Chuyên đề cực trị của hàm số mức độ 7 đến 8 điểm có lời giải chi tiết

Chuyên đề về cực trị của hàm số chương trình THPT từ cơ bản đến nâng cao lớp 12, được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng câu, từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, ôn luyện cho học sinh, học sinh tham khảo tài liệu này rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về cực trị của hàm số 11, 12 và để ôn thi TN THPQG và ôn thi đại học.

Dạng 1 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0

Bước 1 Tính y x' 0 , ''y x 0

Bước 2 Giải phương trình y x' 0  0 m?

Bước 3 Thế m vào y x'' 0 nếu giá trị

0 0

'' 0'' 0

Lời giải Chọn C

y x  mx m 

; y 2x 2m.Hàm số 1 3 2  2 

Quan sát bảng biến thiên ta thấy m 1 thỏa yêu cầu bài toán

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3x2mx đạt cực tiểu tại 1 x  2

C C TR C A HÀM S ỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ị CỦA HÀM SỐ ỦA HÀM SỐ Ố

Chuyên đề 2

A m  0 B m  4 C 0  m 4 D 0m 4

Lời giải Chọn A

m y

'' 1 0

m m

m y

m y

3 2

1

13

y y

m m

Dạng 1.2 Hàm số đa thức bậc cao, hàm căn thức …

Câu 10 (Chuyên QH Huế - Lần 2 - 2019) Xác định tham số m sao cho hàm số y x m x  đạt cực trị

tại x  1

Lời giải Chọn A

Câu 11 (Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Tìm tất cả tham số thực m để hàm số

Với m0, hàm số trở thành y x42x22019 Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại x1.

Với m2, hàm số trở thành y x 4 2x22019 Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại x1.

TH 2: m 3 ta có BTT

Từ đó suy ra  3 m 3 có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 13 (Mã 101 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Khi đó x  là nghiệm bội 7 của 0 y và y đổi

dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x  nên 0 x  là điểm cực tiểu của hàm số Vậy 0 m 2thỏa ycbt

Do m   nên m   1;0;1

Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

Câu 14 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

ê =

+ Trường hợp m> ta có bảng biến thiên:0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x= 0

+ Trường hợp m< ta có bảng biến thiên:0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x= 0

Như vậy, để hàm số đạt cực đại tại x= thì 0 m> 0

Câu 15 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2019;2019 để hàm số

Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  là điểm cực tiểu Suy ra 0 m  (loại).1

Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  là điểm cực đại Suy ra 0 m   (nhận).2

Vậy, tập hợp tất cả các giá trị của tham số mthỏa mãn đề bài là m   mà 2 m thuộc khoảng

2019; 2019

Suy ra, số giá trị nguyên của m là 2016

Câu 16 (Mã 104 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Với m  thì 3 x  là nghiệm bội 0 4 của g x 

Khi đó x  là nghiệm bội 7 của 0 y và y đổi

dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x  nên 0 x  là điểm cực tiểu của hàm số Vậy 0 m 3thỏa ycbt

Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

Câu 17 (Mã 103 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Câu 18 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 12(m 5)x7 (m2 25)x6 đạt cực1

đại tại x  ?0

Lời giải Chọn B

Ta có y' 12 x117(m 5)x66(m2 25)x5

TH1: m 5 y' 12 x11 Khi đó y' 0  x0 là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu của y’ đổi từ

âm sang dương, nên x  là điểm cực tiểu của hàm số,do đó không thỏa mãn, 0 m  loại.5

TH2: m 5 y'x6(12x5 70) 0  x là nghiệm bội chẵn, do đó 0 y’ không đổi dấu khi

đi qua x  , 0 m  loại.5

TH3:

Với g x( ) 12 x67(m 5)x6(m2 25), ta thấy x  không là nghiệm của 0 g x 

Để hàm số đạt cực đại tại x  thì y’ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua 0 x  , xảy ra khi 0

Gọi S là tập hợp các gia trị m nguyên dương để

hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  Tổng các phần tử của S bằng0

x y

x y

x y

x x

Ta có y' 3 mx2 4mx(m 2)

+ Nếu m  0

TH1: Nếu m 1 y4x2 Suy ra hàm số không có cực đại.1

 phương trình   có 2 nghiệm phân biệt x 0 m0

Câu 6. (Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Trường hợp 1: m0  y1 nên hàm số không có cực trị.

Do  m nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề.

Câu 7 (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y x 3 3m1x23 7 m 3x Gọi

S là tập các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị Số phần tử của Slà

Lời giải Chọn B

x y

Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình  *

không có hai nghiệm phân biệt

Lời giải Chọn C

00

g

g

g g

m

m b

yêu cầu bài toán là S   2, 1, 0, 1, 2, 3 

Câu 10 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

3

2 2 13

m m

m 

3.2

m  

C

32

m 

32

Câu 12 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập hợp các giá trị củam để hàm số 1 3 2  2 1

3

cóhai cực trị là:

Ta có y x2 2mx m  Để hàm số có hai cực trị thì 2 y  có hai nghiệm phân biệt nên0

Để hàm số có đúng một cực trị thì phương trình y 0 có đúng 1 nghiệm

Ycbt  Phương trình   có một nghiệm x  hoặc vô nghiệm suy ra 0 m  0

Vậy m  0

Câu 14 (THPT Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y mx 4(2m1)x2 Tìm tất cả các giá trị1

thực của tham số m để hàm số có đúng một điểm cực tiểu.

A Không tồn tại m B m 0 C

1.2

m m m

m

m m

Từ (1) và (2) suy ra hàm số có một cực trị là cực tiểu khi m 0

Câu 15 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

( )

2 2

00

6 0(1)

x y

é =ê

êHàm số có ba điểm cực trịÛ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Û m2- m- 6< Û - < <0 2 m 3.

Ta có: mÎ , 2- < < Ûm 3 mÎ -{ 1;0;1;2}

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 16 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số y mx 4m1x2 1 2m có một điểm cực

11

0

02

m m

m m

Giải nhanh: Với a khác 0 thì hàm số đã cho có 1 cực trị

Ta có y' 4 x x 2 2m1  x

 2

00

x y

nên có 11 giá trị thỏa mãn

Câu 18 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số 4  2  2

Có bao nhiêu sốnguyên m để hàm số có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ?

Lời giải Chọn C

Tập xác định D 

Ta có y 4mx32m2 6x

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại khi và

Do đó có hai giá trị nguyên của tham số m

Câu 19 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 Trường hợp 1: Xét m 0 y2x Ta thấy phương trình y 0 đổi dấu một lần nên hàm

số có một điểm cực trị Suy ra m  (thoả YCBT) (1)0

 Trường hợp 2: Xét m 1 y4x3.Ta thấy phương trình y 0 đổi dấu một lần nên hàm số

có một điểm cực trị Suy ra m  (thoả YCBT) (2)1

0

12

m m

m m

m m





 



 Ghi chú: Dùng công thức tính nhanh

Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi  1 0 0

2 2

Để hàm số f x  có đúng một điểm cực trị  Phương trình  * vô nghiệm, có nghiệm kép

hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là  4.

Trường hợp 2 Phương trình  * có nghiệm kép

3

m m

Trường hợp 3 Phương trình  * có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Trong đó x 1 4

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 21 (Chuyên Sơn La - 2020) Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để hàm số sau không có

Vậy hai giá trị

11,

3

thỏa mãn

Dạng 3 Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Phương trình hai đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba là phần dư của phép chia

 Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y h x ( ).

Câu 1 (Mã 123 - 2017) Đồ thị hàm số  y x3 3x2 9x1 có hai cực trị A và B Điểm nào dưới đây

thuộc đường thẳng AB?

A M0; 1  B N1; 10  C P1; 0 D Q1;10

Lời giải Chọn B

Ta có: y 3x2 6x 9 thực hiện phép chia y cho y ta được số dư là   y 8x 2

Như thế điểm N1; 10 

thuộc đường thẳng AB

Câu 2 (Mã 104 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y: 2m1x 3 m vuông

góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3x2 1

A

32

m 

B

34

m 

C

12

m 

D

14

m 

Lời giải Chọn B

Ta có y 3x2 6x Từ đó ta có tọa độ hai điểm cực trị A0;1

Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y2m 1x m  song song với đường thẳng3

đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3x21

A

34

m 

12

m 

34

m 

12

m 

Lời giải Chọn D

Hàm số y x 3 3x2 có TXĐ: 1 R; y 3x2 6x;

0' 0

2

x y

8 x1 1 y 6  0 8x y   2 0Thay tọa độ các điểm P M N Q, , , vào phương trình đường thẳng AB ta có điểm N1; 10 

thuộc đường thẳng

Câu 5. (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng



16

m 

13



Lời giải Chọn B

m 

Câu 6. (TT Tân Hồng Phong - 2018) Tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y2x33m1 x26m1 2 m x song songđường thẳng y4x

A

13

m 

23

m 

23

m 

Lời giải Chọn A

Ta có y 6x26m1x6 1 2m  m,

0

1 2

x m y

m

.Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A m ; 7 m33m2

m m m m m

Câu 7 (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- 2018) Biết đồ thị hàm số y x 3 3x có hai điểm cực trị 1 A,

B Khi đó phương trình đường thẳng AB là

A y2x1 B y2x1. C yx2. D y x  2

Lời giải Chọn B

Thực hiện phép chia y cho y ta được: 1  2 1

Ta thấy, toạ độ hai điểm cực trị A và B thoả mãn phương trình y2x1

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y2x1

Câu 8. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

Ta có y3x24x m  3, để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt    0 13 *

y x  x m đi qua điểm M  3;7

khi m bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn C

m 

13



Lời giải

Xét hàm số y x 3 3x21

259

Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là f x 0

có hai nghiệm phân biệt  a2 3b 0

Lấy f x  chia cho f x 

Dạng 4 Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

 Bài toán tổng quát: Cho hàm số yf x m( ; )ax3bx2cx d . Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị x x thỏa mãn điều kiện K cho trước?1, 2

và giải hệ này sẽ tìm được m D 1

— Bước 3 Gọi x x là 2 nghiệm của phương trình 1, 2 y  Theo Viét, ta có: 0

— Bước 4 Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P Từ đó giải ra tìm được m D 2

— Bước 5 Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m D 1D2

 Lưu ý:

— Hàm số bậc 3 không có cực trị  y  không có 2 nghiệm phân biệt 0   y 0.

— Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẳng, tức là cần xác định tọa độ 2 điểm

cực trị A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y với 2 2 x x là 2 nghiệm của 1, 2 y  Khi đó có 2 tình huống thường gặp0.sau:

 Nếu giải được nghiệm của phương trình y  tức tìm được 0, x x cụ thể, khi đó ta sẽ thế vào 1, 2hàm số đầu đề yf x m( ; ) để tìm tung độ y y tương ứng của A và B.1, 2

 Nếu tìm không được nghiệm y  khi đó gọi 2 nghiệm là 0, x x và tìm tung độ 1, 2 y y bằng 1, 2cách thế vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị

Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo hàm

(phần dư bậc nhất trong phép chia y cho ) y , nghĩa là:

 Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho ) y :

1 1

( )( ) ( )

 Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y h x ( ).

Dạng toán: Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (cùng phía, khác phía d):

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

Cho 2 điểm ( ; A x y A A), ( ;B x y và đường thẳng : B B) d ax by c   Khi đó:0

 Nếu ( ax A by Ac) (ax Bby B c) 0 thì , A B nằm về 2 phía so với đường

thẳng d.

 Nếu ( ax Aby Ac) (ax B by Bc) 0 thì , A B nằm cùng phía so với đường d

Trường hợp đặc biệt:

 Để hàm số bậc ba yf x( ) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung

Oy  phương trình y  có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại.0

 Để hàm số bậc ba yf x( ) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hoành

Ox  đồ thị hàm số yf x( ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt  phương trình

hoành độ giao điểm ( ) 0 f x  có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được

nghiệm).

Dạng toán: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (đối xứng và cách đều):

 Bài toán 1 Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị , A B đối xứng nhau qua

đường d:

— Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu  m D 1

— Bước 2 Tìm tọa độ 2 điểm cực trị , .A B Có 2 tình huống thường gặp:

+ Một là y  có nghiệm đẹp 0 x x tức có 1, ,2 A x y( ; ), ( ; ).1 1 B x y2 2

+ Hai là y  không giải ra tìm được nghiệm Khi đó ta cần viết phương trình đường0

thẳng nối 2 điểm cực trị là  và lấy A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y  2 2

  là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Do , A B đối xứng qua d nên thỏa hệ 2

— Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu  m D 1

— Bước 2 Tìm tọa độ 2 điểm cực trị , .A B Có 2 tình huống thường gặp:

+ Một là y  có nghiệm đẹp 0 x x tức có 1, ,2 A x y( ; ), ( ; ).1 1 B x y2 2

+ Hai là y  không giải ra tìm được nghiệm Khi đó ta cần viết phương trình đường0

thẳng nối 2 điểm cực trị là  và lấy A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y  2 2

— Bước 3 Do , A B cách đều đường thẳng d nên d A d( ; )d B d( ; ) m D 2

— Bước 4 Kết luận m D 1D2

 Lưu ý: Để 2 điểm , A B đối xứng nhau qua điểm I  I là trung điểm AB.

Câu 1. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3x2m có hai điểm cực trị A, B thỏa

mãn OA OB ( O là gốc tọa độ)?

A

32

m 

12

m 

52

m 

Lời giải Chọn D

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm

số 1 3 2  2 

13

:

m m

nên AB không thể song song hoặc

trùng với d  A B, cách đều đường thẳng d y: 5x 9 nếu trung điểm I của AB nằm trên d

m m

2 1313

m m

m 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 4. (Chuyên KHTN - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi phương trình

3 (2 1) 22  1 0

mx m x mx m (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có (1)

2( 1) ( 1) 1 0

 x mx  m x m   Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt mx2 (m1)x m  1 0 có 2 nghiệmphân biệt khác 1

02

m

Do m m1.

Câu 5 (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số y x 3 m6x22m9x 2 Tìm

m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

A

2.6

m m

m m m

m m m

Lời giải Chọn A

Ta có y'mx2  2m 1x3m 2

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình mx2  2m 1x3m 2 0

phải có hainghiệm phân biệt

Câu 7 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số yx33mx2 3m  với m là một tham1

số thực Giá trị của m thuộc tập hợp nào sau đây để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối

xứng nhau qua đường thẳng d x: 8y 74 0

2

2

x y

Tọa độ trung điểm AB là:  3 

Với m  , ta có 2 I2;9 I dVới m  , ta có 2 I2; 11  I d

Do đó m  thỏa mãn yêu cầu.2

Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 8x2m211x 2m22

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox

Lời giải Chọn D

Yêu cầu bài toán  đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

8 0

m m

Câu 9 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho hàm số yx3 2m1x2m1x m  1

Có bao nhiêu giátrị của số tự nhiên m 20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành?

Lời giải

+ Ta có: yx 1 x2  2mx 1 m

.+ Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ thị ycắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt. yx 1 x2 2mx 1 m 0

có ba nghiệm phân biệt

     có hai nghiệm phân biệt khác 1