Sách Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi quốc gia của Bộ Giáo dục & Đào tạo: Toán học gồm các chuyên đề: Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số Chuyên đề 2: Lượng giác Chuyên đề 3: Đại số Chuyên đề 4: Tích phân Chuyên đề 5: Hình học không gian Chuyên đề 6: Bất đẳng thức Chuyên đề 7: Hình học giải tích trong mặt phẳng OXY Chuyên đề 8: Hình học giải tích trong không gian OXYZ Chuyên đề 9: Số phức Chuyên đề 10: Mũ và Logarit Chuyên đề 11: Đại số tổ hợp và xác suất
Trang 2HUGNG DẪN GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
TỪ CÁC ĐỀ THỊ QUỐC GIA TOÁN HỌC
Chịu trách nhiệm xuất bản
NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG
Sita hin in + HONG HAL
Trinh bay : Công ty KHANG VIỆT
Bìa t Công ty KHANG VIỆT
Tại: Chỉ nhánh Cty TNHH MTV NXB-GIAO THONG VAN TAI
Dia chỉ; 92, Nam Kì Khởi Nghĩa, Quân 1, Tạ Hỗ Chí Minh
ÿly TNHH MTV DVVH Khang Việ:
«lãm số có chứa căn: Nhân và chỉa với biếu thức liên hợp
*_ Hầm số cổ chứa lượng giấc: Biến đổi để sử dụng ba giới hạn quen thuộc
six sip lim tan Xx a lim l—cosx _+
xX a0 x x0) x? 2
Se ees ene &
® Dạng vô định 5 khi x + a: Phân tích Lử số và mẫu số để có (x — a) làm phan wf chuag
® Dạng vô định aa Dit sd hang bac cao nhét của tử số và mẫu số làm thừa
Tim gidi han t= tim †I†NK-Í |
xt) x
Giai Gidi han led dang v6 dinh =
ma 2sin? = 3 a Baie L 2 2sin? ` 2 ( Ty =1*l1 342—1+1
x ia aot asin’ 2 sai (Bể) -Ñ3x° 11] 2 }
Cty TMAH hil DVVH Khang Việt
Giải
Giới hạn L cá dạng vô định =
(x-1)(x8 424-23 +x? +x -5|
(x-1)7 (x1 (xt +2x3 -3x? 44x +5}
® Hầm số ƒ gọi là đồng biến trên K nếu xị <x) => Moxy) < fay),
+ 1ã: số f gọi là nghịch biến trên K nếu xị < xạ = f[xi}> đục)
Định nghĩa mày kết trựp tri định LÝ thưâi đây được tử đụng đ
„Xã E ‘
ð chứng mình uệt bấi
đing thức
Hàn số Ƒ cá đạo hềm trên khoảng K,
* Nếu TQ) >0, vx # K thì hàm số f dong biến trên K,
e Nu f(x) <0, ¥x « K thì hầm số í nghịch biến trên K
Định Tị này thường được ding dung che cde dung tein wane
Dang Us 7?ur thườn sữ để hàm sở luận đẳng biển (hoặc nghịch biển),
Thường sử dụng dấu của tam thức bậc bai PỤx) = ñxŸ + hà + c (A #0)
{aso
(a>0 : aso
laco”
Dụng 2: 7m thun vỡ để hàun sở đẳng biến (huậc nghịch biển) trên khoảng (a; b}, Ham số y = f{x, mì đồng hiến (hoặc nghịch biến) trên khoảng, (a; hì |
Sy 20 (hode y' $0), Vxe(a; by va difu "=" xảy ra ở hữu hạn di¢m (*)
Thang thuding điểu kiện (#) biến đổi dược vẻ một trong hai dạng:
Hướng đẫn giả 0D8T từ c&z STGB Tnái: rọp — Pliam Hồng Danh, Irắn V&r: Tuần —_ =n Gy INHH MTV DWI Khang Viet Hưởng dẫn giải COBT tr eac D703 Todn hae - Pham Hing Sanh Tein Wit Toan = ee AS = Ety THHH MTV EVH rang vist
#) hun) £ g5), Vxe(: m=— | Alas ’ i ⁄ 23] ì ? Ly {Yl es = v3 ft hia xét: © ach 44% 2p Ing < oft +a?)
va min g(x) }
{ab
Dang 3: Tim tham số để nhưng trình (Ệ phường trình} cả nghiệm
Biến đổi phương trình đã cho vé dang g(x) = htm)
Lap bing hiến thiên che ham số ý = gíx) va difa vao bing hiến thiên nầy
để kết luận,
Chú ý: Nếu bài toán có đặt ẩn số phụ thì phải xác đính điểu kiện cho é ẩn số ẩn số phụ đó | đó
B DE THI Bài 1: CAO DANG KHOI A, B,D NAM 2009
Bai 2: BALHOC KHỔI A NĂM 2008
Tim các giá trị của thui số rn để phườïng trình sau có đúng hui nghiệm thực |
phân biệt Ÿ2x +x 4246-5 +2V6-x =m ime k) 4
Giải XeLhim số f@x)=Ÿ2x + Vấx 0 3Ÿ6—x +-2VÊ—k,
+ | 4 +—— >0, ¥x € (0:6) done “Yoda x tes x? x Ññ~x
[ l 4c
Nén fix) =0< —— -——=——==0f2x-Ÿ —x«>x-2
Vax Yo-x + Bảng biển thiên:
x |0 2 6
tox) | + 0 -
te)
424 -Jiz
Dựa vào bảng biến thiên La có:
Phung trinh f(x} = m có 2 nghiệm phân hiệt
ae 3
Giải Tiấi đẳng thức đã cho tưdng đương với:
Bai §: BAL HOC KHOI A NAM 2007
Tìm m để phương trình sau cố nghiệm thực: 3x ~ ~[4g/x+1=21x?—1
T1 vi xẽ | nên 0 SL<I Suy ra ; {)=— 6L+2 và Ứ(Œ)=Ù«<tL= 1
3 Bảng biến thiên:
®- Dựa vàu bằng biếu thiên ta có:
Phương trình đã cho có nghiệm (2) có nghiệm t c [ñ; l) c —L< m Š wif
Bal 6: DAI HOC KHOLB NAM 2007
Chứng minh rằng với rngi giá trị dưỡng của tham sẾ m, phưưng z tình sau sau có sổ hi |
2 2x-8=ym(x —2) ¬
Trang 3
Husng din niẩi 58T tủ su 8706 Todn hoc — P1ạm Hẩrg [lanh, Trắn vin Toần ef
Giải
+ Điểu kiên: m(x- 2) BQ x22 (Doxétm> 0)
« Phương trình dã cho tượng đương với
© Nhio act: Phuong trioh df cho lu6n co mat nghiém difuny x = 2, nền từ vou
cầu hài toán, ta chỉ cần chứng mình phương trình: x” + 6x7 -32 =m (1) cổ một
nghiệm trong khaảng (2: +2)
nghiệm trong Khoảng (2; +2)
Vay voi moi in > 0 phương trình đã cho tuôn có hai nghiệm thực phần biệt,
Xét him sé pix} = cosa — 1+ =
Vì góo là hàn số chẵn nên ta chỉ oẩn xế: x z 0 Tà đã
€&xŸ-4x+4—m40,Yx 6[—l;Ú| @x”- 4ã+4<m, xe [=1;0]
Xét hầm số g(xÌ =xÌ—4x+ 4, YX 6 |—l:0]: ƑQÒ=2x- 4 Bảng hiến thiên:
¬ k2 —=2x+ i Cho hằm số y= ——, ™ (1) (m là thám số) Xác định m để hàm số (11 nghịch biến trên daạr: [1; DỊ |
Cty INE REPS OVWIL Khang Việt
Từ bàng biến thiên suy ra:
+ Biểu kiện che ẩn phụ là: t> Ì
+ Ứng với một giá trị Le (I, v5} thả cho hai giá trị š dưưng
+ Ứng với mội giá trị L6 |: +2) thì chủ một giá trị x dương
Phương trình đã cho trở thành: m= + 1-5 (1)
Xét hầm số ff0 = +1 — 5(Lz L) thì '(Ú =2:+ >0, VLz1
Nhận xét rằng phương tình (1} có rhiểu abat | nghiém tz |
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x > 0 khi và chử klú
phương trình (1) có đúng, l nghiệm L (: v5) ©œ-3<m«<45
Bài 12: CAO ĐẰNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI
Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực: 2x +l=x+m =
Giải
Điều kiện: < t< v2 iêu kiệt : eh Us t<xv = , 2! cosx >| a Vx clk x cl ees BU ix) E ® DặIL= vx +1 Biểu kiện t>0 * Pluting tinh da cho trd thank: 2t=C- 14 meme? + 204 1
(1-2) l ` .= Tìm giá trị của tham số m để phươag trình suu có đúng 2 nghiệm dưïIng: 3 Misi s a / ¬ sửa
fix) Oe KV = 5 * Từ bằng biến thiên của hàm số suy ra phương trình đã cha có nghiệm khi và
a
: * ‘tale =
—
Hướng dẫn giải CDOT ti các DTDS Toán họa — Phạm Hẳng Danh, Trần văn T;ản_ — Gly TNHH MTV UIVVH Khang Việt Hưởng đấ+ giề' 8D3T từ s#z ĐTGB Tuý + ge — Fhạm Hẩng Eanh, Tiẩn Vẽ: Toần ees a eanenieneeuint vices aie:
v a a he, 2 ee — = Beir eg oe ee Ee _—-— a anny V8
v Vấn đề 3: cyc TRICUA HAM 86 » Bothicé2 diém eye dai, cye iu do hai pata chad 5 3 Ế HỮU 1Ï ax? + bx+€ B ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI y'—0 cá 2 nghiệm phân hiệt xị, x2 D, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỮU TÌ y= TH ĐỀ THỊ
cd 1 „_ RBX +4ã =<
————
A TONG GUAT e Pd thi cé 2 diém eve tri cilng phia đối với một đường thang d thi (sa d ey ' | x hàm sổ y =xŸ ~2@m +l]x°+m — (!3,m là tham số,
1 Hàm số £ có cực trị c>y' đổi dấu íy' =0 cú 2 nghiệm phân hiệt xị, xạ , sẽ caadblii-đị ch ŸWw4d#B Tim m để để thị hàm số (1} có bạ điểm cực tri A,B, C sno eho OA = BC, OA
2, Hùm số f không có cực trị c> ÿŸ không đổi dấu Ford nike ced tes Wie ARTA - Ne +0 = 1 1am s6 06 eve đại và cực tiểu «>y' =0 có 2 nghiệm nhần biệt Le ee ce ange macandl | ese tos độ, A là diểm cực Irị thuộc tue tuaa, B và C là hái điểm cực trị cồn lại —- Giải aa
3, Hàm số ƒ chỉ có một cực trị c> ÿ' dỗi dấu 1 lẫn T 4 Hầm số đạt cực ti tại xị, x; thôu hệ thức Fix,, x;}= 041) ak #0 mm
4 Ham s8 Cod 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) s+ y' đổi dấu 2 lắn, DI Hồi: kiện để bài số có cực đợi cực tiểu 1ù gS Tacé:y's4x° 4(m+ Ix,
ä Hầm số [có 3 cực trị c y đổi dấu % a y1 aul 3 lấn ˆ ae ĩ cà = _c' : s y=0<>x=Ohode x’ =m +1, i š
Mù cố y' =0có 2 nghiệm: nhân biệt xị, xạ =: i “ = điển kiện cìa m (= #0 » Baris0 06 bu cue tri = Phyorg triah y'= 006 ba azhiéin
6, Him sé f dat cue dai tai xa neu 3 a Ay ee oe a3 : —' - d3] 3062031:
có [ftx;)< ” b 2 Tầm số không có cực trị @ y` =U vô nghiệm hnặc có nghiệm kép " — — =5
7 Then 6 F đạt cực tiểu lại x: nàn ae eG Xy Ucn the (le — [az9 ij Suy ra À(Ù; m), BỊ vin Fl;—m” —m 1] và CÍVm+l;—m —mr—l]
8 Hàm: số F có đạo hàm và đặt cực trị lại xạ => Ÿ@› = 0 Hệ thức (1) ‘(= Jzo Te hoặc 4 Ag >0 4 ne : nh an2i2 A * = “Veo
3 f'(x,)—0 @ Gidihé suy cam, So vai điều kiện nhận hay loại giá trị củ bi ;=U có 2 nghiệm phẫn hiệt 3 :
9, Hàm số [ có dao him và đạt cực trị bằng c tại x= xu= tàu) foy=e § Đường thang di qua 2 diém cực trị của đồ thị hầm số bậc ba : y 'ES 90GB (ĐI lạ 4 ñ trị của T1 i¥cp-¥cr > et ? ỡ Hài 3: CÁO BẰNG KHI A,B,D NĂM 3009 2 ae :
iG him so y= x - m W)x" + (2 — m)x +2 (1), vol mL tham số thực Chú § : Đối với một hàm số bất kì, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm
mã ti đá đạo hàm triệt tiêu hoặc đạo hàm không xắc định
B CYC TR] CUA HAM SO BAC 3
y=ux'+ bx’ + ox +d, y= Sax’ + 2bx +0
1 Đô thị có 2 điểm cực trị nằm cùitg một phi đối với Öx
azũ
<> Ham sé od bai giả trị cực trị cùng dấu > Ay >0
Ycp Yer >U
2 Đồ thị có 2 diểm cực trị nằm 2 phía đối với Ox
ax
œ Hàm số có hai niá trị cực tị trái dấu ‡Ay “>0
Sea Yer <4
3 Cho đường thẲng d: Äx + By+C=0
Gọi MiGa; vụ] và Mz (a3 yo) là điểm cực đại và cực tiểu của để thị
Khoảng cách đại sấ từ MỊ và Mạ đến đường thẳng d là :
Đo đó đường thẳng ứ: quá 2 điểm cực trị cÉn đổ thị cá phương trình y =mx + £
Chứ ý : Nếu để thị của hầm số hậe 4 trùng phương có 3 cực trị thì ä cực trị nảy
L_ _ hiến lận thành một tam giác cân tại đỉnh nằm trên trục tung, 4, Bồ thị có 2 điểm cực trị nằm về lai phía đối với Ox
nh 0
oa ap! ogc
el + x0 " |y=0xô giai Yop-Yer =0
3, Dưỡng thẳng đi qua 2 điểm cực trị eda dé thi ham so hou ti axt+beiec Ux) ¬=
SN, HE ES ax+b UN ce Ví) ` ees vŸ Goi Afxy; ve) là cực trị của đỗ thị thì
+ Yêu cầu hài toán tường đương với
ft:irfng trình {*) có hai nghiệ:n dương nhân biệt
Trang 4
°
‘Hudog dfn gidi CODT td odo TNS Todn hee ~ Phạm Hãng Hanh Trần Van Ton — — _— Sty INH NAT DWH Kiran Việt kiting Bn giÃI CNET Wi cde DTOS ean học ~ Phạm Hồng Gann, Trin Van Toon _ “—— ————— -—- Cty TNH MTA DWH Khang Wig
© Ham sé (L) cd cute uj ©> (2) có 2 nghiệm phãn biệt : er =6x48 , Giải Tap xác định: B= R\{-m)
c>A'=in' >0 m0 Khim =—3 thi y'=— 3y 0esk=2V=4 xÌ+2mx :m2—4 4 3
i aa Tach: y=x+m+ — = ar Oe gi ax + 2x + in - 4 =0(*) ids '=UẰœ 0 42l-m=>y=-2-2m3 q* Băng hiến thiên: ‘ " so đi K#+] 2(xtm}
« Goi A, BIA 2 điểm cực trị của đổ thị hàm số (1) thì
A(1—m;~2- 2m), B(I + my —2+ 2m)
uy
« O cách đều A và B cœOA=OB = 8m’ =2m es m=+z (vim + 0} Ham sé dat cực đại tại x = 2
Kết luận m = -3, xhi dé giá trị cực đại tưởng ứng là y(2) = |, Bai $: PALHOC KHOI A NAM 2007
Bài 4: CAO DÀNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007
2
——————,, (1) fm JA tham 86) oe h ;
ae : Chủ hàm số y = x a(n + Dati + dm (1); eli thaiied
1 Tim m để hàm số (1) có hai giá trị cực trị trấi đấu nhau, x+2
2/ Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2
Giải
Cha ham sy =
Timm dé ham sf (1) cd ere dai vi cuc du, đồng thời các điểm cực trị của dé
thị cũng với Đốc lou do Õ tan thành một Lam giấc vuông tại C, |
Giải
Lf Hai gid tri cyte wi trái đấu nhau
Ặ S xt 4dx44—m?
<> Dé thi hàm số (1) không cất trục hoành Tập xác định: D= IR\Í-2] và y'= ———
@&xŸ+mx +l =0 võ nghiệm oe ÁA =m” - 4<<>-2< m<2 ; (x+ 2)
Cách khác * Ham sf (1) co cuc đại và cực liểu
Nghiệm của y' =0 là xị =—m + l, y==m— Ì emer = Ul a) = (ag 9 g(x) =x" +4x 4 — mỸ ró 2 nghiệm phân hiệt x #~2 ¬
Tacéd yOu) =—m +2, x00) = m-2 of =4-4+inˆ>Ð ae Ly
1lai giá trị cực trị trái dấu ihau <> v(x,}.V@a) <0 #(~2)~#4—8#—~d—m” #0
2 (-m+2-m-2)<04 -2<m<2 2 TT nate
x”+2mx +mˆ —l x=-2l|m=av=4m 2
Ye Tập xác định: D= #\{-m} XâN ae BỊ Y *
(xm) Gol A, Bla ede diém eye tii cha 66 thi ham sd (1)
Hiim so dat cực đại tại x = 2 thi y'(2)=0
Khi m= ~1 đã y' = x me wy =04»xz0x=2 oem O, 4, B tạo thành tam gide viding tai a
(=1 &Ằ© OA.OB=0 {»—n ~ mm +8 =0 c2 m——4 24/6 (thủa mãn m1)
Bảng biến thiên: Yây giá trị cần tm lầ: m =~4+2v/6,
W + 5 0) % = te $ ôi (24 Bị 0ồ thị côa hàm sf y= SDMA cụ là (hàm số), na
Ỷ ut oe | i ae oe : k a+l :
Chứng mình rằng với m bất kỳ, để rhị (C„) luôn có điểm cực đại, điểm cực
Hãm số không đạt cực đại tại x = Z tiỂn và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20
| _x-2) Gen (x-1?
Để thị hàm số luôn e6 hai diém cue tr, 1 M{-2; m-3) va N(O; m+ 1) dang thải
Ham số có cực trị <2 (*} có 2 rrliệm phân biệt khíc — m
“Tỉnh đệ dài ha: điểm cực trị
Cho Hăm số w=xÏ-2m2x°+ l {1} với m]à tham số, Giọi A(Xii Ví B(Xzi va) tà hai điểm cực trị của đồ tự hàm số, Khi đó:
Tìm m để đổ thị hầm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giấc $ x¡, %; là nghiệm (*) Thea VIết lũ tố: x) + xạ = ~2m, Ki.X; = Hà — 4 2q +
=-myst-m* Chú hữm sf y = —x? 4 3rox? + 3(1 — m2) x4 mv? 1p (en EA tham 88)
«Bie sử Hà 3 cực trị cà y =0 cỗ 3 nghiện phần biệt co gi 0, | Viết nhương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đổ thị hàn số (1)
4 Ba điểm cực trị của để thị A(0; D3, Bứm; Ì - m'},CCm; Ï— mì) oF
: 3M *® Tập xác định: )=W
+ Tacó: AB=[m; -m*), AC=(-n;-m*), \ Ta cé y’ = -3x7 + Ginx + 3 (Ll -— in") o Hệ eo ý
* Viy la ham chin nên lam giác ABC luôn cân ở À, Do đó: y'=0 ŒœxÌ-2mk + mÌ~1=U có A'=1 >0 Vm
Tam giác ABC vuông vin œ ÀL AC + AB,AC=0 De đó phương trình y= Ö luôn số 2 nghiệm phân biệt, nghĩa là hầm số {1}
dt f m=0 (loại) luấn có 2 cực trị vđi mọi m,
©-m +m =Ũ«œ KỆ: |
m =1] Ta có ÿ =~Íx=m)ÿ +2 + =mẺ()
BàI §: DA DỰ BỊ2 Gại A(Xu, vụ) là cực trị của đã thị hầm số (1) thì y (xu) = ÍÌ và tọu độ điểm Á
—— thỗa phương trình (*):
V2 +
; x° +(2in4]}x+m*4+m4+4 Cho ham sé eal 2{x +10) ane see (1) ứm]à tham số) | › Ay nial Legh os ie tr ¥ ( a) iy m ¥y 72%) +m h SÍNh ¡ai - -HÈ
"Tìm m để hầm số (1} có cực trị và tính khoảng cách giữa hai diểm cực trị củu ` =
Giải Ề
« ấp xác định: D= R,y =3@ác- mỹ — 3,y" =6(x— m) lễ ĐỊNH NGHĨA |
¢ Hàầm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 | ho hầm số y = f{x) xác dịnh trên D, |
® Pihuưáng nháp Fs Tim giá trị lần nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Ñ(X) = ax” + bx + cíu #Ú} trên 33
y'=4my) + 24m” Oxy sO L2ma*> +m" -9=0 (*) 4 |
«Hầu số có 3 cực trị c+ (*) có 2 nghigm phin bigt khác 0
Cho him sy = —” ú) (m Ja tham sé) + Néua>td thi TH VIN: an Kha
Tim m dé ham sé (1) có cực đại, cực tiểu Với giá trị nào của m thì Heo] KT Tan thì max.f(x)= Gv 2y l2
cách giữu hai điểm cue wi cila dé thi him số (|) bằng 10 ? € 4a 2a
Gidi "- Phương pháp 2: Tìm giá trị lân nhất và giá trị nhỏ nhất của
š 3 ,_—Ñ" 12w+m f(x) = ax” + hx + € (a4 #0) trên [œ; P]
Tận xác định: 2= avy wy ea (l-x) Tim hoành độ đỉnh parabol xu= —— h
« Ham si cb cực đại, cực Hiểu ụ : + Trườ reine hep tra > max [x)= max {fo}, [ „
>0) = -x +3 + m = 0 (®) cổ 2 nghiệm phần biệt khác L ee krln; 3| ol x {fot}, 1B)
© AB? = (x) — x9) + (y: — ye)" = Gar — xa + độn — KỶ ` 2 "i — Néuxye [aj fie max 9 = f(xq) xe{a; f1
= 10s 5[ (x +33) ~ 4x82 | => Néux.@ le: Althi max fixi=maxlfiea) Tf81]
=?0= 4+4m =m=4 (Thủa điều kiện m>
Hư8ông cẩn giải COGT tir ote HTOG ieee hge — Pham Héng Dar, Trin Toe : = i ©t T1HH NT DVVH Khang Việt
+ Phương pháp 3: Dùng tính chấ: đứn điệu của hàm số | Gidé Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhã ahất của hâm số v = f@) liên
số đã cho liên tục trên [0; 2] nên:
ina f(x) = max fia), £00), EOx0] ee
level : min Y = y(0) = 3 và maxy=3(2)=—
BàI tnần: Tìm giú trị lớn nhất và giá trị nhẻ nhất của hầm số y = l{x) không (0; 21 ‘ 10; 2] 3 phải rrên [a; b] Bai 2: BÀI HỌC KHÔI Ð NĂM 2009 of, Dựa vàn bảng biến thiên của hàm số để tìm giá trị lên nhất và giá trị nhề Cho cic số thực khẳng ấm x, y thay đổi vũ thỏa mãn x + ¥ = 1 Tin giá trị Kc nhất của hầm số, nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 = (4x + 3y)(4y" + 3x) + 25xy,
Cid ye , GIẢI
Nếu hầm số y = f(x) tăng trên [a, b] thì: + S=(dx2+3y)(4y! + 34) + 25xy = LồXY + 1204 y)] + 34xy
=10x2y + I2(x + yi) — axy(x + vO] + 3<xy = 16x2y” + 12(1 — 3xy) + 34xy
= lũxˆy”— 3xy + 12
min f(x)=fía)vä max £{x) = tb)
xe|u; hị xe[a: bị
Nếu hầm số y = fx) giấm trên {&, b] thì:
tin f(x)=l(h}vä max [(x) = fa) xc[a: la| xc]
«Phương pháp 4: Dùng miễn giả trị của ham số y = f(x) e D} 2 l6 eS
y thudc mién gid tri ca hầm số y = [íx) .‹ 1 ¬ 33 ‘ ch _ 191
© Phương trình y = [{x} có nghiệm x « D, dics ae Tana Camda 3y
‘Tiy dé ta Gm due diéu kiện eda y và suy ca được giá trị lửn nhất và giú trị Re iis,
ae ee * ¥iS lién tue trên [Ú; — ] nên:
nhỏ nhất của hàm số, 4 Chí + Phương trình: axinx + bc0šX = € as 4 về 1
conghitmxe Reva +b ee aS + Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức sẽ 2.8 h 33 Dùng các bất đẳng thức đại số để chặn hiểu thức f{x) rồi dùng định nghĩa giá Min $= dal khiúi 4 œ hay = s
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất để tìm đáp số l6 ine JuS~ 3
ý 4 4 + Lưu ý: Phải kết dấu *=” xảy ra trong tất cả các bat đẳng thức để đùng trang
Cho hai số thực x, y thay đổi và thöa mãn xỶ + yỶ = 2
B ĐỀ THÍ Tìm giú trị lân nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 2Œ” + v) - 3x ]
~ 1ủ |F| ñ nhất và nho nr:1L của liều tile F = 2x yo) = 3XY
Trang 5m———
Hưởng dẫn giải PHIT tứ đất ETQG Tuản hạc - Phạm Hẳng Danh, liắr Vân Toần ly TNHH f4TV [IWVVH Khang việt
v3 Bet
« Ta lại có: XÊ+y =2 c> (xXx+v]Ì— 2XY=2©» XY= ix oe Hài 5: Đi: DỰ BỊ I
Ex : XÃ SN esa ele Bk aie anc
5 Cho hảm số fix) = 6` —sinx + — Tìm gi trị nhà nhất của hầm số †(xì và
Từ bảng hiến thiên, GTNX của fíx] bằng I
Wa dưỡng thÄng (d): y = 3 cất đồ thị hàm số y = l{x) tại hai điểm phân biệt
~-3| nên muxy=-B, míny =-#
=_ Viy liên tục trên đoạn [=5:
|-5¡=3| ‘4-4
Bai 8: DE DU BIL
Ta od: 1{0) = 4, con tan fly =
Vi feu Lién we én doan 0; 1] céa axy co max f{Q)= 4 và mín y =núnF[1)— 3
` Sof ace wos a 7 Tu ee ƒ
Tìm giá trị lân nhất, giá trị ñâ5 nhất của hầm số y = x” + 4(1 ~x') trên đoạn
[ly TMHH 1 DWH Kha*g việt
1 fae fa te ay WLOX) đổi dấu khi x đi qua xạ tì điểm Iixu; Fíx;J]là một điểm udn cửa để Dị
Inx=2 x=e! =|k e| "Vy liên Lục a I-l; Si nên Cách 1: Dùng khảo sắt him 56 | Chahimsd y=x*-3mx°4+9x¢1 (1) — (mlàthamsấ} |
+ Tacóy(1)=0,y(` NT = ye) = > i [-!: vã - [h3] vã 4 ẹ 4 Giải
« Viy lién tue = [tg c*| na ; , ÿ x dy x 34x 4 ‘i y
¿ 9 4 Tim gid tr lan nhất và nhỏ nhất của hàm số Y = trên dnạn {—5; -ÄÌ =6x-6m, y"=0 @xam=> y=-2m +9rai+l max y = max 15 ia \=—— vi mig y = min (0; 3-7] =0 —— At? ess 4 a -5)(3 - 35) Suyra diém udn Ton; —2m? + 9m + 1)
& x hư Ce tải = 2 + :
\ = L nh Giải x” (§— ~4x}” x *(5—4x) “Tả có T thuộc đường thẳng y = x LÍ œ-2m°+Ôm + Í=m LÍ
Hưởng dẫn git: COST af as BTEG Todn Foe — Pham tSag Ban”, Tấn Win Foy _, Sty TRHH MT DVVH Khang Viet ‘Hiring dn gié DET ti oés BTEG Toér hạc - Phạm Hổng Danh, Trần V&? Trần oe ¡" i Sly TNHH MIV DVVH Khang Việt
[ Cho hầm số ý = ffx] có đổ thị (C) 1 TIỆM CẬN ĐỨNG 2|m|=+x Bn? 41> 4m" 2(m +1) cm =21 (thea un ay? agficn alg 1 Xác dinh m để liệm cận xiên của (Cn) đi qua gốc tọa độ và hàm số (1) cả cực trị —- i ai y j Gidi $Ốy =-x” x6 gee
Budng thang x = xo 1 Gein edn ding của để thị (C) nếu ít nhất một trong bến Bài 2: CAO ĐĂNG GTVT TH KHỐI Á NĂM 2007
điểu kiện sau được thủa: —— Bề =— có đỗ thị (C)
=a, Cho hãm số y =
lim lệx) =—+®,
.Ủ lim [{x]=+© 5 lim [íx]= =3; aon I(x) = 19;
Rorag, x.35I x rx
2, TIEM CAN NGANG
Đường thẳng y = yy là tiệm cận ägang của đổ thị (C) nếu
Tìm các điểm M trên {C) có tổng khoản cách đến 2 tiêm cận của (C} bằng 4
Giải
Tacó: lin y=—o, lim y=+>z, lim y=2
vả 1 =¥, hoặc lim f(x) =ỳu Aol ai! xa
-Suy ra đồ thị (C) cú x= 1 là tiệm cận đứng và y =2 là tiệm cận ngưng
2m +1
a) 'Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là
3 TIỆM CẬN XIÊN
Đường thẳng y =ax +b (ä #0) là tiệm cận xiên của để thị (C) nếu
1 f(x)-ax+b]|— 0 hoặc lim “tix) (ax +b) ]=0
Bài 1: DẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Vậy có 4 điểm: Mụ(2; 5); M;(0; ~1); Ma(4; 33; My(-2; 1)
mx? +(3mẺ ~23x—2 | Bai3: CAO DANG KY THUAT CAO THANG
Cho hầm số y=——— -———— (C), v@im li tham sẽ thực, 4
| * +ảm
Tim giá trị của nì để gúc giữa hài đường tiệm cân của đổ thị (C}
Gidi
3 iại Cụ là đổ thị của hàm số y=—x+m+L— (*) (mlä tham số)
š 'KhimawÌ để thị có bai dÊm cận 3 lày|L818 ;:y = Rìx— 2 3 hay {ete Sato a, :mk=w—2=0
Điểm A€2; 0) thuộc tiệm rận xiên của để thị (Cin}) khí và chỉ khi:
dị có vectd pháp tuyến nị = (1; 0), đ; có veetd pháp tuyến ny = (m; - l) 0=~—2+m+l<>m= Ì (hỏa điểu kiện m #0}
(mx -? 11 m m (mm l als 2m? -2m? 41
Vaidm* - 2 + 14 Ovi m2, ted lini OL
se mmx -l]
Suy ru Liệ1rt cận xiên của (Cu) cố phương trình y = hy : —
Yêu cẩu hài lon 1f0ap đưỡng với mx? 2x -2m? +2m —0.cd 2 nghiệm phần biệt
+ Chiểu biến thiên:
Tinh do ham cap 1 và tứ nghiệm của đạc hảm (nếu có)
và nghịch hiến trên khoảng (0; +)
+ Cực trị
Ham số đạt cực đại Lại x = Ú, ven = 6
+ Giớihạn: lim y=->~
«- Đ thị: [C) cắt Ox tại hai điểm A (v2; 0) 8 (2 0
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỔI D NĂM 2009 Khăo sát sự biến tiện và vẽ đổ thị của bàm số y = xÃ~ 2xÊ
Him sO dal cye dai taix =0, yop =0 Hàm số đạt cực tiểu tại x= #1, yc? =—
+ Giới bạn: lĩn y=+se :
x.>‡m
®* Bane hia’, hina
Trang 6
w
Cly TNHY MT¥ DWV Khang Viật
—zl
tướng dẫn giải CDBT ti cá? ĐTQG Toản lọc - Pham 1iề1g Dạnh, Trần Văn Toàn _—_———_` _ :
ae N “i ø i lạ Tài á: ĐẠI HỌC KHỔI B NĂM 2097
ý =0 4H S.WŸ [[ Khảo sút sự biến thiên và về để
? Te OE ea “= Tip x4c dinh: D=R
| =I `: - ø Sự biến thiên:
+ Chiểu biến thiên:
Đạo him: y' = —3x? + 6x, y' =Ũ«+ x =0 hoặc x=2
Ham số đẳng biến trên {P: 2), hàm số nghịch biến trên (~—%; Ö) và (2; +)
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 2, Yen = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = D, yc+= —4
Ham sf déng bién teén kbodng (0; 1) vi (1; 2)
— Hàm số nghịch biến trên khnẳng (—%; 0) và (2; +oa) + Cực trị: llầàm số đạt cực đại tụi x =2, Thun
Khảo sắt sự biến thiên và vẽ đổ thị la bã nổ ve | #Y=-xx*+l-———- và im ———=0
«Bijele init = HE ứ biến thiên và vẽ để thị (C) của hầu số y rae đã chú + Đồthù (hình bên) > Ax-1) zaz2x-D
«_ Sự biến thiên: Giải : š ~ =SW=~— + | là Iriưưng trình tiệm cận xỉ
` E45 biển (RIẾ ˆ4- Tân xúc định: De [_ Khảo sắt sự biến thiên và vẽ đỗ thị của hàm số V= ~ x” + 3X” — 4x + 2 2 Een Hein EỒI-XIỂNH:
Duo ham: y'= 12x? — 12x; y= ov x00 | =1 ® Sự biến thiên: » Tap xác định D=R ‘ 1 =
3 + ‘ & hỊ te tử sả - =
¡: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yeu = | 1400140400777 1222 xà Đạo hàm: v' = =3” + 6x4, vb y' <0, ¥xe D, oc » sẻ
+ Cực trị: Hàm số đại cực đại tại x = 0, you (ath Y 4 i ¬ id 3 “ 2 TH du
ì ố đạt cực tiểu Lại x = Í =~l Hì ế lổ nu Hàm số nghịch biến trên (—%; +2) Š ae 5
Hiim s0 dat eye aeu ly Ẫ ' Yer ni am số đã cho đẳng biến trên + Cực trị: Hàm số không có cực trị 2 ad Xã
+ Gidihgn: lim y=- và lim y=+ BÍ khoảng (—se; =1) và (-1; +00), + Giớibạn: Em y=dz VÀ lâm yao W
es — + Hàm số đã cho khẳng cổ cực trị Lae xen
« Bing bién thiên: KT Aisi bign vd tiệm cận: ˆ 3] - + Bảng biến thiên
x | 00 ũ 1 +90 ‘ sa) s49
y een 1 CN ` + =2 Tiệm cản đứng x = —1 s % are eg, se t 2
Hướng dẫn giải COAT ti sáu ĐTGG Tgán học - Phạm Hồng Danh, Trấn Văn Toàn
U Khio sdtsy bign thiên và vẽ đổ thj (C) ham sé: y= ———"— |
2/ Dựa vào đỗ thị (C), Gim m dé phutong win: x? + 2x 45 = tmẺ + 2m + 5) & + lÌ |
Biến đổi phương Winh 43 cho g(x, m) =O ¥é dang Mx) = b(m) (*) | « Đềnh
Trang đó để thị (C) của hàm số y = [DJ đã được vẽ trang câu lôi trước đồ Na có: x14 2x + 5= (mẺ + 2m + 5)@x + 1)
Xem đường thẳng đ: y = hữm) là đường thẳng cùng phường với trục hoằnh xã TÊN, si ý48„kÈ f6
x+
(vix>Onénx+1#0)
Goi dla đường thẳng có phương trình :
y= tr + 2m + 5
Suy ra phương trình (*#) là phương trình hoành độ giao điểm của (Cj và d
Da đá: Phương trình (*) có hai nghiệm dương : +> d cất phần đồ thị (C) ứng với x > O ai 2 điểm
có hai nghiệm dương phẫu biệt, 1 Khão sái sự hiến thiên: và về đổ thị (C¿ của bàm số y = xỶ — 6x” + 5
Giệ 3/ Tìm mì để phưứng trình sau có 4 nghiệm phần biệt: x” — ñxŸ ~ lap,m = Ð |
+ Sy bith thiên; © 1» Tập xác định: ÐĐ= R
+ Chiểu hiến thiên: + Sự biến thiên:
.ẻ rˆ
W-Hắm; Ý ix +1? a eon a Ỉ Dav ham: y' = 4y - day y =U@x-0vx-#‡3
Hằm số đẳng hiến trên khaảng £ —v3 0) vi (V9 5402) 1Tầm số nghịch biến trên khoảng [~z2 ~W3) và (0; v3) Cực tị:
Ham sé dat eye daitaix =0, yoo = 5 Hàm số đạt cực tiểu tụi x=+v3., yeu = -4
+ Giới hạn:.lm y=+©
tote
Him sé déng hiến trên khoảng (—ø: =3) và (1; +)
Ham số nghịch biến trên khoảng (—3; =1) và (=1; 1]
Cực trị:
Ilãm số đại cực đụi tại x =~3, yca = —4
Hànn số đạt cực tiểu kại x= ] yer = 4
= y=x + L là nhương trình tiệm cận xiÊn
Hưởng dẫn giêi GDET từ các DTQG Toán học ~ Pham lãng Danh, Trần Văn Toà+
Suy ru phương trình {*) là nhương trình hoành độ giao điểm của (C) và d,
Da đó: Phương trình (*) có đ nghiệm © d và (C) có 4 điểm chung
©—4 < logy m + 5 <5 œ-9 <Ingam <e@+2ˆ?<m<Ì, bài 3: CS 23A0)
Cha hầm số y=—x` + 3xŸ (1) 1/ Kbảo sất sự biến thiên wa vé dd thi ham sé (1)
2/ Tìm k để nhương trình —x” + 3x” + kÌ— 3k” = ( có 3 nghiệm phần biệt
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3}
Tam số nghịch biến trên khoảng (—œ; 0) va (2; 400) + Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yua = 4 Ham sé dat cực tiểu tại x =D, ver = 0
+ Giới bhụn: lim y=+s và ln y=— x>~= Xp
Suy ra phương trình (*) là phương trình huành độ giuo điểm của (C} và d,
Do đó: Phương trình (®) cá 3 nghiệm phần biệt
& Đường thẳng d và đỗ thị (C} có 3 điểm chung 0< —kP + 3k” < 4
NI Dee | Cha hàm số y “hờ si a) baad ya x? ~2 + 1
| 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hài: số (1)
.3/ Tìm a để phương tình sau có nghiện: gyEt -Ía+2)atdrt +2n+I=0 |
Hằầm số đẳng biến trên khoảng (—; 1) và (3; 400)
Hằm số nghịch biến trên khoảng (L: 2) và (2; 3)
+ Cực trị: 3 Iam 36 dat cye dal taix =1, yep = 9 Ham số đạt cực tiểu tại x = 3, yor = 4
Trang 7
Hưởng dẫn giải GDBT từ các BTũ6 Tốn họ: - Phạm Hãng Danh, Trấn Văn Tuần
Gọi (C9 là một phân đổ thị hầm số ya (đũ đước vẽ trong civ 1) H— Š
giải hạn trên doan [3: 9] va duding thing d: y =a
Suy ra nhường trình (*) là phương trình hồnh độ giao diém eva (C’}) và d,
Do đá Phương trình đã cho cĩ nghiệm klú và chỉ khí :
(2) cĩ nghiệm u e[3; 9] + Đường cong (C’) và đường thẳng d cĩ điểm chung
edeme = 7
RaS:PEDUBIZ
Cho him sé y=(x—1)'- 3x (m là tham số)
1⁄ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hầm số đã cho,
Hàm sế đẳng biến trên khoảng ( ø;0} và (2; +3)
Hàm số nghịch biến trên khaảng (0; 2)
Cực trị:
Hai sé dat cute dai tai x =0, yen = -1
Him 0 dat eye Gu ai x = 2, yor =-5,
+ Giới hạn: lim y=-œ và lim y=+œ
Hường dẫn giải GUUf từ sáo ĐTQG Tến hos - Phạm Hồng Danh, Tiẩn Vấn Tuần eas
Pao ham y' = 8x°- 8x; y =0 =x=Ohoicx= 41
Hàm số đẳng biến trên khộng (—1; đ) và (1; +9)
Lầm số nghịch hiến trên khoảng (—; — 1] và (9; 1)
+ Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = Ú, yen =0
Hằm số đụt cực tiểu tại x = 1, yer =-2
+ BGiỏihan: lim y=+œ
Từ để thị củu hàm số đã cho, ta suy ra đỗ thị (C¡): y = lax‘ _#e) được về như sau:
~_ Phần (C) đ phía trên Ox giữ nguyên
— Bỏ phần của (C) ở phíu đưới trục Ox
và lấy phần bỏ nảy đối xứng qua trực Ưx
Từ đổ thị (C¡): suy ra phương trình đã
chủ cĩ 6 nghiệm nhân biệt khi và chỉ khi:
d cht (Cy) tai 6 dim phan bite
Suy ru phương trình (8) là phường trình hồnh độ giao điểm của (C) và d
Ta đá: Hệ cĩ nghiêm c? Phương trình (*) cĩ nghiệm % c(:?]
+» Đường thẳng ở và đổ thị (( cĩ điểm chung
; ĐẠI HỌC KHỐI À NĂM 2006 _
Kho sút sự biến thiên và vẽ đỗ thị của hầm số: y = 2x? - 9474 12x- 4, Tìm:m để phương trình sau cĩ 6 nghiệm phan biệt: asi? —9x? + 12hd=m, |
Gidi
„ Tậpấc định, D= R
Sự biến thiên:
+ Chiểu hiến thiền:
Đạo hầm: y'= 6Ÿ — 3x +2), y =Ocox= lx =2
1iầm số đẳng biến rên khoảng (—; l} và (2; +25) Hàm số nghịch hiến trên khoảng (1; 2}
'§ố nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
-_ Bỏ phẩn của (C) hến trái Oy và lấy
giỮ nguyên đối xứng qua trục Oy
Từ đả thị (C): suy ra pbfững trình đã
tĩ 6 nghiêm phân biệt khi và chỉ khi:
-đ cất (C) tại 6 điểm phân biệt
Hướng dẫn giải CDBT tir cic DTOG Todn họu — Phạm Hãng Danh, Trắn văn Taan
~ Phin (C) é phía trên Ox giữ nguyên,
~_ Bỏ phẩn cửa (C) ử phía đưđi Ox và lấy phẩn dối xứng của phin nay qua | Irye Ox
2 Vẽ đã thị (C¡) của hàm số: yị =f( |x Ì (véi D là tập xáe định đối xứng)
“Ta cĩ: E( kÌ) = Ex ): đây là hàm số chấn nên đồ thị (CỤ nhận Oy làm trục
đổi xứng
Đổ thị (C¡) suy từ đổ thị (C) hằng cách:
~_ Phẩn của (C] bên phải trục Oy giữ nguyên |
~ Bả phần của (C) bên trái Oy và lấy nhẫn đối xứng của phẩn bên phải của (C) gua truc Oy,
3 Vẽ đường cong (CỤ; |y¡ Í= F(x)
* Néu y, 2 Othi y; = f(x): (C,) =(C) 8 wen truc Ox |
© Nếu y¡ <0 thì vị = —f(x): (C¡) đổi xứng tủa ic d trén true Ox qua Ox,
Đề thị (C¡) suy tử đổ thị (C) bằng cách:
—_ Phần của (C) ư phía trên ©x giữ nguyên
— Hỏ nhẫn của (C] ở dưới Ox và lấy phẩn đối xứng của (C} ở trên Irge Ox
quia Le Ox
(wth Hàm số đồng biến trên khoảng (—m; —2} và (đ; +so}
Hằm số nghịch biến trên khaẳng (—2; —l} và {—I; 0) + Cực trị:
Ham s6 dat cue dai tai x = ~2, yco =—L Hằm số đại cực tiểu tại x = Ư, yep = 3
s_ Gidi hạn và tiệm cận:
+ lim y=—;¡ lin y=+s+ 3x =~1 là pl:ưưng trình tiệm cặn đứng
24-07 x-|+
+y-K+t2+ os và lim — =ũ =y=x+2 là phưưng trình tiệm cận xiên
« Bang bién thién:
x |} -œ _2 =i 0 +20
+ ụ = SMA +
ï ae b + ĐÁ a +ơn _m
= Phin cla (Cid miéo Q(x) > 0 git nguyén
— Bé phn của (C} ở miễn Q(x) < Ư và lấy phần đối xứng của phẩn nãy qua
ef Tđang tốn này thường đi kèm với biện luận số nghiệm của phương trình cĩ
la dấu trị tuyệt đối
B BE THI Tài E: DAI HỌC KHỐI NĂM 2099 —
Cho hàm sốy=2x” 4x” (1)
_1# Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị của hầm số ( )
3 Với các giá uị nào củu m, phương trình x°|xŠ ~2|=m cĩ đúng 6 nghiện
Tập xác định: b= RE, _ Sự biến thiên:
+ Chiểu biến thiên: ~
ï đồ thị (¡): suy ra nhưng trình đã cho cĩ 4 nghiệm phần biệt khi và chỉ khi:
it (CA) tại 4 điểm nhân hiệt + m >3
= ‘Sur bién thién:
| + Chiểu hiến thiên:
| i Bao him: ga PEO owen
2(x-1y
— 1Iâm số đẳng biến trên khoảng (—%; 1) và (l; +œ)
+ Hàm số khơng cĩ cực đại và cực Liểu
Trang 8
Gly TNH MTV DAWEH Khang ¥igt
"5
Thương trình MẾT ngột của G854) thụ @ có on số a ste k cho trước cược
“Hướng sẵn giải COAT tr ca¢ BTOG Toda hoc — Fham Hiding Bach, Tran Van Toan
2
+ Bảng biến thiên
x | oe : , | == +O a 5
SS ag Chí ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến có thể được cho thông quá tưới dạt:
fl | c tiện Tiếp tuyến của (C) vuông gúc với đường thẳng d: y =ax + b (a z Ù)
ME 2\x =] wally dã Đổ thị (C) “đ thì loại tiếp tryến đá, (Do vậy tụ chỉ dùng kí tự =>} = P(X) = a Sau đá hiểm tra lại nếu :iếp tuyến nào trừng với đường thẳng
Dựng đ: liếp tuyến của đỗ thị (C) đi qua điểm MXu: yu)
: Xếtx = xạ có là tiếp tuấyn khêng
Số nghiệm của nhương trình đã cho bằng số
x” =4 =3
3
lao điểm của đả thị hàm số y = y
on 2|F~ Ị TH2: Tiếp tuyến có hệ số góc k tùy ý
với đường thẳng d: y = — m *œ- Gọi k là bệ số gúc của tiếp tuyến d đi qua M
Từ đỗ thị của hầm số đã của, tả suy ra | Phương trình d co dang: ¥ — yn = K(X — xn) © Y = kx — lui + YH
2x? =4x—3 z + Dường thằng ở tiếp xúc với đổ thị (C) khi và cbi khi hệ phương trình
đổ thị (Ci:3= — được vẽ nhữ sau: I f(x) =kx — kay + Yạ tl)
« Phau x > | gif nguyén dé thi (C]
® Phinx <1 My dé thi (C) déi sing qua Ox
» (C)} 1d hep eta hai phẩn treo
Tw dé thi (C)): suy ra phương trình đã chủ có
2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
đ cắt(C¡) tại 2 điểm nhân hiệt o meR,
» Thế (2)vào ụ } để m haành độ tiếp điểm x Thế keänh độ tiếp điểm x | tảo phương trình (2) để tìm hệ số gác k của tiếp tuyến
+ Chú ý : Khi thế (2) vào (1) giả sử tbụ được phương trình ẩn số là x và được tiệu là (*)
Thông m phương trình (*) cd boo nbiu nghiGm x thi qua điểm M od
y nhiéy tigp tuyén dén a8 thj (C) Ti dé ta gidi quyết được bai toda “Tin điều
Padé yuo dig MỸ cá thể vẽ được đến để thị [CJ n Hến tuyển"
ives f(x) và (C:): y = £®),
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
¥ Van dé 10: Deng ¢: Cho hai dỗ thị (
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Œ¡) tiếp xức với (C;) khi và chỉ khi hệ nhượng trình sau có nghiệm
; = —— aT ca f(x) = gtx)
Cho him sé y = fx) od 44 thi Hi (Ch | Tưng |
Dang f : Tiến tuyển của dễ thị (C) tại điểm MíXa: viậc (C) có phương tình nh
B ĐỀ THỊ
_Hưởng dẫn giải EDB” từ các ĐT0G Teän học - Phạm Hồng Danh, Trắn Văn Toàn
¥— y= Poa xa) CF Dựng 2: Liếp tuyến của đổ thị (C) có hệ số gúc k chu trước bị E1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = x + m
ma =x+m é+-x+ l=(2x - Dix+m) (vin= _ khong la nghi¢m)
- 4|xƒ +X 2]—4(x, +x,}~2
ky +k, =y'(x))4 yxy d= - me (2x, -1)° +(2x,-1) “i
(2x,-1) (2x71)
— 4x +: } Bax, T4 +xy
[4x,x, “ 2(x, +} t iT 4(-m)" mủ 4( m)12 l
3: CAO ĐẰNG KHỐI A, B,D NAM 2010
Viết phương tình tiếp tryến của dé thi (C) của bam sO y = x? + 35”
Gm cé hoAnh dé bang -1
Gidi
Goi Ala điểm trên (C} có hoành độ x =—l =» tung độ điểm A bằng |
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại Á là y(-l)= 3_
Vậy phương trình tiếp tuyến của đổ thị (C) tại điển À:
x+2
1)
E 2x+3 Đố Fiết phương lrình tiếp tuyến cửa đổ thị hầm số (1), biết tiếp Luyến đó cẮt truc
B, trục tung lẳn lượt tại hai điểm phần biệt A, B và tam giíc OAB cân tại tọa độ O,
© Goi Mit yode (C) là tiếp điểm ‘ Cho him sé y aS a Chứng minh rằng với mọi m đưững thẳng y = x + Giải =
« Tiếp tuyến cá hệ số góc ke>(xu)=k (1Ì ml A và Be Gui ky ky lần lượt là bệ sổ góc Gino điểm (C) và trục tụng: A(D; L) Giải
4 ate hotinh ddl điểm %ụ | môn cất đổ thị ÚC) t 1Ö, điểm phân biệt Á vì 1Rn Sa là ấn + “O) = — ae
« C11 nhưưng trình (1), lầm đc hoàih độ tiếp điểm xu- | Baie: : = a (ƠI tại À và B„ Tìm m để tổng ky + kạ đạt giá tợí lớn nhất, sử ims 3 er bú 3 pe jf300 Tap xde dinh: D=R\{-=}, y" i x0, Vx €D
« "Tung độ tiếp điểm s¿= xo} š Ề D tuyến với (C) tại À và 6i ương trình tiếp tuyển của (C) tại Ã: y— Í =~3@ = Ủ] @ y= -3x + Í (2x +3)
Gly THHH MTV DVVH Khang Viat
Hưởng cẩn giải GDBT tu ede DTOG Tedn hoo — Pham Fidng Denn, Tiần Văn Toản
'Tam giác OAB vuông cân Lại O, suy ra hé sf gdc tip tuyén bug 41
Gọi tạn độ tiếp điểm là (Xa; yạ); tá có:
*— Xụ~~—2.yu=Ú; phương trình tiếp thyến y=— x - 2 (thỏa mãn) |
Vậy tiếp tuyến cẩa tầm cố phương trình y=— x— 2
Bài 6: ĐẠI HỌC KHÔI B NAM 2008
Nhận thấy đường thẳng x = —L không là tiếp tuyến của đổ thị hầm số (1} _® Tận xác định: D=\{-]} y xẻ 20, ¥xe D
« Gọi Á là đường thẳng qua MỊ-]; 0} có hệ số gouk > At y =kix+ 1) - 9 sổ
« A là tiếp tuyến của để tlý hàm số (1) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm VIM €(C) nén [s2 NT |:
4x ~6x” t]Í =kặt +1)~3 @) Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M;
Thay (3) vào (2) là được: 4x” — 6x) + 1=(128— 12x){x # 11— 9 —>ủ m+] _fm+iÙẺ (tm+l
tes 14x segs ® Ã =df1Dx nêu Llụu độ Ä Lhủa hệ nhường trình:
od Tam giác OAR cá điện tích bằng Bường thẳng (d) di qua điểm A(0; m) có hệ số góc bằng 2 Tim m để (d) tiếp Bee ệ Ễ 4
Raid: DE DY BI2 BAT HOC KHOLD NAM 2006
kes neil
_— Rel (C)
Cho diểm Mu; xụ) = (C), Tiếp tuyển eta (C) tai My edt ee tiém cận cửa
fC) tai A v8 B, Chứng mình Mụ là trung điểu: đoạn AB
Giải
Cho him sd y
*Mu(xp; yụ) € (C]© Yo= TH Xụ— I
*_ Phưững trình tiếp tuyến của (C) tại M:(x¿: ys là
a 4 z(x-xu) +y¥y {xạ =1)
* Giao điểm của Á với tiệm cận ngung là nghiệm hệ phương Irình
A có để thị (C),
Cho ham sé y=
Viết phương trình tiếp tuyến của đỗ thị {C), hiết tiếp tuyến đó vuông góc với
Gry TNH RIT DVVH Khăng việt
- Tiệm cận xiên của để thị (C) od phương trình y =x — 1, nên tiếp tuyến Yuông góc với tiệm cận xiên có hệ số góc là k= —l
— Hoảnh độ tiếp điểm lä nghiệm của phương trình:
Trang 9Huảng dẫn giải (D3T từ ¿äc E-TQG Tuần hạc = Pham “Sng Dan, Trin Van Toan
Cac ida tuyén cdn im là: y=—Š:y= 8x- 3,
Bat 13: PAL HOC KHOL D NAM 2005
Gai (Cạ) là để thị của hầm số yee és oe +5 (m1 tham SỐ)
Gại M là điểm thuộc (Cm„) có hoành độ bằng —1 Tìm m để tiến tuyến của
(Cg) tại điểm M song sang với đường thẳng 5x=y=0._
Giải Tập xúc định: D= l
Ta co: y" = x mx
—m Điểm M thuộc (Cà) có hoành độ x = ~ 114M k5 =) Z
Tigp tuyén tai M của (Cm) là
Gại (C„) là đỗ thị của hàm số y = —xÌ+ (2m + i}x? = m— L tm là tham số)
Tim m để để thi (C„) tiến xúc với dường thẳng y = ie —m-1 -Ì
Tạng 3: Phương trình hoành độ giao điểm cũ dang
DẠL1= x?, Phương trình (*) ở hành at? + bt+co=0 (1)
1 Hai đồ thị có 1 điểm chung phân biệt
<> Phung trình £*) có 1 ngliện:
Phương trình {1) chỉ có đúng Í nghiệm và nghiệm này bằng Ö
leas trình (1) có 1 nghiém bang Ova I nghi¢m im
| 3 Hai dé thị có 3 điểm chung phần biệt
> Phuting trinh (*) có 3 nghiệm !
<> Phuong trình (E) có I nghiém bing ñ và một nghiệm dưưn,:
<>c=dvà ah <0,
4, Hai đổ thị có 4 điểm chung phản biệt
+ Phương tzinh *) cá 4 nghiệm
+ Phương trình (Ù có 2 nghiệm dương phần hiệt
y có 2 giá trị thỏa mãn yêu cầu hãi toán là m =0v m=4
15; bE bu BI 2
“Cho ham sf y - ——— o6 dé thi (C),
lội I là giao ele vụ đường tiệm cận của (C) Tin điểm M thuộc (C} suo apa
tiến tuyến của (C) tal M yudng gdc vai dưỡng thẳng TÀI,
= (Che đường tiệm cận đứng x = 1 và đường liệm cận ngung y =2
L Tia giao điểm hai đường tiệm cậa của (C) => I1; 2)
Cho ham so y= tty =” -~ = cs đã thị (C)
“Viết phương Su tiếp tuyến của is thị {C), biết rằng tiếp tuyến đú song song
L ĐỒ: đườn „ thing d: y=4x +2 poe
59
Cly TNHH MTW DVVH Khang Viet Việt
+ Khi đó, hoành độ xạ, xp cla A vi B là nghiệm: của phương Lrình (°) nền dp
I—3k
lun gag dink lý Vie định lý Viết la CÓ; Xe + A X“———=——— i -
z A và B thuộc d nền YA= kxa + 2k + Í và yp =kzụ + 2k + l
+ Ta có: Khoảng cách từ Avi B đến trục hoành bằng nhau
o val lyg|©>|kx, +2k + 1|=Íkxa 1 2k 1]
dy k = 3 thỏa yêu cẩu bài toán
ĐẠI HỌC KHÔI A NĂM 2010
Cho bim s@ y= x'-2x°+(1-mix¢+m (1), m la sé thue,
"Tìm m để để thị củu hàm số (1) cắt trực hoành tại 3 điển phân hiệt cổ hoành
x¿ x; thẻa mãn điểu kiện: xị tx) +x3 <4,
Giải dng trình hoành độ giaa điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành lR:
x`— 2X” + (1 — m)x + m= €2 (K— D@Ÿ— x— n) =0
©x=lhaypG}=xÌ-x—m=0(2)
1 xị, X; là nghiệm vủu pldng trình (2) Hù x: = 1, điểu kiện {2) có nghiệm, thea định HÍ Viebt tả cổ: xị + x; = Ì và xị.x; == m
_-_ Do đó yêu cẩu bài toần tương đương với:
g trình (2) có hai nghiệm xị, xz phân biệt khác 1 và thöa xị + x? +l” <4
L
Áq; =1! 4m >0 Tông th tứ ải gÙ=-=mxzũ mime «+m#0 ay 4 ° sbaxdel<4 Xp bx ˆ—2xix; <3 l+am<3 (nzủ
! 3 12 1: DẠI HỌC KHỐI 8 NĂM 2010
2 Vậy tì có 2 tiến tuyến, Ái; Y=4k= TH Aị= y=4K* =
Bài 17:
2
‘Tim i để đổ thị hàm sễ (1) tiếp xúc với đườag thẳng y = x, |
Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
Dạng 1 : Phương tình hoành độ giao điểm có dạng: axÌ + hx +c= Ũ t1
„1, Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phần biệt
|
« Phương trình (*) cố 2 nghiệm phân biệt hee s.ỹ
2 Hai để thị cất nhau lại 2 điểm phần hiệt cùng uằm bên phải trục tung,
> Hai dé thi cdi nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương
© Phương trình (*) có 2 nghiệm dương phñn biệt |
Hưởng dau giải EDST từ cáo BIGE ñ@än học - Phạm lảng Dan, Trẩn Vân Trân —-
2x41 ma =-—3x+m € 2x” + (4 —m)x+ L—n=0(*) (vix=-1 khong Se ý _nựa x A
«Phương trình 2 có A=n+>0, Ym nên d luôn cất (CỊ tại điểm À,B-
* VIA, B unide duting thing y=-2x+m nén 4 =— 2x, +m va ¥p = — 2Kn +m, với Xa xu là nghiệm của nhượng trình (3
1ã nghiệm)
Ta ed:
3œ 1 1 SaoA = Ý 3 XAYA —xsyg|=3 colt, (2x, m)~x, (2x, +m)|= v3
T1
=|mfxx —xu||=2v3 = m? (x, mtg) =l2 c+ mo
c» mỉ + HmẺ «+ 4= cm `°=4c+m =+2
Hài 4: DẠI LIỌC KHỐI NĂM 2002
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng = - 2x - m cẤt đả thị hàm sẩ
x?+x—l
x =-2x+m c2x +x— I=xX(- 2x + m) (xì x =0 khãmg là nghiệm)
&3x+[(1~ m)x- =0 (1ì
* Via <Ú nên phương trình (Ì) luôn cỏ 2 nghiệm nhần biệt z Ö
Do đó để thị và đường thẳng y =— 2x +m luôn cắt nhau tại điểm phân biét A, B
«- Gọi[ là ưung điểm của AB, là có x eo Theo gid thiéttacéd Te Oy = x,
Bài §¡ DAI HỌC KHÔI ñ NĂM 2009 Tim các giá trị cửa tham số m để đường thẳng y = ~ x + m cát đồ thị hãm sế
=0=m=l
y=Š ~Ì ia idm phan biệt A, B, so cho AB.= 4,
Phương trình hoành độ gian điểm của đã thị và đường thẳng y =— x + m là :
- + =Š -1 > 2X” — mx — I =0} (vì x =0 không là nghiệm của (®))
-Hui để thị cất nhau tại 2 điểm nhân biệt cũng nằm bến trái trục tung
-_e»1lai để thị cất nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm
; A>t
~ Tê trình (®#) có 2 nghiệm dm phan biét os <0,
P>ữ
“Hai dỗ thị cất nhau tại 2 điểm phân hiệt nằm về hai phía đối vai rye mag
© Hãi đỗ thị cất nhau tại 2 điểm phẩu biệt có hoành độ trái dấu
-&> Phương trình (*) có 2 nghiệm trái đấn oe PO,
để thị cất nhau lại 2 điểm phâu biệt cằm vể một phía đối với trục tung
Tai đả thị cất nhau rại 2 điểm nhân biệt cá hoành độ cùng đấu
A>0
>!
+ Phương tình hoằnh độ giao điểm có dạng: ax” + bx’ + ex +d =0(*)
'đây la chỉ xét nhưng trình {*) nhẩm được I nghiệm x = xp, nghĩa lầ nhường {#) đưa dược về dạng:
Phương trình (*} c6 2 nghiệm phân biệt cũng đấu =|
X=ẩn
{x — xy) (ax? + Tx 4 C)=0 o> ‘
gix)eax’+Bx4+C=0 (1 (a0)
để thị có 1 điểm: chung Iứcli£ trình (*} có E nghiện
=> Phuvag tinh (*} ¢6 2 nghiém phan biệt , a teith (1) 06 nghigm kép khiie x,
| Phường tầnh (1) có 2 nghiệm nhân hiệt trong dé o I nghiém x =x,
ty TNHỊ | MTV OVVH Khang Việt
Do đó để thị và đường thẳng =— x + m luôn cất nhau tại điểm phần biệt A, B, v— V1A, B thuộc đường thẳng y= = x + m1 nÊn Y4 = - K4 + m về ÿp =— Ka +, Dodd Atma X‹ Lm); Húxu; — xạ + m} với x«, xy là nghiệm của phương trình (*] -Ta cố : AB =4 € (xy ~ x4) + [Í— Xp + HỘ — (— X; + m)Ƒ = l6
> 2(xp — Xa)" = Hồ
+8
2 (xy—- tas 8 7? 8 m= save
gai G: PAT HOC KHOI D NAM 2009 Cha hàm số y = x!-(3m+2)x°+ 3m cẻ để thị là (C.), m là tham sổ, -
_ Tìm m để đường thẳng y = -1 cất đổ thị (C„} tại 4 điểm phân biệt đều có toàn độ nhỏ hơn 2
Giải
-Phnffng trình hoành độ giáo điểm của (C„} và đường thẳng y =-I là :
* xis = Gm+2)x° +3m=-1]
x'-(3m+2)x7 +3m4+lsOex=tlhayx*’=3m+1 (*)
ng thẳng w= —I cắt (Cạ) tại 4 điểm nhân biệt cá hoành độ nhỏ hơn 2
Phương trình (*) có hai nghiệm phản biệt khác #1 và nhỏ hơn 2
|
_ 0x3 en 1<4 paren -—<
idl gid 1A duttng thdng qua I(1; 2) cd bé sd poe k(k > —3)
— đy=kœ-l}+2 Phuong trình hoành độ giao điểm của (C} và d là:
To k> -3 nên phương trình (1) có: {
65
Trang 10
Hưởng sân giải GEBT từ các TT Toán học — Pham Rong Dank, Tea van san
=2 Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phần biệt xị, xạ khắc |
—> Phương trình (#) luôn cú 3 nghiệm phần biệt
_> Dưỡng thắng đ trên cất đổ thẻ (C) tại 3 điểm nhẫn biệt Á, H,
XA Xu Xị %2
Mặt khác 2 2
A B.A thing hang
= I là rung điểm của đoạn thẳng AB (Điều phải chứng mink)
Tiài 8: CAO DANG KHOI A, B,D NAM 2008
Bỏ thị cất trục hoành tại 3 điểm phan biệt có hoành độ bio hơn —Í
© Phương trình (2) có 2 nghiệtn phân biệt lớn tữn —L và khác 1
ee P- m >t}
(2}= -3m #0 0: BAI HOC KHOI D NAM 2006 bảm sổ: y = x” — 3x + 2 có để thị (C]
d là đường thẳng đi qua điểm kI(3; 30) và có bộ số gác là m Tìm m để thẳng d cất đồ thị (C) tai 3 điểm phân biết, “|
thị của bầm số (1) cất trục hoành tại 4 điểm phân biệt
' Phương trình (*) có 4 nghiệm phận biệt hương trình (%*) có hai nghiệm phân biệt dương
A>a mỶ =4Ím~l]>0 S>0 ym>0
P>0
“msl
a
m#2 m—F+>0
67
Hang den gar coe? mene UUs loan fos Pram Noi Can, tran Yea Tosn ae
⁄ Vấn để I2: TÍNH CHAT BOI XUNG
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1/ Diểm A(xị y) đối xứng vái điểm B qua gốc lọu độ Q = lšÍ~x; =>]
2 Điểm A(x; y) đối xứng vải điểm B qua trục hoành ~> Híx; -¥)
3/ Điểm A(; y) đối xứng với điểm H qua :rục tung => B(-x; ÿ) ;
4 Điểm A(x; y) đối xứng với điểm D qua đường phân giác củu góc phẩn tự thử 1:y=x=B;x)
5/ Diểm A(x; y) dối xứng với điểm B qua dường phần giúc vu góc phan br thir
IL y = -x > Bi-y; -x), 6P Hai điểm A và B đối xứag với nhau qua diém M
<> M [i trung điểm của đoạn AB
3 Hai điển A và B đối xứng với nhau qaa dường d: y = ñx + bín # Ô),
+ AB | ủ
+ Trung điểm của đoạn AT nằm trên dường thẳng d
B DE THI Bid: CAO DANG TAT CHINH — HAL QUAN NAM 2007
Hnänh độ giau điển Lota (dj va (A) la x) = ¬= ‘
Phương trình hoành độ giao điểm của (Á) và (€) là:
2 ¿+
+ "— —+im= $>2x?+ím+5ix+m+7<0 Œ) (xz~l) x+
Với điểu kiện (2} có 2 nghiệm xạ, xạ nhân hiệt khác —Í
Ta có: À, B đối xứng nhau qua đường lhẳng ¿: x - y +6 =0
Wy: AIO: 7), BCLs 6) huặc Á(l› 6), B0; 7)
ĐỀ DỰ ñỊ 1 - DẠI HỌC KHỐI HD NĂM 2006 x Re 3Ề ul
Cho bam sd: y = aa Ne (C) |
im trên để thị (C) bai didm phan hiệt M, N đối xứng how qua ruc ting |
+ MŒI; VỊ), NO: và} c ẤC} đốt xứng qua Oy
eu cầu bài toần tee đường vi
- X)=-x); 40 l Kp =x, #0 |
22 ng | Thea] 34, Se tbag-3q 4 t)=-x) =0
24,0 I: pega II 3 i
; Bay 3 +3Ry 5 x= mye [ays ey)
Huting dia gid, SDBT si céc OTCG Tata hoe — Pham dng Danh, Tran Wain Toan
CD Chagin té 21 LUQNG GIAC
vˆ Vấn để I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
cols = cole ex =atkhn (vdike Z)
2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
asin’x + bsin’x +c =0, Patt =sinx, ÌLÍ< 3
acos’x + beosx + c= 0 Đũtt= cosx, |LÍ< Ì
alan’x + beanx += 0 Date = lanx
acolx + beutx += 0), Batt = cots
Phương trình bậc nhất dãi với sinx, cosx
asinx + beosx =¢ (7)
Điểu kién cd aghitm: a? +b’ 2c?
Cách 1: Chia hai vế cho va? chế #0
Thay vào phường trình ta được phương trình đại số theo L
Chú ý: u{xinx — c0sX) + bsÌnxeosx + 6 =
- Đặtt=sinx — cosx (với [L < 42)
5 Phương Irình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx
usin?x + bsinxcasx + ccos’a=0
— Xélceosx=USx =5+ km (ke 5} có là nghiệm không?
—— XếéLcosx +0, Chia 2 vế cha cos°x ta thu được phương trình bie 2 theo tana
` Chứ 7: Nếu là phương trình đẳng cấp bắc I‹ đối với sinx, cosx thì ta xét cusx = _MÀ Xết c0sx z 0 chia 2 vế của phương trình cho cos*x vA ta thu được một _ phương trình bậc k theo tanx
hit; DALNIOC KHOI A NAM 2011
+ C012 x
Giải
-Điều kiện: sinx z Ú, Khi đó:
ye Le sin? 60828 w2sinx, (2sinx cosx}
Giải phương trình: wee Soe V2sinx.sin2x | Hưởng din gigi GĐBT tử ráo ĐTQG Toản hục - Phạm Hồng Danh, Trắn Văn Toàn
<> sin* x(1-sin2x +cos2x} - 2/2 sin? x.eosx
ee l+sin2x —cos2a = 22 ca x (visinx #0)
$2 2eos? x + 2sinxcosx —2V2 cosx =O
= cosx = Ov cosx +sinx =V2
= corn =Ovsin{ x21
1
Pas Kap thnvx= T+ k2n (k € Z) (Tha diéu kiện sinx #0), Vậy nghiệm của (1) là x=T +krvx nit kon (ke Z1)
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI ñ NĂM 2011
| Gái phương trình: sẵn 2x€0§X + SỈ1X€0sX = G0528 + 5Ì K1 COSX
Giải sin2x cosx 4 sinxcosx =cos2x +sinx + cos"
{+ 2SỈDX,C08ˆX + sinx.cusx = 2oos’x — | + sink & cosx
> sinx.casx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx— 1
& cosx (2cosx + [sina — I= sinx— 1
<> sins — 1 =0 hoje cosx (2easx + 1) = | e> sinx = 1 hoặc 2cos”x + casx — Ì =0
<> sink = | hoặc cosx =—I hoặc cusx = Ỹ
kh xe.+ k2x hoặc x=m 1 k2x hoặcx=++ “+ k2n exe 4k2a hoặc nad, alee =2)
sin2x + 2cosx —sinx—-1
tan + ¥3
> sin2x 4+2cosx —sinx—l=f 2sinvensx + 2eev —Ísin vá FÌ f1
=ũ, Điễu kiện: tanx # —/3 và cosx +0,
Kúc về tưIng ng của (1) và (2) suy r¿:m=3x)ổ @)
Vú cầu bài toán tưởng đương vái (1) có nghiệm x #
Cry 1RHH MTV DVVH Khang Việt '+ 2eosx(sinx + I]Ì~(sinx+1)=0 ca (sinx +1)(2cosx—1}=0
sin x =—l {Loại vì khi đồ eosx = 0}
'eus4w + [sins — 1 = 0s Qeos72x — 14 6(1 — cosdxy— 1 =0
ep cos"2x - Jcos2x +2=0 <> cosdx = 1 hay cos2x = 2 (loại) 2x = k2n ex =ka (k € Z)
5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
(1+ sinx + eos2x)} sin x+n
fi phuting tinh: a ae Osx t+ tanx v2
Gidi
tu kiện: cosx #() vA tanx #- 1
điều kiện trên, phương trình đã cho tương dương:
(l+siox +cos2xji{sin x — củsX} = cus
it tanx (1+ sin X + cos 2x).(sin x + cosx)
Ss X= CO
SINK — COS
3 Ï+sinK +cas2x = Ï €3 sinx + cœs2x =
5 2sin? x —sinx-1=O-<9sinx =l(daại) hay sinx “2 Fox= ~E+kan hay XE kkên (keZ) ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
liäi phương trình (sin 2x + cas 2x) cosx + 2c052x — sỉn x = Ö
Trang 11liưĐtg đễ1 gid) GOST af cas BTGB Tuá1 nạc - Phạm Hềng Danh, Trấn ăn Toản
<> cos2x (cosx + sinx +2) =
Phương trình đã cha tướng đương:
2gin xcosx— 1+ 28iaˆ x + 35inx—c0sx ~L=0
> cosx(2sinx —1}4 2sin? x ~ 3sinx 2= Ù
©©c0sx(2sinx- l}+(2sinx —l)J(sinx + 2)=0
«@> (2§Ìnx — l)(Gö§X +sinx + 21—= 0
x =—+k2r£
& {k eZ}
kh x=—tk2n
Gidi Phường trình đã cho tương đương:
2(cos4x 4 casx) + l6sinxcusx—2cosx =5
& 2eos4x+8sin2x=5 © 2- dsinˆ2x+Rsin2x =5
« 4ãin22x — Bsin2x.~ 3 =0 sina = 3 (loai} hay sin 3x “4
T : Sr
<> 2xs—+k2a hay 2x =—-kin
6 6
Tm Sx
«@& x=—+km hay x=——+kn (ke #}) 2 aes
BM: DAL HOC KHOI A NAM 2009
ị Biểu kiện: sinx # Ì và sỉnA # “5 (®
Voi điểu kiện trên, ph trình đã cho tướng đương;
(1= 2sinx}eosx = v3 (1+ 2sinx}(1-sinx)
<9 osx —V3sin x = sin 2x + V3 cos2x
es cos{ n+) —cos{ 2x 2
| <x 1N 4200 Su une tong quay cốt Re tee as (kc @)
‘Ket hap (*), tà được nghiệm: x = a ~ == (k =#)
0: DAI HOC KHOI B NAM 2009
Giải phương trình: sinx + cosxsin2x + V3 cos 3x = 2{cos4x +sin" *] |
Gidi
“Phương trình đã cho Lưởng đương:
1 — 2sin'x)sinx + cosxsindx + JFcos3x = 2eos4x
> sinxcos2x + cosxsin2x + x3 cuy3A = 2cua 4x
F Giải
“Piương trình dã cho tưởng đương:
X3 cos5x — (sin 5x + sinx]— sÌnx =0
Hu#ng dẫn giải CDBT từ sắc ĐT36 Tzän học — Pham Hin Danh, Trin Van Toes
Bài 12: CAO DẲNG KHỐI A, B, D NĂN 2009
hướng trình (! # 2sinX) cusx = L+sinx + coax
Giải
Phương Lrinh đã cho Lượng đương: ˆ
(L + 4sinx + 4sin xJfosx = | + sinx + cosx
© cnsx + 4sinXcosx + 4sin kcosx = Ì + sỉnx + cosx
=> [ + sinx = 0 hay 4stnxcosx = 1
= sinx =—] hay sin?x = :
cone Shan hay x= f+ ke hay x= 2 Lkm (với ke Z}, Hài 13: ĐẠI HỌC KHÔI A NĂM 2008
saat 1 | „ lĩn Giải phương trình: — ! ———————=4ãin| ——X
sinx sin| x - =| „ 3m 4 Gidi
(_ 3m
Ta ed: ay - =) =€osX Điểu kiện: iS HỆ cue wn cosx #0) Vải điển kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
1
i 4s s +5] 4
sink cosx
= (cosx +sin x}= 22 (sinx +cosx]sin x OSX
o (cosx +sinx)(I~ v2sin2x]=0
+ xK=-—+kn
Củš X + RỈn x = tanx =—l 4
+
ể is J olx=-“-ka (he Z),
sindx = -—— meres ! Bi ar ` : x3 3 5 ST
Gách 1: Phương trình đã chủ Lượng đường:
sin x(cos? x — sin? x)+ vÄ ensx(eeF x—sin? x) =0
= {cos* x sin? x)(sin x ~ vÄcosx]= Ũ
Nghiệm của phương trình là: x =i+ kệ va xX =e +km
na ách 2: ® cosx =Ú khẳng nhải là nghiệm của phương trình (1)
4 * Chia hai vế của phương trình (1) cho cos*x ta được:
uiing trinh da cho tuctig đương:
dsinx.cos’x + sin2x — 1 — 2cosx =0
CỦ&K =—— 3
x + kit
? CAO DANG KHOI A, B, D NAM 2008
liải phuting trinh: sin 3x —V3 cos3x = 2sin2x
Giải
Phưưng trình đã cho tưởng đương:
Bai 17: DATHOC KHOL A NAM 2007
| Gidi phucing trinh: (1 + SỈ xÌensx +(1 +cos x)sinx = 1+sim2x
Giải
Phương trình đã chủ Lượng đương:
(sinx + cosx}(] + sinxcosx) = (sinx + osx}?
ea (sinx + cosxy1 — sinx{1 —cosax) =0
= xí“ x ~ 5 -k2n, 3 =k2r (ke@)
Bài I8: DALHOC KHOLB NAM 2007
Giải phương trình: 2sin 2x + sin7x — L = sin,
Giải Phương trình đã cho lưỡng dương với:
siR7x — sing + 2sin 2x — 1 => cas4x(2im3x - lì =f
1 a
1+Sinx + 3cusx =2 « của: s-2]-3 c>x=—+k2m,x=—-+k2r \-' ð) 2 2 6 (ke Z1
Bai 20: DATHOC SALGON KUGI A NAM 2007
Điều kiện: sinx #
Với điểu kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
3 _2 -1=0 sin? x SIUX
trình đã cho tf%ng đương với:
\ | + sinx + cosx + : sinx =0 (didu kién: cosx +0)
Giải
g trình đi chủ tưởng đương với:
— cos*x — sin? # 3eos22x - [ =0
£ Hà cus2x = —l x——+kiI 2cos 2x + costx— lad | [eas 2x=~ 1
3
(ke #)
x=z-+km
6
AQ PANG KY THUAT CAO THANG NAM 2007
buung trinh: 2sin’x + 4cos"x = 3sinx, |
Giải
# trình đã cho tương dương với:
2sinx + 4cos°x — 3inx(sinˆx + cas”x) = ñ
NỈ X + 3sinxwos"x ~ doas'x = 0 (1)
yeosx = Okhdog phadi là nghiệm củu (1)
c0sx #0, ta chia hai vf cba (1) cho cos*x, La được:
tan x + 3tanx — 4 =Ö @ (tạnx — 1)(Lanˆx + lanx + 4) = 0
fanx = 1 (de lan*x +tanx + 4 >0 với ¥x)
xa zak (ke Z)
wy 4 Hstng din gidi COBT Wy sáo TOG Toan họp — Phem Hổng 33nh Trin Van Toàn
Bài 24: LÁT TIỌC KHỐTI A NĂM 2006
2(cos” ae Sin" x]—sinx cosx
« Giải phương trinh: ———————œ——————————=Í
v2 —2sinx
Giải
= Điểu kiện: sin x a tlh
Với điều kiện trên, phương trình đã cha tượng đương:
& 2(cas*x + sin®x) — sinxcosx = 0
= 2f1-3su? 2x]~ 2 sin2x =0 4 2
<> sin? 2x ¢sin2a—4=0 €» gin2x = Ì c>x= Liệu (ke %)
Dn điển kiện (1) nên: x = +2mg (me ở}
Hài 25: PAT HOC KHỐI B NĂM 2006
Bai 26: DAI HOC KHOLD NAM 2006
| Gili phuting winh: cos3x + cos2x — cosx — 1 = 0,
Giải Phương trình đã cho tưởng đương với:
Giải phương trình cos3x.cox’x — sin3x,sỈn x =
Ety THEH MTV EVVH Khang Vial
i +32 Ò_Ð 1+3eos4v=S Nz = goeiEeSSf hay ch
, š 2 16
$: DE DU BI 1 - DALHOC KHOI B NAM 2006
đãi phượng trình: (3sin x — an 2x + 3(2cos x - = 0
Giải
T:
+k— (keẽ a! )
Kiéu cos2x 20
điều kiện trên, phương trình đã cho ïương đương:
~cos2xtan22x + 3cos2x = 0 2 cos2x(lan®2x — 3) = Ú) len HH NU tan2x = V9 œex=+ + kế (keZ]
tan? 2x-3=0 6 2
DE DU BIL - DALHOC KUGLD NAAT 2106,
ủi phương trình: cos`x + sin’x + 2sin’x = |
Gidi
£ trình đã cho tượng đương vải;
(sinx + cosxifl — cusx$inX]) — c0s2x = (1
<> (sinx + cosx}(1 - sinx cosx — (cosx —sinx)) =O
_ > (sinx + cosx}t] — cosx}{1 + sink) = 0
Trang 12Hài 30: ĐỄ DỰ BỊ
Tìm nghiệm trên khoảng (Ø; ) cỗn nhưưïng trình:
Asin? > —/Fcos 2x = 1+2vos"! x << f° 3m)
2 A 4
Giải Phương trình đã cha Lương đương vdi:
Điều kiện: cusx # Ư c sinx # + |
Voi điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
“¥di điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương;
hương trình đã cho tưưng đương vải:
{2cosx — 1} (2sinx + cosx) = 2sinxcusx — sinx
roy (2easx - 1) (2sinx + cosx) = sinx (2e0sx — 1)
(2eusx - 1) (sin + cosx) = 0
4tanƯx + 4= Í +tanˆx + 3tanx{l ~ tan x}
lanƯx — tan x ~ 3tanx + 3=0 <2 ftanx — Ijftan’x — 3) = 0
hong TP een, „sa LÊ |
«©>||tinx=x3 (ke#)
tan" x =3 ee nati ke
Bai 36: DE DU BI I
Giải nhượng trình, "gu Ben xe ] |
sinx —cosx = 2Ä coi x +P lcosnsinx
= ¬5so[x+Ÿ]= 22/2 cộ| | hen + — Hi +=0
| Giải phướng trình colx— 1= HÀ sth pn eine:
| + Lanx * Gidi
T
x#-—=rkr
a ý tan x # —Í Điều kiện | i sinx,cosx 70 4 ụ (ke Z)
x#kx
2 Với diểu kiện trên, phương trình đã cho ting dung:
2 sin? }e : vose sin (eos aosin’ xJeasx „
ee - +RÌn” X— gưaxsin X sinx K0SX + Sinx
TE
x=+kn "
4 c>k=T+kn, (kez) lan x —tanx+] —0 (vơ nghiệm}
Jens? Sin2x CS 4i0003x5-— sin2x Send eda 2
a He
Bleu kign: x aa tke, ke@
đi điều kiện Lrên, phương trình đã cho tường đương:
bị
1~em(x~3) [Nội
—— z 2 Hn2x- 2C M5 cú a l-sinx Se TT sin?x I+e he Oc (+ cosx)lsins +eosx} = 0 :
Hưng dẫn giải GDBT từ cặo BTOS Tuản học - #trạr: Hũng Danh, Trầ: Văn Tpàg
Tổài 40: DỄ DỰ BỊ 1
fe: Gidi phucng trinh: 3 - tanx (tanx + 2sinX) + đcosx = 0,
Giải
Điều kiện: cosx #0
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tưởng đương:
sinx f sinx
vụäx CORR
<> 3c0s°x — sinx{sinx + 2sinx.cosx) + 6cps`x = đ
= 3cus2x(l +200sX)}—~ xinx(1 + 2eusx} = 0
o (eos? - sin*x)(1 + BS =O c{>(l + 2cos2x](L + 2cosx) =0
cos? x =I c|24=3+ka “|” ‘eked
Didu kign: cosx “2
Với điều kiện trên, phương trình đã chờ tương đương:
(2 -V3)easx re -Šj|z2emex-l = —vÄcosx +ãinx=U
(2cos"2x — 1) =0 <> 2eos™x — cos?x — 1=0
x= ;! km i ,
“tusx =Ð m TH 5
ï œ |x=k— + (ke #) cost lx =cos?x z x=k— T
Hiring d3n gidi COBT to cde PTOG Than hoc = Piam Hồn Banh, Trần Wan Toan -
Với điển kiện trên, nhường trình đĩ cũủ Lương đương:
lcos2x L
J—2sin? x,cas? x _ Ssin2x 2sin2x &sin2x
Ị `
ụ cas 2x =; (loa!) Stari swe 0 5
Giải
Biểu kiện casx # Ú
Với điều HỆ n trễ i phưng :rình đã cho 0king đường:
sin'x + cos” ty sia 2x) sin3x
~ aÌn°2x).sìn3x
—©(2—sin 2x) =2 - sin 2x) -sin3x
2 (2 — gìn 2x](1 — 2sin3x)= De 1 - 2sin3x = 0 (vì 2— sin 2x > 1]
> | - 2sin’s.cos’x = (2
| 3x =—- kâm Xe
= sinds = 7° ie = s : (ke Z)
ot nen 2 4k2n xa na Bai 47; CAO DANG KINIUTE - K¥ THUAT CONG NGHIEP I
Phuting inh di cho tufitag diftag voi:
Với điểu kiện trên, phưdng :rình đã che tiếng đương:
sindx cos3x = sin7x, coshx
= (sind +sin 8x) = 202i +sin12x}
=> sinlix = singa => 2 (kc#)
ee 1 ka
20 10
: CAO PANG CONG NGHIEP THUC PHAM
Cy THU MỊTV [NVH Kha+p VIỆ:
3148: CAO DANG KINH TE - KY THUAT CONG NGIIỆP TP HCM
Với điều kiện rên, phương trình đã cho tương dương:
2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx) <> (sinx + cosx}(2 — sin2x)
& SỈNX + cosx =0 {2 — sin2x = 0: vO nghiém)
ng trình đã cho lướng đường với:
2ginxcosx + | — 2sin’x + Ssinx — cosx —2 =0
Trang 13Hưởng dẫn niểi 5DET tử cäe DIOG Tnần hạ: - Phạm Hầng Danh, Trần Win Tain
> sio2x = 0 hay sin2x =—— 5 (los Pr kế (ke #8}
Bài 52: CAO BẰNG KINH TẾ el TCM
Giải phường trình: sin2xsinx + cosŠxcos2x Enea
Giải Phukfng trình đã cho tướng đường, với:
(Nerxet +ka (ke Z)
(2) eo sins + sing = sinx eo x = (ke #)
với điểu kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:
h S(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x # 3)(1 + 2sin2x)
<> Sfsinx + coax — CUS3K + c0S3X + 5E13X) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
42 5(25in2cosx + cosx) = (cos2x + 3)(Í + 2sỈn12X)
€2 5cosx(1 + 28in2%) = (c042x + 3)(l # 2sin2x)
Ẳ© Seosx=cog2x+3 (Vi | +2sin2x #0)
Phương trình đã cho tương đương với:
_ 4oosÌx- 3eosx—4 (2cos'x =l} + 3cosx- 4 =0
© 4(cosÌx— 2c0sˆx) =( œs co§ˆx (cosx—2)= 0
© Phương trình Asinx + Bcosx=€ có nghiệm œ À° +BỶ zC°
+ Sử dụng các nhưng pháp thường gặp như trong đại số
B DE THI
Xác dink m dé phudng tinh 2(sin*x + cos"x) + cos4x + 2sin2x — m = 0.06 ít nhất
mal nehiém thide doan |9 zl
Giải Thương trình đã cho Llướng đương với:
341.—~ 2ãin x.cosˆx) +L— 2sin 2x + 2sin2xT—- m=0
#
o 2[1-Zain?ax) = 1-2sin? 2x +2sin2x-—m=0
© -3sin 2x + 2sin2x + 3— m=0 (ny
=- Nhận xét: (2) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng A: y =m
và đường cong (C) Từ đó {1) có nghiệm x ¢ |> 4
ee AVA(C) cd diém chung 25 ins =
“Tập xấc định của phương trình (1): D = IE Do đó:
(1) > 2sinx + cosx £ Ï = atsinx — 2eosx + 3)
aa 8)sinx + (2a + l).cosx = 3a — |
h ana (1) ¢> Sains + 2 e08% = Oc sink+cosx =0
_©šilX=—cosx lànx =—l Œ»x =" +kn (kelR)
(2- ay + đá + |) + 0 nên diễu kiện vần và đủ để (1) cá nghiệm là
((2— a) + Qa+ 1% 2Ga— 1) 6 2a? -3a-2506 _
BAI TOAN VE TAM GIAC
A PHUGNG PHAP GIA!
để là điều kiện dấu bằng của bất đẳng thức
Hệ thức trang tam giác cần chú ý
ñ Binh li ham sé sin: ie eh Ot 2R
F sinÁ sinB
% Dịnh lí hàm số cosin: a” =" +¢7— 2becosA; b’ =a° +c’ — 2accosH
esa? +b? 2abposC Bod haat
» Định lí đường trung tuyến: m = ——
Tìm các góc Á, B, C của tam giác ABC để biểu thức:
Q=sin’A + sinŸB — sin'C đạt giá trị nhỏ nhất,
Giải
Ta cá: Q= mủ ~e0s24} sau ens 2R)~ sin?
= 1—cos(A +B).cos(A —B)—sia* C =1—cosC cos(A -—B)-1 + eos?
= cos’C + cos® Cos(A-B)
= [ses gona -»)} ~ Sco? “AH -bye-+
Xác định hìab dạng của tam gide ABC, biết rằng:
(p—a)sin? A4+(p—b)sin? B= c.sin A.sinB
Tứnng đó TC “ú,CA“U,ABEe, phe - a
Giải
(p- ajsin?A + {p- b)sin’B =csioA sinB
<> (p— aja? + (p - b)b? = abe (dinh ly ham sin)
vẽ (n-a)a ` (p-h]b a pÍp -a}a „0ñÍp-b)b_
be ag be qC -
Ầ ä(] # josA) + h(Í +ecosB}=a +h+c <2 ác0sA + bcosB =c
&Ằ sin2A + sin2B = 2sinC
> 2sin(A + B).cos(A — BH) = 2sinC
& cos (Á - B) = le» Á=B @œÁ ABC cân tại C
_ Xét tam giác ABC cú độ dài cạnh AB =c, IC = ä, CA =b,
_ Tính điện tích tam giác AC biết rằng: bsinC (bcosC + c.cosR) = 20, _|
ix, y, 21a khodng edch wy các điểm M thuộc miễn trong của AABC 6 3
gúc nhọn tiến các cạnh BC, CA, AB Chứng mình rằng:
ee
Vit fy vis S" Diu *=" xy ra khi nao?
a fa, b, ¿ là các cạnh của AADC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp),
Giải a2+h?}+e? a c
sei =fax 4 by teal Suy ra: wx vŸ izes lu An: wee VY oR
Dâu “="xảyra c?+ 6 bo oe a hb a - S
avi - by =eve A=Y¥=Z M : trong tim
Bai 5:
Goi A, B,C 113 góe của tìm giác ARC, ching minh ring dé tam gitic ABC
đều thì điểu kiện cẩn và đủ là: |
= 4cos? a +408" S +4cos* Ko 8=coœs = Bg chs * 2 2 2 2 2
©2+2cosÁ +2 -2cosll+2+2ensC - B= con AP egg BE oy “A
2 2 ie
<> SsinAsinBsinC = (sinA + sinR)(sinB + sinC)(sinC + sinA)
2 sinA =sinB = siaC (Cauchy co VP 2 VT}
aA = 2T A<B
A=
4 vA+vR = JC = {B20
(WA + VB) = E Azn BEO0
C © ‡C>u
(va + v8] =œ
(dine N*)
$3 9((2 +x) =36(2~ xỳ => x=t (Théa diy ki@n-2 <x =)
Voit=9: 3/2+x-6y2—x =9 eoaJ24x = 62K 490%),
BS zs 3V24% 1
Đo —2 <x<2 nên fa ` ee „ Suy ra phương trình (*) vỗ nghiệm
~ +X +939 97
Trang 14Hưởng dẫn giải EDBT Từ các ĐTQG Tzán hos — Pham Hồng Danh, Trản Vä1 Tàn
? 6 Way phuteng trinh đã cha cá mật nghiệm x ms
« Vớiu=3+2v thế vàn (2)1a được (3 +2vJ) + VỆ =4 ©s 5VỶ +|3v +3 =0
Phương trình này vô nghiệm vì v = (1
Bữi2: ĐẠI HỌC KHÔI B NĂM 2010
| Giải phương trình V3x+] - fo—x +3x7 -14x-8=0 (xe R)
v =É-# 8 Thương trình đã cho trả thành hệ:
Bài 6: PAT HOC KHOI D NAM 2006
Giải phương trình: v2 =1+ x°=3x+l=0 (xe E),
Vdit=1u có xe1, Vớit= vÕ —l, bi eó g=2— v2 Vậy phương trình có nghiệm: x = lịx=2~ 2 Bài 7: ĐỂ ĐỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHO1B NAM 2006
Giải phường trình: v3x—2+x/&~1=4x—9+2v387—5x+2 (1)
3x-220
iễu kiện: axel fe
Biéu kién: Tin (a) Với điều kiện x > 1, phương trình (*) tương đương:
BALHOC KHOI D NAM 2005
ai phutung trinh sau: 2Vx+2+2vVXrl—K+rl=4
lẩu kiện: x>— 1 hương trình đã chứ lương đương với
by CS xã quê am nu
Ï 2\({vVx+ï+1} ~vx+l=4e2(vx+l+l]~vk+I=4
‹- @vX+TI=2x=3 (nhận) Ũ: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 phưfng trình: 3x =3~—v5~—x =⁄2x~4 (1)
Giải 3x-320
(be xÌ=(x+ l)Ÿ = điểu kiện xz 0
Vái 04x <1 VT« l và VPzl= (Ú võ nghiệm
Da dé chi xét x= 1
Mét fixp=x"-x?-2xn-1, Yee |
f(x) = 5x4 2K - 2a 2x (x? -1)420'- exe 0, Vee 1
Dodd fx) tăng trên [1; +m], flién we
Và £1); (2)<0 nén f(x) =O luda có nghiệm day nhất,
Biu st 1- (200 x - vated *3]s1- Bea
Do đó hất phuting trinh (*) id thanb: : ee
| x=x =lI#+J2(Ì=x+ 40
© v2) —x+l)£-x+Ă+l [-x~ +120
x>: Chiu hai vế củu bất phương tình (1) cho Vx ta dude
m1 —44+1s0 leit <0 HT ete]
Do đó; —xx=lx+wx-l=0
sẽ
de eee a -t VS ` ác _ : een 2 es ¥8 ; vane (oa)
Bai 2: CAO BANG KHOI A, B, D NAM 2009
oo ~SV'5x2 +100 41 5-36= 5x? 4 10x41 (4)
par tavox2+loxs1te0
td thanh t+ St- 3620124 (nhận) #t<~9 (loại)
124, la có: W524 104124 >x ?+2x-3>0
+>x<~3K> 1 (những giá irị này đểu thỏa điểu kiện (*)},
14: CAO DANG BAN CONG HOA SEN NAM 2007
x2 ~4x>x— 3 (l)
ty TNHH MTV DVWH Khang Việt
Giải
?ụ kiện: x”— 4X>0€>x<0Vx>4 Trường hợp l: x— 3 <0>x <5: (9 đứng so nh với iễu kiện được x £0 dùng hợn 2: x >3
x5x~1>x2x—4 +x/x =l©5x-l>2?x— "."-—=
“S^x+2> v(2x —4)(x —1) œx?+4x+4>2x?-6x+4
Giải bất phương trình: đất vi0x+Lšƒ—b kể, qŒ) J Bes x? 10 <0 0<n<1D
Điểu kiện để căn bậc hai có nghĩa là: lũ: DE DỰ DỊ2
Trang 15Hưñng đẫn giải CDBT từ các ĐT36 Tuần học - Phạm Hãng Danh, Trắn Văn Tuần
1 cede
Gty THHH MTW [IVVH Khann Việt
© xz10-v34
1
xe -= Vx? Vv
2 (x? 3x} 2x? —3x=-2z0
bd
DY
oD Nếu D #0: hệ có duy nhất nghiệm:
Nếu
Dx #0 ¢hotic Dy #0) Nếu: l3= Ix = Dy =0: hệ có vô số nghiệm
Kx y=0 a y= fly, x) atx, y= 0 2%, ¥) = aly, x)
Hài: ài ị : mm Aexss 2 phương phá|› thể để giải tiếp, CẢI Hý : i <= Lids sib trường hp 1,
pidu kid lều kiện hele ab * — Ai i” * pd : A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ho cik allay an : ; aad yJ +y =2«>y =—œ 5 Re 0, Sa) : 2zi0
Bất phương trình đã cho tương đương với ; Dang I: ee „ Với A† +A3 +Hƒ +Bị #0 Ta có (2) coxy(x +Y *? x ty r2y Ÿ bạ phương trình đã cho có 4 nghiệm:
Hướng dẫn giải CDBT từ các BTQG Teản học - Phạm: Hổng Danh, Trắn Văn Toàn =“=—= so at TNHH MTV DVVH Khang Vist HuShy dn gill COBT tir cae BTOG Todn nae - Pram Hdng Lanh, Trần vä+ Toàn iy Gty TN5H FAT/ DVVH Khaan Việ
- — : — = Way nghi¢m cia hé phedng winh la fx : hay {* 3 rn Giải Äiiyn ae al bosall
(4x? +x +(y —Jy5-2y =0 (1) iy=-l ly =7 Biểu kiện x œ0 Vậy: 2 2X) 3 Giải hệ phương trình: |, - & ys ER) ; s : St v0 D34 SN aid yess
4x +y +25 ~ 4K =7 al hi 4: DAT HOC KHÔI B NĂM 2009 HỆ đã cho tương tưng | 5 Nhi ng (9 wes xe 3
di 3 pax Le \ xây? +xy+l=lay? `” j Đặt L= x(x + y) Hé (*) wd thanh: phương trình có 2 nghiệm là: | i 5 | và Í: = |
Điều ĐỀN Ghiệ v/PEEMUm DA PYỀT Giải Fti+x=3 l+a=3 trx=3 x=2 fo ` , ` +
> aang o v _= c
Pliưdng trình (1) trẻ thành ut + 1) = ¥0¥ +5 ~ yu 2 =¥ 2 -¥ 2 ie 1 +l}=0<su=v } _Vi y=0 không thỏa mãn hệ đã cho, nên : waged icici? vE choy) lữ +x! =5 i x 3 (+x}~20 =5 : x=l wae x=2 = iat Ta oT a KH ` ey! Ngộ] £45 = ; ` = = x”+2x!y~xÊy” aS Myre ee =2x+0 &'v£®Ð
Nehia la: 2x = yJ5—2y e3 5 yoo 2 : - 1 * x74%4— 213 (chia2vếchoyŸ) y ¥ | Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI Á NĂM 2008 Ð 4 ; s Giải bệ phường trình: { „ / BG FOE ad tera g Lê về he mà (x, yeR)
7 Phương trình (2) trở thành 2 -6x?+4x'+2V3— 4x =7 9)
ee ga ES ay tee one]
Xét bam sé f(x) = 4x" — 6x eh heads iin Độ
4 (\x)=4x(đxÌ`—3) ——— <0
F(x) = 4x(4x° — 3) Tn <
ae 1
Mit khac: (5) =7 nén (*) cd nghiém duy nhất x = > vi y= 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = : và y=2
Bài 3: CAO BANG KHGI A, B, D NAM 2010
2x ty =3-2x-y xÌ=2xy =y? =2
T7
ͧ: ĐẠI HỌC KHỔI I3 NĂM 2009
“Tacó n= wed Shar et tư ax =k + ah -2b
Y yy y
“Hệ trở thà h nib=7 at+b=7 u-b=7
: n = c>
a’ -2b+b=13 a’ -b=13 a? +a-20=0
= and Hi” : ped baz”
Ỉ ta hoe x+—=-5 Vậy » 7 hay a
Giải
2 2 3 : x+y +ny(av + y) 4+ xy =-—
Hệ phương trình đã cho tương đương với : ‘
tx? +y? grant: 4 wipe @) ĐặLu = x+ y, v = xy tạ có hệ: 4
2 3
u đà F (2)
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế Ia được:
=ũ uẺ— u—uv=0 œu{n S- 1—v}=0< fe
Vậy nye 5 vad “c> ma)
16
© TruGag hop 2: v= u— 1 thay vio (2] La được:
Paves wh Bess: Ley em
©vfK+vì+x+v—(x+yXx y}=
113
Trang 16
Hudng dẫn giải GĐBT từ cấp BTGG Tan học — Phạm HỶng anh, trần Văn Tcần ¬ =— eee ee Sty TRHH MT OVW Khang Vig Hướng đần diãi CDBT tít cấp BTOG T3Ón học - Phạm Mống Banh, Thin Van Toda —- : Giy TMHH MTV DVVH Khang Việ
=(xty)2y-x+l)=0© ese #z5y +1 oi ac? +te4=(1=02 — [3 +26t—105 ; xa uốn si 3 ®@1=3 =0 ĐI u =X—}, V= Xỹ r “=- ee iÄi hệ phương trình; + VÝ Vas eye -Ja+y =1 eas mm
* Turing hgp 2: Thay x = 2y + | vào (2) ta được: 8uy ra nghiệm của bệ là: (A: y) = (3: 3} _lw=zu e0 |v-2 Gửi
ene ` v>0 Gii kệ phương ph TT” H+ yy +H) Ay (sv elk) Jv=u =O (2x+y+l)+(x+y)=5 š ‘i “
Vậy hệ cú nghiệm x = 5: ÿ =2 cài ia o ke hoặc — ‘Ditus f2x+y+120) veyx-y20
“xế L tl= Fy - —v= & 2
xÌ=<2y+x+2 = Xéty = hệ nhượng trình trở thành : vỗ nghiệm ! TH: DW BLT” payee = seater ad đệ trủ thành: | 2.2 ,@ | (y= > ty Đ ree
Ui ebsb yee Ghi aid + Xét y #0, Chỉa 2 vế của hai phường : Chia 2 vé È của bai phường trình trong hệ cho y ta được œ ưdrig trình trình trong hệ cho y tad ; Gi pcg a ; phi xÍx+y+l]~ I}~y(y+1}=2 s6 = | thổa mãn r {*) nếp là nghiệm) e es
TT Q I lì =2y+x+2 tr) "TW 3 3 ‘ P : = (théamatn sẽ 2 4p) Điều Điều kiện: xy # 0 Hệ phương trình tưtfitg đường với: kiện: xy é bộ
— Pi LỘ ad hy ‘ of} : eof w=3-x xy=e3-x „ =ÿ ` Ũ BN y= y= we? : =-2 = |{Px2 mm 2 23 4P om et EO spe UE rỶ
(Dove tyes ha ¡ l© x +xy+ty +l=0 oe hse (thần mãn 5 2 ) — dy =x 41 |x*+x+3=0
nh — + i OE KHOI ae « VdiS=0,P=-2thix, yl nghiệm cũu phương trình: X— SX+P=0 ử xy =-1
Vậy hệ cú nghiêm ¡l¡ = Giải hệ phương trình: te oe Đi (x, yeR) Bá: er lay 3 f 2x1] ge x —2x = a if ar pS aig: esas 1 3 3a
Giải hệ phưững trình | _ˆ ea (x.ye®) i YO ty sl are +y1=13 (D m= TON a tha Soe Vậy nghiệm của hệ ya” ake ¿ “=2 =-v2 > xẻ 0 te” ©^x=y=lvx=y=v5- y ya v5
re = i 2
X+y)(x”“—yˆ)=25 —YXX +y} =25 ®
tiểu kiện: x>~—!, v>— PEL E Jx-y) =1 x-yel iy
: iểu kiện: K>~—!, v>-—l, xy >0 Đặt : M = bo = (3:2) hoặc (-3: ~ 3) 4a dw eS X, =1 oll +2
có Tit phương tink thir nid của hệ suy ©‹: š : ea (X-y} =25 2 495° K+yes5 3 |X, =-2 2 ¡ hệ phương trình ¥ x 2
Binh pruung bai vé eba ping trình the bel ta 5 113; DE DU BI1- ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 af) [xe 249
: Bre Zi : Vậy nghiệm của hệ v 3x=
x+y+2-2šy+x+y+l 16 if} x2 ~xy~y? = 3(x— yŸ y=-2 yl y |
Thay xy =L.x+wW=3+3 tvào (Ú Ú,- được: PC pê pháng tình Peay OF (x ¥ Tám lụi: Hệ có 4 cặp nghiệm (2; 2), (— 2:2), (i=2),(~2; l) Giải
dL tia
Huởng dẫn oii CULT ti ede BT0G Tuân hục = Phạm Hống Danh Trấn Văn Teän - "J5 .ˆ Hướng dẫu giải CDBT tữ các ETB8 Toán bạo - Pham! Hồng Danh, Trấn Vẫn Toàn = Oly TNL MT OVWH Khang viat
fe 3yg” =y “+2 8 8 L k : 3 uˆ2v+uvŸ =ø u L clit I+v3 Giải siải
Ta có hệ phường trình dã cho t7ýag đương the ng ts xy =N — Bun vé he: ee =20 3 aa 2 hệt x-mY=
: fu=l fu=2 fan La 0 = ie +y=3
xpel Nehiém ctia hé di cho (x; y) = 4; L) hay (xp yy) = (134) 3 be tr 3
Ẻ and (loi) 3 [ạ thấy: Vm, D = 1 + m” #0 => hệ luôn có nghỉ
= "Iìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm: ay ee m+) mi? +1 Bài 18: D mm dé hé Thương, Tình mg cú nghiệm Kha is
r jx—Y—w*—Y ioe = ae | oN {y +2)x? +xy= | 6+x~2/14~xX2x~2) =m+4[v4—x : vAx =2} (xeR) ẲẰ@(1+3m)(3— m)<0<> m«<—<= hay m>3 |
pilav He [ae 20 We KIỆTL tú 2xŸ =(y+2)x” +xy =m BE = Qxt x? y -Ix? + xy sm = : "=————_>+ [ “—=—- a4 —x - V2x=2 i ig SORE ne peeing Walesa ed ngpipios xỶy tay? =m-1
ere 5 (x-y) =(x-Y) : x?(2 a5 oe (2x - -yJen (x?-x](2x-yJ=m U=0@€Ằ<244-x=v2x—2 6s lũ—4x<2x— 2 {26x= 1§ @œx=3—L=3 =x+y,P=xy
Khi đó hệ phương trình © Ề ‘ é tế ek Diễu kiện: v3 <t<3 x 1 3 4 8+:P.=m
k x=l Đ 3 8 (*) trở thành: {uv m any u(t m u) m xét ff}=t— 41 ` vớit c[x3;3| E (m-t -den a
y=l ee =ỉ (u~w=l-3m v=l 2m-u wd Ÿ()=2L- 4, (=0 œt=2= ft) =0 t| 3 ở 3 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 +
đãi hệ phường trình xy+y x=20 |, = / Bl ŠL; [(u) \ = = =, với uz-t, Hi {1} có nghiệm €» (2) có nghiệm 1 e [v3 ;3]>+0m gL ‘in : m để phương trình có hai nghiệm nhân biệt: ýx” + mx +2 2x+l i i ié@t: ny 4 = (> 1
Datu= Vez0.v= Vy 20 Mu cá; we, f4u)<Ue VN Tùn giá trị của tham số m để hệ phương trình bak yee ge ERED) (x) 1
| (2) có hai nghiệm xị, x¿ thỗa mãn: “sams <Xq
Trang 17Huững nẫn giải GOAT th ode ØTQG Toản học - Pham Hỗng Dan, Trin Van Toần ÿtz THHH MTV DVVH Khang Vit
A=(m—-4)? +12>0
5 m-4 1
a Đátt=wx?(422 ==x +43 s4
dx tyy = : Kết 1.†(2) = (Lm +2m? -š} -mỖ + 3mÊ —^ = nom)
Tìm m để hệ phưưng trình sau + ` — có nghiệm 3 3
Hutap din pial COST 1? các BTBG Toán hụa — Pham Hong Banh, Trin Vin Toar
EH Chayén té 4: TIiCH PHAN
v¥ Van dé I;
BIEN DGI VE TONG - HIEU CAC TICH PHAN CO BAN
A PHUGNG PHAP GIAI
Sử dụng bu tích chất sau để biến đổi tích phân cẩn tinh thinh téng - hiéu tấp) tích phân cơ bản
h b ‡ h b b
12 [kf(x)dš =k Íf)ảx 2 [[f(x)+g@)Jx= [f@)dx+ [n(x)dx
b ớ b ầ/ [fteàIx = frodax + fronds
RANG NGUYÊN HẦM CƠ BẢN
Nguyễn hàm của các hầm số sơ cấp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
a; forex =~ (O<ae!) 5, fu'cosudx =sinu +e
6, foosrux =sinx+c 6, Ju'sinudx =-eosu+¢
` ga, _ 1Gx+bJt”! a: (oe 4 antes ese
fixed) dase a+] NI Ea a Ề na
dx er |e b)da =— b II =—ln|~———
leos(ax + b)dx sin(ax + bì +c Rea te lca te
i x(x +1) ng ~ Agel x itt ie = fants off ing 103 t 2
2 CAO DANG KHOI A, B, D NAM 2010
eK xP +x Xd x 2 1 TĨNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ca.“ Bk: DATHTOC RHGT ANAM 2011 3 ;
Hài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ - CÔNG NGHIỆP TPHCM NAM 2007 _ KP Nhàn Js af F b i
fa cé: T= [ESR +e08x 4 xoosR | _ ip Xcosx
: + | ° x
Gidi Tinh T= Ie —x|ux= |[ x Pe x}dx+ Is ~x}dx - TT => dt=ux}dx “aff ` XCOSX dents | XE0§X &
I - Bồi cần x | a h , Xsin x + cosx 4 ä XSỈn X # E0SX
U
Ẩm & : ax 4
cd sinxdx => d§tt=cosx, cd cosxdx = đặt L= sinx, có ae đặt t= Inx
ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II
“Đặt L= Xsinx + cosx = di = xcosxula
a n Vifn 9 Khi x = 0 thì L= 1,x=— thì t=-“| T+1
v2(m
wea)
yta:[=—+ - Tiệp tin fel? ch : r Bla i =
12: DALHOC KHOID NAM 2011
Trang 18Hướng đẫn giải GUBT từ cán BT0G Tốn hục - Phạin Hồng Danh Trần Văn Tận
hài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
+ pea es ta =Inft-1fF ˆ - * in(v? +e+lÌ~ 2
Bai 3: DAL HOC KHOT A NAM 2008 `
h
“Ta cĩ: 1= a Xa ef tan* x *=Í————— tan? x
+x 460s x-sin* me 3 cos” x(1=tan? x) Pht t= tanx > dt = BE
COs” x
ỉ cận: x==>t= Ú; VỀ uy
6 3
vi Pages Fai é6; [= Tát In L l, 43#l 10
L4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
" q sn(x~Š le Tính tích phân: t= [—m—#———
é sin 2x + 2(1 + sin x + cosx)
Bty TNIH MTV DVVH khan) Wig:
TH pP-l+2d+0 2 fen?
-x2 2 ‘r+ 1) _L kế *.2( tt) $3 xa+l- 2) 4-32
: BAL HOC SALGON KHOI B NAM 2007
Tùnh tích phần: dã
| ' f ( 44 ny
Gtai Ƒ ⁄1
taf adn opti 1) = inca" “=m n2
x +t +h 2 Pax = tt tc| 0 1m
=I= xúnh~I|~inli ' we =-zIn4
19: ĐỀ DỰ BỊ I- ĐẠI mm KHOA NAM 2006
Hiding dễ n giải COBT tỳ tát #66 Tốr bọt - Phạm Hồng Dan, Trấn Văn Tuân :
Bài 11: ĐẠI HỌC KHỔI A NĂM 2004
Hài 12: ĐẠI HỌC KHOLB NAM 2006
Hưởng “ẩn giái CDBT ff c4¢ ĐTEE Tậa học ~ Phạm :lắng Danh, Tiấn Vãn Tnàn
Hài L6: ĐỄ DỰ BỊ 2
7 x+2 Tính tích phin: 1 = |——dx
‘ ae ea
Gidi Tx+2
I= ¬===ủx
uWXx+l
Đặt L=Ÿx+L= tÌ =x+I= 3út =dx=>x+2= LẺ #
sii ,x|9 7 béietns
sa ileus: 2 4 1 $: L 42 231 1= |—— 31ˆ+h I co = 3 jf" et pdt) i i) = 3) —+— | = E 2 | 10
Bài 17: ĐỄ DỰ BI !
Cty TWHH MTV DWH Khang ¥ept
Trang 19_ T= jf Ml — cos? x sinxeos” xdx = ia EDSẺ X,EOS ` x, sẵn X.EOSẺ Xx
Ind 2 Tính tích phân: 1= yank | Bạt 1= ĐT — con! x 1% =1—cos!x => 6dt =3sinx cos? xdx
ina Ve* —1 i > 21" ‘dt = sinxcos*xdx va cos*x = 1 1"
l= TT cm Đặt Le xle* S1 = Ủ =e*— 1= 200i = e°dx vũ e*= Ê + L nz Veo — Ve 5 ` jatar fla ~20? út - ù 27 7 ae Se Dern 08] 2 13 hạ SL
Hiting din giai CDBT tf cic DTOG Toan hoe — Pham Hồng Danh, Trắn Văn Tpàn
¥ Van dé 3: TINH TICH PHAN BANG PHUGNG PHAP
TICH PHAN TUNG PHAN
ae sẽ: Tứ, weave inh tich phần: [= lim Đặt dx => ệ cos” C08 X is Wenn ee al
me: TB ] 2n ] 1 TỊ 1 I |2 Suy raz 3= | [aoe [ -|——¿dx šs—- fos 3 lan dx _== sa nà hiếm feet eae eae 1 du na v1 lệ ch 3 _3-2In2 2In2
Tinh K = cos x dx = [wx bằng phương pháp đổi biến số x ›
ðl~
ĐtL= sinx = di = cosxdx
148
Tỉnh a, phần 1= Ja-bene tak Jor ae
t= fi ~2}e *dx, pat 2 =du=d#, v= Le? Bk 1 `
Trang 20
Hưởng dẫn giải PT tỉ các 8126 [sản học - Phạm Hồng Danh, Trắn văn Toàn
Bil 4: CAO DANG KHOLA, B,D NĂM 2009
Giải Tacú I= Íe *dx + [zc*dx
ge txt 0 : Ly 2
OV eg +
ay OS
T = In3
2
"Lính tích nhân ; 1= J sin vxdx
4 Gidi
r
| = tich phan I= Hiệu + cos x}eos xdx
ụ
Giải
jie 1-2 fot ‘d(sinx}+2 pm + cOS2x 4, =?enmx
Tỉnh lị = [teosek
ˆ Đặt u=t = du=di i: dy = costdt ¥=sinl
149
Hung din gidi CDBT ti dic DTOS Todn hos - Pham Héng Oaan Trin Van Taan
UNG DUNG CUATICH PHAN
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TÍNH DIỆN TÍCH
j tuần 1: Cho hãm số y = F[x) liên lục và không ẩm trên đoạn [a, b] Diện tích
“tình phẳng giới hạn bởi đổ thị của hầm số y = lí), trục hoành và hai đường
th abe Say Xe nai
®- Nếu (1) có nghiệm thuộc [a, b] gid sit la uf) A b (er < fly thi
+ ees = etx dda} 4 pr ~g0)|dx
Điện tích hình phẳng 5 dược giới lrạn bởi C1}; (C3) và hai đường thẳng x= 4,
'=h được xác địch bởi công thức:
nhẳng ({7) LOx (Ox =C, G) edt vật thể T es thidi dién 14 S(x)
i b Khi đó V= ÍReax
a
IL BAI TOAN Bài toán 1: Giả sử hình phẳng giới bạn hởi cúc
duting y = f(x), x= a, x=b vA y = 0 quay quanh Ox
ou Bài toán 3: Tính thể tích vật thể de hình phẳng
giới hạn hai đường cất nhau quay quanh Õx:
giứi hạn hai đường cất nhau quay quanh Öx, F(X) ¥2 = g(x}
‘Tinh dién tich binh phdng gidi han bi parabol (P): x = —x7 4 te và đường qhẳng d: y=x ;
PI ương trình hoành độ giao điểm của (P) và d: “ B
=
$= Joao fe x "eon [ So b
3: ĐẠI HỌC KIIỐI A NĂM 2007
61 lich Hình nhằng giới hạn bởi cdc duting: y =(e + Dx, y= (1 + ex
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:
“{e # (x= (1 +e")x o(e* ~e)x =0 x =Choicx=1
k
== (dvd)
Chủ hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = xInx, y=, x =e
Tính thể tích cổa khối trồn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ơx,
Dijtu = In?x, dv = x7"dx => dua OE ax, v= 5 Tacs:
` fre tnxitax = In? x ~& fx? Inxdx =< —5 [x? Inxax x? MỆP:”- ¿ 97
| ca aay
153
