Tổng hợp 180 bài toán hàm số và đồ thị hàm lũy thừa, mũ, logarit chương trình THPT cơ bản và nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng d

Tổng hợp 180 bài toán hàm số và đồ thị hàm lũy thừa, mũ, logarit chương trình THPT cơ bản và nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng dẫn giải và đáp án của các phần bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về hàm số và đồ thị hàm lũy thừa, mũ, logarit lớp 11, 12 và để ôn thi THPQG.

180 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT

- CÓ LỜI GIẢI CHI

TIẾT -30 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT

– CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ 1 CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT

Câu 1: Cho số thực a > 0 và a 1 Hãy rút gọn biểu thức

Câu 5: Cho a, b, c là các số thực khác 1 Hình vẽ bên là đồ thị của các

hàm số ya x,yb x,yc x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A abc B cba

C a c b D cab

Câu 6: Mệnh đề nào dưới đây sai?

A logx 1 0x10 B log1 x log1 y x y 0

Câu 9: Cho a là số thực dương khác 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y.

A loga x loga x loga y

a

x x

Câu 13: Cho a là một số thực dương Viết biểu thức Aa2 a.3a dưới dạng lũy thừa với số

Câu 14: Cho a, b là các số thực dương Rút gọn biểu thức

4

4 3 2

3 12 6

a b P

Câu 16: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A ya x với 0a1 là hàm số đồng biến trên   ; 

B Đồ thị hàm số ya x với 0a1 luôn đồng biến trên điểm a;1 

C ya x với a 1 là hàm số nghịch biến trên   ; 

D Đồ thị các hàm số ya x và 1

x

y a

 

 

  (với 0a1) đối xứng với nhau qua trục Oy

Câu 17: Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữa tỷ của biểu thức 3a5 4a với a 0.

Câu 18: Cho a, b, c là các số dương và a, b khác 1 Khẳng định nào sau đây là sai?

A loga cloga b logb c B log 1

b

c c

Câu 20: Cho đồ thị  C :y 3 x Tìm kết luận sai:

A.Đồ thị (C) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

B Đồ thị (C) nằm về phía trên trục hoành.

C Đồ thị (C) đi qua điểm (0;1)

D Đồ thị (C) nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Câu 21: Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.log 3 a 3 loga B log 3 1log

Câu 23: Trong các hình sau, hình nào là dạng của đồ thị hàm số ya x,0 a 1?

Câu 24: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

log x

D y lnx

Câu 27: Cho a là số thực dương khác 4 Tính

3 4

a a A

a a

 với a 0, ta được kết quả

,

m n

Aa trong đó m n   và , * m

n làphân số tối giản Khẳng định nào sau đây là đúng ?

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Sử dụng tính chất của hàm ya x,yloga x khi a1,a1.

 

 

  nghịch biếntrên 

ya với 0a1 luôn đi qua điểm (1;a), không đi qua điểm (a;1) nên B sai.

- Hàm số ya xđồng biến nếu a > 1 nên C sai

c

b b

Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B sai vì ĐK: c 1.

Câu 23: Chọn D.

Phương pháp:

Hàm số ya x với 0 < a < 1 nghịch biến trên tập xác định

Cách giải:

+) Đồ thị hàm số ya x đi qua điểm 0;1  loại hình (III) và (IV)

+) Với 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến  loại hình (I)

m n

m

n a

35 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT

– CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ 2 CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Câu 1: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức 3232 2

P  

 

B

1 82.3

Câu 3: Với mọi số thực dương ,b,x,ya và a b , 1, mệnh đề nào sau đây sai?

A.loga xy loga xloga y B logb a loga xlogb x

C loga x loga x loga y

Câu 3: Cho ba số dương a b c a, ,  1,b1 và số thực  khác 0 Đẳng thức nào sau đây sai?

A.logab c loga bloga c B log loga

a

c c

Câu 15: Cho a b c, , là ba số thực dương, khác 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a  b D loga blogb c logc a

Câu 16: Cho a; b; c là ba số thực dương, khác 1 Mệnh đề nào dưới đây sai?

A logb alogb c logc a B log 1log

b b

Câu 17: Cho 1 a 0, x0 Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.loga x44 loga x B log 4 1log

4

C loga x4 4 loga x D loga x4 log 4 a x

Câu 18: Cho a là số thực dương tùy ý Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 19: Với a là số thực dương khác 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y

A loga x loga x loga y

y   B loga x loga x loga y

C log log

log

a a

a

x x

Câu 21: Cho các số thực dương a x y, , và a 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A loga xy yloga x B loga xy loga x loga y

C loga xy loga xloga y D loga xy loga x loga y

Câu 22: Cho x, y là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý Đẳng thức nào sau đây là sai?

A.x m.x n x m n B x m yn  xy m n C  x n m x n m. D  xy nx y n n

Câu 23: Cho loga c a 0 và logb c y 0 Khi đó giá trị của logab c là:

A. 1

Câu 24: Cho a là số thực dương và khác 1 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A loga x loga x loga y, x 0,y 0

a a a

Câu 31: Cho 0a1, x0, y0 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A.logaxyloga xloga y B loga xy loga xloga y

C logaxy loga x loga y D loga xy loga x loga y

Câu 32: Nếu 2 3a1 2 3 thì

A a 0 B a 0 C a 1 D a 0

Câu 33: Cho hàm số yloga x với 0a1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Nếu 0a1 thì hàm số đồng biến trên 0;

B Nếu a 1 thì hàm số đồng biến trên 0;

Câu 35: Với các số thực x, y dương bất kì Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log2 xy log2x log2y B log2 xy log2xlog2y

2

2

loglog

log

x x

log x  y 2 log x log y

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

11-D 12-A 13-A 14-D 15-A16-C 17-C 18-C 19-A 20-A21-C 22-B 23-C 24-C 25-C

26-B 27-B 28-C 29-B 30-D31-B 32-D 33-B 34-A 35-B

-Sử dụng các công thức logarit và bất phương trình loga

+) loga xloga y 0xy (với 0 a 1) và loga xloga y xy0 với a > 1

+) Đáp án B đúng vì đây là công thức đổi cơ số: logb a loga xlogb x

+) Đáp án C đúng vì đây là công thức logarit của một thương: loga x loga x loga y

+) Đáp án D sai vì ta có: loga1 loga x 1 loga x.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:

Đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox  Hàm số mũ ya x Hàm số nghịch biến trên R  Hệ số a < 1.Vậy hàm số cần tìm là y 0,8x

Câu 9: Chọn C.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức cơ bản của hàm logarit để làm bài toán

Cách giải:

+) loga xy loga xloga y  đáp án A đúng

+) logb a loga xlogb x  đáp án B đúng

+) Từ đồ thị Hình 1 bỏ đi phần đồ thị bến trái trục Oy

+) Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục Oy qua Oy

+ Nếu a 1: hàm số đồng biến trên   ; 

Sử dụng các công thức log log log ;log 1log ; loga b ;log log log

loga b loga b loga a loga b 3

Bảng công thức lôgarit cơ bản

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

loga x loga x loga y, x 0,y 0

Ta có    2

5 2

a a

Với các số thực x, y dương bất kì, ta có log2 xy log2xlog2y

50 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU - ĐỀ SỐ 1 CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 2  2

A S = (-1;0) B S    ;0 C S  3 2;0  D S  3 2; 

Câu 2: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau 4  2   2 

A Phương trình có hai nghiệm không dương B Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.

Câu 6: Giải bất phương trình sau 1  1 

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x  2 2m xm  có 2 nghiệm phân2 0biệt.

Câu 17: Phương trình log4x12 2 log 2 4 x log84x3 có bao nhiêu nghiệm?

A 3 nghiệm B Vô nghiệm C 2 nghiệm D 1 nghiệm.

Câu 18: Giải phương trình  

1

5 7 22;5

Câu 22: Gọi S là tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình

2

3 10

21

3 3

2 x3 x 4.3 x có bao nhiêu điểm thuộc đoạn [-2017;2017]?

2

S 

  D S = (1;4) Câu 29: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 log34x 7 log 183 x9 

Câu 42: Nghiệm của phương trình 2x2x13x3x1 là:

2

3log4

4

3log2

4

2log3

1

36 b 1 C  2 

1.1

3.1

 

2

x y

 

2

x y

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

log x  2x 3 2 log x  2x 4

Điều kiện:

2

2 2

Sử dụng công thức biến đổi logarit logamn loga mloga n với m n, 0;0a1.

Giải phương trình logarit cơ bản log m

m m

x x

Bất phương trình tương đương với:

2

32

2 2

m m

x x

+) Sử dụng phương pháp đánh giá sau khi đã biến đổi phương trình

+) Từ đó suy ra nghiệm theo yêu cầu bài toán

Câu 26: Chọn C.

Phương pháp:

+) Áp dụng các công thức cơ bản của hàm logrit, biến đổi phương trình và đưa phương trình về phương trìnhbậc 2 ẩn log2x

+) Sau đó đặt tlog2x và đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn t

+) Giải phương trình tìm ẩn t sau đó tìm ẩn x

+) Sau đó tính tổng các nghiệm tìm được

log log 3 log 3

log 2 log 3 log 3

2

x x

Mà m nguyên dương nên m 1;2 

Câu 28: Chọn A.

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số để giải bất phương trình logarit

- Sử dụng các tính chất dưới đây để giải bất phương trình logarit loga f x  loga g x :

*Nếu 0 < a < 1: loga xloga y xy

*Nếu a > 1: loga xloga y xy

+) Đặt điều kiện xác định các biểu thức logarit

+) Sử dụng công thức logarit: loga b n nloga b

+) Giải bất phương trình: log3 f x  log3g x   f x  g x  do 3 > 0

+) Tìm được nghiệm x nhớ kết hợp với điều kiện xác định để loại nghiệm

x x

tm x

Câu 35: Chọn D.

Phương pháp:

Đưa bất phương trình mũ về cùng cơ số sau đó áp dụng công thức

x x

22.2x 6 2 x 2.2x 1

' 5 ln 5 4 ln 5'

x x

x x

x x

(không thỏa mãn điều kiện).

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

25 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT

– CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU - ĐỀ SỐ 2 CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT

Câu 1: Cho hàm số 1

3

log

Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục Oy

B Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định

C Hàm số đã cho có tập xác định DR\ 0  

D Hàm số có ' 1

ln 3

y x



Câu 2: Cho hàm số 1

3x

y  Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A Hàm số đã cho đồng biến trên   ; 

B Toàn bộ đồ thị hàm số đã cho nằm phía trên trục hoành.

C. ' 1 ln 1

3

3x

y 

D Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là trục Ox.

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên R?

Câu 5: Giả sử a, b là các số thực dương bất kỳ Mệnh đề nào sau đây sai?

A. log 10 ab22 1 log  alogb B log 10 ab2 2 2 logab

C log 10 ab2 1 logalogb2 D log 10 ab2 2 logab2

Câu 6: Cho loga b 2 và loga x 3 Giá trị của biểu thức

2 3loga b

Câu 8: Với hai số thực bất kì a0,b0, khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. loga b2 2 3 log3a b2 2 B loga b2 2 2 logab

C loga b2 2 loga b4 6 loga b2 4 D loga b2 2 loga2logb2

Câu 9: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

Câu 16: Cho hàm số y x ln 1 x Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) B Hàm số đạt cực đại tại x = 0.

C Hàm số đồng biến trên khoảng 1; D Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Câu 17: Đặt log 52 a, log 23 b Tính log1520 theo a và b ta được

A. log1520 2

1

b a ab







Câu 18: Cho đồ thị hàm số yx a;yx b;yx c trên miền

0;(hình vẽ bên dưới) Chọn khẳng định đúng trong các

Câu 20: Cho 0a1 và x, y là các số thực âm Khẳng định nào sau đây đúng?

A. logax2  loga xloga y B  

a

x x

a a A

 với a > 0 ta được kết quả

,

m n

Aa trong đó m n, N* và m

n làphân số tối giản Khẳng định nào sau đây đúng?

x x

y y

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Chọn B.

Phương pháp:

+) Hàm số đã cho xác định  x  0 x0.

+) Đồ thị hàm số loga f x  có tiệm cận đứng là trục tung

+) Tính đạo hàm của hàm số rồi suy ra đáp án đúng

x x

+) Đồ thị hàm số ya x có tiệm cận ngang là trục Ox

+) Hàm số ya x đồng biến trên TXĐ khi a > 1 và nghịch biến trên TXĐ khi 0 < a < 1

Cách giải:

Đồ thị hàm số ya xcó tiệm cận ngang là trục Ox

Ta có hàm số ya xđồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < a

Dựa vào tính chất của hàm logarit:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên R nên loại đáp án A và C

Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1;3)  Loại đáp án B

x b

c c

+) Đáp án C: log   2 2 loga 2 loga  2 2 loga 2 log a loga  2 2 loga

40 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ LOGARIT

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Câu 1 Cho ba số thức a;b;c khác 1 Đồ thị các hàm số ylog ,a x ylog ,b x ylogc x được cho như hình

Câu 5 Cho ba số thực dương x y z, , theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi

số thực dương a a  thì log ,log 1 a x a y,log a z theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính giá trị của biểu

Câu 7 Cho các số thực x,y,z thay đổi và thỏa mãn 2 2 2

Câu 10 Cho a và b là các số thực dương khác 1 Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục tung

mà cắt các đồ thị ylog ,a x ylogb x và trục hoành lần lượt là A, B và H ta đều có 3HA = 4HB (hình vẽbên) Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 12 Cho , ,a b c  Biết rằng biểu thức 1 Ploga bc logbac4logcab đạt giá trị nhỏ nhất bằng

m khi logb c n Tính giá trị m n

3

Câu 14 Cho đồ thị hàm số x

y e

 như hình vẽ, ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho B và C luôn thuộc

đồ thị hàm số đã cho, AD nằm trên trục hoành Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật ABCD là:

A 2.

2

2

2

e

Câu 15 Cho hàm số y log ln2 x Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x e B Tập xác định hàm số là 1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; e D Hàm số đồng biến trên  e  ; 

Câu 16 Cho biểu thức A log 2017 log 2016 log 2015 log log 3 log 2               Biểu thức A cógiá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A log 2017;log 2018  B log 2019;log 2020 

C log 2018;log 2019  D log 2020;log 2021 

Câu 17 Cho hàm số f x   32x 2.3x có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(1) Đường thẳng y  cắt đồ thị hàm số (C) có hoành độ 0 x log 23

(2) Bất phương trình f x  có nghiệm duy nhất.  1

(3) Bất phương trình f x  có tập nghiệm là   0  ;log 23 

(4) Đường thẳng y  cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.0

      được viết dưới dạng ,b

a khi đó a b là cặp nào trong; 

Câu 20 Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 2 2

  Biết f 2  f 3   f2018lna lnblnc lnd với a,b,c,d là các

số nguyên dương trong đó a,c,d là các số nguyên tố và a b c d   Tính P a b c d   

Câu 28 Cho a ; b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông Trong đó

c b  1 và c b  1 Kết luận nào sau đây là đúng?

A logc b alogc b a2 log c b a logc b a

B logc b alogc b alogc b a logc b a

C logc b alogc b a2 log c b a logc b a

D logc b alogc b alogc b a logc b a

1log 12 x;log 24 y, log 168 axy

Câu 33 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2 2

7

a b  ab Đẳng thức nào sau đây đúng?

A 2log2 log2 log2

3

a b



  B 2log2a b  log2alog2b

C 2log2 2log2 2log2

e m e y

Câu 40 Cho 0x y; 1 thỏa mãn

136

25.2

Ta thấy đồ thị hàm số ylogc x đi xuống  0 c 1

Đồ thị hàm số ylog ,a x ylogb x đi lên hay hàm số này đồng biến a1;b1

Đồ thị hàm số yloga x nằm trên đồ thị hàm số ylogb x a b

+ Chứng minh 5log 5c 6log 5c

+ Biến đổi f x theo   f  x và tính ra P

kết quả này để chứng minh q = 1

Bước 2 Khi q = 1 thì x = y = z Thay vào biểu thức để nhận được giá trị cần tính

Cách giải:

Bước 1: Gọi q là công bội của cấp số nhân và d là công sai của cấp số cộng Khi đó theo giải thiết ta có hệ

a a

Thay (4) vào (5) ta nhận được loga q 0 q1

Bước 2 Thay q = 1 vào (1) ta nhận được x = y = z

f x 



1 1

Phương pháp: Biến đổi điều kiện cho trước và biểu thức P rồi đặt ẩn phụ và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

y x z