Sử dụng phương pháp phân tích bình phương s.o.s để chứng minh bất đẳng thức

PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức hiện nay là một mảng đề tài toán học rất đặc sắc ngày càng được nhiều người quan tâm. Bất đẳng thức tỏ ra có sực hấp dẫn mạnh mẽ đối với các bạn học sinh nhờ vẻ đẹp tuyệt vời của nó. Bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó đặc biệt là trong các kì thi như: Olympic 304, kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, trại hè phương nam,...Các phương pháp và kỹ thuật giải chúng ngày càng được mở rộng và phát triển hơn, trong đó không thể không kể đến phương pháp phân tích bình phương S.O.S, một phương pháp tự nhiên và rất hiệu quả, đặc biệt vô cùng hiệu quả đối với các bất đẳng thức đối xứng chuẩn (bất đẳng thức đối xúng ba biến với dấu bằng xảy ra khi ba biến bằng nhau) . 2. Mục đích Tìm hiểu, học tập và thuần thục phương pháp. Nghiên cứu, phát triển và chia sẻ cho các bạn có cùng đam mê một phương pháp hiệu quả để chứng minh bất đẳng thức. 3. Đối tượng áp dụng phương pháp Phương pháp S.O.S có thể được sử dụng trong nhiều dạng bất đẳng thức khác nhau, nhưng trong phạm vi chuyên đề này chỉ nghiên cứu ứng dụng của phương pháp S.O.S trong bất đẳng thức đối xứng ba biến với dấu bằng xảy ra khi ba biến bằng nhau. 4. Phương pháp nghiên cứu Đầu tiên phải hiểu rõ bản chất của phương pháp S.O.S, từ đó mới có thể áp dụng, tìm tòi nghiên cứu kĩ hơn, sâu hơn thông qua các bài toán kinh điển hoặc các bất đẳng thức trong đề thi gần đây. 5. Ý nghĩa thực tiễn Về nhóm thực hiện, chúng em thông hiểu và vận dụng hiểu quả phương pháp để xử lí các bất đẳng thức. Chia sẻ cho các bạn đam mê Toán để các bạn biết thêm về một công cụ hữu ích để chứng minh bất đẳng thức.  

THƠ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

TỔ TOÁN

CHUYÊN ĐỀ

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG S.O.S ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG

THỨC

Giáo viên hướng dẫn:

Thầy Huỳnh Bửu Tính

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

PHẦN MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục đích 2

3 Đối tượng áp dụng phương pháp 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa thực tiễn 2

SƠ LƯỢC VỀ S.O.S 3

1 Bài toán mở đầu 3

2 Tư tưởng 3

NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP S.O.S 5

1 Định lý 5

2 Một số phân tích cơ bản 6

3 Các cách xử lý dạng chuẩn tắc 7

LUYỆN TẬP 11

LỜI GIẢI 13

KẾT LUẬN 21

1 Kết quả đạt được của đề tài 21

2 Hướng phát triển của đề tài 21

QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO 23

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức hiện nay là một mảng đề tài toán học rất đặc sắc ngày càng được nhiều ngườiquan tâm Bất đẳng thức tỏ ra có sực hấp dẫn mạnh mẽ đối với các bạn học sinh nhờ vẻ đẹptuyệt vời của nó Bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó đặc biệt là trong các kì thi như:Olympic 30/4, kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, trại hè phương nam, Các phương pháp và

kỹ thuật giải chúng ngày càng được mở rộng và phát triển hơn, trong đó không thể không kểđến phương pháp phân tích bình phương S.O.S, một phương pháp tự nhiên và rất hiệu quả,đặc biệt vô cùng hiệu quả đối với các bất đẳng thức đối xứng chuẩn (bất đẳng thức đối xúng

ba biến với dấu bằng xảy ra khi ba biến bằng nhau)

2 Mục đích

Tìm hiểu, học tập và thuần thục phương pháp

Nghiên cứu, phát triển và chia sẻ cho các bạn có cùng đam mê một phương pháp hiệu quả đểchứng minh bất đẳng thức

3 Đối tượng áp dụng phương pháp

Phương pháp S.O.S có thể được sử dụng trong nhiều dạng bất đẳng thức khác nhau, nhưngtrong phạm vi chuyên đề này chỉ nghiên cứu ứng dụng của phương pháp S.O.S trong bất đẳngthức đối xứng ba biến với dấu bằng xảy ra khi ba biến bằng nhau

4 Phương pháp nghiên cứu

Đầu tiên phải hiểu rõ bản chất của phương pháp S.O.S, từ đó mới có thể áp dụng, tìm tòinghiên cứu kĩ hơn, sâu hơn thông qua các bài toán kinh điển hoặc các bất đẳng thức trong đềthi gần đây

SƠ LƯỢC VỀ S.O.S

1 Bài toán mở đầu

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c, , ta luôn có bất đẳng thức

32

S 

Để ý kỹ, để chứng minh bài toán này ta cần phải thông qua hai bất đẳng thức trung gian làCauchy-Swarchz và Bunyakovsky Tuy nhiên có một cách làm chỉ sử dụng một kiến thức cơbản là x2     0, x , và hiển nhiên là cách làm đó sẽngắn gọn và đẹp mắt hơn Đó là

Bất đẳng thức luôn đúng vì các đại lượng luôn không âm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

6 Tư tưởng

Với phương pháp phân tích bình phương S.O.S (Sums of Squares), chúng ta sẽ phân tích biểuthức thành dạng tổng các bình phương ( a b  )2,( b c  )2,( c a  )2 cùng các hàm số theo a b c, , đikèm với các bình phương đó, nghĩa là đưa bất đẳng thức đã cho về dạng chính tắc:

Sau đây là bất đẳng thức AM-GM bậc 3

VD1 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c, , ta luôn có bất đẳng thức

Giải

Khi hỏi về cách chứng minh cụ thể cho bất đẳng thức này nếu chưa biết đến S.O.S, có thể ta

sẽ cảm thấy một chút bối rối Tuy nhiên lời giải thật ngắn gọn và đơn giản đến bất ngờ

2

VT VP a b c  abc a b c   a b  b c  c a  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

VD2 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c, , ta luôn có bất đẳng thức

NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP S.O.S

Khi nào ta được áp dụng S.O.S vào việc chứng minh bất đẳng thức?

(với a b c, , là các số thực không âm thỏa a b c  )

Khi làm các bất đẳng thức trên bằng phương pháp S.O.S, ta cảm thấy đưa về dạng chính tắc làbất khả thi Vậy câu hỏi đặt ra ở đây là khi nào ta có thể áp dụng S.O.S để chứng minh bàitoán? Để giải đáp câu hỏi này ta cùng xét qua định lý sau

1 Định lý

Giả sử F a b c( , , ) là một đa thức đối xứng ba biến chuẩn thì tồn tại một đa thức nửa đối xứng

ba biến G a b c( , , ) sao cho đồng nhất thức sau là đúng

F a b c F x y z đúng với mọi hoán vị ( , , )x y z của ( , , )a b c và F x x x ( , , ) 0

+ Hàm G a b c( , , ) được gọi là là nửa đối xứng ba biến khi và chỉ khi đẳng thức sau đúng( , , ) ( , , )

Khi bất đẳng thức thỏa các điều kiện trên ta cần xem xét các tử và mẫu của phân thức có phứctạp hay không vì khi đưa về dạng chính tắc các biểu thức S S Sa, ,b c quá phức tạp dẫn đến việc

Sau đây là các đẳng thức thường dùng trong phân tích

* Đẳng thức với hai biến

 23

Ta có các cách xử lý sau:

 Nếu S Sa, ,Sb c  0với mọi a b c, , thì dễ thấy S  vì các đại lượng đều không âm0

 Trong trường hợp một trong các số biểu thức S Sa, ,Sb c không luôn dương, để tiện cho việc

xử lí ta cần giả sử a b c  (Trong trường hợp bất đẳng thức hoán vị cần giả sử thêm

Sau khi đã có đánh giá trên, việc còn lại của chúng ta chỉ là chứng minh hai bất đẳngthức khá đơn giản là S a 2S b 0

a S  b S  Tuy nhiên khi làm bài,

ta cần chú ý để có được đánh giá trên thì b c Nên khi sử dụng đánh giá này thì cần

chia ra hai trường hợp là b c  và b c

 Ngoài ra nếu Sa Sb Sc  0 và S S S S S Sa b b c c a 0, thì theo định lý về dấu của tam

thức bậc hai cũng dễ dàng suy ra được

b c

 





Do tính đối xứng nên có thể giả sử rằng a b c  , khi đó dễ thấy S S b, c 0

Từ đó việc cònlại ta cần chứng minh là

VD4 (Bất đẳng thức Schur) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm , ,a b c ta có:

Giải

Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3, một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng Có nhiềucách chứng minh khác đơn giản hơn cho bất đẳng thức này Tuy nhiên ở đây sẽ chứng minhbằng phương pháp S.O.S để các bạn có thể hiểu rõ hơn về phương pháp này

Đầu tiên ta cần đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng chuẩn tắc

ab c hoặc các hoán vị tương ứng

VD5 (Bất đẳng thức dạng Schur) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a b c, , ta có

Vậy ta được kết quả S a S b0

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  hoặc ab c, 0 hoặc các hoán vị tương ứng

Bài tập tự luyện không đáp án

Bài 1 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c   Chứng minh1

Bài 3 Tìm hằng số thực dương k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi a b c, ,

là các số thực không âm tùy ý:

Bài 4 Tìm hằng số thực dương k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi a b c, ,

là các số thực không âm tùy ý:

02

a b

a b c

a b abc a b c

22

b

b c b S

c

a c c S

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh Đẳng thức xảy ra

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  hoặc với a  và b c0  hoặc các hoán vị tươngứng

Bài 3 Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa ab bc ca   Chứng minh rằng0

hoặc các hoán vị của chúng

Bài 4 Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa ab bc ca   Chứng minh rằng0

2 2 23

tương đương với b c S 2 ac a S 2 ba b S 2 c0

Không mất tính tổng quát, giả sử a b c  Dễ thấyS b 0, S c 0 và

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  hoặc a 0 và b c hoặc các hoán vị của chúng.

Bài 5 Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa ab bc ca   Chứng minh rằng0

được biết dưới dạng b c S 2 ac a S 2 b a b S 2 c0

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng a b c  Với S c 0 và

Từ cách đặt ban đầu a x y b;  y z c;  z x , dễ thấy a b c  Vậy ta được

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  hoặc a b c, 0 hoặc các hoán vị

Bài 7 (VMO 2015) Cho a b c, , là các số thực không âm Chứng minh rằng

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với mọi a b c, , là các số thực không âm.

Vế phải của bất đẳng thức là một bất đẳng thức khá chặt và khó Chúng ta sẽ chứng minhbằng phương pháp S.O.S Để đơn giản hóa các biểu thức S Sa, ,Sb ckhông còn chứa căn thức,

ab c hoặc các hoán vị tương ứng

Bài 8 Cho các số thực a b c, , dương Tìm hằng số k tốt nhất sao cho bất đẳng thức luôn

6(4 5 )( 2 ) 9(3 2 3)( , )

KẾT LUẬN

1 Kết quả đạt được của đề tài

Đề tài là tài liệu tham khảo vô cùng hữu ích dành cho các bạn học sinh chuyên Toán và giáoviên dạy Toán S.O.S là một phương pháp vô cùng hữu dụng vì có thể áp dụng được với tất cảcác bất đẳng thức đối xứng ba biến chuẩn và một số dạng bất đẳng thức khác Chuyên đề làtài liệu giúp các bạn dễ dàng tham khảo, tra cứu, tìm hiểu để có thể áp dụng vào nhiều bài tập

và từ đó có thêm nhiều kiến thức để có thể dễ dàng xử lý các bài toán bất đẳng thức phức tạphơn, cũng như những bài toán trong các kì thi học sinh giỏi, …

2 Hướng phát triển của đề tài

Đề tài này vẫn không tránh khỏi nhiều thiếu sót nhưng hi vọng với những kiến thức mang đếncho bạn đọc, chuyên đề này sẽ là ý tưởng, là nền tảng cho các bạn phát triển thành những đềtài, những công trình toán học ý nghĩa Hơn thế nữa, tác giả mong muốn các bạn sẽ tìm ranhiều cách xử lí bất đẳng thức về dạng chuẩn tắc như trong chuyên đề để có thể áp dụngphương pháp phân tích bình phương S.O.S một cách hiệu quả nhất Chúc các bạn gặt hái đượcnhiều thành công!

QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU

Thời gian thực hiện đề tài

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phạm Kim Hùng - Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Hà Nội, 2006

[2] Vasile Cîrtoaje - Discrete Inequalities volume II

[3] Diễn đàn toán học - https://diendantoanhoc.net

[4] Tạp chí toán học tuổi trẻ