Đề cương toán khối 9 lê ANH XUÂN HK2 - bản full

Đề cương toán khối 9 lê ANH XUÂN HK2

CHƯƠNG III : HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI 1 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1 : Cho các phương trình : 5x4y8 (1) và 3x5y 3 (2)

Trong các cặp số : 2;1 ; 0; 2 ;   1; 0 ; 15;3 ; 4; 3      cặp số nào là : a)Nghiệm của phương trình (1)

b)Nghiệm của phương trình (2)

Bài 2: Giải các phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ :

a)3x y 4 b) 2x4y8 c) 1 5

3x 3



BÀI 2 : HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

a) Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau :

x y x

10 0

x y

b) Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau :

10 0

x y

c) Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ :

Bài 6 : Giải các hệ phương trình sau :

3

x

x y x y x

ax by a

a) Dự đoán nghiệm của hệ phương trình:

Bài 8: Không giải hệ phương trình, hãy cho biết số nghiệm của các hệ phương trình sau:

d y x tại điểm M có hoành độ là 3

Bài 12: Viết phương trình đường thẳng  d đi qua điểm C 2;3 và  d đi qua giao điểm của  d1 và  d2

Bài 14: Một sân vận động hình chữ nhật có chu vi hơn chiều dài là 57 và 6 lần chiều rộng lớn hơn 2 lần

chiều dài là 36 Tìm diện tích sân vận động đó

Bài 15: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m Nếu giảm chiều rộng 2m và tăng

chiều dài 4m thì diện tích tăng 2

4m Tính chu vi của khu vườn

Bài 16: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng Nếu tăng cả chiều dài và chiều

rộng thêm 5m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 2

385m Tính kích thước mảnh vườn

Bài 17: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2

3 chiều dài Nếu bớt mỗi chiều đi 5m thì diện tích giảm 16% Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu

Bài 18: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông không bằng nhau, cạnh lớn dài hơn cạnh nhỏ 7cm

Tính độ dài mỗi cạnh của góc vuông biết cạnh huyền dài 17cm

Bài 19: Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi là 48cm Người ta cắt bỏ ở mỗi góc một hình vuông có cạnh

2cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không có nắp thể tích là 3

96cm Tính kích thước của tấm tôn hình chữ nhật

Bài 20: Tổng hai số bằng 59 Hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7 Tìm hai số đó

Bài 23: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục

1 đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị

Bài 24: Chữ số hàng chục của một số có hai chữ số hơn chữ số hàng đơn vị là 5 Nếu đổi chỗ hai chữ số

cho nhau thì được một số bằng 3

8 số ban đầu Tính số cho ban đầu

Bài 25: Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63

Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 Tìm số đã cho

Bài 26: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục Nếu thêm chữ số

1 xen vào giữa hai chữ số đấy thì ta được một số mới lớn hơn số ban đầu là 370 Tìm số ban đầu

Bài 27: Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị Nếu chia số nhỏ cho 7 và chia số lớn cho 5 thì thương thứ nhất

kém thương thứ hai 4 đơn vị Tìm hai số đó

Bài 28: Một người đi xe gắn máy khởi hành từ A đến B với vận tốc 20km/h Cùng lúc đó, một người đi

xe hơi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đã đến sớm hơn người đi xe gắn máy 2 giờ 30 phút Tính chiều dài quãng đường AB?

Bài 29: Một chiếc xe tải đi từ Tp HCM đến Tp Cần Thơ Quãng đường dài 189km Sau khi xe tải xuất

phát 1 giờ, một chiếc xe khách từ Tp Cần Thơ về Tp HCM và gặp nhau sau khi xe khách đi được

1 giờ 48 phút Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km

Bài 30: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ bến A đến bến B Ca nô thứ nhất chạy với vận tốc 20km/h,

ca nô thứ hai chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, ca nô thứ hai dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy đến B cùng lúc với ca nô thứ nhất Tìm quãng đường sông từ A đến B?

Bài 31: Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km Biết rằng thời gian xuôi dòng lâu hơn thời gian

ngược dòng là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn vận tốc ngược là 6km/h Tính vận tốc ca nô lúc ngược dòng

Bài 32: Một ô tô khởi hành từ A lúc 6 giờ 40 phút Đến 8 giờ 10 phút, cũng khởi hành từ A đuổi theo xe

trước với vận tốc lớn hơn xe trước 20km/h Hai xe gặp nhau lúc 11 giờ 10 phút Tìm vận tốc mỗi

xe

Bài 33: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 14m và có chu vi là 44m Tính diện tích

miếng đất đó

Bài 34: Một khu vườn hình chữ nhật có tổng chiều dài và chiều rộng bằng 32m Chiều rộng ngắn hơn

chiều dài 12m Tính các kích thước và diện tích khu vườn

Bài 35: Một vật có khối lượng 124g và thể tích 3

15cm là hợp kim của đồng và kẽm Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết cứ 89g đồng thì có thể tích là 3

10cm và 7g kẽm thì có thể tích là 3

1cm

Bài 36: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông Biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì

diện tích của tam giác sẽ tăng 2

36cm và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 2

26cm

Bài 37: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ Nếu chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B

chậm 2 giờ so với dự định Nếu chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với

dự định Tính độ dài quãng đường AB và thời gian điểm xuất phát của ô tô tại A

Bài 38: Nhà Lan có một mảnh vườn trông rau cải bắp Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi

luống trồng cùng một số cây cải bắp Lan tính rằng : Nếu tăng thêm 8 luống nhưng mỗi luống ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 56 cây Nếu giảm 4 luống và mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây và toàn vườn tăng thêm 32 cây Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây bắp cải ?

Bài 39: Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi đi được 24 phút thì gặp đường xấu

nên vận tốc đi quãng đường còn lại giảm 10 km/h Do đó xe đến B chậm 18 phút Tính quãng đường AB

Bài 40: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều

gặp nhau tại một điểm cách A 2km Nếu cả hai giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên Nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ gặp nhau ở chính giữa quãng đường Tính vận tốc mỗi người

Bài 41: Từ hai thành phố A và B nếu có 2 xe chạy ngược chiều nhau sau 3 giờ hai xe gặp nhau

Do đường tốt nên xe chạy từ A tăng thêm 25 km/h và xe chạy từ B tăng 20 km/h thì sau 2 giờ chúng gặp nhau Tính quãng đường AB biết lúc đầu xe chạy từ A có vận tốc hơn xe chạy từ B là 10 km/h

Bài 42: Hai vật chuyển động trên một đường tròn đường kính 20cm, xuất phát cùng một lúc từ

cùng một thời điểm Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây thì chúng gặp nhau Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây thì chúng gặp nhau Tính vận tốc mỗi vật

Bài 43: Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tân thóc Năm nay đơn

vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ 2 làm vượt mức 12% so với năm ngoái Do đó

cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tân thóc Hỏi mỗ năm mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc ?

Bài 44: Hai đội công nhân cùng làm trên một đoạn đường trong 24 ngày thì xong Mỗi ngày phần

việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường trong bao lâu ?

Bài 45: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước đã làm đầy bể trong 20 phút Nếu

chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 9 phút Nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao nhiêu lâu mới đầy bể

Bài 46: Nếu hai vòi nước chảy vào một bể cạn ( không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút

Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút chỉ được 2/15 bể nước Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?

Bài 47: Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự tính hoàn thành trong 12 ngày Nhưng

khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều đi làm việc khác Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải trong bao lâu mới xong công việc ?

CHƯƠNG IV : HÀM SỐ 2

yax a

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài 1: Hàm số yax a2( 0)

  có thuộc (P) không ? Vì sao ?

c) Tìm tọa độ điểm B thuộc (P) và có hoành độ bằng -2

d) Tìm trên (P) các điểm có tung độ là -2

d) Tìm trên (P) các điểm có tung độ là -4

Bài 51: Cho hàm số :y 4x2có đồ thị là parabol (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

c) Tìm tọa độ điểm thuộc (P) và có hoành độ la 2

d) Tìm tọa độ điểm thuộc (P) và có hoành độ bằng tung độ

Bài 52: Cho hàm số yax a2( 0)

a) Tìm a và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên biết (P) đi qua điểm M( 1;1) b) Tìm b biết rằng điểm A( 3;; ) b thuộc (P)

c) Tìm hoành độ các điểm thuộc (P) và có tung độ là 8

d) Tìm trên (P) các điểm có hoành độ bằng 2 lần tung độ

Bài 53: Cho hàm số (P): (2 1) 2 ( 1)

2

y m x m

a) Tìm m để hàm số trên đồng biến khi x0

b) Tìm m và vẽ (P) biết (P) đi qua điểm 1 1;

2 2

N 

 

 

c) Với m tìm được ở câu b), tìm trên (P) các điểm có tung độ gấp 3 lần hoành độ

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài 54: Xác định hệ số a;b;c trong các phương trình bậc hai sau ( Các hệ số đã cho là khác 0)

Bài 3: CÔNG THỨC NGHIỆM – CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

a) Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiêm:

x y xy

x y xy

b) Sử dụng công thức nghiệm để chứng minh hoặc tìm điều kiện tham số thỏa đề:

Bài 59: Chứng minh rằng các phương trình bậc hai sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

x  m x m c) 2  

P y x a) Vẽ  P và  D trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của  P và  D

Bài 64: Cho đường thẳng  D :y  2x 3 và parabol   1 2

:2

P y x a) Vẽ  P và  D trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của  P và  D bằng phép tính

Bài 65: Cho các hàm số  : 2

4

x

P y và  D :y x 1 a) Vẽ  P và  D trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của  P và  D bằng đồ thị và bằng phép tính

Bài 66: a) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, vẽ đồ thị của các hàm số sau:  : 2

2

x

P y và

 D :y2x2 b) Bằng phép toán chứng tỏ rằng  P và  D tiếp xúc nhau Tìm tọa độ tiếp điểm

Bài 67: Trong cùng một hệ trục tọa độ cho Parabol   1 2

:4

P y  x và đường thẳng  d :y2xm a) Vẽ  P

b) Tìm m để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt

c) Tìm m để  d tiếp xúc  P Tìm tọa độ tiếp điểm

d) Tìm m để  d và  P không có chung giao điểm

Bài 68: Cho hàm số yax2 có đồ thị là  P

a) Tìm a biết rằng  P đi qua điểm A2; 2  Vẽ  P với a vừa tìm được

b) Viết phương trình đường thẳng AB biết B P và có hoành độ là 4 c) Viết phương trình đường thẳng  D song song với AB và tiếp xúc với  P

Bài 69: Trong cùng hệ trục tọa độ, gọi  P là đồ thị của hàm số yx2 và  D là đồ thị của hàm số

2

y  x a) Vẽ  P và  D

b) Xác định tọa độ giao điểm của  P và  D bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép tính

c) Tìm a , b của hàm số yax b có đồ thị  D , biết  D song song với  D và cắt  P

tại điểm có hoành độ là 1

Bài 70: Cho   1 2

:4

P y  x và   1

2

D y x a) Vẽ  P và  D trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Bằng phép tính chứng minh rằng  P và  D cắt nhau tại hai điểm phân biệt Tìm tọa độ

*Dạng 1: Tính biểu thức tổng và tích của các nghiệm phương trình

Bài 71: Tính tổng S và tích P của các phương trình bậc hai sau (các phowng trình đã cho là có nghiệm

Bài 73: Giải các phương trình bậc hai sau:

a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x14và x2 3b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1 2 3và x2  2 3

Bài 74: Cho phương trình bậc hai x25x 3 0có hai nghiệm x x1, 2 Hãy lập một phương trình bậc

hai có hai nghiệm  2 

7)

4)

x y a

x y

x y b

x y

a b c

17)

25)

a b d

a b

x y e

x y

x y f

2)

8)

x y g

x y

x y h

x y

x y i

*Dạng 4: Tìm m để phương trình có một nghiệm cho trước, tìm nghiệm còn lại

Bài 76: Cho phương trình: 2

x  mx  Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

Bài 77: Cho phương trình:x23x m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó

có một nghiệm bằng 1

Bài 78: Cho phương trình: 2   2

x  m x m   a) Tính  theo m

b) Tìm m để phương trình vô nghiệm

c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó

d) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm còn lại

*Dạng 5: Biểu thức đối xứng của hai nghiệm

Bài 79: Cho phương trình: 2

x   x Không giải phương trình hãy:

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1;x2

Bài 80: Không giải phương trình:x23x100

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2

Bài 81: Cho phương trình:4x210x 9 0

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1;x2

b) Không giải phương trình hãy tính:

3 2 13 2 2; 1 2 1 2

Bài 82: Cho phương trình:x22x350

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệtx1;x2

b) Gọi x1;x2là hai nghiệm của phương trình Tính: 2 2

b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m c) Tính tổng và tích các nghiệm của phương trình theo m

d) Gọi x1;x2là hai nghiệm của phương trình  1 Tính theo m biêu thức giữa hai nghiệm sau:

2 2

1 2

x x e) Tìm m để có 2 2

1 2 9

x x 

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b) Gọi x1;x2là hai nghiệm của phương trình  1 Tính theo m biểu thức giữa hai nghiệm sau:

Bài 87: Cho phương trình:x22x3m 1 0

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x1;x2 b) Tính tổng và tích các nghiệm của phương trình

c) Tìm m để phương trình có hai hai nghiệm x1;x2thỏa: 2 2

b) Tìm m để phương trình có hai hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6

Bài 89: Cho phương trình: 2    

a) Giải phương trình  1 khim4

b) Chứng tỏ rằng, với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

c) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1) Chứng minh rằng biểu thức

1(1 2) 2(1 1)

Bx x x x không phụ thuộc vào m

Bài 90: Cho phương trình x22mxm2 9 0

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm là 4 Tính nghiệm còn lại

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa x x1 22(x1x2)23

* Dạng 6: Biểu thức không đối xứng của hai nghiệm

Bài 91: Cho phương trình x22(2m1)x  m 3 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

b) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để 2x1x 213

Bài 92: Cho phương trình 3x2(m1)x  m 2 0

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm x x1, 2 với mọi m b) Tìm m để 2x13x 20

Bài 93: Cho phương trình x22(2m1)x4m0 với x là ẩn

Ax x  x x với x x1, 2 là nghiệm của phương trình đã cho

c) Tìm m để phương trình có một nghiệm gấp ba lần nghiệm còn lại

* Dạng 7: Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất

Bài 94: Cho phương trình x2(2m3)x m 0

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng -1 Tính nghiệm còn lại của phương trình b) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị của m để 2 2

1 2

x x có giá trị nhỏ nhất

Bài 95: Cho phương trình x2(2m3)x4m 2 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Ax x1 2x12x22c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa 2x13x2 5

Bài 96: Cho phương trình 2x24mx2m2  m 4 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A5x15x22x x1 2

Bài 97: Cho phương trình x2(4m1)x2(m 4) 0

1 2 1 2

x x x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 99: Cho phương trình x22mx  m 2 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức 2 2

1 2 1 2

246

Bài 100: Cho phương trình x22(m1)x2m 3 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Dạng 8: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào biến

Bài 101: Cho phương trình x22mx m 2 1 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 và x2không phụ thuộc vào tham số

Bài 102: Cho phương trình x22(m1)x m  3 0 (1)

a) Giải phương trình với m 3

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức x12x22 10c) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 và x2không phụ thuộc vào giá trị của m

Bài 103: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sau đó viết các hệ

thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào tham số m

a) x2mx2m 3 0b) 8x24(m2)xm m( 4)0

d) (m1)2x2(m1)(m2)x m 0 (m1)

* Dạng 9: Nghiệm dương – nghiệm âm – cùng dấu – khác dấu

Bài 104: Cho phương trình x22(m1)xm24m 5 0

a) Xác định m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương

Bài 105: Cho phương trình x2(m1)x m 2  m 2 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

c) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để 3 3

x x 

Bài 106: Cho phương trình x22mx2m 5 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa: x12(1x22)x22(1x12) 8

Bài 107: Tìm giá trị của tham số m để các nghiệm của phương trình 2x2(m1)x 7 m2 trái dấu

nhau và có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau

Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

a) Giải và biện luận phương trình theo tham số m

b) Nếu phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm trên không phụ thuộc vào tham số

Bài 110: Cho phương trình   2  

a) Giải phương trình khi 9

.2

Bài 116: Hai ô tô cùng lúc khởi hành từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 100 km với vận tốc

không đổi Vận tốc ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 10 km/h nên ô tô thứ hai đến B trước ô tô thứ nhất 30 phút Tính vận tốc của mỗi ô tô trên

Bài 117: Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B dài 30 km Khi đi ngược trở lại từ B về A

người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút Tính vận tốc của người đi xe đạp lúc đi từ A đến B.

Bài 118: Quãng đường AB dài 120 km Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ Ađến B. Vận tốc của

xe máy thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe máy thứ hai là 10 km/h nên xe máy thứ nhất đến B

trước xe máy thứ hai 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe?

Bài 119: Quãng đường từ A đến B dài 50 km Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vận tốc

không đổi Khi đi được 2 giờ, người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ Muốn đến B đúng thời gian

đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp

Bài 120: Hai bến sông cách nhau 15 km Thời gian một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, tại bến B

nghỉ 20 phút rồi ngược dòng từ bến B trở về bến A tổng cộng là 3 giờ Tính vận tốc của ca

nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h

Bài 121: Một ca cô đi xuôi dòng sông từ bến A đến bến B hết 6 giờ, đi ngược dòng sông từ bến B về

bến A hết 8 giờ (Vận tốc dòng nước không thay đổi)

a) Hỏi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng gấp mấy lần vận tốc dòng nước chảy?

b) Nếu thả trôi một bè nứa từ bến A đến bến B thì mất bao nhiêu thời gian?

Bài 122: Một ca nô xuôi một khúc sông dài 50 km, rồi ngược dòng trở lại 32 km hết tất cả 4 giờ 30

phút Tính vận tốc dòng nước biết vận tốc dòng nước biết vận tốc thực của ca nô là 18 km/h

Bài 123: Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động ngược dòng từ B

về A hết tổng thời gian là 5 giờ Biết quãng đường sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nước là 5 km/h Tính vận tốc thực của ca nô (vận tốc của ca nô khi nước đứng yên)

Bài 124: Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật có nửa chu vi là 33 m và diện tích là

252 m2

Bài 125: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2

3 chiều dài và có diện tích bằng 360 m

2

Tính chu vi của miếng đất

Bài 126: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 192 m2 Biết hai lần chiều rộng lớn hơn chiều dài 8

m Tính kích thước của hình chữ nhật đó

Bài 127: Một hình chữ nhật ban đầu có chu vi là 2010 cm Biết rằng nếu tăng chiều dài hình chữ nhật

thêm 20 cm và tăng chiều rộng thêm 10 cm thì diện tích hình chữ nhật ban đầu tăng lên 13300

cm2 Tính chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu

Bài 128: Tính chu vi hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi chiều của hình chữ nhật thêm 4 m thì diện

tích của hình chữ nhật tăng thêm 80 m2; nếu giảm chiều rộng 2 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích hình chữ nhật bằng diện tích ban đầu

Bài 129: Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360 m2 Nếu tăng chiều rộng 2 m và giảm chiều dài 6

m thì diện tích mảnh đất không đổi Tính chu vi mảnh đất lúc đầu

Bài 130: Tính chu vi hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi chiều của hình chữ nhật thêm 4 m thì diện

tích của hình chữ nhật tăng thêm 80 m2; nếu giảm chiều rộng 2 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích hình chữ nhật bằng diện tích ban đầu

Bài 131: Một hình chữ nhật có chu vi là 28 cm và mỗi đường chéo của nó có độ dài 10 cm Tìm độ dài

các cạnh của hình chữ nhật đó

Bài 132: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nội tiếp đường tròn bán kính 6,5 cm

Biết rằng hai cạnh góc vuông của tam giác hơn kém nhau 2 cm

Bài 133: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6 m và bình phương độ dài đường

chéo gấp 5 lần chu vi Tính diện tích hình chữ nhật

Bài 134: Một phòng họp dự định có 120 người dự họp, nhưng khi họp có 160 người tham dự nên phải kê

thêm 2 dãy ghế, mỗi dãy phải kê thêm một ghế nữa thì vừa đủ Tính số dãy ghế dự định lúc đầu Biết rằng số dãy ghế lúc đầu trong phòng nhiều hơn 20 dãy ghế và số ghế trên mỗi dãy là

bằng nhau

Bài 135: Trong một phòng có 144 người họp, được sắp xếp ngồi hết trên dãy ghế (số người trên mỗi dãy

ghế đều bằng nhau) Nếu người ta thêm vào phòng họp 4 dãy ghế nữa, bớt mỗi dãy ghế ban đầu

3 người và xếp lại chỗ ngồi cho tất cả các dãy ghế sao cho số người trên mỗi dãy ghế đều bằng

nhau thì vừa hết các dãy ghế Hỏi ban đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế?

Bài 136: Nhà Mai có một mảnh vườn trồng rau bắp cải Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống

đều trồng một số cây bắp cải Mai tính rằng: nếu tăng thêm 7 luống rau nhưng mỗi luống trồng

ít đi 2 cây thì số cây toàn vườn ít đi 9 cây, nếu giảm đi 5 luống nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 15 cây Hỏi vườn nhà Mai trồng bao nhiêu cây

bắp cải?

Bài 137: Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà Nếu họ cùng làm trong 6 ngày thì xong công việc Hai

người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4,5 ngày (bốn ngày rưỡi) nữa thì hoàn thành công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Bài 138: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định Do mỗi ngày đội

đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và

chở thêm được 10 tấn Hỏi trong kế hoạch đội xe chở hàng hết trong bao nhiêu ngày?

Bài 139: Một công ty vận tải điều một số xe tải đến kho hàng để chở 21 tấn hàng Khi đến kho hàng thì

có 1 xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng đó, mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu Hỏi lúc đầu công ty đã điều đến kho hàng bao nhiêu xe ? Biết rằng khối lượng hàng chở ở

mỗi xe là như nhau

Bài 140: Hai vòi nước nếu cùng chảy sẽ làm đầy bể trong 18 giờ Hỏi mỗi vòi chảy riêng một mình thì

sẽ làm đầy bể trong mấy giờ? Biết rằng vòi thứ nhất nếu chảy một mình muốn làm đầy bể phải

mất thời gian nhiều hơn thời gian đầy bể của vòi hai là 27 giờ

Bài 141: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn, sau 36 phút thì được 1

3 bể Nếu chảy riêng, vòi I chảy đầy bể cạn nhanh hơn vòi II trong 1 giờ 30 phút Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể

trong bao lâu?

CHƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN Bài 1: GÓC Ở TÂM – SỐ ĐO CUNG

Bài 1: Cho đường tròn O ; R và một điểm  M nằm ngoài đường tròn sao cho MO  2R Từ M

kẻ tiếp tuyến MA với  O ; tia OM cắt đường tròn tại B a) Tính số đo góc AOB và số đo cung AB nhỏ

b) Kẻ tiếp tuyến MC với  O ( C là tiếp điểm) Chứng minh OM vuông góc với AC

c) Gọi H là giao điểm của AC và OB Chứng minh: HA HC  HB HM và OABC là hình

thoi

Bài 2: Cho đường tròn O ; R và một điểm  K nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến KE với  O ;

tia OK cắt đường tròn tại F Cho biết OK = R 2 a) Tính số đo cung EF nhỏ

b) Đường thẳng qua E vuông góc OK và cắt  O tại điểm thứ hai là M Chứng minh KM

là tiếp tuyến của  O

c) Tứ giác OEKM là hình gì? Tính diện tích của hình đó theo R

Bài 3: Cho đường tròn O ; R và một điểm S sao cho OS =  2

nằm khác phía nhau đối với OS Tính độ dài dây cung AD

Bài 4: Cho đường tròn O ; R và dây cung BC =  R

a) Tính số đo góc BOC và suy ra số đo cung nhỏ BC , số đo cung lớn BC

b) Kẻ tiếp tuyến tại B và C của cắt  O nhau tại A và đường kính BOD Chứng minh: OA

Bài 8: Cho đường tròn (O) và dây cung EOD sao cho góc EOD bằng 90 Vẽ đường kính BC (E

thuộc cung nhỏ BD của (O)), BE và CD cắt nhau tại A; AK vuông góc với BC tại K

a) Chứng minh AK đi qua giao điểm của CE và BD Gọi điểm đó là H

b) Tính độ dài dây cung DE từ đó suy ra số đo góc BAC

c) Chứng minh tam giác ADH và tam giác BDC bằng nhau, suy ra độ dài AH theo R

Bài 9: Cho đường tròn (O;R) đường kính BC Lấy M, N thuộc đường tròn sao cho góc MON có

số đo là 120và M nằm giữa hai điểm B, N Gọi BM cắt CN tại A

a) Tính độ dài dây cung MN từ đó suy ra số đo góc BAC

b) Gọi H là giao điểm của CM và NB Lấy I là trung điểm AH Chứng minh các tam giác IMO

và IMO bằng nhau suy ra góc IMO và INO bằng nhau

c) Chứng minh IN là tiếp tuyến của (O)

d) Tính OI theo R

Bài 2: LIÊN HỆ CUNG - DÂY CUNG - ĐƯỜNG KÍNH

Bài 10: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M tùy ý trên bán kính OA Vẽ dây cung EF

vuông góc với AB tại H

a) Chứng minh tam giác AEF cân

Bài 11: Cho ABC có AB>AC Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho AD = AC Vẽ đường tròn tâm

O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK xuống BC và BD (H  BC, K  BD)

a) Chứng minh rằng: OH < OK

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC

Bài 12: Cho (O;R) và dây cung AB không qua tâm Gọi M, N là các điểm ở chính giữa cung nhỏ AB và

cung lớn AB

a) Chứng minh MN là trung trực AB

b) Gọi H là giao điểm OM và AB Chứng minh H là trung điểm AB

c) Chứng minh bốn điểm M, N, O, H thẳng hang

Bài 13: Cho đường tròn tâm O Trên nửa đường tròn bán kính AB lấy hai điểm C, D Từ C kẻ CH

vuông góc với AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E Từ A kẻ AK vuông góc với DC, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là P Chứng minh rằng:

a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau

b) DE = BF

Bài 3: GÓC NỘI TIẾP

Bài 14: Cho (O;R) và hai dây cung AC, AB tùy ý (O nằm trong góc BAC) Kẻ đường kính AD

a) Chứng minh ̂ = ̂ và BD vuông góc AB

b) Lấy E thuộc (O) sao cho điểm D là điểm chính giữa chung nhỏ BE Chứng minh CD là phân giác ̂

c) Kẻ đường thẳng qua D song song với AB cắt (O) tại F Chứng minh B, O, F thẳng hang và tính ̂

d) Chứng minh ̂ phụ với góc ̂

Bài 15: Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm S ở ngoài (O) Kẻ SA là tiếp tuyến của đường tròn

(A thuộc (O)) và AK là đường kính SK cắt (O) tại điểm thứ hai là I

a) Chứng minh KI.KS = 4R2 b) Đường thẳng qua K song song với OS, cắt (O) tại B Chứng minh SB là tiếp tuyến của (O) c) Chứng minh rằng các góc BIK và BSO bằng nhau và ̂ - ̂ = ̂

d) BI cắt SO tại M Chứng minh 2

MS = MI.MB

Bài 16: Cho đường tròn (O) và một điểm M thuộc miền trong của (O) Vẽ AB; CD là hai dây cung tùy

ý của đường tròn mà cắt nhau tại M Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD = 2 2

R OM

Ta gọi tích đó là phương tích của đối với đường tròn

Ứng dụng: Với là các dây cung qua thì:

Bài 17 Cho tam giác vuông tại ( ) Lấy là điểm đối xứng của điểm qua đường

thẳng Vẽ đường tròn tâm , bán kính cắt đoạn thẳng tại điểm a/ Hãy nêu vị trí tương đối của đối với đường tròn tâm

b/ Chứng minh là điểm chính giữa của cung và cách đều ba cạnh của c/ Gọi là giao điểm của và Tia kéo dài cắt tại Chứng minh

d/ Đường thẳng // cắt cung lớn của tại ( thuộc cung ) cắt tại Chứng minh là phân giác của góc

Bài 18 Cho có nội tiếp đường tròn

a/ Tính b/ Kẻ vuông góc với tại Tia cắt tại Chứng minh là phân giác

Vẽ góc nội tiếp Vẽ dây cung Vẽ đường vuông góc

với dây cung Xác định điểm chính giữa cung

Vẽ phân giác của góc nội tiếp

Bài 19 Cho đường tròn đường kính Từ một điểm ở ngoài đường tròn sao cho

nhọn vẽ các đường thẳng cắt lần lượt tại và Gọi là giao điểm của

và cắt tại a/ Chứng minh lần lượt là các đường cao của

c/ Giả sử C/m đều và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp d/ Tiếp tuyến của cắt tại C/m cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm của đường tròn đó

Bài 20 Cho đường tròn đường kính Trên nửa đường tròn, lấy hai điểm (

theo thứ tự đó); cắt tại và cắt tại sao cho

Bài 21 Cho đường tròn và nhọn nội tiếp đường tròn Kẻ đường kính và gọi là

trực tâm Lấy là trung điểm của a/ Tứ giác là hình gì? Vì sao?

Bài 22 Cho ( ) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn Các đường cao

cắt nhau tại Kẻ đường kính cắt tại a/ Chứng minh tứ giác là hình bình hành

b/ Chứng minh và đồng dạng từ đó so sánh và c/ Chứng minh cân và tứ giác là hình thang cân

d/ Chứng minh

(Vẽ đường kính từ hay Hình bình hành)

(Vẽ đường kính từ hay Hình bình hành)

(Vẽ đường kính từ hay Hình bình hành)

Bài 23 Cho nội tiếp đường tròn Phân giác của góc cắt tại

e/ Gọi đối xứng với qua đường thẳng Chứng minh là trực tâm của

Bài 24 Cho vuông tại nội tiếp đường tròn đường cao

d/ Gọi là giao điểm của và đường thẳng C/m 3 điểm thẳng hàng.

Bài 25: Cho và cắt nhau tại điểm A,B ( và khác phía nhau đối với ) Đường

thẳng qua vuông góc với cắt và lần lượt tại và a/ Chứng minh thẳng hàng và thẳng hàng

b/ Kẻ đường thẳng d tùy ý qua cắt lần lượt tại hai điểm Chứng minh

b/ CHứng minh c/ Gọi là giao điểm thứ hai của và cắt tại Chứng minh là trực tâm tam giác

d/ Chứng minh ba điểm thẳng hàng

BÀI 4: GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG Bài 27: Cho đường tròn và một điểm ở ngoài đường tròn Qua kẻ các cát tuyến và

Chú ý: Phương tích của một điểm nằm ngoài đường tròn

Từ một điểm nằm ngoài đường tròn, kẻ cát tuyến đến đường tròn thì tích không đổi, không phụ thuộc vào vị trí của

Ta gọi tích đó là phương tích của đối với đường tròn

Ứng dụng: Với hai cát tuyến tùy ý thì

Bài 28: Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến với (

là tiếp điểm) và cát tuyến a/ Chứng minh

b/ Đường thẳng qua và vuông góc với tại và cắt tại Chứng minh

và là tiếp tuyến của c/ Gọi là trung điểm cắt tại Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn

d/ Chứng minh và là tiếp tuyến của

Bài 29: Cho đường tròn đường kính Trên đường thẳng ở ngoài lấy điểm

Kẻ là tiếp tuyến tại của đường tròn, là điểm chính giữa cung ( khác phía đối với ) cắt tại

a/ Chứng minh b/ Chứng minh vuông góc và tam giác cân tại c/ Gọi là hình chiếu của trên Đường thẳng cắt tại điểm thứ hai là Chứng minh là phân giác góc và

d/ Chứng minh vuông góc

Bài 30: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ cát tuyến đến sao cho

Kẻ là các tiếp tuyến của ( thuộc ) a/ Chứng minh vuông góc tại một điểm

b/ Chứng minh c/ Chứng minh các góc và bằng nhau

e/ Các tiếp tuyến tại và của cắt nhau tại Chứng minh thẳng hàng

Chú ý: Chứng minh tiếp tuyến bằng quan hệ của góc nội tiếp với góc tạo bởi tiếp tuyến- dây

cung

Ta có: là góc nội tiếp chắn cung của

là tiếp tuyến của đường tròn

là tiếp tuyến của đường tròn ngoài tiếp tam giác

Bài 31: Cho đường tròn và điểm ở ngoài đường tròn sao cho Kẻ là tiếp

tuyến của ( là tiếp điểm) Gọi là hình chiếu của trên cắt tại

Từ kẻ đường thẳng song song , cắt tại điểm thứ hai là a/ Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn

b/ CHứng minh tam giác cân và là phân giác góc c/ Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn qua 4 điểm d/ Tính diện tích tam giác theo

Bài 32: Cho và điểm ở ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến Gọi là trung điểm

cắt tại cắt tại Chứng minh:

a/ Tam giác và tam giác đồng dạng

b/ là tiếp tuyến của đường trong c/

Bài 33: Cho tam giác nội tiếp đường tròn Gọi là tiếp tuyến của tại điểm (

cùng phía đối với )

a/ chứng minh b/ Kẻ đường thẳng song óng với xy cắt lần lượt tại và Chứng minh vuông góc và

Chú ý: Đôi khi để chứng minh bán kính vuông góc với một đường thẳng ta vẽ tiếp tuyến của

Bài 34: Cho đường tròn có tâm , đường kính Lấy một điểm trên đường tròn (O) sao

cho Từ , vẽ vuông góc với ( ) Từ , vẽ vuông góc với

và vuông góc với ( thuộc , thuộc )

a) Chứng minh rằng là hình chữ nhật và vuông góc với b) Đường thẳng cắt đường tròn tại và ( nằm giữa và ) Chứng minh

Suy ra là tam giác cân

c) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và đường tròn (khác ) chứng minh các tam giác và đồng dạng, suy ra d) Chứng minh góc bằng góc

Bài 35: Cho tam giác có ba góc nhọn và Đường tròn tâm đường kính cắt các

cạnh lần lượt tại ;

b) Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và Chứng minh

c) Từ kẻ tiếp tuyến đến với là các tiếp điểm ( nằm cùng phía với đối với ) Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn

d) Chứng minh và các góc và góc bằng nhau

BÀI 5: GÓC CÓ ĐỈNH NẰM TRONG HAY NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN Bài 36: Trên đường tròn lấy ba điểm Gọi theo thứ tự là điểm chính giữa các

cung cắt tại ; cắt tại chứng minh:

a) Tam giác cân

c)

Bài 37: Cho tam giác nội tiếp đường tròn , điểm di chuyển trên cung Gọi là giao

điểm của và , là giao điểm của và a) Chứng minh:

Bài 39: Cho tam giác vuông tại Đường tròn đường kính cắt ở Tiếp tuyến ở

cắt ở Chứng minh

Bài 40: Cho và điểm nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến và cát tuyến đến

( nằm giữa và ) Phân giác của góc cắt dây tại và cắt tại Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và