Các dạng toán hình học 7 HKII (2019 2020)

Các đường trong tam giác a Đường cao: Là đường kẻ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện, 3 đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm tam giác.. Ba đường phân giác cắt

- Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng 180 0 , hai góc phụ nhau là hai góc có tổng bằng 90 0 , góc bẹt là góc

có số đo bằng 180 0 , góc tù là góc có số đo nằm trong khoảng từ 90 0 đến 180 0 , góc vuông = 90 0 , góc nhọn có

số đo nằm trong khoảng 0 0 đến 90 0

2 Đường trung trực của đoạn thẳng: Là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng.

Mọi điểm nằm trên đường trung trực của

đoạn thẳng luôn cách đều hai đầu đoạn thẳng

M � d � MA = MB

3 Góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng:

- Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng sẽ tạo ra các cặp góc sole trong, sole ngoài, đồng vị, trong cùng phía

3 Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song thì các cặp góc sole trong bằng nhau, các cặp góc sole ngoài bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau, các cặp góc trong cùng phía, ngoài cùng phía bù nhau.

5 Từ vuông góc đến song song:

GT Cho a ; b phân biệt ; a // b ; b // c

b a

6 Tổng 3 góc trong một tam giác: Trong một tam giác, tổng ba góc trong bằng

7 Các trường hợp bằng nhau của tam giác

8 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

*Trường hợp 1 : Hai cạnh góc vuông

- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

b a

- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

*Trường hợp 4 : Cạnh huyền và cạnh góc vuông

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

9 Tam giác cân

- Định nghĩa: ΔABC cân tại A � AB = AC

- Tính chất: ΔABC cân tại A

- Tính chất các đường: Đường cao từ đỉnh là phân giác, đường trung trực cạnh đáy…

10 Tam giác đều

- Định nghĩa: ΔABC đều � AB = BC = AC

- Tính chất: ΔABC đều tại A 

- Tính chất các đường: Đường cao từ các đỉnh sẽ đồng thời là đường phân giác, đường trung trực cạnh đáy……

11 Tam giác vuông:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH:

12 Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác

Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

14 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Đường xiên lớn hơn đường vuông góc, đường xiên nào lớn hơn thì

hình chiếu tương ứng lớn hơn và ngược lại

GT A d � ;B,C � d AH d ;     H

KL AH là ngắn nhất

Có AC > AB � HC > HB

AB = AM � HB = HM

15 Các đường trong tam giác

a) Đường cao: Là đường kẻ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện, 3 đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm

gọi là trực tâm tam giác

b) Đường phân giác trong tam giác: Là đường chia góc trong tam giác thành 2 phần bằng nhau Ba đường phân

giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ( đường tròn tiếp xúc trong với 3 cạnh của tam giác) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác cách đều 3 cạnh tam giác

- Một điểm nằm trên đường phân giác của một góc luôn có khoảng cách tới hai cạnh bằng nhau

- Phân giác trong và phân giác ngoài của một góc vuông góc với nhau

- Trong một tam giác, hai đường phân giác ngoài của hai góc đồng quy với đường phân giác trong của góc còn lại

Tính chất: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó Nếu một điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nó nằm trên tia phân giác của góc đó.

c) Đường trung tuyến trong tam giác: Là đường kẻ từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện Ba đường trung tuyến

đồng quy tại một điểm là trọng tâm tam giác

Nếu O là trọng tâm tam giác thì 2OE=OA; 2OD=OC; 2OF=OB

d)Đường trung trực trong tam giác: Là đường đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó

Ba đường trung trực trong tam giác đồng quy tại 1 điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( Đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác)

- Một điểm bất kì nằm trên trung trực luôn cách đều hai đầu mút của đoạng thẳng

e) Đường trung bình trong tam giác: Là đường đi qua trung điểm của 2 cạnh bên tam giác Đường trung bình song

song và bằng một nửa cạnh đáy

CÁC CHÚ Ý ĐẶC BIỆT

- Trong tam giác cân, đường cao, đường trung tuyến, trung trực, phân giác của đỉnh cân là một.

- Trong tam giác đều, tất cả các đường từ một đỉnh là một.

- Trong tam giác vuông: đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 30 0 cũng có độ lớn bằng nửa cạnh huyền.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HAY DÙNG TRONG HÌNH HỌC 7

1 Các phương pháp chứng minh định lý :

Muốn chứng minh định lý " Nếu A thì B " ( ký hiệu A  B) ta có thể dùng một trong những phương phápsau đây :

1 Chứng minh rằng từ A ta suy ra C rồi từ C ta suy ra B

Phương pháp này gọi là phương pháp: chứng minh trực tiếp

2 Giả sử A ta suy ra B( Bcó nội dung trái ngược với B ) ta dẫn đến một điều vô lý Vậy giả sử trên là sai,nghĩa là từ A suy ra B là đúng

Phương pháp này gọi là phương pháp: chứng minh phản chứng

2 Các phương pháp chứng minh hai góc là đối đỉnh :

Muốn chứng minh hai góc xOy và x'Oy' là hai góc đối đỉnh ta có thể dùng một trong những phương pháp sauđây :

1 Chứng minh rằng tia Ox là tia đối của tia Ox' ( hoặc Oy' ) và tia Oy là tia đối của tia Oy' ( hoặc Ox' ), tức làhai cạnh của một góc là tia đối của hai cạnh của góc kia ( định nghĩa )

2 Chứng minh rằng xOy =  x'Oy' ; tia Ox và tia Ox' đối nhau còn hai tia Oy và tia Oy' nằm trên hai nửamặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xx'

(hệ quả của định nghĩa )

3 Các phương pháp chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng

Muốn chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC ta có thể dùng một trong những phươngpháp sau đây:

1.Chứng minh rằng: AB + BC = AC và AB = BC (định nghĩa )

2.Chứng minh rằng: Điểm B nằm giữa hai điểm A, C và AB = AC (hệ quả của định nghĩa )

3.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC (hệ quả của định nghĩa )

4.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB, BC là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằngnhau.

4 Các phương pháp chứng minh một đường thẳng là đường trực của một đoạn thẳng :

Muốn chứng minh rằng đường thẳng a là đường trung trực của đọan thẳng AB ta có thể dùng một trongnhững phương pháp sau đây :

1.Chứng minh rằng a vuông góc với AB tại trung điểm I của AB ( định nghĩa )

2 Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng a rồi chứng minh MA = MB

5 Các phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau:

Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :

1.Chứng minh hai góc có cùng số đo

2.Chứng minh hai góc cùng bằng một góc thứ ba,chứng minh hai góc cùng phụ với một góc ,chứng minh haigóc cùng bù với một góc

3.Chứng minh hai góc cùng bằng tổng ,hiệu của hai góc tương ứng bằng nhau

4.Chứng minh hai góc đó đối đỉnh

5.Chứng minh hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc

6.Chứng minh hai góc đó là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau

7.Chứng minh hai góc đó là hai góc đáy của một tam giác cân

8.Chứng minh hai góc đó là hai góc của một tam giác đều

9.Chứng minh dựa vào định nghĩa tia phân giác của một góc

10.Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song (đồng vị, so le)

6 Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau :

Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :

1.Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo

2.Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba

3.Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một

4.Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau

5.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giácvuông, v.v

6.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng ,định nghĩa trungtuyến của tam giác,định nghĩa trung trực của đoạn thẳng,định nghĩa phân giác của một góc

7.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

8.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất giao điểm ba đường phân giác trong tam giác,tínhchất giao điểm ba đường trung trực trong tam giác

9.Chứng minh dựa vào định lí Pitago

7 Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song :

Muốn chứng minh rằng a // b ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :

1 Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau : a 4 A 3

hoặc ( dấu hiệu song song ) 1 2

2 Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau :

hoặc hoặc hoặc b 2 1

(Dẫn tới dấu hiệu song song ) 3 B 4

3 Chứng minh hai góc trong cùng phía bù nhau :

hoặc c( Dẫn tới dấu hiệu song song )

4 Chứng minh hai góc sole ngoài bằng nhau

(Dẫn tới dấu hiệu song song )

5.Chứng minh hai góc ngoài cùng phía bù nhau

(Dẫn tới dấu hiệu song song ) c

6.Chứng minh a và b cùng vuông góc a

với một đường thẳng c nào đó

7.Chứng minh a và b cùng song song

với một đường thẳng c nào đó b

8 Để chứng minh a//b Ta giả sử a và b có điểm chung rồi dẫn đến một điều vô lý ( chứng minh bằng phảnchứng )

8 Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc :

Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sauđây :

1.Chứng minh rằng một trong những góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là góc vuông (định nghĩa ) 2.Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù

3.Chứng minh dựa vào tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 1800, ta chứng minh cho tam giác cóhai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 900

4.Chứng minh dựa vào định lí "đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuônggóc với đường thẳng kia "

5.Chứng minh dựa vào định nghĩa ba đường cao của tam giác, định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng.6.Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân , tam giác đều

7.Chứng minh dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác

8.Chứng minh dựa vào định lí Pitago

9.Chứng minh dựa vào định lí nhận biết một tam giác vuông khi biết tam giác này có trung tuyến thuộc mộtcạnh bằng nửa cạnh ấy

9 Các phương pháp chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông :

*Muốn chứng minh ABC là tam giác cân ta có thể dùng một trong những phương pháp sau :

1.Chứng minh hai cạnh bằng nhau : AB = AC hoặc BA = BC hoặc CA = CB ( định nghĩa )

2.Chứng minh hai góc bằng nhau : Bˆ Cˆ hoặc Aˆ Cˆ hoặc Bˆ Aˆ

3.Chứng minh:Một đỉnh nằm trên đường trung trực của cạnh đối diện ( để dẫn tới định nghĩa )

4.Chứng minh : Đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh trùng với đường cao phát xuất từ đỉnh ấy (để dẫntới định nghĩa ).

5 Chứng minh hai đường trung tuyến, hai đường cao…bằng nhau

*Muốn chứng minh ABC là tam giác đều ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :

1.Chứng minh ba cạnh bằng nhau : AB = BC = CA ( định nghĩa )

2.Chứng minh ba góc bằng 600 : Aˆ Bˆ  60 0 hoặc Bˆ Cˆ  60 0 hoặc Aˆ Cˆ  60 0

3.Chứng minh : Tam giác ABC là tam giác cân có một góc bằng 600 (để dẫn tới định nghĩa )

*Muốn chứng minh ABC là tam giác vuông ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :

1 Chứng minh tam giác có 1 góc vuông

2.Dùng định lý Pytago đảo

3.Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”

Muốn chứng minh AH là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng a ta có thể dùng một trong nhữngphương pháp sau đây:

1.Chứng minh : AH  a (định nghĩa)

2.Lấy một điểm B tùy ý trên a Chứng minh AH < AB

(Dễ chứng minh AH  a bằng phản chứng )

12 Các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta có thể dùng một trong những phương pháp sau:

1.Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cùng nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau x

Ta có BAx +  xAC = 1800

 B, A, C thẳng hàng

B A C

2.Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia hoặc cùng thuộc một đường thẳng

3.Chứng minh trong ba đoạn nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn thẳng kia

A C B

AB = AC + CB

4.Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba

AB, AC cùng song song với a

hoặc BA, BC cùng song song với a  A, B, C thẳng hàng

hoặc CA, CB cùng song song với a

5.Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh

Đường thẳng a đi qua A, nếu ta chứng minh được A  ˆ1 A ˆ2 thì ba điểm B, A, C thẳng hàng.

6.Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba

AB, AC cùng vuông góc với a

hoặc BA, BC cùng vuông góc với a  A, B, C thẳng hàng

hoặc CA, CB cùng vuông góc với a

7.Đường thẳng đi qua hai trong ba điểm có chứa điểm thứ ba

8.Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao, trong tam giác

13.Các phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy:

Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta có thể dùng một trong những phương pháp sau:

1.Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao của hai đường thẳngtrên

2.Chứng minh một điểm thuộc ba đường thẳng.

3.Chứng minh dựa vào tính chất đồng quy trong tam giác: Ba đường thẳng chứa các đường trung tuyến, cácđường phân giác, các đường trung trực, các đường cao của tam giác

PHẦN BÀI TẬP

CHƯƠNG 2 BÀI TẬP HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU Chú ý: Có 3 TH bằng nhau của tam giác, trong chương này để chứng minh hai cạnh, hai góc bằng nhau

ta thường đưa về hai tam giác bằng nhau, hoặc chứng minh qua cạnh, góc trung gian.

I BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Các câu sau đúng hay sai?

1 Tam giác có 2 góc bằng 45 là tam giác vuông cân

2 Hai tam giác có 2 cặp góc tương ứng bằng nhau thì cặp góc còn lại tương ứng cũng bằng nhau

3 Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì cặp cạnh tương ứng còn lại cũng bằng nhau

4 Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác bằng nhau

5 Tam giác cân có một góc bằng 60 là tam giác đều

6 Tam giác cân có 1 góc bằng 45 là tam giác vuông cân

7 Nếu tam giác có độ dài 3 cạnh là 3,4,5 thì tam giác đó là tam giác vuông

8 Hai tam giác đều thì bằng nhau

9 Góc ngoài của tam giác luôn lớn hơn mỗi góc trong của tam giác đó

10 Nếu cạnh huyền của tam giác vuông cân này bằng cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau

11 Trong tam giác cân , đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đương trung trực của cạnh đáy

12 Tam giác ABC vuông A, M là trung điểm BC, nếu B=300, AM=6cm thì AC=6cm

13 Tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC, AB=2cm, AC=1cm thì AM=

14 Nếu hai tam giác cân có hai cặp cạnh bên bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau

15 Nếu cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân này bằng cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân kia thì hai tam giác đó bằng nhau

16 Nếu hai tam giác cân có trung góc ở đỉnh thì hai cạnh đáy song song nhau

17 Nếu hai cạnh và một góc của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và một góc của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

18 Nếu 3 tam giác cân ANM, BNM, CNM cùng trung cạnh đáy MN thì A,B,C thẳng hàng

19 Nếu hai tam giác vuông cân có một cặp cạnh góc vuông bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau

20 Trong tam giác cân các góc có thể là góc nhọn hoặc tù

II BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 Cho tam giác ABC có =40, AB = AC Gọi M là trung điểm của BC Tính các góc của tam giác AMB

và tam giác AMC

HD: ABC cân tại A

Bài 2 Cho tam giác ABC có AB = AC D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC Biết AD = AE.

a Chứng minh =

b Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh AM là phân giác của

c Giả sử Tính các góc còn lại của tam giác DAE

HD: DAE cân tại A

Bài 3 Cho ABC có AB = AC Kẻ AE là phân giác của góc (E thuộc BC) Chứng minh rằng:

a ABE = ACE

b AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Bài 4 Cho ABC có AB < AC Kẻ tia phân giác AD của ( D thuộc BC) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE

= AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC Chứng minh rằng:

a BDF = EDC

b BF = EC

c F, D, E thẳng hàng

d AD  FC

Bài 5 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho

OA = OB ; OC = OD (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D)

a Chứng minh OAD = OBC

b So sánh 2 góc và

Bài 6 Cho ABC vuông ở A TRên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC

a Chứng minh ABC = ABD

b Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M Chứng minh MBD =  MBC

Bài 7 Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA =

OB Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì Chứng minh:

b Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳnghàng.

Bài 9 Cho MNP , E, F là trung điểm MN và MP Vữ Q sao cho F là trung điểm EQ CM:

a NE=PQ b NEP=QPE c EF//=1/2NP

Bài 10 Cho ABC có góc A=900 Đường cao AH, trên BC lấy M sao cho CM=CA, trên AB lấy N sao cho AN=AH,

a Góc CAM=góc CMA b AM là phân giác BAH, c MN vuông AB

Bài 11 Cho ABC có A=1200, phân giác AD, kẻ DE vuông AB, AF vuông AC CM:

a DE=DF và góc EDF=600

b lấy K nằm giữa EB, I nằm giữa FC sao cho EK=FI CMR: DK=DI

c Từ C kẻ đường thẳng //AD cắt AB tại M tính các góc AMC

d Tính AF cho AD=4cm

Bài 12 Cho ABC vuông A phân giác BE, kẻ EH vuông BC, AB giao HE tại K CMR:

a ABE=HBE b BE là trung trực AH

c EK=EC d AH//KC

HD: a, ABE=HBE (ch-gn) c, HEC=AEK (cgv-gnk) d, KC vuông BE

Bài 13 Cho góc xOy nhọn, trên Ox lấy A, Oy lấy B sao cho OA=OB, tại A kẻ đt vuông góc Ox cắt Oy tại D, tại B kẻ

đt vuông Oy cắt Ox tại C DA giao BC tại E

a CMR: OE là phân giác xOy

b EC=ED

c OE giao CD tại H, CMR: OE vuông CD

d Cho , CD=18cm, tính OH?

HD: a, OEB=OEA(ch-cgv) suy ra CEA=DEB(cgv-gnk) suy ra OEC=OED

c, OHC=OHD(ch-gn) d, OCD đều

Bài 14 Cho ABC vuông A AH vuông BC, HP vuông AB, kéo dài để PE=PH, kẻ HQ vuông AC kéo dài đểQF=QH CNR:

a APE=APH ; AQH=AQF

b A là trung điểm EF c BE//CF

Bài 15 Cho ABC có AB>AC, từ trung điểm M của BC vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc A, cắt phângiác tại H, cắt AB , AC ở E và F CMR:

a BE=CF b AE=(AB+AC):2; BE=(AB-AC):2

a CMR: AMP=ANP

b kẻ PH vuông Ax, PK vuông Ay, chứng minh MHP=NKP

c lấy Q trong xAy, sao cho QM=QN, chứng minh A,P,Q thẳng hàng

HD: b NP=MP và góc = (theo a) c NAQ=MAQ nên AQ là phân giác MAN,

Bài 17 Cho ABC có AC>AB, trên CA lấy E sao cho CE=AB các đường trung trực của cạnh BE và AC cắt nhau tại

O CMR:

a AOB=COE b OA là phân giác góc A

HD:a Gọi trung trực EB và AC là H và P, EOH=BOH; AOP=COP nên OA=OC; OE=OB

Bài 18 Cho tam giác ABC có AB=AC, góc A<900, kẻ BD vuông AC, trên AB lấy E sao cho AE=AD CMR:

a ED//BC b CE vuông AB

HD:a AED và ABC cân tại A nên góc B=gocE mà 2 góc này sole trong

b Chứng minh BEC=CDB suy ra E=D=90 0

Bài 19 Cho xOy=900, vẽ cung tròn tâm O bán kính tùy ý cắt Ox tại A, Oy tại B Từ 1 điểm C tùy ý trên cung AB kẻđường thẳng //AB cắt Ox tại A’, Oy tại B’ CMR: CA’2+CB’2 không đổi

HD: Kẻ HC vuông OB, CP vuông OA, suy ra CA’ 2 +CB’ 2 =2HC 2 +2CP 2 =2CO 2 =2R 2

TAM GIÁC VUÔNG-CÂN-ĐỀU Chú ý: Có 4 TH bằng nhau của tam giác vuông, Trong tam giác cân hoặc đều đường cao là phân giác, trung trực… Trong tam giác vuông, trung tuyến bằng nửa cạnh huyền, cạnh đối diện góc 30 0 cũng

bằng nửa cạnh huyền.

Bài 1:

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH  BC ( H BC ) Cho biết AB = 13cm; AH = 12cm; HC = 16cm Tính các

độ dài các cạnh AC; BC (HD: Dùng Pitago AC=20cm; BC=21cm)

c/ Gọi O là giao điểm của BH và CK Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?

d/ Gọi M là trung điểm BC Chứng minh rằng AM,BH,CK đồng quy

HD: a ABD=ACE b BDH=CKE (ch-gn) c OBC cân tại O vì d, Chỉ ra A,O,M thẳng hàng

Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 12cm, AC = 20cm Tính độ dài cạnh BC (HD:Pitago BC=16cm)

Bài 4:

Cho  ABC cân tại A Vẽ BH  AC ( H  AC), CK  AB, ( K AB )

a/ Vẽ hình

b/ Chứng minh rằng AH = AK

c/ Gọi I là giao điểm BH và CK Chứng minh

d/ Đường thẳng AI cắt BC tại P Chứng minh AI  BC tại P

HD: b AHB=AKC c KAI=HAI d ABH=ACH

c/ Kẻ HD  AB ( D  AB ), Kẻ HE  AC (E  AC ) Chứng minh: HDE là tam giác cân

HD: a, ABH= ACH b Pitago AH=3cm c BHP=CHE

c) AI là đường trung trực của BC

HD:b EAI=DAI c Gọi H là giao AI và BC, ABH=ACH

Bài 10:

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm của cạnh BC Qua A vẽ đường thẳng d // BC Chứng minhrằng:

a) ABD = ACD

b) AD là tia phân giác của góc BAC.

c) AD d

HD: b ADB=ADC c AD vuông BC, BC//d

Bài 11:

Cho ABC có góc A bằng 600 Tia phân giác của góc ABC cắt tia phân giác của góc ACB ở I

a) Cho biết Tính số đo

a) ADE là tam giác đều

b) DEC là tam giác cân

HD:a ABH=ACK ch-gn c MK=MH, góc MKH=MHK=MHB=45

Bài 16: Cho đoạn AB=7cm, trên AB lấy C sao cho AC=2cm, trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ Ax và By cùng

vuông góc với AB Lấy D trên Ax, E trên By sao cho AD=10cm, BE=1cm

a) Tính CD, CE

b) Chứng minh CD vuông góc CE

HD: b Kẻ DH vuông By, suy ra ADHB là HCN, từ đó tính ED

Bài 17: Tam giác ABC có góc A tù, Cˆ= 300; AB = 29, AC = 40 Vẽ đường cao AH, tính BH

(HD: HA=1/2AC=20cm Từ đó dung Pitago tính HB)

Bài 18: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24 Tính BC.

HD: Dùng Pitago tính HB và HC

Bài 19: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài 51cm Tính độ dài hai

cạnh góc vuông

HD: và AB 2 +AC 2 =51 2

Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên đó lấy điểm D Trên tia đối của tia HA lấy một điểm E

sao cho HE = AD Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F Chứng minh rằng EB  EF

HD:AD=HE nên AH=DE, BF 2 =AB 2 +AF 2 =BH 2 +AH 2 +AD 2 +DF 2 ;

BF 2 =HB 2 +DE 2 +HE 2 +DF 2 =BH 2 +HE 2 +DE 2 +DF 2 =BE 2 +EF 2

Bài 21: Cho  ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác

a/ Chứng minh rằng  ABC cân

b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC

HD:a Kẻ MK vuông AB, MP vuông AC, suy ra MK=MP, vì dt(AMB)=dt(AMC) nên AC=AB

b BC=2BM

Bài 22: Một tam giác có ba đường cao bằng nhau.

a/ Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều

b/ Biết mỗi đường cao có độ dài là

2

3

a , tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.

HD: a Dùng công thức diện tích  ABC b Đặt MB=x, suy ra AB=2x

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A, Cˆ= 150 Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC Chứng minh rằngtam giác OBC cân

HD: Vẽ  đều BMC, góc =15 0 ; gọi H là trung điểm OB => HMB =  ABC, Hˆ Aˆ= 90 0

Bài 24: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 800 Gọi O là một điểm ở trong tam giác sao cho góc = 300; góc

= 100 Chứng minh rằng  COA cân

HD: vẽ tam giác đều BCM, OBC=AMC(g.c.g) nên CO=CA

Bài 25: Cho  ABC cân tại A, Â = 1000 Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho góc =

300 Tính góc

HD:Vẽ tam giác đều BCM, góc = +

Bài 26: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 300 Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C vẽ tia Bx  BA Trên tia Bx lấyđiểm N sao cho BN = BA Tính góc

HD: kẻ By sao cho BC là phân giác Lấy D sao cho BD = BA.

ABD 90 o – 30 o = 60 o ABD đều

BAD 60 o  CAD^ BAD^  BAC^ 60 o – 30 o = 30 o 

^

^CADBAC  (= 30 o )

CBN180

Bài 27: Cho ABC cân tại A, Â = 1000 Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC Tính góc

HD: Dựng tam giác đều ADE ; =40 0 ; BAE=ABC (c.g.c) nên AB=BE=AC; ADB=DEB(c.c.c) nên

HD: a, =150 0 ; BOC=MOC nên = mà =

Bài 29: Cho ABC cân tại A, Â = 800 Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc = 500; trên cạnh AC lấy điểm K sao

cho góc = 300 Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H Chứng minh rằng  HIK cân

Bài 30: Cho ABC vuông cân ở A Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi Vẽ BD và CE cùng vuông góc với d (D, E d) Chứng minh rằng tổng BD2 + CE2 có giá trị không đổi

HD: ADB=CEA(ch-gn)

Bài 31: Tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho

góc = 900.Chứng minh rằng AE= CF

HD: AEM=CFM (g.c.g)

Bài 32: Tam giác ABC có AB = 1 cm; Â = 750, Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Bx sao cho

= 150 Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB, cắt Bx tại D

a Chứng minh rằng: DC  BC

b Tính tổng BC2 + CD2

HD: a, Lấy E thuộc BC sao cho AB=BE, BAE đều, BAD vuông cân, EAC=DAC (c.g.c)

b, CB 2 +CD 2 =BD 2 =2.

Bài 33: Cho  ABC cân tại A (AB > BC) Trên tia BC lấy điểm M sao cho

MA = MB Vẽ tia Bx // AM (Bx và AM cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB) Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN

Cho  ABC cân tại B ( ), vẽ AD  BC và CE  AB Gọi H là giao điểm của AD và CE

a) Chứng minh :  ABD =  CBE

b) Chứng minh: BED cân

c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM = DA Chứng minh

d) Gọi N là trung điểm của AC Chứng minh ba điểm B, H, N thẳng hàng

Bài 35: Cho có , trên tia đối của BC lấy D sao cho BC=2DC Tính ?

HD: Kẻ MB vuông AC, BC=2DC=2CM, DM=MB=MA Suy ra =45.

Bài 36: Cho ABC cân A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, trên tia đối BC lấy M sao cho MA=MC, trên tia đối AM lấy

N sao cho AN=BM

b

c Tìm điều kiện ABC để CM vuông CN

HD: a , b ABC cân tại A có

Bài 37: Cho ABC cân A có , kẻ BD vuông AC, CE vuông AB, BD giao CE tại K

a BCE=CBD

b BEK=CDK

c AK là phân giác góc BAC

d Ba điểm A,K,I thẳng hàng ( I là trung điểm BC)

Bài 38: Một cây tre cao 9m bị gãy ngang than, ngọn cây trạm đất cách gốc 3m Hỏi tử chỗ gãy tới gốc là bao nhiêu?

HD: x 2 +3 2 =(9-x) 2

Bài 40: trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(5;4), B(2;3), C(6;1) Tính các góc của ABC

HD: ABC vuông cân.

Bài 41: Cho ABC trung tuyến AM cũng là phân giác,

a Chứng minh ABC cân

b AB=37cm, AM=35cm, Tính BC?

HD: Vẽ MH vuông AB và MK vuông AC Thì MHA=MKA (ch-gn)

Bài 42: Cho ABC, đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 phần bằng nhau

a CMR: ABC vuông

b CMR: ABM là tam giác đều?

HD: Vẽ MI vuông AC suy ra BH=MH=MI=1/2BM=1/2MC nên

Bài 43: Cho ABC vuông tại A, trên BC lấy M,N sao cho BM=BA; CA=CN, Tính góc ?

HD:góc MAN=180-M 1 -N 1 =45.

Bài 44: Cho ABC nhọn có , M và N là trung điểm AB,AC, đường cao BD

a BMD và AMD là tam giác gì?

b Trên tia AB lấy E sao cho AE=AN CMR: CE vuông AB

HD: a, MD=MA=MB=AB:2 b, AEN đều nên EN=AC:2=NC, nên , suy ra

Bài 45: Cho ABC vuông tại A, vẽ miền ngoài tam giác các tam giác vuông cân ABD và ACF(AB=BD; AC=CF)

a CMR: A,D,F thẳng hàng

Bài 47: Cho ABC có BC=2AB, M là trung điểm BC, D là trung điểm BM, CMR: AC=2AD.

HD: Trên tia đối AD lấy DE=DA suy ra ME=MC(cùng =AB)

=> AME=AM nên AE=AC.

Bài 48: Cho ABC vuông tại A, vẽ ra phía ngoài ABC tam giác cân CBD(cân tại D) Gọi H là trung điểm BC.Chứng minh rằng: CD2=DH2+AH2

HD: Gọi H là trung điểm BC thì AH=HC=HB(tính chất đường trung tuyến tam giác vuông)

Vì CDB cân tại D nên DH vuông BC => CD 2 =DH 2 +CH 2 =DH 2 +AH 2

Bài 49: Cho ABC vuông cân tại A, d là đường thẳng bất kì qua A (không cắt đoạn BC) Từ B và C kẻ BD và CE cùng vuông góc với d

a CMR: BD//CE

b ADB=CEA

c BD+CE=DE

d Gọi M là trung điểm BC CMR: DAM=ECM và DME vuông cân

HD: b, ADB=CEA(ch-gn) d, DAM=ECM(c.g.c) do AM=MC,

;

Bài 50: Cho ABC cân tại A có A<450 Qua M thuộc BC (MB<MC) kẻ MH//AB, MI//AC.CMR:

a AIH=MHI

b AI=HC

c Vẽ N sao cho HI là trung trực MN, CMR: NI=IB

d NH giao AB tại D, CMR: Chu vi AHD không đổi khi M thay đổi

HD: a, AIH=MHI(g.c.g) b, AI=MH và HMC cân H, c, IN=IM và IMB cân I,

d, ND=DA nên Chu vi = AD+DH+HA=NH+HA=MH+HA=AC

Bài 51: Cho đoạn thẳng BC, trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC vẽ tia Bx và Cy cắt nhau tại A sao cho ,

Kẻ AH vuông BC, trên tia đối Bx lấy E sao cho BE=BH, EH giao AC tại D CMR:

a HDC và ADH cân

b Trên BC lấy B’ sao cho H là trung điểm BB’, CMR: ABB’ cân

d Gọi I và K là trung điểm AD và BC, chứng minh MIK đều.

e DA giao BC tại E, tính góc CEA?

HD: b, MOD=OMC (g.c.g) c, ODA=ACB (c.g.c) d, IDM=KBM(c.g.c) chú ý góc

, e, CEA=180-ECA-EAC=180-(ECM+60)-(60-EAM)=60

Bài 53: Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ về phía ngoài tam giác các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE

a, CMR: BE = CD

b, Gọi I là trung điểm B, K là trung điểm CE, M là trung điểm BC

CMR: Tam giác IMK vuông cân

Bài 54: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM

= MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC

HD: AB cắt EI tại F, BA//DC nên CAI=FIA, => AEF=CBA

Bài 55: Cho tam giác ABC cân có AB=AC=5cm, BC= 8cm.Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC)

b, BH=4cm , áp dụng ĐL Pytago cho ABH để tính AH.

c, BDH=CEH(ch-gn) nên DH=HE.

d, HD=HE<HC

Bài 56: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH

a, Chứng minh ABH = ACH và AH là tia phân giác của góc BAC

b, Cho BH= 8cm, AB= 10cm.Tính AH

c, Gọi E là trung điểm của AC và G là giao điểm của BE và AH.Tính HG

d, Vẽ Hx song song với AC, Hx cắt AB tại F Chứng minh C, G, F thẳng hàng.

HD:

a, ABH=ACH(ch-cgv) nên (hai góc tương ứng).

b, Áp dụng định lí Pytago cho ABH.

c, Vì H là trung điểm BC, E là trung điểm AC nên AH,BE là hai đường trung tuyến của ABC, suy ra G là trọng tâm

ABC nên HG=1/3.AH.

d,Vì H là trung điểm BC và HF//AC nên HF là đường trung bình =>F là trung điểm AB, mà G là trọng tâm ABC nên C,G,F thẳng hàng.

Bài 57: Cho tam giác ABC có CA= CB= 10cm, AB= 12cm Kẻ CI vuông góc với AB Kẻ IH vuông góc với AC, IK

vuông góc với BC

a, Chứng minh IB= IC và tính độ dài CI

b, Chứng minh IH= IK

c, HK// AB

HD:

a,b, Tương tự bài 55,56.

c, AHI=BKI nên AH=BK => CH=CK =>CHK cân nên HK//AB.

Bài 58: Cho ABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H Biết AB= 10cm, BH= 6cm

a Tính AH

b  ABH=  ACH

c trên BA lấy D, CA lấy E sao cho BD= CE.Chứng minh HDE cân

d AH là trung trực của DE

HD:

c, BDH=CEH(c.g.c) nên DH=HE

Bài 60: Cho ABC cân tại A có góc A < 900 kẻ BH vuông góc với AC ,CK vuông góc với AC.Gọi O là giao điểm của

BH và CK

a Chứng minh ABH=ACH

b OBK = OCK và OBC cân

c trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy I sao cho IB=IC.Chứng minh 3 điểm A, O, I thẳng hàng

HD:

a, ABH=ACH.(ch-gn)

c, Gọi M là trung điểm BC , Vì ABC, OBC, IBC nên AM vuông BC, OM vuông BC, IM vuông BC suy ra O,I,M thẳng hàng.

Bài 61: Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB BD và CE cắt nhau tại H

a ABD=ACE

b BHC cân

c ED//BC

d AH cắt BC tại K, trên HK lấy M sao cho K là trung điểm của HM.Chứng minh tam giác ACM vuông.

a, Theo bài 61, EHA=DHA nên

Bài 63: Cho ABC cân tại A.vẽ trung tuyến AM Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E.kẻ MF vuông góc với AC tại

F

b AM là trung trực vủa EF

c Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường này cắt nhau tại D.Chứng minh A,M,D thẳng hàng

Bài 64: Cho ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của AC.Trên tia đối MB lấy D sao cho DM= BM

a Chứng minh Tam giác BMC= tam giác DMA.Suy ra AD//BC

b ACD cân

c Trên tia đối CA lấy E sao cho CA= CE.Chứng minh DC đi qua trung điểm I của BE

Bài 65: Cho ABC cân tại A (AB = AC ), M là trung điểm của BC Gọi D là điểm là điểm nằm giữa A và M Chứng minh

rằng:

a AM là tia phân giác của góc A?

b ABD = ACD

c BCD là tam giác cân ?

Bài 66: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BD Kẻ DE vuông góc với BC (E  BC) Gọi F là giao điểmcủa BA và ED Chứng minh rằng:

∆BEC = ∆DEC

c Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC

Bài 68 :Cho ∆ ABC vuông tại A.Vẽ đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA

a C/m góc BAD = góc ADB

b C/m AD là phân giác của góc HAC

c Vẽ DK vuông góc AC ( K thuộc AC) C/m AK = AH

Bài 69 Cho tam giác ABC vuông tại A Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D Từ D kẻ DH vuông góc với BC tại H và

DH cắt AB tại K

a Chứng minh: AD = HD

b So sánh độ dài cạnh AD và DC

c Chứng minh tam giác KBC là tam giác cân

Bài 70:Cho ABC vuông tại A, có BC = 10cm ,AC = 8cm Kẻ đường phân giác BI (I�AC) , kẻ ID vuông góc với BC (D�BC)

a Tính AB

b Chứng minh AIB = DIB

c Chứng minh BI là đường trung trực của AD

d Gọi E là giao điểm của BA và DI Chứng minh BI vuông góc với EC

Bài 71 : Cho ABC cân tại A ( ) Kẻ BDAC (D�AC), CE AB (E �AB), BD và CE cắt nhau tại H

a Chứng minh: BD = CE

b Chứng minh: BHCcân

c Chứng minh: AH là đường trung trực của BC

d Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm của BK So sánh: góc ECB và góc DKC

Bài 73 : Cho tam giác ABC, trên hai cạnh AB,AC lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE Gọi M là trung điểm của DE

Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho MF = MB

a chứng minh MDB = MEF.

b Chứng minh CEF cân

c Kẻ phân giác AK của góc BAC Chứng minh AK // CF

HD:

b, EF=BD mà BD=EC nên EF=EC.

c, Kéo dài EF cắt AK tại G,

Bài 74:Cho tam giác ABC vuông tại A,A BC = 600 Tia phân giác góc B cắt AC tại E Từ E vẽ EH  BC ( HBC)

a Chứng minh ABE = HBE

b Qua H vẽ HK // BE ( K  AC ) Chứng minh EHK đều

c HE cắt BA tại M, MC cắt BE tại N Chứng minh NM = NC

Bài 75 Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C=300 Tia phân giác góc B cắt BC tại E Từ E vẽ EH  BC ( HBC)

a So sánh các cạnh của tam giác ABC

b Chứng minh ABE = HBE

c Chứng minh EAH cân

d Từ H kẻ HK song song với BE (K thuộc AC ) Chứng minh : AE=EK=KC

Bài 76 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BE Kẻ EH vuông góc với BC (H  BC) Gọi K là giao điểm của AB và HE Chứng minh rằng:

a ABE = HBE

b BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH

c Tam giác EKC cân

Bài 77 Cho ABC cân tại A ( góc A nhọn ) Tia phân giác của góc A cắt BC tại I.

a Chứng minh AI vuông góc BC

b Gọi D là trung điểm của AC, M là giao điểm của BD với AI Chứng minh rằng M là trọng tâm của tâm giác ABC

c Biết AB = AC = 5cm; BC = 6 cm Tính AM

Bài 78 Cho  ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của AC Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho DM = BM

a Chứng minh  BMC =  DMA Suy ra AD // BC

b Chứng minh ACD là tam giác cân

c Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CA = CE Chứng minh DC đi qua trung điểm I của BE

Bài 79 Cho tam giác ABC có AB < AC và tia phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE =AB

c Kẻ BE vuông góc với phần kéo dài của Oy tại E Cho OE = 3cm; Oc = 5cm Tính BC?

d Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?

Bài 81 Cho ABCcân có AB = AC = 5cm, BC = 8cm Kẻ AH vuông góc BC (H�BC)

a Chứng minh: HB = HC

b Tính độ dài AH

c Kẻ HD vuông góc với AB (D�AB), kẻ HE vuông góc với AC (E�AC) Chứng minh HDE cân

d So sánh HD và HC

Bài 82: Cho ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD = CE (D nằm giữa B và E)

a Chứng minh:ABD = ACE

b Kẻ DM  AB (M � AB) và EN  AC (N � AC ) Chứng minh: AM =AN

c Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và đường thẳng EN và BÂC= 1200 Chứng minhDKE đều

Bài 83: Cho tam giác ABC có = 900, AB = 8cm, AC = 6cm

a Tính BC

b Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2cm; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB Chứng minh ∆BEC = ∆DEC

c Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC

Bài 84: Cho tam giác ABC có góc A bằng 900 ; AC> AB Kẻ AH BC Trên DC lấy điểm D sao cho HD = HB Kẻ CE vuông góc với AD kéo dài Chứng minh rằng:

a Tam giác BAD cân

b CE là phân giác của góc

c Gọi giao điểm của AH và CE là K Chứng minh: KD// AB

d Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác AKC đều

Câu 85: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 5 cm; kẻ AH  BC ( H  BC)

a Chứng minh BH = HC và góc BAH= góc CAH

b Tính độ dài BH biết AH = 4 cm

c Kẻ HD  AB ( d  AB), kẻ EH  AC (E  AC) Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?

Câu 86: Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 5 cm , BC = 8 cm Kẻ AH vuông góc với BC (H � BC)

a Chứng minh : HB = HC và góc CAH = góc BAH

b.Tính độ dài AH ?

Bài 87 Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE Gọi M là

giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng :

a BE = CD

b BMD  CME

c AM là tia phân giác của góc BAC

Bài 88 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE

a Chứng minh DE // BC

b Từ D kẻ DM vuông góc với BC , từ E kẻ EN vuông góc với BC Chứng minh DM = EN

c Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân

d Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I Chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAC

Bài 89 Cho tam giác cân ABC có Â = 450 , AB = AC Từ trung điểm I của cạnh AC kẻ đường vuông góc với AC cắt đường thẳng BC ở M Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM Chứng minh rằng :

a A Mˆ C A BˆC

b ABM CAN

c Tam giác MNC vuông cân tại C

Bài 90 Cho tam giác ABC vuông ở A có

và AC – AB = 14cm Tính các cạnh của tam giác đó

Bài 91 Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác đều ACD

và BCE Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD Chứng minh rằng :

a AE = BD

b CME  CNB

c Tam giác MNC là tam giác đều

Bài 92 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE Các

đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt BC ở G và H Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH ở I Chứng minh :

a ACD  AME

b AGB  MIA

c BG = GH

Bài 93 Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh BC lấy điểm D Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD  CE

Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M Từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N

a Chứng minh MD = NE

b MN cắt DE ở I Chứng minh I là trung điểm của DE

c) Từ C kẻ đường vuông góc với AC , từ B kẻ đường vuông góc với AN chúng cắt nhau tại O Chứng tỏ AO là đường trung trực của BC

Bài 94 Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối tia AC lấy điểm D sao cho DA=AC Chứng minh tam giác BCD

vuông

Bài 95 Cho tam giác ABC đều, Tia phân giác góc ABC cắt AC ở D, tia phân giác của góc ACB cắt AB ở E Gọi O là

giao điểm của BD và CE.CMR:

a BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB

b OA= OB = OC

Bài 96 Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AC = 20cm Kẻ AH vuông góc với BC tại H.Biết BH= 9cm,

HC=16cm Tính AB và AH

Bài 97 Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH vuông góc với BC tại H Biets AB = 10cm.AH=8cm, HC=15cm Tính chu vi

tam giác ABC

Bài 98 Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ AH vuông góc với BC tại H Chứng minh rằng: BH2+CH2+ 2AH2 = BC2

Bài 99 Cho tam giác ABC có AB=8cm, AC= 6cm, BC= 10cm Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD= 1cm Tính độ dài

đoạn thẳng BD

Bài 100 Cho tam giác ABC vuông tại A Biết 3AB= 4AC và BC= 20cm Tính độ dào các cạnh AB và AC.

Bài 101 Cho tam giác ABC vuông tại A , Vẽ AH vuông góc với BC tại H Chứng minh rằng AH2 = BH.CH

Bài 102 Cho tam giác ABC có góc A= 300 Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác đều BCD Chứng minh rằng AD2 =

c BE= ED = DC.

Bài 107 Cho tam giác ABC, phân giác AD Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở E, qua E kẻ đường

thẳng song song với BC cắt AB tại K Chứng minh:

a Tam giác AED cân

b Tam giác DEF đều,

Bài 110 Cho tam giác đều ABC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 1/3 AB Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với

AB cắt AC tại E Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC ở F

Chứng minh rằng:

a DF vuông góc với BC

b Tam giác DEF đều

Bài 111 Cho tam giác ABC có góc B= 500 Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác của góc B ở E

a Chứng minh tam giác AEB cân

b Tính góc BAE

Bài 112 Cho tam giác cân ABC( AB= AC) Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho AD = AE Gọi

M là trung điểm của BC.CMR:

a DE//BC

b MBD MCE

c AMD AME

Bài 113 Cho ABC Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt

AB ở D, cắt AC ở E Chứng minh rằng: DE= BD + CE

Bài 114 Cho tam giác đều ABC Trên tia đối các tia AB, BC, CA lấy theo thứ tự 3 điểm D, E, F sao cho AD= BE =

CF.chứng minh tam giác DEF đều

Bài 115 Cho tam giác ABC vuông cân ở A Trên đáy BC lấy hai điểm M, N sao cho BM= CN= AB

a chứng minh tam giác AMN cân

Bài 118 Cho tam giác ABC vuông cân ở A Vẽ phía ngoài của tam giác hai tam giác đều ABD và ACE.

a Chứng minh BE= CD

b Gọi I là giao điểm của BE và CD Tính góc BIC

Bài 119 Cho tam giác ABC vuông cân ở A, biết AB= AC= 4cm.

a tính BC,

b từ A kẻ đường thẳng vuông govs với BC Chứng minh D là trung điểm của BC

c từ D kẻ DE vuông góc với AC Chứng minh tam giác AED là tam giác vuông cân

d tính AD

Bài 120 Cho tam giác ABC vuông tại A( AB> AC)

a cho AB= 8cm, BC= 10cm Tính AC

b gọi M là trung điểm của BC.trên tia đối MA lấy D sao cho MD= MA Vẽ AH vuông góc với BC tại H, trên tia đối của

HA lấy E sao cho HE = HA CMR:

a CD vuông góc với AC b CAE cân c BD= CE d AE vuông góc với ED

Bài 121 Cho tam giác ABC cân tại A Vẽ AH vuông góc với BC tại H Vẽ HD vuông góc với AB tại D HE vuông góc

với AC tại E CMR:

a BH= HC b BD= CE

Bài 122 Cho rABC , kẻ AH BC Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 8cm Tính độ dài các cạnh AH, HC, AC?

Bài 123 Cho tam giác cân ABC cân tại A (AB = AC) Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a Chứng minh  ABE   ACD

b Chứng minh BE = CD

c Gọi K là giao điểm của BE và CD Chứng minh cân tạ K

d Chứng minh AK là tia phân giác của góc BAC

Bài 124 Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH BC ( H BC� ) Biết AB = 13 cm; AH = 12 cm và HC = 16 cm Tính chu

vi tam giác ABC

Bài 125 Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm Q và R sao cho BQ = CR.

a Chứng minh AQ = AR

b Gọi H là trung điểm của BC Chứng minh :

Bài 126 Cho ABC có AB = AC = 5 cm; BC = 8 cm Kẻ AH  BC (HBC)

a Chứng minh HB = HC và

b Tính AH

c Kẻ HD  AB (DAB); HE  AC (EAC) Chứng minh: HDE cân

Bài 127 Cho rABC , kẻ AH BC Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 10cm

a) Biết C=300 Tính

b) Tính độ dài các cạnh AH, HC, AC

Bài 128 Cho tam gíac ABC cân tại A Kẽ AI BC, I �BC

a CMR: I là trung điểm của BC

b Lấy điểm E thuộc AB và điểm F thuộc AC sao cho AE = AF Chứng minh rằng:IEF là tam giác cân

c Chứng minh rằng: EBI = FCI

Bài 129 Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với 9; 12 và 15

Bài 130 Cho góc nhọn xOy và N là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy Kẻ NA vuông góc với Ox (AOx), NB vuông góc với Oy (B Oy)

a Chứng minh: NA = NB

b Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

c Đường thẳng BN cắt Ox tại D, đường thẳng AN cắt Oy tại E Chứng minh: ND = NE

d Chứng minh ONDE

Bài 131 Tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC ( HBC ) Tính AH biết: AB:AC = 3:4 và BC = 10 cm

Bài 132 Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy Kẻ KA vuông góc với Ox (AOx), KB vuông góc với Oy ( BOy)

a Chứng minh: KA = KB

b Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

c Đường thẳng BK cắt Ox tại D, đường thẳng AK cắt Oy tại E Chứng minh: KD = KE

d Chứng minh OKDE

Bài 133 Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB BD và CE cắt nhau tại I.

a Chứng minh

b So sánh góc IBE và góc ICD

c AI cắt BC tại H Chứng minh AI BC tại H

Bài 134 Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ AH BC H BC � 

c AI cắt BC tại H Chứng minh AI BC tại H

Bài 136 Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ AH BC H �BC

Bài 138 ChoABC vuông tại A, đường phân giác BE Kẻ EH  BC ( H  BC ) Gọi K là giao điểm của AH và BE Chứng minh rằng:

a  ABE =  HBE b BE là đường trung trực của AH

Bài 139 Cho tam giác ABC cân tại A Vẽ AH  BC

a Chứng minh: AHB = AHC ; b.Vẽ HM  AB, HN  AC Chứng minh AMN cân

c Chứng minh MN // BC ; d.Chứng minh AH2 + BM2 = AN2 + BH2

Bài 140 Cho tam giác ABC , có AC < AB , M là trung điểm BC, vẽ phân giác AD Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với

AD tại H, đường thẳng này cắt tia AC tại F ,cắt AB tại E Chứng minh rằng :

c.CH cắt AM tại G, tia BG cắt AC tại I CMR: I là trung điểm AC

Bài 142 Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho

BD=CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M,N DM=EN, đường thẳng

BC cắt MN tại trung điểm I của MN Chứng minh rằng:

a DM=EN

b MN cắt BC tại trung điểm I của MN

c đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC

HD:

a, BDM= CEN(cgv-gnk) nên DM=EN.

b, DMI= ENI(cgv-gnk) nên MI=NI.

c, Từ B và C kẻ đường thẳng vuông AB và AC cắt nhau tại J, ABJ= ACJ (ch-cgv) nên J thuộc trung trực

BC Suy ra BMJ= CNJ => MJ=NJ hay trung trực MN đi qua J cố định.

Bài 143 Cho tam giác ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với

AK, đường này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE

a Chứng minh rằng: AI vuông góc với BC

b Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không? Vì sao?

HD: a,

b, Vì AI=IE=ID; AK=KC=KB; mà AI>AK nên DE>BC.

Bài 144 Cho tam giác ABC (AB>AC), M là trung điểm của BC Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia

phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F CMR:

Bài 145 Cho tam giác ABC có góc B và C là 2 góc nhọn Ax là tia bất kỳ nằm giữa 2 tia AB và AC Gọi H, K

lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax

a Chứng minh BH+CK ≤ BC

b Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH+CK có giá trị lớn nhất

HD: a, Gọi N là giao Ax và BC Ta có: BH≤ BN, CK ≤CN nên BH+CK ≤ BN+CN=BC.

b, Theo a, BH+CK lớn nhất bằng BC khi H và K trùng với N suy ra Ax là đường cao từ đỉnh A.

Bài 146 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH, ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác

vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cùng vuông

góc với AH (M,N thuộc AH)

b AM = BC

HD: a Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra

b, nên ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC nên AM = BC

Bài 148: Cho ABC nhọn đường cao AD, Gọi M và N sao cho AB là trung trực DM, AC là trung trực DN.

a Chứng minh ANM cân

b Chứng minh AD là phân giác

c Chứng minh BK vuông AC, CI vuông AB

d Chứng minh ABC có ba đường cao là 3 đường phân giác của IDK

d, Theo c) thì AD, BK, CI là đường cao ABC và là phân giác DIK.

Bài 149: Cho ABC có , Gọi BM và CN là phân giác góc B và C (M thuộc AC, N thuộc AB)