Tính liên tục của ánh xạ đơn trị
Cho hàm giá trị thực mở rộng f :E→R∪ {+∞}xác định trên không gian Banach
E.Miền hữu hiệucủa f là tập hợp các điểm sao cho f là hữu hạn, tức là domf :={x∈E | f(x)inf f Γ γ (f).
Trên đồ thịcủa f là tập con của không gian tíchE×Rđược xác định như sau epif :={(x,r)∈E×R| f(x)≤r}. Định nghĩa 1.1.1 Cho f :E →R∪ {+∞},a∈Rvà điểmx¯∈E.
(a) Hàm f được gọi làa-mức trên đóngtạix¯nếu với mọixn∈E,xn→x,¯ ta có mệnh đề kéo theo sau
(b) Hàm f được gọi làa-mức trên đóng mạnhtạix¯nếu với mọi x n ∈E,x n →x,¯ và νn↓0, ta có mệnh đề kéo theo sau
[f(x n ) +νn ≥a, ∀n] =⇒[f(x)¯ ≥a]. Định nghĩa 1.1.2 (Xem [77]) Cho f :E →R∪ {+∞}và điểmx¯∈E.
(a) Hàm f được gọi lànửa liên tục dướitạix¯nếu, với mọixn∈E,xn→x,¯ f(x)¯ ≤lim inf n→∞ f(x n ).
(b) Hàm f được gọi làgiả liên tục dưới tạix¯nếu mệnh đề kéo theo sau đây thỏa mãn
Hàm f được xem là nửa liên tục tại điểm x¯ nếu hàm (-f) là nửa liên tục dưới tại x¯ Đối với trường hợp liên tục, hàm f được coi là liên tục tại x¯ khi nó vừa là nửa liên tục trên vừa là nửa liên tục dưới tại điểm này Tương tự, hàm f được gọi là giả liên tục tại x¯ nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương ứng về nửa liên tục trên và dưới.
Chúng ta nói rằng f thỏa mãn một tính chất nào đó trong tập X ⊂ E nếu nó đáp ứng tính chất đó với mọi điểm m ∈ X Khi X = E, chúng ta có thể bỏ qua cụm từ "trong X" trong các phát biểu.
Từ định nghĩa, tính nửa liên tục dưới dẫn đến tính giả liên tục dưới, và tương tự cho nửa liên tục trên với giả liên tục trên Tuy nhiên, điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng, và một ví dụ dưới đây sẽ minh chứng cho điều này.
Thí dụ 1.1.1 Cho hàm số f :R→Rđược xác định bởi g(x)
Rõ ràng, f là giả liên tục tại 0, nhưng nó không nửa liên tục trên lẫn nửa liên tục dưới tại 0.
Mệnh đề 1.1.1 ( [77])Hàm f :E → R∪ {+∞} là giả liên tục trong E khi và chỉ khi với mọi dãy{x n }và{y n }trongE lần lượt hội tụ vềxvày,
[f(y)< f(x)] =⇒ lim sup n→∞ f(yn) inff Theo Định lý 1.1.1 (tham khảo [87, Định lý 2.5]), nếu f là hàm chính thường, nửa liên tục dưới và inf-compact, thì arg min(f) sẽ khác rỗng và compact, đồng thời inff > −∞.
Khái niệm khả vi theo nghĩa Fréchet là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học, đến mức mà thường người ta chỉ viết tắt là "khả vi" mà không cần nhắc đến từ "Fréchet".
Khả vi là một khái niệm trong toán học, đặc biệt trong lý thuyết không gian Banach Cho hai không gian Banach E và Y cùng với một tập con X của E, ký hiệu o(E,Y) đại diện cho tập hợp các ánh xạ r: E → Y thỏa mãn điều kiện r(x)/||x|| → 0 khi ||x|| → 0, với x thuộc X \ {0} Một ánh xạ f: X → Y được coi là khả vi tại điểm x̄ ∈ X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục T: E → Y và một ánh xạ r ∈ o(E,Y) sao cho với mọi x ∈ X, ta có f(x) = f(x̄) - T(x - x̄) + r(x - x̄) Ánh xạ tuyến tính liên tục T được gọi là đạo hàm của f tại x̄ và được ký hiệu là f'(x̄) hoặc ∇f(x̄).
This article revisits the Brouwer Fixed Point Theorem and the Schauder Fixed Point Theorem The Brouwer Fixed Point Theorem, as stated in [98, Proposition 2.6], is a fundamental result in topology that asserts the existence of fixed points for continuous functions mapping a convex compact set to itself.
Giả sửM là một tập con lồi, compact và khác rỗng của không gianR n ,n≥1,và f :M→
Mlà một ánh xạ liên tục Khi đó, f có điểm bất động. Định lý 1.1.3 (Định lý điểm bất động của Schauder, xem [98, Corollary 2.13])
Giả sửMlà một tập con lồi, compact và khác rỗng của không gian BanachE và f :M→
Mlà một ánh xạ liên tục Khi đó, f có điểm bất động.
Cực trị của hàm lồi
Định nghĩa 1.2.1 Cho X là tập con lồi của một không gian BanachE Hàm f :
X →R∪ {+∞}được gọi làlồi nếu với mọit ∈(0,1)vàx,y∈X, ta có f(tx+ (1−t)y)≤t f(x) + (1−t)f(y) (1.1)
Nếu bất đẳng thức trong (1.1) là chặt với mọix,y∈X,x6=yvàt ∈(0,1)thì ta nói f làlồi chặttrênX Hơn nữa, f được gọi làlồi mạnhvới hệ sốα >0trênX nếu f(tx+ (1−t)y)≤t f(x) + (1−t)f(y)−α
2t(1−t)kx−yk 2 , với mọix,y∈X vàt ∈(0,1).
Hàm f được gọi làlõm(tương ứng,lõm chặt, lõm mạnh) trênX nếu −f là hàm lồi (tương ứng, lồi chặt, lồi mạnh) trênX.
Nếu hàm f là hàm lồi, thì miền xác định của f là tập lồi Hơn nữa, với một họ hữu hạn các hàm lồi {fi} và các hệ số αi > 0, tổng ∑ i∈I n αifi cũng là một hàm lồi Hàm f : E → R ∪ {+∞} được gọi là bức nếu lim kxk→+∞ f(x) = +∞, hoặc tương đương, nếu đồ thị Γγ(f) bị chặn với mọi γ ∈ R Theo định lý 1.2.1, nếu hàm f là chính thường, lồi, bức và nửa liên tục dưới, thì tập argmin(f) là khác rỗng và compact yếu Nếu f là lồi chặt, thì argmin(f) sẽ là tập đơn phần tử.
Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Ánh xạ đa trị F từ không gian tôpô X vào Y, ký hiệu F: X ⇒ Y, là một quy luật mà mỗi điểm x ∈ X tương ứng với một tập F(x) ⊂ Y Nó còn được gọi là hàm đa trị hoặc ánh xạ điểm vào tập Miền hữu hiệu và đồ thị của ánh xạ đa trị F được xác định bởi các công thức: domF = {x ∈ X | F(x) ≠ ∅} và gphF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F(x)} Ánh xạ đa trị F được gọi là tầm thường nếu domF = ∅ và chặt nếu domF = X Đồ thị gphF đặc trưng cho ánh xạ đa trị F, và bất kỳ tập nào trong X × Y đều có thể là đồ thị của một ánh xạ đa trị từ X vào Y Do đó, mối quan hệ giữa các phần tử của X và Y cũng có thể được xem như một ánh xạ đa trị từ X vào Y và ngược lại.
Ánh xạ đa trị F có những tính chất nhất định nếu đồ thị của nó cũng có những tính chất tương ứng Cụ thể, F được gọi là đóng khi đồ thị gphF là tập đóng, và F là compact khi gphF là tập compact Cần phân biệt giữa các thuật ngữ như F đóng và F có ảnh đóng, F compact và F có ảnh compact Khi nói F có ảnh đóng (hoặc compact), tức là F(x) là đóng (hoặc compact) với mọi x thuộc domF Định nghĩa 1.3.3 nêu rõ rằng cho ánh xạ đa trị F: X ⇒ Y, ánh xạ ngược F −1 của F là ánh xạ đa trị từ Y vào X, được xác định bởi x thuộc F −1(y) nếu và chỉ nếu y thuộc F(x), tức là (x,y) thuộc gphF.
Do ảnh qua ánh xạ đa trị F, với mỗi tập M ⊂ Y, ta phân biệt hai loại ảnh ngược trong X: nghịch ảnh F⁻¹(M) và nhân F⁺¹(M) của M qua F.
F +1 (M):x∈X|F(x)⊂M Định nghĩa 1.3.4 ChoF:X⇒Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpôX vào không gian tôpôY.
(i) F được gọi lànửa liên tục trêntạix¯∈domF nếu với mọi tập mởU củaY thỏa mãnF(x)¯ ⊂U tồn tại một lân cận mởN củax¯sao cho
(ii) F được gọi lànửa liên tục dướitạix¯∈domF nếu với mọi tập mởU củaY thỏa mãnF(x)¯ ∩U 6= /0tồn tại một lân cậnN củax¯sao cho
(iii) F được gọi là liên tục tạix¯∈domF nếu nó đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tạix¯.
Ta nói rằngF có một tính chất nào đó trongA⊂E nếu F thỏa mãn tính chất đó với mọi điểm thuộcA.
Đối với ánh xạ đơn trị, hai khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới trong Định nghĩa 1.3.4 là đồng nhất Tuy nhiên, điều này không áp dụng cho ánh xạ đa trị Cụ thể, hai ánh xạ đa trị F1 và F2 từ R đến R được xác định như sau:
Hàm F1 là nửa liên tục tại điểm 0 theo chiều dưới, nhưng không nửa liên tục theo chiều trên tại cùng điểm Ngược lại, hàm F2 lại nửa liên tục theo chiều trên tại 0, nhưng không nửa liên tục theo chiều dưới tại điểm này.
Mệnh đề 1.3.1 Xem [48, Proposition 2.5]Cho ánh xạ đa trịF :X ⇒Y Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(a) F là nửa liên tục trên.
(b) F +1 V là mở trongX với mọiV mở trongY.
(c) F −1 C là đóng trongX với mọiC đóng trongY.
(d) Nếu{x γ } γ∈I là một lưới hội tụ vềx∈X và tập mởV ⊂Y thỏa mãnF(x)⊂V thì tồn tạiγ¯∈I sao cho
Mệnh đề 1.3.2 Xem [48, Proposition 2.6]Cho ánh xạ đa trịF :X ⇒Y Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(a) F là nửa liên tục dưới.
(b) F −1 V là mở trongX với mọiV mở trongY.
(c) F +1 C là đóng trongX với mọiC đóng trongY.
(d) Nếu{x γ } γ∈I là một lưới hội tụ vềx∈X và tập mởV ⊂Y thỏa mãnF(x)∩V 6= /0thì tồn tạiγ¯∈I sao cho
(e) Nếu {x γ } γ∈I là một lưới hội tụ về x ∈X và y∈ F(x) thì với mỗi γ ∈ I tồn tại y γ ∈F x γ sao cho{y γ }hội tụ vềy.
Mệnh đề sau đây được sử dụng rất nhiều trong các chương tiếp theo của luận án.
Mệnh đề 1.3.3 nêu rằng, cho ánh xạ đa trị F: X ⇒ Y có giá trị compact, thì F là nửa liên tục tại x ∈ dom F nếu và chỉ nếu với mọi dãy xγ, yγ ∈ I ⊂ gph F, khi xγ tiến tới x, thì tập hợp {yγ}γ∈I có một điểm tụ trong F(x).
Độ đo tính không compact
Trong phần này, chúng ta sẽ ôn lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến độ đo tính không compact trong không gian metricE Định nghĩa 1.4.1 (xem [91]) chỉ ra rằng M là một tập con không rỗng của không gian metricE.
(a) Độ đo KuratowskicủaM được xác định như sau à(M) =inf{ε>0|M ⊂ n
(b) Độ đo Hausdorff củaM được xác định như sau η(M) =inf{ε >0|M⊂ n
(c) Độ đo IstrătáescucủaMđược xỏc định như sau ι(M) =inf{ε>0|M không có vô hạn tập conε-rời rạc}.
Tập con A của E được gọi là ε-rời rạc nếu khoảng cách d(x,y) ≥ ε với mọi x, y ∈ A và x ≠ y Định nghĩa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con không rỗng A và B của E được xác định như sau.
H(A,B) = max{H*(A,B), H*(B,A)}, trong đó H*(A,B) = sup a∈A d(a,B với d(a,B) = inf b∈B d(a,b) Định lý 1.4.1 (Xem [91]) khẳng định rằng, với M là một tập con của E, ta có η(M) ≤ ι(M) ≤ à(M) ≤ 2η(M).
Các độ đo à, η và ι có nhiều tính chất chung Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu à để đại diện cho ba độ đo này Dựa vào đó, ta có thể xây dựng các mệnh đề liên quan.
Mệnh đề 1.4.1 (Xem [91])Các khẳng định sau đây là đúng:
(iv) Nếu {M n } là một dãy các tập con đóng trong E thỏa mãn M n+1 ⊂ Mn với mọi n∈N và lim n→∞ à(Mn) = 0, thỡ K := T n∈ N Mn là một tập compact khỏc rỗng và lim n→∞ H(M n ,K) =0.
Thứ tự từ điển và cách xây dựng nón thứ tự toàn phần trong không gian R n
Trong mục này, chúng ta sẽ ôn lại khái niệm về thứ tự từ điển và cách xây dựng một nón thứ tự toàn phần trong không gian R^n Nội dung chủ yếu được tham khảo từ bài báo [66] Định nghĩa 1.5.1 nêu rõ rằng, cho S là một không gian vectơ và R là một thứ tự từng phần trên S Nếu với mọi a, b ∈ S, có aRb hoặc bRa, thì R được xem là một thứ tự toàn phần trên S.
Kết quả sau đây cho ta một đặc trưng của thứ tự toàn phần.
Mệnh đề 1.5.1 (Xem [66])Cho X là một không gian vectơ,C là một nón thứ tự từng phần trongX và C là một thứ tự từng phần trênX được xác định bởi a C b⇐⇒a−b∈C.
Khi đó, C là một thứ tự toàn phần trênX khi và chỉ khiC∪(−C) =X.
Cho trước một vectơr 1 khác vectơ không trongR n Đặt
K 1 :={k∈R n | hk,r 1 i>0}. Chọnr 2 ∈bdK 1 , trực giao vớir 1 , và xây dựng tập
K 2 :={k∈R n | hk,r 1 i=0,hk,r 2 i>0}. Sau đó, ta chọn tiếp vectơr 3 trực giao vớir 1 vàr 2 và đặt
Tiếp tục quá trình này, ở bước thứ i, ta có thể chọn vectơ ri trực giao với tất cả vectơr j , với j h_r(j, b).
Thí dụ sau đây minh họa cho cách xây dựng nón thứ tự toàn phầnK trongR 2
Thí dụ 1.5.1 Chọn vectơr 1 = (2,1), đặt
Chọn vectơr 2 = (−1,2)∈bdK 1 , và đặt
Tập K = K1 ∪ K2 ∪ {0} là một nón thứ tự toàn phần trong R2, bao gồm hợp của nửa mặt phẳng bên phải đường thẳng đứt nét y = -2x và tia xuất phát từ gốc theo hướng r2.
Nón thứ tự toàn phần trên R² được xác định là hợp của nửa mặt phẳng K₁ và tia K₂ Thứ tự của các vectơ {r₁, r₂, , rₙ} trong Định lý 1.5.1 đóng vai trò quan trọng; việc thay đổi thứ tự này sẽ làm biến đổi nón thứ tự K và quan hệ thứ tự toàn phần liên quan đến nón K Ví dụ, nếu thứ tự các vectơ r₁ = (−1, 2) và r₂ = (2, 1) được hoán đổi, nón thứ tự toàn phần K sẽ trở thành hợp của nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng y = 1/2x và tia xuất phát từ gốc theo hướng r₂ = (2, 1).
Nón thứ tự toàn phần trên R^n có thể được xác định bằng cách thay đổi thứ tự của các vectơ r1, r2 Theo Định lý 1.5.2, nếu K là một nón thứ tự toàn phần, thì tồn tại các vectơ {r1, r2, , rn} thuộc R^n \ {0} sao cho tích vô hướng hrj, ri = 0 cho mọi j < i.
[ i=1 k∈R n | hk,rji=0với j0
Bây giờ ta nhắc lại khái niệm thứ tự từ điển. Định nghĩa 1.5.2 Vớia= (a 1 ,a 2 , ,an),b= (b 1 ,b 2 , ,bn)∈R n ,thứ tự từ điểntrên
R n , ký hiệu lex , là một quan hệ thứ tự được xác định như sau a lex b⇐⇒a=bhoặcai>bi với tọa độ khác nhau đầu tiên thứicủaavàb.
Nhận xét 1.5.1 Thứ tự từ điển có các tính chất sau đây.
(i) Thứ tự từ điển là một thứ tự toàn phần;
(ii) Nếu ta chọn{r 1 ,r 2 , ,rn}là một cơ sở trực chuẩn trongR n thì thứ tự từ điển được sinh bởi nón thứ tự toàn phần
Khi đó,K được gọi lànón từ điển, ký hiệu làC lex Định lý 1.5.3 (Xem [66]) Cho K là nón cho bởi (1.2), K là một thứ tự trên R n và
{r 1 ,r 2 , ,rn}là một cơ sở trực giao Khi đó, K là thứ tự từ điển trênR n ứng với cơ sở này.
Hệ quả 1.5.1 (Xem [66])Tất cả các thứ tự toàn phần trên R n đều đẳng cấu với nhau theo nghĩa thứ tự của các vectơ cơ sở.
Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng từ điển
Chương này bắt đầu bằng việc giới thiệu mô hình bài toán cân bằng từ điển cùng với các kết quả liên quan đến sự tồn tại nghiệm Mục 2.2 tập trung vào việc nghiên cứu tính nửa liên tục, tính đóng và tính liên tục của ánh xạ nghiệm trong bài toán cân bằng từ điển Cuối chương, Mục 2.3 áp dụng các kết quả đã nghiên cứu vào bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển và bài toán tối ưu từ điển Những kết quả trong Mục 2.2 và 2.3 được trích dẫn từ bài báo [3] trong trường hợp K(λ)≡X.
Mô hình bài toán cân bằng từ điển
Cho X là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Banach thực E Hàm vectơ f = (f1, f2, , fn): X → Rn được định nghĩa trên X Trong bài viết này, chúng ta giả sử rằng mỗi hàm fi, với i = 1, n, là một song hàm cân bằng, nghĩa là fi(x, x) = 0 cho mọi x ∈ X.
Bài toán cân bằng từ điểnđược phát biểu như sau:
(LEP)Tìmx¯∈X sao cho f(x,¯ y) lex 0, ∀y∈X.
Tập nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng (LEP) được ký hiệu là S LEP Để đơn giản hóa, chúng ta chỉ xem xét trường hợp n=2, vì trường hợp tổng quát tương tự Chúng ta ký hiệu EP(X, f_i), i=1,2, là bài toán cân bằng vô hướng, với mục tiêu tìm x¯∈X sao cho f_i(x¯, y)≥0 với mọi y∈X.
Tập nghiệm của bài toán EP(X,f i )được ký hiệu làS EP i Xét ánh xạ đa trịZ:X⇒X được xác định bởi
Khi đó, bài toán(LEP)có thể được phát biểu một cách tương đương như sau:
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một số kết quả liên quan đến sự tồn tại nghiệm cho bài toán cân bằng từ điển Chúng ta giả sử rằng X là một tập con không rỗng, lồi và compact trong không gian Banach E, với giả thiết compact được sử dụng để đơn giản hóa cách trình bày Giả thiết này có thể được thay thế bằng tính đóng của X và điều kiện bức phù hợp của hàm mục tiêu Đầu tiên, chúng ta sẽ nhắc lại các khái niệm về tính liên tục và tính lồi mở rộng của một hàm vô hướng, theo định nghĩa 2.1.1 (xem [19]).
(a) tựa lồi, nếu với mỗi cặp điểmx,y∈E và với mọit ∈[0; 1], ta có: g(tx+ (1−t)y)≤max{g(x),g(y)};
(b) tựa lồi bán chặt, nếu với mỗi cặp điểm x,y∈E sao cho g(x)6=g(y)và với mọi t ∈(0; 1), ta có: g(tx+ (1−t)y)0=⇒g(y,x)≤0, với mọix,y∈X;
(d) tựa đơn điệu chính thường, nếu với mỗi tập con hữu hạn A⊂ X, và với mỗi x∈conv(A), ta có: maxy∈A g(x,y)≥0;
(e) giả đơn điệu, nếu g(x,y)≥0=⇒g(y,x)≤0, với mọix,y∈X;
Nếu hàm g là giả đơn điệu trên tập X và với mọi cặp x, y ∈ X, nếu g(x, y) = g(y, x) = 0, thì với mọi z ∈ X tồn tại một số thực dương k phụ thuộc vào x, y, z sao cho g(x, z) = k * g(y, z).
(g) giả đơn điệu tuần hoàn, nếu với mọi x 1 ,x 2 , ,xn∈X,n∈N, điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(h) giả đối xứng ∗, nếuglà giả đối xứng và giả đơn điệu∗.
Cho một song hàmg:X×X →Rvà xét các giả thiết sau:
(A1) glà giả đơn điệu, g(ã,y)là hemi-liờn tục trờn với mọiy∈X,g(x,ã)là nửa liờn tục dưới và tựa lồi bán chặt với mọix∈X;
(A2) g(x,ã)là tựa đơn điệu chớnh thường với mọix∈X,g(ã,y)là nửa liờn tục trờn với mọiy∈X;
Định lý 2.1.1 chỉ ra rằng nếu hai song hàm f1 và f2 đáp ứng các điều kiện trong giả thiết (A1), và f1 thỏa mãn một trong các điều kiện bổ sung, thì sẽ có những kết luận quan trọng về tính chất của chúng.
(b) −f 1 là giả đơn điệu tuần hoàn;
(c) f 1 là giả đơn điệu tuần hoàn và−f 1 là giả đơn điệu.
Khi đó, tập nghiệmS LEP là khác rỗng, lồi và compact.
Các điều kiện trong giả thiết (A1) được đánh giá là mạnh mẽ vì chúng tạo ra sự tương đương giữa bài toán cân bằng EP(X,g) và bài toán đối ngẫu của nó, cụ thể là bài toán tìm y¯∈X sao cho g(x,y)¯ ≤0 với mọi x∈X.
Ngoài ra, từ các điều kiện đã nêu, ta có thể xác định tính lồi và tính compact của tập nghiệm Định lý 2.1.2 (tham khảo [19]) chỉ ra rằng nếu hàm f2 đáp ứng các điều kiện trong (A2) và hàm f1 thỏa mãn các điều kiện trong (A1), hoặc (A2) và (A3), thì f1 cần phải thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện bổ sung.
(b) −f 1 là giả đơn điệu tuần hoàn;
(c) f 1 là giả đơn điệu tuần hoàn và−f 1 là giả đơn điệu.
Khi đó, tập nghiệmS LEP là khác rỗng và compact.
Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng từ điển
Gọi E và E₀ là các không gian Banach, với X và Λ là các tập con khác rỗng của E và E₀ Chúng ta xét hàm vectơ f := (f₁, f₂): X × X × Λ → R², trong đó mỗi hàm fᵢ (i=1,2) đều là hàm cân bằng, nghĩa là fᵢ(x,x,λ) = 0 với mọi x ∈ X và λ ∈ Λ.
Với λ ∈Λ, bài toán cân bằng từ điển phụ thuộc tham số được phát biểu như sau:
(LEP λ ) Tìm x¯∈X sao cho f(x,¯ y,λ) lex 0, ∀y∈X.
Bài toán (LEP λ ) có thể được biểu diễn một cách tương đương như sau:
Z:X×Λ⇒X, Z(x,λ):={y∈X | f 1 (x,y,λ) =0}. ĐặtS EP 1 (λ):={x∈X | f 1 (x,y,λ)≥0,∀y∈X} Khi đó, (LEP λ ) có thể được viết lại như sau: Tìmx¯∈S EP 1 (λ)sao cho f 2 (x,¯ y,λ)≥0, ∀y∈Z(x,¯ λ).
Tập nghiệm của bài toán (LEP λ ) được ký hiệu là S LEP Rõ ràng, S LEP (λ) ⊂
S EP 1 (λ), với mỗiλ ∈Λ Tuy nhiên, tính chất ổn định của một ánh xạ nghiệm này không đảm bảo tính chất tương ứng cho ánh xạ nghiệm còn lại.
Khi đó,S EP 1 là liên tục tại 0, nhưngS LEP là không nửa liên tục trên lẫn nửa liên tục dưới tại0.
Thí dụ 2.2.2 Cho E =E 0 =R 2 , X = [−3,3]×[−3,3], Λ= [0,1], và f(x,y,λ)được xác định như sau: f 1 (x,y,λ)
(x 1 −y 1 ) 2 (1−x 2 1 ), nếu λ =0, (x 1 −y 1 ) 2 (x 1 −λ)(x 1 +2)(1−x 1 ), nếu λ 6=0, và f 2 (x,y,λ) =|x 2 −y 2 |(x 1 −λ) Ta có
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các nón từ điển C lex, bao gồm tất cả các nón lồi đóng có đỉnh C nằm trong nửa mặt phẳng đóng {x ∈ R^n | x₁ ≥ 0} Đối với λ = 0, ta có tập S LEP (λ) = [−1,1]×[−3,3], còn với λ ≠ 0, S LEP (λ) = ([−3,−2]∪[λ,1])×[−3,3] Tập S LEP là liên tục tại 0, trong khi S EP 1 không liên tục tại 0 Chúng ta cũng xem xét các bài toán cân bằng phụ thuộc tham số, bao gồm bài toán cân bằng Pareto với yêu cầu rằng f(x,¯ y,λ)∩(−C)⊂C, bài toán cân bằng yếu với f(x,¯ y,λ)6∈ −intC, và bài toán cân bằng mạnh với f(x,¯ y,λ)∈C.
S WEP (λ) và S SEP (λ) là các tập nghiệm tương ứng của các bài toán liên quan Đối với nón lồi đóng và đỉnh C nằm trong nửa mặt phẳng đóng {x ∈ R^n | x1 ≥ 0}, có thể áp dụng các phương pháp giải quyết hiệu quả.
Do đó, đối với các kết quả về sự tồn tại nghiệm, ta có chiều “⇒” (tức là, S SEP (λ) ≠ 0 kéo theo S LEP (λ) ≠ 0, v.v); và đối với tính ổn định, một cách đại khái ta có chiều ngược lại “⇐” (nếu thêm các giả thiết thích hợp) Tuy nhiên, tập nghiệm S PEP (λ) và S WEP (λ) thường quá lớn, dẫn đến các điều kiện đủ cho sự ổn định cũng phải rất chặt chẽ Chính vì vậy, các điều kiện này không được áp dụng cho việc xét tính liên tục của S LEP (λ) Chúng ta chỉ xem bài toán (LEP λ) như một trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng mạnh với nón thứ tự là C lex, nhưng gặp khó khăn do nón C lex không mở lẫn không đóng Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng từ điển, với giả thiết rằng S LEP (λ) khác rỗng cho mọi λ nằm trong lân cận của điểm đang xét Định lý 2.2.1 (Xem [3]) giả sử cho bài toán (LEP λ) với λ ∈ Λ như sau:
(ii) fi là giả liên tục trên ở trongX×X× {λ¯ }vớii=1,2;
(iii) Z là nửa liên tục dưới ở trongS EP 1 (λ¯ )× {λ¯}.
Khi đó, ánh xạ nghiệmS LEP là nửa liên tục trên và đóng tạiλ¯.
Chứng minh rằng S EP 1 là nửa liên tục trên và đóng tại λ¯ Giả sử tồn tại một tập mở U ⊃ S EP 1 (λ¯) sao cho có các dãy λn → λ¯ và xn ∈ S EP 1 (λn) với xn ∉ U Vì X là tập compact, tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 Nếu x0 ∉ S EP 1 (λ¯), thì tồn tại y0 ∈ X sao cho f1(x0, y0, λ¯) < 0, hay f1(x0, y0, λ¯) < f1(x0, x0, λ¯) Do xn ∈ S EP 1 (λn), nên f1(xn, y0, λn) ≥ 0 Từ tính giả liên tục của f1 tại (x0, y0, λ¯), ta có
0= f 1 (x 0 ,x 0 ,λ¯)> f 1 (x 0 ,y 0 ,λ¯), ta thu được điều mâu thuẫn sau:
Do đó, x₀ ∈ S EP₁(λ̄) ⊂ U dẫn đến một mâu thuẫn khác vì xn ∉ U với mọi n Kết luận, S EP₁ là nửa liên tục tại λ̄ Với mọi dãy λn → λ̄ và {xn} ⊂ S EP₁(λ̄).
S EP 1 (λ n )với x n →x 0 , lập luận tương tự như trên ta có x 0 ∈S EP 1 (λ¯), tức là,S EP 1 là đóng tạiλ¯
Chúng ta sẽ chứng minh rằng S LEP là nửa liên tục trên tại λ¯ Giả sử tồn tại một tập mở U ⊃ S LEP (λ¯) và một dãy {λ n } hội tụ về λ¯ với mọi n, ta có n∈S LEP (λ n )\U Nhờ tính nửa liên tục của S EP 1 tại λ¯ và tính compact của S EP 1 (λ¯), ta có xn → x 0 với x 0 ∈S EP 1 (λ¯) Nếu x 0 không thuộc S LEP (λ¯), sẽ tồn tại y 0 ∈Z(x 0 ,λ¯) sao cho f 2 (x 0 ,y 0 ,λ¯) 0, dẫn đến s(x) ∈ Z(x) Điều này chứng tỏ sự tồn tại của dãy {zₙ} với zₙ ∈ Z(xₙ) và zₙ → z Từ bất đẳng thức (3.2), ta có ¯f₂(xₙ, zₙ) + εₙ ≥ 0 cho mọi n Với tính 0-mức trên đóng mạnh của f₂ tại (x, ¯z)¯, ta suy ra f₂(x, ¯z)¯ ≥ 0, tạo ra mâu thuẫn với (3.3) Do đó, x¯ ∈ S, chứng minh rằng bài toán (LEP) là bài toán Tikhonov mở rộng Kết luận thứ hai của định lý được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 3.1.2, hoàn tất chứng minh.
Trong Thí dụ 3.1.3, chúng ta có thể dễ dàng xác minh rằng tất cả các giả thiết trong Định lý 3.1.1 đều đúng Điều này chứng tỏ rằng bài toán (LEP) là một bài toán điều chỉnh Tikhonov mở rộng Các phản thí dụ dưới đây sẽ làm nổi bật tầm quan trọng của các giả thiết trong Định lý 3.1.1.
Thí dụ 3.1.5 (Tính chất compact của tậpX không thể bỏ qua được) ChoX=E Rvà f(x,y) = ((x−y) 2 ,x−y).