8 TUYỂN CHỌN câu hỏi điểm 10 các đề KIỂM TRA

Cách 2: Phương trình đã cho tương đương với... Khi đó phương trình tương đương với phương trình Kết hợp điều kiện suy ra giá trị cần tìm của x là 1� �x 2... Tìm giá trị lớn nhất của biểu

TUYỂN CHỌN CÂU HỎI ĐIỂM 10 TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC KÌ , THI HSG , THI CHUYÊN VÀ THI VÀO 10

Chứng minh tương tự cho hai căn thức còn lại, sau đó cộng vế ta suy ra: P� ۳5x y z P 5

Bài 2 (PGD Đan Phượng 2013-2014) Giải phương trình: x2  x 2 2 x2 x 1

Hướng dẫnGiả thiết tương đương: 2a 1b2 2 1b c2 2 1c a2 3

Bài 7 (PGD Quận Hoàn Kiếm 2016-2017) Cho a, b là hai số thực thỏa mãn

a b   a b ab Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M a3 b3 2000

a b

a a b b b a

۳

Hướng dẫn

Điều kiện 0� �x 3. Bình phương hai vế phương trình ta được: x2 3x 9 6x x 2 � x1.

Cách 2: Phương trình đã cho tương đương với

Suy ra A�9abc  4 5 abc�5

Max A = 5 khi a b c, ,   0,1, 2 và các hoán vị của nó.

Bài 21 Giải phương trình: x2 x 1 x2 x  1 2.

Hướng dẫnĐiều kiện: x�1. Khi đó phương trình tương đương với phương trình

Kết hợp điều kiện suy ra giá trị cần tìm của x là 1� �x 2.

Bài 22 Giải phương trình: 2   2

Điều kiện:

20

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  5; 13 

Bài 23 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A xyz x y y z z x          biết , ,x y z và thỏa 0

• Với 2 � � �x 1 y6.

• Với 1 x� �1 y  4x 2

• Với 1 x 3�y 2x

• Với 3� � �x 4 y 6.

Vẽ đồ thị hàm số ra ta thấy maxy6, miny  6.

Bài 28 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2 2x 3 4x 1 5x10

Bài 31 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A x y z xy yz zx      biết x2   y2 z2 3.

Hướng dẫn

Dự đoán minA đạt được khi

1.2

Suy ra P�15 24 40 49 30.   

Dấu bằng không xảy ra nên P30 (đpcm).

Bài 37 Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn xy yz zx  2018. Chứng minh rằng

3

Bài 39 Cho hai số dương ,a b thỏa mãn a b a b     1 a2b2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

A

x y x y

  

 Hướng dẫn giải

Đến đây các e tự giải tiếp vì bài toán đã trở nên đơn giản rồi.

Bài 50 Giải phương trình

a) x4 24x32 b) x4 2x28x 3

Hướng dẫna) Thêm bớt ta được phương trình tương đương với  2 2  2

Bài 51 (ÔN CHUYÊN) Cho f x  ax2 bx c có tính chất f      1 ,f 4 ,f 9 là các số hữu tỉ

Chứng minh rằng khi đó , ,a b c là các số hữu tỉ.

Từ (4), (5) suy ra 5a� � �� a � Từ (4) suy ra b�� Từ (1) vì ,ab�� nên c��

Bài 52 (ÔN CHUYÊN) Tìm a để nghiệm của phương trình x42x22ax a 2 6a  (1) 1 0

là nhỏ nhất, lớn nhất

Hướng dẫn giảiCoi (1) là phương trình bậc hai ẩn a Ta viết lại a22a x  3 x42x2 1 0

Phương trình có nghiệm (tức tồn tại a) khi  2 4 2 4 2

(cô si) Suy ra P�3.

Bài 54 Cho hai số thực x và y thỏa mãn x2 xy y2  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 1

x xy y

 



  Nếu y thì từ giả thiết ta được 0 x2 1�B1

Xét y� Chia cả tử và mẫu của B cho 0. 2

y ta được

2

2

21

x x

y y B

Bài 57 Cho a, b, c là các số thực không âm không lớn hơn 2 và thỏa mãn a b c  3. Chứng

Từ (1) và (2) suy ra a2 b2 c2 �9 4 abc 5 abc vì abc�0 nên a2  � (đpcm).b2 c2 5

Bài 58 Cho x, y là các sô thực thay đổi thỏa mãn 1� � � Tìm GTNN của biểu thức saux y 5.

Vậy minP = 5 khi x y   1.

Bài 59. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2  y2 z2 200. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P xy yz zx 

Gợi ý

  Dấu bằng xảy ra khi x y z; ;  � 10; 10;0 , 10;10;0    

Bài 60. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

2 2

1

x A

x x



  Gợi ý

• MinA = 0

•

2

2 2

� (hiển nhiên đúng với mọi x  )y 0

Bài 62. Cho các số thực x, y thỏa mãn x �1, y �1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương bc ca ab  1 Từ đó ta nghĩ xem kết nối với giả

thiết như thế nào để chứng minh bđt này đúng

Có a2   và xuất hiện b2 c2 bc ca ab  ta nghĩ ngay đến kết hợp để tạo hằng đẳng thức

Bài 65. Cho các số thực ,x y thỏa mãn x 1y2 y 1x2 1

Tính giá trị của biểu thức P x y  .

Vậy minP25 Các em tự chỉ ra dấu '' ''

Chú ý: (1) còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Bất đẳng thức này rất hiệu

quả cho các bai toán ở dạng phân thức.

Bài 72. Cho , ,a b c là các số dương thỏa mãn ab bc ca  3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Chứng minh tương tự ta suy ra S � 6a b c   6 6.

Bài 76. Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn x4x 1 y4y 1 z 4z 1 9. Tìm giá trị

Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi x y  1.

Bài 78 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    

x y x y A

Ta cũng có thể xử lý bài toán trên theo hướng dự đoán minA đạt được khi x và đi tìm số m sao choy



�۳

  đúng với  x 1. Từ đó

ta tìm được GTNN của biểu thức A

Bài 78 Cho 0a b c, ,  Chứng minh rằng: 1. 2a32b32c3  3 a b b c c a2  2  2

(Sưu tầm từ đề thi học sinh giỏi toán 9)

Gợi ý

Từ giả thiết ta có: 1a2 1 b 0�1a b a2  2b

Chứng minh tương tự, suy ra 3 a b b c c a a 2  2  2  2     b2 c2 a b c

Vậy minP2 3 đạt được khi a b c; ;   0;0;3 và các hoán vị của nó.

Bài 80 Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  3. Tim GTLN và GTNN



Bài 83 Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn x2y2z2 �12 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ