Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm trang bị cho học sinh một phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo.
Trang 1PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán có mặt ở hầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học Không những thế nó còn
là bài toán hay và khó nhất trong các đề thi
Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học Việc giảng dạy để làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là một vấn đề khó Chủ đề này thường dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó
Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có nhiều phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán
mà chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi Một trong những phương pháp khá hiệu quả là sử dụng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng
cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số cố định Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua ví
dụ để học sinh rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài toán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải riêng cho mình
Vì những lí do trên tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức
và tìm GTLN, GTNN
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
- Trang bị cho học sinh một phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất mang lại hiệu quả rõ nét
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo
III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
- Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa
nhiều biến
- Phân dạng các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng
IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Trang 2PHẦN 2: NỘI DUNG
I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ:
1) Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số y = f(x) trên tập số D
Phương pháp chung
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận
Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau:
- Tính đạo hàm y’
- Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x1, x2
- Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2)
- KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b]
Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận giá
trị nào
2) Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến bằng phép đổi biến số
Bước 1 Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới
Bước 2 Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban
đầu)
Bước 3 Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của nó
3) Một số bất đẳng thức cơ sở thường sử dụng:
1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có:
2 2 2
2
4 /
a b a b
a b a b
a b c a b b c c a
a b c a b b c c a
2/ BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có:
3 3
ab a b a b c a b c a b c a b c
II PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Trang 31 Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai, ba biến
Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữa chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát
Ví dụ 1 Cho x, y, z là các số dương Tìm GTNN của biểu thức:
3 3
.
x y z
x y z P
x y z
x y z
Nhận xét và hướng dẫn giải
3 x y z 1
x y z
x y z
x y z
, do đó nếu đặt
3
x y z t
x y z
ta được biểu thức theo biến
số t là: P t( ) t 1
t
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: 3
3
3
x y z
x y z t
x y z x y z
Do đó bài toán quy về tìm GTNN của hàm số P t( ) t 1
t
trên nữa khoảng 3;
Vì
2 '
2
1
t
nên hàm số P(t) đồng biến trên nữa khoảng 3;
Từ đó có
3 ;
1 0 ( ) ( 3 )
3
m in P t P
, đây cũng là GTNN của biểu thức P
Ví dụ 2.Tìm GTLN, GTNN của H =
y x y
x 1 1 Biết x, y thoả mãn
điều
kiện 1 x y 2
Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có H =
x
y
y
x
y x y
1 1 2
Vì thế nếu đặt
y
x
t ta có hàm số theo biến số t sau: ( ) 2 1.
t t t
H
Từ điều kiện ràng buộc 1 x y 2 ta suy ra: 1
2
1
y
x
, do đó ; 1
2
1
Bài toán trở thành: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
t t t
H( ) 2 1 trên đoạn
1
;
2
1
Vì
2 '
2
2
t
t nên H(t) là hàm số nghịch biến trên đoạn này
Trang 4Từ đó có GTLN của H(t) trên đoạn ; 1
2
1
là 2
9
khi: t =
2
1 , còn GTNN trên đoạn
này của H(t) bằng 4 khi: t = 1
Đáp số: max(H) =
2
9
x y; 1; 2 ; min(H) = 4 x y (với 1 x y, 2 )
Ví dụ 3 ( CĐ Khối A, B – 2008 ) Cho x, y là số thực thỏa mãn 2 2
2
x y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3
P x y x y
Hoạt động khám phá:
- Từ giả thiết 2 2
2
x y Có thể đưa bài toán về một ẩn không?
x y x y x y x y x y x x y y
- Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện 2 2
x y để sử dụng giả thiết
- Biến đổi biểu thức P và thế vào 2 2
2
x y ta có :
P x y x x y y x y x y x y x y
- Từ giả thiết
2
2
x y
Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa P về hàm một biến số nếu ta đặt :
t x y
Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: 2 2 ( )2
2
x y
Lời giải
P x y x x y y x y x y x y x y
Ta có :
2
2
x y
, vì thế sau khi đặt t x y thì:
Ta có
2
2
x y
Xét hàm số 3 3 2
2
P t t t t với 2 t 2
P t t t '( ) 0 1
2
t
P t
t
Ta có bảng biến thiên như sau
t -2 1 2
P’(t) + 0 - P(t)
13/2 -7 1 Vậy :
Trang 5 2 ; 2
m i nP t( ) P( 2 ) 7
khi x y 1
2 ; 2
;
m a x ( ) (1)
;
P t P
Ví dụ 4 ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x 0 ,y 0 và x y 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
2 2
S x y y x x y
Hoạt động khám phá :
- Từ giả thiết x y 1 có thể đưa bài toán về một ẩn không ?
- Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện x y để sử dụng giả thiết
- Chú ý các hằng đẳng thức :
x y x y x x y y
Sau khi khai triển và thế vào x y 1 , ta có : 2 2
S x y x y
- Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu ta đặt : t x y
- Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức :
2
0
4
x y
x y
Lời giải
S x y y x x y x y x y x y
1 6x y 1 2 (x y) (x x y y ) 3 4x y
2 2 2
1 6x y 1 2[ (x y) 3x y] 3 4x y, d o x y 1
2 2
1 6x y 2x y 1 2
Đặt t x y Do x 0 ;y 0 nên
2
x y
f t t t với 0 1
4
t
Ta có f '( )t 3 2t 2 '( ) 0 1
1 6
f t t Bảng biến thiên
t 0 1/16 1/4 f(t) - 0 +
f(t)
12 25/2 191/16
Vậy :
1
0 ;
4
1 1 9 1
1 6 1 6
f t f
Trang 60 ;
4
m a x f t f
2
x y
Ví dụ 5 (ĐH Khối B – 2009) Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu
A x y x y x y
Với x y, là các số thỏa mãn điều kiện : 3
(x y) 4x y 2
Hoạt động khám phá :
- Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng
dễ dàng hơn Chú ý hằng đẳng thức :
x y x y x x y y
(x y) 4x y Khi đó điều kiện bài toán trở thành : x y 1
Ta biến đổi được A như sau :
2 2 2
x y
( do
2 2 2
2
x y
) Hay 9 2 2 2 2 2
4
A x y x y
- Vì vậy ta có thể nghĩ đến việc đưa A về hàm một biến bằng cách đặt 2 2
t x y
- Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức
2
2
x y
Lời giải
Ta luôn có kết quả : 2
(x y) 4x y , từ đó ta có :
(x y) 4x y 2 (x y) (x y) (x y) 4x y 2
2
x y
Do
2
Bài toán được đưa về tìm max, min của :
A x y x y x y
Với x y, thỏa mãn x y 1
Ta biến đổi biểu thức A như sau :
A x y x y x y x y x y x y
Trang 73 2 2 2 3 ( ) 2 2
x y
( do
2 2 2
2
x y
)
4
A x y x y
Vì
2
2
x y
( do x y 1) nên 2 2 1
2
x y
t x y Ta có hàm số 9 2
4
f t t t với 1
2
t
9
2
4 '( ) 0
9
f t t
Ta có bảng biến thiên như sau :
t 4/9 1/2
'( )
f t +
( )
f t
9
1 6 Vậy
1 2
t
f t f
đạt được khi 1
2
t
Suy ra 9
1 6
A Mặt khác, ta dễ thấy 1
2
x y thì 9
1 6
A Kết luận : 9
m in
1 6
2
x y và không có giá trị lớn nhất
Ví dụ 6 (ĐH Khối A- 2006) Cho hai số thực x y, 0 thay đổi thỏa mãn điều
(x y x y) x y x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A 13 13
x y
Hướng dẫn:
A
(x y x y) x y x y (t 1)t y (t t 1)y
;
1
Từ đó
2
2
1
A
Trang 8Xét hàm số
2
2
Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của A là: 16 đạt được khi 1
2
x y
Ví dụ 7 (ĐH Khối B- 2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
2 2
2 (a b ) a b (a b) (a b 2 ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
Hướng dẫn:
- Biến đổi giả thiết:
2 (a b ) a b (ab) (a b 2 )
a b a b a b a b a b
a b
a b
- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
2
Đặt t a b
b a
, 5
2
P t t t t t t Xét hàm số: 3 2
f t t t t
'( ) 6 ( 2 3 2 ) 0 ,
2
f t t t t
Suy ra
5
;
2
m i n ( )
f t f
m in
4
P đạt đươc khi và chỉ khi 5
2
a b
b a
và a b 2 1 1
a b
( ; )a b ( 2 ;1) hoặc ( ; )a b (1; 2 )
Ví dụ 8 Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2
2 (x y ) x y 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4
x y T
x y
Hướng dẫn:
Trang 9- Đặt t=xy từ giả thiết suy ra 4 1 1 1
x y x y x y Vậy 1 1
;
5 3
Chú ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và y ta được 2 2
2
x y x y
- Biến đổi và biểu diễn theo biến t ta được:
2
t t T
t
- Xét hàm số
2
( )
t t
f t
t
, 1;1
5 3
- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm được
1 1
;
5 3
1
a x ( ) ( 0 )
4
m f t f
và
1 1
;
5 3
m i n ( )
Từ đó kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nho nhất của T
Ví dụ 9 Cho x, y , z > 0 và x + y + z 3
2
Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức:
M x y z 1 1 1.
x y z
Nhận xét và hướng dẫn giải
Rõ ràng không có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài
toán theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thông qua việc tìm
GTNN của một biểu thức trung gian T, biểu thức này được xác định qua lập luận sau:
+ Trước hết theo BĐT Cô si ta có
M = x + y + z 3
3
3 x y z
, đẳng thức xảy ra x = y = z (a) + Để tìm GTNN của biểu thức M ta đi tìm GTNN của biểu thức
3
3
3 3
T x y z
x y z
Đặt u 3 3 x y z thì việc tìm GTNN của biểu thức T được quy về việc tìm GTNN của
hàm số T u( ) u 9
u
trên nữa khoảng 0 ;3
2
2
u x y z x y z
)
Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến trên nữa khoảng 0 ;3
2
, nên
3 ( 0 ; ] 2
( )
m i n T u T
Suy ra GTNN của biểu thức trung gian T là 1 5
2 (đạt được x y z)
Tức là 3
3
3
2
T x y z
x y z
, đẳng thức xảy ra x y z (b)
+ Từ các kết quả (a) và (b) suy ra GTNN của biểu thức M ban đầu là 1 5
2 đạt được khi và chỉ khi x y z
2 Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến
Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lượt từng biến một
bằng cách chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại,
Trang 10bài toán lúc này trở thành bất đẳng thức một biến Luôn có tâm thế nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dưới dạng là một hàm số để ta sử dụng được công cụ hiệu quả trong bài toán là đạo hàm
Sơ đồ tổng quát
Giả sử tìm cực trị của biểu thức ba biến x y z, , là P x y z( , , ) với điều kiện T nào đó
Bước 1 Xem P x y z( , , ) là hàm theo biến x , còn y z, là hằng số Khảo sát hàm này tìm cực trị với điều kiện T Ta được:
P x y z( , , ) g y z( , ) hoặc P x y z( , , ) g y z( , )
Bước 2 Xem g y z( , )là hàm biến y , còn z là hằng số Khảo sát hàm này với điều kiện T Ta được : g y z( , ) h z( ) hoặc g y z( , ) h z( )
Bước 3 Cuối cùng khảo sát hàm số một biến h z( ) với điều kiện T ta tìm được min, max của hàm này
Ta đi đến kết luận : P x y z( , , ) g y z( , ) h z( ) m
hoặc P x y z( , , ) g y z( , ) h z( ) M
Ví dụ 10 (ĐH Khối A-2011) Cho ba số thực x y z, , 1; 4 và x y x, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P
Hoạt động khám phá:
- Khảo sát từng biến như thế nào ?
- Xem P là một hàm theo biến z, còn x, y là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho suy ra giá trị nhỏ nhất của P, tức là : P x y z( , , ) P x y( , )
- Khảo sát hàm P x y( , ), ở đây có thể đưa P x y( , )về hàm số một biến không ?
- Bằng cách đặt ẩn phụ t x
y
để đưa P x y( , ) về hàm một biến Tìm GTLN của hàm số một biến này
- Vậy ( , , ) ( , ) ( ) 3 4
3 3
P x y z P x y P t
Lời giải
Ta có :
P
Xem đây là hàm theo biến z ; còn x y, là hằng số
2
'( )
P z
Theo giả thiết x y x y 0 nên P 0 z x y (do x y z, , 1; 4 )
z x y '( )
P z - 0 + ( )
P z
min
Trang 11Từ bảng biến thiên:
( ) 2 = 2
x y
P P x y
x
t
y
, do x y x, zvà x y z, , 1; 4 nên 1 t 2 Xét hàm
2 2
2 ( )
t
f t
Ta có
( 2 3 ) (1 )
Suy ra f t( ) giảm trên 1; 2 , do đó 3 4
3 3
P P x y f t f
2
z x y
x t y
m in
3 3
P khi x 4 ,y 1,z 2
Ví dụ 11 Cho ba số thực , , 1; 3
3
a b c
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P a b c
a b b c c a
Hoạt động khám phá:
- Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào?
- Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho suy ra giá trị lớn nhất của P, tức là : P a b c( , , ) g b c( , )
- Khảo sát hàm g b c( , )là một hàm theo biến c, còn b là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của g b c( , ), tức là g b c( , ) h b( )
- Tiếp theo khảo sát hàm h b( ) suy ra ( ) 8
5
h b
- Vậy ( , , ) ( , ) ( ) 8
5
P a b c g b c h c
Lời giải:
Đặt P a( ) a b c
a b b c c a
Xem đây là hàm số theo biến a , còn b c, là hằng số
2
'( )
P a
Trường hợp 1: a b c và , , 1; 3
3
a b c