Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hình Học 11 Biện luận: Nghiệm bài toán tùy thuộc số giao điểm của C’’ và C’.. Xác định ảnh của AMN qua phép quay: Dựng về phía ngoài của ABC hìn
Trang 1Chuyờn đề PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG Hỡnh Học 11
(+)
M'
M O
A B A' B'
1 Định nghĩa: Cho điểm O và gúc lượng giỏc
Phộp biến hỡnh biến O thành chớnh nú, biến mỗi điểm M khỏc O thành
điểm M’ sao cho OM OM ' và gúc lượng giỏc OM OM ; '
Ký hiệu: QO;
2 Nhận xột:
a) Phép quay tâm O góc quay 2 , là phép đồng nhất
b) Phép quay tâm O góc quay 2 1 , là phép đối xứng tâm O.
Tớnh chất 2: Phộp quay:
1 Bảo toàn tớnh thẳng hàng và thứ tự của cỏc điểm tương ứng
2 Biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nú
3 Biến đường thẳng thành đường thẳng
4 Biến tam giỏc thành tam giỏc bằng nú.( trực tõm trực tõm, trọng tõm trọng tõm) Gúc thành gúc bằng nú
b Chứng minh ABC đều:
Trang 2' ' ( ) '( '; ') :
'
M O
M M O
3) Các phương pháp xác định ảnh của đường thẳng d qua QI;:
Phương pháp 1: Chọn 2 điểm bất kì Đường thẳng ảnh đi qua 2 ảnh tương ứng
Phương pháp 2: Chọn 1 điểm A thuộc đường thẳng Xác định ảnh A’
lần lượt là ảnh của M, , (C) qua:
a) Phép quay tâm O, góc quay 900
b) Phép quay tâm O, góc quay 900
/
;90
/
;90 /
;90
( ) (0;1)
( ) ( 2;1) ( ) ( 2;0)
H' H
I
-2
1 2
A O
Trang 3Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hình Học 11
Phương pháp 2: Sử dụng mối quan hệ về góc giữa d và d’
Gọi / là ảnh của đường thẳng qua 0
Nhận xét: Trong 3 phương pháp trên,
- Phương pháp 1 tỏ ra hiệu quả cho tất cả các phép biến hình (dù dài dòng)
* Xác định ảnh của đường tròn:
Phương pháp 1: Theo tính chất của phép quay: Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
Ta có ; (1; 2)
2 :
Trang 4Với mỗi góc lượng giác bất kì
Xác định trên (C) điểm M sao cho: xOM
Hay: M cos ;sin (*)
Sở dĩ có cách biễu diễn (*) vì đường tròn lượng giác có bán kính R1
Và thực chất đây là cách biểu diễn đơn giản nhất đối với hệ tọa độ cực gốc O, có góc và bán kính R bất kì
TỔNG QUÁT: Đối với hệ tọa độ cực: gốc O có góc và bán kính R bất kì
Điểm M với góc lượng giác xOM , thì ta có: M R cos ; sin R
Hoàn toàn tương tự như yêu cầu trên, độc giả tự giải quyết
Bài tập 3: Cho điểm (1;2), ( 2;3) I M Xác định tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép quay tâm I, góc quay k2
Gợi ý:
* Trước hết ta tìm điểm N sao cho ON IM :
Giả sử điểm ( ; ) N x y , khi đó: 2 1 ( 3;1)
Trang 5Chuyờn đề PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG Hỡnh Học 11
Do đú:
0 0
Bài tập 4: Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d
Hãy tìm tập hợp các điểm N sao cho OMN đều
Gợi ý: Biểu diễn điểm N theo M thụng qua phộp quay 0
Do M thuộc đường thẳng d nờn N thuộc vào
đường thẳng d’, d’’ lần lượt là ảnh của d qua Q O;60 0 và Q O; 60 0
Vậy quỹ tớch cần tỡm là 2 đường thẳng d’ và d’’
Tương tự:
Bài tập 5: Cho đtròn (C) và điểm O cố định không thuộc (C), M là điểm di động trên (C)
Hãy tìm tập hợp các điểm N sao cho OMN vuông cân tại O
Gợi ý: Biểu diễn điểm N theo M thụng qua phộp quay 0
90
Bài tập 6: Cho 2 tam giỏc vuụng cõn ABC và ADE (như hỡnh vẽ) Gọi G và G’ lần lượt là trọng tõm
cỏc tam giỏc ABD và ACE Chứng minh tam giỏc AGG’ vuụng cõn
Gợi ý: Xõy dựng phộp quay tõm A gúc quay 0
Q ABD ACE Do G và G’ lần lượt là trọng tõm cỏc tam giỏc ABD và ACE nờn
theo tớnh chất của phộp quay: 0
B A
Trang 6Bài tập 7: Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự trên thẳng hàng Vẽ cùng một phía hai tam giác
đều ABE, BCF Gọi M và N tương ứng là hai trung điểm của AF và CE Chứng minh rằng:
BMN là tam giác đều.
Gợi ý: Xõy dựng phộp quay tõm B gúc quay 0
Vậy tam giỏc BMN đều (đ.p.c.m)
Bài tập 8: Cho tam giỏc ABC Dựng về phớa ngoài tam giỏc cỏc hỡnh vuụng BCIJ, ACMN, ABEF và
gọi O, P, Q lần lượt là tõm của của chỳng
a) Gọi D là trung điểm của AB Chứng minh rằng: DOP vuụng cõn tại D
b) Chứng minh rằng: AO PQ và AO=PQ.
Gợi ý: Xõy dựng phộp quay tõm D gúc quay 0
hay DOP vuụng cõn tại D (đ.p.c.m)
b) Theo cõu a, DOP vuụng cõn tại D nờn 0
;90 ( )
D
Q O P (*) Mặt khỏc: 0
D Q
P
O
B A
C F
N
M
E
Trang 7Chuyờn đề PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG Hỡnh Học 11
Bài tập 9: Cho tứ giác lồi ABCD Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác đều ABM, CDP.
Về phía trong tứ giác dựng hai tam giác đều BCN và ADK.CMR: MNPK là hình bình hành.
Bài tập 10: Cho 2 hỡnh vuụng ABCD và BEFG Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AG và CE
Chứng minh rằng: Tam giỏc BMN vuụng cõn.
Gợi ý: Xõy dựng phộp quay tõm B gúc quay 0
Do N và M lần lượt là trung điểm cỏc cạnh CE và AG
nờn theo tớnh chất của phộp quay:
Vậy tam giỏc MBN vuụng cõn (đ.p.c.m)
Bài tập 11: Về phía ngoài tam giác ABC, dựng ba tam giác đều BCA , ACB , ABC 1 1 1
Lấy trờn IC điểm E sao cho: 1 AI EI (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AEI là tam giỏc đều
K
N M
P
D A
A
E I
B 1
C 1
A 1 A
Trang 8Bài tập 12: Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB và BC, về phía ngoài tam giác, dựng 2 hình vuông
ABMN và BCPQ Chứng minh rằng: Các tâm của hình vuông này cùng với 2 trung điểm của MQ,
Dễ thấy: O O1 2, O O O O2 3, 3 4, O O lần lượt là đường 4 1
trung bình của các tam giác MAC, ACQ, MCQ, MAQ
Từ (*), (**) suy ra: O O O O là hình vuông (đ.p.c.m) 1 2 3 4
Bài tập 13: Cho điểm A và 2 đường tròn (C), (C’) phân biệt Dựng theo chiều dương tam giác đều
ABC, biết đỉnh B, C lần lượt nằm trên (C) và (C’)
A
Trang 9Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hình Học 11
Biện luận: Nghiệm bài toán tùy thuộc số giao điểm của (C’’) và (C’)
Bài tập 14: Cho 2 đường thẳng a, b song song và một điểm G không nằm trên chúng Xác định tam
giác đều ABC có A a B , b và G là trọng tâm tam giác ABC
Biện luận: Bài toán luôn có 1 nghiệm hình
Bài tập 15: Cho tam giác ABC và vẽ phía ngoài hai hình vuông ABMN, ACPQ
b) Ta có: OI và O’I lần lượt là đường trung bình của
các tam giác BNC và BCQ nên suy ra:
//
(1) 1
' 2
Vậy tam giác OIO’ vuông cân (đ.p.c.m)
Bài tập 16: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau ở A và B Từ điểm I cố định kẻ cát
tuyến di động IMN với (O), MB và NB cắt (O’) tại M’, N’
Chứng minh rằng: Đường thẳng M’N’ luôn đi qua 1 điểm cố định
O' A
B
N
O
Trang 10Do MN đi qua điểm I cố định nờn M’N’ đi qua điểm cố định I’ là ảnh của I qua QA;
Bài tập 17: Chứng minh rằng: Cỏc đoạn thẳng nối tõm cỏc hỡnh vuụng dựng trờn cỏc cạnh của một
hỡnh bỡnh hành về phớa ngoài, hợp thành một hỡnh vuụng
Lý luận tương tự ta cú I I1 4 I I4 3 và I I1 4 I I4 3 Vậy I I I I là hỡnh vuụng (đ.p.c.m)1 2 3 4
III- BÀI TẬP TỰ LUẬN - TỰ LUYỆN:
ủa AB, AD Xác
định ảnh của AMN qua phép quay:
Dựng về phía ngoài của ABC hình vuông ABEF Chứng minh rằng: E chạy trên nữa đường
A
Trang 11Chuyờn đề PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG Hỡnh Học 11
8) Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự trên thẳng hàng Vẽ cùng một phía, dựng hai tam giác
đều ABE, BCF Gọi M và N tương ứng là hai trung điểm của AF và CE Chứng minh rằng:
BMN là tam giác đều.
9) Cho tam giác ABC Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE và ACF Gọi M là trung
điểm của BC và giả sử AM FE=H Chứng minh rằng: AH là đường cao của AEF.
10) Cho tứ giác lồi ABCD Về phía ngoài
12) Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và
13) Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB và BC, về phía ngoài tam giác dựng 2 hình vuông
ABMN, BCPQ Chứng minh rằng: Các tâm của hình vuông này cùng với 2 trung điểm của
MQ, AC tạo thành 1 hình vuông.
III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cõu 1: Cho hai điểm phõn biệt A B, và là gúc lượng giỏc bất kỡ Biết QO; A A Q1, O; B B1,
khẳng định nào sau đõy đỳng?
A A B1 1AB B A B1 1 AB C A B1 1AB D A B1 1AB.
Cõu 2: Cho tam giỏc đều ABC (thứ tự đỉnh theo chiều dương lượng giỏc), khẳng định nào sau đõy sai?
A
; 3
Cõu 3: Gọi hỡnh vuụng ABCD tõm O (cỏc đỉnh theo thứ tự theo chiều ngược chiều kim đồng hồ)
Khẳng định nào sau đõy đỳng?
Cõu 4: Cho hỡnh vuụng MNPQ (thứ tự cỏc đỉnh cựng chiều quay của kim đồng hồ) Phộp quay nào
sau đõy biến điểm M thành điểm P
A Phộp quay tõm Q gúc 90 B Phộp quay tõm Q gúc 45
C Phộp quay tõm Q gúc 45 D Phộp quay tõm Q gúc 90
Cõu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 1; 2 Khẳng định nào sau đõy đỳng?
A 3
; 2
Trang 12Câu 7: Biết thực hiện liên tiếp hai phép quay Q I; và Q I; , k2 , k2 , , k k ta được phép
đồng nhất Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 8: Phép biến hình nào sau đây không có tính chất: “Biến một đường thẳng thành một đường
thẳng song song hoặc trùng với nó”?
Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M 0; 3 Xác định tọa độ điểm M là ảnh của
điểm M qua phép quay tâm O 0; 0 , góc quay 270
Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 2x y 1 0. Ảnh của đường thẳng
qua phép quay tâm O, góc quay 900 là đường thẳng có phương trình
Trang 13Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hình Học 11
Câu 19: Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm (hình vẽ bên) Khẳng định
nào sau đây đúng?
Câu 23: Về phía ngoài tam giác ABC, dựng các hình vuông
ABMN và ACPQ Gọi I J, lần lượt là tâm các hình vuông
ABMN và ACPQ; E là trung điểm BC (tham khảo hình
vẽ) Khẳng định nào sau đây sai?
A EIJ vuông cân B BQCN.
E
J I
Q
P N
M
C B
A
Câu 24: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A1; 3 , B 2;1 Gọi M N, lần lượt là ảnh của A B, qua phép
dời hình bằng cách thực hiện liếp tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v3; 1 và phép quay tâm
O, góc quay 90 Viết phương trình đường thẳng MN
Câu 25: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm Gọi tam giác MNP là ảnh của tam giác
ABC qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ BC và phép quay tâm G, góc quay 90 Tính độ dài GM
Câu 27: Cho hai hình vuông ABCD và BEFG như hình bên Tìm
ảnh của tam giác ABG qua phép quay tâm B, góc quay
90
A BCD B CBE
C ABD D DCG
Trang 14Câu 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho vectơ v3; 2 và điểm M1; 4 Xác định tọa độ
ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O,
góc quay 900 và phép tịnh tiến theo vectơ v
Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: 4x3y 5 0 và d x' : 7y 4 0 Nếu
có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay với
0 180 là góc nào sau đây?
Câu 33: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B( 3; 6) Tìm toạ độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép
quay tâm O góc quay 0
90
Câu 34: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A 1; 0 thành điểm A 0; 1
Khi đó nó biến điểm M1; 1 thành điểm
Câu 37: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình bên Tam giác EOD là ảnh của tam giác AOF qua
phép quay tâm O góc quay Tìm
O F
C
B A
_HẾT _
Trang 15Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hình Học 11
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho hai điểm phân biệt A B, và là góc lượng giác bất kì Biết QO; A A Q1, O; B B1,
khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 3: Gọi hình vuông ABCD tâm O (các đỉnh theo thứ tự theo chiều ngược chiều kim đồng hồ)
Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 4: Cho hình vuông MNPQ (thứ tự các đỉnh cùng chiều quay của kim đồng hồ) Phép quay nào
sau đây biến điểm M thành điểm P
A Phép quay tâm Q góc 90 B Phép quay tâm Q góc 45
C Phép quay tâm Q góc 45 D Phép quay tâm Q góc 90
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 1; 2 Khẳng định nào sau đây đúng?
A 3
; 2
Trang 16Câu 6: Có bao nhiêu phép quay với góc quay 0 0
0 360 biến tam giác đều cho trước thành
Chọn đáp án C
Câu 7: Biết thực hiện liên tiếp hai phép quay Q I; và Q I; , k2 , k2 , , k k ta được phép
đồng nhất Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 8: Phép biến hình nào sau đây không có tính chất: “Biến một đường thẳng thành một đường
thẳng song song hoặc trùng với nó”?
A Phép đồng nhất B Phép vị tự C Phép quay bất kì D Phép tịnh tiến
Lời giải:
Phép quay với góc quay k2 hoặc k2 , k biến một đường thẳng thành một
đường thẳng song song hoặc trùng với nó
Trang 17Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hình Học 11
Câu 10: Phép quay tâm I góc quay 90 biến đường thẳng d thành đường thẳng d Khẳng định nào
B B O
Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M 0; 3 Xác định tọa độ điểm M là ảnh của
điểm M qua phép quay tâm O 0; 0 , góc quay 270
Trang 1823' 3 sin 30 4 cos 30 2 3
+ Thay biểu thức tọa độ của phép quay tâm Ogóc quay 45 ta có:
.cos 45 sin 45 cos 45 sin 45 0.sin 45 cos 45 sin 45 cos 45 2
Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 2x y 1 0. Ảnh của đường thẳng
qua phép quay tâm O, góc quay 900 là đường thẳng có phương trình
Trang 19Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hình Học 11
Câu 19: Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm (hình vẽ bên) Khẳng định
nào sau đây đúng?
Suy ra đi qua hai điểm M N, Do đó : 2x y 1 0.
Chọn đáp án D
Trang 20Câu 23: Về phía ngoài tam giác ABC, dựng các hình vuông
ABMN và ACPQ Gọi I J, lần lượt là tâm các hình vuông
ABMN và ACPQ; E là trung điểm BC (tham khảo hình
vẽ) Khẳng định nào sau đây sai?
A EIJ vuông cân B BQCN
J I
Q
P N
M
C B
CBQ
có EJ là đường trung bình nên EJ//BQ và
12
Q
P N
M
C B
A
Câu 24: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A1; 3 , B 2;1 Gọi M N, lần lượt là ảnh của A B, qua phép
dời hình bằng cách thực hiện liếp tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v3; 1 và phép quay tâm
O, góc quay 90 Viết phương trình đường thẳng MN
Câu 25: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm Gọi tam giác MNP là ảnh của tam giác
ABC qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ BC và phép quay tâm G, góc quay 90 Tính độ dài GM
Phép tịnh tiến theo vectơ BC biến ABC thành DCE
Phép quay tâm G, góc quay 90 biến DCE thành MNP
Gọi I J, lần lượt là trọng tâm của DCE và MNP
G
P
N M
C B
I A
Trang 21Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hình Học 11
Câu 26: Cho tam giác đều ABC Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành điểm C
Câu 27: Cho hai hình vuông ABCD và BEFG như hình bên Tìm
ảnh của tam giác ABG qua phép quay tâm B, góc quay
Câu 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho vectơ v3; 2 và điểm M1; 4 Xác định tọa độ
ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O,
Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: 4x3y 5 0 và d x' : 7y 4 0 Nếu
có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay với
0 180 là góc nào sau đây?
Trang 22Vì d d, ' hoặc d d, ' 180 nên 45 hoặc 135
Câu 33: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B( 3; 6) Tìm toạ độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép
quay tâm O góc quay 0
Câu 34: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A 1; 0 thành điểm A 0; 1
Khi đó nó biến điểm M1; 1 thành điểm
Khi đó phép quay tâm O góc quay
2
biến điểm M1; 1 thành điểm M 1; 1