Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số có lời giải chi tiết mức 9-10 điểm

Chuyên đề về tính đơn điệu của hàm số chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiếttừng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về tính đơn điệu của hàm số 11, 12 và để ôn thi THPQG.

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số yf x( ) Hàm số yf x'( ) có đồ thị như hình bên Hàm số

Cách 1:

Ta thấy f x '( ) 0 với

(1; 4)1

g x f x đồng biến trên( 4; 1)  và 1;  Khi đó f(2 x) đồng biến biến trên khoảng

Chuyên đề 1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số yf 5 2 x

đồng biến trên khoảng 4;5

Câu 3 (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x( ), bảng xét dấu của f x( ) như sau:

Hàm số yf 3 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hàm sốyf(5 2 ) x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số yf x 22x

nghịch biến trên khoảng 2; 1 .

Hàm số y g x  

nghịch biến trên a b;   g x'   0 x a b; 

và bằng 0 tại hữu hạn điểm

Cách giải

Ta có: g x'   1 2x f x x '  2

.Hàm số y g x  

2 2

x x

x

x x

đồng biến trên khoảng 1;2 

Câu 10 (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hàm sốyf x 

Hàm số yf x' 

có đồ thị nhưhình vẽ Hàm số g x( )f x( 2 2). Mệnhvđề nào sai?

Dựa vào bảng xét dấu g x' ta thấy hàm số yf x 2 2

nghịch biến trên khoảng 0; 2

Câu 13 (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số yf x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau.

Hàm số yf 2 3 x

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A 2;3. B 1; 2. C 0;1. D 1;3.

Lời giải Chọn A

53



  , do đó hàm số đồng biến trênkhoảng 2;3.

Câu 14 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số yf x 

Câu 16 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị của hàm

2 0

x

f x x

x x

x x x

x x

x x x x

  0

0321

x x x x

Bảng biến thiên ( Dấu của g x 

phụ thuộc vào dấu của 2x và f x 22

Ta có g x   2019 2020 x f 2019 2020 x 2020f2019 2020 x

,

11009

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số g x 

đồng biến trên từng khoảng

Từ bảng trên ta có hàm số g x  f 2x 3x2

đồng biến trên khoảng

1

;3

 

Ta có y' (2 x1) '(f x2x); x2x m có nghiệm khi và chỉ khi

14

m 

.Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm f x'( ) cắt trục hoành tại 5 điểm trong đó 1 điểm có hoành độ

nhỏ hơn

14



và có một tiệm cận

Khi đó ứng với mỗi giao điểm có hoành độ lớn hơn

14



và 1 điểm không xác định thì y ' 0 có hai nghiệm Từ đây dễ dàng suy ra hàm yf x( 2x) có 11 cực trị

Dạng 2 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x)

Bước 3: Giải bất phương trình  *

(dựa vào đồ thị hàm số yf x ) từ đó kết luận khoảng đồngbiến, nghịch biến của hàm số

Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g x 

để loại các phương án sai.

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số f x 

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2

nên loại hai phương án A, D

+) Tương tự ta xét

x     x     f x   x    y     x

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 2

nên loại hai phương án B

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f x  Hàm số yf x'  có đồ thị như hình bên.

Hàm số g x f 1 2 xx2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A

31;

và đồ thị hàm số f x'  trên cùng một hệ trục

Hàm số g x  nghịch biến '  0 '  2 0

42

t t

2

 

 

 

Câu 3 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số f x 

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số yf x 1x312x2019 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng tt0;1

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng

Hàm số y2f 1 x x2 1 x nghịch biến trên những khoảng nào dưới đây

x

x    ,   x  2;0.Bảng xét dấu:

7

243

 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 11;0) và 2;.

Câu 6 (Học Mãi 2019) Cho hàm số yf x 

có đạo hàm trên  Đồ thị hàm số yf x 

như hìnhbên Hỏi đồ thị hàm số yf x   2x có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn B

đồng biến trên khoảng -1 ; 0.

Câu 8 (Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số yf x 

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y2f x 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

24

x x

g x

x x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số y g x   nghịch biến trên khoảng 1; 2

Câu 9 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y= f x( )

Biết đồ thị hàm số y= f x¢( )

có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số y= f(3- x2)+2018

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

x x

Bảng xét dấu của đạo hàm hàm số đã cho

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên (- 1; 0)

Câu 10 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số đa thức f x 

có đạo hàm trên  Biết

 0 0

f  và đồ thị hàm số yf x  như hình sau

2 2

x x

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số g x 

đồng biến trên khoảng 0; 4

Ta có đường thẳng yx cắt đồ thị hàm sốyf x( ) tại các điểm x1; x1; x3 như hình vẽsau:

Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có

1( )

đồng biến trên khoảng (0;1).

Câu 12 (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f x 

Dựa vào đồ thị ta thấy

 

Lời giải Chọn A

A 2;1

B 0;1. C 1; 2. D 1;0

Lời giải Chọn C

Vậy hàm số đồng biến trên 1;2.

Câu 15 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số f x 

Hàm số yf x 

có đồ thị như hìnhvẽ

2 33

x x x

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng

Ta có y2f2x12x2 8

.Xét y 0 2f2x12x2 8 0  f2x14 x2

Chọn A

+Với x 1, ta có g x  2f x 1  x122021 g x 2f x 1 2x1

.Hàm số đồng biến  2f x 1 2x1 0 f x 1 x 1  *

 

 

10;

Câu 19 (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số yf x 

có bảng xét dấu của đạo hàm nhưsau

Hàm số y2f x 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A 2;4

B 4;2 C 2; 1  D 1;2

Lời giải

Ta có y'2 'f x 

 

21

24

x x

x x

Từ bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 2, 1;2 và 4;

Câu 20 (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x 

xác định và liên tục trên  và có đạohàm f x 

x x

Lời giải Chọn D

Từ bảng xét dấu trên, loại trừ đáp án suy ra hàm số g x 

nghịch biến trên khoảng 2;3

Do đó ta có hàm số nghịch biến trên khoảng 2 ; 3

Câu 23 Cho hàm số yf x  có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên , bảng xét dấu của biểu

Dạng 3 Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác

Câu 1 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số yf x 

có đạo hàm liên tục trên R

Biết hàm số yf x 

có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m   5;5

đểhàm số g x f x m  

nghịch biến trên khoảng 1;2

Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

và bảnng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số yf x 34x m 

nghịch biến trên khoảng 1;1

?

Lời giải Chọn C

Đặt tx34x m  t3x24 nên t đồng biến trên 1;1 và tm 5;m5

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hàm số f t 

nghịch biến trên khoảng m 5;m5

như hình bên Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số

Đặt g x  4f sinxcos 2x a  g x   4f sinxcos 2x a  2

Xét h t  4f t  1 2t2  h t  4f t  4t4f t 1

.Với t 0;1

thì h t  0 h t  nghịch biến trên 0;1

Do đó (*) a h  1 4 1 1 2.1f    2  Vậy có 3 giá trị nguyên dương của a thỏa mãn.3

Câu 4 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị

 

yf x như hình vẽ Đặt     1 12 2019

2

g x f x m  x m  

, với m là tham số thực Gọi

S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y g x  

đồng biến trên khoảng 5;6.

Tổng tất cả các phần tử trong S bằng

Lời giải Chọn C

m m

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng 6;6

Lời giải Chọn B

Câu 6 (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - 2020) Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên

tục trên  và có đồ thị yf x  như hình vẽ bên Đặt     1 12 2019

A 4 B 11 C 14 D 20.

Lời giải Chọn C

Vì mnguyên và m   2019;2019  có 2020 giá trị mthỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 8. Cho hàm số yf x( ) có đồ thị f x( ) như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên

 

 

 ?

A 2020 B 2019 C 2021 D 2018

Lời giải Chọn B

11

h x   x    x Bảng biến thiên của hàm số h x 

trên

1

; 22

1min

m 

Kết hợp với m  , m   2020;2020

thì m   2019; 2018; ; 2; 1    Vậy có tất cả 2019 giá trị m cần tìm

?

Lời giải Chọn C

Xét hàm số y=- x2- 4x+ trên khoảng 5   ; 1, ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra m 9

Kết hợp với m thuộc đoạn 2020;2020

và m nguyên nên m 9;10;11; ;2020

.Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn đề bài

Câu 10 Cho hàm số f x 

xác định và liên tục trên R Hàm số yf x 

liên tục trên  và có đồ thịnhư hình vẽ

Lời giải Chọn B

m m

Ta có yf x 23x m  2x3 f x 23x m 

.Theo đề bài ta có: f x   x1 x3

Và g f x   f x 12a12 f x  1110a10 f x  9 2 a f x2  

và m   nên có 2037 giá trị thỏa mãn m.

Câu 13 Cho hàm số có đạo hàm    2 2 

1'( ) t

h t

t

 

BBT:

Có bao nhiêu số nguyên m<2019để hàm số g x( )= f x( 2- 2x m+ ) đồng biến trên khoảng

(1;+¥ )?

Lời giải Chọn A

: Không có giá trị m thỏa mãn

Vậy có 2016 số nguyên m<2019 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 15 Cho hàm số yf x  có đạo hàm là hàm số f x 

Câu 17 Cho hàm số yf x  có đạo hàm là hàm số f x 

trên  Biết rằng hàm số yf x  22

 

f x

Vậy: Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 1;1

Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số f x 

sau khi đã tịnh tiến và dựa vào đó để xét sự đồngbiến của hàm số f x 

Ta có g x 2f x f x    2f x f x    2f x f   x 2f x f   x ;

Khi đó h x  2x 2g x 2 2x 2 2 x 2 x2 2x x  2 2x1 2 x2 2x43

 

010

2

1 2

x x

h x

x x

Câu 19 Cho hàm số yf x( ) xác định trên  Hàm số y g x ( )f ' 2 x3 có đồ thị là một2

parabol với tọa độ đỉnh I2; 1  và đi qua điểm A1;2

Hỏi hàm số yf x( ) nghịch biến trênkhoảng nào dưới đây?

Xét hàm số g x( )f ' 2 x3 có đồ thị là một Parabol nên có phương trình dạng:2

 2

Vậy yf x( ) nghịch biến trên khoảng 5;9

Vì các điểm 1;0 , 0;0 , 1;0     thuộc đồ thị hàm số yf x  nên ta có hệ:

3 2

01

3

x x

x x x

x x x x

Câu 21 Cho hàm số yf x 

có đạo hàm f x'  x22x 3,  x Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m thuộc đoạn 10; 20 để hàm số g x  f x 23x m m21

đồng biến trên

0;2 ?

Lời giải Chọn C

  Có 18 giá trị của tham số m.

Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm.

Câu 22 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị của hàm số yf x'  như hình vẽ

m m

Câu 23 Cho hàm số yf x  là hàm đa thức có đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m, m Z , 2020 m2020 để hàm số

   2 2 2 8

63

  đồng biến trên khoảng 3;0

Lời giải Chọn B

Ta có g x  2xf x 2  4mx x 2  2x 3

.Hàm số g x 

đồng biến trên khoảng 3;0 suy ra g x 0,  x  3;0  2xf x 2  4mx x 2  2x 3     0, x  3;0  f x 2  2mx2  2x 3    0, x  3;0

max

f x m

3max

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m đề hàm số

Lời giải Chọn A

Ta có g'( x )=4 f ' ( x−m)+2 x−2 m

g'( x)≥0⇔ f '( x−m)≥− x−m

2 (∗)Đặt t=x−m thì (∗) ⇔f ' (t )≥− t

2

⇔¿ [ m−2≤1<2≤m

[2≤m≤3 [ m≤−3 [ ¿

Vì m nguyên dương nên m∈ { 2;3 }

Vậy có hai giá trị nguyên dương của m đề hàm số g( x) đồng biến trên khoảng (1;2)

Câu 25 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x1 x 1 x 4 ;   x Có bao nhiêu số nguyên

x

x x

x

x x

Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện  2

không có nghiệm m thỏa mãn.

Điều kiện  1   m  1  m  1,kết hợp điều kiện m  2020 suy ra có 2019 giá trị mthỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau:

Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x1 x 1 x 4 ;   x Có bao nhiêu số nguyên

Câu 26 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x'   x1e x, có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

trong đoạn 2019;2019 để hàm số yg x  f lnx mx2 mx 2 nghịch biến trên  2

1;e

Lời giải Chọn B