tham khảo sách "giới thiệu và giải chi tiết các đề thi học sinh giỏi toán 9" phục vụ nhu cầu học tập, ôn luyện môn toán lớp 9
Trang 1
idi thiéu Jiai chi tiét
Trang 2⁄
/_ ĐỂSỐI
KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỐP 9 THCS CẤP THẰNH PIt MON; TOAN
Nam hoe: 2010-2011 {Thời gian làm bài 130 phái]
SỞ GIÁO DUC VA ĐÀO TẠO 'TP HÀ NỘI
"= =
Bal 1: Rift gon hiển thite: A=
pat His L) Giải phương trình: 2(x” + 2x + 3)=5VN +3” + 3x E2 Øj Cho các số thực x, y thay déi vii thda man 4x? —(8y 1 | Lyn + (By? 414) -
“Tìm y khi x lẫn lượt dạt giá ưị lớn nhất, giá trị nhủ nhất
LH: 1) Tìm 7 số nguyên đương sao cho tích các hình phướng của chúng bằng,
ZTân tổng các pình nhưưứng của chúng
2) Cho cúc số thực khơng âm x, y thuy đổi và thần mãn x + y = 1, Tim giả trị
ổn nhất và nhỏ nhất của: B =4 +3y]dy +3x)]+25xY
Bài IV, Cho lam giác ABC nội tiếp đường trịn (Ư) dường kính BC
3 Vẽ về phía ngồi tam giác ABC nữa đường trùt (1) đường kính AB và nửa (06) Vin lượt tại các diểm M, N (M khác A, B và N khác A, Cj
'Tĩnh các gĩc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lẫn diễn Tích tam giác AMÍD
2} Cho AB < ÁC và điểm D thuộc cạnh AC sao chủ ÀD = AB Gọi điểm E là
hình chiếu của điểm D trên đường thẳng HC và điểm F là tình chiếu của điểm A trên đường thẳng DE So sánh = và _ vdi cos AEB
Bài V, Hại người chơi trị chơi như sav: Trong hộp cĩ 3]1 viên bì, lần lượt từng người lấy k viên bị, với ke|l;2: 3} Người thắng là người lấy dược viên bì cuối tùng trong hộp bỉ đú
L} Hải người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào dể
thing?
HƯỚNG DẪN GIẢI Bail: Điền kiện: x > I
_ vax" =16x? 4+ 2ix—9 |
vx-l 2x—3 ago xs
31437 3- V7
2
Với b= 4ã x” -3x— 7 =0 €>x= i=
2 2) ax! —(8y 41) x 4 (By? -14) =0
8y” —8yx + 4x? ~|Ix + |4 =fl
Ấy =—16X” —#x—|I2>U<>3x?—Llx +140£>2<x<3,3
Vdix=2 >y=1 Voix =3,5 >y=h75 Bai I: 1) Gọi 7 số nguyên dương phải cần tìm là: 3ì:
2) Ké AH | BC => AFEFH 1A hinh chi nhật
AABD vuơng cân tại À -> ADB= 45"
Tứ giác ADEB n6i tip = AEB — ADB = 45°
ổ 2) Cũng cầu hỏi như trên, khi để bài thay 3L viên bị bằng n viên bị, với n là - Trường hợp 2: fe 30 ; = a> {* = = = - [— > — = = 05 cee <— =0084) 45" = cos AEB
#đ nguyễn dudog? | 2 [b=4 (x, =2 AC? AF’
i Bài 4: Cho đường Lrồn (T} với lắm và đường kinh AB cé dink, Goi M 1A aig í a 2 ? pm k
AC di động trên (T) sao cho M khéng tring với các điểm A và B Lấy C là điểm Biểu kiện để nhưưng trình này cĩ nghiệm âm là m + >0 © m> Ì =(W&-1) ~[W=z-I] +(Wz-x=l) =0 @4jy-z=Lely-3 Bai Vi 1) Người thứ nhất lấy 3 viên bị cịn 308 viên bỉ là bội số của 4, đối xứng của Q qua A Đường thẳng vuơng gúc với Alš tụi € cất đường thẳng Mey sehen aa et lee reps ee Người thứ bai lấy 1, 2 hộc 3 viên bị AM wu N Đường thẳng BN cất đường trịn (1) lại điểm thứ hai là E Các b] Đặi m= xụ và n = yụ Ta cĩ: m.n# và mz#1 (*) Bài 4: n) Ta cĩ: MN L BE và BC + NE
Người thứ nhất lấy 3, 3 hoặc 1 viên số cần lại là bội của 4, iH (0S arene vã: 0 cột Hạ NHI „ Đường thẳng qua ba điểm M, I,N cĩ dạng: y = ax + b Do đĩ A là trực tâm của ABNF ;
crud ứ tiến tục nh vậy thì người lấy cuối cùng phải là người thứ nhất tie ee ares x ice sgelcat ee | 4) Chứng mình rằng các điểm A, B, F thing hing : pom th a * Di GD CÚI
=>PFA LNB 2) Nết n khơng phải là bội số của 4, với cách làm như trên thì người thứ nhất Ihắng, b} Chứng minh rằng tích AM.AN khơng đổi =42=a+b_ =hệ thức liên hệ giữa m và n lầ: 2m +n =mn Made NB nén A i Fibdas hiine
Nếu n là hội của 4 thì người thứ hai thắng cì Chứng mỉnh rằng A là trọng lâm của lam giác BNI: khi và chỉ khi NF ngắn nhất te =b ý ea aa ne ne:
Bài §: Tim ba chi số tận cùng của tỉch của mười hai số nguyên dương đầu tiền ` r 2 by Ta co: CAN = MAB
HƯỚNG DẪN GIẢI nh - >I=[= +2) beth git a's sả] lê De dĩ ẤCN ~AAMB C
a at Bail: a) Do a>G,a41 nén: met Re Ủ eo a TH 5 AN _ AC
Nea hoe: 2010-200 | RẺ =nv + vã —] ait ind) (x-H[a-va +1] a id Kết hợp với (®*), ta được: m=5;n=2,5 ao i”
(Thời gian làm bài 150 nhá!) j va fie lạ, va( -a} va(| a) vã Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1 i Do dé A Bà trọng tâm he ABNF ->C là trung điểm của NF (1)
: Me sel 5 Mặt khác CAN = CEM nên ACAN ~ACBI:
4) Chứng mình rằng ki > 4 va jJ 3 1 1907 4 Ấp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta cĩ: NF-CN «CF22VCONCE '=2R-/
h) Với những giá trị nào cửa a thì biểu thức N—-Ê- m† ä trị nà a ¿ Ulu biểu thức N— ¡ nhên gid Wri nguyên han eit tri fn kì làc Tact: Je N=— <= 2N M2 «xe Neusre AED ee x - 2 é No ot 3 agg @ t B _ —_ {khơng đổi Nên NF ngắn nhất s CN ~CF cC Ja tung diém của NE (2) Z 2
Hài 3: n) Cho các hàm số bậc nhất: v=0,5x+3,v=6 -x và y=mx cĩ đổ thị Do đĩ N chỉ cá thể nhận được một giá trị nguyễn là | x x 9 | _ 1907 Từ (1) và (2), suy ra: Á là trọng tâm của ABNF 4+» NI: ngắn nhất
a ; a ae eae (dại và (A„} Với những giá trị nào của tham số Mã N=l© a —=loa-dda+]-0¢ > va ay a V2 ~-3011 I_ -I004 Bài 5: Dặt $=1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12
m Ihì đường thăng (A,} cất hai đường thẳng (l)) và (d›} lẫn lượt tại hai điểi a+l+2va ` ` 5
cH Sere Mộ oan 1) và (d;) lẫn lượt tai hai digm A Tản: : š Nếu xụ <0 dà (1 e>| Ÿ VU Say Suy ra: — = 3.4.6.7.8.9.11.12 {1) là số nguyên
và B sao cho điềm Á cĩ hồnh độ âm cùn điểm B cĩ hồnh dé dương? © vn =2~ V3 hay ja =2- v3 1 2, 1_ 1931 100
h) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M va N là hai điểm phần biệt, di động lần X§t Đ nguyễn cịn «(224) y x x 18 Do đĩ hai số tận ong của A là 00 Me
lượt eat hồnh và trên trục tung san cho đường thẳng MỊN luơn đi qua điểm Nếu xy =0 thì (L) x=y =0 Mặt khác, trong suối quá trình nhắn liên tiếp các thừa số ở vế phải của (1)
cố định lÿL ; 2) Tùn hệ thức li Ệ thức liên hệ giữa ee độ của M và tung đệ của N; từ gi ì Bai 2: a) Diễu kiện để {A„} lu kiện để {A„} là đỗ thị hàm sẽ bậc nhất là m z0 là để thị ố bậc nhất 4 _ NĨI”) g 9) Tiếu chỉ để ý đến chữ số tận cùng, la thấy a cĩ chữ số tận cùng là 6 : “ : ;
đĩ, suy ra giá trị nhà nhất của biển thức (}= để Phương trình hồnh độ giao điểm của (dị) và (Á,} là: Vậy hệ đã chơ cĩ nghiệm là: (0 ; 0} vao 490°] 007) 100
ont ON? sg (713.4=12:26=12:2.7=14; ;4.8= 32;2,/0— I§;8.LI =8R ,8.12 = 96}
Trang 3
‘2 , Vậy với mọi số n nguyên dương thì số x„ =12//(n — l)n{n + in +2) 414.23 Nam hoc: 2009 - 2010 Năm học: 2010 - 2011 Nén SPs y2—>PoN@P-lo xsl pa He 3 _ C1 Nim hac:
I : j Eó thể viết thành tổng các bình phương của ba số nguyên đương lẻ liên tiếp (Thời gian tàm bài 50 phút) (Thời gian làm bài 130 phút] Hải 2 1 Ta cá: Sic KS 3 ay 1 P
tự Bài 4 ¡, Trong lam giác vuông TOC với I là trung điểm của BC nên: Bài 1: Thu gọn các biểu thức;
1 ¬ Q=aT~b' +cŸ — 3abe =(a + b} —3ab(ä + b]}+c”~3abe = A ———— | ee?
lãi 1 Cho bign thie: P=— Te 5 —= te ae =Íatb+t} ~3ah(a =b+ e]— 3(a +b)s{a bic) sin 1OC —— “== 10C- 60 a) Á=B+210+2v5 +/8—2v0 +25
x—wWx¿tl Sale eT float x" px Wad | oGfe or xã + 3)
8
1 Thu gọn biểu thức P =(a+b + c)| {at bic) - 3nh— 3ae —3be ee hỳ p=[ 22, 24 (va aS TH }vês>0arsazl
2, Tìm tất cá các số thực x để biểu thức P nhận riá trị nguyên K na hờ Củ R: lu bskef =ab= xo be) =
tài 2, Cho a, b, c là ba số đương giai 8 BEZSas nes ó yeas Pee LẺ 7 EU en Bai 2: Cho phương trình (m + 3)x” + 3ữm + 2)x + (m +2)(m + 4)=0
TẾ các Pony eet C 3 s aT góc AC nên „E _ 3 ng
1 Chứng minh rằng a` tb` ~c` >3abc = 20 =Ía b+c)| a—b} +(b~e) +(e-a} |z9 F Tương tự, ta có: CH BE 8) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
(a° - '—2010 =a" +b’ +0" 2 3abe | Do d Uf giác BHCE là hình bình hành tâm 1, " xứ, een i ap
2, Tinh gia tri biuthite P=ab+be néu bil ab" +e" = 2041" - 2 ¥é tam giác vuông ABC có đỉnh Mặt khác ƠI là đường trung bình của tam giác B CƯ SG” Ung =
Whine Awa dung cao AD ed kich thuée miu AHE nén a) Vx 1 2-3V2x—5 4 fy 94 Jon 5 =2/3 XY-X+y=7 Po ay AC - 2011 AEROS ROC AIG = R= Oa b) Vx+x° +¥x—x7 —x +l
lài 3 1 Giải hệ phương trình iS +y +2x-2v—11 và PT be 2E Vay tam K60 16 NHÀ, radi Bài 4: a) Chứng mình rằng không có các số nguyên a, ý, 2 nàu thỏa mãn:
a = @= we 2 Ta có: BAK=DAC; ABK = ADC 4x? Lầu =By)—2z” +4
2, Chứng minh rang với moi sé on nguyên dượag thì số =2010.20] | ~ 404210 A alae -
xy —12y/n — 1nện +Đín 12) +] ~23 có thể viết thành tổng các bình phương cũa Bài 4, Suy ra; AABK ~ AADC = [== ABCD = AD.BK (1) b) Cho x, y, z là ha số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2 Tùm giá trị nhỏ nhất
xì số nguyên dương lẻ liên tiếp " [Ay-x+ty-T 4 (x4 I{y-1)-6 Tương tự: AACK ~ AADB ä biểu thức : ay el uaa we
3ài 4 Cho tưn giác ABC nhọn nội iếp đường tim (0: R),c6 BC = Ryd vag AB< AC “pty? e2x—2y-11 [ix t¥ ie (y-l=13 AC CK i ae il
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cất đường uồn tại điểm D khdc A ( : ») =>—-=— =ACBD=ADCK (2) Bài 5: Cho tan giác ABC cần tại A, đường cao AIL Vẽ đường tròn lâm A bán
en : Š , _ ị Ï{w=v} 25 AD DB kính R với R nhỏ hơn AH Từ B vẽ tiếp tuyến BM vdi doting wn (A ; R) với M
1 Tinh gúc BÁC §uy ra tam giác DÀH cần BE MEN 1, TN ĐT, Từ (1) và (2), suy ra: là tiếp điểm Đường thẳng HM cất đường tròn (A ; R) tại điểm thứ hai là N
2 Chứng minh răng AD.BC = AB.CD + AC.BD, ne AD.BC = AB.CD+ AC.BD a) Ching minh hai tam gide ABC va MAN đẳng dạng với nhau
Bai 5 Ching minh cing néu lye gide lỗi ABCDEF v6 6 sóc trong bằng nhau thi | u=3 [x =2 ai 5: Theo giả thiết thì ta xuy ra cổ 6 gúc trọng -h) Chứng minh đường thẳng CN là tiếp tuyến đường tròn (A)
is entra aig gas HT * ‘ 2 2
có |AB~ DE: ~|BC~ EF|= |CR~ St : : Write Sus ụ NET LAN A ly-3 ota luc gidc déu bing 120°, oe Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường lròn và có hai dường chéo AC
HƯỚNG DÂN GIẢI juy =6 fund {* =I Kẻ các đường phân giấc trong BP, DM, FN, Và BD cất nhau tại L Gọi E, F, G, H lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, Hài 1 1 Điểu kiện: 0< x<2 =3 ly=4 Do đó các tử giác BCDP, DEFMI, FNBA đều là CD, DA Chứng minh rằng tứ giác EFGH ngoại tiếp một đường tròn
Bie so Sal ae ACH! ng eee : er — Ậ weave lesen, Mee } AMNP là tam giác đế (có 3 góc bằng 60") F tae de , x„ án! A D Bai bi a) Ta ca: il; are J
““.ẽˆ ẽ ẽ sẽ KT lu fu 2 | [xe Pee REN Fea A! = 16+ 2/64 —4¢10 4 25) = 16+ 224-85 — 16 + 46-25 — 16-ay(5 - 1) XuN-| ⁄à<K+l veel TA [eee | ped Tương tự: |AB—DE|=|BC — EF| = |CD- FA| # 2 =1É+4(J5 ~l)=12+ 4/5 =2(6+ 2/5) =2(J5 + l}Ẻ
Vay An J2G/5 +1)=/10 + V2
-| ava-3 2%Wa-3) Va+3
pase Re) Tê TÂY
fats) b) Ta có; B=
Las
a +- a( va - 3} -Í sen) ae
(s ta ~1)(va -3) SE]
ain a Sve — 3a-24 ath _ a+8[và =3) a 18
(xa +tlxá ¬) - a-l [av (a 3) a-l
Bai 4: a) Ta cd: 4x7 4+ 4x = By? —227~ 4 c>4x`+4x+1=By°~2z?+5 ©(2x+l}' =Bv'
Ta thấy vế trái là một số chính phương lẻ nên chìa hết cho 8 dư 1
Xét vế nhải:
Ta có: 8y” là bội của B; 2z” chia cho B dư là 0 hoặc 2 lùy theo z chấn hay lẻ
Vậy về phải chia & dư là 5 hoặc 7
Vậy phường trình 4x” +4x =§y` —2z” + 4 không có x “Ys Zz = thỗa mãn
° Ấn dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dưỡng - —— vũ
2 2
a Ge ey Hie y+z 4 2 Tung ur, 2 Et8 BF spe h gy RIPE eE
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1, đạt được khi x= y—z—
Bài 5: a) Ta có: BMH=BAH tứ giác BMAH nội tiến)
Ma BMH ~ 3 MAN BAH =2 BÁC
nên MAN = BAC
Vay hai tam gidc cin MAN va ABC déag dang VỚI nhau
th) Do MAN = BÁC nên MAB - NAC Suy ra hai tam giác vuông BMA và CAN bằng nhau
Bài 6: Ta có: ÏIEI= HAI (tứ giác K
FEI= EBI (tứ giác BEIF nội tiếp) ar B
Mà HDI =FBÏ nên HEI =FFI HÀ
Vậy EI là đường phân giác cla HEF OFT
‘Tetong ty, ta e6: PL, GI, HI tân > :
lượt là các ắc dường phân giác của f
Nim hoc: 2009 - 2080 (Thời gian làm bài 130 phút)
SỬ GIÁO DỤC VÀ BẢO TẠO TỈNH TIỀN GIANG
Bài 1: 1 Giả sử các ia b théa man: is TẠP” SIM
pe ae Ề “|b? -3a°b= 2010 Tinh P=a’+b*
2 Với giá trị nào của b thi hai phương tình: 2011x°+hx~1102=0 và 1102x? +bx+2011= có nghiệm chưng
Bài 2: 1 Giải phương trình: WX oT x 4x? F+x+I=l+Vk°—I
2 Cho phương trình: y` +my—p=0 có hai nghiệm là y và yz Định m và p
]
Bey
Bài 3: Một thẫy giáa còn trẻ dạy môn toán, khi được hỏi bao nhiêu tuổi đã trả lời như sau: “Tổng, tích, hiệu, thương của ruổi tôi và đứa con trai của tôi cộng lại
là 216” Hỏi thấy giáo bao nhiêu tuổi?
Bài 4: Giả sử phương trình bac hai ax’ +bx-+¢=0 of hai nghiệm thuộc đoạn {Ô; 1]
để và : cũng là nghiệm của phương Irình này
3z
Xác định a b e để biểu thức P = NIÊN đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất
Bài 5: Cho lam giác HC vuõng lại Á, qua À ta vẽ đường thẳng d di động Cọi
E,C' là hình chiếu của B và C xuống d; H là chân đường cao tam giác AHC
1 Chứng minh rằng đường tròn đường kính E'C' qua một điểmn cổ định,
3, Tìm tập hợp trung điểm M của BC"
=> (a? ab?) +(b*-3a°b) = 233" +2010
= 0° —9a7h'—6a'h? rbê 6n?b! | 9aTb? = 4094380
> a° +3a"b' + 3a"b? + b° —4094380
{a +h) =4004989 > P=a' 1b? = 4094189
3 Gọi x th nghiGm chung cia hai phudng tinh đã che, ta cd:
: 201 1x2 1 bx, | be al 102x2 + bx, -2011-0 102x)—bx, +2011=0 — |909x; —909
x-l;:x “ni vũ phương trình 1102xÌ +hx+ 211 =0 có nghiệm là;
Trang 4I+y, I+y, l#(W,+y;]ry#, prm+l t+y, 1+¥, pm+l
Da Tu Ỷ sills cũng là nghiệm của phương trình (*) nên:
- Vai m = l thì n=—1 thỏa điều kiện mỶ >4p
- Với m=l+ v5 thì p= — thốn điểu kiện mỶ >áp
Bài 3: Goi x, y là số tuổi của thay giáo trẻ và con của thấy (x,veN”;:x>y})
Theo để hài, tạ cú phường trình: (x+ y)+{(x— y}+ xv I Ằ¬216 y
Bac t = (te N"), phucng tinh (*) ted thinh; 2ty + 4° +t=216 y
+ ty + =216=>(y +1 |216=>(yY+Ð)) s14; 9: 36}
Từ đĩ suy ra cập nghiệm (x; y) phù hợp la: (30:5)
Vậy thấy giáo là 30 tuổi
“Bài 4: Gợi x,, x„ là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
Bài 5:
I.Ta cĩ: AHB + ABB =180?
Ta do uit gide AHB'R nai tiép
= ABH = ABH Tuong tu; ACH = ACH
= ABH+ ACH = ABH+ ACH =90°
Vì AAHC vuơng tại A
=> BHC’ = 90" => H thude đường trịn
dường kinh b'C' Hay đường trồn đường kính BC" đi qua điểm cố định H
2 Gọi N là trung điểm của BC
Suy ra M thyde duting tedn duting kinh AN Phần đấu;
Lấy điểm M' là điểm bất kỳ thuộc đường trịn đường kinh AN, qua B và C kế
BB' và CC” cùng vuơng gĩc với AM
¬3BB' // MN CC
Mã NB =N€ nên Mĩ là rung điểm của BC"
Vậy tập hợp trung điểm M của B'C' là đường trịn dường kinh AN
v6~2J5 ~ đã x? —2x* +2x3 -dx? Ix +6
7 x x 2 a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xúc định
b) Rút gọn phân thức A
6} Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức À bằng Ú
Ẳ 3: a) Tìm điểu kiện của m để phườơng trình cĩ nghiệm đuy nhất:
: 2 Câu 4: a) Cho tam giác ABC vuơng lại A, đường cao AH _ BC = Sa Tinh hai cạnh gốc vuơng thco a
b) Cho tam giác ARC cĩ các gúc đêu nhọn Gọi ẤH, BI, CK lä các đường cau
Sian Sane :
Câu 5: Cho đường trịn (O\ : Ry) tiếp xúc ngồi với dudng tron (Oy; Re}, VE mol
đường thẳng AB là tiếp tuyến chung ngồi của hai đường trdn (0) và (2)
“avd A €(O,), Be(O,) Vẽ đường trịn (O ; R) tiến xúc ngồi với hai đường
wn {O¡) và (Œ) và tiếp xúc với đường thẳng AB tại C
của tam giác Chứng minh rằng =l—eos?A cos” R- cox? C
| ¡ đĩ: ree Us 5 2 : 2 j2:T hẳng tọa độ, chủ ba đường thẳng:
ả Khi đĩ: Tương tự, ta cĩ: —PPE =cas”B ¡ —SL = cðy” C Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ, 8 E
e} Vì x°+3>0 nên để A =0 thì x— ] => x =I(thỏa mãn điều kiện)
Câu 3: a) Điều kiện xác định: x # m; x #l
Ti (1), suy ra: y=sía +l-nx)
Thay vào (2), ta dude: 2x + n(n +1—nx}=2n-1
—n” +3n—2
© 4xv—nÏx =—n” +3n—2 © (4— nÌ)x =—R” +3n~2 +» x=————
AARC vuing tai A, taco: ABLAC = AH BC > syn 5a =12a? (1)
Ta cd: BC’ = AB* +AC* = 25a? =x? + y7 (2)
Từ (1) và (2), suy ra: (x+ y)? —X” + 2Xy + y? = 254? ~ 24a” = 40a”
(x—V} =x”—2ky+y ` = 25n” ~ 24a! =a
ee hậe ce " hoặc janes
x=yv=a x-y=-a ly=3a \y=4a Vậy hai cạnh gĩc vuơng là 4a và 3a
b) Ta of: Sune = Syac — Sasa — Sune — Set
Sane San Sapc 54p A
Xét AAKI và AABC cĩ gĩc A chung nén ị
Sạy „ AKAI _ AK.AL `
(v6i We OA; KeO,B)
khi dé H, ©, K thing hang
AKOO, vuiing ed:
OK" =00; -KQ} =(R,+Ry -(R,-Ry’ =4R;R
= OK =2/R,R (2)
Th (1) và (2), suy ra: HK =2(J/R,R + JKR)
Qua O; kể O„T LOA (vedi 120.4)
AIO,O, vuơng rĩ IƠ, = (0,07 -107 =2./R,R„
fe OVA shies +3 feed Bài 1: Cho biểu thức: p<Ít- ¬ Ca te ok cụ ! |
LƠ XXx+lj,(X-3JX+6 VX 2 3xx,
Gọi A là giao điểm của D, và Dạ, B là giao điểm của Dị và Dạ, € là giáo
điểm của DD; và Ds
1, Vẽ Dị, D; và D› Tim tọa độ của A, B,C
2, Tính điện tích tam giấc ABC
3 Tính số đo A, Be của lam giác ABC (độ, phút, giây)
2 2 Has: 1 Giải phương trình; CƠN bĩ, i +6x+3 = 54
Ổ* -44t3 x i36 3 12
£ —Ä4x=Š
NT y ¥
3, Giải hệ phương Irình: -#xÌ+|x ky l|=?
Tài 4: Cho tam giác ABC vuơng tại A, kể đường cao AIT, ID = 20cm,
HC - 45cm Vẽ đường tràn tâm A ban kinh AH Ké cac tiép wyén BM, CN
_với dường trịn (M và N là các tiến điểm khác 11),
1 Tính diện tích tử giíc BMINC
3 Gại ï là gina điểm của đường thắng CN và đường thẳng HA Tính độ dài
1 Chứng minh rằng tứ giác CDFEE nội tiếp đường trịn
3 Gọi ï là tâm dường, trịn ngoại tiếp tứ giác tứ giác CDEH, Chứng mình ring
điểm I di động trên đường thẳng cố định khi dường kính CD quay quanh
điểm oO,
Trang 5
Tài 5: | Tacs: ÄCÖñ= ABD: ABD = AB; ACD = AFB
Do đó tứ giác CDFE nội tiếp
2, Gọi 1 là tâm đường trồn ngoại C tiếp tứ giác CIFE Ỹ
Đường tròn () qua CD nên T thuộc of trung trực của CD A “7H Đường tròn (Ï} qua EF nên F thuộc
trung Irực của EE H
Đo đó I là giao điểm của CD và EF
-=AO/ HI (cũng vuäng gốc với EF) (1) Tam giác ABF vuông có AH là trung
ến ứng với cạnh huyễn nên HA = HE (d)
VAN _ aes Bài 4: 1 Ta có: MAH~ 2BAH ; NAH = 2ÊATT đính chất hai tiếp tuyến cẤt nhau} ee
1 ì fa eae - x => MAH } NAH =2(BAH + Call) Ma OL.L CD nén AHH OL (2) ‘ tee — ae
oho me =0 Bat t=x +243, nhượng trình (2) ur han: —— + = a =2BAC-180° Từ (1) và (2), suy ra lứ giác AOIH là hình bình hành
y=-3x+6 : : ‘ ee =M, A,N thing hing => MBi/CN pret OAs e :
Vậy A(2; 0) =12q wen ~át~21)=53(È ~§t~14) ee : Suy ra L céch EP mét khoảng không đổi bằng R, nên I đi động trên đường
ổ —=tứ giác BMNC là hình thang vuông i Ệ Ẹ
- 202.231: - 1010 =0 => =10 21 = 49 5: C ng d song song với EF va cách EF một khoảng bằng R-
toe do cdi oi naana alae II MEN Ore Oe a5 Ta có: AH” = HB.HC = 45.20 =900
at Darna Pvaiis 0x40 eT ee! 7x43=0ex=) "9 i | 1 l t ĐỀ SỐ 8
* Ỷ => Spyyee = (MB + NC)MN = — (BH + HC)MN sd Grdo pUC VÀ DAO TAO KỲ THỊ CHỌN HỤC SINH GIỎI
Vậy "H *) - Với ey tad +49x + §7 ~0(võ nghiệm) 1 1 2 L TINH AN GIANG LOP 9 THCS CAP TINH
y=2x+4 eT Vậy phương trình (1) có nghiệm là: gt Og, Bel ; 2, Dit x= Al, y= IN & >0) Năm hụt: 2009 - 2010 Tọa độ của C là nghiệm của hệ: I « 3 2 2 i bộ ; sỹ (Thừi gian làm bài 150 nhúr) #
yest! ee 8 k y-4x=5 y=4x+% (l) Ta có: AAIN ~ ACHI(e-E)
3 # 2|y —2x]+|x+ y ~l| =Ỹ 2|2x +5|+|Bx+ 4 =7 (2) Al_ AN _IN page EL ee oe Bài 1: Chứng minh rằng các số sau đây là những SỐ nguyên:
10 8 ` af Cl CH 1H y¥fCH xfAH 3 ¢
Vay C co Xét các trường hợp sau: š x=2y+ Long ru KET era 1 a=| fo 3 : as Ea (s+ 27) ale l b
2 Gọi D là giaa điểm D; với trục boành - Trường hợp Ì : ai ae = = AI=78em ; [N =72em \lA3—I|
2 Giải hệ phưởng trình: 2(x+y)= 3(tx'y+x ») a 24a +b)}—5ab=0 _ 3(a +b) =Đnb=0 _ lacb=6 Ma bu AE: RDO ABE wi * Bai 6: Tứ xế ÁABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AI, có
VN ấy «6 la+b=ú |a+b~6 ~~ 8hb=B Tin ro : = ants 3 vs AB—BC = 2/5, 5, CD =6 Tĩnh-bán kính của nửa đường tron
nên NDC = ACB ate
3, Tim giá trị nhỏ nhất của hàm số: | Hiên Do đá ANGD cân ai N = ND=NC / f x Rae HƯỚNG DẪN GIẢI
lv? ic 1 1,¬Í1 .xì = BM CM MD CM CD So :
y ys +2(I +VX + i) +e +241 vXx 1 ' i xa => ei ee ME GT en (i) B D S M Bãi 1: Gọi x¿ là nghiệm chung của hai nhưng trình, ta có:
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), các tiếp tuyển lại A va C b=2 , CD _BC X L4x„+m=0 Em
đồng quy với đường thẳng HD ở M Chứng minh rằng: AB,.CD = BC.AD ` ties ee 4)\Xạ—l)=0+> ii
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC kéo dài về phía M, lấy một Vai ‘t Shady Ne [x-64 dae hy aes : Bie Ae
điểm M Một me thẳng A đi qua M cất các canh CA, CB tại N và F b=2 dy =2 ly=8 Từ (1) và (2) suy ra: tt ae Bạc (không đổi) - Với m = 4, thì bai phương trình đã cho tương đường nhau;
Chứng minh tằng Me không đổi khi ee M và A thay đổi ag, (Shee (áp BMY CM , x +4x+4-0cx 2
"2W Để Với a : ot sẽ Vậy khi đường thẳng (A) thay đổi thì BP ON la không đổi cà Vái x; T1 thì ï+4+m=0>m=—5
Bài l: l n= t1 a=| 2 22 ae a 12 (5+ 27] lây hệ phương trìi rải đã chợ có nghiệm (x: y) là: Với (64:8) (8: 64) Le | phương _ “y xế trình (2) trở thành: xỶ + 4s -5= +2 x=1;x=—5 ` : ` ` oe
6 : ‘ hee
3~I 27-1 ve (evi ae} (Geri) Veal nh SỞ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THCHỌN HỌC SINH GIOI ty với m =~5, m =4 thì bai phương tình (1) và (2) có íH nhất một nghiệm chung
lee B\(s+3/5\-5—3⁄B\(s+3/5} ý | tin) velo L 914 ia | TỈNH VĨNH LONG LỚP 9 THCS CAP TINH Ì2: Ta có Ae sứ xH, Stt-3) ,
=( 34+1-6¥3-—2+64+2 3Ì(S+3 ee 3)=- hy Wer ih nh oat MON: TOA E ; iia
May ae 2 ` ni Năm học: 2009 - 2010 = là số nguyên thi 5(t—3):17
“Suyrd: yzl vx'+l+vx'+l+l=2 (Thời gian làm bài 1 SỐ nhút)
Phương trình (1) có hai nghiệm phần hiệt là: x, =m +3; xạ =m~—]
Phương trình (L) có hai nghiệm:
‘Diu "="xiyra ol vx 4120o ex +islo—
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 2, đại được c> —1<x <0
Bai 4: Xét AABM và ADAM cé: AMD chung, MAD—
| = AABM ~ ADAM (g-g) AB_ MB
1 HA xì 48 fx 4) Hải 3: Giải phương trình sau bằng cách Bp ao pi as as
x Ka 2
Bài 4: Gọi a b, c là độ dài bà cạnh và p là nữa chủ vi của lam giác Chứng minh Hing: (p—ap—by(p—c) < abe
Bai 5: Cho tam giác ABC vuông tai Ava D 14 mot điểm trên cạnh AC (khác với
Á và ì VẼ đường trồn lãm TJ tiến xúc với BC Lại BH Pừ BH kể tiếp hiyến thứ
xi nphiệm là: x=3~2]¡w= 2:x=6
Trang 6
Bãi 4: Tn cĩ:
¬-.-= a (vì a, b, c là bạ cạnh căn tam giác)
p-b>f:p-czU
Ấp dụng bất dẳng thức Cư-si cha hai số — li cĩ:
(p~aÿ(p — bXÍp —e)= ae a}(p—b).\{p— bp ~c)-(p-eXp—a)
i
25 (2-4 = b)- (2p : b ĐI HE: = i
Dau “=" xdyra cop a=b=c hay tam giác ABC déu,_
“Bai 5: Tủ cĩ: BFD=BED= BAD =90°
Do đĩ B, E, D, A, F cig Lhuộc mặt đường trồn
Trong tam giác vuơng ABC cĩ AM là trung tmyến nên MA = M
— AMAB cân tại M => MAB=MBA B
Ma MBA = EFA
nên MAB =EFA (1)
Mãi khác BE = BF
nên 1š = HE => BEE= BAY (2)
NAF=!80' ~( BAF - BAM]
—1809 ~(BFE - EFA | ~ NFA
= ANAT cân tại N NE= NÀ
Bài 6: Gai R 1A bán kính đường trồn ngoại
tiến tử giác ABCT), te cĩ: ÀD = 2R
Gọi E là giao điểm của AB và CŨ, ta
Do dé BD IA wong trực của ÁE nêu DE = AD = 2K
Ap dung định If Pitxo vào các tam giác vuơng ACT va ABC, ta cd:
FC? —AF2—ẤC? = AE? -(Ap? -€Rˆ) = AR? A? +UIẺ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠU KỲ THỊ CHQN HỌC SINH GIƯI
TP HÀ NỘI LOP 9 THCS CAP THANK PHO
11: Tinh gid trị biểu thức:
32+ 5)I7v5-38 J -38 V5 414-605
Í 2; 1 Giải phương trình: x” ~3x`— 2x” =6x+ 4= 0
33810 ~
a(n" +x —x™ vdi x=
AY voat+]
Tim a dé hé phyong trình sau cĩ ngiiêm duy nhất: Ệ vn ae :
xvi xy? aan cab _+x +1 <p
Bài 3: | Giải bất phương trình: oe
x!=x) 42x? -at]
2 Tìm giá trị lên nhất của: H = ng > TH
x+y +l[ y -z+l z+x +]
“Với x, v, z là các số đương và xy2 = l,
Bai 4: ho tam giác ABC cú bà gĩc nhọn nội tiếp đường trồn (Õ ; R), D là một điểm hất kì thuộc cung nhỏ AD (D Khác A và C) Goi M, N lẫn lượt là chân đường vuơng gĩc kẻ từ D tới các đường thẳng ÁR, ÁC, Gọi F là giao điểm
© đường thẳng MN, BC
1 Chứng minh DP và BÉ vuơng gĩc nhau,
3, Đường trồn ([ ; r) nội tiếp tam giác ABC Tính TQ với R = Sem, ¢ = 16cm
x +x xy-]
=—— ch TT, V54 NI) ⁄5+3—5
Dodé; A=(x4x7 — itl =2 Bai 2: 1 x‘ +3x’-2x7 -6x+4-0
Để hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất thì x„ =
4 "x? ;+2x, =a+] oo [28 —Xã—28,—l=Ũ Khi đĩ, la cĩ: :
V2Xụ=a land =a
Reel a-2
a ” xây ra khi và chỉ khi x = y=z=l
Vậy giá trị lớn nhất của B là 1, đạt được khi x = y = ⁄= l
hi 4: 1 Ta co: AMD ~ AND =90" - 90° = 180"
đĩ tứ giác ÀAMDN nội tiếp
=>MAD=MND Mặt khác: MAD = BCD
= ‘Say ra tứ gide NDCP nội tiến
DPC = DNC =90°
_Yây DP 1 BC
3 Vẽ đường kính EF của đường tron
©) (F là giao điểm của Al với đường trịn
Do CI là nhân giác cia ACE nén BCK = ACK
=> CIF =CGAF+ ACK = BCK + BCE =ICE = alPC can tal F =2 Ei — FC
TO CE), suy ra: ALAF=2Rr (2)
Goi G, AA giao điểm của đường thing 10 vai (0 ; R)
“Ta cú: AAIG — AHIF Ỷ
=> ALIF=IGIH =(OG -O1(OH | OL) ={0l+ RK -—ON= R?-OF (3ì
Từ (2) và (3), suy ra: RỶ - ĐI” =2Rr ƠI” ~ R”—2Rr ~5°—2.5.],6— 9
=OI =3em
Bài 5: Do x,vVeZ—Œc Z7—(x` +x}/(xyT—l]
sb Oty? ax? oxy — l)
Tacd: xy? +xy? —x"y(xy—l) 4 x(xy = D4 ytay U4 x+y
Nam hoe: 20049 - 2010 (Thài nhí Mun bad 130 phutt)
SỬ GIÁO DỤC VẢ ĐẢO LAO TỈNH HƯNG YÊN
Bai 1: a} Cho a là một nghiệm dương của phương trình: 4x” + 3x - V2 =đ |
TT di ytkiểu tiếc A =! oN Se,
— va*+n+l—a7
hì Người 1a viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số cú hai chữ số
để tạn thành một số mới cĩ ba chữ số Lập tỉ số cĩ tử số là số cĩ bu chữ số vừa 1ạu thành và mẫu số là số cĩ hai chữ số đã cho, Hồi giá trị nguyên lồn nhất và
ä trị nguyên nhỏ nhất của tỉ số độ là bao nhiễu?
c6) Cho S, =(ý2 +1} +(VZ~ |} vái ken”
Chứng mình Su „Su — Suy = 27,
lài 2: a) Cho hai phương trình: xÌ +mx~n—0 và x°~2x—n= 1 Chứng mình rằng với mọi giá Irị của m và n, ít nhất một trong hai phương trình trên cĩ nghiệm,
£) Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B Vận tốc của họ
lưn kém nhau 3 km⁄h nên đến H sắm rnũn hơn nhau 30 phút '1?nh vận {ốc của
indi người, biết quãng đường AB dài 30km
Bai 3: Cho phương trình xẺ—§x? ~3x+1~0 (1) 4] Giải nhưng trình (Ú)
Đ] (ọi xị; xay x; là 3 nghiệm của phương trình (1), dat A, -x" - Xã —X¿ với WEN’ Ching minh A, la sé nguyễn với VneN”,
©} Chung minh rling Aza khOng chia hét cho 4 vdi Yn N",
“Bài 4: Cho hai đường ưrồn (O\ ; R:) va (Q› ; R;) (Ry < Ry) liến xúc ngồi với nhau lại
A Kể các đường kinh AO,B và AO,C, Gọi DE là uưiếp tuyến chung ngồi của hai
đường trịn { D (O.), E.e (O.)) Gọi M là giao điểm cha RD vi CE
8) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của bai đường trịn
b) Goi giao điểm cha DF va ARIST Tinh TA then RL + RB 2) Gui (0 ; R}) tiếp xúc vai DE ‘ae be ie xúc ngội với (Ơi ;R;) và
TT Bài 5: Cho tam giác ABC, M 1a trung vn của BC, gọi rị ; r; ; r; thứ tự là bán kính đường trịn nội tiếp AABC; ÁABM; AACM và BC =a
(O› ; R;) Chứng minh HH
= Chứng mình rằng: Tà
Khi thêm chí số 0 vào giữa hai chữ số của ab, ta được số mới là a0b
lŨa +b
1© 100a + b<100a + b<> <9b (đúng) Dấu “=” xảy ra khi b = 0, với mợi a
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tỉ số đĩ bằng 10
* TH” san 10a +h > 5a +b <>+ 5ữn > 4b (đúng) a+
Sen + Sern OTD ah’ be aE Bh abe (are 4 bE)
=a tịnh canh" ¢a"b" =(a" +b™)(a" +b") =S, S,
Ap dung véi m = 2010); n= 2000 > 8, = 7⁄2 ta được;
Tấn * = Saas +8, = Sop Sami —Suais =) ~2v2
- Bài 2: ä) Phường trình xˆ + mx +n =0 là một phương trình bậc bai cĩ:
À,=m° -ản Phương trình x” +mx -n =0 là một phương trình bắc hai cĩ: Ä; =4n+4
=Á,+a, =m”+4>0 vm,n
‘De đĩ trong hai số Á,, A„ luơn cĩ ít nhất mét sé khong 4m Hay adi cdch khac
đg hai phường trình đã cho luơn cĩ ít nhất một trong bai phương trình cĩ nghiêm 'b) Điều kiện: x, y>0
i j o yous (a—b)” =3ab—m a0 =2 (m' ~m)
Khi đĩ a, b là nghiệm của phương trình: LÝ — mủ — sắn —m}=(®)
Pể hệ phương trình đã che cĩ nghiệm thì phương từnh (*) cĩ hai nghiệm
: AZO A>a
khong fim 4820 4m >0
P20 mì mz0
©=lšm=4;:m=0
€) Cọi x (km/h) (x > ) là vẫn tốc của người đi châm
Vận tốc của người đi nhanh là: x + 3 (km/h)
_ Theo dé bài, ta cĩ phương trình: fas
x ied 2
` €iiäi phương trình trên và kết hợp với điểu kiện, La được: x = 12
Xây vận tốc của người đi chậm là 12km/h và vận tốc của người đi nhanh là 15knh
=1
Bai 3: a) nan ia fF
x và
43
Trang 7
Vậy A không chỉa hết cho 4,
Băi 4: a) Do 0,D // GE (yi cing vuông gốc với DE) nín DO,A 4 EO,A =180°
Do AAO,D cđn tại Ôị vă AAO, LÝ cđn tại Ö‡ nín M
GHẾ ”Ủ —DO.A 2 ola
Rik 180° -DO,A i 180” — EÖ.,A
2 360° -(DO,A + B0,Ô}
f =12-—
3
=90" i
Suy ra tứ giâc MDAE lă hình chữ nhật,
Gọi 1 lă giâo điểm cửa AM vă DE nĩn A, —D,
Do AAQ,D cđn tại O; nín A, —D,
Suy ra: A,~ Â, =Õj +; = MA LĂN
ra đệm Si R, -R, aa eae
¢) Xĩt bai ton MA salu:
Cha (0; R) ve (O'S R'} Hep rte
got núi nhaư tí A (R > R") Nếu BC lă
_ ấm nến chưng của li đường trín
X6 ` ee
=2VRR’ R' (pom) Trĩ lai băi toân:
Gọi T lă điểm tiến xúc giữa
{D) vdi DE
Theo bai toiin phu, ta cổ;
DI-2/RR, ; TE= a : DR~2/RRy
Mê DT+ TE= DE nín /RR, +,/RR, = /R,R,
1 |
Pe om Rai S: KC Ai tein phy:
Chứng mỉnh rằng nếu tam giâc có
ằụ vì 2p, bân kinh đường trồn nội tiếp
a 8
2 2h _ AM AM
(Thời gian lăm bat 150 phir)
Bai 1: a) Cho ham 58 f(x} =(x? + 12x -—31)°"
Tinh fa) tai a= 16-85 +316+8V5
b) Tìm câc nghiệm nguyín của phương trình: 5(x” + xy+ˆ}=7(X+2y)
- Băi 4: Cho hai đường tròn (O ; R) vê (O*; R'} cất nhau tại hai điểm phần tiệt A
vă B Từ một điểm Œ thay đổi trín tia đối của tia AB Vẽ câc tiếp tuyến CD:
` CE với đường tròn tắm Q (D; E lă câc tiếp điểm vă E nim trong đường trồn tđm 0") Hai đường thẳng AD vă AE cất đường tròn tăm Of lẫn luyi tại M vă N (M
vă N khâc với điểm A) Đường thẳng I3E cất MN lại 1 Chứng minh rằng: a) MI.BE = BI.AE
- b] Khi điểm C thay đổi thì đưđng DE luôn đi qua một điểm cố định
ˆ Băi Š: Cho tam giâc ABC vuông cđn lại Â, rung luyến AID Điểm MI di động trín đoạn ĂD Gọi N vă P lần lượt lă hình chiếu của điểm M trín AB vă AC
Vẽ NP.L PD tại H Xâc định vị trí của điểm M để Lam giâc AHH có diện tích
„ lớn nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI lêi 1: a) a= ÿLú—84/5 + ŸJ16+8v5
a See JO, EO, ~ JO,-10, OL EO,-DO, SA lộ R.LR, ĐA R,—R đấy Trở lại băi toân: 2 b) Gidi hệ phương ’ trea: |X y 2 a4 Với tri>| ý
Gọi AB =c, AC = b, độ dăi đường cao bạ từ A xuống BC lă hă im :
VĂ 2 đủ, Bai 3: Ta cd: x+y Zyxt y) (x, ye 4)
Dấu “=” xảy ra khi vă chỉ khi x = y = Z = L
Vậy giâ trị lđn nhất của A lă 1, dạt được khi x = y —z= ¡
b cane BE của a tròn tầm O}
HAE = BMN (cùng chắn cung BN của đường tròn (? }
'.>- BDE = BMN
“Hay BDI=BMN >tf giâc BDMI
noi tiếp
=> MDI = MBI feng chan cung MD
olla đưng tròn tđm 0}
— ABE — MBI lêi khâc: BMi = BAE
BLAKE
= AMBI~ A ABE (g- an SPs IAI BBs
bb Gọi Q lă giao điểm của CO vă DE,
Tạ có: QC — DE tại Q -= ẦCU vuông tại D, có đường cao lă DỢ nền Q.QC —OÖD” =R° (I)
cm K lă giao điểm của hai đường thẳng G©' vă DE, H lă giao điểm của AB
Beno CÓ on O28, ocoo- KO.OH KHI
"Tủ (1) va (2), suy ra; KOOH =R? = OK — aa
TM Oll ed ajnh vă R không đổi nến OK không đi
1 'Đó đủ K cổ định, Bais: AARC vuông cần lại Â
=>tứ piâc HNHE nội tiếp đường
tron đường kính XE
Mat khic ABED = ACDP (g-c-g)
= BE=PC
Ma PC = BN — BN=BE-> ABNE vudng can tai B
= NEB=45? mi NHB= NEB (cng chan cung BN}-> NHB = 45" (2)
Từ (1) vă (2), suy ra AHB-90 = 11 e (0; AB/2)
Gọi H lă hình chiếu của H rín AB ->§, =HH-AP _% A:E 3 ASB lần nhất c> HH" lớn nhất
Ma HH! <op= SE (do H; D cùng thuộc đường tròn đường kính AH vă ODL AB}
Dau "=" xay ra > HED M=D
3 2
b] Cho biểu thức  "ng ' h với ô lă số tự nhiền chan
Hêy chứng lẳ Ă có giâ tri nguyen
“Băi 4: Cho lam giâc cđn ABC (AB = AC; A = 90°), mal duting tran (O) xúc với
AB, ÂC tại B vă C, Trín cùng BC nằm trong tam giâc ABC lấy một điểm MT {MzB;C) Gọi; H, K lẫn lượt lă hình chiếu của M trín BC; CA: AB va Pia giao điểm của ME với IK, Q la giae diĩm ela MC vĩi TH
4) Chitng minh ring tia đối của ia MI lă nhđn giấc của gúc HAIK
b] Chứng minh PQ / RC
' _g} Gọi (O.) va (02) lẫn lượt lă đường trồn ngoại tiến AMPK vă AMQH Chứng mính rÔap PQ lă tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O } về (O¿), Ú) Gọi D lă rung điểm của BC: N lă giao điểm thứ hai của của {O\), (O;)
“hứng minh ring M, N, 1 ching hăng
2K 5 = chau y=ld 2x-45-11 ly=6
Câc cặp số Níu dương đều thôn mĩn đẳng thức trín
Way cde chp si clin lim lă: (3 ; 36};(4: 14) :{§;¡ñì:(19: 43) Câc trường hứp còn lai giải ra dễu không thôa mên băi loân
Trang 8
- Nếu k =3n (với neN) thì k(k—11(2k ~ l):3
- Nếu k#=3n + Í (với neN) thì Gk +13
Thay xy => vao (1), ta duge: x+y “ã (6)
lier
` | ) y= 5
£} Tả có: MHI = MCI {cùng bằng sa IM}
Ma MOP =MCI (emi) = MQP - MHI ~2xIMQ
Hai tia QP, QH nằm khác nhía đối với Q1
Suy ra PQ lâ tiếp tuyến của đường tròn (Ó;) tai liến điểm Q 'Chứng minh tướng tự, ta có DQ là tiếp tuyển của đường tròn (O:) lại liếp điểm P,
Vay PQ la tiến tuyến chúng của đường trön (Cụ) và (Õ;}
d) Gọi E, E lần lượt là giao diém cia NM vai PQ vi BC
‘Ca coe PR? = EM EN (41 APEM — ANEP3 QF? = FM.EN.(vi AQEM - ANLG)
Suy ra: PB? = QE’ — PE- QL
gas) va (4), suy Te a oN OP
Do ds: (S [29 (4)
29
(GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI
TP HÀ NANG Lop 4 TACs CAP THÀNH PHO
MON: TOAN Nam hoe: 2008 - 2010
(Thời giúi tầm bài L3 nhất)
C2 + Äuyệu k= 40 16K | Ta cé tif gidc BIMK va ui gidc CIMH nai dp Vậy N,M, D thẳng hằng, 2 Aes
xe ->x' Tự" —VÌ +3uYy(u + v)= nhà c gerne hee ie a a pt ` [4 3 m
Neos See : | =IMII=180” ~ ÁCB ~ [§0” - ABC = IMiK Bài §: Từ A kế AH „ BC ; GK.L BC (H,K< BC) hạ Giả sử hệ nhướng Irình + pa 3 LẺ @nghiểm tecy 14
Hay aW X`—fñX= x*-fix=40 ` nh so eles : i , PRL Ri yee ig = :
ie < — Vậy Mx là tia phần giác củu HME, a Chứng tổ +y + z không đổi
Bài 3: a) /x—2+V6—x =Vx* —8x +24 (1) § Do ti gi i : TU Zé towne x+y+z không đổi
Điều kiên: 22x <6 ‘ K0 VÀ aie CINE nội tiến tục _ 2 _ OK ‘2 Trony mat phiing loa độ Oxy chu hai sỐ y =|x có để thị là (G] Trên để Chứng nành 03c 2Œ L2 ki Beet RB AINE 2 CM Sir Ane AH {G) lấy bai điểm A va B có hoành độ lẫn lượt là — J va 3
Dấu *=” xây ra œ(x =4} =0c>x~4=0c»x =4 Pid = KiM+ HIM = KBMI - HÊM : Š Củ Ù Vẽ dỗ thị (G) và viết phương trình đường thẳng (d} đi quá hai điểm A và B
Xi: ' ST Tờ VÀ ca _Ắ 1 Từ (1} và (2) suy 18: are rr “Tính khuẳng cách 1 gốc lọa độ © dén dutine thang (d)
Phương trình (1) xây ra x TỶ (thỏa mãn điều kiện) ù HCM = IBM (cùng bang 94CM) : SÂN Đi l4: ạ) Cho một điểm P nằm ngoài đường trỏn tắm Ó, kẻ tiếp tuyến PA với Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = 4 Fe TES j Tiong uf, ta dude: A = —— ; lường trồn, Từ trung điểm B của doan PA kẻ cứt tuyến BCT (C nằm giữa B b) Điều kiệu: xy >0 est TEM BF Cc Sục BN “Va D) Các đường thẳng PC và PD lần lượt cất đường tròn tại điểm thứ bai B vi B
1 choos “Mặt khác; PMG +[CM+I[BM= igo” Sang = ĐÈ - Chứng mình DEC =IDPB+CAP và Làm giác PBC đồng dụng tam giác DBP
KV ty T2 [2[y(xiy)+(x+y)]=9xy(D SS PMO - 10 —is0" / \ Bae SP bi Cho tam gidc ABC thda diéu kién BC > CA> AB Trong tam giác ABC
5 } =5xvy+2= 4 or OM ON | OF: Soe Sxoz , Sson s; =] đ@) ly điểm © tuỳ ý Gọi I, J, K lẩn lượt là hình chiến vuông góc của điểm O trên TIỂU) 2(xy} ~5xy+~2=0 ®} F dạ dử si Kimy Ti Du đó k ¢ Ẻ
xy ge 3 tứ gide MPIQ noi vip AM BN CP 5p Sane Se Bie ditng thing BC CA, AB Clifug minh cing: O14 0) +O < BC
Phương trình đường thẳng AH; y~ ; % i
Dễ Ihấy tam gide OAB mông tai O
Ha OH vudne géc vai AB, ta od: mes ke ce
/ J5
5
be 4:4) Ta cé:
} siDEC =—sdDE :sADPE =>sa{DE—CF) saCAR= | lace
Bio tis:-s sa( DRC ¿ CAF) =—sd(DE- ~CF+CP]=sdiDE
bỳ Vẽ các ta AO, BO, CO lần lượt A
‘ (BC, CA tai D, E, F, ta có:
O1< OD; 0) < OE: OK <OF (1)
“Qua O vẽ các đường thẳng song sóng với AB và ÁC lần lượt cắt BC tại các điểm X và Y
Qua X vẽ đường thẳng song song với
Niim hoe: 2049 - 2010 [Thời gian làm bài 130 nháU
SỞ GIÁO BỤC VÀ ĐÀO TẠO
‘TIN GLA LAI
Câu 1: CEứng minh rằng 2'”Ẻ + $°"“ chia hết cho 3,
Câu 2: Chứng minh rằng nếu xw+-/d xP -yy =1,
tì xu1tyÊ~yXI+x” =0 Câu 3: Cho 3 số Mỹ a,h, e Chứng mình bất đẳng thức:
2 B faxb | Ib+e _ eee 1 Hôn Ve ea ab “Vibe” \ ca
Câu 4: Cho phittng tinh: x?—Um-}}+in-3=0, me?
a) Chứng mình rằng với mọi me Z, nhưưng trinh luôn cổ hai nghiệm phñn biệt xị và Xa,
b} Tìm số nguyên m để các nghiệm x¡ và x; cũng lš số nguyên
Câu 5: Trên mặt phẳng tạn độ Oxy od parabol (Pỳ va và đường thẳng
(đ]:y = mx + Ì, me Z2 Chứng minh rằng với mọi m s Z:
a} (d) Inéin cất {P) tại hai điểm phân biệt À và B
h) Diện lich tam giác AOB không nhổ hớn m 12 :
Câu 6: Cho 1am giác ABC vuông tại Á Đường tròn tâm | nội tiếp tam giác ABC,
tiếp xúc với CA và CH lấn lượt tại M và N Đường thẳng MA cắt đường thing
AI tại P, Chứng mỉnh rằng góc IPB vuông
Từ (1) và (2), tì cói 2? +57" chia hết cho 3 Câu 3; Ea có: xy ~ vÚ ~xƑ(l+yŸ =l
“=lx Lyfl+x#a +} = k2 xy? +(1- x°XI+y?}+2xyj~+x°XI+yŸ) 2l
2 # a CS 2M nY 7022/09
(exx?y? tl+K ~y +2xV\J(+X))0+y?) =l eidytexstty? Isla ly y=0
ext by bey (14 x) + 2xyyi(l-x Ml = y7) =0
Ting lu, la eo, et ` vb
[2b Ve) | gì, [ee la)
V be $ ca
bị Ta có: Xx.=m—1+ vmỶÌ—3m~— -4; Ry =m—l—vmÊ -âm~=4
1 đó, với m nguyên các nghiệm x, và x¿ cũng là số nguyên khi và chỉ khi
h tại một số tự nhiễn k thôn mãn;
3m 14—-k eo 4m? 12416 =4k*
4l z-7ca(2m-312kj(2m 3 Aky=—7
ì VÌ (2m=~3+2k)—~(2m=3-~-2k]~4k >0 nên 2m—3- 2k >2am— 3 ~2k
LaF Ask om
Trang 9Vay od hai trường hợp:
- Im-34+2k =7;2m-3-2k=-1
- Im—3+2k=1;2m—-3-2k=-7
Do đó m = 3; k= 2 hoặc m =0; k= 2
Vay m= 3 hoặc m = 0 thỏa mãn yêu cầu để bài
Câu 5: a)] Phương trình hoành độ giao điểm của (4) vĩ (P) là:
Voix = 0th y = 1, nến [d) luên cất trục Oy tại điểm MO ; 1)
Gọi § là diện tích tam: giác AOB
Bast + | ABC = 4ã" IBC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: PIB= PNB
0 đó 4 điểm P, Ñ, I R cùng nằm trên một đường trùn
“Mặt khác ÍNB=90” nêu TB là đường kính của dường tròn này
= IPB =4y!
ĐỀ SỐ 16
KỲ THI CHON HOC SINH GIGI LOP 9 THCS CAP TINH MON: TOAN
Năm học; 24M9 - 2010 {Thòt gian làm bát 150 phút) Aza) Cho x là số thực thôa mãn x* 4x -1-0
SỬ GIÁO DỤC VẢ ĐẢO TẠO TINH TAI DUONG
Tinh gid tri cia bidu dhate: A= x" | ‘
x
Câu 4: Cho đường trên tim © và dãy AB cổ định (' không thuộc AB) P 1a điểm
đi động trên đann AB (P khát A, l) Qua A, P vẽ đường trùn Lãin © tiếp xúc với (O) tại A Qua B, P ¥é đưỡng tròn Lãm D tiếp xúc với (Ö) tại.JB Liai đường
vì—3v+2<=0 aj BE ie u=3 v ty”
, = 2 — ae SS hapa it
trồn (C) và (D) cất nhau tại N (khác P} §iu=l fy aya, fy =4y-1~0, [y=2=5
os y= 3y-x=2 :#=2y-2 lx—3y~2 ä) Chứng mỉnh; ANP ~ BNP 4
=* f 2 ly ie
h) Chững mình: PNÖ =90” e2 ly -áy=2 |y <4y-2=0 'y-24¥6
vel ay x-l |x=Zy-I Te = 2y ]
e) Chứng minh khi P di động thì N luôn nằm trên một cung tron cố dịnh
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hiểu thức sau:
(x+ytl? : xytytx (X+Y+l}Y
weeks 2++2 (thêa mãn điểu kiện)
SAsxt toate tag sys? +) (x=) 14.52 -4—724 Xj, =2+2
Theo giả thiết, ta cd: B=———+— 1 -—— ‘A a em
x eyeye xyz+2zextz 2x tay Wid) 2'4+2"" la s6 lẻ nên Á không là số chính phương
MặI khác: a 3 2 =———-\Ì VỊ 2*"~2** | là số lễ và A là số chính phương nền 2' là số chính nhường
In, a Tính giá trị biểu thức: B=— Ty Sates Ties 2+X— xy Mth nla số chấn, ne” =ne‡2;4;6;8}
fo Š ~ tm +] 2——- 3 me! ee ee Câu 2: a) oH 4y)(2y » la —x}= Be 4yX2y—x)=2 \ (—x}= : Khi đó Á chính phương, 2° chink phiong, suy ra: B-2"° 4257+ ì 3
&$ ĐhŠ+2> Hổ 42m ates Gnd)’ 20 ding) “âu 2; ạ) Giải hệ phương trình: le g y-2y-x=3 (y -4y)x@y-x)=3 Shan xét sd chính phương iä lẻ chỉ e6 thể tận cùng là: 1; 5; 9
: 2 vi ni yy, có R97 0059120111530 7 n
=8x2 (n2 x1z2,|0m+ĐẺ =|m+ V2 eo ! M ` bì Giải phương tình: xỉ ~2x~2v/2x =1 ek 2 ' _ LẮM: d7 00.) 2y~x=v 7 uiv=3 tun3-y hếng ee ©V8ine4—B-2+2?+1~35 (loại) `” "
Câu nụ 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n để A =2” ¡ 2” +2" là số chính phương —_ Vậynz9
60 ae él 62 : x 63
Câu 4: 8) Vĩ (Œ) và (C) tiếp xúc trong tại Á nên A, C O thang hang
Vì (Q) và (C) iếp xúc trong tại B nên B, D, Ö thẳng hàng
Xét (C) có ANñ =SACP
Tam giác ÄCP cần tại C, tam giác AOB cẩn tại Ò nên suy ra:
APC = ABO(=CPA)=> CP OB
ACB = AOB = ANP = AOB (1)
Tương ty, ta ed: DP OA
= SDP = AOB
=> BNP == 408 (2)
Từ (1) và (2), suy ra: ANP =BNP
b) Gọi H là giáo điểm của XP và CD:
[li giao điểm của OP và CD
Theo chứng mình trên, trị có:
CP 7 0B ; BP CO
Suy ra tứ giác CPDO là hình bình hành
Do đá TO =IP
(C) va (D) cắt nhau tại P và N suy ra CŨ LNP (3)
HN = HP do đó HI 1š đường trủng bình của tim giác PNG nên HÍ NO hay
CD # NO (4)
'Fừ (3) và (4), suy ra: NO NP <> PRO =90"
c) Theo chứng minh trên có: ANB = ANP+PNB=> ANB = AOB (3)
Dễ thấy N„ Ó thuộc nữa mặt phẳng hữ AB (6)
Từ (3) và (6) suy ra điểm N thuộc cung trên AOBH của đường trồn ngoại iếp
lam gidc AGH
Do A, B, O cế định nên N thude cung tròn cố định
(x+y+l}
Xy EV+K
Ta chứng mình bất dẳng thức: {x~v~ l}” + 3(xy ~ y +2)
Thật vậy: (x¡ v1} >3(4y ty z)C2(x+w~l)°—Bxy ey tz) 20
%#(K= Y)) +(X TT} +(y =I} =0 (đúng)
Dấu “=” xây ra khi và chỉ khi x= y=z =l
>34-+az3 (vìx.v=t)
No
9
$8.2 10 Peace Su,
Nain hoe: 2009 - 2010 [Thi gian làm bài L30 nhát)
GIAO DUC VA BAO TAG TỈNH BẮC NINH
24 v3 Pauls
sâu L 1) Rút gọn biểu thức: —- TT
lấn 3, Cho đường tròn (O, R) nội tip hinh thang ABCD (AB #f CD), vii B; F:
GH thee a : = điểm của (Ö R] với cáo TÊN AB; BG ¿CD;DA
1) Chứng minh © occas Từ đé, hãy tính tỈ số " Aga” và
a GC 3
BC =3R
-_3) Trên cạnh Œ lấy điểm M nầm giữa hai điểm D và G sao cha chân đường
MiGne gsc ké tir M dda DO la diém K nằm ngoài (Ö, R) Dường thẳng HK cất
Câu 4 1) Cho tarn gidc ABC cd BÉ =a¡ CÁ = bị AB =c và R là bán kính dưỡng tròn
ngoại tiếp thỏa mãn hệ thức R(b + e)= a /bc Hãy xác định dạng tam giác ABC, 2) Giả sử tam giác AC không có góc tù, có hai đường cao ÁH và BE Cho biết
AH>RC và BH> ÁC Hãy tính các góc của tam giác ABC
Câu 5 1) Tìm tất cả các cũp số tự nhiên n và k để (n" ~4”*"] là số nguyên tố,
19} Phương trình đã cho ting đương với 3x”— 3x” — 3x — |
eo dnt ant 43x? txt lee dx? =(x+iP
1
“Ÿ4—-x+tl<+x— —=— , ¥4-1
3.1) Do ABCD = CDA +DAB=180"
Đường tròu (Ó: R) nội biếp tứ giác ARCD nên DO và AO theo thứ tự là phần cia CDA va DAB
2) Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn a” +b° =2 Tìm tất cả các giá trị
nguyên của (a + h)
=1 1 =š '=ÖDA +ÕAD=- (CDÁ +DAB)=90" > AGD=90" > AAOD vuông ở O ing tiv AROC yung dO
ết bác tam giác OÁD và HỌC vuông ở O có cấc đường cao OH va OF cing nên: HA.IID - FBFC = R?
ït khác theo tính chất các tiếp tuyến của (Ö, R), ta có: HÀ = EA; EB = FB
©ẴĂn'=6 060ae»a +tôa-b6=0
Vậy [(4) =(aÌ + 6a -5}””" —f(x)T(a” tốa—6+1}”" 1
Cau 1 1)
Ta clin tim k > 0 khi An và BC = 3R
Vì AB CD và AB, CD là các tiếp tuyến của đường won (0, R) nén
‘OE AB E G=2R
=E,O,G thẳng hàng — x
joc icp ‘eho pee =8C-(Gc-Epy
"âu 2 >;y>0;z>0 PA) ee =—— => EB=
Câu 2, 1) Didu kign (x20; y sẽ ” Mitkk wel be a
65 are ae tvs ;k= a (loai) => oe EN
Ta ed: DH = DG (hai ie tuyến của &: = kế từ D)
* Boas tam gide DAG cin 6D, mi DO Wa phan gide cha HDG SHG 1 DO
MK | DO=> MK HG = KMG =KGẺ
ae y= z> x=y=z=0
= lx- vx=0
ae bạ, la thấy (nh
x=y—z-l
“1
Trang 10
Mặt khác ŒC là tiếp tuyến của (Ó; lÈ) xã góc HLG nỗi tiếp chấn cung HEG
của (O; R} —› [TG = KGC KMö = HTứ => tứ giác K†GM nội tiến (5)
Ngoài ra: OKM =ÖGM ~90” =4 điểm O, K, G, M thuậc đường trồn đường
kinh MO (6)
Tir (5) va (6), sny ra 5 diém O, K, G, M, T thuge du@ng tròn đường kinh MO
=> MTO=90' = OT LMT
Ma T thude (0 ; R) nén MT 1A ti€p tuyén efia (0; R)
MT và MG là 2 tiếp tuyến của (O; R} kẻ từ M = MT = MG
Câu 4: 1) Từ R(b+ec)=avbe = vhc NV
< > OR a (hal dang thite Cé-si)
Ma b,c>Onén ns ata Pte
a
lát khác a4 nên ä =2R
Vậy tam giác ABC vuäng tại Á
2) AAHC vuông tại tÍ => AC > AH > BÉ
ABKC vuông Lại K= BỂ > BK> ÁC => ÁC = À1 BU =- HK—=C=H=K
Vậy lam giác ABC vuông cẩn lại C :
Caius; 1) Bac Ment + 4"
- Khi n chẩn, ta c6 n° chia hél cho 2
Mặt khác 4'“” chịa hi cho 2 va 4! 2 VkeN
Vậy M không lã số nguyên tố
nề ~2?** =n,2*! là sế nguyên, mặt khácon” 4 2% +2v/n 27" sên, 292/2
ni e224! pol! > nk v2 nae! =p! 5 -I>1)
" gies }
Từ (1) về (), suy ta MI là hạp số
Vậy nh +4°*" là số nguyên tế khi và chỉ khi n= | và k - Ö
2) Ta ed: a+b? =(at b)(a* -ab+b*)
Đodó 2=(x 1) + (ysl 7x +y +3x )+y )+3(x Ly)=2
Ề Mà x —xyty +3>U=>x+yS0=ea+b~-22U0su-bé2 (2}
yt!) va (2), suy ra: OSa+be2
lụ đú giá trị nguyên của a + b chỉ có thể là 1 hoặc 2
Chọn ¿= 1 và b= 1, thỏa mãn điều kiện (*), khi đổ a + h =2 Beat b= 1, ta sé chitng ti: c6 a va b thổa mãn
ee {a+b—l aah aoe ker ys & * 1
a¢be2 Lee =2 [a= :
(a:b) Ja nghiệm của hệ (T] khi và chỉ khi ä và b là nghiệm phương trình
Răm hục: 2(HIð - 310 (Thứi giun lầm bài 130 phát]
SỬ GIÁO DỤC VÀ ĐẢO TẠO
‘TINH PHU THO
1: a) Chứng mình rằng A =(2" —IX2" + 1) chia hết cho 3 với mại số tự nhiên n
-b] Tìm số các số nguyên n sau cho H=n—n +13 là số chính nhướng”
; a) Giải nhượng trình xÌ—2x£3=24/2X” — 4x +3 Beat ncpucny ink? © ~'ˆ?
_Tỉnh giá trị của biểu thức: p=[x”” + iy ries = x”"]
.4: Cho đường tròn (O : R) và dây cùng AB cố định, Â#z~—n V2 Biém P di
động trên day AB (P khác Á và B) Gọi (C : Rị) là đường trần di qua P và tiếp _ Xúc với đường tròn (Q; R) tại A, (Ð ; R;) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với 4: R} tại B Hai đường tràn (D ; R.) và (2 ; Rạ) cất nhau Lại điểm thứ hai M
69
a) Trong trường hợp P không trùng với (runtr điểm day AB, chimg minh OM /
CD và 4 điểm C, 2, Ö, M cùng thuậc một đưững tròn
b) Chứng minh khi P di động trên dầy AB thì điểm M di đông trên đường trồn
cổ định và đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N
e) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất? Liệu tích tan giác AMB lớu nhất?
Câu §: Cho các số dương x„y, z thỏa mãn điểu kiện: xy + yz + zx =670
Chứng minh rằng: : |
TÊN tee ee rae i ee
xi -ye+2010) y?-2x4+2010 z?—xv+2010 x+y+z
HƯỚNG DẪN GIẢI Cân L: a) Theo giả thiết n là số tự nhiên nên: 2"- 1, 2", 2" + 1 là 3 số tự nhiên
Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên:
(2'— 1).2"42"+ 1) chia hết chơ 3 Mặt khác(2", 3) = Í nên (2"~ 1).(2” + 1) chia hết cho 3 Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n, b) Ta thấy B là số chính phương nên 4B cũng là số chính phương,
x+2y-0
7 «ay
5x—3y=0 thể (1) ta được nghiệm (x; ¥) la: (25-1), (6231)
]) vũ nghiệm
ly hệ đã cho có nghiêm (x; y) là: (2;—1), (—2; I)
Lived I Câu 3: Từ giả thiết suy ra: x, ¥,z79 va nh
x yY # X†Yy+Z
1 ! =0
ee
IEt-x)(z-w wz xy)=0©(x~y)[z+z]+(z+ x)|=9 (si y)[z(z~x)+y(+x)]=0®(x+y)ầ+z)(z+x]=0
3001 _ „20? V200) 207 xưy=0 |x=-y |X”=-Y x yo
—, z+y=Ù© e724 yo = es 201% m0: — x+z=0 £=-N z _—m 2611 4 32511 =
“TỪ (1) và (2), suy rủ tứ piác ODPC là hình tình bành
“Gọi H là giao điểm của CD và MP, K là giao điểm của ŒD với OP
“Đo đồ là trung điểm của OP
b) ‘Ta cd: OA? +OB* =2R* = AB*
Do dé AAOB vuông cân tại 0
=> AMD COD = ANA AG - 908
Do AB cổ định nên diém M thude dutng won Lam [dutiag kinb AB,
lacé: ACP =DDP = AOB=90"
—> AMP TÁCP ~ 45” [góc nội tiến và góc ở lâm của ¡C))
—>BMP= j BpP =4s" (góc nội tiếp và góc ở tắm của (D}]}
^
To đó MP là phân giác của AM
Mà AMB= AOB =90” nên M thuộc đường tròn (1) ngoại tiếp tam giác AOB
Giả sử MT cắt đường tròn (T) tại N thì N là trung điểm cùng AB không chứa
‘ Vậy PM.PMN lồn nhất là * khi PA =PB bay P là trung điểm của dây AB
Tam gide AMB vudng tai M
nên Su; =2 AM.BM s- [AM + BÀI )= ae
R* nh °
_ Vậy S-uụ lớn nhất là = khi PA = PB hay P fa trung diém cha day AB
H Š: Trước tiên, ta chứng mình bất đẳng thức sau:
Với Va,b,cclR và x, y,z> Ó, tạ có; Bree > (a tba) (®) : ¿2W '# xiV##£
ch mie pe : x(x! — ye +2010} yty? —zx +2010} zfe—xy 1 2010}
x y-z-3xyzlt2010(x+y+z) `
Che x: x(x" —yz1 2010)= x(x” | Xy +Z +1340] >0,
“XỈy ~zx+2010) 6, z(2° —xy + 2010) >0
| Ching minh: x? +y° -z'-3xy2-(x ey + 2x +y l7” XY yz zx}
“=fx+vxzl tái tảo IẾP 2N) ea Nr
v2010 Dấu “=" xảy ra Sayre cee
(Thời gian làm bát 150 phái]
1 Chứng mình rằng bến điểm A, M, E, F cũng nằm trên một đường tròn
2 Gại N là rung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC, Chứng
hai số nguyên tố cùng nhau, Chứng minh rằng cú số được ghi ít nhất 17
Vay hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) là:
(0;4).(—2; 6).(-2;—6), (=5 ¡ 9), (19; 99)
2 Gọi a là xố Jẻ lớn nhất mã a >n,
đó, ta có: n<(a+2}ˆ
4z7 thìa- 4,a— 2, a là các u®: lẻ của n
ÿ rằng các số nầy nguyên tố cùng nhau đôi một nên a(u - 2)(a Ain Buy ra: a(a—2)(a—4}<n<(a+2)"
75
Trang 11
Câu 3: 1 Nhân xéL rằng: Cho tử giác ARCD, P là giaa điểm của AB và CŨ Tứ
giác ABCD nội tiến khi và chỉ khi:
PA.PR =PC.PDb
Ap dụng nhận xét trên cho lứ giác
AMBEC hội tiếp, tì được:
GM.GA = GH.GC
Áp dụng cho Lứ giác BEEC nội HIẾP GÀ
ta được: GR.GŒ = GF.GE
Suy ra: GE.€b = GÀI.GA
De đó tứ giác AMEF nội tiếp
2 Theo kết quả trên, và tứ giác AEFH nội tiếp suy ra XI năm trên đường tròn
dường kính ÀH
Do dé HM LMA
‘Tia MH efit lai dưỡng tròn 4O) tại K, khi đó AMK —90” nên AK là đường
kính của (Ö)
Ti dé suy ma: KC LCA, KB BA = KC // BIL KB Y CH
= tứ giác BIICK là hình hình hành = KIT di qua diém N
Khi dé M, H, N thing hàng
Trọng tam giác GAN cú hai dudng cao AD; NM cdt nhau tai H oén H là trực
tâm của tai gide GAN GH 1 AN
Chitng minh: (a + Bí cXe+rn)=c`(a - bỳ1aŸ(h~ c}+hỶ(c+a)+ 2abe
Ap dụng bất đẳng thức Cô-si, Bunhinedpski SchWarz, ta dude:
Wc+a z|tvn+b =+avbic, ——
+ Từ đó theo KẾT tấc DữichieL có mật số guất hiện ít nhất 17 tắn
DỀ SỐ 2n:
KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỨP 9'THCS CẤP TỈNH MON; TOAN
Nam hoe: 20 - 2010 (Thời gian làm hài 130 phát)
SỬ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO _ TINH 8iNH BINII
Ri 1 L, Giải phường trình: x” 12/81— 7x” — l8
2 Chứng minh rằng tổn tại một số chia hết chu 20U9 và tổng các chữ số của
ng 2010,
|2: Chủ phương trình: x” - 2mx + 2m —]'=D 1) trà là tham số)
a Tìm m để phường trình (1) 66 bai nghiệm đương phân biệt,
3 Vái gid ty ĐẦU clam a ay trình (1) có hai nghiệm phan biét x), x2 nãn hệ (HỨc: xị + x)— KỶ =-2
BÀI 3: |, Tìm x, y dé biểu thức P địt giá trị nhẻ nhất
P=3x)+11y) -2xV—2x+6y—]
2, Chủ đa thức POQ bậc Š có các hệ số nguyên, Biết răng Púx] nhận giá trị yới 4 giá trị nguyễn khác nhau của s, Chứng minh ring:
Voi mọi xe Z thủ Pội) không thể có trị số hằng 201
Bồi 4: Cho làm giác ABC, điểm M Ở trong lam giác, cắc đường thing AM, BM, CMI lĂn lượt cất các cạnh HC, CA, AB lại P, E, Q, Kí hiệu Sa¿c là diện tích
tam giác ABC,
- Chứng mình rằng: MA,RC — MB.CA+ MC,AB 245,,,
)3
S3 Xác định vị trí của M để điệu tích tran giác PO lửn nhất
PHi 5: (Chị: ä, ö,c là các số dương thủu mấu hệ thức ạa + h+e = Gabe
Bài 1: 1 Điều kiện: xe
2, Xét số A = 6027602760271 6027 (134 nhóm 6027) '=6027.10001000601 0001 (134 số L)
= 2009,3.1001 1001 2009 Tổng các chữ số-của A 1a (64042 + 7).134 = 15,134 = 2010
Vậy tổn tại một số A chia hết cho 2009 và tổng các chữ số của nó bằng 2010
Hài 2: xŸ —2mx + 2m” ~I=0 (1)
AsO 1 Phương trinh (1) ¢6 bai nghtém duting phin biét <>) P > 0
: Ý8/ 0L 3
i - Ề -1it) 5 +3 Gyt) 235 2 2 Bae
] _#rÌ x=-
= te 4 4y4+1-0 Dau “="xdyra
a
Ta thức P(x) nhận giá trị 2003 tại 4 giá trị nguyên khác nhau của x, hay
g trình P{) = 2003 có 4 nghiệm nguyên xị, x¿, Xạ, xạ phâu biệt
ông mất tính tổng quát giã sử xị > x; > x; > x
P(x) là đa thức bậc 5 nên P(x) cd dang:
fk)=n,x ta x +4.) +ayx) tay +a,(a, €Z,i=0,5) P(x) - 2003 =(x x, Xx— xXx, - x, a,x $b) (bE ZH Bid si? (On tai xy EZ; P(x,} = 2010
Câu 5: Trên mẫi hình vuông con kích thước 2 x 2 chỉ có không quá 1 sé chia hét | Chứng mình rằng; đa can th = Sa Meee >2 so m(2m* —3) =0<> m=0 (do In’ - 3< 0} awe | Sam = 5 AM(BH+CK)s 5 AM(BP+CP)= A AMLBC
cho 2, cũng vậy, có không quá I số chia hết cho 3 $ ụ MAN
76 FE 78 79
2, : * Giải hệ Œ), ta được: 1=—I+ v3 <>x=—I~ v5
rưếng dự, tx 28 Shige + Saye Se MOAB _Đấu “=” xiy ra eiab=ts Ne ĐỂ SỐ 21 : Hi DI teak = STINE cos ly
tS amar Same 5 vn 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ BẢO TẠO KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIẢI Giải hệ (H), ta được: L— 0> x— —4 3
RM _ Sus = Save _ Saws +3 ite: ae đun Ga Š
MB Sau Seve Sioun + Sune: Saun Sy, ist
MQ bỆ ME Sauce
Tưởng tự, La cổ: — — = >
ey MỸ Sane + Sona “MA "Saas Siu
Samy Suen MQ MR _ os Sanna
Mặt khác — 6 - Paes Dues, BO ia
Sant: No Suục Me" MB SN gutŠ Pane Sauce +8 ane
* Suara ABMS ước
*“S————_ ==——- 2S at Saye San hip Sanu Saye
amit + Sean \Gxuc - Š Sant )
== (Sis + Sama! Saau + Saute + Sun * Sane }=~ 4
Uấu “=" xảy ra S Says Saggy =Senc Mla trạng tâm của Lam giác ABC,
Vậy Su đạt giá tủ lớn nhất là 2a khi MỊ là trọng 1am eta iam giác ABC
Bài 5: I Ap dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, 1a củ:
Re a et px ee Oe bok x's oer “Es —
A :, bất đẳng thức C0-si với 2 số tae fo:
TY Y+t# 24K
ve ve vụ Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 3ÍV8+ VB +
Vy} -{u t[1! y), đại được Năm học: 2809 - 2010
(Thời gian làm bài T30 phá)
Cân 1 Giải phương bình: s16—8x—3” =x” +3x—4 Cầu E1 Cho 2010 số thực nụ, ảz, s, 8xra hồn man điều kiện:
Ay Hay Luu† Bay =9
at al + Bags =!
1
Chứng minh rằng 2010 số trên, có hai số có tích không vưựt quá “sig
C4u IU Trong tam gide ABC, cdc diém D, E, 0 tướng Út ứng nằm trên cắc cạnh
BC, CA, AB sao cho: AEP = BED; BDE- CDẼ và CED = AEF
a) Chứng mình rằng: BDF = BAC
hì Cho AB = 5: BE =8 CA = 7, Tinh dé dai doan BD
ieee, Eee \ Câu IV Chứng mình rằng phương trình: š su ca et có hữu hạn
nghiệm tự nhiên ` i
HƯỚNG ĐẪN GIẢI Câu vl6— 8x - 3x) = xễ tầx—4 (1)
Kei hop vai (4), ta cd he: ee ‘ee )
Trừ từng vế các phương trình và biến đổi thành: (% - U(x~ L4) -Ũ
wes NA ete re
TẾ) Tương tự như trên, ta có: tp eek
Ti a6, suy ra; ABDF ~ ABAC ; ACDE ~ ACAB ; AAEK - AARC
med BAS CD CA 7 /AB AB 5
PBF BC 0 CC Cũ 85 AF ÁC 7
Suy ra tn tai các số đương k, 1, m dé:
5k; BF=8k;CD=71;CE=81; AE=5m: Al'=
hà đó, ta được các phường trinh:
5k+71=8(1) 7m + 8k = 5 (2)
5m + 8i= 7 (3)
“Giải he (1), (2) va (3), ta được: k= 3° BD="
Trang 12Do đó y nhận khéing Idn hon 27.2010? giá trị
Cuối cùng, nếu x, y đã nhận được thì tưởng ng có nội giá Uị + xác định bởi
22010”
phương trình đã cho Như vậy tổn tại không nhiều li 2ˆ 3010” nghiệm tự nhiễn
thỏa mãn điểu kiện x<y <7
Vì đếi với các nghiệm dang này, nhữ sự hoán vị của x, y, z dẫn đến ti cả các
nghiệm còn lại của phương trình đã cho, nên số cúc nghiêm của phương trình nói
chung vượt quá 6.2.2010”
Vay ta có điểu phải chứng mĩnh
ĐỀ SỐ 22
PHÙNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO — KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GEI
TP ĐÀ LÁT LỚP 9 THCS CAP THANH PHO
TINH LAM ĐỒNG MON: TOAN
Nam hye: 2008 - 2010 (Thi gian làm bai 150 phut) Câu 1: Phân tích thành nhần tử: x`— 19x - 30
Câu 2: Chứng minh: n'-n chia hết cho 6 vii mgi sé nguyen in
Câu 3: Cho AABC vudng wi B, BH_AC (He AC}, M là rung điểm của BH
Gọi K là điểm đối xứng của € qua B Chứng minh ring: AM | KH
ABC CÀ ine co
2 AB+ BC
Cân §: Chứng mình rằng {ay ~bx) - (a? + wx ~y'}-u +h}
Câu 4: Cho AABC vuông tại A Chứng minh: tự
F “h6 6 =(x+3Xx” 3x-IU)=(x‹3)@+2)6x 5}
bud: A= ten =(n- ninth)
“Chứng minh A2 và A‡3 => A 6
L3: Gọi N là trung điểm của HC, chứng minh MỊN L AB
“hứng ranh M là trực tim AABN => AM 1 BN
2 bè» og eM Sae? ontcriceieetL LIÊN Tế
se I 41 betb+! Pees btl+be be-b+l be+lib
c be h be b ] b be 1+ b+hbe
= M —= =-=c-= =
be+b+l he-b+l be+btl be+b+l Câu T: Vẽ G@'C AB => ABO'C là hình chữ nhật => AB = ÓC
=0C=vJ002-0CẺ ner {R-ry
= AB- 00" —{R -r)’
OO'> Rar => 00" > (R48)?
= ABs J(R +r) (R- ry
=> AB> V4Ri @ AB > 2VRr Câu 8: Gọi ú là ước chung lớn nhất của 9n + 2 và lãn+3 ;
(9n + 2d _ ( đón + 8J/4 (2n + 3:d (ồn + id
M415 = 49 => a= 2010
Nam hoe; 2008 - 2010 (Thời gian làn: bài 130 nhúu À1 1; Tim nghiệm nguyên dưỡng của phương trìnH:
_ 6 tim tring vdi gc toa đệ và có bán kính bling 2
“Vậy nẾ— nỶ + 2n’ + 2n? vdineN va n> I kh6ng phai là số chính phương,
ĐỀ SỐ 23
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO — KỲ THCHỌNHỌC SINH GIỎI : HUYỆN AN NHƠN LỐP 9 THC§ CẤP HUYỆN TINH BINH BINH MON: TOAN
3: Tìm cáe giá trị của m để đỏ thị hàu! số y = mx = 3 tiến xúc với dường Ir ùn
Bài Š¡ Cho góc vuộng xÁy và dudng ion tam O tiếp xúc với Ax, Ay lần lượt tại
P và Q Gọi d là một tiến tuyến thuy đổi của {O) Gụi a, p q lần lượt là các
khoảng i ty A, P, Q đến đường thang ud Cininy minh vip khi d thay đổi
Hài 3: Giả sử dường thẳng y = mx + 3 tiếp xúc với (Ú: 2) tại À
Dễ thấy đường thẳng y = mx + 3 di qua B( 0; 3)
= BP.CO= [ m== | (=) _BŒ” - AB? -ÁC! +2AHRAC _ AB.AC
MÙN: TUẦN
Nam hoe: 2009 - 2010
(Thời giam khm bài 150 phủt)
Bỉ 1: 1/ Tìm số tự nhiên có hấn chữ số, biết rằng nhân số đó với 2010 ta được lột số chính plhương
a) Chitag minh: CE / DE,
bỳ Xác định vị tri của cát tuyến CAD để CD cú độ đài lớn nhất,
2/ Cho tình vuông ABCD với tâm E Gọi M là trung điểm của AB Trên cdc
cạnh BC, CD lắn lượt lấy bai điểm G, H sao cho hai đường thÏng MŒ và AH song song với nhau Tính số đo gác GEH
3/ Cho nửa đường tròn (Ö) đường kính AB = 2R, một điểm M đi động trên nửa đường tròn đó Vẽ đường tròn tâm E tiến xúc trong với nữa đường trồn (O)
tại M và tiếp xúc với AB rại N, Đường trùn (E} cất MA, MB lẩn lượt tại các điểm thứ hai là € va D Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường trên (G) thì đường thắng MN luôn đi qua một điểm cố định
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: 1/ Gọi số Lự nhiên có bốn chữ số nhải tìm là: n
Theo dé bai, ta cé: 20100 = a? (ae N) hay 2.3.5.67.n= a"
- Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyễn tố với số mũ chẩn nên n=2.3.5,67.kˆ(k =N)
*Vdik= Lthin= 2010
* Vái k=2 thì n= 8010
# Với k z 3thìn = 18090 (loại)
Vậy số phải ñm lä 2010 hoặc 8010
2/ -Vđiíp=2 tà 2°+pˆ =8 không phải là số nguyễn Lố
Moi hiệu trong ngoặc đều chỉa hết cho (n — 1) nên À ? (n ~ l)
Pie TA se ˆng với mọi x, w khác 0 vi;
Xết 3 số tự nhiên liên tiếp: p— Lip: p+ 1 trung đó có miệt số của hết cho 3,
I=3?—~2?+2—]=l;{n—I}) =(2-I} =¡
l1 — — ery oie! (1) suyra ä » 1b > 1, các căn thức Va—l và b—l tổn tại
2c>a+bh~ a+b+2 va =I)(b—I) Ủúb— -2=(va fe 11 b—1)
9]
Trang 13
2
l 2 0 os hs Dân Tú g TH) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ BẢO TẠO — KỲ THICHỌN HỌC SINH GIỎI Š 3
5 ay ` Ts pees Oe eg ee HUYEN CAUKE LỚP 9 THCS CẤT HIYỆN Rec: Ae ee ae
sty -ay=[x-Z] yee cs 7” Wee ae poe TINH TRA VINH MON: TOAN : 5
Vay BRT (1) di due chitng minh Diu "=" xdy ra khix=y 70 _ Dung Kx # ME và cắt EG tại F Theo định Lý Talet tà có: ST ; vi ‘ \ (fet aa ae
2 s ` “ MB MG _ ME : [Thời gian làm bùi 750 phí] 2 4 4
3/ XLO < x< l,ta áp dụng HĐT Cô sĩ chủ hai số dưỡng x` và xÌ—x” ta có: ——=——=-——=KC-KF (1 L
x : revel faxtel x 3 RG UK KF = Dầu "=" xảy rà c> Vx =0 x=0
wú-x)s ST ` ix ` pecs: Bar 1: Cho bidu hide: Aw | 22 a + Se Wy Max A = 2khi x =0
Chứng minh tưng tự trì cũng có: ——: 2v1;- aie : | — NH=KC (2) a) Rút gọn biểu thức A ":- v3 + ] thì hệ (T) trở thành: sẽ +(e y=
yil~# vị _Tử(1) và (2) suy ra NH =KF, b) Tĩnh giá tei cha Á khi x=7- V6 :
Áp dụng các BDT trên ta có: Mặt khúc: HK = EN = AM e) Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất? (I-v3)|3x+ | =0 ote be | etd
3 z Sa = ` -l)x+2y=l =
-—— _——':—- “MS " Bài2: Cho phường tình: 4 2È ySÌ m (3x tây =Í pm! lì
vI-x? yley’ vi-e => iE - HE & EHN = HFK, 3x+ay=l
Seats oti = a =>2(x'+y je yao: i es Do dé: ENF — 1802 — [EHN + FHK | = 180? — 90” — 00 a) Giải hệ () với a = +/3 + by iL) ayer pene AIS &@
mm MS aS , 3/2 v2 ` bỳ Tìm các giá trị của 4 để hệ (1) vũ nghiệm, (3x tay=]
= AEHE vuông cần, suy ra (IEH- 45 Bài 3: Cho tam giác ARC (AC > AB), trung tmryến AM, điểm N‹ AM, (điểm N
._3 Kẻ tiếp tuyến chung Mx của hai đường tròn (O) và (E) nằm siữa Á và M), vẽ đường iron (©) ed đường kính AN ị
a) Giại E là giao điểm của phân giác trong AD với (0), gol E là giao điểm cầu
phân giác ngoài góc A với (CO) Chứng minh: EF là đường kính của đường tròn (Ö)
b) Đường tru (O) cắt AB ở K, cất AC ở H, KH cất AD ở1
Chứng minh: FK” = FI FA
2x’ xi
v2
pir ives, \xHÁ= MBÁ (2 sdHMA
Tiến là 58Y mg ca yÌ =I-y` sẽ Đyể = Lc»y === (Wx,v,z>0 Tạ có: xMA=MBA (= 258đ MA),
2 3 es Ì
t—|=~z {32+ =le>z=—
Brolez 3z =Ì€z 5 ]
_ Nên MBA - MDC < CŨ Z AB
â 3 I Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O ; 2) Chứng mình rằng tam i : e đợt
Vậy: Pu„£ —=OX=Y=Z=- + ; ` 4 : Anh = 5 sức kế bù đỉnh Á nên AE L AE EAF =90Ẻ
sả a ae : v2 Vì ÁH là tiếp tuyến của (E) tại N giác này có diện tích và chu vỉ bằng nhau về số đø? F
=> EAF=90”là góc nội tiếp chấn nữa
đường tròn
Hay EF là đường kính đường tròn (Ö}
nên EN ! AB, : 2y=š (ly
mà C1? AB nên EN ! CŨ Bài 3: l/ a) Ta có C thuộc đường tròn (O) đường kính AB, đa đá ACE =90" hay
D thuộc đường trin (O*) đường kính AF, do dé ADF -90" hay DY CD Khu no ee nợ tek Leah aaa aa b Xót AAKF va AKIF có
'Từ đó suy ra E / DE Ì => CMN=BMN > MN là tia phan giác của góc AMB, ý 20035? 2006” 'KAF= ÏKF (KÈ_FH)
b) Ke OT | CA( e CA) _MN cắt đường tròn đường kính AB tại K Tiến bữa £:TẤT#njŸ dây (0020/lÔ HH
`" ‘Ai Vi cal eles hs sa aid: DK: 1 AF =AIl+fIF— AH+EK và AKI'= 9A;
Gre CAN SAO) khilkiAWi- ._ lại có góc AM không đối bằng 90° nên sử AK = 90' không đổi mà A cố định Bài 0 s v fo lh ae XU 7 ⁄ =
= ñiên K cố định : : c 4 BÁC eres) VE xxx —Ï “Ye-l Kt = s0( ANF) cản tiến đan
i AD Vay MN luên đi qua điểm cố định K là điểm chính giữa của nửa đường tròn 2
XA =KD = —— nên CD= = 21K 2 đường kính AB còn lại, h Si ÉP 23 HS ¡Ai L- 2 12 3 : PK FL
su ¿00 (Wx Fat it) x+AX+I “én AKF- RIF - AAKF~ AKIF =" = co HK? =FAFI
„Xét AAKF và AACM có:
SÂN Lo 0 xẻ ae vi : = +8 +4 eet HƯỚNG DẪN GIẢI Vậy A lớn nhất khú và chỉ khi lỔn tại số nguyên dương m (0m Z30) và số
ø : : Bài L a) Điều kiện: x30, x #l guyên dưỡng n sao cho trong 30 số nguyên dương đã cho có m số bằng n và
NCM = ĐNHM EPA ewe s bg mm sé bk 1
{Cùng đường cao và cạnh đáy bằng nhau} 23 3.4 ao 2006 F =| (xx~2 Sa l# và t2 2) - =vx-x 4 oe os
ae en 2 1 tất _A) (2005 2906) a #š 11 Ch A (3) = 30n + 30—m = 2003 = 30n < 2003 < 30{n + l) => ñ =66, m = ?
Ap dung tính chất đường phan gide: “2 « 3 (2) ; 1 ) 50] <ontedx-Lelenenct 5,8) Ấp đụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC và AOP ta cũ:
Từ (1) và (2) = NH.CD = NK.BD c)Ta có; P= fe _ - 3} -[-;, JS Do dé: 4D0.DP = 44D" = AB’ = BH.BC
Bai 4; Bat chu vị Lam giác one là 2m; É số 4 4) 4 C7 b) Gọi N 14 giao điểm của CP và AH
bán kính của đường tròn nội tiếp là r x ee eal DE SO 26 Bài 2 Diễu kiệm ~1<x<0, x >1 Chứng mình N là trrng điểm của AH
Gọi D, E, F lầu lượt là các tiếp điểm HÙNG GIÁO ĐỤC VÀ BAOTAQ KỲ THÍ CHỌN HỌC SINH GIỎI FT IU+V=x 1-x Ta có: N=E
của (O] trên các cạnh BC, CA, AB | QUAN CAU GIAY ‘ LOP 9 THCS CAP QUAN Ỳ Dat u=,|I——, V = (u, v>0) => ox alk eae ig ee Ÿ pie
$ ¢) Tam giác AOP vuông tại À
OD L BC: OE | AC: OF | AB ‘ : Nam hoc: 2009 - 2010 apr ee RR 2a rE Ôn :
: ` ) — Vậy nhương trình đã cho có nghiệm là: x,ạ =——-' ! X: =———- oR, ; nae —R
Sanc = Spoc +S con + Sans => OD(BC +CA + AB) ae 7 2 2 =0D- 1 ; AD? = 3 d 3
(| KeL x+2/x+1j\ j2 | Bai3: x°4+y?-2" <xy+3y 4 27-3
Vậy tam giác ABC có diện tích bằng chữ vị (vỀ số đu)
Hài 5: ä Từ (13 => x = 5 — 2y, thế vàn (2]1a được:
2 Giải phương trình: x= fudge Koa
Vrs te z=l=>(2x—y¥ - ly —2F <4 3ty-27 <4 G-#=0 |? =3 (y-2y=1
yal
3 Tìm các số nguyên x, y, z thôa mãn: x` +y` + z` < xy-y+2z -3
4 Cho 30 số nguyên đương, XỊ, Xa, Kae + Xại CỐ tổng bằng 2003 Tim gid trị
I! nhất của tích Ä = x,x;x, yp - Nếu y = I thì (2—l) +1 (loai)
*Nếu y=l=>x=5—2=3; 5 Từ diểm P nằm ngoài đường tròn tâm O hán kính R kể hai tiếp tuyến PA, - Nếu y =3 thì 42x” <4€x=] b
*Nếu y=2=>x=5—22=L B Ni =f oe _ n vuông góc hạ từ A đến đường kính - Néuy = 1 thi (2x -3¥ <1 (loai)
f aa ay Rp Db J FG ln it song song vidi BC, CA, AB (G, 1 BC, E, FeCA; 1, Te AB) eo | 7% (edu ka + %q leo) Bete 3° Samir * Socua + Scam 5 3 fae
Chitne minh rine © 1 € aie 5/58 Peso — sol =1 (ned Xoo + Xn Tet)