D11_C3_B1_Phương-pháp-quy-nạp-toán-học_Ngô-Thị-Lâm_đã chỉnh sửa

Ta không thể làm như bài toán 1 vì số lượng ruồi giấm và các thế hệ của quẩn thể là vô số, việc kiểm tra từng cá thể của từng thế hệ là không thể Để thu được kết luận đúng, ta làm như sa

HOẠT Đ ỘN

G K HỞI ĐỘ NG

A

Chủ đề: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Thời lượng dự kiến:2 tiết

I MỤC TIÊU

1 Kiến thức

-Hiểu được phương pháp và các bước chứng minh quy nạp

- Biết được khi nào thì dùng phương pháp quy nạp

2 Kĩ năng

- Vận dụng thành thạo phương pháp quy nạp trong giải toán

3.Về tư duy, thái độ

- Tự giác, tích cực trong học tập

- Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống

-Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xâydựng cao

4.Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển:

- Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điềuchỉnh được

kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi Phân tích

được các tình huống trong học tập

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống;

trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ

tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp

hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1 Giáo viên

+Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu,

2 Học sinh

+ Đọc trước bài

+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng …

III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

Mục tiêu:- Biết phối hợp hoạt động nhóm và sử dụng tốt kỹ năng ngôn ngữ.

- Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Bài toán 1

Thầy giáo kiểm tra bài cũ lớp 11A1 (có 35 học sinh), thầy gọi

theo sổ điểm lần lượt các bạn:

Cả 5 bạn ấy đều học bài Thầy kết luận: “Cả lớp 11C1 học bài”

Thầy kết luận như vậy có hợp lí không? Nếu không thì làm thế

nào để có kết luận đúng?

Bài toán 2

Người ta kiểm tra trên một quần thể ruồi giấm thấy thế hệ đầu

Kết quả 1:

Thầy kết luận như vậy là chưa hợp lí

vì có thể các bạn từ số thứ tự 6 đến số thứ tự 35 chưa chắc đều học bài

Để thu được kết luận đúng, thầy cần kiểm tra cả lớp( bằng cách kiểm tra 15 phút chẳng hạn)

Kết quả 2:

Kết luận như vậy chưa chắc đúng vì chưa kiểm tra xem các thế hệ khác có

HOẠT Đ ỘN

G HÌ

NH THÀ

NH KIẾ

N T HỨC B

tiên có tính trạng mắt đỏ Kết luận: “Tất cả ruồi giấm ở mọi thế

hệ của quần thể này đều mắt đỏ”.

Kết luận như vậy có đúng không? Nếu không làm thế nào để có

kết luận đúng?

mắt đỏ không?

Ta không thể làm như bài toán 1 vì số lượng ruồi giấm và các thế hệ của quẩn thể là vô số, việc kiểm tra từng

cá thể của từng thế hệ là không thể

Để thu được kết luận đúng, ta làm như sau:

+ Kiểm tra với thế hệ thứ nhất (đời F1);

+ Chứng minh sự di truyền của tính trạng mắt đỏ Tức là chứng minh rằng nếu đời bố mẹ mắt đỏ thì đời con mắt

đỏ Khi đó, chắc chắn tất cả các cá thể

ở mọi thế hệ đều mắt đỏ vì thế hệ trước sẽ di truyền lại cho thế hệ sau

GV treo bảng phụ

GV phân nhóm: Nhóm 1, 2 thảo luận câu 1; Nhóm 3, 4 thảo

luận câu 2

HS quan sát bảng phụ và tiến hành trao đổi, thảo luận theo

nhóm

Câu 1 Cho mệnh đề P n :"3n  n 100"

Với n1: 31 1 100 Đúng

n2 : 32  2 100 Đúng

n3: 33 3 100 Đúng

n4 : 34  4 100 Đúng

Với n thì mệnh đề 5 P n 

đúng hay sai? Vậy với n là số

nguyên dương thì mệnh đề P n  đúng hay sai?

Câu 2 Cho mệnh đề Q n :"2n n"

Với n1: 211 Đúng

n2 : 22 2 Đúng

n3: 23 3 Đúng

n4 : 24 4 Đúng

Với n thì mệnh đề 5 Q n 

đúng hay sai? Vậy với n là số

nguyên dương thì mệnh đề Q n  đúng hay sai?

Kết quả 3: Với mọi n��* thì P n  sai vì P 5 sai.

Kết quả 4: Ta có Q 5

đúng và với mọi n��*thì Q n 

cũng đúng

Mục tiêu: - Nhớ và hiểu được nội dung của phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước (bắt buộc) theo

một trình tự quy định.

- Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của

học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt

động

I Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự

nhiên n��* là đúng với mọi n mà không thể thử trực

tiếp được thì có thể làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n 1

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất

kì n k � (giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề1

đúng với n k  1

Đó là phương pháp quy nạp toán học.

Nắm được phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước (bắt buộc) theo một trình tự quy định

II Ví dụ áp dụng

VD1: Chứng minh rằng với mọi n��*, ta có:

  2 

1 3 5   � 2 –1n n *

VD2: Chứng minh rằng với n��* thì A n n3– *n  

chia hết cho 3

* Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n��*

Kết quả 1:

* Với n thì VT = 1 = VP1 Vậy hệ thức đúng với n 1

* Giả sử (*) đúng khi n k k ( �1), tức là

2

1 3 5 (2    k  đúng1) k

Ta CM với n k  thì (*) cũng đúng, nghĩa1 là

1 3 5 (2    k 1) ��2 k   1 1�� k 1

Ta có

2

1 3 5 (2 1) 2 1 1

1

k

     ��   ��

 ��   ��  

 

Do đó (*) đúng với n k  1 Vậy (*) đúng với mọi n��*.

Kết quả 2:

* Với n ta có 1 A1 M0 3 Vậy (*) đúng với n 1

* Giả sử (*) đúng với n k k ( �1), tức là

k

Ta CM với n k  thì (*) cũng đúng, nghĩa1

là   3 

k

Thật vậy, ta có

k

HOẠT ĐỘ NG LU YỆN TẬ

P

C

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của

học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt

động

Chú ý:Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi

số tự nhiên n�p p( ��) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n p .

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì

n k �p , chứng minh mệnh đề đúng với n k   1

VD3: Cho hai số 3n và 8n , n��*

a) So sánh hai số đó với n1, 2,3, 4,5.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng

phương pháp quy nạp

Theo giả thiết, A k k3k 3M

và

3 k  Mk 3

nên A k1M3

Do đó (*) đúng với n k  1 Vậy (*) đúng với mọi n��*.

* Nắm được phương pháp quy nạp chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên

( )

n�p p��.

Kết quả 3:

CM: 3n 8n với n� , 3 n��* (*)

* Với n ta có 27 > 243 Vậy (*) đúng với n 3

* Giả sử (*) đúng với n k k ( �3), tức là

3k 8k

Ta CM với n k  thì (*) cũng đúng, nghĩa1

là 3k1 8(k1) Thật vậy, ta có

1

3 8

3 3 8 3 8 8

3 8( 1)

k k k

k

k





  

�

 

�

Do đó (*) đúng với n k  1 Vậy (*) đúng với mọi n� , 3 n��*.

Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của

1 Chứng minh với n��*, ta có:

a)

2 5 8 3 1

2

n n

     

b)

n



c)

1 2 3

6

    

Kết quả 1:

a)*Với n thì VT = 2 = VP1 Vậy hệ thức đúng với n1

* Giả sử (a) đúng khi n k k ( �1), tức là

2 5 8 3 1

2

k k

     

đúng

Ta CM với n k  thì (a) cũng đúng, nghĩa1

là 2 5 8 3 1 1  1 3  4

2

      

Ta có

2 5 8 3 1 1

2 5 8 3 1 3 2

3 1

3 2 2

k

k k

k



Do đó (a) đúng với n k  1 Vậy (a) đúng với mọi n��* b) * Với n thì VT = 1

1

2 = VP

Vậy hệ thức đúng với n1

* Giả sử (b) đúng khi n k k ( �1), tức là

k



đúng

Ta CM với n k  thì (b) cũng đúng, nghĩa1 là

1

k





Ta có

1 1

1 1 1 1

2 4 8 2

2 1 1 2 1

k





   

Do đó (b) đúng với n k  1 Vậy (b) đúng với mọi n��*.

* HS tự chứng minh c)

2 Cho tổng

1.2 2.3 ( 1)

n

S

n n





với n��* a) Tính S1, S2, S3

b) Dự đoán công thức tính S và chứng minh bằng qui n

nạp

Kết quả 2:

* HS tính S1, S2, S3 CM: S n 1

n n



 với n��* (*)

* Với n thì VT = 1

1

2 = VP

Vậy hệ thức đúng với n1

* Giả sử (*) đúng khi n k k ( �1), tức là

k

  đúng

Ta CM với n k  thì (*) cũng đúng, nghĩa1 là

k



HOẠT ĐỘ NG VẬ

N DỤ NG , T ÌM TÒ

I M

Ở R ỘN G

D,E

Ta có1.2 2.31  1   k k( 1 1) ( k 1)1k 2



Do đó (*) đúng với n k  1 Vậy (*) đúng với mọi n��*.

Mục tiêu:Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết những vấn đề thực tế trong cuộc sống, những bài

toán thực tế…

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập

Câu hỏi 1:

Em dự đoán xem, tâm đường tròn tiếp theo nằm ở

vị trí nào, bán kính bằng bao nhiêu

Câu hỏi 2:

Chứng minh rằng số đường chéo trong

một đa giác lồi bằng

, 4 2

n

n n

Kết quả 1:

Bán kính đường tròn là các số Fibonacci( Quy nạp kiểu Fibonacci)

giác có hai đường chéo

Giả sử khẳng định đúng với n k � , tức 4

là

2

k

k k



Ta cần chứng minh khẳng định đúng khi

1

n k  , có nghĩa là phải chứng minh

1

2

k



NH ẬN BIẾ T 1

Câu hỏi 3: Biết rằng số phức

i   Khi đó tính

2017, 2018, n

Câu hỏi 4: Tìm quy luật

Thật vậy Khi ta vẽ thêm đỉnh A k1 thì cạnh A A bây giờ trở thành đường chéo k 1

Ngoài ra từ đỉnh A k1 ta kẻ được tới k 2 đỉnh còn lại để có thể tạo thành đường chéo Nên số đường chéo mới tạo thành khi ta thêm đỉnh A k1 là k    2 1 k 1 Vậy ta có

1

Kết quả 3:

 

1008

1008

Kết quả 4:

Đáp án có chữ số đầu và chữ số cuối đều là 1, ở giữa là sự sắp xếp các con số tịnh tiến, mang tính đối xứng

IV CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

Câu 1 Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n 

đúng với mọi số tự nhiên n� (p p

là một số

tự nhiên) Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

Lời giải Chọn B.

Câu 2 Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n 

đúng với mọi số tự nhiên n� (p p là một số

tự nhiên) Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A n 

đúng với n k Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải Chọn B.

Câu 3 Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A n 

đúng với mọi số tự

nhiên n� (p p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

� Bước 1, kiểm tra mệnh đề A n 

đúng với n p.

� Bước 2, giả thiết mệnh đề A n 

đúng với số tự nhiên bất kỳ n k �p và phải chứng minh rằng nó

cũng đúng với n k 1.

Trong hai bước trên:

C Cả hai bước đều đúng D Cả hai bước đều sai.

TH ÔN

G H IỂU 2

Lời giải Chọn C.

Câu 5 Cho S n 1 2 2 3 3 41 1 1  1 1

n n



� � � với n�N*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 3

1

12

S 

B 2

1 6

S 

C 2

2 3

S 

D 3

1 4

S 

Lời giải Nhìn vào đuôi của S là n n n. 1 1 ���

 cho n , ta được 2 2 2 1 1   2 31 .

Do đó với n , ta có 2 2

1 1 2

1 2 2 3 3

Câu 6 Cho S n 1 2 2 3 3 41 1 1  1 1

n n



� � � với n�N*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

1

n

n

S

n





n S n



1 2

n

n S n





2 3

n

n S n







, ,

Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn

mẫu đúng 1 đơn vị Chọn B.

, ,

dự đoán n 1.

n S n





� Với n , ta được 1 1

1 1 1.2 1 1

 : đúng.

� Giả sử mệnh đề đúng khi n k k �1, tức là 1.2 2.31 1  1 1 1

k

� Ta có 1.2 2.31 1  1 1 1

k

2

k

�

 

�

k



�

    Suy ra mệnh đề đúng với n k  1

Câu 7 Cho S n 1 3 3 51  1   2n 1 1 2n 1

� � � với n�N*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

1

2 1

n

n

S

n





 B. n 2 1.

n S

n



 C. n 3 2.

n S

n



2

2 5

n

n S n







VẬN D ỤN G 3

Lời giải Cho

1

2

3

1 1

3 6

15 3 3

7

�  ��� 

�

�

�  ��� 

�

�

�  ��� 

�

� Kiểm tra các đáp án chỉ cho B thỏa Chọn B.

1 1 1

n

P

n

 � �� � � �

� �� � � � với n� và 2 n�� Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

1 2

n

P

n





 B

1 2

n P n





C

1

n P n





D

1 2

n P n





Lời giải Vì n� nên ta cho 2

� ���  �� ��

�

�

�  ���  � �� �

�

Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa Chọn D.

Câu 9 Với mọi n��*, hệ thức nào sau đây là sai?

A.

1 2

2

n n

   

B.1 3 5    2n 1 n2.

C.

1 2

6

D. 2 2 2  2 2  1 2  1

6

Lời giải Bằng cách thử với n , 1 n , 2 n là ta kết luận được Chọn D.3

Câu 10 Chứng minh rằng với mọi n��*thì n32n chia hết cho 3.

Hướng dẫn giải

ĐặtP n( ) n3 2n

- Khi n , ta có (1) 3 31 P  M Suy ra mệnh đề đúng với 1n

- Giả sử mệnh đề đúng khi n k � , tức là: 1 P k( )k3 M2 3k

- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n k  , tức là chứng minh: 1 P k(   1) (k 1)32(k M 1) 3

Thật vậy:

( 1) 3 3 1 2 2 3 5 3 2 3( k 1) ( ) 3( k 1)

P k k  k  k  k k  k  k  k  k  k   P k  k  

Mà ( ) 3P k M và 3(k2  M nên ( 1) 3k 1) 3 P k M �mệnh đề đúng khi n k  1

- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọin��*.

Câu 11 Chứng minh rằng với mọi n��*thìn311n chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải

Đặt P n( ) n3 11n

- Khi n , ta có (1) 12 61 P  M Suy ra mệnh đề đúng với 1n

- Giả sử mệnh đề đúng khi n k � , tức là: 1 P k( )k311 6kM

VẬN DỤ NG CA O 4

- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n k  , tức là chứng minh: 1 P k(   1) (k 1)311(k M 1) 6 Thật vậy:

( 1) 3 3 1 11 11 3 14 12 11 3( ) 12

( ) 3 ( 1) 12

               

Mà ( ) 6P k M , 3 ( 1) 6k k  M (do k và 1 k là 2 số tự nhiên liên tiếp nên ( 1) 2k k M ) và 12 6M nên ( 1) 6P k M

�mệnh đề đúng khi n k  1

- Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọin��*.

1.4 2.7  ��n n3  1 n n1

Hướng dẫn giải

1.4 2.7  ��n n3  1 n n1 (1)

Với n = 1: Vế trái của (1) 1.4 4  ; Vế phải của (1) 1(1 1) 2  Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của 4 (1) Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n k Có nghĩa là ta có:      2

1.4 2.7  ��k k3  1 k k1 2

Ta phải chứng minh (1) đúng với n k  Có nghĩa ta phải chứng minh: 1

1.4 2.7  ��k k3   1 k 1 3k 4 k1 k2

Thật vậy

2

1

k k

 

1 4 4 44 2 4 4 4 43

(đpcm) Vậy (1) đúng khi n k  Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.1

Câu 13 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

3

1.2.3 2.3.4 1 2 4 1 2

n n



Hướng dẫn giải

3

,(1) 1.2.3 2.3.4 1 2 4 1 2

n n



Với n = 1: Vế trái của (1)

1 1 1.2.3 6

; Vế phải của (1)

1(1 3) 1 4(1 1)(1 2) 6



Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1) Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n k Có nghĩa là ta có: 1.2.3 2.3.41 1  11  2 4 1  3 2   2

k k



Ta phải chứng minh (1) đúng với n k  Có nghĩa ta phải chứng minh: 1

1 4

2

 

Thật vậy

3

4 1 2

1.2.3 2.3.4 1 2 1 2 3

k k





 

1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43

PH IẾU HỌ

C T ẬP 1

MÔ

TẢ C

ÁC MỨ

C Đ Ộ 2

k k

k k

2

  

Vậy (1) đúng khi n k  Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.1

V PHỤ LỤC

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2

Phương

pháp quy

nạp toán

học

Phát biểu được phương pháp chứng minh quy nạp đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n N

Hiểu được các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên

n  N đơn giản

Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n  N phức tạp