Nghĩa là ta có: Trong đó là một toán tử; là các hàm số bất kì với x là một tập hợp tọa độ nào đó chứ không phải chỉ riêng tọa độ x.. Tổng và hiệu hai toán tử thì giao hoán được, còn tí
Trang 1Chương 2: TOÁN TỬ
I ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH:
1) Ðịnh nghĩa: TOP
Toán tử là một thực thể toán học mà khi tác dụng lên một hàm số bất kì sẽ cho
ta một hàm số khác
Nghĩa là ta có:
Trong đó là một toán tử; là các hàm số bất kì với (x) là một tập hợp tọa độ nào đó chứ không phải chỉ riêng tọa độ x
2) Các thí dụ: TOP
3) Toán tử tuyến tính TOP
II CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ
cuu duong than cong com
Trang 2Tổng và hiệu hai toán tử thì giao hoán được, còn tích hai toán tử nói chung không giao hoán được, khi viết tích hai toán tử ta phải giữ nguyên thứ tự của chúng
III HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
Nói chung khi cho toán tử tác dụng lên hàm thì ta được hàm số
.(Với (x) là tập hợp biến số nào đó) Nhưng cũng có trường hợp ta lại được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số Tức là:
Khi đó ta nói là hàm riêng của toán tử Â và phương trình trên gọi là phương trình trị riêng của toán tửĠ Còn a được gọi là trị riêng ứng với hàm riêng của toán tử Â
Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì tương ứng với một trị riêng (cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trường hợp
cuu duong than cong com
Trang 3này ta gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các phương trình trị riêng và được viết như sau:
Số trị riêng có thể là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục
Ðể tìm trị riêng và hàm riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị riêng của toán
tử đó
Thí dụ :
Cho toán tử
Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử Â biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng (o,L)
(ta không viết đối số tọa độ x để khỏi rườm rà)
Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa
Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng (0,L) nên ta có Tức là:
cuu duong than cong com
Trang 4
IV TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY TOÁN TỬ HECMIT):
Cho toán tử Â và các hàm số bất kì Nếu hệ thức sau đƣợc thỏa mãn :
thì Â đƣợc gọi là toán tử hecmit ( hay toán tử tự liên hiệp tuyến tính):
Từ biểu thức của định nghĩa và chú ý rằng hàm sóng là mô tả một trạng thái vật lí nên nó bằng không khi tọa độ bằng vô cùng,ta dễ dàng chứng minh đƣợc toán tử là toán tử hecmit, còn toán tử không phải là hecmit
a/ Các trị riêng của toán tử hecmit là những số thực.
cuu duong than cong com
Trang 5b/ Các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau.
Trước hết ta định nghĩa sự trực giao như sau:
Nếu có hệ các hàm (n =1; 2; 3 )
Thí dụ các hàm sin(nx) trực giao trong khoảng
Bây giờ ta chứng minh các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau Muốn vậy ta hãy chọn Khi đó biểu thức định nghĩa là:
vì các hàm là các hàm riêng của toán tử Â nên phương trình trên trở thành:
cuu duong than cong com
Trang 6Nói chung
Tức là các hàm trực giao với nhau
Nếu các hàm riêng được chuẩn hóa thì ta có thể gộp cả hai điều kiện trực giao và chuẩn hóa lại làm một điều kiện gọi là điều kiện trực chuẩn như sau:
c/ Các hàm riêng của toán tử hecmit lập thành một hệ đủ.
Tính chất này có nội dung như sau:
Nếu ta có hàm f(x) bất kì và các hàm riêng của toán tử hecmit thì ta có thể phân tích f(x) thành:
Ta thừa nhận tính chất này ,mà không cần phải chứng minh
V.CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC
Một toán tử có các trị riêng là liên tục thì được gọi là toán tử có phổ liên tục Ðối với toán
tử có phổ liên tục thì phương trình trị riêng được viết:
Ðể phân biệt với toán tử có phổ gián đoạn
Trong phương trình trị riêng này ta đã lấy trị riêng của toán tử làm chỉ số chạy Như vậy a
là thông số biến đổi liên tục chứ không phải là các số nguyên Ðối với toán tử có phổ liên tục, các tính chất vẫn như toán tử có phổ gián đoạn Tức là:
- Trị riêng là những số thực
cuu duong than cong com
Trang 7- Các hàm riêng trực giao với nhau.
Nhưng điều kiện chuẩn hóa lại khác Khi đó ta có:
khi tọa độ tiến tới vô cực
Với gọi là hàm đenta Derac, là một hàm suy rộng cho bởi quy tắc tích phân
Ví dụ hàm đenta đối số x là:
Miễn sao trong khoảng (a,b) có chứa điểm x = 0 hay x = c
Ta cũng chú ý rằng khi phân tích hàm f(x) theo hệ các hàm riêng của toán tử có phổ liên tục thì ta phải dùng công thức:
thay cho công thức:
trong trường hợp toán tử có phổ gián đoạn
cuu duong than cong com
Trang 8
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
cuu duong than cong com
Trang 9
cuu duong than cong com