MỘT số DẠNG và PHƯƠNG PHÁP tìm GTLN, GTNN ở cấp THCS

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN THCS A.. Một số kết quả: - Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.. - Nếu 2 số dương có tích không đổi

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN THCS

A LÝ THUYẾT:

1 Áp dụng hằng đẳng thức: A 2 ±2AB+ B 2 = (A±B) 2 để biến đổi biểu thức về dạng:

* A = a + [f(x)]2 ≥ a suy ra minA = a khi f(x) = 0

* B = b - [f(x)]2 ≤ b suy ra maxB = b khi f(x) = 0

2 GTLN của biểu thức A:

- Chứng minh A  M ( M là một hằng số)

- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra

- Khi đó M là GTLN của A, ta còn kí hiệu maxA = M

3 GTNN của biểu thức A:

- Chứng minh A  m ( m là một hằng số)

- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra

- Khi đó m là GTNN của A, ta còn kí hiệu minA = m

4 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

a | x| + | y | ≥ | x + y | để tìm GTNN

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x.y ≥ 0

b | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0

c a  a, với mọi a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 0

d a  0, với mọi a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0

4 Áp dụng bất đẳng thức:

b a b

a    (a ≥ b ≥0 ) để tìm GTLN

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi b(a-b) = 0  b = 0 hoặc a = b

5 Áp dụng bất đẳng thức:

b a b

n

a a a

a1. 2. 3 ( 2)Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = … = an

Từ đẳng thức (2) ta suy ra:

+ Nếu a1.a2.a3 … an = k (không đổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = nn k

 a1 = a2 = a3 = … = an + Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (không đổi ) thì max(a1.a2.a3 … an ) = n

a a

- Với 4 số a, b, c, d bất kì, ta luôn có: (ab + cd) 2  (a2 + c2) (b2 + d2)

- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc

 Chú ý: Nếu b, d 0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

d

c b

a



8 Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0)

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x b a

2



 (x   b a')

9 Một số kết quả:

- Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau

- Đối với tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a  0

+ Nếu a > 0 thì f(x) có GTNN nhưng không có GTLN

+ Nếu a < 0 thì f(x) có GTLN nhưng không có GTNN

- Nếu y = m + A2 thì min y = m khi A = 0

- Nếu y = m – A2 thì max y = m khi A = 0

- Nếu y = m + A thì min y = m khi A = 0

- Nếu y = m – A thì max y = m khi A = 0

- Nếu y = m + A thì min y = m khi A = 0

- Nếu y = m – A thì max y = m khi A = 0

B PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP:

1/ Dạng 1:

Áp dụng hằng đẳng thức: A 2 ±2AB+ B 2 = (A±B) 2 để biến đổi biểu thức về dạng:

* A = a + [f(x)] 2 ≥ a suy ra minA = a khi f(x) = 0

* B = b - [f(x)] 2 ≤ b suy ra maxB = b khi f(x) = 0

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = 4x2 + 4x + 11b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)c) C = x2 – 2x + y2 – 4y + 7

c C = (x2 – 2x + 1) +(y2 – 4y + 4) + 2

= (x -1)2 + (y -2)2 +2 ≥ 2Suy ra minC = 2 khi x =1 và y = 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) A = 5 - 8x – x2

b) B = 5 – x2 + 2x - 4y2 – 4y

Giải:

a) Ta có A = - (x2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4)2 + 21 ≤ 21

Suy ra maxA = 21 khi x = -4b) Ta có B = - (x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7

= - (x -1)2 - (2y + 1)2 + 7 ≤ 7Suy ra maxB = 7 khi x =1 và y =  12

Suy ra maxB = 4 khi x = 2

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

1 2 0

y y x y

y x

Vậy minB =2 khi x = y =

x y y

x y

Vậy minC = 2 khi x = -3, y = 13) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 2 43





 x x

Suy ra maxA =1 khi x = 21

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 4 4 4 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 9

Suy ra minB = 3 khi 2x2 - x – 1 =0  (2x + 1)(x – 1) = 0

- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra

- Khi đó M là GTLN của A, ta còn kí hiệu maxA = M

2 GTNN của biểu thức A:

- Chứng minh A  m ( m là một hằng số)

- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra

- Khi đó m là GTNN của A, ta còn kí hiệu minA = m

a GTLN và GTNN của một tam thức bậc hai và một số đa thức bậc cao.

Vậy GTNN của A bằng 4 khi x = 0 hoặc x = – 2

b) B = 2(x – 2)4 – 3(x – 2)2 + 11

= 2  

8

79 8

79 4

3 2

2 2

3 2

x x

Vậy GTNN của B bằng 798 khi x = 2

2 2

x x

Vậy GTLN của B bằng – 14 khi x = – 2 + 2 hoặc x = – 2 – 2

Vậy GTNN của A bằng – 36 khi x = 1 hoặc x = 6

13

6

205 6

13

36

205 6

13

0 1 3

13

2 2

x x x

x x

16 9

Vậy GTNN của C bằng 169 khi x =  21

Vậy GTNN của D bằng 2017 khi x = 2 hoặc x = 1

Vậy GTLN của A bằng 121 khi x = – 2 hoặc x = 5

Vậy GTLN của B bằng 5 khi x = – 2 hoặc x = 1

b GTLN và GTNN của biểu thức là nghịch đảo của tam thức bậc hai.

 Chú ý: Với A > 0 thì:

b) B =

5 4

17 12 3

2 2

x x

Giải:

a) 3x2 – 12x + 2017 = 3(x – 2)2 + 2005 2005, với mọi x



2017 12

17 12 3

2 2

x

5 4

2

2



 x x

x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 11



5 4

3x2 – 4x + 3 = 3

3

5 3

5 3

a | x| + | y | ≥ | x + y | để tìm GTNN

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x.y ≥ 0

b | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0

c a  a, với mọi a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 0

d a  0, với mọi a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0

Thí dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = | 2x – 5 | + | 2x + 1 |b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 |c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 |d) D = 25x2  20x 4  25x2

2

5 2

c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 | = | x - 1| + | x – 4 | + | x – 2 | + | x – 3 |

Ta có: | x - 1| + | x – 4 | ≥ | x -1 +4 – x | ≥ 3

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0  1x 4

Ta có: | x – 2 | + | x – 3 | ≥ | x -2 +3 – x | ≥ 1

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0  2x 3

Vậy minC = 3 + 1 = 4 khi 2x 3

d)Ta có D = ( 5x 2 ) 2  25x2

= | 5x – 2 | + |5x | ≥ |2 - 5x +5 x | = 2Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (2- 5x)5x ≥ 0  0

Bài tập:

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thứca) A = | x – 1 | + | x – 2 | + … + | x – 2006 |b) B = 1 6 9 2 9 2 12 4

Suy ra minA = 2005 + 2003 + … + 1 khi 1002 x 1003

Vậy minA = 10032 khi 1002 x 1003

b) Ta có B = ( 3x 1 ) 2  ( 3x 2 ) 2

= | 3x – 1 | + | 3x – 2 | = | 3x – 1 | + | 2 - 3x | ≥ | 3x – 1 + 2 – 3x | = 1Vậy minB = 1 khi (3x – 1)(2 – 3x) ≥ 0 

3

2 3

Thí dụ: Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | b) B = | 5x + 7| - | 5x – 2 |c) C = | 4x2 - 1975 | - | -4x2 + 2025 |

7 3 5

45 0

2025 4

1975

x

x x

x

x x

2 1

3

2 1

3

2 1

3

x x x x x

x x x x

Vậy GTNN của A bằng 3 khi 2 x 5

2

5 2 5

x x

x x

0 5 0 2

Vậy GTNN của A bằng 3 khi 2 x 5

**Chú ý: Nếu biến đổi A = x 2  x 5 = 2  x  x 5 thì không tìm được GTNN.

x

Từ (1)và (2), suy ra : A  4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3

3 2 4 1

Vậy GTNN của A bằng 4 khi 2 x 3

5 1

5 2 3

x x

  x 3  x 2  10  5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3

0 2 0 3

4 6 4

Vậy GTNN của A bằng 2 khi  1 x 0

Vậy GTNN của A bằng 1017072 khi x = 1009

4 Dạng 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức bằng phương pháp tổng bình phương.

y x y

1 2 0

x y x

y x

Vậy GTNN của B bằng 6 khi x = 12 và y = – 12

1 0 2 0 2

y y

y x

Vậy GTNN của C bằng 3 khi x = 2 và y = 1

3 0 3

x x

Vậy GTNN của A bằng 10 khi x = 3

1 0 1

y x y

Vậy GTLN của B bằng 10 khi x = 1

5.Dạng 5: Tìm GTLN và GTNN của một phân thức hữu tỉ.

Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: A =

100 20

2



 x x

1 40

1 20

1 10 10

**Chú ý: Nếu mẫu là bình phương của nhị thức ax + b thì đặt y = ax 1 b

=  12

1 1

1 1

= 1 – y + y2

=

4

3 4

3 2

1 4

3 1

4

1 1

3 1

4

4 4 4

2

2 2

2 2

x x

x

x x

Vậy GTNN của B bằng 43 khi x = 1

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức: C =

1 2

6 8 3

2 2

1 1

2 3

1

2 1

2 1

4 4 1

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

x x

x

x x x

6 8 3

x x

 3  2  4  6 0   *

6 8 3 2

2

2 2

C

x x C Cx Cx

Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (*)

0 6 3

C C C

Đẳng thức xảy ra khi – x2 + 4x – 4 = 0  x = 2Tóm lại GTNN của C bằng 2 khi x = 2

Ví dụ 4: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: D =

1

4 3

2





x x

1 4

x x

x

Do đó GTNN của D bằng – 1 khi x =2

4 1

1 2 4 1

1 4 4 4 4

2

2

2

2 2

x x x

0 4 1

0 4 3

D D

16 8 2

2 3 4

3 4

x x x

Giải:

Ta có:

E =

16 8 8 2

16 8 2

2 3 4

3 4

x x x

4 2 4

4 2 2

2

2

2 2

2 2

x x x

Vậy GTNN của E bằng 0 khi x = – 2

6 Dạng 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức bằng cách sử dụng miền giá trị.

Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: A =

1

1

2 2

x x

x x

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x - 8 = 0  x = 8

Suy ra maxA = 3 khi x = 8

a1. 2. 3 ( 2)Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = … = an

Từ đẳng thức (1) ta suy ra:

- Nếu a.b =k ( không đổi) thì min (a +b) = 2 k  a = b

- Nếu a +b = k (không đổi ) thì max( a.b) =

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 3x 5  7  3x x 2

Vậy maxA2 = 4 khi x = 2

b Phương pháp 2: Tìm GTLN của biểu thức có dạng A = g f((x x)) bậc f(x) bằng bậc g(x).

Phương pháp giải: Nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0 , sau đó áp dụng BĐT

2

1

b a

3

9 9 5

) 3 3

9 ( 2 1 5

3 3 9 5

x x

x x

x

Vậy maxA = 301 khi x = 18

x

x 

Hướng dẫn: a) Nhân và chia biểu thức x – 16 cho cùng một số 4 ( 16  4)

b) Nhân và chia biểu thức 3x – 25 cho cùng một số 5 ( 25  5)c) Nhân và chia biểu thức 10x – 49 cho cùng một số 7 ( 49  7)d) Nhân và chia biểu thức2x2 – 25 cho cùng một số 5 ( 25  5)e) Nhân và chia biểu thức 2x – 5 cho cùng một số 5

Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho

tích của chúng là một hằng số ( Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau) ,rồi áp dụng BĐT Côsi

Thí dụ : Cho x > 0 , tìm GTNN của biểu thức M =

x x

x

= 4.1994Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 1994 1994

Vậy minM = 4.1994 khi x = 1994

Bài tập:

1) Cho x > 0 , tìm GTNN của các biểu thức

5 6



x x x x x

x x x x x

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 163  x 2

x x

Vậy minA = 8 khi x = 2

b)Ta có B = 7 256 256 8 8 256 8 2 16

7 7



x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 256  x 2

x x

Vậy minB = 16 khi x = 2

2

5 2 3 2

5 2 3 2

5 2

x x x

2

1 5

2 2

ab x x

ab x b a x

Vậy minD = ( a  b) 2 khi x  ab

3) Cho x  0, tìm GTNN của biểu thức

b) F =

3

34 6

Giải:

1

8 2

1 2 1

8 2

1 )

1 ( 2

16 ) 1 ( )

1 ( 2

16 1

x x

x x

x x

1

4 1 16

) 1 ( 1

8 2

x

x x

x x

x x

x = - 5 < 0 (loại)Vậy minE = 4 khi x =3

b)Ta có F = x6 x925 ( x3)225  x 3  25  2 ( x 3 ) 25  10

5 3 25

) 3 ( 3

25

x

x x

x x

x x

vậy minF = 10 khi x = 4

4) Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức G =

x x

x

x x x

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 2 1000  x3  1000  x 10

x x

Vậy minG = 300 khi x = 10

5) Cho x > y Tìm GTNN của các biểu thức sau

x y x y x

xy y

x y

x

xy y

Kết hợp với điều kiện x.y =5 ta suy ra được x =5, y =1 hoặc x =-1 , y = -5

Vậy minH = 8  x =5, y =1 hoặc x =-1 , y = -5

x y x y x

xy y x y

x

xy y

Kết hợp với điều kiện x.y =2 ta suy ra được x 1  3 ,y  1  3 hoặc

3 1 ,

3

1    

x

Vậy minI = 4  x 1  3 ,y  1  3 hoặc x 1  3 ,y  1  3

6) Cho x >0 Tìm GTNN của các biểu thức sau

Giải:

a) Ta có K = 1   1  2 1 . x  1  1

x

x x

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 1  x  x 1

1 ( 2 2 1

9 1 1

9 1 1

9 1 1

x x

x x

x x

Vậy minQ = 4 khi x = 4

7) Cho x > 9 Tìm GTNN của các biểu thức sau Q =

3

4



x x

Giải:

Ta có Q =

3

36 12 4

3

36 ) 3 ( 4 3

36 ) 9 ( 4 3

36 36 4 3

x x

x

3

36 ) 3 ( 4 2 24 3

36 ) 3 ( 4 12 12 3

36 12

x x

3

3 3 3

36 )

3 (

4

x

x x

x x

Giải:

4

1 2 2

1 2

2 2

1 2 2

1 1

x x

x L

2 2

x x

x x

y

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 19822  x 1982

x x

) 16 ( 3 2 2 3

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x3 = 16 – x3  x3 = 8  x = 2

Vậy maxA = 64 khi x = 2

Thí dụ 2 : Tìm GTLN của biểu thức B = (1 –x )(2x – 1) với 1

1 4

) 1 2 2 2 ( 2

Vậy maxB = 81 khi x = 43

Bài tập: Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) C = (2x2 – 1)(2 – x2) b) D = (3x + 5)(2 – x)

e Phương pháp 5: Tìm GTNN của biểu thức có dạng: A = f(x) + g(x)

Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số

( tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho , có thể sai khác một hằng số )

Thí dụ: Cho 0 < x < 12 Tìm GTNN của biểu thức A = 29x x 2x

2 2

9 2 2

x x

x x

x x x x

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi

2

1 2

Vậy minA = 7 khi x21

Giải:

1

1 ).

1 ( 2 1 1

1 1 1

x x

1 1

) 1 ( 1

1

x

x x

x x

1 ( 4 2 4 1

25 ) 1 ( 4 1

x x

2

5 1 2

5 1 4

25 )

1 ( 1

25 ) 1 (

x

x x

x x

x x

2) Cho x, y > 0 và x + y > 6 Tìm GTNN của biểu thức D = 5x 3y12x 16y

x y

y x x y x

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 3 x 12x và y16y  x = 2 và y = 4

2

2 y x y

x  

2 z y2 z2

y  

2 x z2 x2

z  

2 2

2 y z x

zx yz

xy    



) (

2 )

zx yz xy z

y x zx yz



2

) (

) (

2007 2

4) Cho x, y, z  0 thỏa mãn điều kiện: x + y + z = a ( a là hằng số dương)

a) Tìm GTLN của biểu thức E = xy + yz + zx.

b) Tìm GTNN của biểu thức F = x 2 + y 2 + z 2 Bài tập tổng hợp :

Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

2 , 2

1 )

0 , 4

1 )

b

x x x A

1



1 4

Đẳng thức xảy ra  x = 41x

 x2 = 14  x =

2

1

(vì x > 0)Vậy GTNN của A bằng 1 khi x =

2 1

2

1 2

4 2

1 2

1

x

loai x

x x x

Vậy GTNN của B bằng 4 khi x = 3

Ví dụ 2: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) C = x 2 + 2x +

2 2

4

2



 x x

4 2

x

x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 +11 > 0, với mọi x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương x2 + 2x + 2 ,

2 2

4 2 2 2

2 2

4 2

2 2

x x

4 2

2 2

2

x x x

4

2 2

2

x x x

Đẳng thức xảy ra

2 2

4 2

0 2

2

x x

x x

Vậy GTNN của C bằng 2 khi x = 0 hoặc x = - 2

b) D =    

 1 2

1 1

1

1 1

x x

x x

 1 3

1 1

Đẳng thức xảy ra  12

1 1 1

x

  2

1 1

Vậy GTNN của D bằng 5 khi x = 2

Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 số dương sao cho abc = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

1 1 1

c b

Vậy GTNN của E bằng 8 khi a = b = c = 1

Ví dụ 4: Cho a, b, c là 3 số dương Tìm GTNN của biểu thức:

c

b c

c b a a c

c b a c b

c b

c c b b

1 1 3 1 1 1

a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c c b b

a

a c c b b

a

Vậy GTNN của F bằng 23 khi a = b = c > 0

Ví dụ 5: Cho a, b, c là 3 số dương sao cho a + b + c = 1 Tìm GTLN của biểu thức:

3 2

3 2

a c c b b a

a c c b b a c

b a

Từ (1) và (2) , suy ra:

abc(a + b)(b + c)(c + a) .278

27 1



b a

a c c b b a

c b a

Vậy GTLN của G bằng 7298 khi a = b = c = 31

0 1

x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm x +1 và 5 – x ta được:

Cách khác: (Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Côsi)

Hai số không âm x + 1 và 5 – x có tổng không đổi (bằng 6) nên tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau, tức là: x + 1 = 5 – x

 x = 2 (thoả)Thay x = 2 vào biểu thức H ta được H = 9

Vậy GTLN của H bằng 9 khi x = 2

x x x

0 1

x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm 2 – x, x21, x21 ta được:

 

2

1 2

1 2

5

2 5 2

50 2

2 25 2

2 2

y x

y x

y x

GTNN của A bằng  5 2 khi và chỉ khi:

4

2 5 2 1 1

2

x y

x y x y x

GTLN của A bằng 5 2 khi và chỉ khi:

4

2 5 2 1 1

2

x y

x y x y x

Ví dụ 2: Cho a, b thoả mãn 2a + 3b = 5 Tìm GTNN của biểu thức: B = 2a 2 + 3b 2

Giải:

2a + 3b = a 2 2 + b 3 3

5 3 2 25

3 2 3 2 3

2

2 2

2 2

2 2 2

b a

b a b

a

5 3 2

3

3 2

b a

Vậy GTNN của B bằng 5 khi a = b = 1

25 20

a

Vậy GTNN của B bằng 5 khi a = b = 1

Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: C = 4  x x 2, với 2 x 4.

Giải:

1 2 1

4 2

2 1 4

x

x x

Vậy GTLN của C bằng 2 khi x = 3

Ví dụ 4: Cho a, b, c là 3 số dương sao cho a + b + c = 3 Tìm GTLN của biểu thức:

D = 4a 1  4b 1  4c 1

Giải:

1 4 1 4 1

4a  b  c = 4a 1 1  4b 1 1  4c 1 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số 4 a 1, 4 b 1, 4 c 1, 1, 1, 1 ta được:

1 1 4 1 1 4 1 1 4

c b