chuyên đề toán thpt dạy GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số TRONG kỳ THI THPTQG

DẠY GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG KỲ THI THPTQGNỘI DUNG 1.ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 2.CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

DẠY GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG KỲ THI THPTQG

NỘI DUNG 1.ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

2.CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

3.HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO 4 CẤP ĐỘ

4.HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN VẬN DỤNG CAO

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT

1) Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x ) xác định trên tập D

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) M với mọi x thuộc D và tồn tại x 0 D sao cho f ( x 0 )M

Bước 2: Lập bảng biến thiên

3) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn a; b

Lưu ý: • Trên khoảng thì a;b và

a;b có thể không tồn tại.

a; b min f ( x ) max f ( x )

• Nếu hàm số xác định và liên tục trên đoạn a; b thì sẽ đạt GTLN

và GTNN trên đoạn a; b

B BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ 1(NB): Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Khẳng định nào sau đây đúng?

3 y

A.Giá trị lớn nhất của hàm số là 3

B.Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x 2

D.Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 2(NB): Hàm số nào sau đây không có GTLN và GTNN trên đoạn 3;1

Cách 1: f '(x) 6x 2 24x 18 , f '(x) 0

f (0 10, f (1) 2, f (3) 10, f (4) 2

Vậy GTNN và GTLN của hàm số trên đoạn 0; 4 là 10 và 2 Chọn A

Cách 2: (Tư duy truy hồi)

Nếu có a là giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của hàm số f ( x ) trên miền

D thì điều kiện cần là phương trình f ( x ) a có nghiệm thuộc tập D

Phương trình f ( x ) 10 2x 3 12x 2 18x 10 10 x 0, x 3 0, 4 Vậy 10 là GTNN

Phương trình f ( x ) 8 2x 3 12x 2 18x 10 8 x 4, 4 0, 4 Vậy 8 không là GTLN Suy ra đáp án A.

Ví dụ 4(TH): Giá trị của x để hàm số f ( x ) x 4 2x 2 3 đạt GTLN trên 2; 1 là:

2

2 Hướng dẫn giải:

án B Cách 2: (Tư duy truy hồi)

Dùng máy tính Casio nhập hàm X 4 calc

Do đó yêu cầu bài toán m 2 m 2 m 1; m 2 Chọn B

Cách 2: (Tư duy loại trừ)

Ví dụ 7(VD): Xét các số thực a , b thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất P min của biểu

Ví dụ 8(VDC): Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy

là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8 dm 3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là:

Đặt T AB 2 144 Tìm GTNN của T

AC 4

Tính f '( x ) x 3 864

0 x 6 3 4 2x 2

Lập bảng biến thiên ta có: min f ( x ) f ( 3 4) 54 3 2 Chọn A

Ví dụ 10(VDC): Một cái hồ hình chữ nhật rộng 50m và dài 200m Vận động viên Nguyễn

Thị Ánh Viên tập luyện bơi phối hợp với chạy như sau: Bơi từ vị trí điểm A thẳng đến điểm M, rồi chạy theo chiều dài bể bơi đến vị trí điểm N và bơi từ vị trí điểm N thẳng về đích là điểm D Hỏi Ánh Viên nên chọn vị trí điểm M cách điểm A bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) để đến đích nhanh nhất biết rằng vận tốc bơi là 1, 6 m / s và vận tốc chạy là 4, 8 m / s

Khi đó AM 25

22 50 2 53 Chọn C Chú ý: Nếu đặt AM x thì BM tính theo căn nên NC cũng tính

theo căn và tính ND sẽ phức tạp hơn nhiều.

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO 4 CẤP ĐỘ

PHẦN NHẬN BIẾT Câu 1: Cho hàm số y f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn a; b ,khẳng định nào sau đây

đúng?

A Trên đoạn a; b , hàm số đạt GTLN tại x b

B Trên đoạn a; b , hàm số đạt GTNN tại x a

Khẳng định nào sau đây là đúng?

PHẦN THÔNG HIỂU Câu 1: GTLN của hàm số y x 3 3x 2 trên đoạn 0; 2 là:

512 4

Câu 10:Tìm GTLN M và GTNN m của hàm số y x.e x trên nữa khoảng 0;

Câu1 : Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn điều kiện y 0 và x 2 x y 6 Gọi

M , m lần lượt là GTLN,GTNN của biểu thức P xy 5x 2 y 27 Tổng M m bằng:

Câu 6: Tìm a để GTNN của hàm số f ( x ) 2x a trên khoảng 0;3 bằng là:

2 x

Câu 8: Sau khi phát hiện một dịch bênh các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh

kể từ ngày phát hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ x là f ( x ) 45x 2 x 3 với x 1, 2, 3, , 25 Nếu ta coi f như một hàm số xác định trên đoạn 0; 25 thì f '( x ) được xem là tốc độ truyền bệnh ( người/ngày) tại thời điểm x Hãy xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất.

2 2.log ab a log ab b 2 4 log a ab

A P min 36 B P min 24 C P min 32 D P min 48

Câu 13: GTLN của hàm số f ( x ) trên đoạn 0; 2 là:

Câu 15: Cho biểu thức P x 2

xy y 2 với x 2 y 2 0 Giá trị nhỏ nhất của P bằng:

A 6 m / s B 4 m / s C 3 m / s D 5 m / s

PHẦN VẬN DỤNG CAO

Câu 1: Cho C m là đồ thị hàm số y x 3 3mx 1 với m ; 0 là tham số thực Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của C m Tìm số các giả trị của m để đường thẳng d cắt đường tròn tâm I 1;0 bán kính R 3 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam

giác IAB đạt giá trị lớn nhất

Câu 3: Một công ty vận tải thu vé 50000 đồng mỗi khách hàng 1 tháng Hiện mỗi tháng công ty

có 10000 khách hàng Họ dự định tăng giá vé nhưng nếu giá vé tăng 10000 đồng thì số khách hàng sẽ giảm 500 người Hỏi công ty nên tăng giá vé là bao nhiêu để doanh

thu hàng tháng là lớn nhất.

Câu 4: Trong lĩnh vực thủy lợi , mương được gọi là cái dạng “thủy động học” nếu với tiết diện

ngang T n của mương có diện tích xác định , độ dài đường biên giới của T n nhỏ nhất Cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “thủy động học” Giả sử mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật (như hình vẽ) với diện tích bằng

Xác định kích thước của mương dẫn nước để mương có dạng “thủy động

Câu 5: Từ nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể

tích 1dm 3 Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc hình trụ Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.

A Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy

B Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy.

C Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.

D Hình trụ và đường cao bằng đường kính đáy.

Câu 6: Một xà lan bơi ngược dòng sông để vượt qua một khoảng cách 30 km Vận tốc dòng nước là 6 km / h Nếu vận tốc của xà lan khi nước đứng yên là v ( km / h) thì lượng dầu

tiêu hao của xà lan trong t giờ được cho bởi công thức E ( v ) c.v 3 t trong đó c là một

hằng số , E được tính bằng lít.Tìm vận tốc của xà lan khi nước đứng yên để lượng dầu tiêu hao là nhỏ nhất.

học”

200 m 2

A v 18 B v 12 C v 24 D v 9

Câu 7: Khối nón đỉnh O chiều cao h Một khối

nón khác có đỉnh là tâm I của đáy và

đáy là một thiết diện song song với

đáy của hình nón đã cho Để thể tích

của khối nón đỉnh I lớn nhất thì chiều

cao của khối nón này bằng bao nhiêu?

Câu 8: Khi cắt mặt cầu S (O , R) bởi một mặt kính ,ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của

mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S (O , R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu ,còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu Biết R 1 ,tính bán kỉnh đáy

r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S (O , R) để khối trụ

Câu 10: Một đường dây điện được nối từ một

nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C

Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là

1km Khoảng cách từ B đến A là 4 km

Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất

5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000

USD Hỏi điểm S trên bờ cách A bao

nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S

rồi đến C là tốn kém ít nhất.

A 2, 5 km B 4, 75 km

Câu 11: Cho nửa đường tròn đường kính AB 2R và điểm C thay đổi

trên nửa đường tròn

đó , đặt góc và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB Tìm

Xét hàm số f ( d ) d 9 d ta được Max f ( d ) f 2

2

0; 2

Dấu bằng xảy ra khi d d I ; d 2 m 1 4 m 2 4 m 1 0 m 1

2

4 m 2 1 Chọn A

Câu 2: Gọi A 3;1 , B 1;3 M x; y là điểm biểu diễn số phức z

và

Vì AB 2 5 nên z 3 i z 1 i 2 5 MA MB AB

Vậy quĩ tích điểm M là đoạn AB

Viết phương trình đường AB được x 2 y 5 0

Chú ý: Ta có thể giải bài này theo phương pháp hình học

Gọi C(0;1) là điểm biểu diễn số phức i ,khi đó z i CM

Câu 3: Phương pháp:

Gọi số tiền giá vé sau khi tăng lên là x đồng.

Thiết lập biểu thức tính doanh thu hàng tháng theo x.

Tìm GTLN của biểu thức đó

Cách giải:

-Vé tăng lên 10000 đồng – Số người giảm 500 người Suy

ra : vé tăng 1 đồng - Số người giảm 10000 500 người

Vé tăng x-50000 đồng – Số người giảm 500 x 50000 x 50000

Khi đó số khách hàng mỗi tháng là 10000 x 50000 250000 x

Doanh thu hàng tháng là :

250000 x 1 x 250000 x 1 x 250000 x 2 1125000 2

Dấu “=” xảy ra 250000 x x x 125000

Vậy giá vé cần tăng lên là 75000 đồng Chọn B

Chú ý: Chỉ cần tìm đến :Doang thu hàng tháng 1 x 250000 x là học sinh có

20 thể dùng MTBT kiểm tra xem kết quả nào làm doanh thu lớn nhất.

Câu 4: Cách giải:

Mương dẫn nước đã có tiết diện ngang là 200m 2

Khi đó để mương có dạng “ thủy động học” thì cần nhỏ nhất

Cách giải:

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích xung quanh bao bì phải nhỏ nhất Trong lời giải dưới đây các đơn vị độ dài tính bằng dm , diện tích tính bằng dm 2 -Xét mô hình hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh

a và chiều cao h Khi đó : a 2 h 1 và diện tích toàn phần S 2a 2 4ah

Đến đây có thể thế h a 1 2 vào S rồi dùng đạo hàm S’ (a>0) để tìm GTNN của S Hoặc có thể dùng BĐT Côsi cho 3 số 2a 2 , 2a h, 2ah được:

S 3 3 2a 2 2ah.2ah 6 Dấu “=” xảy ra khi a=h

-Xét mô hình hình trụ có đáy là hình tròn bán kính r và chiều cao h.

Ta có r 2 h 1 và diện tích toàn phần bằng S 2 r 2 2 rh

Cũng giống mô hình trên ta có thể làm bằng 2 cách

Dùng Côsi được S 2 r 2 2 rh 3 3 2 r 2 rh rh 5, 536 Dấu “=” khi h=2r Vậy mô hình hình trụ là tôt nhất Hơn nữa ta còn thấy trong mô hình hình hộp thì hình lập phương là tiết kiệm nhất, trong mô hình hình trụ thì hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy là tiết kiệm nhất Chọn D

Vận tốc xà lan khi bơi ngược dòng là: v n v 6 ( km / h)

Thời gian bơi ngược để vượt khoảng cách 30 km là: t S 30

Chú ý : Có thể dùng đạo hàm để tìm GTNN của f ( v ) c.v 3 30 với v 6

v 6 Câu 7: Phương pháp:

-Gọi thể tích ,bán kính đáy của khối nón đỉnh O lần lượt là : V , r

Gọi thể tích ,bán kính đáy, chiều cao của khối nón đỉnh I lần

lượt là : V 1 , r 1 , h 1 -Khi đó V 1

3 r 2 h

-Gọi h h 1 n r

r 1 1 n r 1 1 n r

-Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC ,AB.

H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

- Đến đây có thể dùng đạo hàm , xong

dùng Côsi cho 2 số nhanh hơn:

2x 3a 2 4x 2 4x 2 3a 2 4x 2 3a 2

V 1 a 3a 2

a 3 1228 Dấu “=” xảy ra 4x 2 3a 2 4x 2 x 3a

- Đặt y 5a 3b 5 1 4 b 2 3b

(Đk: 0 b 4 )

y ' 5.2 b 4 3 5 b 4 3 1 4 b 2

- Thể tích của vật thể tròn xoay tạo

thành khi quay ACH quanh trục AB là:

- Sử dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhia-copxki vào đánh giá

- Sử dụng phương pháp hàm số : Khảo sát hàm số trên một đoạn.

3

x y