LUẬN án TIẾN sĩ một số vấn đề TRIẾT học TRONG sự PHÂN TÍCH đối TƯỢNG của TOÁN học

Trong thời đại ngày nay không một ai có thể nghi ngờ về vai trò quan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triển của khoa học, kinh tế và kỹ thuật v.v... Chính sự thâm nhập ngày càng sâu rộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằng chứng sinh động nhất để khẳng định điều đó. Đặc biệt, khi loài người bước sang thế kỷ XXI, thì nền kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnh hưởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế. Đặc điểm nổi bật của nền kinh tế tri thức là vai trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệ trong sản xuất và vị trí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách là nguồn lực cơ bản tạo nên sự tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nền kinh tế. Do vậy, việc sử dụng toán học như một công cụ không thể thiếu được trong nền kinh tế tri thức là một thực tế quá rõ ràng.

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong thời đại ngày nay không một ai có thể nghi ngờ về vai tròquan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triểncủa khoa học, kinh tế và kỹ thuật v.v Chính sự thâm nhập ngày càng sâurộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằngchứng sinh động nhất để khẳng định điều đó Đặc biệt, khi loài người bướcsang thế kỷ XXI, thì nền kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnhhưởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế Đặc điểm nổi bật của nền kinh tếtri thức là vai trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệtrong sản xuất và vị trí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách lànguồn lực cơ bản tạo nên sự tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nềnkinh tế Do vậy, việc sử dụng toán học như một công cụ không thể thiếuđược trong nền kinh tế tri thức là một thực tế quá rõ ràng

Thực trạng trên đã chứng tỏ rằng, toán học có vai trò to lớn trongnhận thức khoa học Nhưng lý do nào đã làm cho toán học có được sứcmạnh đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt là ở chỗ, đối tượng của toán học

có những nét đặc thù rất khác biệt so với các đối tượng của các khoa họckhác Chính vì vậy, hơn lúc nào hết, chúng ta phải phân tích được một cáchđúng đắn, nghiêm túc và rõ ràng bản chất của đối tượng toán học từ lậptrường của chủ nghĩa duy vật mác-xít

Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xãhội, của khoa học và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bảnthân các đối tượng toán học đã không ngừng phát triển từ đơn giản đếnphức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng ở trình độ caohơn Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối

tượng toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toán học trên cơ

sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉđối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội

Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tượng của toán học là các quan

hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực, chúng ta điđến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tượng của toán học dù cótrừu tượng đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực khách quan và mọitri thức toán học đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng đắn, sáng tạo hiệnthực khách quan Đồng thời, cũng xuất phát từ quan niệm cho rằng, đốitượng trực tiếp của toán học là hệ thống những khách thể lý tưởng trừutượng, không tồn tại trong hiện thực khách quan, mà giữa các trường pháitriết học khác nhau, thậm chí cả trong giới toán học với nhau đã diễn rakhông ít các cuộc tranh luận về bản chất của đối tượng toán học cũng nhưvai trò của toán học trong quá trình nhận thức Vì vậy, vấn đề đặt ra trongluận án luôn luôn là một vấn đề mang tính thời sự không phải chỉ riêng đốivới toán học, mà là đối với tất cả các lĩnh vực khoa học nói chung Từ đó,việc làm sáng tỏ những vấn đề triết học khi phân tích đối tượng của toánhọc sẽ góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trò của sự phát triển toán học nóiriêng và khoa học nói chung, đáp ứng các yêu cầu hiện nay của cuộc cáchmạng khoa học và công nghệ hiện đại Đồng thời, việc làm đó cũng chính

là cơ sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức toán học với thựctại khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị nhận thứccủa toán học thông qua đối tượng của nó Điều này phù hợp với nhận xétcủa Lênin: "Tất cả các trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, khôngtùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn"

Chính vì những lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài "Một số

vấn đề triết học trong sự phân tích đối tượng của toán học" làm đề tài cho

luận án của mình

2 Tình hình nghiên cứu đề tài

Những vấn đề triết học được rút ra từ sự phân tích bản chất củacác đối tượng toán học đã được các nhà kinh điển của chủ nghĩa Mác -Lênin đề cập đến trong các tác phẩm của mình Cụ thể nhất là, Ăngghen

trong các tác phẩm "Chống Đuyrinh", "Biện chứng của tự nhiên", C.Mác trong các tập "Bản thảo toán học" Lênin trong các tác phẩm "Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán" và "Bút ký triết học" Nhìn

chung, trong các tác phẩm kinh điển nói trên các tác giả đã đề cập đếnnhững vấn đề triết học trong toán học nhằm chỉ ra mối quan hệ của các trithức toán học với thế giới hiện thực, khẳng định vai trò tích cực của toánhọc trong nhận thức khoa học, đồng thời phủ định các quan điểm sai lầm

về bản chất của toán học

- Trong điều kiện hiện nay, các sách xuất bản ở nước ngoài có các

cuốn của các tác giả Liên Xô (cũ) như A.Nưsanbaev và G.Shliakhin: Sự phát triển của nhận thức và toán học, Nxb Kazacxtan, 1971 G.I.Ruzavin:

Về bản chất của tri thức toán học, Nxb Tư tưởng, Matxcơva, 1968.

- Ở nước ta có một số tác phẩm của các nhà nghiên cứu toán học vàtriết học, điển hình là:

+ Giáo sư Phan Đình Diệu với các bài phát biểu về "Những vấn đề triết học của toán học", Viện Triết học, 1993.

+ Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn với hai tập "Phương pháp duy vật biện chứng với việc học, dạy và nghiên cứu toán học", Nxb Đại học Quốc

Ở đây, tác giả của luận án không đề cập đến tất cả mọi vấn đề vềtriết học của toán học, mà chỉ trên cơ sở của các tác giả đi trước, đi sâu vàotìm hiểu những khía cạnh triết học, chủ yếu là giá trị nhận thức thông quaviệc phân tích bản chất của các đối tượng toán học.

3 Mục đích và nhiệm vụ của luận án

Mục đích của luận án là làm sáng tỏ nguồn gốc và bản chất của đốitượng toán học từ lập trường duy vật mácxít, đồng thời chỉ ra vai trò củatoán học trong nhận thức khoa học trên cơ sở phân tích đối tượng của toánhọc và những yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển của đối tượng toán học

Để thực hiện mục đích trên, luận án tập trung giải quyết nhữngnhiệm vụ sau đây:

- Phân tích và làm rõ bản chất đối tượng của toán học, chỉ ra được mốiquan hệ chặt chẽ giữa toán học với thế giới hiện thực cũng như giữa toánhọc với các khoa học khác theo lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng

- Phân tích vai trò của tri thức toán học đối với nhận thức khoa họcthông qua các quan điểm khác nhau trong lịch sử triết học cũng như thực tếvận dụng của toán học trong các khoa học cụ thể

- Phân tích những ảnh hưởng của hoàn cảnh thực tiễn xã hội, khảnăng phát triển nội tại cũng như các lĩnh vực hoạt động khoa học khác với

tư cách là động lực của sự phát triển toán học Từ đó xác định được conđường biện chứng của sự phát triển các tri thức toán học

Phạm vi nghiên cứu của luận án: Luận án chỉ tập trung phân tíchđặc điểm, bản chất của đối tượng toán học qua các thời kỳ phát triển khácnhau, từ đó làm rõ những ảnh hưởng của toán học - xét từ khía cạnh đốitượng của nó đến sự phát triển của nhận thức khoa học

4 Cơ sở lý luận, thực tiễn và phương pháp nghiên cứu của luận án

- Luận án dựa trên cơ sở lý luận là quan điểm triết học mác-xít về vịtrí và vai trò của các khoa học đối với quá trình phát triển của xã hội.

- Luận án được trình bày dựa trên thực tiễn hoạt động của các nhàtoán học qua các thời đại lịch sử khác nhau, dựa vào các tác phẩm kinhđiển, sách báo, tạp chí, những công trình khoa học trong nước và ngoài nước

- Luận án vận dụng phương pháp luận chung là phương pháp duyvật biện chứng và các phương pháp khác như mô tả, phân tích, tổng hợp,lôgíc và lịch sử, so sánh v.v

5 Những đóng góp về mặt khoa học của luận án

- Luận án góp phần làm sáng tỏ và sâu sắc bản chất đối tượng củatoán học trong quá trình lịch sử phát triển của nó

- Xét từ khía cạnh đối tượng của toán học, luận án góp phần làm rõvai trò của toán học đối với sự tiến bộ của khoa học nói riêng và với sựphát triển của nhận thức khoa học nói chung, từ đó rút ra được những nétđặc thù của việc vận dụng các phương pháp toán học đối với các khoa họckhác

- Luận án bước đầu làm rõ những yếu tố cơ bản tác động đến sựphát triển của toán học cũng như nhu cầu nội tại của sự phát triển toán học

6 Ý nghĩa của luận án

- Những kết quả nghiên cứu của luận án đã góp phần làm sáng tỏquan điểm khoa học của chủ nghĩa duy vật biện chứng về sự khẳng địnhtoán học là một bộ môn khoa học rất hiện thực Từ đó làm rõ vai trò củatoán học trong nhân thức khoa học

- Luận án có thể dùng làm tài liệu tham khảo trong nghiên cứu,giảng dạy và học tập các bộ môn Lý luận Mác - Lênin, đặc biệt là triết họctrong khoa học tự nhiên ở các trường đại học, cao đẳng

- Luận án có thể dùng làm tài liệu bồi dưỡng giáo viên, nhất là đốivới những giáo viên giảng dạy và nghiên cứu toán học

7 Kết cấu của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận

án bao gồm 3 chương, 7 tiết

Chương 1

QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG

VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TOÁN HỌC

1.1 SỰ PHÊ PHÁN QUAN ĐIỂM PHI MÁC-XÍT VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TOÁN HỌC

Theo quan điểm duy vật biện chứng, đối tượng trực tiếp của toánhọc là các hệ thống những khách thể tinh thần trừu tượng, không tồn tạitrong hiện thực khách quan, chúng phản ánh nội dung phong phú của toánhọc Chính điều này đã tạo ra một chứng cớ cho chủ nghĩa duy tâm khẳngđịnh tính thứ nhất của tư tưởng và hình thành quan niệm duy tâm triết học

về toán học Bởi vậy, trong lịch sử phát triển của khoa học không phải ngẫunhiên mà số lượng những nhà toán học nổi tiếng, thậm chí rất lỗi lạc lànhững nhà duy tâm triết học lại lớn hơn rất nhiều so với số lượng nhữngnhà duy tâm của các khoa học tự nhiên khác Điều này cũng dễ hiểu, bởi vìcác khoa học tự nhiên như Vật lý học, Hóa học, Sinh vật học v.v khác vớitoán học ở chỗ, đối tượng trực tiếp của chúng là những khách thể vật chất,chứ không phải là những khách thể tinh thần Trong các khoa học đó, cácđối tượng của chúng tồn tại trong hiện thực khách quan, vì vậy chúng đượcxem xét dễ hơn rất nhiều so với đối tượng của toán học

Xuất phát từ quan niệm về tính thứ nhất của tư tưởng, triết học duytâm đã khẳng định rằng, các khách thể toán học trừu tượng tồn tại độc lậpvới thế giới vật chất, có trước thế giới vật chất, thậm chí sinh ra thế giới vậtchất, do đó đối tượng trực tiếp của toán học không liên hệ gì với hiện thựckhách quan Chẳng hạn như Platôn quan niệm rằng, những khái niệm toánhọc ở vị trí trung gian giữa thế giới của các vật có tri giác và thế giới củanhững ý niệm, đồng thời chúng là những hình bóng yếu ớt của những ý

niệm đó Điều này chứng tỏ rằng, triết học duy tâm đã đưa ra cách giảiquyết vấn đề mối liên hệ của toán học với hiện thực khách quan hoàn toàntrái ngược với triết học mác-xít Ví dụ, theo quan điểm của Hê-ghen, tất cảcác định nghĩa toán học và mọi sự phân chia các đối tượng thực tế do ýthức thực hiện đều không phù hợp cho bản thân đối tượng, mà được ý thứcđem đến một cách tùy ý và đều ở ngoài các đối tượng đó Ông khẳng địnhrằng, các số kết hợp lại và phân chia ra như thế nào, điều đó hoàn toàn chỉphụ thuộc vào sự giả định của người nhận thức.

Trong thời kỳ cổ đại, khuynh hướng nổi bật là khuynh hướng coitoán học và các đối tượng của nó không phải như là những kiến tạo có cái

gì đó xa lạ với thế giới hiện thực được tri giác cảm tính, mà trái lại như làcác bộ phận cấu thành thế giới đó Quan điểm này thể hiện đặc biệt rõ néttrong quan niệm của trường phái Pitago về các số

Trường phái Pitago đã coi các số là khởi thủy của toàn bộ những cáiđang tồn tại Những người thuộc trường phái này đã cố gắng chỉ ra trongcác số và các quan hệ về số những nét tương tự với các hiện tượng của thếgiới bên ngoài được tri giác cảm tính Đối với họ, tất cả các sự vật cảm giácđược, đều do các số hợp thành Còn đối với Platôn, trong các đối thoại củaông đã thể hiện rất rõ khuynh hướng xây dựng vũ trụ theo mẫu các dạngthức toán học và những mẫu tương tự với chúng

Trong khi phê phán quan điểm duy tâm của trường phái Pitago,Lênin trong "Tóm tắt các bài giảng về lịch sử triết học của Hê-ghen" đãviết: "Các số, chúng ở đâu? phân cách bởi không gian, liệu tự chúng có gianhập vào bầu trời của các ý niệm không? chúng không phải trực tiếp là bảnthân đồ vật bởi vì đồ vật lại là cái gì khác với số - đồ vật không có tí gìgiống với số" [21, tr 225]

Theo quan điểm duy tâm, toán học được thừa nhận là khoa học tiênnghiệm, không phụ thuộc vào kinh nghiệm, thậm chí có trước kinh nghiệm,

có nghĩa là toán học nằm ngoài mối liên hệ với hiện thực Đó là một sailầm nghiêm trọng trong việc giải quyết vấn đề về mối quan hệ của toán họcvới thế giới khách quan Ăngghen, trong khi phê phán triết học duy tâm vềtoán học đã chỉ ra một tình tiết rất quan trọng để đi tới một quan niệm đúngđắn về mối quan hệ của toán học và hiện thực Tình tiết đó được thể hiện ởchỗ, những quan hệ số lượng trong thế giới khách quan được tách ra ở dạngthuần túy đòi hỏi phải được trừu tượng hóa khỏi nội dung như là một đốitượng nghiên cứu Tuy nhiên điều đó không có nghĩa là, sự tồn tại củanhững quan hệ số lượng hoàn toàn ở ngoài nội dung và ở ngoài hiện thựckhách quan Trong khi trừu tượng hóa nội dung, chủ nghĩa duy tâm đãtuyệt đối hóa khả năng trừu tượng hóa hình thức khỏi nội dung, thậm chíxem việc nghiên cứu hình thức là riêng biệt Từ đó, chủ nghĩa duy tâm đãhoàn toàn tách rời các quan hệ số lượng khỏi thế giới hiện thực và coichúng là tiên nghiệm, là độc lập tuyệt đối với hiện thực Chẳng hạn nhưPoanh ca rê là một nhà toán học, lý học nổi tiếng nhưng lại là một nhà triếthọc tầm thường, ông đã đưa ra quan điểm mang tính chất nhận thức luậnduy tâm như sau: "không phải giới tự nhiên đem lại cho chúng ta (hay épbuộc chúng ta phải nhận) những khái niệm về không gian và thời gian, màchính chúng ta đem những khái niệm ấy lại cho giới tự nhiên"; "phàm cái

gì, không phải là tư tưởng đều là hư vô thuần túy" [20, tr 312] Xuất phát

từ cơ sở đó, ông quan niệm rằng, toán học chỉ là sản phẩm của hoạt động tự

do của trí tuệ con người

Như vậy, nếu như quan điểm duy tâm là đúng thì bắt buộc chúng taphải thừa nhận rằng, lịch sử toán học cũng như lịch sử của toàn bộ khoahọc không phải là một quá trình hợp quy luật Đồng thời cũng phải thừanhận rằng sự phát triển của toán học là một dãy những khám phá ngẫunhiên, cái nọ theo sau cái kia, không một ai và không khi nào có thể thấytrước được tính chất liên tục và vị trí của chúng

Nói tóm lại, nếu như toán học chỉ là sản phẩm của tư duy thuần túy,

là tiên nghiệm, là không cần phải liên quan gì đến các tính chất và các mốiquan hệ của thế giới hiện thực, thì câu hỏi xác đáng sau đây sẽ được trả lời

ra sao: Vì sao toán học lại được áp dụng một cách rộng rãi để giải quyếtnhững nhiệm vụ thực tiễn khác nhau? Từ lập trường của chủ nghĩa duytâm, chúng ta không thể nói gì về bất cứ mối liên hệ nào giữa toán học vớihiện thực và do đó đành phải thừa nhận rằng, nếu có mối liên hệ thì đó chỉ

là ngẫu nhiên Sự thật là toán học không nghiên cứu các quan hệ trực tiếpgiữa các đối tượng hiện thực và chính bản thân các đối tượng đó, mà chỉnghiên cứu các khách thể trừu tượng Chính điều này đã là nguyên nhânđưa nhiều nhà khoa học giỏi về chuyên môn nhưng yếu kém về triết học điđến những kết luận duy tâm về mối tương quan giữa toán học và hiện thựckhách quan Ví dụ, chủ nghĩa trực giác đã tuyên bố toán học là khoa họchoạt động sáng tạo, phong phú về sự thiết lập các cấu trúc tưởng tượng, màkhông phải là khoa học nghiên cứu khía cạnh này hay khía cạnh khác của thếgiới vật chất Một trào lưu triết học khác là chủ nghĩa quy ước luận đã khẳngđịnh rằng, các khách thể nghiên cứu của toán học không có quan hệ gì với thếgiới vật chất, mà chúng chỉ là sự thỏa thuận có điều kiện của các nhà toánhọc với nhau, chúng không phải là cái gì khác, mà chỉ là các quy tắc của tròchơi độc đáo

Theo lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, suy cho cùng toánhọc cũng như các khoa học khác chỉ là sự phản ánh hiện thực Chính vìvậy, những khái niệm toán học đều có nguồn gốc từ thế giới hiện thực vàliên hệ chặt chẽ với thế giới hiện thực Trong tác phẩm "Chống Đuy rinh",Ăngghen đã viết: "Những khái niệm về số lượng và hình dáng không thểrút ra từ đâu khác, mà chỉ là từ thế giới hiện thực mà thôi Mười ngón tay màngười ta dùng để tập đếm, nghĩa là để làm bài toán số học đầu tiên, có thể là

gì cũng được, nhưng không phải là sản phẩm mà lý tính tự do sáng tạo ra"

[26, tr 58] Từ đó chúng ta nhận thấy rằng, bản chất của toán học như làmột khoa học nhận thức chính là ở sự phản ánh các quan hệ số lượng củathế giới hiện thực, những quan hệ này được tách khỏi hiện thực để nghiêncứu ở dạng thuần túy Nếu chỉ bằng cảm xúc thì chúng ta không thể nhậnthấy được những quan hệ đó, mà ta chỉ có thể tách chúng ra nhờ tư duytrừu tượng trên cơ sở tổng hợp và lý tưởng hóa.

Để có được một quan niệm đúng đắn về đối tượng của toán học,cùng với việc phê phán chủ nghĩa duy tâm, chúng ta cũng cần phải chỉ ranhững sai sót cơ bản của cách tiếp cận siêu hình về bản chất của các lýthuyết toán học Theo quan điểm duy vật biện chứng, sự áp dụng rộng rãicủa toán học vào việc giải quyết những vấn đề cụ thể của thực tiễn và củacác khoa học khác đã được quy định bởi tính thống nhất vật chất của thếgiới, bởi mối quan hệ qua lại của các mặt: Nội dung và hình thức, cụ thể vàtrừu tượng, số lượng và chất lượng v.v Toán học nghiên cứu các quan hệ

số lượng và các hình dạng không gian của thế giới hiện thực, những quan

hệ và hình dạng này phù hợp với những phạm vi đặc trưng về phương diệnchất lượng của hiện thực Đồng thời, chính những quan hệ rất đa dạng vềmặt chất lượng đã yêu cầu những lý thuyết toán học được thiết lập phải mô

tả chúng một cách phù hợp Như vậy, sự thống nhất, mối liên hệ qua lại vàtính toàn vẹn tồn tại trong thế giới khách quan đã tìm được sự thể hiện củamình trong sự thống nhất và đa dạng của tri thức toán học

Sự đa dạng về chất của các hiện tượng trong thế giới hiện thực, mốiliên hệ và sự thống nhất của chúng đã tìm được sự mô tả gián tiếp của mìnhtrong các bộ môn toán học khác nhau Chẳng hạn, toán học sơ cấp nghiêncứu các quan hệ số lượng giữa những đại lượng bất biến Việc chuyển sangnghiên cứu những đại lượng biến thiên đã dẫn đến thành lập bộ môn giảitích toán học Toán học hiện đại có thể được định nghĩa như một khoa học

về các quan hệ cấu trúc số lượng với bản chất đa dạng nhất Trong phạm vi

mỗi giai đoạn phát triển của toán học, ta có thể phân ra những bộ môn vànhững phần tương ứng Chẳng hạn, số học và hình học, Đại số và giải tích,Tôpô học và lý thuyết tập hợp, v.v Một số vấn đề cần phải lưu ý ở chỗ,trong khi xem xét sự đa dạng về chất của các lý thuyết toán học, chúng tathường nhận thấy nổi lên một số sai lầm cơ bản do quan niệm siêu hình.Thứ nhất, đằng sau sự đa dạng đó, người ta không nhìn thấy sự thống nhất

và mối liên hệ chặt chẽ giữa các lý thuyết toán học Từ đó những nhà triếthọc siêu hình đã đi đến kết luận rằng, dường như toán học hiện đại đã bắtđầu nghiên cứu những đặc điểm chất lượng của các đối tượng và các quátrình Trong khi nhìn thấy một cách đích thực những biến đổi cơ bản trongtoán học ngày nay, những nhà siêu hình đã quên mất một điều, trong toánhọc hiện đại và tất cả toán học các giai đoạn trước đó, những khách thể củachúng đã được trừu tượng hóa khỏi nội dung cụ thể của mình, đồng thời họcũng quên luôn cả mối liên hệ và sự phân biệt sâu sắc đang tồn tại trongviệc nghiên cứu các đại lượng và các khách thể toán học trừu tượng hơn.Một sai lầm nữa của các nhà siêu hình là ở chỗ xem thường sự phân biệt vềchất giữa những quan hệ số lượng được nghiên cứu bởi những lý thuyếttoán học khác nhau Từ đó, họ đã bỏ qua luôn những sự phân biệt về chấtvốn có trong chính các quan hệ số lượng

Ở đây cần phải thấy rằng, cách tiếp cận đúng đắn, khoa học đến vấn

đề đã cho là ở sự xem xét một cách biện chứng mối quan hệ không nhữnggiữa toán học và các khoa học khác, mà còn giữa chính các lý thuyết toánhọc với nhau Cách nhìn nhận như thế đòi hỏi phải tính đến các mối liên hệ,

sự thống nhất và sự phân biệt giữa các lý thuyết toán học và các môn khoahọc khác Điều này đã được thể hiện rất rõ trong tác phẩm "Biện chứng của

tự nhiên" của Ăngghen:

Phép biện chứng được coi là khoa học về những quy luậtphổ biến nhất của mọi vận động Điều đó có nghĩa là những quy

luật ấy phải có hiệu lực đối với vận động trong giới tự nhiên vàtrong lịch sử loài người cũng như đối với vận động của tư duy.Một quy luật như thế có thể được nhận thức trong hai lĩnh vựccủa ba lĩnh vực đó, hay thậm chí trong cả ba lĩnh vực, mà anhchàng siêu hình cổ hủ vẫn không thể biết được rằng anh ta chỉgặp cùng một quy luật mà thôi [26, tr 768].

Theo nhận định của Lênin, sự nhận thức của con người không đitheo đường thẳng, mà theo một đường cong tiến dần vô hạn tới một loạtcác vòng tròn, theo một đường xoắn ốc Trên đường cong ấy, một đoạn bất

kỳ, một mảnh, một mẩu của nó cũng có thể biến thành một đường thẳngđộc lập một cách phiến diện Nếu như lúc ấy chúng ta đứng ở đằng saunhững cây lớn không thể nhìn thấy rừng, nó sẽ dẫn ta tới một vùng lầy, đếnnhững định kiến tôn giáo thần bí Đồng thời, Lênin nhấn mạnh rằng tínhchất theo đường thẳng và phiến diện, tính mộc mạc và thoái hóa, chủ nghĩachủ quan và sự mù quáng chủ quan, đó là những nguồn gốc của chủ nghĩaduy tâm

Tóm lại, để có một quan niệm khoa học về đối tượng của toán học,chúng ta phải đứng trên lập trường mác-xít phân tích một cách duy vật biệnchứng sự phát triển theo quy luật của toán học, xác định đối tượng nghiêncứu của nó, đồng thời cần phải chỉ ra được những mặt nào của nhận thứctoán học mà chủ nghĩa duy tâm đã cho là tuyệt đối tách khỏi tự nhiên vàtách khỏi những hoạt động thực tiễn của con người Trên cơ sở đó chúng ta

đi tới khắc phục những mặt hạn chế của quan điểm duy tâm và siêu hình vềđối tượng và sự phát triển theo quy luật của toán học

1.2 PHÂN TÍCH QUAN ĐIỂM CỦA CHỦ NGHĨA DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TOÁN HỌC

1.2.1 Quan niệm mác-xít về đối tượng trực tiếp của toán học

Trong khoảng thời gian nhiều thế kỷ giữa những người đại diện choquan điểm duy vật và duy tâm về đối tượng của toán học đã diễn ra mộtcuộc đấu tranh rất quyết liệt Nhưng dù ở đâu và cho dù cuộc đấu tranh ấy

mở rộng đến đâu đi chăng nữa, nó vẫn xoay quanh vấn đề: Đối tượng củatoán học là gì? và mối quan hệ giữa toán học với thế giới hiện thực diễn ranhư thế nào?

Như chúng ta đã biết, đối với những nhà duy tâm chủ quan, nhữngkhái niệm cơ bản và những quy luật toán học chỉ là sản phẩm sáng tạo tự

do của tư duy thuần túy, là những ký hiệu thuận tiện cho hoạt động nhậnthức và thực tiễn, còn đối với những nhà duy tâm khách quan thì chúng cóbản chất riêng, tồn tại độc lập với thế giới hiện thực

Những nhà duy vật biện chứng đã chứng minh rằng những kháiniệm và những quy luật của toán học là những điều ghi chép, những sựphản ánh thu được do kết quả của sự trừu tượng hóa từ những sự vật cụ thể

và các tính chất của chúng Trong tác phẩm "Biện chứng của tự nhiên",Ăngghen đã đưa ra định nghĩa kinh điển về đối tượng của toán học nhưsau: "Đối tượng của toán học thuần túy là những hình không gian và nhữngquan hệ số lượng của thế giới hiện thực" [26, tr 29] Để hiểu rõ bản chấtcủa định nghĩa này, chúng ta hãy đi sâu tìm hiểu một số thuật ngữ trong đónhư: Số lượng, quan hệ, hình dạng v.v Theo quan điểm duy vật biệnchứng thì "số lượng" là phạm trù triết học dùng để chỉ độ lớn nhỏ, quy mô,trình độ, tốc độ của sự vật Số lượng là tính quy định khách quan của sựvật, nhờ đó ta có thể phân chia nó (trên thực tế hoặc trong tư duy) thànhnhững bộ phận cùng loại và có thể tập hợp các bộ phận đó lại làm một

"Quan hệ" cũng là một phạm trù triết học nói lên sự phụ thuộc lẫn nhau củacác yếu tố trong một hệ thống nhất định, đó là một trong những hình thứccủa sự thống nhất của các đối tượng và các thuộc tính của chúng "Hìnhdạng" là đường viền tưởng tượng bao quanh một vật thể hữu hình, cho ta

cảm nhận chung về sự hiện diện trước mắt, còn "không gian" dưới góc độtriết học được quan niệm là hình thức tồn tại cơ bản của vật chất Kháiniệm "không gian" dùng để chỉ sự cùng tồn tại và tính tách biệt của các sựvật với nhau, quảng tính, tính có cấu trúc và trật tự phân bố của chúng.Xuất phát từ những quan niệm trên chúng ta nhận thấy rằng, đối tượng củatoán học có nguồn gốc từ thế giới hiện thực và định nghĩa của Ăngghen làhoàn toàn có cơ sở khoa học Để giải quyết vấn đề cơ sở của toán học,Ăngghen đã đứng trên lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng khẳngđịnh rằng, lao động giữ vai trò quyết định trong quá trình phát triển tư duycủa con người Đồng thời, theo Ăngghen, cơ sở chủ yếu nhất và gần gũinhất của tư duy con người chính là sự cải tạo tự nhiên do bàn tay conngười, cùng với điều đó trí tuệ của con người được phát triển phù hợp vớiviệc họ đã học tập, cải tạo tự nhiên như thế nào Từ cơ sở đó, khi giải quyếtvấn đề đối tượng của toán học, Ăngghen đã chú ý đến tính hai mặt của nó.Theo ông, toán học là một khoa học trừu tượng, nó nghiên cứu những côngtrình trí óc, mặc dù những công trình ấy cũng là những phản ánh của thực

tế Những công trình trí tuệ mà toán học nghiên cứu được gọi là nhữngkhách thể toán học, đó là những số, điểm, đường, các nhóm, các cấu trúcv.v Những khách thể đó cũng chính là đối tượng trực tiếp của toán học.Đồng thời, Ăngghen cũng nhấn mạnh rằng, sự nghiên cứu các khách thểtoán học không phải là mục đích tự thân của toán học, mà chung quy lạitoán học có nhiệm vụ của mình là phản ánh hiện thực Từ đó, đối tượngtrực tiếp của toán học có mối liên hệ chặt chẽ với sự nghiên cứu nhữnghình thể xác định của các mặt của thế giới hiện thực, đó là: Tự nhiên, xãhội và nhận thức của con người Tất cả những cái đó có thể xem như là đốitượng gián tiếp của toán học

Tóm lại, đối tượng trực tiếp của toán học chính là các hệ thốngkhách thể toán học trừu tượng, chúng được hiểu là tập hợp các khách thể

cùng với các quan hệ tồn tại giữa các khách thể đó Những khách thể nóitrên được lý tưởng hóa, có nghĩa là chúng là những khách thể tinh thầnkhông tồn tại trong hiện thực khách quan, mà toán học thiết lập chúng đểphản ánh thế giới hiện thực Các khách thể toán học trừu tượng là nhữngkhách thể mà chúng ta nhận được nhờ các tính chất có trong định nghĩa củachúng Nếu như khách thể trừu tượng là cái tương tự với khách thể vậtchất, thì nó chỉ mô tả một cách phiến diện khách thể vật chất bằng các tínhchất đặc biệt nào đó được trừu tượng hóa khỏi tất cả các tính chất còn lạicủa khách thể vật chất đó Những khách thể vật chất là những khách thể tồntại một cách khách quan, chúng luôn luôn có nội dung và hình thức xácđịnh Nhưng toán học chỉ nghiên cứu những hình dạng và các quan hệ đượctách khỏi nội dung một cách hoàn toàn và chỉ giữ lại trong chúng những cái

gì có trong định nghĩa của chúng Ăngghen viết:

Nhưng để có thể nghiên cứu những hình thức và nhữngquan hệ ấy dưới dạng thuần túy thì người ta phải hoàn toàn táchchúng ra khỏi nội dung của chúng, gạt nội dung ấy sang một bên

và coi nó như một cái gì đó không quan trọng, làm như vậy, ta cóđược những điểm không có kích thước, những đường không cóchiều dài và chiều rộng, những a và b, x và y, những hằng số vànhững biến số và chỉ sau cùng người ta mới đi đến những sản vậtcủa sự sáng tạo tự do và những tư tưởng tự do của bản thân lýtính, tức là những số ảo [26, tr 59]

Như vậy, rõ ràng rằng, trên thực tế cả khái niệm và cả khách thểtrừu tượng được thiết lập nhờ khái niệm đó đều dựa vào cùng một số dấuhiệu xác thực Vì vậy, chúng ta có thể suy luận về các khách thể trừu tượngtrên cơ sở định nghĩa các khái niệm tương ứng Ví dụ, chúng ta có thể suyluận về hình vuông dựa vào định nghĩa khái niệm hình vuông Trên cơ sở

đó, trong toán học người ta thường nhận được những tri thức mới bằng con

đường suy luận logic từ những định nghĩa và từ những khái niệm về cáchình dạng tương ứng Như vậy, toán học thuần túy có tính chất suy luận trừutượng một cách thuần túy.

Các khách thể toán học không chỉ đơn thuần là những khách thể trừutượng mà chúng còn là những khách thể được lý tưởng hóa Những khách thểđược lý tưởng hóa là những khách thể trừu tượng, chúng được xác định dựavào các dấu hiệu, mà các dấu hiệu này có thể hữu hạn hoặc vô hạn Trongtoán học sự lý tưởng hóa thường có ở việc đưa các đặc điểm số lượng củacác khách thể hiện thực tới không hoặc vô hạn Ví dụ, các khách thể nhưđiểm thì cả ba kích thước của khách thể hiện thực được đưa tới 0, còn đốivới đường thì một kích thước đi tới vô hạn, còn hai kích thước tiến tới 0

Trên thực tế, những sự lý tưởng hóa ở các mức độ khác nhauthường diễn ra trong tất cả các khoa học Điều này được giải thích rằng, cáckhoa học trong khi nghiên cứu các khách thể vật chất, đã thiết lập trực tiếpcác quy luật của mình cho các khách thể được lý tưởng hóa ở một mức độnhất định nào đó Khoa học càng chính xác thì sự lý tưởng hóa các kháchthể được nghiên cứu bởi nó càng có tính chất hệ thống hơn Chẳng hạn, cơhọc cổ điển chỉ có quan hệ với các trừu tượng hóa của vật thể như: điểmvật chất, vật thể rắn tuyệt đối và chất lỏng lý tưởng Như vậy, trong toánhọc sự lý tưởng hóa có ý nghĩa đặc biệt, bởi vì đối với toán học, khi nghiêncứu các khách thể hiện thực, chỉ có hình dạng hoặc các quan hệ số lượngcủa chúng được tách ra ở dạng thuần túy, tức là được trừu tượng hóa khỏinội dung của chúng mới được coi là điểm cốt yếu nhất Nhà toán học ngườiNga là Alecxanđrov đã nhận xét rằng, hình thức được trừu tượng hóa khỏinội dung với tư cách như một khách thể độc lập, do đó, đối tượng trực tiếpcủa toán học chính là những số, chứ không phải tổng số các đối tượng và lànhững hình hình học chứ không phải là vật thể hiện thực trong tự nhiên Ví

dụ, trong tự nhiên có những mối liên hệ đa dạng của các đại lượng biếnthiên, dạng thuần túy của mối liên hệ đó được thể hiện trong toán học như

là những khách thể lý tưởng - đó là hàm số và v.v

Các khách thể toán học đóng vai trò quan trọng trong việc hìnhthành các quy luật của lý thuyết toán học, bởi vì các mối quan hệ trong toánhọc luôn luôn hiện diện một cách trực tiếp như là hệ thống các mối quan hệgiữa các khách thể trừu tượng nào đó Ví dụ, các tiên đề hình học đượcthiết lập một cách trực tiếp để phản ánh các mối quan hệ như tính liênthuộc, tính thứ tự, tính song song, tính liên tục, tính toàn đẳng v.v của cáckhách thể hình học lý tưởng như các điểm, các đường, các mặt v.v Nhữngmối quan hệ đó đã phản ánh một cách gần đúng các quan hệ của các vật thểhiện thực

1.2.2 Các phương pháp trừu tượng hóa toán học và sự thiết lập những khái niệm xuất phát của toán học

Như chúng ta đã biết, đối tượng của toán học chính là các hình dạngkhông gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực Đó là nhữnghình dạng và những quan hệ được tách ra ở dạng thuần túy và hoàn toànđược trừu tượng hóa khỏi nội dung của chúng Vì vậy, ở đây có một vấn đềcần phải làm sáng tỏ, đó là: Những quan hệ số lượng và những hình dạngkhông gian được tách ra một cách thực sự khỏi nội dung của chúng bằngcách nào? Chính việc khảo sát các phương pháp cơ bản của sự trừu tượnghóa trong toán học, mà nhờ đó ta có thể thiết lập được những khái niệmxuất phát của toán học như số, hình v.v đã cho phép chúng ta khả nănghiểu tốt hơn quan hệ của các khái niệm toán học với hiện thực, đồng thờiphân biệt được sự trừu tượng hóa trong toán học với sự trừu tượng hóatrong các khoa học khác

Từ việc xem xét quá trình lịch sử phát triển của toán học, chúng tanhận thấy rằng, các phương pháp trừu tượng hóa phổ biến nhất trong toánhọc là sự trừu tượng đồng nhất hóa, sự trừu tượng phân tích hoặc cô lập vàcác sự trừu tượng khác nhau về khả năng thực hiện được, nhưng trong dó

sự trừu tượng đồng nhất hóa là phương pháp cơ bản nhất, nhờ đó ta suy rađược tính chất hoặc quan hệ chung cho tất cả các đối tượng được xét.Chính vì vậy, trừu tượng đồng nhất hóa thường được gọi là trừu tượng kháiquát hóa

Đứng trên quan điểm của lý thuyết kinh nghiệm về trừu tượng hóa,quá trình tách các tính chất toán học của các đối tượng như là số và hìnhđược thực hiện ở việc tước bỏ dần dần tất cả những tính chất không toánhọc và cuối cùng đi đến các tính chất toán học phải tìm Nhưng phươngpháp như vậy cực kỳ đơn giản hóa bức tranh thực tế, bởi vì sự vật có mộttập hợp vô số các tính chất, đồng thời các tính chất toán học lại không tồntại dưới dạng "thuần túy" trong bản thân các đối tượng Hạn chế này của lýthuyết kinh nghiệm đã bị các nhà duy tâm sử dụng để chống đối quan điểmduy vật đối với toán học Trong khi đó, việc nghiên cứu chi tiết các phươngpháp của sự trừu tượng hóa được áp dụng để hình thành các khái niệm toánhọc đã chứng tỏ một cách rõ ràng tính chất duy vật biện chứng của cácphương pháp này và sự sai lầm của các quan niệm duy tâm về nhận thứctiên thiên, đặc biệt là trong toán học Để hiểu rõ thực chất sự trừu tượnghóa của phép đồng nhất, chúng ta quay trở lại phân tích quá trình hìnhthành khái niệm số tự nhiên, đó là điểm xuất phát của sự phát triển toàn bộtoán học

Đối với mọi người hiện nay, khái niệm số hầu như rất quen thuộc,mặc dù không phải ai cũng hiểu tường tận về nó Hầu như người ta đềuxem như mọi phép so sánh và phép đếm các đồ vật đều được giả thiết là đã

có các số tự nhiên rồi Trong khi đó, nhiều sự kiện lịch sử đã chứng tỏ chắc

chắn rằng, trong sự phát triển của xã hội loài người đã có thời kỳ mà conngười không hề có chút quan niệm rõ ràng nào về số, nhưng vẫn làm đượcphép so sánh và phép đếm các tập hợp khác nhau Khái niệm số xuất hiệnrất muộn, bởi vì sự suy nghĩ trừu tượng cũng cần phải có một khả năngnhất định Chúng ta có thể nói về quá trình hình thành khái niệm số nhưsau: Khi nói về một số nào đó, chúng ta biết rất rõ nhiều tập hợp khác nhaucủa các sự vật có thể cùng ứng với số đó Chẳng hạn, số 5 có thể là 5 ngóntay, 5 bó hoa hoặc số đỉnh của một ngũ giác v.v Do đó, khái niệm nàyphản ánh đặc điểm về lượng xác định của các tập hợp đó Dù rằng, các tậphợp nêu ra khác nhau về bản chất, nhưng tất cả chúng đều có một tính chấtchung được đặc trưng bởi con số 5.

Vấn đề cần phải giải quyết là ở chỗ, bằng con đường nào trong quátrình hoạt động thực tiễn, con người đã đi đến sự trừu tượng hóa một tínhchất chung cho các tập hợp như là con số Chúng ta hoàn toàn dễ nhận thấyrằng, một sự trừu tượng hóa như thế không thể thực hiện được nếu khôngtồn tại các tập hợp xác định các sự vật Trên thực tế, muốn so sánh hai tậphợp các sự vật ta chỉ cần bằng cách này hay cách khác sắp đặt các phần tửcủa chúng tương ứng với nhau, chẳng hạn, nếu cho mỗi ngón tay của chúng

ta ứng với một và chỉ một đối tượng thì chúng ta có thể thiết lập được mộttập hợp gồm 5 phần tử, ví dụ như: 5 con gà tương đương với tập hợp 5ngón tay, còn tập hợp 10 con gà sẽ không tương đương Mặc dù trong khithực hiện việc làm trên chúng ta sử dụng các số, nhưng về nguyên tắc ta cóthể so sánh các tập hợp mà không cần tới các số Nhiều nhà nghiên cứu đãkhẳng định rằng, ở nhiều vùng thổ dân, người ta không có tên gọi cho các

số lớn hơn 5, song họ lại đếm được các tập hợp khác nhau của các đốitượng mà số lượng vượt quá 5 Họ đếm theo các ngón chân và các ngóntay, và với điều đó họ chỉ cần có trước mặt họ các đồ vật phải đếm Chúng

ta dễ dàng nhận thấy phép đếm như vậy được thực hiện theo nguyên tắc:ứng với các phân tử của một tập hợp xác định là các ngón tay và các ngón

chân, người ta đặt tương ứng với các phần tử của tập hợp khác Nếu vớimỗi phân tử của tập hợp này tương ứng với một và chỉ một phần tử của tậphợp kia, thì các tập hợp cần phải so sánh được coi là tương đương với nhau.Phép so sánh như vậy, ngày nay vẫn được con người sử dụng một cáchmáy móc Ví dụ, chúng ta có thể không biết số lượng chỗ ngồi trong mộthội trường, nhưng nếu chúng ta biết rằng tất cả các chỗ đều có người ngồi

và không có đại biểu nào thiếu chỗ ngồi thì số chỗ đúng bằng số đại biểu.Chính vì vậy, chúng ta có thể so sánh các tập hợp khác nhau của các đốitượng khác nhau mà không cần có khái niệm về số Sự nghiên cứu của cácnhà khoa học như nhân chủng học, khảo cổ học v.v đã cho ta cơ sở đểkhẳng định rằng về phương diện lịch sử, ngay từ thời cộng sản nguyên thủyphép đếm đã bắt đầu được phát triển Trước tiên người ta không tách tínhchất của các số khỏi bản thân các tập hợp phải đếm Tuy vậy, họ có thểthiết lập được sự bằng nhau về lượng của tập hợp này với tập hợp khácbằng phép so sánh các phần tử của chúng Sau này, cùng với việc phát triểncủa sản xuất và việc mở rộng các mối liên hệ kinh tế giữa các bộ lạc, kỹthuật đếm sơ khai đã được hoàn thiện dần Muốn biết về lượng của một tậphợp đồ vật nào đó, cần phải chọn một tập hợp đồ vật xác định để biểu thịlượng của tập hợp khác Thông thường người ta chọn các tập hợp xác định

là các ngón tay, ngón chân, các que nhỏ, các vỏ ốc, các viên sỏi v.v Nhưvậy, trong giai đoạn này, tính chất chung của tất cả các tập hợp có số lượngbằng nhau được biểu thị qua tính chất của một tập hợp đặc biệt nào đó.Tiếp đó, khi sự trao đổi giữa các bộ lạc ngày càng phát triển thì xuất hiệnđiều bất tiện ở chỗ, các bộ lạc khác nhau thường sử dụng các tập hợp đồ vậtkhác nhau làm tiêu chuẩn so sánh Ví dụ, có bộ lạc chọn que nhỏ, có bộ lạcchọn vỏ ốc, có bộ lạc chọn những viên đá nhỏ v.v Chính vì thế, do ảnhhưởng của các nhu cầu trao đổi và sự phát triển của đời sống kinh tế, dầndần buộc người ta phải đưa ra một tập hợp xác định làm đại diện về lượngcho một tập hợp bất kỳ Trên cơ sở đó, phải kinh qua sự phát triển lịch sử

lâu dài thì khái niệm số mới được giải phóng khỏi cái vỏ vật chất cụ thể vàcuối cùng được diễn tả như là một số nói chung Khái niệm trừu tượng về

số như là tính chất chung của tất cả các tập hợp tương đương các đồ vậtđược củng cố trước hết là trong lời nói và sau đó là trong các chữ số

Lịch sử hình thành số tự nhiên có thể chia làm bốn giai đoạn lớn,tương ứng với bốn giai đoạn liên tiếp trong sự phát triển của bản thân kỹthuật đếm Giai đoạn thứ nhất bắt đầu từ việc thiết lập sự bằng nhau vềlượng của các tập hợp khác nhau Ở đây, tính chất chung của các tập hợptương đương được kết hợp hoàn toàn với bản tính cụ thể của các tập hợpđược so sánh Ở giai đoạn thứ hai, số lượng của một tập hợp xác định nào

đó được biểu diễn qua cả một loạt các tập hợp khác tương đương với nó Ởđây, tính chất chung của tất cả các tập hợp đã bắt đầu được ý thức như làmột cái gì khác với bản tính cụ thể của bản thân tập hợp Đến giai đoạn thứ

ba, khi mà một tập hợp xác định được lấy làm tiêu chuẩn đặc biệt về lượng,người ta mới bắt đầu phân biệt tính chất chung này với tất cả các tính chấtđặc biệt của tập hợp Đến giai đoạn thứ tư, tính chất chung của tất cả cáctập hợp tương đương được trừu tượng hóa khỏi bản thân tập hợp và biểudiễn dưới dạng "thần túy", tức là giống như khái niệm trừu tượng của số tựnhiên Bây giờ, chính các số tự nhiên biểu diễn tiêu chuẩn về lượng Thậtvậy, ở giai đoạn này, khi đếm chúng ta cho tương ứng mỗi đối tượng củamột tập hợp được đếm với một số xác định trong dãy số tự nhiên, cụ thểvới một số là số hiệu của nó trong dãy này

Trong lịch sử hình thành khái niệm số đã có nhiều nhà toán học đưa

ra định nghĩa logic của khái niệm đó Điển hình là định nghĩa của Frêghê

và Rútxen Trong cơ sở của định nghĩa đó đã chứa đựng khái niệm tươngứng đơn trị hai chiều hoặc khái niệm đồng dạng của các lớp Tại đây, mộtvấn đề phải nói rõ là thế nào là sự tương ứng đơn trị hai chiều và hai lớpđồng dạng Sự tương ứng đơn trị hai chiều là sự tương ứng biểu thị một

quan hệ xác định giữa các phần tử của hai tập hợp, trong đó mỗi phần tửcủa tập hợp thứ nhất được đặt tương ứng với một và chỉ một phần tử củatập hợp thứ hai và ngược lại, còn hai lớp hoặc hai tập hợp được coi là đồngdạng hoặc tương đương nếu giữa chúng có thể thiết lập được sự tương ứngđơn trị hai chiều.

Xét về phương diện lịch sử chúng ta cần lưu ý rằng, nếu sự trừutượng hóa tính chất chung của các tập hợp tương đương và từ đó dễ dànghình thành nên khái niệm số, thì nguyên nhân chính là do điều đó đã đượcchuẩn bị bởi thực tiễn lâu dài trước đó của nhân loại và trong quá trình đó

tư duy trừu tượng của con người đã được phát triển

Trong thí dụ về sự hình thành khái niệm số, ta có thể phát hiệnđược các đặc điểm của sự trừu tượng đồng nhất hóa đóng một vai trò quantrọng trong toán học Sự trừu tượng hóa như thế bắt đầu từ sự thiết lập quan

hệ loại bằng nhau giữa các tập hợp được nghiên cứu Chẳng hạn, chúng taxét quan hệ tương ứng đơn trị hai chiều giữa các tập hợp cho định nghĩa số.Muốn xác định khái niệm hình hình học, chúng ta phải xét quan hệ đồngdạng của các hình Đối với định nghĩa đồng dư các số theo một mô đun nào

đó, chúng ta phải nghiên cứu quan hệ đồng dư v.v Tất cả các quan hệtương ứng đơn trị hai chiều, quan hệ đồng dạng của các hình lẫn quan hệđồng dư của các số đều được đặc trưng bởi ba tính chất quan trọng sau đây:

- Tính chất đối xứng: Nếu tập hợp A tương đương với tập hợp B thì

tập hợp B cũng tương đương với tập hợp A Nếu hình 1 đồng dạng vớihình 2, thì hình 2 cũng đồng dạng với hình 1 Bằng ngôn ngữ logic toán,tính chất này được biểu diễn như sau: xRy yRx (nếu phần tử x nằm trongquan hệ R đối với phần tử y, thì phần tử y cũng nằm trong quan hệ R ấy vớiphần tử x)

- Tính chất bắc cầu: Nếu tập hợp A tương đương với tập hợp B, còn

tập hợp B tương đương với tập hợp C, thì tập hợp A tương đương với tập hợp

C Nếu hình 1 đồng dạng với hình 2, còn hình 2 đồng dạng với 3, thì hình

1 đồng dạng với hình 3 Bằng kí hiệu logic, điều đó được viết như sau: (xRy

& yRz)  xRz (nếu phần tử x nằm trong quan hệ R đối với phần tử y, còn ycùng nằm trong quan hệ đó đối với z, thì x cũng nằm trong quan hệ R đối vớiz)

- Tính phản xạ: Mỗi tập hợp tương đương với chính mình, mỗi hình

đồng dạng với chính mình Bằng kí hiệu logic, tính chất này được viết dướidạng: xRx

Nếu giữa các đối tượng xác định tồn tại một quan hệ có các tínhchất đối xứng, bắc cầu và phản xạ, thì dựa vào quan hệ đó ta có thể tách ra,hoặc trừu tượng hóa một tính chất chung nào đó vốn có cho tất cả các đốitượng này Trong các thí dụ nêu trên đã chứng tỏ rằng, nhờ sự tương ứngđơn trị hai chiều, tính chất của các số đã được trừu tượng hóa, quan hệđồng dạng tách ra tính chất chung của các vật thể hình học như là một hình,quan hệ đồng dư giữa các số tách ra các số đồng dư theo môđun đã chov.v

Quan hệ mà có các tính chất đối xứng, bắc cầu, phản xạ thì tương tựnhư quan hệ bằng nhau, vì thế người ta thường gọi nó là quan hệ loại bằngnhau Nhưng rõ ràng, nếu như các đối tượng được nghiên cứu là đồng nhấthoàn toàn, thì chúng ta không thể từ cái gì mà trừu tượng hóa được, bởi vìkhông phân biệt được chúng Khi thiết lập quan hệ loại bằng nhau, người ta

so sánh các đối tượng trong một quan hệ nào đó Chẳng hạn, quan hệ tươngứng đơn trị hai chiều chỉ đặc trưng cho sự tương đương về lượng của cáctập hợp và hoàn toàn không đụng chạm tới bản chất của các phần tử hìnhthành nên tập hợp Quan hệ đồng dạng thiết lập sự bằng nhau của các góc

và tỷ lệ của các cạnh Chính điều đó đã giải thích tên gọi của phương phápnày như là một sự trừu tượng đồng nhất hóa

Sự trừu tượng đồng nhất hóa không những chỉ được sử dụng rộngrãi trong toán học, mà còn cả trong các khoa học khác Chẳng hạn như Mác

đã sử dụng phương pháp này để trừu tượng hóa một tính chất chung cho tất

cả hàng hóa đó là giá trị Khi phân tích quan hệ trao đổi hàng hóa C.Mác đãnhận xét rằng, quan hệ này có thể biểu diễn dưới dạng phương trình, trong

đó số lượng xác định của một dạng hàng hóa này được so sánh với sốlượng đã biết của một hàng hóa khác Mác viết:

Ví dụ; 1 quac tơ lúa mì = a tạ sắt Phương trình ấy nói lêncái gì? nói lên rằng trong hai vật khác nhau - tức là trong mộtquac-tơ lúa mì và a tạ sắt - có một cái gì chung có cùng một đạilượng Vậy cả hai vật đó bằng một vật thứ ba nào đó, vật thứ banày bản thân lại không phải là vật thứ nhất mà cũng không phảivật thứ hai Như vậy là mỗi vật trong hai vật ấy, với tư cách làgiá trị trao đổi, phải có thể quy thành vật thứ ba đó [29, tr 64] Tính chất chung đó không thể là các tính chất vật lý, các tính chấthóa học, hay là các tính chất tự nhiên nào khác của hàng hóa Theo Mác,tính chất chung đó của hàng hóa được biểu thị trong quan hệ trao đổi, đó làgiá trị của chúng

Ở thời kỳ đầu của sự phát triển xã hội loài người khi sự trao đổigiữa các bộ lạc mang tính chất ngẫu nhiên, thì việc tách ra tính chất chungcủa hàng hóa như là giá trị, là hoàn toàn không có khả năng làm được.Cùng với sự phát triển sau này của lực lượng sản xuất xã hội, sự trao đổihàng hóa giữa các bộ lạc bắt đầu có tính chất ổn định hơn Tương ứng vớiđiều đó, ở giai đoạn thứ hai, dạng đơn giản của giá trị biến thành dạng mởrộng Giá trị của một hàng hóa xác định nào đó cũng được biểu thị quanhiều loại hàng hóa khác, chẳng hạn 100 kg bánh mì bằng 1 cái áo da, hoặcbằng 10 kg chè, hoặc bằng 30 kg cà phê Ở giai đoạn thứ ba, khi sự trao đổihàng hóa có tính chất ổn định hoàn toàn, lúc đó dạng chung của giá trị phải

thay thế cho dạng mở rộng Ở đây, giá trị một lượng xác định của một hànghóa đã biết trở thành một vật ngang giá của tất cả các hàng hóa khác Vìthế, giá trị của tất cả các hàng hóa khác có thể được biểu thị qua giá trị vậtngang giá Cuối cùng, ở giai đoạn thứ tư của sự phát triển trao đổi, thì cáchàng hóa thường hay giữ vai trò vật ngang giá hơn cả, bắt đầu hoạt độngvới tư cách tiền tệ Mác viết:

Loại hàng hóa đặc biệt mà về mặt xã hội, hình thái tựnhiên của nó dần dần gắn liền với hình thái vật ngang giá, thì sẽtrở thành hàng hóa - tiền, hay làm chức năng tiền Chức năng xãhội đặc biệt của nó, và do đó, độc quyền xã hội của nó, là đóngvai trò vật ngang giá phổ biến trong thế giới hàng hóa [29, tr 111].Nếu bây giờ chúng ta so sánh quá trình lịch sử hình thành khái niệm

số và khái niệm giá trị thì dễ dàng phát hiện ra phương pháp chung của quátrình trừu tượng hóa trong toán học và kinh tế chính trị học về nguyên tắc

là như nhau

Cùng với sự trừu tượng hóa đồng nhất, khi hình thành các kháiniệm đầu tiên của toán học, người ta đã sử dụng rộng rãi một phương phápđặc thù của sự trừu tượng hóa đó là sự lý tưởng hóa Trong các tài liệukhoa học, lý tưởng hóa là một quá trình bất kỳ nào đó, phản ánh thực tế cótính chất lược đồ Theo nghĩa đó thì mọi phương pháp nghiên cứu trừutượng đều là sự lý tưởng hóa Đôi khi sự lý tưởng hóa cũng có thể xem nhưđộng tác của tư duy nhằm sản sinh ra các khái niệm, mà trong đó khôngnhững chỉ có các tính chất được tách ra do trừu tượng hóa "thuần túy", màcòn có cả các tính chất được tưởng tượng ra, hoàn toàn không có trong cácđối tượng đầu tiên, hoặc phản ánh chung dưới dạng rất khác lạ Phươngpháp như thế đối với quá trình trừu tượng hóa trong toán học cho phépnhấn mạnh hơn đặc điểm của nhận thức toán học, bởi vì nó kể đến tác dụngtương hỗ của các loại trừu tượng hóa cơ bản khác nhau Để hiểu rõ chi tiết

của quá trình lý tưởng hóa, chúng ta chỉ nên giới hạn quá trình đó ở việchình thành các khái niệm biểu thị các tính chất của sự vật không có thật, màrất sai lệch với hiện thực, hoặc thậm chí được tưởng tượng ra Từ quanđiểm như vậy, ta có thể xem sự lý tưởng hóa như là một phương pháp đặcbiệt của thí nghiệm trong tư duy Chẳng hạn, trong cơ học chúng ta đưa vàokhái niệm quả lắc toán học lý tưởng như là trường hợp giới hạn nào đó củacác quả lắc vật lý tồn tại thực sự Nếu một quả lắc vật lý bất kỳ gặp phảisức cản của không khí và lực ma sát, thì trong lý thuyết của quả lắc toánhọc, chúng ta bỏ qua tất cả những sức cản đó Trong trường hợp nói trên,thí nghiệm lý tưởng là ở chỗ, nếu từ kinh nghiệm chúng ta biết ảnh hưởngcủa các lực khác nhau tác động vào quả lắc vật lý, thì chúng ta có thể tưởngtượng ảnh hưởng của các lực ma sát dưới dạng dãy các đại lượng giảm vôhạn, mà giá trị giới hạn của chúng bằng không Thí nghiệm thực tế chỉ cóthể cho chúng ta một sự gần đúng nào đó đối với trường hợp lý tưởng Rõràng là quả lắc toán học chỉ có thể tồn tại trong sự trừu tượng, ta không thểthụ cảm được nó nhờ thực nghiệm cảm giác Cũng tương tự như vậy, trong

lý thuyết động lực học phân tử, chúng ta nói về chất khí lý tưởng là trườnghợp giới hạn của các chất khí thực tế Chúng ta có thể đưa ra hàng loạt thí

dụ tương tự về việc hình thành cái gọi là các đối tượng lý tưởng trong cácngành khác nhau của tự nhiên học Các đối tượng này, như chúng ta đãthấy, chúng được hình thành bằng quá trình chuyển qua giới hạn tới mộtgiá trị nào đó mà ta không thể phát hiện được trong thí nghiệm Quá trìnhkhảo sát lịch sử phát triển của toán học, chúng ta gặp rất nhiều các kháiniệm xuất phát của các ngành toán học khác nhau biểu diễn các đối tượng

lý tưởng như thế Ví dụ như các khái niệm "điểm", "đường thẳng", và

"mặt phẳng" trong hình hình học

Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Ơclít đã xác định "điểm hình học" như

là một cái gì không có các thành phần và kích thước Rõ ràng, một đối

tượng như thế không thể tìm thấy trong thiên nhiên, vì ở đó một đối tượngbất kỳ không những có các kích thước xác định, mà còn có các tính chấtkhác như hóa học, lý học v.v Nhưng nhớ rằng, khi thực hiện sự lý tưởnghóa trong vật lý, mặc dù chấp nhận những giá trị không có thật của một sốtính chất nào đó, chúng ta vẫn không được phép trừu tượng khỏi bản thâncác tính chất vật lý.

Trong toán học, sự lý tưởng hóa đi xa hơn Ở đây chúng ta đã bỏqua tất cả các tính chất về chất của các sự vật và chỉ chú ý đến các tính chấtphổ biến và thuần túy về lượng với các quan hệ không gian của các đốitượng Chính vì thế chúng ta dễ thấy rằng, mối liên hệ giữa các đối tượng

lý tưởng của toán học với thế giới hiện thực tỏ ra phức tạp hơn nhiều so vớitrong vật lý Như chúng ta đã thấy, các khái niệm đầu tiên của hình học như

"điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" đã được hình thành ngay từ buổi bìnhminh của sự phát triển hình học, cho nên việc giải thích quá trình hìnhthành của chúng ta là một vấn đề hết sức khó khăn

Trên thực tế, những tư liệu về quá trình này rất nghèo nàn, cho nênchúng ta chỉ có thể "xây dựng lại" nó bằng cách dựa vào các sự tương tựtương ứng trong vật lý và các khoa học khác Từ đó chúng ta có thể nhậnxét rằng, có lẽ các khái niệm đầu tiên của hình học đã nảy sinh dần dần nhờquá trình chuyển qua giới hạn ở thí nghiệm trong tư duy như đã thấy trongvật lý Ví dụ, các bài toán thực tế về đo lường các diện tích khác nhau ngàycàng gợi ý cho con người đi đến suy nghĩ rằng, chiều rộng đường biên củadiện tích không ảnh hưởng đến số đo diện tích được giới hạn bởi đườngbiên đó Bằng con đường như thế, con người đã có thể dần dần đi đến kháiniệm ban đầu về đường thẳng như là sự kéo dài đơn thuần, tức là đườngkhông có bề dày Khái niệm có thể được hình thành bằng việc giảm vô hạnkích thước của chất thể Chính vì vậy không phải ngẫu nhiên mà các địnhnghĩa được mô tả kiểu như thế lại gặp trong tác phẩm "cơ sở" của Ơclít

Sự lý tưởng hóa thường được sử dụng ở những chỗ mà tính phứctạp của các hiện tượng thực tế gây ra những trở ngại rất lớn cho sự nghiêncứu Nhưng trong hàng loạt các trường hợp, ta lại có khả năng đưa ra cácgiả thiết rút gọn Ví dụ, thay các vật chuyển động (hành tinh) trong các bàitoán của cơ học các thiên thể bằng các chất điểm, nhờ đó mà lời giải củacác bài toán được đơn giản hóa rất nhiều Thông thường sự lý tưởng hóatrong khoa học tỏ ra rất có tác dụng trong trường hợp ta có thể sử dụng cácphương pháp và các khái niệm cũ vào việc giải các bài toán mới.

Trong toán học còn có phương pháp phần tử lý tưởng, đây là hìnhthức đặc biệt của sự lý tưởng hóa Phương pháp này đóng một vai trò rấtquan trọng trong việc xây dựng các lý thuyết toán học Để tăng cường tínhtổng quát và tính quy luật của lý thuyết và đơn giản hình thức của nó cùngvới các đối tượng thực tế được nghiên cứu, người ta thường hay đưa vàotrong toán học các phần tử "lý tưởng mới"

Trên thực tế, chúng ta đã gặp phương pháp này trong hình học sơcấp và trong đại số Ta hãy xét một thí dụ trong hình học, từ tiên đề "quahai điểm chỉ có một đường thẳng và chỉ một mà thôi", ta có thể rút ra hệquả là hai đường thẳng cắt nhau tại không quá một điểm Nhưng nếu đặttrong phạm vi các đối tượng ban đầu của hình học, thì không thể khẳngđịnh hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm, vì chúng có thể song song vớinhau Nếu ta thừa nhận các đường thẳng song song cắt nhau tại "điểm vôtận" thì khi đó điều khẳng định của chúng ta là đúng và ta sẽ nhận đượcmột sự tổng quát hóa cần thiết Nhưng có điều chúng ta không bao giờđược quên rằng điểm, đường thẳng và mặt phẳng vô tận là những phần tử

lý tưởng, trong khi đó các điểm, các đường thẳng và các mặt phẳng thôngthường của hình học ơclít là các đối tượng thực tế của lý thuyết Nhờ việcđưa vào các phần tử lý tưởng, chúng ta nhận được sự đối xứng giữa các

điểm và các mặt phẳng, đồng thời nguyên lý đối ngẫu xuất hiện như là một

hệ quả của nó Nguyên lý này tỏ ra rất có giá trị trong hình học

Trong đại số, số ảo lần đầu tiên được đưa vào như là phần tử lýtưởng nào đó của lý thuyết Lúc đầu, nhờ nó ta có khả năng đưa ra mộtthuật toán duy nhất để giải phương trình bậc ba: x3 + px + q = 0 Đó là côngtrình của các nhà toán học Bôm-beli và Cácđanô Sau đó, việc đưa chúngvào đã có thể đơn giản hóa rất nhiều cách phát biểu định lý về số cácnghiệm của một phương trình đại số Định lý khẳng định rằng, một phươngtrình đại số bậc n bất kỳ có n nghiệm, trong đó cần phải xét không chỉ các

số thực mà còn cả các số phức nữa Thật vậy, nếu chỉ xét trong phạm vi các

số thực, thì chúng ta phải nói rằng, phương trình ax2 + bx + c = 0 vônghiệm khi biệt số A = b2 - 4 ac < 0 Các nhà toán học trước kia đã trìnhbày như vậy, bởi vì lúc đó chưa có căn bậc hai của các số âm như là các sốmới - các số phức

Như vậy, từ sự phân tích nói trên, chúng ta có thể nhận định rằng,bằng việc luận chứng cơ sở khách quan của những khái niệm toán học đầutiên và nhờ phương pháp trừu tượng của trừu tượng trong toán học, mộtmặt chúng ta có thể lý giải được nguồn gốc hiện thực của các khái niệmtoán học trừu tượng khác, mặt khác chúng ta cũng thấy được bản chất sángtạo của tư duy con người

Để phản ánh được bản chất sâu xa của đối tượng hiện thực, từnhững khái niệm toán học đầu tiên, tư duy con người đã sản sinh ra cáctrừu tượng toán ở trình độ cao hơn từ những khái niệm đã có Những kháiniệm trừu tượng này, thông qua khâu trung gian là những khái niệm toánhọc đầu tiên đã tìm thấy cơ sở hiện thực của mình Cũng từ đó, chúng tacàng nhận thấy một cách sâu sắc quan điểm đúng đắn của chủ nghĩa duyvật biện chứng về những cơ sở khách quan của các trừu tượng toán học,cũng như của các khoa học nói chung Chỉ có đứng trên lập trường của chủ

nghĩa duy vật biện chứng, chúng ta mới nhận thức đầy đủ hơn và sâu sắchơn cơ sở khách quan của các trừu tượng khoa học, cũng như bản chất sángtạo của tư duy con người trong quá trình nhận thức thế giới khách quan.

1.2.3 Mối quan hệ của đối tượng toán học với thế giới hiện thực

Xuất phát từ quan niệm mác-xít về đối tượng trực tiếp của toán học,chúng ta nhận thấy rằng, tính trừu tượng của toán học được thể hiện ở chỗtrong toàn bộ tính đa tạp của các chất và quan hệ của hiện thực, nó chỉ tách

ra một bộ phận cụ thể nào đó là các hình dạng không gian và các quan hệ

số lượng Như vậy, trong toán học sự trừu tượng hóa xảy ra ở mọi giai đoạnphát triển của nó Ở đây, ta cần phải phân ra hàng loạt mức độ, chẳng hạn,mức độ trừu tượng hóa từ khía cạnh chất lượng cụ thể của các đối tượng vàhiện tượng, sự trừu tượng hóa từ nội dung chất lượng của bản thân cácquan hệ số lượng và các hình dạng không gian, sự trừu tượng hóa khôngchỉ từ nội dung số lượng cụ thể của các trừu tượng toán học, mà ngay cảtrực tiếp từ bản thân các phép toán mà ta coi như các biến

Toán học hiện đại, nhờ các trừu tượng hóa, khái quát hóa và cácphương pháp hình thức hóa của mình, bắt đầu phản ánh hiện thực sâu sắc

và đầy đủ hơn nhiều Toán học hiện đại đã thiết lập được các trừu tượngnhư phương trình, hàm số, toán tử, nhóm, tập hợp trừu tượng v.v Giảitích toán học, mà cốt lõi là khái niệm hàm đã cho phép mô tả sự thống nhấtcác hiện tượng khác loại trên cơ sở nguyên tắc đẳng cấu Ví dụ, cùng mộtphương trình vi phân đã mô tả các loại dao động khác nhau như cơ học,điện học v.v Nhờ các hàm số điều hòa, chúng ta mô tả được thông lượngtheo phiến mỏng của chất lỏng, từ trường và trường hấp dẫn, tức là chúng

ta nhận thấy được sự phản ánh tính thống nhất vật chất của thế giới vào cáctrừu tượng, toán học Về vấn đề này Lênin đã viết: "Tính thống nhất củagiới tự nhiên bộc lộ rõ trong "tính tương tự kỳ lạ" giữa các phương trình viphân về các phạm vi hiện tượng khác nhau" [20, tr 357]

Sự thống nhất của tự nhiên còn bộc lộ trong quá trình mô hình hóatoán học và điều khiển học đối với các hiện tượng khác nhau Việc xâydựng một quan niệm toán học tổng quát, chẳng hạn như quan niệm phiếmhàm đã cho phép ta biểu đạt các quy luật bên trong của các hiện tượng khácnhau nhất Chúng ta có đầy đủ cơ sở để tin tưởng rằng, theo trình độ pháttriển của nhận thức khoa học, sẽ nảy sinh các trình độ trừu tượng hóa còncao hơn nữa, giúp ta phát hiện và biểu diễn các quy luật sâu xa của hiệnthực Cần lưu ý rằng trình độ mới của sự trừu tượng hóa không phải là kếtquả của ý thức tự do, tùy tiện mà nó nói lên sự tổng quát hóa cao hơn và sựphát triển của trình độ đó đang ở thời gian nhất định, phù hợp với tính logiccủa đối tượng được nghiên cứu, với các quy luật và nguyên tắc của tư duy.Việc chuyển từ trình độ kém sâu sắc tới trình độ sâu sắc hơn có nghĩa là sựbiểu đạt ngày càng đầy đủ hơn các quan hệ số lượng trong các khái niệm.

Cấu trúc bên trong của các quan hệ số lượng và các hình dạngkhông gian thì rất phức tạp, không đồng nhất Ngay từ đầu không thể hiểuđược nó như là sự thống nhất của cái đa tạp Con đường duy nhất để thựchiện được điều đó là đi ngược từ cái trừu tượng, tức là từ tri thức không đầy

đủ đến tri thức cụ thể Việc xem xét đối tượng dưới dạng thuần túy là giaiđoạn cần thiết đi trước việc xem xét nó một cách cụ thể Chính vì vậy, việcxem xét cụ thể đó được coi như một biện pháp quan trọng của tư duy toánhọc, đi ngược từ trừu tượng đến cụ thể thông qua sự chỉ đạo của khái niệm

Sự vận động từ trừu tượng đến cụ thể nói lên sự nhận thức ngàycàng sâu sắc các tính chất và quy luật của hiện thực khách quan, nhờ mộtloạt các trừu tượng hóa toán học Nhận thức đó ngày càng trở nên đầy đủ

và toàn diện hơn theo nhịp độ phát triển của toán học hiện đại trên cơ sởcủa thực tiễn Đến lượt mình, sự phát triển của tri thức toán học sẽ tăngcường mối liên hệ qua lại và sự thống nhất của khoa học hiện đại, làmphong phú và khơi sâu các hình thức phản ánh hiện thực Các khái niệm và

lý thuyết toán học càng trở nên trừu tượng bao nhiêu thì khi xét một cáchtổng thể, chúng lại càng cụ thể, càng gần với hiện thực, càng phong phú vềnội dung Cái trừu tượng và cái cụ thể trong sự phát triển của tri thức toánhọc là thống nhất, cái trừu tượng là sự thể hiện bên trong của một trong cácmặt của cái cụ thể và không có cái này thì nó hoàn toàn vô nghĩa Cái trừutượng chỉ là một mức độ, là một trong các yếu tố tiến đến nhận thức sâuhơn cái cụ thể tương đối phát triển hơn Chỉ có tổng số vô hạn của các trừutượng hóa toán học tổng quát trong sự liên hệ của chúng mới cho ta cái cụthể trong sự đầy đủ của nó.

Khi nói về mối quan hệ của các đối tượng toán học với thế giới hiệnthực, chúng ta cần nhấn mạnh một quy luật quan trọng sau đây: Sự trừutượng hóa toán học nảy sinh trên cơ sở thực nghiệm, trong sự phát triểntiếp theo, nó tự tách khỏi nó và tồn tại tự thân một cách tương đối độc lập

và đối lập với nó Ở một giai đoạn nhất định hệ thống các trừu tượng hóatoán học đi trước yêu cầu của thực tiễn xã hội, còn ở giai đoạn cao hơn, hệthống này lại trùng với thực tiễn, với nhu cầu của các khoa học lân cận Ví

dụ, logic toán được áp dụng thực tiễn khi chế tạo các máy tính điện tử Đóchính là biện chứng của sự đi trước và sự hợp lý trong quá trình phát triểncủa nhận thức toán học

Sức mạnh và giá trị của lý thuyết toán học là ở các ứng dụng của

nó Nhà toán học nổi tiếng người Đức là F.Klein đã viết:

Các quan niệm thuần túy logic cần tạo nên, như người tanói, cái bộ xương cứng rắn của cơ thể toán học, truyền cho nó sựvững chắc và sự đáng tin Nhưng bản thân sức sống của toán học,mục tiêu và sức mạnh quan trọng nhất của nó lại liên quan chủyếu tới các ứng dụng của nó, tức là tới quan hệ qua lại giữa cácđối tượng trừu tượng của nó với tất cả các lĩnh vực khác Loại bỏứng dụng ra khỏi toán học cũng có nghĩa là đi tìm một thực thể

sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạchmáu nào [56, tr 44].

Trên thực tế, mối liên hệ của toán học và các trừu tượng hóa toánhọc với thực tiễn mang những nét đặc thù Thực tiễn rất đa dạng (như quansát, thực nghiệm, lao động sản xuất, chứng minh toán học v.v ) Vì vậy,trong một khoa học nhất định chỉ nổi lên một số mặt nào đó của nó Tínhđặc thù của hoạt động thực tiễn trong toán học là sự phản ánh tính đặc thùcủa hoạt động để nắm được các mặt số lượng của thế giới, vì vậy trong toánhọc thực tiễn được thể hiện qua các tiêu chuẩn của tính phi mâu thuẫn của

lý thuyết Ở đây, cần phải thấy rằng mối liên hệ giữa thực tiễn và sự trừutượng hóa toán học nhiều bậc đã mang tính chất gián tiếp Chúng liên hệqua lại thông qua việc ứng dụng các lý thuyết toán học vào các lĩnh vựckhác nhau của khoa học và kỹ thuật, thông qua việc toán học hóa các trithức khoa học

Hiện nay các lý thuyết toán học gắn liền với thực tiễn nhờ việc môhình hóa các đối tượng nghiên cứu của khoa học dựa vào các máy tính điện

tử, tức là bằng con đường thực nghiệm bằng máy

Các trừu tượng hóa toán học có tính chất thứ bậc nhiều tầng, nhiềutrình độ, và vì vậy trong toán học khả năng nảy sinh chủ nghĩa duy tâmnhiều hơn là ở các khoa học khác Cùng với việc con người thâm nhập vàocác cấu trúc tinh vi nhất và các quy luật của vật chất đang vận động, vai tròcủa các trừu tượng hóa toán học ngày càng tăng Cùng với việc giảm kíchthước của đối tượng được nghiên cứu (về vật thể, phân tử, nguyên tử, lớp

vỏ điện tử, hạt nhân, các hạt cơ bản v.v ), số lượng các thông tin tăng và

từ đó nảy sinh sự cần thiết về sự trừu tượng hóa toán học ở trình độ ngàycàng cao hơn nữa Đó chính là quy luật khoa học phản ánh hiện thực theoquan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng

1.2.4 Đặc trưng của đối tượng toán học và những đặc điểm cơ bản của sự trừu tượng hóa toán học

1.2.4.1 Đặc trưng cơ bản của đối tượng toán học

Xuất phát từ cơ sở nghiên cứu đối tượng trực tiếp của toán học vàviệc hình thành những khái niệm đầu tiên của toán học, chúng ta nhận thấyrằng quá trình trừu tượng hóa toán học về cơ bản không khác với quá trìnhtrừu tượng hóa trong các khoa học khác Sự giống nhau đó hoàn toànkhông phải là ngẫu nhiên, bởi vì giữa toán học và các khoa học khác không

có một ranh giới dứt khoát nào cả Toán học cũng như tất cả mọi khoa họcsuy cho cùng đều nghiên cứu thế giới vật chất thực tại, chính vì thế trongcác khái niệm và các quy luật của toán học đã phản ánh tính quy luật củathế giới đó Nhưng trên thực tế, bản thân toán học có những nét đặc thù.Điều đó được thể hiện ở chỗ, trong khi các khoa học khác nhau về tự nhiênnghiên cứu hoặc là một dạng riêng biệt của vận động vật chất (như cơ học)hoặc một loạt các dạng liên hệ hai chiều (như sinh hóa), toán học khôngnghiên cứu một dạng đặc biệt nào của vận động vật chất Điều này đã đượcĂngghen khẳng định trong định nghĩa kinh điển: Đối tượng của toán họcthuần túy là những hình không gian và những quan hệ số lượng của thế giớihiện thực Như vậy, đặc thù của toán học với tư cách là một khoa học riêngbiệt là ở chỗ, toán học tách riêng một cách đặc biệt các quan hệ số lượng vàcác hình dạng không gian vốn có trong tất cả các đối tượng và các hiệntượng, đồng thời biến chúng thành đối tượng nghiên cứu của mình Nhưvậy, toán học có một bình diện áp dụng hết sức rộng rãi, chính điều này đãgắn liền với tính trừu tượng và phiến diện của toán học

Từ việc xem xét toán học như là khoa học về các quan hệ số lượng

và các hình dạng không gian của thế giới hiện thực đã cho chúng ta khảnăng hiểu một cách đúng đắn nội dung khách quan của đối tượng toán học,cũng như khả năng nắm được xu hướng chung của sự phát triển toán học

Để làm sáng tỏ thực chất của vấn đề, trước hết chúng ta cần phải hiểu mộtcách khoa học các quan hệ số lượng và số lượng nói chung Trước đây, đãtừng có một thời kỳ khá dài, có thể nói đến giữa thế kỷ XIX, người ta vẫnhiểu số lượng là đại lượng Điều này có nguyên nhân của nó, bởi vì trênthực tế mỗi đại lượng thông qua đơn vị đo lường đã chọn đều có thể biểuthị bởi một số, nên đã có rất nhiều sự mô tả về đại lượng liên tưởng vớikhái niệm số Từ cách nhìn đó, toán học được định nghĩa như là một khoahọc nghiên cứu những sự phụ thuộc khác nhau giữa các đại lượng hoặcgiữa các số biểu thị chúng Nhưng có một thực tế rất rõ ràng là: Cho dù cácloại đại lượng khác nhau, và sự phụ thuộc giữa chúng có quan trọng đếnđâu đối với các ứng dụng hiện thực của toán học, thì chúng cũng không thểbao trùm toàn bộ sự đa dạng của các quan hệ số lượng và hình dạngkhông gian khác nhau.

Lịch sử toán học đã chứng tỏ rằng, phạm vi các quan hệ số lượngđược nghiên cứu của toán học đã được mở rộng từng bước, theo mức độphát triển của khoa học và thực tiễn xã hội Để có được một quan niệmkhoa học về đối tượng của toán học ở các thời kỳ khác nhau về sự pháttriển của nó, chúng ta cần xem xét một cách cô đọng các nhân tố mới cótính nguyên tắc gắn liền với sự phát triển của đối tượng toán học

Ở thời kỳ đầu, còn gọi là giai đoạn toán học kinh nghiệm bắt đầu từthời cổ đại đến thế kỷ thứ VII - VI (Trước công nguyên), các hiểu biết toánhọc gắn liền với các yêu cầu của cuộc sống kinh tế Có thể nói rằng, ở ngaythời kỳ đầu của sự phát triển xã hội, khi con người còn sống thành bầy đàn,nhờ vào hái lượm, săn bắn để sinh tồn, thì đời sống vật chất cũng đã đòi hỏinhững sự cân đối, đồng bộ trong việc phân công, sử dụng công cụ lao động

và phân chia sản phẩm Phép đếm đã nảy sinh từ nhu cầu cần thiết là xácđịnh số lượng động vật trong một bầy và số lượng sản phẩm thu hoạch mùamàng Khi con người đã biết sản xuất thì nhu cầu về sự cân đối, đồng bộ

ngày càng tăng, chỉ có đếm chưa đủ, cần phải cân, đong, đo đạc, so sánh vàsắp xếp thứ tự Lúc đầu, nhu cầu chính xác còn thấp, số lượng việc đong,

đo, ước lượng chưa nhiều, người ta có thể đong đo trực tiếp hoặc ước lượngbằng kinh nghiệm chẳng hạn như dùng nước hay cát để đong mà so sánhcác thể tích Chính sự đo lường các đại lượng là nguyên nhân xuất hiện cácphân số Đồng thời các nhu cầu đơn giản nhất về đo diện tích các khu đất,

đo thể tích các vật thể khác nhau, đo các chi tiết kiến trúc, đã mang lại sựtích lũy tài liệu thực tế to lớn về hình học Có thể nói rằng, lượng tài liệukhổng lồ về hình học đã được tích lũy ở thời cổ đại Ai Cập Lịch sử còn ghilại việc phải đo đạc lại đất đai sau mỗi vụ lụt của sông Nin khiến cho lưuvực sông Nin là cái nôi sinh ra môn hình học

Những tài liệu toán học ở Babylon cổ đại chủ yếu là chỉ ra cácphương pháp khác nhau để giải các bài toán số học, trong đó có cả cácphương pháp không liên quan trực tiếp đến các nhu cầu kinh tế Do đó,chúng ta có đầy đủ cơ sở để khẳng định rằng, một phần công việc hệ thốnghóa và tinh chế lý thuyết các tư liệu thực tế về số học và hình học đã bắtđầu được thực hiện ngay trong toán học tiền Hy Lạp, đặc biệt là toán họcBabylon và Ai Cập

Tuy vậy, toán học tiền Hy Lạp chưa trở thành một khoa học lýthuyết trừu tượng, vì thế thời kỳ này được coi là thời kỳ phôi thai và ra đờicủa toán học, hay nói chính xác hơn, đây là thời kỳ hình thành toán họcnhư là một khoa học

Thời kỳ thứ hai trong sự phát triển của toán học bắt đầu từ nhữngngười cổ Hy Lạp và kéo dài liên tục cho đến đầu thế kỷ XVII Thời kỳ nàyđược gọi là thời kỳ phát triển toán học về các đại lượng không đổi Vàothời kỳ này sức sản xuất đã phát triển mạnh mẽ, sản phẩm dư thừa tăng lên,

vì vậy nhu cầu về trao đổi, lưu thông hàng hóa trở nên cấp thiết Đồng thờiphương pháp cân, đong, đo, đếm trực tiếp không còn thích hợp nữa Trước

thực trạng đó, con người bắt đầu chú ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa cácđại lượng trong cùng một vấn đề và từ đó rút ra kết luận là trong việc cân,đong, đo, đếm, ta chỉ cần thực hiện một số công đoạn nhất định rồi dùnglập luận mà suy ra các kết quả khác.Chẳng hạn, trong lĩnh vực hình học đãxuất hiện lý luận về so sánh các hình dựa trên sự so sánh một số đoạnthẳng hay góc nào đó (ví dụ như trường hợp bằng nhau hay đồng dạngcủa các tam giác) Trong đại số đã xuất hiện các công thức, các phươngtrình để tìm các số chưa biết theo các số đã biết Nhưng chính những sựphát triển đó trong toán học lại là nguyên nhân xuất hiện những mâu thuẫnmới, chẳng hạn, như sự bế tắc trong việc tính chính xác độ dài đường chéocủa hình vuông có cạnh là đơn vị, sự bất lực trong việc tìm nghiệm củaphương trình x + 1 = 0 v.v

Mặt khác, kinh nghiệm của cuộc sống cũng cho thấy, có những đạilượng có thể tính theo hai chiều như đường đi thì có ngược xuôi, chiều caothì có trên dưới, tiền nong thì có lỗ lãi v.v

Những mâu thuẫn nói trên đòi hỏi phải bổ sung thêm vào các số tựnhiên và phân số những loại số mới như: số âm, số vô tỷ Chính khái niệm

số thực cũng từ đó mà sinh ra Thực tế cuộc sống đã thúc đẩy việc nghiêncứu các số tự nhiên theo chiều sâu, đụng chạm đến các vấn đề như sốnguyên tố, ước số, bội số, các phương trình với nghiệm số nguyên v.v Cóthể nói rằng, từ một loạt các phương pháp khác nhau để giải các bài toánthực tế, các nhà toán học thời kỳ đó đã xây dựng số học thành một khoahọc về các số và các phép tính trên các số đó Hình học cũng đã đạt đượctrình độ cao của sự hoàn thiện về mặt logic Điều đó được thể hiện rõ nhất

ở việc lần đầu tiên người ta đã xây dựng nó bằng phương pháp tiên đề.Trong số các tác phẩm lý luận về toán học, tiêu biểu nhất là tác phẩm "cơbản" của nhà toán học Hy Lạp cổ đại ơclít Tác phẩm này xuất hiện vào thế

kỷ thứ ba trước công nguyên, những nguyên lý nổi tiếng trong đó đã là

nguồn cung cấp tri thức toán học cho các thế hệ sau đó trong suốt một thờigian dài Đồng thời, nó cũng là một tác phẩm mẫu mực về cách lập luậntoán học một cách sáng sủa Tóm lại, ở giai đoạn này, toán học từ trình độkinh nghiệm đã tiến lên trình độ lý luận Tuy vậy, lý luận này mới chỉ dừng

ở chỗ phát hiện ra những mối liên hệ có tính quy luật được thể hiện trongcác định lý, các công thức, trong những sự vật và hiện tượng tĩnh tại, riêng

lẻ Do sự kìm hãm của chế độ phong kiến, cơ học và vật lý chưa phát triểnđược, vì thế vận động lúc đó chưa thể đi vào toán học được, chính vì thế

mà từ tác phẩm "cơ bản" của ơclít trở đi đến hết thế kỷ XVI, toán họckhông tiến xa hơn được bao nhiêu, chỉ đến thế kỷ XVII toán học mới bắtđầu vượt xa hơn thời kỳ cổ đại

Giai đoạn thứ ba trong sự phát triển của toán học được bắt đầu từthế kỷ thứ XVII Thời kỳ phục hưng ở châu Âu đã giải phóng cho xã hộiloài người thoát khỏi những sự kìm hãm của chế độ phong kiến, mở đườngcho khoa học và công nghệ phát triển Nhu cầu nghiên cứu các dạng vậnđộng cơ học và vật lý đã thúc đẩy toán học bước sang một giai đoạn mới.Những vấn đề như vận tốc, gia tốc tức thời, thêm vào đó là phương pháptọa độ của Đêcaxtơ đã làm nảy sinh và phát triển mạnh mẽ các phép tính viphân, tích phân Có thể nói rằng, vào thời kỳ này sự vận động đã thực sự đivào toán học Trọng tâm của toán học hướng vào việc nghiên cứu sự biếnthiên của các hàm số theo các biến số, sự nghiên cứu đạo hàm rồi nguyênhàm và tích phân Phương pháp tọa độ đã cho phép biểu diễn các hàm sốbằng đồ thị, chính điều đó đã làm nảy sinh ra hình học giải tích rồi hình học

vi phân Những khái niệm như đạo hàm, tích phân được liên hệ chặt chẽvới các khái niệm tiếp tuyến, độ cong, độ dài, diện tích, thể tích v.v Những bài toán cơ học, vật lý làm nảy sinh vấn đề tìm các hàm số chưa biếtcăn cứ vào các mối liên hệ giữa các hàm số đó và các đạo hàm của chúng

do các định luật cơ học, vật lý cung cấp Từ đó các phương trình vi phân

thường và các phương trình đạo hàm riêng ra đời Ăngghen đã viết: "Đạilượng khả biến của Đêcaxtơ đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học.Với đại lượng đó, vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính

vi phân và tích phân đã lập tức trở thành cần thiết" [26, tr 756]

Sự sáng lập các phép tính vi phân và tích phân gắn liền với tên tuổicủa các nhà bác học Niutơn và Lepnitxơ, chính là bước quyết định trong sựphát triển của toán học về các đại lượng biến thiên Nhờ đó, khoa học đãnhận được một công cụ rất mạnh do việc nghiên cứu định lượng các quátrình Trong mối liên hệ đó, vào thời kỳ cận đại, việc áp dụng toán học vào

tự nhiên học chính xác tăng lên rất nhiều Giải tích toán học từ đó đã trởthành cái kênh chính, qua đó toán học ảnh hưởng đến khoa học tự nhiên

Tư tưởng biến thiên còn ảnh hưởng đến hình học về phương diệnxem xét các phép biến hình; điểm mấu chốt là ở đây đã lợi dụng các bấtbiến trong các phép biến hình để biến một bài toán khó thành một bài toán

dễ hơn bằng cách thay hình đã cho bằng ảnh của nó qua một phép biến hìnhhợp lý để giữ nguyên các quan hệ đang xem xét nhưng đem lại nhiều thuậnlợi nhất cho việc giải bài toán thông qua ảnh đó Mở đầu là việc xem xétnhững bất biến qua các loại phép chiếu trong hội họa và kiến trúc trongviệc vẽ bản đồ v.v rồi từ những bất biến đó mà phân loại các khái niệm,các tính chất ra thành những khái niệm, tính chất kèm theo các tính từ nhưMêtric, afin, xạ ảnh, bảo giác v.v Sự phân loại này tạo ra nhiều thuận lợi

cả trong những bài toán lý thuyết, những bài toán quỹ tích và dựng hình

Một điểm đáng lưu ý trong thời kỳ này là việc nghiên cứu sự phụthuộc số lượng giữa các đại lượng khác nhau vẫn chiếm vị trí hàng đầu.Chính vì thế, nhiều nhà bác học lúc đó đã xem toán học như là khoa học vềcác đại lượng Chẳng hạn, nhà toán học Alembecxơ đã nhận xét rằng, toánhọc như là một khoa học nghiên cứu các tính chất của các đại lượng, bởi vìchúng đếm được và đo được Nhưng đồng thời trong thời gian đó, những