Bài tập lớn Bộ môm Phân tích tối ưu hóa hệ thống 6

BỘ MÔN PHÂN TÍCH TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG Đào tạo nguồn nhân lực trong lĩnh vực Khoa học cơ bản, thuộc Toán ứng dụng. Người học sau khi tốt nghiệp chuyên ngành Tối Ưu có khả năng làm việc và thích ứng với môi trường kinh tế năng động; có đủ kiến thức làm việc với các mô hình toán học, đặc biệt là các lý luận và phương pháp liên quan đến quyết định tốt nhất (tối ưu) trong các lĩnh vực khoa học, kinh tế, tài chính, kỹ thuật, công nghệ....Có tư duy nghiên cứu độc lập; có năng lực tự học tập bổ sung kiến thức, nâng cao trình độ chuyên môn.

MỞ ĐẦU

Hiện nay, phương pháp phân tích hệ thống (PTHT) được áp dụng khá phổ biến giúp cho các nhà lãnh đạo, các nhà hoạch định để có tầm nhìn tổng quát về các chính sách, dự án sắp triển khai để từ đó đưa ra các quyết định đúng đắn, giảm thiểu nguy cơ và các yếu tố rủi ro

PTHT tập trung vào các vấn đề nảy sinh từ các tương tác giữa các yếu tố con người trong xã hội, trong các hoạt động sản xuất, kinh doanh và môi trường Việc chọn giải pháp đòi hỏi phải phân tích các thông tin phức tạp có bản chất khác nhau Để chọn được giải pháp tối ưu (kiểm soát trên cơ sở dự báo), chúng ta cần xây dựng mô hình và phân tích, điều khiển tối ưu hệ thống

Bài tiểu luận của nhóm 3 được thực hiện dựa trên cơ sở đó

Phần 1: LÝ THUYẾT NGUYÊN TẮC CHUNG ĐỂ XÂY DỰNG MÔ HÌNH CỦA HỆ THỐNG

I XÁC ĐỊNH MỤC TIÊU

Mô hình giúp chúng ta hiểu vấn đề, giao tiếp với mọi người có liên quan đến dự án (khách hàng, chuyên gia lĩnh vực thuộc đề án, nhà phân tích, nhà thiết kế, …) Mô hình rất hữu dụng trong việc mô hình hoá doanh nghiệp, soạn thảo tài liệu, thiết kế chương trình cũng như ngân hàng dữ liệu Mô hình giúp hiểu các đòi hỏi của hệ thống tốt hơn, tạo các thiết kế rõ ràng hơn và xây dựng nên các hệ thống dễ bảo trì hơn

Mô hình là kết quả của sự trừu tượng hóa nhằm miêu tả các thành phần cốt yếu của một vấn đề hay một cấu trúc phức tạp qua việc lọc bớt các chi tiết không quan trọng và làm cho vấn đề trở thành dễ hiểu hơn Trừu tượng hóa là một năng lực căn bản của con người, cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề phức tạp Các kỹ sư, nghệ

sĩ và thợ thủ công đã xây dựng mô hình từ hàng ngàn năm nay để thử nghiệm thiết kế trước khi thực hiện Để xây dựng các hệ thống phức tạp, nhà phát triển phải trừu tượng hóa nhiều hướng nhìn khác nhau của hệ thống, sử dụng ký hiệu chính xác để xây dựng

mô hình, kiểm tra xem mô hình có thỏa mãn các đòi hỏi của hệ thống, và dần dần bổ sung thêm chi tiết để chuyển các mô hình thành thực hiện

Trong thực tế, nếu mô hình hóa được thực hiện trong những giai đoạn đầu của dự án thì thường nhà phát triển sẽ không biết khả năng thực thi sau này như thế nào Chúng ta xây dựng mô hình cho các hệ thống phức tạp bởi chúng ta không thể hiểu thấu đáo những hệ thống như thế trong trạng thái toàn vẹn của chúng Khả năng thấu hiểu và nắm bắt tính phức tạp của con người là có hạn Điều này ta có thể thấy rõ trong ví dụ của ngành xây dựng Nếu bạn muốn tạo một túp lều ở góc vườn, bạn có thể bắt tay vào xây ngay Nếu bạn xây một ngôi nhà, có lẽ bạn sẽ cần tới bản vẽ, nhưng nếu bạn muốn xây một toà nhà chọc trời thì chắc chắn bạn không thể không cần bản vẽ Xây dựng mô hình cho phép nhà thiết kế tập trung vào bức tranh lớn về sự tương tác giữa các thành phần trong đồ án, tránh bị sa lầy vào những chi tiết riêng biệt của từng thành phần

Một môi trường kinh doanh mang tính cạnh tranh gay gắt và luôn luôn thay đổi dẫn đến tính phức tạp ngày càng tăng cao, và tính phức tạp này đặt ra những thách thức đặc trưng cho các nhà phát triển hệ thống Mô hình giúp chúng ta tổ chức, trình bày trực quan, thấu hiểu và tạo nên các hệ thống phức tạp Chúng giúp chúng ta đáp ứng các thách thức của sự phát triển hôm nay cũng như ngày mai

Mô hình hóa được sử dụng để mô tả một hệ thống mới sẽ phải làm gì hoặc một hệ thống đang tồn tại làm gì Một mô hình được xây dựng qua một quá trình mang tính vòng lặp, trong đó những cuộc hội thảo bàn luận giữa nhóm phát triển hệ thống và người sử dụng sẽ dẫn tới một đặc tả yêu cầu được tất cả mọi người chấp nhận

II NGUYÊN TẮC CHUNG

1 Phân loại các hệ thống

1.1 Mô hình tổng quát của hệ thống theo cách mô tả trong

 Trạng thái là đại lượng phản ánh cấu trúc bên trong của hệ thống và phải chứa đủ thông tin để có thể mô tả quỹ đạo của hệ thống

 Mô tả trong một hệ thống:

 Hàm chuyển trạng thái G

+ Biến trạng thái là X t  

+ Trạng thái ban đầu là X t 0

+ Biết quy luật tác động vào: Hàm U t cho trên miền   T t t0; S

+ Hàm chuyển trạng thái G

     0 0

X t S  �G X t� ;U t t t; ; S�� + Quỹ đạo trạng thái

 Hàm ra H

+ Cái ra của hệ thống là Y t 

+ Y t   �H X t U t t�    ; ; �� với �t T

+ H được gọi là hàm ra

 G và H đều là những ánh xạ từ tập tích của các tập hàm trạng thái X , tập các hàm vào ,U tập T vào X (vàoY)

Hoạt động của hệ thống được mô tả bởi hai ánh xạ G và H

 Hàm chuyển trạng thái G phải thỏa mãn ba tính chất: nhất quán, tương hợp,

nhân quả

+ Tính nhất quán

� 0 ; ; ;0 0� 0

+ Tính tương hợp (nửa nhóm)

� 0 ; ; ;0 s2� � � 0 ; ; ;0 s1�; ; ;s1 s2�

 t0 t s1 t s2

+ Tính nhân quả (phản ánh quan hệ vào - ra) nếu U t  V t   �t  t t0;s , thì :

�X t U0 ; ; ;t t0 s2� G X t� 0 ;V ; ;t t 0 s� Nói cách khác, hệ thống với cùng trạng thái ban đầu X t 0 ,cùng một tác động vào như nhau U V phải cho các kết quả như nhau.

1.2 Phân loại hệ thống

 Hệ rời rạc & hệ liên tục

+ X t  1 G X t U t t t��    , , , 1��

+Trực quan, dễ nhận thức, phù hợp với tư duy thực tế ;

+Rời rạc hoá một HT liên tục để tiện nghiên cứu và tính toán ;

+ X t'   �G X t�    0 ,U t t, ��

+Đôi khi cho được nghiệm giải tích chính xác ;

+Giải chính xác một bài toán với mô hình gần đúng với thực tế thường có ích hơn giải gần đúng bài toán với mô hình chính xác hơn

 Tai biến (đột biến) với hệ liên tục

+Trạng thái đàn hồi chuyển sang trạng thái đàn dẻo ;

+Hiện tượng nhảy vọt về kinh tế trong một số quốc gia ;

+Cách dùng thuốc cho bệnh nhi.

 Hệ tuyến tính & hệ phi tuyến

+X, Y, U lập nên các không gian tuyến tính

+G và H là các ánh xạ tuyến tính

+Nguyên lý cộng tác dụng

+Nguyên lý chồng chất nghiệm

+Tập lồi và Tập lõm

+Hàm lồi và Hàm lõm

+Các ví dụ thực tế về hàm lồi, hàm lõm(các H.II.8)

+Tổng hàm lồi và hàm lõm cho ta một hàm có đồ thi dạng chữ S (H.II.9)

 Tập lồi và Tập lõm

 Hàm lồi và Hàm lõm

[ ( )F x F x( )] / 2�F x[( x ) / 2] F x[( 1x2) / 2]�[ ( )F x2 F x( )] / 22

 Lý thuyết quy hoạch

+ Quy hoạch tuyến tính

+ Quy hoạch lồi

+ Quy hoạch lõm

+ Quy hoạch phi tuyến

+ Hệ tất định & hệ ngẫu nhiên:

 Tính ngẫu nhiên thể hiện ở biến vào U t và biến trạng thái. 

+Các mối quan hệ tất định

+Hàm của các biến được xét những quy luật tất định

+Hiện tượng xảy ra hoặc không xảy ra một cách chắc chắn

+Kết luận chính xác

+Các mối quan hệ ngẫu nhiên

+Hàm được xét còn phụ thuộc vào các biến ngẫu nhiên

+Hiện tượng xảy ra hoặc không xảy ra theo một xác suất nào đó

+Kết luận theo một độ tin cậy nào đó

 Hệ mờ

+Nhằm giải quyết các trường hợp thiếu thông tin

+Vấn đề lượng hoá các kết luận định tính

+Sự phát triển của Lý thuyết tập mờ và các ứng dụng của nó trong kinh tế, kỹ thuật, khoa học tự nhiên và khoa học xã hội, nhân văn…

+Lý thuyết tập mờ rất chính xác và chặt chẽ

+Ngành Thủy văn mờ đang hình thành và phát triển…

+Dựa vào các phép toán trên tập mờ, ta có thể tính toán trên các mô hình mờ

2 Mô hình hóa hệ thống

2.1 Xây dựng mô hình

Xây dựng mô hình là một trong những khâu quan trọng của phân tích hệ thống Mô hình tốt hay không tốt, có sát thực tế hay không sẽ ảnh hưởng tới việc phân tích hệ thống về sau

Để xác định mô hình trước hết ta cần phải dựa vào mục tiêu cụ thể Cùng một hệ thống mục tiêu chọn khác nhau thì mô hình cũng khác nhau

Sau khi xác định mục tiêu, ta cần xác định phạm vi giới hạn của hệ thống Khi cần tách nhiều hệ con và khi ghép các hệ con này lại với nhau thì có thể hình dung rõ nét, đầy đủ hơn về an toàn hệ thống Đó là khâu mô hình hóa

Cần phải chú ý đến chất lượng mô hình (phản ánh thực tế tới mức nào) và độ phức tạp của mô hình (không nên coi mô hình hóa quá đơn giản, cũng như cần tránh khuynh

hướng phức tạp hóa vấn đề) là hai đặc trưng khác biệt không nhất thiết liên quan đến nhau

2.2 Các loại mô hình

Mô hình có thể là định tính, trong đó ta nêu các thành phần, những mối quan hệ, ràng buộc rồi mô tả (thường bằng lời và biểu đồ)

Có thể mô tả định lượng mô hình đưa ra nhờ các số liệu, các quan hệ về lượng Nếu sử dụng ngôn ngữ và các công cụ toán học thì hệ thống sẽ được mô hình hóa bởi một mô hình toán học

Mô hình toán học luôn bao gồm một số biến đặc trưng định lượng cho những yếu tố chính tham gia vào các quá trình được xét và một hay nhiều phương trình rành buộc các biến đó với nhau, nhằm mô tả những mối liên hệ và tương tác giữa các yếu tố nói trên

Mô hình hóa một hệ thống thực chất là mô hình hóa quá trình vận động của nó bằng cách xây dựng phương trình trạng thái Như vậy, đối với một hệ thống cụ thể, cần phải lựa chọn các biến đầu vào (gồm các biến điều khiển và các biến ngẫu nhiên nếu cần), các biến ra và các biến trạng thái, mô tả quan hệ giữa các biến bằng những phương trình dựa trên cơ sở những nguyên lý hay quy luật đã biết và khi đó có thể xuất hiện các biến quan hệ

Khi mô hình hóa hệ thống ta có các loại biến sau:

+Biến vào U

+Biến trạng thái X

+Biến ra Y

+Biến quan hệ R nối các biến trên với nhau

Các loại mô hình:

+ Mô hình giải tích: Biết U, X và Y, xác định R Chẳng hạn xác định sơ đồ tổ chức của một cơ quan: tổng kết tài sản, tài khoản, kết quả; điều phối dự án bằng phương pháp PERT…

+ Mô hình dự báo: Với R và X đã cho, với các giả thiết về U, ta dự báo Y Chẳng hạn, dự báo về một cải cách giáo dục; dự báo về thời gian hoàn thành dự án; mô phỏng kinh tế

+ Mô hình nhận thức (mô hình thực nghiệm): Tìm các bộ giá trị U, X, R, Y liên kết chặt chẽ và tương hợp với nhau

+ Mô hình tối ưu hóa: Với các điều kiện ràng buộc đã cho về R và X, xác định

U để tối ưu hóa Y

Cuối cùng, một mô hình trong thực tế có thể là kết hợp của các dạng mô hình vừa nêu trên, hoặc trong quá trình phát triển, người ta có thể mô tả cùng một hệ thống bằng các dạng mô hình khác nhau

Một mô hình tốt thì không được bỏ sót các biến cần thiết và những mối liên hệ quan trọng bên trong của hệ thống thực Mặt khác, không nên làm cho mô hình trở thành quá phức tạp nếu không sẽ không giúp ta giải quyết được vấn đề đặt ra hoặc sẽ rất khó có khả năng áp dụng

Sau khi mô hình hóa, người ta phải dựa trên mô hình và dùng các phương pháp, phương tiện thích hợp để hiểu rõ động thái và hành vi của hệ thống, sự vận động thực tế của nó, các xu thế chính cùng các khả năng tác động và điều khiển nó Các nhà phân tích cần có những tri thức và phương pháp khoa học để nhận biết hệ thống nghiên cứu có thể điều khiển tới mức độ nào, trạng thái nào là đạt tới được, trạng thái nào có thể quan sát được, có thể tái lập được Có những mô hình hệ thống hoàn toàn không thể điều khiển, quan sát

Sự cân bằng, ổn định của hệ thống được xét là một vấn đề quan trọng Đây là một trong những khái niệm sâu sắc nhất để giải thích hành vi của một hệ thống

Mô phỏng là một phương pháp dùng để phân tích hành vi của một hệ thống Với máy tính điện tử phương pháp mô phỏng có thể coi là một kỹ thuật tiêu biểu của phân tích hệ thống

Khi nghiên cứu hệ thống ta cần nghiên cứu vấn đề tối ưu hóa hệ thống Mỗi hệ thống thường được xét trên ba phương diện chính là độ hoàn thiện, nguồn lực và thời gian Đối với mỗi hệ thống cần nghiên cứu bao giờ cũng có những mục tiêu đề ra và có nhiều phương pháp tối ưu để đạt được mục tiêu đó

3 Phân tích động thái của hệ thống

Trong phân tích hệ thống, sau khi đã xây dựng được mô hình toán học cho hệ thống, ta cần sử dụng mô hình này để nghiên cứu động thái và hành vi của hệ thống Trong đoạn này chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất đạt được, điều khiển được, quan sát được, cân bằng và ổn định Để minh họa cho các khái niệm này ta sẽ khảo sát trường hợp các hệ thống tuyến tính là các hệ thống đã được nghiên cứu kỹ và hay gặp

 Đạt được và điều khiển được:

Khi điều khiển hệ thống ta thường gặp bài toán phải tìm cách đưa hệ thống về một trạng thái mong muốn nào đó Ví dụ, chúng ta muốn điều khiển để đưa nền kinh tế, hoặc đưa một xí nghiệp, một công ty đến một mức thu nhập nào đó Liên quan đến vấn đề này ta thường phải giải quyết bài toán liệu trạng thái mong muốn nào đó có thực sự đạt được hay không Từ đó, ta đi đến khái niệm đạt được và điều khiển được

 Quan sát được và tái lập được:

Trong nghiên cứu hệ thống, một bài toán khác thường gặp là dựa vào quan sát hành vi của hệ thống, cụ thể là dựa vào các số liệu quan sát được về quan hệ vào-ra của hệ thống, hãy đoán nhận trạng thái của hệ thống Giải quyết bài toán này ta dựa vào các định nghĩa sau đây:

Định nghĩa: Xét hệ thống cho bởi các hàm chuyển trạng thái và hàm ra

Hệ thống được gọi là quan sát được trong khoảng thời gian  t t0 1, nếu các giá trị vào ra của hệ thống trong khoảng thời gian đó cung cấp đủ thông tin để xác định được trạng thái ban đầu x0

Như vậy hệ là quan sát được trong khoảng ( , )t t0 1 có nghĩa là

{ ( , (.), , )y x u t t �ή�y x u( , (.), , ) /t t vt ( , ), (.)t t vu U} x x

Hệ thống được gọi là hoàn toàn quan sát được nếu v t0, t1 sao cho hệ là quan sát được trong khoảng ( , )t t0 1

Hệ thống được gọi là tái lập được trong khoảng thời gian ( , )t t0 1 nếu các giá trị vào-ra của hệ thống trong khoảng thời gian đó cung cấp đủ thông tin để xác định được trạng thái của hệ tại thời điểm t1 Hệ được gọi là hoàn toàn tái lập được nếu mọi t t0, 1

sao cho hệ tái lập được trong khoảng ( , )t t0 1

 Cân bằng và ổn định:

Xét hệ thống (1) mô tả bởi hàm chuyển trạng thái

0) 0

( ) ( ( , (.), , )

x t G x t u t t

Trạng thái x0 được gọi là cân bằng dưới tác động của u (.) không làm hệ thống thay đổi trạng thái Trong trường hợp hệ tuyến tính ta thường xét trạng thái cân bằng dưới tác động của u(.) ≡ 0 và gọi tắt là trạng thái cân bằng

 Định nghĩa:

+ Trạng thái cân bằng x0 được gọi là ổn định theo nghĩa Liapunov nếu với mọi ε>0 và t0�T cho trước, có tồn tại δ >0, sao cho:

x X� mọi t Tγ � t t x x0 0  lim G x t t( , , )0 0 x0 

+ Cho T không bị chặn về phía phải Trạng thái cân bằng x0được gọi là ổn định tiệm cận nếu với mọi t0�T cho trước, có tồn tại   0sao cho:

0 lim ( , , )0 0 0

x X x x�   � G x t t x  Tập A t( ) {0  x X� / lim G x t t( , , )0 x0 0 gọi là vùng hấp dẫn hay vùng ổn định tiệm cận của x0tại thời điểm t0

Để minh họa ta xét sựu ổn định của hệ tuyến tính rời rạc

Xét hệ tuyến tính x t(  1) ax t( ) x R� n

Với hệ nàyx0 0 là trạng thái cân bằng.