thuận nghịch đạt trạng thái cân bằng khi nồng

độ của các chất như sau: [H2] = 1 mol/lít [N2] = 0,02 mol/lít [NH3] = 0,2 mol/lít Tìm hằng

số cân bằng ở nhiệt độ đó

Theo biểu thức tính K ta có:

16

3.2 Kết quả

Kết quả các f(x) sau khi thực hiện 6 vòng lặp theo đề bài:

Hình 10

Nếu nồng độ ban đầu c0 = 4 và nồng độ bơm vào cin = 10,

Tính thời gian cần thiết để nồng độ c = 93% cin

2 Lý thuyết

2.1 Nồng độ là gì?

Nồng độ là khái niệm cho ta biết về lượng hóa chất có trong một hỗn hợp, thường là dung dịch Dung dịch bao gồm chất tan và dung môi Nếu chất tan càng nhiều trong một lượng dung môi cố định, thì nồng độ càng cao Nồng độ sẽ đạt giá trị cao nhất ở những điều kiện môi trường nhất định khi dung dịch bão hòa, có nghĩa là khi đó chất tan không thể hòa tan thêm vào dung dịch được nữa

2.2 Cách sử dụng công thức tính nồng độ phần trăm

Đối với hóa học thì có rất nhiều các dạng bài tập khác nhau, có bài yêu cầu tính số mol, khối lượng, hay đơn giản là xác định công thức hóa học của từng chất,… Nếu đề bài yêu cầu tính nồng độ phần trăm (C%) các chất có trong dung dịch sau phản ứng thì chúng ta cần phải thực hiện các bước sau:

Bước 1: xác định số chất có trong dung dịch (đặc biệt quan tâm đến số dư của các chất tham gia phản ứng)

Bước 2: xác định khối lượng dung dịch sau khi tham gia phản ứng theo công thức:

mdd = khối lượng các chất tan cho vào dung dịch + khối lượng dung môi – khối lượng chất kết tủa – khối lượng chất khí

Bước 3: Tìm khối lượng chất tan cần xác định

Bước 4: Tính C% theo công thức tính nồng độ phần trăm

18

3 Phân tích và giải bài toán

3.1 Tìm khoảng ly nghiệm của phương trình theo đề bài

Khi thay cin =10, c0 = 4 ,c = 93% cin vào phương trình (*) ta có phương trình :

19

Hình 10 3.3 Kết quả:

Sau khi thực hiện chạy thuật toán, kết quả của 6 vòng lặp theo phương trình f(x) và

khoảng ly nghiệm ban đầu được trình bài bên dưới:

Hình 11

Kết quả sai số:

𝐾 = 𝑐𝑐

𝑐𝑎2 𝑐𝑏Trong đó 𝑐𝑖 thể hiện nồng độ của phân tử i Ta giả sử biến 𝑥 là số mole C được tạo ra Áp dụng định luật bảo toàn khối lượng thế vào phương trình trên ta có:

𝐾 = (𝑐𝑐,0+ 𝑥)(𝑐𝑎,0− 2𝑥)2 (𝑐𝑏,0− 𝑥)Trong đó 0 biểu thị nồng độ ban đầu của mỗi phần tử Nếu 𝐾 = 0.015, 𝑐𝑎,0 = 42, 𝑐𝑏,0 =

30, và 𝑐𝑐,0= 4, hãy xác định giá trị biến x

Sử dụng phương pháp hình học (tìm khoảng cách ly nghiệm)

Dựa vào câu (a), tìm nghiệm chính xác của phương trình với 𝑥𝑙 = 0 và 𝑥𝑢 = 20 độ chính xác 𝜀𝑠 = 0.5% Sử dụng phương pháp chia đôi hoặc vi sai Giải thích tại sao lại chọn phương pháp đó

2 Lý thuyết liên quan

21

Cân bằng hoá học là cân bằng động vì tại trạng thái cân bằng, phản ứng thuận và nghịch vẫn tiếp tục xảy ra nhưng với tốc độ bằng nhau nên không làm thay đổi nồng độ của các chất trong hệ phản ứng

Biểu thức tính hằng số cân bằng của phản ứng thuận nghịch: nA + mB ↔ pC + qD là:

K cb =[C] p [D] q /[A] a [B] b

Chú ý: hằng số tốc độ của phản ứng cũng như hằng số cân bằng của phản ứng thuận nghịch

chỉ phụ thuộc vào yếu tố nhiệt độ

3 Phân tích và giải bài toán

3.1 Đồ thị bài toán

Ta xác định khoảng ly nghiệm của bài toán bằng vẽ phương trình của đề bài yêu cầu,

từ đó ta xác định được khoảng ly nghiệm cần tìm là (15.5;16.5)

Đồ thị của phương trình bài 8.2 được trình bài bên dưới:

22

Hình 12 3.2 Code

Tiến hành nhập hàm f(x) của đề bài, khoảng ly nghiệm tìm được (15.5; 16.5) với số

23

Hình 13

24

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Giáo trình phương pháp tính (2017), Đại học Bách Khoa TP.HCM, nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia TP HCM

[2] Giáo trình phương pháp tính và MATLAB (2013), Đại học Bách Khoa Hà Nội, nhà xuất bản Bách Khoa – Hà Nội