cơ ứng dụng 2003

Lực là một đại lợng có hớng, qua thực nghiệm ngời ta đã xác định đợc lực có các yếu tố đặc trng sau: - Điểm đặt của lực: là điểm mà vật nhận đợc tác dụng cơ học từ vật khác - Phơng, chiề

Phần I: Cơ học vật rắn tuyệt đối

Chơng I Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh học

1.Những khái niệm cơ bản

1.1 Lực

Lực là đại lợng biểu thị tác dụng cơ học của vật thể này lên vật thể khác Lực là một đại lợng có hớng, qua thực nghiệm ngời ta đã xác định đợc lực có các yếu tố đặc trng sau:

- Điểm đặt của lực: là điểm mà vật nhận đợc tác dụng cơ học

từ vật khác

- Phơng, chiều của lực: là phơng, chiều chuyển động của chất

điểm (vật có kich thớc bé ) từ trạng thái cân bằng khi chịu tác dụng của lực ấy

- Cờng độ của lực: là đại lợng xác định độ mạnh hay yếu của lực, xác định bằng cách so với một lực chuẩn gọi là lực đơn vị Đơn

vị của lực là Niutơn, ký hiệu

là N

Lực đợc biểu diễn bằng một vectơ nh hình 1.1, gọi là vectơ lực.Vectơ lực có những đặc trng sau:

- Điểm đặt (A) của vectơ là điểm đặt của lực

- Phơng, chiều của vectơ lực ( ) trùng với phơng

chiều của lực

- Độ dài a của vectơ biểu diễn cờng độ của lực

Vectơ lực thờng đợc ký hiệu là , hoặc Đờng

thẳng DE chứa đợc gọi là đờng tác dụng lực

Hình 1.1

1.2 Vật rắn tuyệt đối

Vật rắn tuyệt đối là tập hợp vô hạn của các chất điểm mà

khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ luôn luôn không thay đổi.Trong thực tế các vật khi chịu lực đều bị biến dạng Nếu biến dạng đó quá bé hoặc biến dạng không làm ảnh hởng đến kết quả của bài toán khảo sát thì có thể bỏ qua biến dạng và nh vậy có thể coi là vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối đợc gọi tắt là vật rắn.1.3 Vật rắn cân bằng

Vật rắn đợc coi là cân bằng trong một hệ quy chiếu nào đó nếu nó đứng yên hay chuyển động tịnh tiến thẳng và đều đối với

hệ quy chiếu ấy

Chuyển động tịnh tiến thẳng và đều là chuyển động mà mọi

điểm thuộc vật rắn đều chuyển động thẳng với vận tốc không

đổi

1.4 Một số định nghĩa

- Hệ lực: là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên một vật rắn hay một chất điểm Hệ lực gồm các lực , , … đợc ký hiệu là( , , … )

- Hệ lực tơng đơng: Hai hệ lực có cùng tác dụng cơ học thì đợcgọi là hai hệ lực tơng đơng

Hai hệ lực ( , , … ) và ( , , … ) tơng đơng nhau thì đợc ký hiệu là ( , , … ) ( , , … )

- Hệ lực cân bằng: hệ lực cân bằng là hệ lực nếu tác dụng lên vật rắn sẽ không làm thay đổi trạng thái cơ học mà vật đang có

Hệ lực cân bằng còn đợc gọi là hệ lực tơng đơng với không và đợc

ký hiệu: ( , , … ) = 0

- Hợp lực của hệ lực: Nếu hệ lực đã cho tơng đơng với một lực duy nhất thì lực ấy đợc gọi là hợp lực của hệ lực đã cho Nếu là hợp lực của hệ lực ( , , … ) thì ta ký hiệu ( , ,

kéo vào 2b là vật rắn cân bằng chịu nén

Tiên đề này nêu lên một hệ lực cân bằng

chuẩn giản đơn nhất Khi cần xác định hệ lực đã

cho có cân bằng hay không ta tìm cách biến đổi

để chứng minh nó có tơng đơng với hai lực cân

bằng hay không

2.2 Tiên đề về sự thêm bớt hai lực cân bằng (Tiên đề 2)

Tác dụng của hệ lực không thay đổi nếu ta thêm vào hoặc bớt

đi một cặp lực cân bằng.

Nếu ( , ) = 0 thì ( , , … ) ( , , … , , )

Tiên đề này cho ta hai phép biến đổi cơ bản là thêm vào một cặp lực cân bằng và bớt đi một cặp lực cân bằng

- Hệ quả 2.1(Định lý trợt lực): Tác dụng của lực không thay đổi khi ta trợt lực trên đờng tác dụng của nó

Chứng minh: Cho lực tác dụng lên vật rắn tại A

Tại điểm B thuộc đờng tác dụng của lực ta thêm vào

hai lực cân bằng ( , ) nh hình vẽ, hình 1.3

Theo tiên đề 2: = ( ) = (

Theo tiên đề 1 ta có ( là cặp lực cân bằng

nên theo tiên đề 2 ta có thể bỏ đi Do đó =

Từ định lý trên ta thấy điểm đặt không giữ vai trò gì cả trong việc mô tả tác dụng của lực lên vật rắn

Chú ý : Tính chất trên chỉ đúng với vật rắn tuyệt đối Với vật

rắn biến dạng khi thay đổi điểm đặt thì ứng xử của biến dạng trong vật sẽ thay đổi

- Hệ quả 2.2 ( Định lý về hợp lực của hệ) : Khi hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ của hệ lực ấy sẽ là lực trực đối với hợp lực của các lực còn lại

tác dụng của chúng hoặc đồng quy hoặc song song

Chứng minh : Cho hệ ( , , ) = 0 Nếu // : đờng tác dụng của chúng đồng quy (giả sử tại A) Theo tiên 3 ta có:

+ = => ( , , ) = ( , ) = 0

Rõ ràng và và là hai lực cân bằng, vậy đờng

tác dụng cũng phải đi qua A Nh vậy đờng tác dụng

của cả 3 lực đều đồng quy tại A

Nếu // thì = + cũng song song với

chúng Ta có:

( , , ) = 0 <=> ( , ) tức // //

Định lý đã đợc chứng minh

2.4 Tiên đề lực tác dụng và phản lực tác dụng (Tiên đề 4)

Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật là hai lực có cùng cờng độ, hớng ngợc chiều nhau và có cùng cờng độ.

- Chú ý rằng lực tác dụng và lực phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng vì chúng không cùng tác dụng lên một vật

- Các tiên đề trớc chỉ xét các lực tác dụng lên một vật nhng trong thực tế ta thờng phải giải quyết những bài toán cân bằng một vật sang bài toán cân bằng của nhiều vật

3.Liên kết và phản lực liên kết.

3.1 Khái niệm

3.1.1 Vật tự do và không tự do – Liên kết

a Vật tự do và vật không tự do

- Vật rắn cú thể thực hiện mọi di chuyển vụ cựng bộ từ vị trớ đang xột sang những

vị trớ lõn cận của nú được gọi là vật rắn tự do.

- Ngược lại, nếu một số di chuyển nào đú của vật bị cản trở bởi những vật khỏc thỡ ta gọi là vật khụng tự do hay là vật chịu liờn kết

Vớ dụ: Quả búng bay lơ lửng trong khụng gian cú thể coi là vật rắn tự do bởi nú cú

thể thực hiện những di chuyển vụ cựng bộ sang những vị trớ lõn cận nú Quyển sỏch đặttrờn mặt bàn khụng thể chuyển động xuống phớa dưới (lỳn vào mặt bàn) do đú theo phương này quyển sỏch bị cản trở chuyển động Như vậy quyển sỏch là vật khụng tự

do hay cũn gọi là vật chịu liờn kết Cụ thể ở đõy là chịu liờn kết với mặt bàn

b. Liên kết: Những điều kiện cản trở di chuyển của vật khảo sát

đợc gọi là những liên kết đặt lên vật ấy

- Trong tĩnh học ta chỉ khảo sỏt những liờn kết hỡnh học tức là những liờn kết thực hiện bằng sự tiếp xỳc hỡnh học giữa vật thể khảo sỏt và vật thể khỏc.

- Trong những bài toỏn cụ thể, bao giờ ta cũng xột sự cõn bằng của những vật thể

nhất định, gọi là vật khảo sỏt Cỏc vật khỏc cú liờn kết với vật khảo sỏt gọi là vật liờn kết.

Túm lại: vật khảo sỏt là vật nhận liờn kết, vật gõy liờn kết gọi là vật liờn kết

3.1.2 Lực liên kết và lực hoạt động – Phản lực liên kết

a Lực liên kết và lực hoạt động

Những lực đặc trưng cho tỏc dụng tương hỗ giữa cỏc vật cú liờn kết với nhau qua chỗ tiếp xỳc hỡnh học gọi là lực liờn kết.

Xét mô hình vật đặt trên bàn Vật có trọng lợng là , nh vậy để cân bằng thì mặt bàn phải tác dụng lên vật một lực cân bằng với Ngợc lại vật cũng tác dụng lên mặt bàn một lực Theo định nghĩa ta có những lực đặc trng

cho tác dụng tơng hỗ tại chỗ tiếp xúc hình học chính là và

Do đó chúng là những lực liên kết

Lực và là các lực tác dụng và phản lực tác dụng nên

theo tiên đề 4 chúng có cùng cờng độ, hớng ngợc chiều nhau

và cùng đờng tác dụng

Lực hoạt động là những lực tác dụng lên vật khảo sát có thể

gây ra chuyển động nếu không có liên kết

Nh vậy ta thấy nếu bỏ liên kết, tức bỏ mặt bàn đi thì vật sẽ chuyển động xuống phía dới dới tác dụng của trọng lực , nh vậy chính là lực hoạt động Khi lực càng lớn thì các lực liên kết và cũng lớn theo tơng ứng Nh vậy lực hoạt động có tính chủ động, lực liên kết có tính thụ động, có lực hoạt động thì mới có lực liên kết

- Phản lực liờn kết bao giờ cũng đặt vào vật khảo sỏt, tại chỗ tiếp xỳc với vật gõy liờn kết

- Phản lực liờn kết bao giờ cũng hướng cựng phương ngược chiều với di chuyển của vật khảo sỏt bị cản trở bởi liờn kết khảo sỏt đú

- Cường độ của phản lực liờn kết phụ thuộc vào lực hoạt động và cỏc lực liờn kết khỏc và ta cần phải xỏc định chỳng.

3.2 Các liên kết thờng gặp

3.2.1 Liên kết tựa

Hai vật cú liờn kết tựa khi chỳng tựa trực tiếp lờn nhau Nếu bề mặt tựa hoàn toàn nhẵn thỡ phản lực liờn kết vuụng gúc với mặt tựa Trường hợp một trong hai mặt tiếp xỳc là một điểm thỡ phản lực tựa vuụng gúc với mặt tựa cũn lại.

Liờn kết tựa cú thể là tựa theo mặt, tựa theo điểm hay tựa theo đường Hỡnh vẽtrờn mụ tả một số liờn kết tựa hay gặp trong thực tế.

3.2.2 Liên kết dây mềm, thẳng

Phản lực liờn kết baogiờ cũng đặt tại chỗ buộc dõy và

hướng vào dõy Phản lực liờn kết này cũn gọi là sức căng

dõy và thường ký hiệu là T.Trong trường hợp dõy vũng qua

vật thỡ phản lực dõy hướng dọc dõy và hướng ra ngoài mặt

cắt của dõy

3.2.3 Liên kết bản lề

Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung Trong ờng hợp này hai vật tựa vào nhau với đờng tựa cha xác định

tr-Theo tớnh chất của liờn kết tựa phản lực tựa cú phương vuụng gúc mặt tựa do

đú phản lực liờn kết trong trường hợp này đi qua tõm trục và cú phương chiều chưa xỏc định Ta cú thể phõn thành hai thành phần vuụng gúc với nhau x và ynằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đường trục tõm bản lề như hỡnh vẽ.

3.2.4 Liên kết gối

Liờn kết gối cú hai loại là liờn kết gối cố định và liờn kết gối di động Liờn kết gối di động cũn được gọi là liờn kết gối con lăn

3.2.7 Liªn kÕt thanh.

Liên kết thanh là liên kết mà vật khảo sát đợc nối với vật gây liên kết bằng các thanh thõa mãn các điều kiện sau:

- Chỉ có lực tác dụng ở hai đầu thanh, phần giữa thanh không

Chơng II

Hệ lực phẳng đồng quy

1 Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phơng pháp hình học

1.1 Định nghĩa

Hệ lực đồng quy là một hệ lực mà các đờng tác dụng của chúng

đồng quy tại một điểm

Theo hệ quả trợt lực, bao giờ ta cũng có thể trợt các lực đã cho theo đờng tác dụng của chúng tới điểm đồng quy của các đờng tác dụng

Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đờng tác dụng của các lực nằm trên cùng một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm

1.2 Hợp lực hai lực đồng quy

Giả sử có hai lực và đồng quy tại O, phơng của hai lực hợp với nhau một góc Theo tiên đề 3, hợp lực là đờng chéo của hình bình hành; = +

Để xác định hợp lực ta phải xác định trị số, phơng và chiều của nó

là xác định phơng của ; Chiều của là chiều từ điểm

đồng quy tới góc đối diện trong hình bình hành

1.3 Hợp hệ lực phẳng đồng quy

Muốn tìm hợp lực của một hệ lực

phẳng đồng quy, từ điểm đồng quy ta đặt

liên tiếp các lực tạo thành một đờng gấp

khúc trong đó mỗi cạnh của đờng gấp

khúc biểu diễn một lực song song, cùng

chiều và cùng trị số với một lực trong hệ

Lực đặt tại điểm đồng quy đóng kín đờng

gấp khúc thành các đa giác chính là hợp lực

của hệ lực đã cho (Phơng pháp đa giác lực)

1.4 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy

Định lý 1 : Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng quycân bằng là đa giác lực của hệ luôn phải đóng kín

+ + +…+ = 0

Ví dụ : Một bánh xe có trọng lợng G lăn không trợt trên một mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng là , bánh xe đợc giữ thăng bằng bởi một sợi dây mềm căng song song với mặt phẳng nghiêng

2 Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phơng pháp giải tích.

2.1 Chiếu một lực lên hai trục tọa độ

Giả sử cho lực = đặt trong hệ trục vuông góc xOy, phơng của lực hợp với trục Ox một góc nhọn Từ điểm đặt và đầu mút của vectơ lực ta hạ các đờng vuông góc xuống hai trục Ox

và Oy (Hình 2.5)

Độ dài đại số của đoạn ab, gọi là hình chiếu của lực lên trục

Đặc biệt, nếu lực song song với trục

- Khi song song với Ox : Fx = F , Fy = 0

- Khi song song với Oy : Fy = F , Fx = 0

2.2 Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phơng pháp giải tích

Giả sử cho hệ lực ( + +…+ ) có hợp

lực là = + +…+ , đã xác định đợc

bằng phơng pháp đa giác.Đặt hệ lực vào hệ

trục vuông góc xOy ta có hình chiếu của các

lực trong hệ trục là: ( F1x, F2x,…,Fnx ) ,

( F1y, F2y,…,Fny ), hình chiếu của hợp lực

là Rx, Ry

Ta nhận thấy hình chiếu của véctơ tổng

bằng tổng hình chiếu của các vectơ thành phần:

Rx = F1x, F2x,…,Fnx =

Ry = F1y, F2y,…,Fny =

Để tìm hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy nh sau :

- Đặt hệ lực trong một hệ toạn độ vuông góc xOy

- Xác định hình chiếu của các lực trong hệ

- Tính hình chiếu của hợp lực theo công thức:

Rx = F1x, F2x,…,Fnx =

Ry = F1y, F2y,…,Fny =

Xác định từ các hình chiếu Rx, Ry:

+ Trị số: R = =

+ Phơng : gọi góc hợp giữa và trục Ox là α, ta có tgα =

2.3 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy bằng phơng pháp giải tích

Một hệ lực phẳng đồng quy có một hợp lực, nh vậy điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là hợp lực của

hệ bằng 0.Ta có :

Theo phơng pháp tìm hợp lực bằng hình chiếu thì:

R = 0 <=> R = = = 0

Vì trong căn thức là hai số dơng nên điều kiện sẽ tơng đơng với :

1.1 Hợp hai lực cùng chiều

Giả sử xét một vật rắn chịu tác dụng của hai lực song song cùng chiều 1 , 2 đặt tại A và B nh hình vẽ 3.1.Ta cần tìm hợp lực của chúng.

Muốn vậy ta biến hệ lực song song này thành hệ lực đồng quy bằng cách đặt vào A và B hai lực cân bằng 1 và 2 nằm trên

Ta cần xác định vị trí điểm C này của hợp lực R Do các tam giác

đồng dạng OAC và Oak, OBC và bh, ta có:

Chia (a) cho (b) ta đợc: = (3.2)

Hai đẳng thức (3.1) và (3.2) cho ta xác định hợp lực của hai lực song song cùng chiều.

Vậy: hợp hai lực song song cùng chiều tác dụng lên một vật rắn

đ-ợc một lực song song và cùng chiều với hai lực thành phần, có trị số bằng tổng trị số của hai lực thành phần và đặt tại điểm chia trong của đoạn thẳng nối điểm đặt của hai lực thành phần

Do tính chất của tỉ lệ thức ta còn có thể viết (3.2) dới dạng khác:

1.2 Phân một lực thành hai lực song song cùng chiều

Giả sử có một lực cần phân tích thành hai lực song song cùng chiều A và B đặt tại A và B, hình 3.2

Muốn vậy, ta nối AB, nó cắt đờng tác dụng của lực tại C Gọi CA

= a, CB = l, ta có :

FA = F ; FB =

Đặc biệt : nếu a = b thì FA = FB

1.3 Hợp hai lực song song ngợc chiều

Giả sử có hai lực song song ngợc chiều 1 và 2 ( 1 > F2) đặt tại

A và B, ta cần tìm hợp lực của chúng, hình 3.3

Muốn vậy, ta thay thế lực 1 bằng hai lực khác song song cùng chiều tơng đơng với nó: lực '2 đặt tại đầu B trực đối với lực 2 và lực đặt tại điểm C nào đó

Nh thế ( 1 , 2 ) ( '2 , , 2)

Nhng '2 và 2 cân bằng nhau, ta có thể bớt đi, do vậy: ( 1 , 2)

Nếu có nhiều lực song song ( , , , ) thì bằng cách lần lợt hợp từng cặp lực một, cuối cùng ta sẽ đợc một hợp lực có phơng song song với các lực thành phần, có trị số bằng tổng đại số trị số các lực thành phần và đặt tại điểm đợc xác định bằng cách dựa vào các công thức (3.2),(3.5) tìm lần lợt các điểm C1,C2,…và cuối cùng là C.

chiều nhng chúng có cùng trị số, hình 3.3 thì rõ ràng

hệ lực này không có hợp lực vì:

R = F1 – F2 = 0

Khi đó, tuy hệ không có hợp lực, nhng vì hai lực

của hệ không cùng đờng tác dụng nên chúng vẫn

không cân bằng mà chúng có tác dụng làm cho vật

quay Cặp lực nh thế đợc gọi là ngẫu lực và ta có định nghĩa:

Hệ gồm hai lực song song ngợc chiều có trị số bằng nhau và không cùng đờng tác dụng gọi là ngẫu lực.

Ký hiệu của ngẫu lực là ( , )

Khoảng cách giữa hai đờng tác dụng lực gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực

2.2 Các yếu tố của ngẫu lực

Một ngẫu lực đợc xác định bởi các yếu tố sau:

- Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực: là mặt phẳng

chứa các lực của ngẫu lực Ngẫu lực làm cho vật quay

quanh trục thẳng góc với mặt phẳng tác dụng của nó

- Chiều quay của ngẫu lực: là chiều quay của vật

dới tác dụng của ngẫu lực Chiều quay của ngẫu lực biết

đợc bằng cách đi vòng từ lực này đến lực kia theo chiều

2.3 Tính chất

- Tính chất 1: tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta

di chuyển vị trí của ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó

- Tính chất 2: Có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực tùy ý, miễn là đảm bảo trị số mô men và chiều quay của nó

Từ các tính chất trên có thể rút ra: tác dụng của ngẫu lực trên mặt phẳng hoàn toàn đợc đặc trung bằng chiều quay và trị số mô men của nó Điều này cho phép biểu diễn một ngẫu lực bằng chiều quay và trị số mô men nh hình 3.5

2.4 Hợp hệ ngẫu lực phẳng.

Giả sử cho hệ ngẫu lc phẳng có mô men lần lợt là m1, m2,…,mn , hình 3.6 Biến đổi hệ ngẫu lực này thành hệ ngẫu lực ( ), (),…, ( ) có cùng cánh tay đòn a

Nh vậy: Một hệ ngẫu lực phẳng cho ta một ngẫu

lực tổng hợp có mô men bằng tổng đại số mô men của

các ngẫu lực thuộc hệ:

M = 2.5 Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng

Muốn một hệ ngẫu lực phẳng cân bằng thì ngẫu lực tổng hợp của nó phải cân bằng, nghĩa là M = 0 Mà M = , nên điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phải là:

thuộc vào trị số của lực và vào vị trí của lực

đối với điểm O, cụ thể là phụ thuộc vào

khoảng cách a từ điểm cố định O đó đến

đờng tác dụng của lực, khoảng cách a này

đợc gọi là cánh tay đòn của lực Từ đó ta có

khái niệm về mô men là đại lợng đặc trng

cho tác dụng quay của lực đối với một điểm

và đợc định nghĩa nh sau:

Mô men của một lực đối với một điểm

là tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn

của lực đối với điểm đó.

Mo( ) = F.a

Trong đó: Mo( )là ký hiệu mô men của lực đối với điểm O

Điểm O gọi là tâm mô men Nếu vật có khuynh hớng làm cho vật quay ngợc chiều kim đồng hồ quanh tâm thì đợc coi là dơng và ngợc lại

Theo hình 3.8 ta có:

Mô men của lực đối với tâm O là:

mo( ) = + F.aMô men của lực đối với tâm O là:

mo( ) = - a1

Đơn vị của mô men đợc đo bằng Nm

3.2 Định lý Va-ri-nhông

Mô men của hợp lực của một hệ lực phẳng đối với một điểm bất

kỳ bằng tổng đại số mô men của các lực thành phần đối với điểm ấy.

m o ( ) = ( )

Chứng minh:

- Trờng hợp hệ là hai lực đồng quy

Giả sử có hai lực và đồng quy tại điểm A và một điểm O bất kỳ trong mặt phẳng của hai lực này, hình 3.9 Gọi là hợp lực của chúng, ta phải chứng minh :

m o ( ) = m o ( ) + m o ( )

Thật vậy, nối OA, từ O kẻ đờng thẳng Ox thẳng góc với A, rồi từ các điểm mút B, C và D của hai lực trên và hạ các đờng Bb, Cc, Ddthẳng góc với Ox Mô men của các lực , và đối với điểm O là:

Thẳng song song, bằng nhau AC và BD lên

đờng thẳng Ox)

Do đó ta có thể viết:

m o ( ) = OA.Od = OA(Ob + Oc) = OA.Ob + OA.Oc

Tức ta có: mo ( ) = m o ( ) + m o ( )

- Trờng hợp hệ là hai lực song song

Giả sử có hai lực song song và đặt tại A và B và một điểm

O bất kỳ trong mặt phẳng của hai lực này, hình 3.10 Gọi là hợp lực của chúng

4.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song.

Giả sử có một hệ lực phẳng song song ( , , , ) tác dụng lên một vật rắn, hình 3.11 Chọn trục Oy song song với phơng các lực Vì thế hệ lực phẳng song song chỉ là một trờng hợp đặc biệt của

hệ lực phẳng bất kỳ, nên khi vật cân bằng ta có thể áp dụng điều kiện cân bằng dạng cơ bản:

Nhng là một điều kiện hiển

nhiên vì theo giả thiết các lực đều thẳng

góc với trục Ox Nh vậy chỉ cần phải có:

Vậy: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng song song tác dụng vào một vật rắn đợc cân bằng là hình chiếu của các lực trên trục Oy song song với phơng các lực và tổng đại số mô men của các lực lấy đối với một điểm O bất kỳ trên mặt phẳng các lực đều phải bằng không.

Một lực tác dụng tại điểm A có thể dời song song đến điểm B

mà tác dụng của nó không thay đổi nếu ta thêm vào đó một ngẫu lực phụ Mô men của ngẫu lực phụ bằng mô men của ngẫu lực lấy

đối với điểm định dời đến

( và MB ( ))Chứng minh : Giả sử có lực đặt tại điểm A

Tại điểm định dời B ta thêm vào đó một hệ lực cân bằng gồm hai lực và với điều kiện :

và có trị số bằng nhau và bằng trị số của lực

và có phơng song song với lực

Theo định luật 2 ta có ( , và ) và ( )

Mà ( ) là một ngẫu lực có mô men m = mB( ) Định lý đã đợc chứng minh

1.2 Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trớc.

Định lý : Một hệ lực phẳng bất kỳ có thể thu gọn về một tâm O tùy ý thành một lực và một ngẫu lực Lực đặt tại điểm O và có véc tơ bằng véc tơ chính của hệ lấy đối với điểm O

Chứng minh : Lần lợt thu các lực i về tâm O ta thu đợc các lực i

và các mô men mo( i )

Các lực ’, ’, ’,…, , là các lực đồng quy, chúng tơng đơng với một hợp lực

( , , ,…, )

1.3 Thu hệ lực phẳng bất kỳ về dạng tối giản

Theo định lý trên ta thấy khi thu hệ ngẫu lực về một tâm có thể xảy ra một trong các trờng hợp sau :

- Hệ lực cân bằng, véc tơ chính bằng 0 và mô men chính bằng 0

R = 0

mo = ( ) = 0

- Hệ lực tơng đơng với một lực, hợp lực đặt tại tâm O và bằng véc tơ chính của hệ

2.Điều kiện cân bằng của hệ lực bất kỳ.

Điều kiện cân bằng:

Định lý: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là véc tơ chính của hệ và mô men chính của hệ lấy với một tâm bất kỳ phải đồng thời bằng không

Tức là: với một điểm O bất kỳ ta phải có:

R = 0 và Mo = 0

Phơng trình cân bằng của hệ lực phẳng

Thực tế cho thấy khi thu một hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm ta

đợc một hệ lực phẳng đồng quy và một mô men ngẫu lực áp dụng

điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy kết hợp với điều kiện về ngẫu lực ta có 3 dạng phơng trình sau:

Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổnghình chiều của các lực lên hai trục tọa độ vuông góc với nhau và tổng mô men của các lực lấy với một điểm bất kỳ trên mặt phẳng phải đồng thời bằng 0 Biểu diễn dới dạng toán học điều kiện này t-

ơng đơng với:

X = i = 0

Y = i = 0

Mo( i) = o( i) = 0

Trong đó: X, Y là hình chiếu trên hai trục x, y của hợp lực R

Xi, Yi là hình chiếu của các lực Fi trên hai trục tọa độ X, Y

Mo là mô men lấy với tâm O của các lực

Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổnghình chiếu của các lực lên một trục bất kỳ và tổng mô men của các lực lấy đối với hai tâm tùy ý phải đồng thời bằng 0 Với điều kiện đ-ờng nối hai tâm không vuông góc với trục chiếu

X = i = 0

MA( i) = A( i) = 0

MB( i) = B( i) = 0

Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổngmô men của các lực lấy đối với ba tâm bất kỳ không thẳng hàng phải đồng thời bằng 0

MA( i) = B( i) = C( i) = 0

Giả sử một vật rắn có xu hớng quay quanh một tâm cố định nào

đó Cân bằng ổn định xảy ra khi trọng tâm của vật thấp hơn tâm quay

ở vị trí ban đầu, trọng lực và phản lực cân bằng nhau Nếu nghiêng vật so với vị trí cân bằng xuất hiện ngẫu lực ( , ) có

khuynh hớng quay vật trở về vị trí ban đầu, giữ cho vật ổn định

ở trạng thái cân bằng

§êng g·y khóc OA1A2 A(n-1) gäi lµ ®a gi¸c lùc Vect¬ = gäi

lµ vect¬ khÐp kÝn cña ®a gi¸c lùc

Cos = ; Cos = ; Cos =

Víi , , lµ c¸c gãc hîp bëi vµ c¸c trôc Ox, Oy, Oz

1.1.2. M«men chÝnh cña hÖ lùc kh«ng gian

1.2 Điều kiện cân bằng.

Điều kiện cần cà đủ để hệ lực không gian cân bằng là vectơ chính và vectơ mô men chính của hệ lực đối với một điểm triệt tiêu

2.Mô men của một lực đối với một trục.

2.1 Định nghĩa

Mô men của lực đối với trục , ký hiệu là mô men đại số của lực đối với điểm O, ở đó là hình chiếu của lực trên mặtphẳng P vuông góc với trục , còn O là giao điểm của trục với mặt phẳng P

2.2 Cách tính mô men của một lực đối với một trục

Khi = 0 hoặc khi song song với trục ( F’ = 0) hay cắt trục (d’ = 0) (lực và trục đồng phẳng) thì mô men lực đối với trục bằng 0

Vật đợc buộc vào dây luồn qua ròng rọc C và đầu

kia của sợi dây buộc vào đĩa cân

Đặt vào đĩa cân một trọng lợng Q, tức là ta đã tác dụng lên vật một lực ngang Cho khá nhỏ ta thấy vật vẫn nằm yên Điều này chứng tỏ mặt tựa đã đặt lên vật, ngoài phản lực pháp tuyến cânbằng với còn có thêm lực nằm ngang cân bằng với cản trở sự tr-ợt

Lực đó gọi là phản lực ma sát trợt Tăng dần Q ta thấy vật vẫn cha trợt Điều đó chứng tỏ lực ma sát trợt có trị số tăng theo lực tác dụng Tăng Q đến một giá trị Q*

0 F Fmax

Nó chỉ cản trở đợc chuyển động trong một chừng mực nhất

định

Kết luận : Khi một vật có khuynh hớng trợt trên bề mặt của một

vật khác thì ở mặt tiếp xúc, phản lực liên kết ngoài thành phần

pháp tuyến do áp lực gây nên còn xuất hiện thành phần cản lại sự trợt gọi là lực ma sat trợt.

Lực ma sát trợt có phơng tiếp tuyến với mặt tiếp xúc, có chiều ngợc với chiều mà vật có khuynh hớng trợt, có trị số nằm trong

khoảng từ 0 đến một giá trị lớn nhất F max

Lực ma sát ứng với giá trị lớn nhất gọi là lực ma sát lớn nhất.

Từ đó ta thấy rằng nghiên cứu hiện tợng ma sát cần phải khảo sát lực ma sát lớn nhất, nhờ vậy mới có thể lập điều kiện cân bằng cho vật có ma sát.

- Hệ số ma sát trợt phụ thuộc vào bản chất của các vật tiếp xúc, tình trạng bề mặt và không phụ thuộc vào diện tích của bề mặt tiếp xúc

- Lực ma sát khi vật chuyển động nhỏ hơn lực ma sát tĩnh

1.3 Điều kiện cân bằng của vật trợt

Từ định luật trên ta thấy điều kiện để vật cân bằng không trợt

là :

F Fmax hay F f.N

Nh thế lực ma sát có một miền giá trị nhất định và do đó vật

có thể cân bằng ở nhiều vị trí hay với nhiều lực tác dụng khác nhau

2.2 Các định luật ma sát lăn.

Giả sử có con lăn trọng lợng P đặt trên một mặt nằm ngang

không nhẵn (hình 5.2) Tác dụng vào con lăn môt lực nằm ngang cách mặt phẳng ngang một khoảng h Lực có tác dụng làm cho vật lăn, nếu cha đủ lớn thì con lăn vẫn cân bằng

Phân tích lực đặt vào con lăn đang cân bằng ta thấy cũng

có xu hớng làm vật trợt, do đó cũng nh trờng hợp trớc, phản lực liên kết sẽ là một lực nghiêng có thể phân tích làm hai thành phần :

N = P và F = Q Lực này đặt tại tâm của mô cản lại sự lăn, tức là đặt cách ph-

ơng của một khoảng d Nh thế con lăn cân bằng dới tác dụng của

bốn lực , , , , áp dụng điều kiệncân bằng cho hệ lực ( , , , ) ta đợc :

P = N

Q.h = P.d = N.d

Do hai lực và thành một ngẫu lực ( , ) có mô men bằng Q.h

có khuynh hớng làm cho con lăn lăn

Do phản lực dịch đi nên các lực và thành một ngẫu lực ( , ) cản lại sự lăn Ngẫu lực đó gọi là ngẫu lực ma sát lăn Mô men của ngẫu lực ma sát lăn gọi là mô men ma sát lăn.

Về ma sát lăn, chúng ta cũng có định luật thực nghiệm sau:

+ Mô men ma sát lăn có thể lấy mội giá trị từ 0 đến một giá trị lớn nhất m max gọi là mô men ma sát lớn nhất.

+ Mô men ma sát lớn nhất tỷ lệ thuận với phản lực pháp

tuyến

m max = k.N (5.2)

k là hệ số ma sát lăn Nó biểu thị cho cánh tay đòn của ngẫulực ma sát lăn lớn nhất và đo bằng đơn vị độ dài

2.3 Điều kiện cân bằng

Điều kiện để con lăn không lăn là:

Q (5.3)

Trong đó: là lực nằm ngang đặt vào con lăn ở độ cao h

Chơng VII Chuyển động cơ bản của vật rắn

1.Chuyển động tịnh tiến.

1.1 Định nghĩa

Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà mỗi

đoạn thẳng thuộc vật luôn luôn song song với vị trí ban đầu của nó

Thí dụ: Chuyển động của thựng xe trờn đoạn đường thẳng, chuyển động của thanh

chuyền AB trong cơ cấu bốn khõu cú cỏc tay quay O1A và O2B bằng nhau là chuyển động tịnh tiến

1.2 Phân loại chuyển động tịnh tiến – Phơng pháp nghiên cứu.1.2.1 Phân loại

- Chuyển động tịnh tiến thẳng

- Chuyển động tịnh tiến cong: Vật rắn

chuyển động tịnh tiến theo quỹ đạo là đờng

cong

Vd: - Chuyển động của bàn đạp xe đạp là

một chuyển động tịnh tiến cong

- Chuyển động của đu quay là chuyển

động tịnh tiến cong

1.2.2 Phơng pháp nghiên cứu

Định lý: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo,

vận tốc, gia tốc các điểm của vật nh nhau.

Khi khảo sát chuyển động của vật tịnh tiến ta chỉ cần khảo sát

chuyển động của một điểm trên vật

2.Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.

2.1 Khảo sát chuyển động của vật

Nếu trong quá trình chuyển động, vật rắn có hai điểm luôn luôn cố định, ta nói vật rắn có chuyển động quay quanh trục

cố định qua hai điểm đó.

Phơng trình chuyển động của vật: = (t) – chuyển vị góc hay góc quay

Vận tốc góc của vật: (t) = = (rad/s hay s-1)

Véc tơ vận tốc góc có trị số bằng trị số vận tốc góc, nằm trên trục quay của vật sao cho khi nhìn từ đầu mút tới gốc của nó ta thấy vật quay ngợc chiều kim đồng hồ (hoặc có thể dùng quy tắc bàn tay phải)

Gia tốc góc của vật : (t) = = = (rad/s2 hay s-2) Véc tơ gia tốc góc cũng nằm trên trục quay

2.2 Khảo sát chuyển động các điểm thuộc vật

Phơng trình chuyển động của điểm M (hình 7.3) :

Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động khi mỗi

điểm thuộc vật luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố

định song song với mặt phẳng quy chiếu đã chọn trớc ( mặt

phẳng cơ sở) Nói cách khác chuyển động song phẳng là chuyển

động của vật khi mỗi điểm của nó trong quá trình chuyển động

có khoảng cách đến mặt phẳng cơ sở là không đổi

3.2 Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phép tịnh tiến và quay đồng thời

3.2.1 Thực chất của chuyển động

Định lý 1: Chuyển động song phẳng của vật rắn thực chất là

một sự thực hiện đồng thời chuyển động tịnh tiến của vật cùng với một điểm O nào đó gọi là cực và chuyển động quay quanh cực

Chứng minh:

Giả sử tại thời điểm t vật có vị trí nh đoạn thẳng AB, sang thời

điểm t1 vật có vị trí khác và đoạn AB sẽ giữ vị trí A1B1

Nếu lấy A làm cực và coi chuyển động của A

là xác định ta có thể di chuyển vật từ vị trí t đến

vị trí t1 nh sau:

Tịnh tiến vật theo A đến vị trí A1 khi đó B sẽ

ở vị trí B1’ Quay vật quanh A1 cho đến khi B1’

trùng với B1 góc quay ký hiệu là

Nếu biết sự biến thiên vị trí của A để xác định

vị trí các điểm còn lại ta chỉ cần biết thêm sự phụ

thuộc của góc quay theo thời gian tức là cần phải

có phơng trình : = (t)

Định lý 2 : Trong chuyển động song phẳng tại cùng một thời

điểm nếu ta chọn cực khác nhau sẽ có các chuyển động tịnh tiến khác nhau nhng chuyển động quay quanh cực thực hiện giống nh nhau ( các chuyển động quay không phụ thuộc vào cực)