Các bài toán số học tuyển chọn từ các đề tuyển sinh lớp 10 chuyên toán

L A TEX by MathpiadTUYỂN TẬP SỐ HỌC TRONG KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2020 − 2021 Mathpiad − Tạp chí và tư liệu toán họcPhan Quang Đạt − Nguyễn Nhất Huy − Dương Quỳnh Châu... † Số chính phươnglà

L A TEX by Mathpiad

TUYỂN TẬP SỐ HỌC TRONG

KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2020 − 2021

Mathpiad − Tạp chí và tư liệu toán họcPhan Quang Đạt − Nguyễn Nhất Huy − Dương Quỳnh Châu

L A TEX by Mathpiad2

L A TEX by Mathpiad

Chương I Một số kiến thức sử dụng trong

tài liệu

1 Các định nghĩa ngoài sách giáo khoa

† Số chính phươnglà số có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của một số tựnhiên

† Số lập phươnglà số có thể biểu diễn dưới dạng lập phương của một số nguyên

2 Các kí hiệu, quy ước ngoài sách giáo khoa

† Kí hiệu a | b dùng thay cho mệnh đề "a là ước của b", và đọc là "a chia hết b"

† Kí hiệu (a, b) dùng để chỉ ước chung lớn nhất của a và b Đôi lúc, nó còn dùng

để chỉ cặp số (a, b), vì thế cần phân biệt rõ

† Kí hiệu a ≡ b (mod m) dùng thay cho mệnh đề "a và b có cùng số dư khi chiacho m", và đọc là "a đồng dư với b theo modulo m"

c) Với các số nguyên a, b, c khác 0 thỏa mãn ab = c3, và (a, c) = 1, ta có a và b là hai

số lập phương

5 Các tính chất về đồng dư thức và chia hết

(a) Tính chia hết của tổng, tích các số nguyên liên tiếp

† Tổng của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n

† Tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n!, ở đây n! là tích của tất

cả các số tự nhiên từ 1 đến n

3

L A TEX by Mathpiad

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU

(b) Nếu a ≡ b (mod m), ta có thể suy ra

† m | (a − b)

† a + c ≡ b + c (mod m), với c là một số nguyên

† ac ≡ bc (mod m), với c là một số nguyên

† Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 3

† Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 4

† Đồng dư với 0, 1 hoặc 4 theo modulo 8

(d) Định lý Fermat nhỏ.Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương thỏa mãn

akhông chia hết cho p, khi đó

ap−1≡ 1 (mod p)

6 Bổ đề kẹp

Giữa hai lũy thừa số mũ n liên tiếp, không tồn tại một lũy thừa cơ số n nào Hệ quả,với mọi số nguyên a

† Không có số chính phương nào nằm giữa a2và (a + 1)2

† Số chính phương duy nhất nằm giữa a2và (a + 2)2là (a + 1)2

† Có đúng k − 1 số chính phương nằm giữa a2và (a + k)2, đó là

(a + 1)2, (a + 2)2, , (a + k − 1)2

7 Bổ đề về nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

Nếu phương trình bậc hai với hệ số nguyên ax2+ bx + c = 0 có hai nghiệm nguyên(không nhất thiết phân biệt) thì ∆ = b2− 4ac là số chính phương

4

L A TEX by Mathpiad

Chương II Giới thiệu một số bài toán số học trong đề thi vào lớp 10 chuyên

Toán

Câu 1

1 Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho (2n + 1)3+ 1 chia hết cho 22021

2 Cho số tự nhiên n và số nguyên tố p sao cho a = 2n + 2

p và b =4n

2+ 2n + 1

p là các sốnguyên Chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chính phương

Chuyên Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh

Câu 2 Tìm tất cả các số nguyên dương m, n thỏa mãn m(m + 1)(m + 2) = n2

Hà Tĩnh

Câu 3

1 Tìm tất cả các nghiệm (x; y) của phương trình x2− 2x + 2y = 2(xy + 1)

2 Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y thỏa mãn x3+ y3− p =6xy − 8 Tìm giá trị lớn nhất của p

Lào Cai

Câu 4 Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố (p, q, r) thỏa mãn pq = r + 1 và 2 p2+ q2
= r2+ 1

Quảng Nam

Câu 5 Tìm tất cả số tự nhiên a và b với lớn hơn 1 sao cho (a − 1)(b − 1) | (ab − 1)

Chuyên Đại học Khoa học Huế

Câu 6 Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n(n + 1) + 7 không chia hết cho 7 Chứngminh rằng 4n3− 5n − 1 không là số chính phương

Thái Bình

5

L A TEX by Mathpiad

CHƯƠNG II GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN

TOÁN

Câu 7

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2+ 2y2− 2xy − 2x − 4y + 6 = 0

2 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p

1 Tìm tất cả các số nguyên dương n để n − 1989 và n − 2022 đều là các số chính phương

2 Biết rằng phương trình x2− ax + b + 2 = 0 (với a, b là các số nguyên) có hai nghiệmnguyên Chứng minh rằng 2a2+ b2là hợp số

Quảng Trị

Câu 10 Cho hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông, chiều cao bằng 6 Số đo ba cạnhcủa tam giác đáy là các số nguyên Số đo diện tích toàn phần của lăng trụ bằng số đo thể tíchcủa lăng trụ Tính số đo ba cạnh tam giác đáy của lăng trụ

Quảng Ninh

Câu 11

1 Tìm tất cả số nguyên x, y thỏa mãn bất đẳng thức 5x2+ 3y2+ 4xy − 2x + 8y + 8 6 0

2 Trong 2021 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số không chia hết cho 7 và khôngchia hết cho 11?

1 Cho a là số nguyên tố lẻ và a không chia hết cho 3.

Chứng minh rằng a2− 2021 chia hết cho 24

2 Cho các số nguyên tố p, q thỏa mãn p + q2là số chính phương Chứng minh rằng

a, p = 2q + 1

b, p2+ q2021không phải là số chính phương

3 Cho tập hợp S gồm n số nguyên dương đôi một khác nhau (n > 3) thỏa mãn tính chất:tổng của 3 phần tử bất kì trong S đều là số nguyên tố Tìm giá trị lớn nhất có thể củan

Câu 21 Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn x2− 2y· x − 421· 9 = 0.

Thừa Thiên Huế - Chuyên Toán

Thừa Thiên Huế - Chuyên Tin

Câu 23 Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2− 2y(x − y) = 2(x + 1)

L A TEX by Mathpiad

MATHPIAD − TẠP CHÍ TOÁN HỌC

Câu 28

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình (2x + y)(x − y) + 3(2x + y) − 5(x − y) = 22

2 Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a2+ a = 3b2+ b Chứng minh rằng 2a + 2b + 1 là

Câu 30 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n2− 2n − 7 và n2− 2n + 12 đều

là lập phương của một số nguyên dương nào đó

Quảng Bình

Câu 31 Tìm tất cả các số nguyên dương n để A = 4n3+ 2n2− 7n − 5 là một số chínhphương

Thái Nguyên - Chuyên Toán

Câu 32 Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho phương trình x2− px + q = 0 có cácnghiệm là số nguyên

Thái Nguyên - Chuyên Tin

Câu 33 Giải phương trình x3+ y3− x + 3z = 2021 với x, y, z là các số nguyên

1 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n4+ n3+ 1 là số chính phương

2 Cho phương trình x2− mx + m + 2 = 0 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

đã cho có các nghiệm nguyên

Bình Định - Chuyên Toán

9

b, Chữ số thứ 2021 (theo chiều từ trái qua phải) của A là chữ số nào?

2 Cho p, x, y là các số tự nhiên thỏa mãn px2+ x = (p + 1)y2+ y Chứng minh rằng x − y

là một số chính phương

Bình Thuận - Chuyên Toán

Câu 40 Cho a và b là các số nguyên dương thỏa mãn a2− ab +3

2b

2chia hết cho 25 Chứngminh rằng cả a và b đều chia hết cho 25

Bình Thuận - Chuyên Tin

1 Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên tố thì n2+ 2022 không là lũy thừa của 3

2 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2+ 3p + 2021 cũng là một số nguyên tố

Yên Bái

10

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2+ 5xy + 6y2+ x + 2y − 2 = 0.

2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có n2+ n + 16 không chia hết cho 49

3 Cho số thực x khác 0 thỏa mãn cả hai số x +2

x và x3đều là số hữu tỉ Chứng minh rằng

2 Cho tập A = {1, 2, 3, , 2021} Tìm số nguyên dương k lớn nhất (k > 2) sao cho ta

có thể chọn được k số phân biệt từ tập A mà tổng của hai số phân biệt bất kì trong k sốđược chọn không chia hết cho hiệu cúa chúng

Chuyên Khoa học Tự nhiên - Vòng 1

Câu 47 Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn 3x+ 29 = 2y

Chuyên Khoa học Tự nhiên - Vòng 2

Câu 48 Tìm tất cả các số nguyên a, b thỏa mãn a4− 2a3+ 10a2− 18a − 16 = 4b2+ 20b

Cao Bằng

Câu 49

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn x2y2(y − x) = 5xy2− 27

2 Cho p1, p2, , p12là các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p21+ p2

2+ + p2

12

chia hết cho 12

11

2 Cho a, b, c là ba số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn dạnglũy thừa của 2 với số mũ tự nhiên Biết rằng phương trình bậc hai ax2− bx + c = 0

có hai nghiệm đều là số nguyên Chứng minh rằng hai nghiệm của phương trình nàybằng nhau

Chuyên Sư phạm - Vòng 2

Câu 54 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2− y2
2

= 1 + 20y

Đà Nẵng

Câu 55 1 Cho các số nguyên x, y, z thỏa mãn x2+ y2+ z2= 2xyz

Chứng minh rằng xyz chia hết cho 24

2 Tìm các bộ ba số nguyên dương (a, b, c) sao cho (a + b + c)2− 2a + 2b là số chínhphương

Vĩnh Phúc

12

L A TEX by Mathpiad

MATHPIAD − TẠP CHÍ TOÁN HỌC

Câu 56 1 Tìm tất cả các số nguyên (x, y) thỏa mãn x3y− x3− 1 = 2x2+ 2x + y

2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số có dạng 357abc chia hết cho 3, 5 và 7

Kon Tum

Câu 57 Tìm tất cả các số nguyên dương n để n5+ n4+ 1 là số nguyên tố

Sóc Trăng

Câu 58 1 Chứng minh rằng n5− n chia hết cho 240 với n là số tự nhiên lẻ bất kì

2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình x2− y2 x+ y4+ 6y2
= 0

L A TEX by Mathpiad

CHƯƠNG II GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN

TOÁN

14

L A TEX by Mathpiad

Chương III Lời giải tham khảo

d Câu 1

1 Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho (2n + 1)3+ 1 chia hết cho 22021

2 Cho số tự nhiên n và số nguyên tố p sao cho a = 2n + 2

p và b = 4n

2+ 2n + 1p

là các số nguyên Chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chínhphương

Chuyên Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh

Kết quả, tất cả các số tự nhiên n cần tìm có dạng 22020k− 1, ở đây k nguyên dương

2 Ta nhận thấy p là số lẻ, vậy nên

3m + 1 = x3 (1)15

L A TEX by Mathpiad

CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO

3m − 1 = y3 (2)Trừ theo vế (1) cho (2), ta được

Giả sử tồn tại các số nguyên m, n thỏa đề

Hai số m + 1 và m(m + 2) không thể đồng thời bằng 0, chứng tỏ chúng tồn tại ước chung lớnnhất, gọi là d Ta có

2 Với m 6= −1, do m là số nguyên nên m(m + 2) > 0 Lúc này, |m(m + 2)| = m(m + 2)

là số chính phương Tiếp tục đặt m(m + 2) = x2, với x là số nguyên dương, ta được

† Trường hợp 2.Với m + 1 − x = m + 1 + x = −1, ta có m = −1 và x = 0 Thửtrực tiếp, ta tìm ra n = 0

Kết quả, có ba cặp số nguyên (m, n) thỏa đề là (−2, 0), (−1, 0) và (0, 0) ∇

16

L A TEX by Mathpiad

MATHPIAD − TẠP CHÍ TOÁN HỌC

d Câu 3

1 Tìm tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình x2− 2x + 2y = 2(xy + 1)

2 Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y thỏa mãn x3+

y3− p = 6xy − 8 Tìm giá trị lớn nhất của p

x− 1 −3 −1 1 3

x −2 0 2 4

y −1 1 −1 1Kết quả, phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên là (−2, −1), (0, 1), (2, −1), (4, −1)

2 Với các số x, y, p thỏa mãn giả thiết, ta có

Tổng kết lại, p = 7 là số nguyên tố lớn nhất thỏa đề

∇

17

L A TEX by Mathpiad

CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO

2 p2+ q2
= r2+ 1

Quảng Nam

Lời giải

Ta chia bài toán thành các trường hợp sau

† Trường hợp 1.Với p, q, r là ba số nguyên tố lẻ, ta có pq lẻ, còn r + 1 chẵn Điều này

vô lí

† Trường hợp 2.Với r = 2, ta có pq = 3 Điều này vô lí

† Trường hợp 3.Với q = 2, ta thu được hệ phương trình

Do p nguyên tố, ta được p = 3 và r = 2

† Trường hợp 4.Với p = 2, làm tương tự trường hợp trên, ta được q = 3 và r = 2.Kết quả, có 2 bộ (p, q, r) thỏa đề là (2, 3, 2) và (3, 2, 2) ∇

Chuyên Đại học Khoa học Huế

Lập luận trên chứng tỏ a = 2 hoặc a = 3

Thử trực tiếp, ta kiểm tra được có 2 cặp (a, b) thỏa mãn là (2, 2) và (3, 3) ∇

cho 7 Chứng minh rằng 4n3− 5n − 1 không là số chính phương

Thái Bình

18

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2+ 2y2− 2xy − 2x − 4y + 6 = 0.

2 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p

Ta được p | 2(n + 1) n2− n + 1
Ta xét các trường hợp sau

† Trường hợp 1.Với p = 2, bằng kiểm tra trực tiếp, ta thấy thỏa mãn đề bài

19

L A TEX by Mathpiad

CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO

† Trường hợp 2.Với p | (n + 1), ta có p 6 n + 1 Đánh giá này cho ta

2(n + 1) n2− n + 1
= p(p − 1) 6 (n + 1)n

Ta được 2n2− 2n + 1 6 n Không tồn tại số thực n nào như vậy

† Trường hợp 3.Với p | n2− n + 1
, ta đặt n2− n + 1 = kp, ở đây k là số nguyêndương

Phép đặt này cho ta

p(p − 1) = 2(n + 1) n2− n + 1
= 2(n + 1)kp

Từ đây, ta có p = 2kn + 2k + 1 Thế ngược lại phép đặt, ta chỉ ra

n2− n + 1 = k(2kn + 2k + 1) ⇔ n2− 2k2+ 1
n − 2k2+ k − 1
= 0.Coi phương trình trên là một phương trình bậc hai ẩn n, lúc này

∆ = 2k2+ 1
2

+ 4 2k2+ k − 1
phải là số chính phương

L A TEX by Mathpiad

CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO

Như vậy, n = 2038 và n = 2278 là tất cả các giá trị thỏa đề

2 Gọi 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho là x1và x2 Theo định lí Viète, ta có

2a2+ b2= 2 (x1+ x2)2+ (x1x2− 2)2= x21x22+ 2x21+ 2x22+ 4 = x21+ 2

x22+ 2

Do x21+ 2 > 2 và x22+ 2 > 2, ta được 2a2+ b2là hợp số Bài toán được chứng minh

∇

đo ba cạnh của tam giác đáy là các số nguyên Số đo diện tích toàn phần của lăng trụbằng số đo thể tích của lăng trụ Tính số đo ba cạnh tam giác đáy của lăng trụ

Quảng Ninh

Lời giải

Gọi số đo ba cạnh của tam giác đáy là a, b, c với a, b, c ∈ Z+, c > b > a

Tam giác đáy là tam giác vuông, nên theo định lý Pythagoras, ta có

2x + y = 2(x − 1) + (y + 2)nên nếu 2 trong 3 số kia bằng 0, số còn lại chắc chắn cũng bằng 0 Ta suy ra

2x + y = x − 1 = y + 2 = 0 ⇒ x = 1, y = −2

Như vậy (x, y) = (1, −2) là nghiệm nguyên duy nhất của bất phương trình

2 Ta kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá với x Trong 2021 số nguyên dươngđầu tiên, ta gọi

† A là tập các số chia hết cho 7

† B là tập các số chia hết cho 77

† C là tập các số chia hết cho 7 và không chia hết cho 11

Dựa vào nhận xét B ∪C = A và B ∩C = ∅, ta suy ra

|C| = |A| − |B| = 2021

7



− 202177

L A TEX by Mathpiad

CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương

(xy)2+ 1 = x2+ y2+ 2xy ⇔ (xy)2+ 1 = (x + y)2⇔ 1 = (x + y − xy)(x + y + xy)Tới đây, ta xét các trường hợp sau

† Trường hợp 1.Với x + y − xy = x + y + xy = 1, ta có xy = 0 và x + y = 1

Giải ra, ta được (x, y) = (0, 1) hoặc (x, y) = (1, 0)

† Trường hợp 2.Với x + y − xy = x + y + xy = −1, ta có xy = 0 và x + y = −1.Giải ra, ta được (x, y) = (0, −1) hoặc (x, y) = (−1, 0)

Như vậy, phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên phân biệt, bao gồm

⇔

(

y= 1 − x(x + 2)(x − 2) = 0⇔

(

y= 1 − xx(1 − x) − (1 − x) + 2 = −1

(−2, 3), (0, 1), (2, 1), (2, 3)

∇

24

b, p2+ q2021không phải là số chính phương.

3 Cho tập hợp S gồm n số nguyên dương đôi một khác nhau (n > 3) thỏa mãntính chất: tổng của 3 phần tử bất kì trong S đều là số nguyên tố Tìm giá trị lớnnhất có thể của n

Quảng Ngãi

Lời giải

1 Do a2≡ 0, 1, 4 (mod 8) và a lẻ, ta suy ra a2≡ 1 (mod 8)

Mặt khác, do a2≡ 0, 1 (mod 3) và a không chia hết cho 3, ta suy ra a2≡ 1 (mod 3).Hai lập luận trên kết hợp với việc (3, 8) = 1 chỉ ra cho ta

a2≡ 1 (mod 24) ⇒ 24 | a2− 1
Tuy nhiên, do 2021 − 1 = 2020 không chia hết cho 11 nên 24 không là ước của a2−

2021 Bài toán được chứng minh

2 a, Từ giả thiết, ta có thể đặt p + q2= a2, với a nguyên dương Phép đặt trên cho ta

p= a2− q2⇒ p = (a − q)(a + q)

26

L A TEX by Mathpiad

MATHPIAD − TẠP CHÍ TOÁN HỌC

Do p nguyên tố và 0 < a − q < a + q, ta suy ra a − q = 1, còn a + q = p Lấy hiệutheo vế, ta được p = 2q + 1

b, Giả sử (2q + 1)2+ q2021 là số chính phương Theo đó, ta có thể đặt (2q + 1)2+

q2021= b2, với b là số nguyên dương

3 Ta sẽ đi chứng minh max n = 4 Thật vậy, ta giả sử trong S tồn tại 5 số nguyên dương

a, b, c, d, e thỏa mãn tổng của 3 số bất kì trong 5 số này là số nguyên tố Gọi số dư củachúng khi chia cho 3 lần lượt là m, n, p, q, r Xét xâu

27

L A TEX by Mathpiad

CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO

Phản chứng ở trên cho ta n 6 4 Ta sẽ xây dựng một tập S thỏa đề Thật vậy, tập

S= {1; 3; 7; 9} là tập thỏa đề do

1 + 3 + 7 = 11, 1 + 3 + 9 = 13,

1 + 7 + 9 = 17, 3 + 7 + 9 = 19đều là các số nguyên tố Kết quả, max n = 4

∇

28

Ta được c2chia hết cho c − 1, chứng tỏ

2 Tìm tất cả các số nguyên tố q sao cho tồn tại các số nguyên dương n để n2+ 22q

là một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11

Kiên Giang

Lời giải

1 Không mất tính tổng quát, ta giả sử m > p Ta xét các trường hợp sau

† Trường hợp 1.Nếu m, p, r cùng lẻ, ta có mp + 1 chẵn, nhưng r lẻ, vô lí

† Trường hợp 2.Nếu r = 2, ta có mp + 1 = 2, hay là mp = 1, vô lí

† Trường hợp 3.Nếu p = 2, ta có r = 2m + 1 Ta nhận thấy rằng

m2+ r = m2+ 2m + 1 = (m + 1)2

là một số chính phương Bài toán được chứng minh

2 Từ giả thiết, ta có thể đặt n2+ 22q = 11m, với m là số nguyên dương

Ta lần lượt suy ra được

11 | 11m⇒ 11 | n2+ 22q ⇒ 11 | n2⇒ 11 | n ⇒ 121 | n2

29

L A TEX by Mathpiad

CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO

Rõ ràng m > 2, thế nên 121 | 11m Kết hợp với 121 | n2, ta suy ra 121 | 22q, tức q = 11.Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra một số nguyên dương n thỏa mãn Với n = 33 và q = 11, ta có

n2+ 22q = 332+ 22.11 = 113.Kết luận, q = 11 là số nguyên tố cần tìm

Với số tự nhiên n thỏa mãn n3+ 2021 chia hết cho 6, ta chứng minh được

† n lẻ (thông qua việc xét tính chẵn, lẻ của n)

† n ≡ 1 (mod 3) (thông qua việc xét số dư của n khi chia cho 3)

Các khẳng định trên cho ta n ≡ 1 (mod 6) Như vậy, số các số tự nhiên n thỏa đề chính là sốcác số tự nhiên chia 6 dư 1 không vượt quá 2021, và bằng