Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số có lời giải chi tiết mức 7-8 điểm

Chuyên đề về tính đơn điệu của hàm số chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiếttừng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về tính đơn điệu của hàm số 11, 12 và để ôn thi THPQG.

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐChuyên đề 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH MỤC TIÊU 7-8 ĐIỂM Dạng 1 Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó

Xét hàm số bậc ba y= f x( )=ax3+bx2+ +cx d.

– Bước 1 Tập xác định: D=¡ .

– Bước 2 Tính đạo hàm y′= f x′( ) 3= ax2+2bx c+ .

+ Để ( )f x đồng biến trên ¡ ⇔

( )

2 ( )

Vì m∈¢ nên m∈ − −{ 2; 1;0;1; 2}, vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 2 (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y= − −x3 mx2+(4m+9)x+5

, với m là tham số Hỏi có bao nhiêugiá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞; )

Lời giải Chọn D

Ta có:

+) TXĐ: D=¡

⇔ ∈ − − m  9; 3 ⇒ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 3. Cho hàm số 1 3 2 ( )

m m

m m

Câu 4. Tìm m để hàm số y x= −3 3mx2+3 2( m− +1 1) đồng biến trên ¡ .

A Không có giá trị m thỏa mãn. B m≠1.

C m=1. D Luôn thỏa mãn với mọi m

Lời giải Chọn C

Tập xác định: D=¡ .

y= x +mx + x m−

đồng biếntrên khoảng (−∞ +∞; ).

A [−2;2]. B (−∞;2). C (−∞ −; 2]. D [2;+∞) .

Lời giải Chọn A

Ta có tập xác định D=¡ .

Tập xác định: D=¡

Nếu hệ số a chứa tham số thì phải xét trường hợp a=0và a≠0

Câu 9. (Đề Tham Khảo - 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

y= m − x + m− x − +x nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞; ).

Lời giải Chọn C

TH1: m=1 Ta có: y= − +x 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số

luôn nghịch biến trên ¡ Do đó nhận m=1.

TH2: m= −1 Ta có: y= −2x2− +x 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số khôngthể nghịch biến trên ¡ Do đó loại m= −1.

TH3: m≠ ±1 Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞; ) ⇔ ≤ ∀ ∈y′ 0 x ¡ , dấu “=” chỉ

xảy ra ở hữu hạn điểm trên ¡

Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m= hoặc 0 m= 1

Câu 10 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞ + ∞; ) ⇔ ≥y′ 0 với x∀ ∈¡

+ Với m=0 ta có y′ = >3 0 với x∀ ∈¡ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ + ∞; ).

m m

m m m

Câu 11 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y mx= 3+mx2+m m( −1)x+2 đồng biến

trên ¡

A

43

và m≠0. B m=0 hoặc

43

C

43

43

Lời giải Chọn C

TH1: m= ⇒ =0 y 2 là hàm hằng nên loại m=0.

TH2: m≠0 Ta có: y′ =3mx2+2mx m m+ ( −1).

Hàm số đồng biến trên¡ ⇔ f x'( ) 0 ≥ ∀ ∈x ¡ ⇔

30

m

m m

Lời giải Chọn D

Ta có y′ =mx2−4mx+3m+5.

Với a= ⇔ =0 m 0⇒ = >y′ 5 0 Vậy hàm số đồng biến trên ¡ .

Với a≠ ⇔ ≠0 m 0 Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi

00,

Ta có y′ =3(m−1)x2−6(m−1)x+3.

Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y′ ≥ ∀ ∈0, x ¡

1 0

1 00

m m

m m

m m m

m m

 ∈ −



⇔  ∈ −

 ⇔ ∈ −m [ 1; 2) .m∈¢ ⇒ = −m 1;m=0; m=1.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 15 (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2018) Số các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn

m

⇔ ≤ −

Vì mlà số nguyên thuộc đoạn [−100;100] nên m∈ − −{ 2; 3; ; 99; 100− − }.

Vậy có 99 giá trị m

Câu 16 (Liên trường Nghệ An - 2020) Tổng bình phương của tất cả các giá trị nguyên của tham số m

để hàm số y=(3m2−12)x3+3(m−2)x2− +x 2 nghịch biến trên ¡ là?

Lời giải Chọn C

Tập xác định: D=¡ .

Ta có: y′ =9(m2−4)x2+6(m−2)x−1

.Hàm số nghịch biến trên ¡ ⇔ ≤ ∀ ∈y' 0 x ¡ ( dấu " "= xãy ra tại hữu hạn x∈¡ )

TH1: m2− = ⇔ = ±4 0 m 2.

+ Với m=2 ta có 'y = − ≤1 0 ∀ ∈x ¡ nên m=2 thỏa mãn.

Câu 17 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

21

2

m m

Vì m∈¢ , suy ra m∈{ }0;1 , nên có 2 giá trị nguyên của tham số m

Xét hàm số nhất biến ( )

– Bước 1 Tập xác định:

+ Để ( )f x đồng biến trên D⇔ =y′ f x′( ) 0, > ∀ ∈ ⇔x D a d b c − > ⇒0 m ?

+ Để ( )f x nghịch biến trên D⇔ =y′ f x′( ) 0, < ∀ ∈ ⇔x D a d b c − < ⇒0 m ?

★ Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu " "= xảy ra tại vị trí y′

Câu 18 (Mã 105 - 2017) Cho hàm số

x m với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S.

Lời giải Chọn B

x m

+

=+ với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S.

Lời giải Chọn D

{ }

\

2 24

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y′ < ∀ ∈0, x D ⇔m2 −4m<0⇔ < <0 m 4.

Mà m∈¢ nên có 3 giá trị thỏa mãn.

Câu 20 (THPT Hoa Lư A - 2018) Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số

Câu 21 (SGD&ĐT Bắc Giang - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

24

x m y

44

m y

x

−

′ =

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó thì 4−m2 > ⇔ − < <0 2 m 2.

Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn

Câu 22 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số

21

y x

+ −

=+nghịch biến trên các khoảng mà nó xác định?

m y x

−

′ =+ ∀ ≠ −x 1.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định khi và chỉ khi y′ <0, x≠ −1⇔ <m 1.

Câu 23 (SỞ GD&ĐT Yên Bái - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

4

mx y

m m

m m

mx y

m m

m m

4

m y

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi −m2+4>0⇔ − <2 m<2.

Dạng 2 Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước

Câu 1 (Đề Tham Khảo Lần 1 2020) Cho hàm số f x( ) mx 4

x m

−

=

− ( m là tham số thực) Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+ ∞) ?

Lời giải Chọn D

Tập xác định D=¡ \{ }m .

Đạo hàm

( )

2 24

m m

− + > − < <



Do m∈ ⇒ = −¢ m { 1;0} Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Câu 2. (Mã 101 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

4

x y

x m

+

=+đồng biến trên khoảng (−∞ −; 7) là

A [ )4;7 . B (4;7]. C ( )4;7 . D (4;+ ∞).

Lời giải Chọn B

Tập xác định: D=¡ \{- m}.

Ta có: ( )2

4

m y

Câu 3 (Mã 102 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng là

A B C D

Lời giải Chọn B

x m

+

=+

đồng biến trên khoảng (−∞ −; 5)

Lời giải Chọn A

Tập xác định: D=¡ \{ }−m

2'

m y

x m

−

=+

Hàm số đồng biến trên khoảng

x m

+

=+

đồng biến trên khoảng (−∞ −; 6) là

Hàm số xác định khi: x m+ ≠ ⇔ ≠ −0 x m.

Câu 6. (Mã 104-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

23

x y

+

=+ đồng biến trênkhoảng (−∞ −; 6).

Lời giải Chọn A

Tập xác định: D= −∞ −( ; 3m) (∪ −3 ;m +∞).

3

m y

x m

−

′ =+

Hàm số đổng biến trên khoảng (−∞ −; 6)

Mà m nguyên nên m={ }1; 2 .

Câu 7 (Mã 103-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

13

x y

+

=+ nghịch biếntrên khoảng (6;+∞)?

Lời giải Chọn C

Tập xác định D=¡ \{−3m} ; ( )2

3

m y

x y

+

=+ nghịch biến trên khoảng (6;+∞) khi và chỉ khi:

06;

m m

x y

+

=+ đồng biếntrên khoảng (−∞ −; 10)?

Lời giải Chọn A

−

=

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ −; 10) khi và chỉ khi [ )

m m

m m

Vì m nguyên nên m∈{ }1;2 Vậy có 2 giá trị của tham số m

Câu 9. (Mã 102 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

65

x y

+

=+ nghịch biếntrên khoảng (10;+∞)?

Lời giải Chọn B

Tập xác định D=R\\ 5{− m}

.( )2

5

m y

m m

x m đồng

biến trên khoảng (− +∞1; ) là

A (−2;1]. B (−2;2). C (− −2; 1]. D (− −2; 1).

Lời giải Chọn C

2 2

40,

mx y

−∞ 

A m>2. B 1≤ <m 2. C 2− < <m 2. D 2− ≤ ≤m 2.

Lời giải Chọn B

Tập xác định:

\4

44

m y

x m

=+ với m là tham số Gọi S là tập hợptất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+ ∞) Tìm số phần tử của

S

Lời giải Chọn C

Điều kiện xác định: x≠ −m.

2 2

− < <



 ⇔ − ≤ <2 m 1.

Vậy giá trị nguyên của m là S = − −{ 2; 1;0} .

Câu 13 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

184

x y

x m

+

=+

nghịch biến trên khoảng (2;+∞) ?

Lời giải Chọn D

Điều kiện x≠ −4m.

Ta có

184

x y

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2;+∞)

Vì m∈¢ nên m∈{0;1; 2;3; 4} Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= x x++418m

nghịch biến trên khoảng (2;+∞) .

Câu 14 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

94

mx y

x m

+

=+ nghịch

biến trên khoảng ( )0; 4

?

Lời giải Chọn C

36'

4

m y

m m

m m

m

m m

Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 15 (Sở Yên Bái - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số msao cho hàm số

mx m y

m m

2 2

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞) thì y′ < ∀ ∈ +∞0, x (1; ).

Điều kiện: x m≠ nên m∉ −∞ −( ; 3)

Vậy có 2023 giá trị m nguyên thoả mãn

Câu 17 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số

42

x y

Tập xác định

\2

m y

Câu 18 (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

4

mx y

TXĐ: D=¡ { }−m

2 24

m y

m m

m m

m

− < <

Vậy số giá trị nguyên của tham số m là 2

Dạng 3 Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước

Câu 1 (Mã 101 – 2020 -Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m≤4 thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy: m∈ −∞( ; 4] thì hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞).

Câu 2. (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy m≤2 Vậy m∈ −∞( ; 2].

Câu 4 (Mã 104 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

3 3 2 1

y=x − x + −m x đồng biến trên khoảng (2;+∞) là

A (−∞ −; 2). B (−∞;1). C (−∞ −; 2]. D (−∞;1].

Lời giải Chọn D

−∞ − 

  B [0;+∞) C (−∞;0] D − +∞÷34; 

Lời giải Chọn A

Câu 6. Cho hàm số y x= +3 3x2−mx−4 Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến

trên khoảng (−∞;0) là

A (−1;5) . B (−∞ −; 3]. C (−∞ −; 4]. D (− + ∞1; ).

Lời giải Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta có ⇔ ≤m 3x2+6 ,x x∀ ∈ −∞( ;0) ⇔ ≤ −m 3.

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

−∞ − 

142;

−∞ − 

Lời giải Chọn A

Tập xác định D=R, yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

14( )

m<

12

m≥

Lời giải Chọn D

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x= +3 3x2−mx+1 đồng biến trên khoảng

(−∞;0) .

A m≤0. B m≥ −2. C m≤ −3. D m≤ −1.

Lời giải Chọn C

Tập xác định: D=¡ .

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) Vậy B là đáp án đúng.

Câu 10 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x= −3 3mx2−9m x nghịch biến trên2

khoảng ( )0;1

A

11

3

− < <m

13

≥

m

hoặc m≤ −1.

Lời giải Chọn D

Tập xác định D=¡

∙Nếu − =m 3m⇔ =m 0 thì y′ ≥ ∀ ∈0; x ¡ nên hàm số không có khoảng nghịch biến

∙Nếu − <m 3m⇔ >m 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (−m m;3 )

≤



⇔− ≥ m ⇔ ≤ −m

Kết hợp với điều kiện ta được m≤ −1.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0;1

khi m≤ −1 hoặc

13

m≤ −

12

m< −

Lời giải Chọn C

Nếu 1 2≤ m−1 thì ta có biến đổi y′ ≤ ⇔ ≤ ≤0 1 x 2m−1.

(trường hợp này hàm số không thể nghịch biến trên khoảng (−2;0)).

Xét 2m− <1 1 ta có biến đổi y′ ≤ ⇔ ∈0 x [2m−1;1].

.

Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng (−2;0) thì (−2;0)⊂[2m−1;1].

x

m x x

.( ) (2 )2

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có m≥ f x( ) với ∀ ∈ −x ( 1;1) ⇔ ≥m 2.

* Có thể sử dụng y′ ≤0 với ∀ ∈ −x ( 1;1)

( ) ( )

y y

m m

Cách 1:Tập xác định: D=¡ Ta có y′ =3x2−12x m+

Trường hợp 2.1: y′ =0 có nghiệm x=0 suy ra m=0 Nghiệm còn lại của y′ =0 là x=4(không thỏa (*))

Trường hợp 2.2: y′ =0 có hai nghiệm x x thỏa1, 2

m vl m

Cách 2:Hàm số đồng biến trên (0;+∞) ⇔ ≥m 12x−3x2 =g x( ),∀ ∈x (0;+∞).

Lập bảng biến thiên của ( )g x trên (0;+∞).

Câu 16 Tìm m để hàm số y= − +x3 3x2+3mx m+ −1 nghịch biến trên (0;+∞).

A m≤ −1. B m≤1. C m<1. D m> −1.

Lời giải Chọn A

Ta có y′ = −3x2+6x+3m= − +3( x2 2x m+ )

Vì hàm số liên tục trên nửa khoảng [0;+∞) nên hàm số nghịch biến trên (0;+∞) cũng tương

đương hàm số nghịch trên [0;+∞) khi chỉ khi y′ ≤ ∀ ∈ +∞0, x [0, ).

x

⇔ ≤

−

Câu 18 (Chuyên KHTN - 2018) Tập hợp tất cả các giá trị của tham sốm để hàm số

Xét hàm số y= f x'( ) = −x2 2mx+(m+6) trong 3 trường hợp:

đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Câu 20 (Chuyên Sơn La - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

− +∞÷

 . C [0;+∞) . D (−∞;0].

Lời giải Chọn A

Câu 21 (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số 3 ( 1) 2 3( 1) 1

3

x

y= − m− x + m− x+

Số các giá trị nguyên của

m để hàm số đồng biến trên (1;+∞) là

Lời giải Chọn C

Kết hợp với điều kiện ta được 0≤ <m 1 Khi đó có 1 giá trị nguyên của m

Vậy có 5 giá trị nguyên của m

Câu 22 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Số giá trị nguyên thuộc khoảng (−2020;2020) của tham số m để

hàm số y x= −3 3x2−mx+2019 đồng biến trên (0;+∞) là

A 2018 B 2019 C 2020 D 2017

Lời giải Chọn D

Câu 23 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc để hàm số

đồng biến trên

Lời giải Chọn D

Số các số nguyên m cần tìm là: 2020 12 1 2009− + = .

Câu 24 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x( ) =x3−(m+1)x2−(2m2−3m+2)x+2

Có

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;+∞) ?

Lời giải Chọn C

f x =x − m+ x − m − m+ x+ ⇒ f x′ = x − m+ x− m − m+

Nhận xét 2m2−3m+ > ∀ ∈2 0 m ¡ nên f x′( ) =3x2−2(m+1)x−(2m2−3m+ =2) 0

luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;+∞) khi và chỉ khi f x′( )≥0 với mọi

Câu 25 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc

(−2020;2020) sao cho hàm số y=2x3+mx2+2x đồng biến trên khoảng (−2;0) Tính số phần

tử của tập hợp S

A 2025. B 2016. C 2024. D 2023.

Lời giải Chọn C

y= x +mx + x đồng biến trên khoảng (−2;0).

Câu 26 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Với mọi giá trị m a b≥ , (a b, ∈¢)

Bảng biến thiên của hàm số f x( )

= −



Dạng 4 Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước

Câu 1. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

tan

x y

Ta thấy hàm số t x( ) =tanx

đồng biến trên khoảng

6

13

Dựa vào BBT ta có m≥ − 4, suy ra các giá trị nguyên âm của tham số m là − − − −4; 3; 2; 1

Câu 3. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để

Ta có f x′( ) =0 có một nghiệm đơn là x= −1, do đó nếu ( )*

không nhận x= −1 là nghiệm thì

( )

f x′ đổi dấu qua x= −1 Do đó để f x( )

đồng biến trên ¡ thì f x′( ) ≥ ∀ ∈0, x ¡ hay ( )*

nhận1

x= − làm nghiệm (bậc lẻ).

Lời giải

• Tập xác định:D=¡ \ 2{ } .

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi:

−( )2

Vậy, để hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó thì m≤0.

Câu 5 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số

cos

x y

m m

x m Có bao nhiêu giá trị nguyên của m

trong khoảng (−10;10) sao cho hàm số đồng biến trên (−8;5)?

Lời giải