Một số phương trình và bất phương trình dạng logistic

Luận án của chúng tôi khảo sát bốn lớp phương trình hoặc bất phương trình ellipticchứa số hạng phi tuyến dạng logistic sau • Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm của ẩn hàm • Bất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củaPGS TS Nguyễn Bích Huy Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từngđược ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả luận án

Bùi Thế Quân

Mục lục

0.1 Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm của ẩn hàm 2

0.2 Bất phương trình biến phân dạng logistic 4

0.3 Phương trình logistic chứa đạo hàm và số hạng Kirchhoff 5

0.4 Hệ phương trình logistic 6

1 MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN THIẾT 9 1.1 Không gian Banach có thứ tự, bậc tô pô trong nón 9

1.2 Toán tử p-Laplace 11

1.3 Giá trị riêng chính và hàm riêng 12

2 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC SUY RỘNG . 14

2.1 Giới thiệu bài toán 14

2.1.1 Phương trình logistic dạng tổng quát; Đưa phương trình về bài toán điểm bất động 15

2.2 Các kết quả chính 19

2.2.1 Trường hợp dưới tuyến tính và tuyến tính 20

2.2.2 Trường hợp trên tuyến tính 26

3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN 30

3.1 Giới thiệu bài toán 30

3.2 Đưa bài toán về bài toán điểm bất động 31

3.3 Các kết quả chính 35

3.3.1 Trường hợp dưới tuyến tính 35

3.3.2 Trường hợp tuyến tính 38

4 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC CHỨA SỐ HẠNG 44

4.1 Giới thiệu bài toán 44

4.2 Đưa phương trình về bài toán điểm bất động 45

4.3 Các kết quả chính 47

4.3.1 Trường hợp hàm M tổng quát 48

4.3.2 Trường hợp hàm M (x, t) = a(x) + b(x)tη với b không suy biến 49

4.3.3 Trường hợp M (x, t) = a(x) + b(x)tη với số hạng b suy biến 52

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC 59 5.1 Đặt bài toán 59

5.2 Đưa bài toán về bài toán điểm bất động 60

5.3 Các kết quả chính 61

5.3.1 Trường hợp dưới tuyến tính và tuyến tính 61

5.3.2 Trường hợp trên tuyến tính 72

Ký hiệu các không gian hàm

và |f |p khả tích trên Ω

chất bị chặn trên Ω

kf kp = R

Ω |f | p
p1

Chuẩn của f trong không gian Lp(Ω)

W1,p(Ω) = {f : Ω →R: f, Df ∈ Lp(Ω)} Không gian các hàm thuộc Lp(Ω)

|(x1, x2, , xn)| = Pni=1|xi| Chuẩn trong Rn.

có giá compact trong Ω

trên Ω và u(x) = 0 trên ∂Ω

với chuẩn kf k = RΩ|∇f |p

1 p

∆ p u = div(|∇u|p−2∇u) Toán tử p-Laplace

B(a, r) = {x ∈ E : kx − ak < r} Quả cầu mở tâm a bán kính r trong E

Phương trình (0.0.1) mô tả sự tăng trưởng của loài đơn lẻ trong tự nhiên Trong

đóu(x, t) chỉ mật độ của loài,Ωlà không gian sống, tham số λ đo độ tăng trưởng củathú và hàm b(x) chỉ giới hạn tập trung của thú

Trạng thái dừng (ổn định qua thời gian) của (0.0.1) là nghiệmu = u(x)của phươngtrình elliptic sau, gọi là phương trình logistic

−∆u = λa(x)uα− b(x)uβ trong Ω, u = 0 trên ∂Ω. (0.0.2)

Vì sự quan trọng trong ứng dụng mà phương trình dạng (0.0.2) được các nhà Toánhọc từ nhiều quốc gia quan tâm nghiên cứu cho đến ngày nay

Với giả thiết a(x), b(x) là các hàm trơn, α < 1, α < β các nhà Toán học quan tâmnghiên cứu nghiệm cổ điển của (0.0.2) và đã nhận được khá đầy đủ thông tin vềi) Sự tồn tại, duy nhất nghiệm Sự tồn tại của nhiều nghiệm tùy theo giá trị củatham số λ

ii) Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi λ → 0 hoặc λ → ∞

iii) Sự phân nhánh nghiệm từ nghiệm θ hoặc tại ∞

Để mô tả chính xác hơn mô hình thực tế và cũng vì sự mở rộng thuần túy củatoán học mà sau này toán tử Laplace được thay bằng toán tử p – Laplace hoặc cáctoán tử vi phân tổng quát, tính chính quy của các hàma(x), b(x) cũng được giảm nhẹ,các tương quan giữaα, β, 1 khác với α < 1, α < β cũng được nghiên cứu

Khi giảm nhẹ tính chính quy của a(x), b(x) thì nghiệm cổ điển của (0.0.2) có thểkhông tồn tại và người ta quan tâm đến nghiệm yếu của phương trình Phần lớn cáckết quả theo hướng i), ii), iii) nêu trên cũng đúng cho nghiệm yếu

Để nhận được các kết quả này thì nhiều định lý lý thuyết và phương pháp cũkhông áp dụng được Các nhà Toán học đã chứng minh các kết quả lý thuyết mới vàđưa ra các phương pháp chỉnh sửa thích hợp.

Như vậy, việc mở rộng các dữ kiện tham gia trong phương trình không những chophép mô tả chính xác hơn các hiện tượng trong thực tế mà còn thúc đẩy sự pháttriển của Toán học lý thuyết

Luận án của chúng tôi khảo sát bốn lớp phương trình hoặc bất phương trình ellipticchứa số hạng phi tuyến dạng logistic sau

• Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm của ẩn hàm

• Bất phương trình biến phân dạng logistic

• Phương trình logistic chứa đạo hàm và số hạng Kirchhoff

• Hệ phương trình logistic

và sử dụng một phương pháp nghiên cứu thống nhất cho cả bốn bài toán Đó là sửdụng toán tử giải của một bài toán phụ để đưa bài toán được xét về một bài toánđiểm bất động, sau đó sử dụng các đánh giá nghiệm, các lý luận về thứ tự và bậc tô

pô trong nón để chứng minh sự tồn tại của một hoặc hai điểm bất động không tầmthường

0.1 Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm của

0

và p∗ = N −ppN , t0 là số mũliên hợp với t ∈ (1, ∞)

Tương tự như thuật ngữ dùng cho trường hợp p = 2, chúng tôi chia bài toán (0.1.3)

thành ba loại là (p − 1) - dưới tuyến tính, (p − 1) - tuyến tính và (p − 1) - trên tuyếntính, tương ứng với α < p − 1, α = p − 1 và α > p − 1 Cách phân loại này cũng đượcdùng cho ba bài toán sau.

Một số dạng đặc biệt của bài toán (0.1.3) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiêncứu, kể từ bài báo khởi đầu của M Gutin - R Mac Camy Khi f = a(x)uα, g = b(x)uβvới a(x), b(x) là các hàm liên tục trên Ω, bài toán (0.1.3) đã được nghiên cứu trong[21, 22, 28] khi p = 2 và trong [16, 23, 25, 51, 70, 71, 72] khi p 6= 2 Trường hợp hàmtrọnga(x), b(x)không bị chặn được xét đầu tiên trong [10, 42] và tiếp tục được nghiêncứu trong [26, 44, 47] Phương trình logistic suy rộng dạng (0.1.3) nhưng với hàm

f không phụ thuôc ∇u mới được xét gần đây trong [12, 48] Tiếp theo, các tác giảtrong [32, 33, 34, 35] xét bài toán với toán tử∆p được thay bằng toán tử div(a(∇u))

có thể không thuần nhất còn vế phải cũng không phụ thuộc ∇u Theo hiểu biết củachúng tôi, phương trình logistic suy rộng chứa∇umới được nghiên cứu trong [50, 67].Trong [50] các tác giả nghiên cứu bài toán

−∆pu = λu − up± |∇u|q trong Ω, u = 0 trên ∂Ω,còn trong [67] bài toán sau được xét

−∆pu = λf (x, u, ∇u) − a(x)g(u, ∇u) trong , u = 0 trên ∂Ω,trong đó f thoả mãn điều kiện

0 ≤ f (x, u, v) ≤ C0uα+ L|v|γvới C 0 , L là các hằng số, p − 1 < α < p(N −1)N −p , p − 1 < γ < pα+1α , còn hàm a(x) thoả mãnnhững điều kiện khá đặc biệt là tồn tại miền con Ω0 ⊂ Ω có biên thuộc lớp C2 saocho a(x) = 0, ∀x ∈ Ω0, a(x) > 0 trên Ω \ Ω0, a(x) = b(x)[d(x, ∂Ω0)]β với β > 0, b(x) > 0 làhàm liên tục trên một lân cận của ∂Ω0.

Các tác giả trong [10, 32, 33, 34, 35, 40, 42] đã sử dụng phương pháp biến phân,phương pháp này không áp dụng được khi nghiên cứu các phương trình với vế phảichứa∇u và các tác giả trong [50, 67] đã sử dụng phương pháp đánh giá tiên nghiệmkết hợp với Lý thuyết phân nhánh

Như vậy, hàm f mà chúng tôi xét trong (0.1.3) rộng hơn trong [50, 67] Hơn nữa,chúng tôi chứng minh được sự tồn tại ít nhất hai nghiệm không âm không tầm thườngtrong trường hợp(p − 1) - trên tuyến tính, trong khi các tác giả của [50, 67] chỉ chứngminh sự tồn tại của ít nhất một nghiệm

Để nghiên cứu bài toán (0.1.3) chúng tôi đã sử dụng toán tử giải của một bài toánbiên phụ để đưa bài toán (0.1.3) về bài toán điểm bất động và dùng lý thuyết bậc tô

pô trong nón để chứng minh các kết quả chính như sau về bài toán (0.1.3)

• Bài toán có một nghiệm không âm, không tầm thường cho mọi λ > 0 trongtrường hợp (p − 1) - dưới tuyến tính và mọi λ > λ0 trong trường hợp (p − 1) -tuyến tính

• Bài toán có ít nhất hai nghiệm không âm, không tầm thường trong trường hợp(p − 1) - trên tuyến tính khi λ đủ lớn.

Chú ý rằng để chứng minh sự tồn tại hai nghiệm chúng tôi đã sử dụng một dạng củađịnh lý Legget - Williams Định lý này được sử dụng nhiều trong nghiên cứu phươngtrình vi phân thường nhưng chúng tôi chưa thấy nó được sử dụng trong nghiên cứucác phương trình vi phân đạo hàm riêng

Kết quả về bài toán (0.1.3) đã được công bố trong [Q1]

0.2 Bất phương trình biến phân dạng logistic

Bài toán thứ hai được nghiên cứu trong luận án là xét sự tồn tại nghiệm không

âm, không tầm thường của bất phương trình biến phân (thường được gọi là bất đẳngthức biến phân) sau đâu



u ∈ K, g(x, u) ∈ L(p∗)0(Ω), f (x, u, ∇u) ∈ L(p∗)0(Ω), hAu, v − ui ≥RΩ[f (x, u, ∇u) − g(x, u)] (v − u)dx, ∀v ∈ K, (0.2.4)trong đóΩ là miền bị chặn có biên trơn trong RN; f, g là các hàm Caratheodory thoảmãn các điều kiện bổ sung, A là toán tử p - Laplace hAu, ϕi =R

Ω |∇u| p−2 ∇u · ∇ϕ, K

là nón các hàm không âm trong W01,p(Ω)

Bài toán (0.2.4) là sự mở rộng tự nhiên của phương trình logistic suy rộng (0.1.3).Bài toán bất đẳng thức biến phân được Hartman và Stampachia giới thiệu đầu tiênvào năm 1966 Các nghiên cứu ban đầu về bất đẳng thức biến phân liên quan đến bàitoán biến phân, bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng, bài toán điều khiển

và tối ưu Sau khi M I Smith và Defermos vào các năm 1979, 1980 chỉ ra rằng bấtđẳng thức biến phân có thể ứng dụng để giải bài toán cân bằng giao thông thì chúngcàng nhận được sự quan tâm nghiên cứu và trở thành công cụ hữu hiệu để giải cácbài toán kinh tế, vận tải, Lý thuyết trò chơi, Các bất đẳng thức biến phân chophương trình đạo hàm riêng thường được xét ở dạng: tìm hàm u thoả mãn



u ∈ K ∩ L∞(Ω), f (x, u, ∇u) ∈ L1(Ω), uf (x, u, ∇u) ∈ L1(Ω) hAu − z, v − ui ≥R

Ω f (x, u, ∇u)(v − u)dx, ∀v ∈ K ∩ L∞(Ω),trong đóK là một tập lồi của W01,p(Ω) Để nghiên cứu chúng các nhà toán học đã sửdụng các phương pháp điểm bất động, nghiệm dưới (trên), bậc tô pô, phương phápxấp xỉ, và đã thu được các kết quả đa dạng về tồn tại nghiệm, phân nhánh nghiệm,chính quy hoá nghiệm (xem [9, 15, 52, 68] và các kết quả gần đây trong [6, 61, 62, 63]

Với các giả thiết mà chúng tôi đặt lên hàmf và g thì bài toán (0.2.4) đã có nghiệm

u = θ Điểm khó trong nghiên cứu (0.2.4) là tìm nghiệm u ≥ θ, u 6= θ.

Dạng đặc biệt của (0.2.4) khi vế phải không chứa đạo hàm ∇u và có các tính chấtđặc biệt về tính đơn điệu, đã được nghiên cứu trong [45] Các tác giả trong [45] xét

bài toán sau



u ∈ K, F (x, u, u) ∈ L(p∗)0(Ω), hAu, v − ui ≥RΩF (x, u, u)(v − u)dx, ∀v ∈ K, (0.2.5)trong đó F là hàm tăng theo biến thứ hai, giảm theo biến thứ ba Vì có thể viết

F (x, u, u) = F (x, u, u) + F (x, u, 0) − F (x, u, 0) nên (0.2.5) có dạng (0.2.4) với g(x, u) =

F (x, u, 0) là hàm tăng

Các tác giả đã sử dụng một kết quả trong [9] để xây dựng toán tử giải cho mộtbất đẳng thức biến phân phụ để đưa (0.2.5) về bài toán điểm bất động Sau đó xâydựng nghiệm dưới và sử dụng một định lý điểm bất động của ánh xạ tăng để chứngminh sự tồn tại của nghiệm không tầm thường

Trong luận án chúng tôi cũng áp dụng phương pháp của [45] để đưa (0.2.4) về bàitoán điểm bất động, nhưng áp dụng công cụ bậc tô pô trong nón kết hợp với việcđánh giá nghiệm và lý luận về thứ tự để thu được nghiệm không tầm thường Cáckết quả chính về bài toán (0.2.4) là

• Chứng minh bài toán có nghiệm không tầm thường trong trường hợp (p − 1)dưới tuyến tính

-• Trong trường hợp (p − 1)- tuyến tính bài toán có nghiệm không tầm thường khi

λ 0 < 1 trong đó λ 0 là giá trị riêng chính của toán tử ∆ p với hàm trọng được xácđịnh trong bài toán

0.3 Phương trình logistic chứa đạo hàm và số hạng

trường hợp g ≡ 0, f không phụ thuộc ∇u và M (x, t) = a + btη với a, b là các hằng sốdương (ta gọi số hạng Kirchhoff M là thuần nhất trong trường hợp này) Khi đó bàitoán có thể nghiên cứu bằng phương pháp biến phân.

Trường hợp số hạng Kirchhoff M phụ thuộc biến x hoặc vế phải của phương trình

có chứa∇u mới được nghiên cứu gần đây trong [3, 30] Các tác giả của [3] xét (0.3.6)với p = 2, M = M (x, t) liên tục, tăng theo biến thứ hai, g = 0 và f = λuα+ uβ+ µ|∇u|γvớiλ, µđủ nhỏ hoặc f = Auα(B − u) + |v|γ, 0 ≤ u ≤ B và sử dụng phương pháp nghiệmtrên, nghiệm dưới Các tác giả của [30] sử dụng bậc tô pô để nghiên cứu bài toán

−(a(x) + b(x)kuk2)∆u = λuq trong Ω, u = 0 trên ∂Ω,với q ∈ (0, 1], a(x) ≥ a0> 0, b(x) ≥ 0 là các hàm liên tục Họ đã chỉ ra một hiện tượngmới trong nghiên cứu các phương trình chứa số hạng Kirchhoff Đó là khi q = 1 vàmin b(x) > 0 thì bài toán có nghiệm với mọi λ ∈ (λ 0 , ∞), còn nếu int{x ∈ Ω, b(x) = 0}

là một miền con chính quy củaΩ thì bài toán chỉ có nghiệm khiλ ∈ (λ 0 , λ 1 )với λ 0 , λ 1

là các hằng số được xác định từ bài toán

Nghiên cứu của luận án về bài toán (0.3.6) đã mở rộng các bài toán được xét trong[3, 30] khi xét toán tử p- Laplace thay cho toán tử Laplace, xét trường hợp g 6= 0, f

có dạng tổng quát hơn và xét cả trường hợp số hạng Kirchhoff M có dạng tổng quáthoặc có dạng đặc biệt Sử dụng phương pháp nghiên cứu như ở bài toán về phươngtrình logistic suy rộng, luận án đã thu được các kết quả chính như sau

• Trong trường hợp số hạng Kirchhoff M có dạng tổng quát và hàm f là (p − 1)dưới tuyến tính thì bài toán có nghiệm với mọi λ > 0

-• Khi M (x, t) = a(x) + b(x)tη với b(x) không suy biến thì bài toán có nghiệm vớimọiλ > 0 nếuf là (p − 1)- dưới tuyến tính và bài toán có nghiệm với mọiλ > λ1khi hàm f là (p − 1)- tuyến tính

• Khi M (x, t) = a(x) + b(x)tη với b(x) suy biến và hàmf là hàm(p − 1)- tuyến tínhthì bài toán có nghiệm khi λ ∈ (λ1, λ2), không có nghiệm khi λ > λ2+ σ

Các hằng số λ1, λ2, σ được xác định rõ từ dữ liệu của bài toán

Đặc biệt, khi g = 0 thì σ = 0 và ta nhận lại được một phần kết quả về tồn tại vàkhông tồn tại nghiệm trong [30]

Kết quả về bài toán này đã được công bố trong [Q2]

trong đó u, v là các ẩn hàm không âm, không bằng hằng số 0, Ω là miền bị chặn

có biên trơn trong RN, ∆ p là toán tử p - Laplace với 1 < p < N, fi, gi là các hàmCaratheodory thỏa mãn thêm một số điều kiện

Bên cạnh việc nghiên cứu các phương trình logistic mô tả sự tăng trưởng của mộtloài, các nhà Toán học còn quan tâm nghiên cứu các hệ phương trình logistic mô tả

sự cùng tồn tại của hai loài trong cùng một không gian sống (xem [5, 8, 14, 18, 20,

36, 37, 41, 65, 76] và các tài liệu tham khảo trong đó) Có ba mô hình chính mô tả

sự cùng tồn tại của hai loài, đó là

Như vậy bài toán (0.4.7) của chúng tôi là sự mở rộng của mô hình cộng sinh Bàitoán này đã được nghiên cứu trong [20] với p = r = 2 và q = s = 1 Các tác giả trong[76] đã mở rộng các kết quả của [20] và xét hệ



−∆ p u = λ|u|p−2u + b(x)|u|p−2uv − f (u),

−∆qv = µ|v|q−2v + c(x)|v|q−2vu − g(v), (0.4.11)trong đóa(x), b(x) là các hàm dương liên tục, các hàm f, g thuộc lớpC1[0, ∞) là tăng,

f (0) = g(0) = 0và các hàm F (s) = sf (s)p−1 , G(s) = sg(s)p−1 tăng ngặt trên [0, ∞), thỏa mãn

k1s ≤ F (s) ≤ k1s + M, k2s ≤ G(s) ≤ k2s + Mvới k1, k2, M là các hằng số dương

Các tính chất tốt của các hàm tham gia trong các hệ (0.4.8) - (0.4.11) cho phépnghiên cứu sâu hơn các tính chất nghiệm của hệ như sự tồn tại, duy nhất nghiệm, sựphân nhánh nghiệm từ các nghiệm nửa tầm thường; xây dựng nghiệm dưới (trên).Trong nghiên cứu hệ (0.4.7) chúng tôi đặt các điều kiện lên các hàm f i , g i (i = 1, 2)nhẹ hơn và chỉ xét sự tồn tại một hoặc hai nghiệm với phương pháp nghiên cứu củacác bài toán trước

Phương pháp này cũng có thể áp dụng để nghiên cứu trường hợp phương trìnhthứ hai của hệ (0.4.7) thay bởi −∆ v = µf (x, v, u) − g (x, v) cũng như nghiên cứu

các trường hợp mở rộng của các hệ (0.4.8), (0.4.9) Ngoài ra một số hệ phương trìnhelliptic xét trong [1, 2, 16, 17, 46, 59, 66] cũng có thể nghiên cứu theo phương phápcủa chúng tôi Ví dụ, hệ xét trong [1]



−∆u = λ[g(x)a(u) + f (v)],

−∆v = λ[g(x)b(v) + h(u)], (0.4.12)với g(x) có dấu thay đổi, có thể đưa về dạng (0.4.7) như sau



−∆u = λ[g + (x)a(u) + f (v) − g−(x)a(u)],

−∆v = λ[g + (x)b(v) + h(u) − g−(x)b(v)], (0.4.13)trong đó g±(x) = max{0, ±g(x)}

Chúng tôi thu được các kết quả sau

• Trong trường hợp (p − 1) - dưới tuyến tính hệ có nghiệm với mọi λ > 0,

• Trong trường hợp (p − 1)- tuyến tính hệ có nghiệm khi λ > λ 0 với λ 0 được xácđịnh từ dữ liệu của hệ,

• Trong trường hợp (p − 1)- trên tuyến tính hệ có hai nghiệm với mọi λ đủ lớn.Một phần kết quả chương này đã được công bố trong [Q3]

Chương 1

MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN THIẾT

1.1 Không gian Banach có thứ tự, bậc tô pô trong nón

Cho E là một không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K ⊂ E, nghĩa là, K làmột tập lồi đóng sao cho λK ⊂ K với mọi λ ≥ 0, K ∩ (−K) = {θ} và thứ tự trên Eđược định nghĩa bởi x ≤ y nếu y − x ∈ K Khi đó cặp (E, K) được gọi là một khônggian Banach có thứ tự

Giả sử Dlà một tập con bị chặn, mở tương đối trongK và F : D → K là một toán

tử compact sao choF (u) 6= u, ∀u ∈ ∂D, khi đó bậc i(F, D, K)của F trên D tương ứngvới K được xác định Bậc này có tất cả các tính chất của bậc Leray - Schauder (xeme.g [31]) Nói riêng, ta có các kết quả sau về tính bậc

Mệnh đề 1.1.1 Giả sửDlà một tập con bị chặn, mở tương đối trongKvàF : D → K

là một toán tử compact thỏa mãn F (u) 6= u, ∀u ∈ ∂D

1 Nếu tồn tại u0 ∈ D sao cho

F (u) − u 6= t(u − u0), ∀t > 0, ∀u ∈ ∂D, (1.1.1)thì i(F, D, K) = 1

2 Nếu tồn tại u0 ∈ K \ {θ} sao cho

u 6= F (u) + tu0, ∀t > 0, ∀u ∈ ∂D,thì i(F, D, K) = 0.

Mệnh đề 1.1.2 Choϕ : K →R là một hàm lõm liên tục vàu0 ∈ D = {u ∈ K : kuk <

r, ϕ(u) > a} Giả sử rằng toán tử F : D → K là compact, F (u) 6= u, ∀u ∈ ∂D và thỏamãn các điều kiện sau

i) F (u) − u 6= t(u − u0), ∀t > 0, ∀u ∈ ∂D với kuk = r,

ii) nếu u ∈ ∂D và ϕ(u) = a, thì ϕ(F (u)) > a.

Khi đó, i(F, D, K) = 1.

Chứng minh Ta chứng minh điều kiện (1.1.1) được thỏa Thật vậy, từ

∂D ⊂ {u ∈ D : ϕ(u) = a, kuk ≤ r} ∪ {u ∈ D : ϕ(u) ≥ a, kuk = r}

và điều kiện i), ta chỉ cần chỉ ra (1.1.1) được thỏa với u thỏa mãn ϕ(u) = a, kuk ≤ r.Giả sử ngược lại rằngF (u) − u = t(u − u0)với t > 0nào đó và với một uthỏa ϕ(u) = a.Lưu ý rằng

ta có mâu thuẫn Do đó, i(F, D, K) = 1 theo Mệnh đề 1.1.1

Mệnh đề 1.1.3 Cho(E, K)và (E1, K1) là những không gian Banach với thứ tự sinhbởi nón K, K1 và N : K → K1 là một toán tử liên tục, bị chặn, P : K1 → K là mộttoán tử compact, P (θ) = θ Cho D ⊂ E là một tập con mở bị chặn chứa θ

1 Nếu u 6= P [tN (u)], ∀t ∈ [0, 1], ∀u ∈ ∂D ∩ K, thì i(P ◦ N, D, K) = 1.

2 Nếu tồn tại một phần tử u0 ∈ K1\ {θ} sao cho

u 6= P [N (u) + λu 0 ], ∀λ ≥ 0, ∀u ∈ ∂D ∩ K

và giả sử thêm rằng nếu sn → ∞ và hn → u0, thì

lim

n→∞ kP (snhn)k = ∞. (1.1.2)Khi đó i(P ◦ N, D, K) = 0

Lưu ý rằng ta sử dụng ký hiệui(P ◦ N, D, K) thay cho i(P ◦ N, D ∩ K, K)

Thật vậy, bằng phản chứng ta có thể giả sử có{tn} ⊂ [0, 1], {un} ⊂ ∂D ∩ K và λn → ∞sao cho

Do (1.1.3) và do tính bị chặn của P ta có thể giả sử limn→∞un = u ∈ ∂D ∩ K Cho

n → ∞ trong (1.1.3) ta được u = P [N (u) + λ0u0] Điều này mâu thuẫn, từ đó ta cóđiều phải chứng minh

Mệnh đề 1.1.4 Cho u0 ∈ intK và hàm ϕ : E →R xác định bởi ϕ(u) = sup{t ∈R :

u ≥ tu0} Khi đó ϕ là lõm, liên tục và ϕ(u) ≥ 0 nếu u ≥ θ.

Chứng minh Do u0 ∈ intK, tập hợp {t ∈ R : u ≥ tu0} là khác rỗng, bị chặn trên vàđóng với mọi u ∈ E Do đó, hàm ϕ được xác định và u ≥ ϕ(u)u0, u ∈ E Với u, v ∈

E, α ∈ [0, 1], ta cóαu + (1 − α)v ≥ [αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v)] u 0 và do đó ϕ [αu + (1 − α)v] ≥ αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v) theo định nghĩa của ϕ hay ϕ là hàm lõm

Xét tùy ý ε > 0 Do εu0 ∈ intK, tồn tại δ > 0 sao cho B(εu0, δ) ⊂ K Nếu ku − vk < δ,thì ta có εu0± (u − v) ∈ B(εu0, δ) và

u ≥ v − εu0 ≥ (ϕ(v) − ε) u0, v ≥ (ϕ(u) − ε)u0,

từ đây, kết hợp với định nghĩa của ϕ, dẫn đến |ϕ(u) − ϕ(v)| < ε Do đó, hàm ϕ là liêntục đều

Mệnh đề 1.1.5 Cho E là một không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và

x ∈ K, u / ∈ −K Khi đó, tồn tại sốtx≥ 0 sao chox ≥ txuvà nếut ≥ 0, u ≥ tu thì t ≤ tx

|∇u|p−2∇u · ∇ϕ, ∀u, ϕ ∈ W01,p(Ω).

Khi đó A có các tính chất sau (xem [15, 27])

Mệnh đề 1.2.1 1 Ánh xạ A : W01,p(Ω) → W−1,p0(Ω) là liên tục và thuộc lớp S+,nghĩa là, với mọi dãy{u n } ⊂ W01,p(Ω)sao cho{u n } hội tụ yếu về u và lim sup

3 Toán tử nghịch đảo A−1 là compact từ L∞(Ω) vào C01(Ω).

Trong suốt luận án này chúng tôi luôn ký hiệu A là toán tử p-Laplace được địnhnghĩa như trên

1.3 Giá trị riêng chính và hàm riêng

Ta vẫn ký hiệu K là nón các hàm không âm trong W01,p(Ω) Cho m ∈ LNp (Ω), m ≥

θ, m 6≡ θ ta xét bài toán sau

λ0 thì u ∈ intC01(Ω) = {u ∈ C+ : u(x) > 0 với mọi x ∈ Ω và ∂u∂n(x) < 0 với mọi x ∈ ∂Ω}.Mọi hàm riêng u ứng với giá trị riêng λ 6= λ 0 thì nhất thiết đổi dấu

Mệnh đề sau được chứng minh cho miền Ω bị chặn, người đọc có thể xem chứngminh mệnh đề trên cho trường hợp miền Ω không bị chặn trong [43]

Mệnh đề 1.3.1 Giả sử rằngλ0 là giá trị riêng chính của bài toán

không có nghiệm không âm u ≥ θ nếu λ > λ0.

Chứng minh Bằng phản chứng giả sử rằng w ∈ K là nghiệm của (1.3.6) Do λ > λ 0

và v0 ≥ θ nên w là một nghiệm trên của bài toán



−∆pu = λ0m(x)|u|p−2u + v0 trong Ω,

Dễ thấy u = θ là một nghiệm dưới của bài toán (1.3.7) Do đó, bài toán (1.3.7) cónghiệm u (xem [26]) thỏa θ ≤ u ≤ w Theo định lý về tính chính quy phi tuyến (xem[64, pp 311 -312]) ta suy ra u ∈ C01(Ω) Theo nguyên lý cực đại mạnh của Vázquez[73] ta đượcu ∈ int(C + ) Gọiu 0 là hàm riêng tương ứng với giá trị riêng chính λ 0 củabài toán (1.3.5) Theo bất đẳng thức Díaz - Saa [23, Lemma 2] thì

Cho t tiến đến vô cùng ta được v0

u p−1 = θ, điều này mâu thuẫn với giả thiết về v0

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC SUY RỘNG CHỨA ĐẠO HÀM

2.1 Giới thiệu bài toán

Trong chương này ta xét bài toán Dirichlet sau đây

t0 ∈ (1, ∞) là số mũ liên hợp với t ∈ (1, ∞) xác định bởi 1t + t10 = 1 Với từng giá trị

mũα, phương trình (2.1.1) với điều kiện (f) được chia thành ba loại: dưới tuyến tính(sub-diffusive), tuyến tính (equi-diffusive) và trên tuyến tính (super-diffusive) tươngứng với α < p − 1, α = p − 1 và α > p − 1

Phương trình dạng này tương ứng với p = 2, f (x, u, v) = a(x)uα, g(x, u) = b(x)uβtrong đó 1 < α < β nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu và cócác ứng dụng rộng rãi trong mô hình hóa quá trình sinh trưởng, phân tán của loài.Người đọc có thể tìm hiểu thêm qua các tài liệu tham khảo sau [12, 21, 22, 25, 26,

32, 33, 35, 40, 44, 48, 49, 51, 70, 71, 72]

Gần đây, phương trình −∆ p u = λf (x, u) − g(x, u) được nghiên cứu trong các côngtrình [12, 48] cho trường hợp trên tuyến tính Bằng phương pháp biến phân, các tácgiả chứng minh được tồn tại một số λ∗ > 0 để phương trình có ít nhất hai nghiệm

với λ > λ∗, có nghiệm với λ = λ∗, và vô nghiệm với λ < λ∗ Các kết quả tương tự chotrường hợp toán tử p-Laplace được thay bằng toán tử vi phân không thuần nhất diva(∇u) được nghiên cứu trong [32, 33, 34, 35].

Trong chương này, bằng phương pháp bậc tôpô và các lý luận sử dụng thứ tự, tanhận được các kết quả sau về sự tồn tại và nhiều nghiệm của phương trình (2.1.1)

1 phương trình có ít nhất một nghiệm với mọi λ > 0 trong trường hợp dưới tuyếntính và với λ > λ0 trong trường hợp tuyến tính, trong đó λ0 là giá trị riêng chínhtương ứng với bài toán giá trị riêng có trọng

2 phương trình có ít nhất hai nghiệm không âm trong trường hợp trên tuyến tínhvới giá trị λ đủ lớn

Lưu ý rằng trong [12, 48], các tác giả nhận được sự tồn tại nghiệm trong trườnghợp trên tuyến tính với hàm phi tuyếnf chỉ phụ thuộc vào x và u Như vậy, bài toánđang xét là tổng quát hơn và kết quả về sự tồn tại nghiệm được chứng minh cho cả

ba trường hợp: dưới tuyến tính, tuyến tính và trên tuyến tính

Phương trình (2.1.1) với hàm phi tuyến f có chứa đạo hàm ∇ cũng được nghiêncứu trong [50, 67] Tuy nhiên, điều kiện đặt lên hàm f trong bài toán chúng tôi đangxét là nhẹ hơn Hơn nữa, trong các công trình [50, 67] chỉ chứng minh được sự tồntại nghiệm, việc chứng minh bài toán tồn tại nhiều nghiệm không được đề cập đếntrong các nghiên cứu trên

2.1.1 Phương trình logistic dạng tổng quát; Đưa phương trình về

bài toán điểm bất động

ChoΩ ⊂RN là một miền bị chặn với biên trơn, 1 < p < N Ta ký hiệu chuẩn trong

W01,p(Ω) và Lt(Ω) bởi k.k và k.kt một cách tương ứng Trong các không gian này tađịnh nghĩa nón K là tập các hàm không âm Để đưa bài toán giá trị biên (2.1.1) vềbài toán điểm bất động trong không gian Banach có thứ tự, ta cần kết quả sau đượcđưa ra bởi Brezis-Browder [11]

Định lý 2.1.1 Giả sử rằng g : Ω ×R−→R là một hàm Caratheodory thỏa mãn cácđiều kiện sau

1 g(x, 0) = 0, u 7−→ g(x, u) là một hàm tăng với x ∈ Ω hầu khắp nơi;

2 Với mỗi t > 0 tồn tại hàm ϕ t ∈ L 1 (Ω) sao cho sup

với mọi ϕ ∈ C0∞(Ω) và với ϕ = u Hơn nữa, nếu h ≥ θ thì u ≥ θ và nếu u1, u2 là hainghiệm tương ứng với h 1 , h 2, thì

Ω

[g(x, u1) − g(x, u2)] (u1− u2) = hh1− h2, u1− u2i, (2.1.3)

trong đó tích h., i là tích đối ngẫu của W−1,p0(Ω) và W01,p(Ω)

Mệnh đề 2.1.2 Giả sử hàm Caratheodory g : Ω ×R → R thỏa mãn các điều kiệnsau:

(g1) g(x, 0) = 0, và g(x, u) là các hàm tăng đối với biến u với x ∈ Ω hầu khắp nơi;(g2) Tồn tạia ∈R+, 0 < β < p∗− 1và b ∈ L(β+1)0(Ω) sao cho |g(x, u)|6a|u|β+ b(x) với(x, u) ∈ Ω ×R.

Khi đó, với mỗi h ∈ W−1,p0(Ω), tồn tại duy nhất hàm u ∈ W01,p(Ω) sao cho g(x, u) ∈

L(p∗)0(Ω), ug(x, u) ∈ L1(Ω) và (2.1.2) được thỏa với mọi ϕ ∈ W01,p(Ω).

Chứng minh Dễ thấy rằng các điều kiện của Định lý 2.1.1 được thỏa Gọiu ∈ W01,p(Ω)

là hàm duy nhất thỏa (2.1.2) với mọi ϕ ∈ C0∞(Ω) Từ điều kiện (g2) và u ∈ Lp∗(Ω) ta

có g(x, u) ∈ L(p∗)0(Ω) Do đó, (2.1.2) được thỏa với mọi ϕ ∈ W01,p(Ω) do tính trù mậtcủaC0∞(Ω) trong W01,p(Ω).

Định nghĩa 2.1.3 Cho f : Ω ×R×RN → R là một hàm Caratheodory, nghĩa là,

f (·, u, v) là hàm đo được với mọi (u, v) ∈R×RN và f (x, ·, ·) là hàm liên tục với x ∈ Ωhầu khắp nơi Hàmu ∈ W01,p(Ω) được gọi là một nghiệm yếu của bài toán biên

3 Nếu δ > (p∗)0, thì P là toán tử compact từ Lδ(Ω) vào W01,p(Ω).

4 Giả sử thêm rằng g liên tục trên Ω ×R Khi đó P là toán tử compact từ L∞(Ω)vào C01(Ω).

kukp 6hh, ui ≤ kuk.khkW−1,p0 ,điều này dẫn đến

kuk6khk

1 p−1

Từ điều kiện(g2)ta cóβ(p∗)0 < p∗ và tồn tại số thựcγ sao chomax{β(p∗)0, 1} < γ < p∗

Do ánh xạ Nemytskii N g : u 7→ g(x, u(x)) liên tục từ Lγ(Ω) vào Lγβ (Ω), ta được

lim

n→∞ g(x, un) = g(x, u) trong L(p∗)0(Ω) và W−1,p0(Ω). (2.1.5)Hơn nữa, từ (2.1.4), (2.1.5) và

và sử dụng (2.1.5) dễ thấy rằng (2.1.6) được thỏa nếu thay un bởi u và hn bởi h Do

đó, u = P (h)

3 Do phép nhúng W01,p(Ω) ,→ Lγ(Ω) là compact khi γ < p∗, nên phép nhúng Lδ(Ω) ,→

W−1,p0(Ω) là compact khi δ > (p∗)0 Mặt khác, do P : W−1,p0(Ω) → W01,p(Ω) liên tục tasuy ra P : Lδ(Ω) → W01,p(Ω) là compact khi δ > (p∗)0

4 Giả sử hn → h trong L∞(Ω) Ta cần chứng minh có dãy con của dãy un = P (hn) hội

tụ đến P (h) Thật vậy, do định nghĩa của un ta có

un = A−1[hn− g(x, un)]. (2.1.7)

Ta biết rằng nếu h ∈ Lδ(Ω) với δ > Np, thì P (h) ∈ W01,p(Ω) ∩ L∞(Ω) (xem [26, Mệnh

đề 2.1]) Hơn nữa, trong chứng minh đó cũng chỉ ra đánh giá là đều đối với khkδ

Từ chứng minh trong phát biểu 2, ta có kP (h)k p ∗ ≤ Ckhk

1 p−1

δ Áp dụng lý luận trong[26, chứng minh Mệnh đề 2.1] ta được P là toán tử bị chặn từ Lδ(Ω) đến L∞(Ω) Do(2.1.7) và do A−1 : L∞(Ω) → C01(Ω) compact, ta có thể giả sử rằng {un} hội tụ đến vnào đó trong C01(Ω) Khi đó hn − g(x, un) → h − g(x, v) trong L∞(Ω) và do (2.1.7) tađược v = A−1[h − g(x, v)] Do đó, v = P (h)

Lý luận tương tự ta được nếu {hn} ⊂ L∞(Ω) là dãy bị chặn thì dãy un = P (hn) cũng

có dãy con hội tụ trong C01(Ω)

5 Nếu dãy un = P (tnhn) bị chặn, có thể giả sử dãy đó thỏa (2.1.4), (2.1.5) Khi đó từđẳng thức

hA(t

1 1−p

n u n ), ϕi + 1

tnZ

u ∈ Lp∗(Ω), v ∈ Lp(Ω) =⇒ g(., u, v) ∈ Lδ(Ω), (2.1.8)

với δ ∈ (1, ∞) nào đó Khi đó, toán tử Nemytskii Nf liên tục từ W01,p(Ω) vào

Lδ(Ω)

2 Giả sử hàm f thỏa

(f ) |f (x, u, v)|6m(x)|u|α+ c|v|γ,

trong đó α < p∗− 1, γ < (pp∗ ) 0 và m ∈ Lq(Ω) với q > ( p

∗

1+α )0.Khi đó toán tử Nemytskii Nf liên tục và bị chặn từ W01,p(Ω) vào Lδ(Ω) với

Xét dãy con nếu cần thiết, ta có thể giả sử un → u0 hầu khắp nơi trong Ω và

∇un → ∇u0 hầu khắp nơi trong Ω, và tồn tại u ∈ Lp∗(Ω) và v ∈ Lp(Ω), sao cho

|u n (x)|6u(x), |∇u n (x)|6v(x) hầu khắp nơi trong Ω.

Khi đó, ta có Nf(un) → Nf(u0) hầu khắp nơi trong Ω và |Nf(un)| 6 g(x, u(x), v(x)) ∈

Lδ(Ω) Theo định lý hội tụ bị chặn ta được Nf(un) → Nf(u0) trong Lδ(Ω)

2 Với u ∈ Lp∗(Ω), v ∈ Lp(Ω), u, v ≥ 0, ta có

m(x)uα ∈ L qα+p∗qp∗ (Ω), vγ ∈ L γp(Ω),

từ đó suy ram(x)uα+ vγ ∈ Lδ(Ω) Từ khẳng định trên ta có toán tử Nf liên tục Tính

bị chặn của Nf được suy ra từ

≤ c kmk q kukααq0 + k∇ukγp
≤ c (kmk q kukα+ kukγ)

Hệ quả sau được suy ra trực tiếp từ các Mệnh đề 2.1.4, 2.1.5

2.2.1 Trường hợp dưới tuyến tính và tuyến tính

Trong chương này, ta áp dụng Mệnh đề 1.1.1 và 1.1.3 vớiK là nón các hàm không

âm trong W01,p(Ω) để chứng minh sự tồn tại nghiệm không âm của bài toán (2.1.1).Định lý 2.2.1 Giả sử hàm Caratheodory g : Ω ×R+ →R+ thỏa mãn các điều kiện(g1), (g2) được nói đến trong mục 1.1, và hàm Caratheodory f : Ω ×R+×RN → Rthỏa các điều kiện sau:

(H1) 0 ≤ f (x, u, v) ≤ m(x)uα+ c|v|γ, trong đó α < p − 1, m(x) ∈ Lq(Ω) với q > ( p

Chứng minh Để thuận tiện về mặt ký hiệu ta coi λ = 1và viết N (u) thay vì λNf(u)

Ta chia chứng minh thành 3 bước

Bước 1 Ta chứng minh tồn tại R đủ lớn để

u 6= P [tN (u)], ∀t ∈ [0, 1], ∀u>θ, kuk = R.

Nếu khẳng định trên không đúng, ta tìm được các dãy{tn} ⊂ [0, 1]vàun >θ, kunk → ∞sao cho un = P [tnN (un)], nghĩa là,

điều này mâu thuẫn với kunk → ∞ và 1 + α < p, t < p.

Giả sử điều kiện (b) trong (H1) được thỏa Áp dụng bất đẳng thức Young ta được

b(x)u n + |∇u n |γu n 6C(ε)|∇u n |γ(β+1)0 + εuβ+1n + C(ε)(b(x))(β+1)0,

điều này cùng với (2.2.10) dẫn đến

kunkp+ a1kunkβ+1β+1≤ kmkqkunk(1+α)(1+α)q0 + εkunkβ+1β+1+ C(ε)kunkγ(β+1)0 + C. (2.2.12)

Do dó

kunkp 6Ckunk1+α+ kunkγ(β+1)0 + 1,điều này mâu thuẫn với (1 + α) < p, γ(β + 1)0< p và ku n k → ∞

Bước 2 Ta chứng minh tồn tại một số r > 0 đủ nhỏ sao cho

u 6= P [N (u)] + tu0, ∀t > 0, ∀u ≥ θ, kuk = r, (2.2.13)trong đó hàm u0 được xác định như dưới đây Trước hết, gọi u là hàm riêng dươngtương ứng với giá trị riêng chính λ0 của bài toán

∆pu(x) = λ|u|p−2u trong Ω0, u(x) = 0, trên ∂Ω0.Tiếp theo đặt u 0 = cu trong Ω 0 , u 0 = 0 trong Ω \ Ω 0, với c là một hằng số dương đủnhỏ Ta có khẳng định sau (xem [10])

Lấy ϕ = (tσu0− v)+ trong (2.2.14), (2.2.16) dễ dàng có

hA(tσu0) − Av, (tσu0− v)+i ≤

Z

Ω 1[λ0tσ(p−1)uα0 + g(x, v) − f1(x, tu0)](tσu0− v),

(2.2.17)

với Ω 1 = {tσu 0 ≥ v} Đặt h = [λ 0 tσ(p−1)uα0 + g(x, v) − f 1 (x, tu 0 )](tσu 0 − v) Ta có h ≤ 0trong Ω 1 \ Ω 0 Mặt khác trong Ω 1 ∩ Ω 0, ta cũng có

h ≤ [λ0tσ(p−1)uα0 − m1(tu0)α+ m2(tσu0)α+ε](tσu0− v)

= (tu0)αhλ0tσ(p−1)−α− m1+ m2tσ(α+ε)−αuε0i(tσu0− v).

Do tính bị chặn của u 0, nên h ≤ 0 trong Ω 1 với t đủ nhỏ

Do đó, hA(tσu 0 ) − Av, (tσu 0 − v)+i ≤ 0 hay tσu 0 ≤ v

Ta chứng minh (2.2.13) như sau Giả sử trái lại, có các dãytn > 0, un ≥ θ, kunk → 0sao cho

Từ định nghĩa của sn, suy ra sσn ≤ sn điều này vô lý vì σ < 1, sn → 0

Bước 3 Từ Bước 1, 2 và Mệnh đề 1.1.3 ta được

i(P ◦ N, B(θ, R), K) = 1, với R đủ lớn,và

Gọi λ0 là giá trị riêng chính của bài toán

−∆pu = λm1(x)|u|p−2u trong Ω, u = 0 trên ∂Ω.

Khi đó, với mọi λ > λ0 bài toán (2.1.1) có ít nhất một nghiệm không âm không tầmthường

Chứng minh Ta vẫn ký hiệu N (u) = λNf(u) và chia chứng minh thành 3 bước.Bước 1 Ta chứng minh với R đủ lớn thì

u 6= P [tN (u)], ∀t ∈ [0, 1], ∀u>θ, kuk = R.

Giả sử ngược lại, có thể tìm được các dãy {tn} ⊂ [0, 1] và un > θ, kunk → ∞ thỏa(2.2.9) Lặp lại lý luận trong Bước 1 của chứng minh của Định lý 2.2.1, ta suy ra(2.2.12) với α + 1 = p Vì γ(1 + β)0< p và kunk → ∞ nên

kunkp+ kunk1+β1+β ≤ Ckunkppq0 (2.2.19)Nếu pq0 ≤ β + 1 thì

kunkp+ kunkβ+1β+1 ≤ Ckunkpβ+1. (2.2.20)

Từ (2.2.20) ta phải có ku n kβ+1 → ∞ và điều này mâu thẫn với p < β + 1

Xét trường hợp pq0 > β + 1 Theo giả thiết (H4) dễ dàng suy ra pq0< p∗ Áp dụngbất đẳng thức nội suy, ta có

ku n k pq 0 ≤ Cku n kθp∗ ku n k1−θβ+1 ≤ Cku n kθku n k1−θβ+1, (2.2.21)với θ ∈ (0, 1) xác định bởi

pq 0 ,

kết hợp với (2.2.21) thì

kunkpq0 ≤ Ckunkθ+(1−θ)

p β+1

pq 0 Lưu ý rằng p < 1 + β, ta gặp mâu thuẫn với kunkpq0 → ∞ và θ + (1 − θ)β+1p < 1.Bước 2 Ta chứng minh rằng với r > 0 đủ nhỏ thì

u 6= P [N (u) + tϕ1], ∀t > 0, ∀u ≥ θ, kuk = r,trong đó ϕ 1 = λ 0 m 1 (x)ϕp−10 và ϕ 0 là hàm riêng tương ứng với giá trị riêng chính λ 0.Giả sử trái lại, có thể tìm được tn > 0, un ≥ θ, kunk → 0 sao cho un = P [N (un) + tnϕ1],nói cách khác ta có

ku n k p−1

o

và có thể giả sử dãy đó hội tụ đến t0 nào đó

Chọn ϕ = zn − z trong (2.2.22), từ (2.2.24), (2.2.25) và zn − z → θ trong Lδ0(Ω), tađược limn→∞hAzn, zn − zi = 0 Do đó, zn → z 6= θ trong W01,p(Ω) Vì zn → z trong

Lp∗(Ω) và ∇zn → ∇z trong (Lp)N(Ω), ta có thể coi zn → z, ∇zn → ∇z hầu khắp nơitrong Ω và |zn| ≤ z0 ∈ Lp∗(Ω), |∇zn| ≤ v0∈ Lp(Ω) Khi đó, ta được

p−11(−∆p)−1(λ0m1(x)ϕp−10 )

= t

λ

λ0

p−11

ϕ0,

điều này mâu thuẫn với tính lớn nhất của t

Bước 3 Từ các Bước 1, 2 và Mệnh đề 1.1.3, 2.1.4, lý luận tương tự như trong chứngminh của Định lý 2.2.1, ta có phương trình u = P [λN (u)] có ít nhất một nghiệmkhông âm, không tầm thường

2.2.2 Trường hợp trên tuyến tính

Để nghiên cứu trường hợp trên tuyến tính, ta cần đặt thêm một số điều kiện vềtính chính quy lên các hàm f, g.

Định lý 2.2.3 Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa

(H30) Hàm g : Ω ×R+→R+ liên tục, thỏa điều kiện (g1) và các điều kiện sau

i Tồn tại số β ∈ (p − 1, p∗− 1) sao cho lim

u→∞

g(x,u)

u β = a > 0 đều đối với x ∈ Ω

ii Với mọi ξ > 0, tồn tại σ > 0 sao cho hàm u 7→ σuβ− g(x, u) tăng trên [0, ξ].iii lim

Khi đó tồn tại số thực λ sao cho nếu λ > λ thì phương trình (2.1.1) có ít nhất hainghiệm không âm, không tầm thường

Chứng minh Trong không gian C01(Ω) với chuẩn thông thường kukC1, ta định nghĩanón K như sau

K = {u ∈ C01(Ω) : u(x) ≥ 0},

với phần trong xác định bởi

intK = {u ∈ C1(Ω) : u(x) > 0 trong Ω và ∂u

∂n(x) < 0 trên ∂Ω}.

Khi đó toán tử P ◦ N là toán tử compact từ C01(Ω) vào chính nó

Từ điều kiện (H30)(i) ta suy ra tồn tại các sộ thực dương a1, a2, b sao cho

a1uβ − b ≤ g(x, u) ≤ a2uβ+ b, ∀(x, u) ∈ Ω ×R+.

Ta cũng chia chứng minh thành ba bước

Bước 1 Cố định u0 ∈ K \ {θ} Ta chứng minh với R đủ lớn thì

P [λN (u)] − u 6= t(u − u0), ∀t > 0, u ≥ θ, kukC1 = R. (2.2.31)Giả sử ngược lại, khi đó P (λN (u n )) − u n = t n (u n − u 0 ) với các dãy t n > 0, u n ≥

Bước 2 Ta chứng minh rằng với r đủ nhỏ thì

u 6= P [tλN (u)], ∀t ∈ [0, 1], ∀u ≥ θ, kukC1 = r.

Nếu điều đó không đúng thì tồn tại các dãy tn ∈ [0, 1], un ≥ θ, kunkC1 → 0 sao cho

Vìpγ

0

< 1 + β < p∗, ta được

kunkp ≤ C kunk1+α+ kunk1+γ
,điều này không thể vì 1 + α > p, 1 + γ > p và kunk → 0.

Bước 3 Ta xét trường hợp riêng sau đây của bài toán (2.1.1)

−∆pu = λuα− g(x, u) trong Ω, u = 0 trên ∂Ω, (2.2.34)trong đó hàm g và số thực α như ở trên Với giả thiết (H30), người ta chứng minhđược [48] tồn tại λ∗ sao cho với mọi λ > λ∗ bài toán (2.2.34) có nghiệm uλ ∈ intK.Lấy λ > λ := λ∗ 2 α

i (P ◦ (λN ), B(θ, r), K) + i (P ◦ (λN ), G, K) 6= i(P o(λN ), B(θ, R), K).

Do đó, toán tử P ◦ (λN ) có ít nhất một điểm bất động trong G và một điểm kháctrong B(θ, R) \B(θ, r) ∪ G

Định lý 2.2.4 Giả sử thêm rằngΩcó biên thuộc lớp C2, điều kiện(H40)trong Định

lý 2.2.3 được thỏa và điều kiện (H30) được thay bởi điều kiện sau

(H3”) buβ ≤ g(x, u) ≤ auβ, ∀(x, u) ∈ Ω ×R+ với a, b > 0 và α, β như trong Định lý 2.2.3.Khi đó, tồn tại λ > 0 sao cho với mọi λ > λ bài toán 2.1.1 có ít nhất hai nghiệmkhông âm, không tầm thường

Chứng minh Chứng minh cũng được chia làm 3 bước như trong Định lý 2.1.1 Dễthấy các Bước 1 và Bước 2 được thỏa Ta chỉ cần chứng minh Bước 3 cũng được thỏa.Thật vậy, ta xét bài toán sau

−∆pu = λuα− λuβ trong Ω, u = 0 trên ∂Ω. (2.2.35)Với p − 1 < α < β, tồn tại Λ > 0 sao cho với mọi λ > Λ, bài toán 2.2.35 có nghiệm

uλ ∈ W01,p(Ω), u > θ (xem e.g [71]) Áp dụng định lý về tính chính quy hóa phi tuyến(xem e.g [64, p 311 -312]) ta được uλ ∈ K Hơn nữa

−∆ p uλ+ λuβλ = λuαλ ≥ 0nên áp dụng nguyên lý cực đại của J L Vazquez [73], ta được uλ ∈ intK Lấy

Do đó, theo mệnh đề 2.1.4 thì z ≥ u0 hay ψ(u) ≥ 1

Cuối cùng , bởi các Bước 1, 2 ta có

Chương 3

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN

PHÂN DẠNG LOGISTIC

3.1 Giới thiệu bài toán

Trong chương này ta xét bài toán bất phương trình biến phân (cũng được gọi làbất đẳng thức biến phân) sau Tìm hàm u thỏa mãn

Chúng tôi cũng sử dụng phương pháp trong [45] để đưa bài toán 3.1.1 về bài toánđiểm bất động và sử dụng bậc tô pô trong nón để chứng minh sự tồn tại của nghiệm

u ≥ θ, u 6= θ Cụ thể bài toán 3.1.1 có ít nhất một nghiệm trong trường hợp (p − 1) dưới tuyến tính và với λ0 < 1 trong trường hợp (p − 1) - tuyến tính, trong đó λ0 làgiá trị riêng chính tương ứng với bài toán giá trị riêng có trọng Đây cũng là kết quảchính của chương

-3.2 Đưa bài toán về bài toán điểm bất động

Để đưa bài toán bất đẳng thức biến phân trên về bài toán điểm bất động, ta sửdụng các định lý sau (xem [9])

Định lý 3.2.1 Giả sử hàm Caratheodory g : Ω × R −→ R thỏa mãn các điều kiệnsau

1 g(x, 0) = 0, u 7−→ g(x, u) là hàm tăng, với x ∈ Ω h.k.n;

2 với mọi t > 0 tồn tại hàm ϕt ∈ L 1 (Ω) sao cho sup|u|6t|g(x, u)|6ϕt(x)

Khi đó, với mỗi z ∈ W−1,p0(Ω), bài toán

Định lý 3.2.2 [9] Cho u0 ∈ W01,p(Ω) và µ là một độ đo Radon dương Giả sử rằng

Bổ đề 3.2.4 Giả sử hàm Caratheodory g thỏa mãn các điều kiện sau

(g1) g(x, 0) = 0, và g(x, u) là hàm tăng đối với biến u với h.k.n x ∈ Ω;

(g2) tồn tại β < p∗− 1 và b ∈ L(p∗)0(Ω) sao cho |g(x, u)|6a|u|β+ b(x)

Khi đó, với mọi z ∈ W−1,p0(Ω), bài toán







u ∈ K, g(x, u) ∈ L(p∗)0(Ω) hAu, v − ui +

Z

Ω

g(x, u)(v − u) ≥ hz, v − ui, ∀v ∈ K, (3.2.6)

có duy nhất nghiệm