Về cơ sở và thuật toán vẽ một số fractal

12Chương 2 Cơ sở lý thuyết xây dựng thuật toán vẽ một số fractal222.1 Cấu trúc của các tập fractal.. Ngoài ra, trong Toán học có nhiều hiệntượng tưởng như là nghịch lý, chẳng hạn, tồn tạ

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin được gửi lời biết ơn sâu sắc tới côgiáo hướng dẫn, người đã định hướng, giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, chu đáotrong suốt quá trình tác giả thực hiện và hoàn thành luận văn

Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo thuộcViện Sư phạm Tự nhiên, trường Đại học Vinh đã giảng dạy tận tình, chu đáotrong suốt quá trình học tập Cảm ơn tập thể lớp Toán Giải tích Cao học, khóa

25 đã đồng hành trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Cảm ơn tập thểcán bộ, giáo viên của trường THPT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh nơi tôi đang côngtác, đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình họctập

Mặc dù đã rất nỗ lực để hoàn thành luận văn này nhưng chắc chắn cónhiều thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những nhận xét, góp ý từ cácThầy giáo, Cô giáo và các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, ngày 30 tháng 5 năm 2019

Phạm Văn Đức

Mục lục

Lời cảm ơn 1

Mở đầu 3Chương 1 Sự tồn tại tập fractal 61.1 Mêtric Hausdorff 61.2 Sự tồn tại tập fractal 12Chương 2 Cơ sở lý thuyết xây dựng thuật toán vẽ một số fractal222.1 Cấu trúc của các tập fractal 232.2 Fractal sinh bởi độ đo 282.3 Mô tả một số fractal quen thuộc, thuật toán và chương trình vẽ

chúng 32Kết luận 38Tài liệu tham khảo 39

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hình học fractal ra đời với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính đã giúp chochúng ta mô tả được một cách chân thực nhiều sự vật hiện tượng trong cuộcsống thực quanh ta cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học như địa chất, sinhhọc, y học, khoa học máy tính, kiến trúc

Năm 1981, John E Hutchinson đã đưa ra một cách xây dựng tập fractalkhá đơn giản Ông chỉ ra rằng cứ có một họ hữu hạn các ánh xạ co Banach trênkhông gian Rn thì có một toán tử fractal và tập fractal chính là điểm bất độngcủa toán tử fractal đó Mặc dù hình học Euclid ra đời rất sớm và có rất nhiềulợi ích nhưng gần như nó chỉ mô tả được các hình ảnh lý tưởng, trơn tru, nhẵn,không gai góc Vì thế, nó không thể mô tả một cách chân thực cuộc sống thựcquanh chúng ta “Đám mây không phải là hình cầu, núi không phải hình nón, bờbiển không phải là hình tròn và vỏ cây không trơn tru, cũng không có tia sét đitheo đường thẳng” (Mandelbrot 1982) Ngoài ra, trong Toán học có nhiều hiệntượng tưởng như là nghịch lý, chẳng hạn, tồn tại tập có chu vi vô hạn nhưngdiện tích bằng không, tồn tại tập không đếm được nhưng độ đo Lebesgue bằngkhông, tồn tại hàm liên tục trên một miền liên tục nhưng không khả vi tại bất

kỳ điểm nào cũng chưa được giải thích một cách cụ thể Sự ra đời của hìnhhọc fractal và các tập fractal đã giúp phần lớn giải quyết được những tồn đọng

đó Các tập fractal giúp mô tả cấu trúc AND, bờ biển, đồi núi, kiến trúc nhà,cây cỏ, hoa lá, bề mặt núi rừng, đo chiều dài bờ biển, chuẩn đoán mức độ bệnhParkinson, nén ảnh .

Vì thế, vấn đề xây dựng các tập fractal rất có ý nghĩa và luôn thu hút sựquan tâm nghiên cứu của các nhà Toán học và Tin học Để tập duyệt với nghiêncứu khoa học và tìm hiểu về vấn đề này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu choluận văn của mình là: “Về cơ sở và thuật toán vẽ một số fractal”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về sự tồn tại và cấu trúc của các tập fractal Qua đó, làm cơ sởxây dựng thuật toán xác định vẽ một số hình ảnh fractal

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu cấu trúc tập fractal qua hệ hàm lặp gồm các ánh xạ co trênkhông gian mêtric

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đọc hiểu các tài liệu tham khảo liên quan đến việc xây dựng mêtricHausdorff, sự tồn tại các tập fractal, fractal sinh bởi độ đo, cấu trúc của tậpfractal và các thuật toán sinh fractal

- Trình bày và chứng minh các kết quả mà tài liệu tham khảo chưa chứngminh, nêu các ví dụ minh họa

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, suy diễn logic, tương tựhóa, tổng quát hóa

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài các phần như Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thìnội dung luận văn này được trình bày thành hai chương

Chương 1 Về sự tồn tại tập fractal

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về mêtric Hausdorff, toán tửfractal, hệ hàm lặp và sự tồn tại tập fractal qua toán tử fractal Đây là cơ sở đểtìm hiểu cấu trúc của tập fractal, giúp cho việc vẽ các fractal

Chương 2 Cơ sở xây dựng thuật toán vẽ một số fractal

Chương này đề cập đến việc nghiên cứu cấu trúc của fractal từ hệ hàm lặp

Từ đó, dùng làm cơ sở để xây dựng thuật toán xác định vẽ fractal

Nghệ An, tháng 5 năm 2019

Tác giả

Phạm Văn Đức

Chẳng hạn, trên R với mêtric d được xác định bởi d(x, y) = |x − y|, taxét hai tập A = [0; 1] và B = [3; 4] Khi đó, A, B ∈ C (R) và D(A, B) = 2,

D(B, A) = 3 Rõ ràng D(A, B) 6= D(B, A)

Công thức trong mệnh đề sau cho ta cách xác định một mêtric trên C (X).1.1.3 Mệnh đề ([1]) Cho (X, d) là một không gian mêtric Xét ánh xạ

dH: C (X) × C (X) → [0; +∞)

(A, B) 7→ dH(A, B) = max{D(A, B), D(B, A)}

Khi đó, dH là một mêtric trên C (X)

Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện của một mêtric đối với dH

i) DoD(A, B)vàD(B, A)không âm nêndH(A, B) ≥ 0với mọiA,B ∈ C (X).Nếu dH(A, B) = 0 thì

max{D(A, B), D(B, A)} = 0 ⇒ D(A, B) = D(B, A) = 0

Ta suy ra A = B Do A và B compact nên A = A, B = B, tức là A = B.Ngược lại, giả sử A = B thì ta có D(A, B) = D(B, A) = 0 Suy ra

dH(A, B) = 0

ii) Ta có

dH(A, B) = max{D(A, B), D(B, A)}

= max{D(B, A), D(A, B)}

= dH(B, A) với mọi A, B ∈ C (X)

iii) Ta chứng minh dH(A, B) ≤ dH(A, C) + dH(C, B) với bất kỳ A, B, C ∈

C (X)

Kết hợp điều này và công thức xác định dH(A, B) ta có

dH(A, B) = max{D(A, B), D(B, A)}

≤ max{D(A, C) + D(C, B), D(B, C) + D(C, A)}

≤ max{D(A, C), D(C, A)} + max{D(C, B), D(B, C)}

= dH(A, C) + dH(C, B)

Như vậy, dH là một mêtric trên C (X)

1.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Với cách xácđịnh dH như ở Mệnh đề 1.1.3 thì dH được gọi là mêtric Hausdorff trên C (X).Sau đây ta xét một số ví dụ về mêtric Hausdorff

1.1.5 Ví dụ 1) Xét hai tập A = [0; 20] và B = [22; 31] trong R với mêtric d

được xác định bởi d(x, y) = |x − y|

Vậy dH(A, B) = max{22, 11} = 22.

2) Xét trong không gian mêtric đầy đủ (R2, d) với mêtric d được xác định bởi

Hình 1.1: Tập hợp A và B trong không gian mêtric đầy đủ (R2, d)

Theo định nghĩa thì d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} Nên với mỗi x ∈ B, nếu

x ∈ A ∩ B thì d(x, A) = 0 Nếu x ∈ B \ A thì d(x, A) chính là khoảng cách

từ x đến giao điểm của đường thẳng đi qua x và O với đường tròn tâm O

.Hay ta có

Ký hiệu Aδ = {x ∈ X : d(x, A) ≤ δ} với δ > 0 và A ∈ C (X) cho trước

Aδ được gọi là δ −bao của A

Để dễ xác định và hình dung về mêtric Hausdorff trên C (X), ta có mệnh

Lấy δ ∈ Ω, ta có A ⊂ Bδ Do đó, d(a, B) ≤ δ với mọi a ∈ A Dẫn đến

sup{d(a, B) : a ∈ A} ≤ δ Tương tự, ta có sup{d(b, A) : b ∈ B} ≤ δ Do đó,

dH(A, B) ≤ δ, với mọi δ ∈ Ω

Vậy

dH(A, B) ≤ inf{δ : δ ∈ Ω} = α (1.1)Bây giờ ta chứng minh α ≤ dH(A, B) Ta có

cũng là không gian mêtric đầy đủ

Chứng minh Giả sử {Ak} là một dãy Cauchy tùy ý trong C (X), ta cần chỉ

ra tồn tại A ∈ C (X) sao cho dH(Ak, A) → 0 khi k → ∞ Thật vậy, do {Ak}

là dãy Cauchy nên với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N (ε) sao cho với mọi

k, h ≥ Np ta có

dH(Ak, Ah) ≤ 2−pε

Lấy một dãy tăng{kp}sao chokp ≥ Np Chox0 ∈ Ak0, giả sửx0, x1, , xp

đã được chọn thỏa mãn

xi ∈ Aki, d(xi, xi+1) ≤ 2−iε, (1 ≤ i ≤ p)

Khi đó, chọn xp+1 ∈ Akp+1 sao cho d(xp, xp+1) ≤ 2−pε (việc chọn này cóthể được vì d(xp, Akp+1) ≤ dH(Akp, Akp+1) ≤ 2−pε) Do vậy, {xp} là dãy Cauchytrong Rn, nên tồn tại x ∈ Rn sao cho d(xp, x) → 0 khi p → ∞ Với mọi p ta có

Do đó, Ak0 ⊂ A2ε khi k0 ≥ N0

Ngược lại, với mỗi x ∈ A ta có, với mọi k0 ≥ N0: x ∈ [

k≥kp

Ak cho nên tìmđược h0 ≥ N (ε) thỏa mãn d(x, Ah0) ≤ ε Khi đó

số hữu hạn hình cầu tâm x1, , xm bán kính ε Khi đó, các hình cầu tâm

x1, , xm bán kính 2ε phủ A Do đó, A hoàn toàn bị chặn, suy ra A ∈ C (X).Như vậy (C (X), dH) là không gian mêtric đầy đủ

mọi x, y ∈ Rn, ta có

d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y)

Khi đó k được gọi là hệ số co của ánh xạ f

ii) f được gọi là ánh xạ đồng dạng nếu tồn tại k ∈ R+ sao cho ∀x, y ∈ Rn tacó

d(f (x), f (y)) = kd(x, y)

iii) f được gọi là ánh xạ affine nếu

f (x) = Ax + v

trong đó A là một ma trận vuông và v là vectơ trong Rn

iv) Một họ hữu hạn các ánh xạ co Banach f1, f2, , fn với các f : Rn → Rn(i = 1, 2, , n) được gọi là một hệ hàm lặp trên Rn và kí hiệu là IFS(Interated Function System)

v) Một ma trận vuông A với hệ số thực và thỏa mãn điều kiệnA−1 = At đượcgọi là ma trận trực giao

1.2.2 Nhận xét Cho (Rn, d) là không gian mêtric và ánh xạ f : Rn →Rn.i) Phép đồng dạng là phép co nếu tỉ số đồng dạng k < 1

ii) Một ánh xạ affine là ánh xạ co nếu mô đun của tất cả các giá trị riêng của

ma trận A nhỏ hơn 1 Trong trường hợp đó, mô đun lớn nhất của các giátrị riêng của A được gọi là hệ số co

iii) Mỗi ánh xạ đồng dạng trên Rn là một ánh xạ affine có dạng

f (x) = kU x + v

với U là ma trận trực giao

Để xây dựng tập fractal, trước hết ta cần chứng minh bổ đề sau.1.2.3 Bổ đề ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric.

x∈B∪Cd(a, x) hay d(a, B) ≥ d(a, B ∪ C)

Lấy suprimum hai vế bất đẳng thức trên theo a ∈ A ta được

Suy ra

dH(A, B ∪ C) = max{D(A, B ∪ C), D(B ∪ C, A)}

≤ max{D(A, B), D(A, C), D(B, A), D(C, A)}

= maxmax{D(A, B), D(B, A)}, max{D(A, C), D(C, A)}

= max{dH(A, B), dH(A, C)}

Ta suy ra

max{D(A, C ∪ D), D(C, A ∪ B)} ≤ max{D(A, C), D(C, A)} = dH(A, C)

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có

1.2.4 Nhận xét Một cách tổng quát ta có kết quả sau.

Với A1, A2, , Am, B1, B2, , Bm ∈ C (X) thì

dH

m[

i=1

Ai,

m[

1.2.5 Mệnh đề ([1]) Cho(X, d)là không gian mêtric đầy đủ Gọi f1, f2, , fn

là các ánh xạ co Banach với các hệ số co tương ứng k1, k2, , kn Ta xác địnhánh xạ F như sau

F : C (X) → C (X)

A 7→ F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ · · · ∪ fn(A) =

n[

i=1

fi(A)

Khi đó, F là ánh xạ co Banach trên không gian mêtric đầy đủ (C (X), dH)

với hệ số co là k = max{k1, k2, , kn}, nghĩa là

dH(F (A), F (B)) ≤ kdH(A, B), ∀A, B ∈C (X)

Chứng minh Ta sử dụng phương pháp quy nạp Với bất kỳ A, B ∈ C (X)

- Với n = 1, ta có F (A) = f1(A), F (B) = f1(B) nên

dH(F (A), F (B)) = dH(f1(A), f1(B)) ≤ k1dH(A, B) = kdH(A, B)

- Với n = 2, thì

F (A) = f1(A) ∪ f2(A),

F (B) = f1(B) ∪ f2(B)

fi(A),

m[

i=1

fi(A)

![

fm+1(A),

F (B) =

m[

i=1

fi(B)

![

i=1

fi(A)

![

fm+1(A),

m[

i=1

fi(B)

![

i=1

fi(A),

m[

Vậy,F là ánh xạ co Banach trên không gian mêtric đầy đủ(C (X), dH).

Để chứng minh kết quả chính của mục này ta sử dụng nguyên lý ánh xạ

co Banach được phát biểu như sau

1.2.6 Định lí ([5]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và f : X → X

là ánh xạ co Khi đó, f có điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất

a∗ ∈ X sao cho

f (a∗) = a∗

Hơn nữa, với bất kỳ a ∈ X ta có a∗ = lim

n→∞fn(a).1.2.7 Định lí ([5]) Cho hệ hàm lặp {fi}m

i=1 trên không gian mêtric đầy đủ

(X, d)và F : C (X) → C (X) là ánh xạ được xác định bởiF (A) =

m[

i=1

fi(A) Khi

đó, luôn tồn tại duy nhất một tập A∗ ∈ C (X)sao cho A∗ = F (A∗) =

m[

i=1

fi(A∗)

Hơn nữa, với bất kỳ A ∈ C (X) ta có A∗ = lim

k→∞Fk(A), trong đó Fk(A) là

sự lặp lại k lần ánh xạ F, tức là Fk(A) = F (F (· · · F (A))) (k lần)

Chứng minh Do (X, d) là không gian mêtric đầy đủ nên theo Định lý 1.1.7 thì

(C (X), dH) là không gian mêtric đầy đủ Vì {fi}m

i=1 là hệ hàm lặp nên theoMệnh đề 1.2.5 thìF là ánh xạ co Theo Định lí 1.2.6 tồn tại duy nhấtA∗ ∈ C (X)

để F (A∗) = A∗ Hơn nữa, với bất kỳ A ∈ C (X), ta có A∗ = lim

k→∞Fk(A).1.2.8 Định nghĩa i) TậpA∗ được xác định như trong Định lí 1.2.7 được gọi

là tập bất biến hay tập hút qua hệ hàm lặp {fi}m

i=1.ii) Nếu fi (1 ≤ i ≤ m) là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến A∗ được gọi

là tập tự đồng dạng

iii) Các tập bất biến được xem là các tập Fractal

Sau đây là ví dụ về tập bất biến qua hệ hàm lặp.

1.2.9 Ví dụ Tập Cantor được giới thiệu đầu tiên bởi nhà toán học người Đức

là Georg Cantor vào năm 1883 (thực chất nó được phát hiện vào năm 1875 bởiHenry John Stephen Smith) Nó được xây dựng bằng cách lấy đoạn thẳng[0; 1],chia đoạn thẳng đó thành ba phần bằng nhau và bỏ đi khoảng ở giữa để đượctập F1 = 0; 13∪ 2

3; 0 Tiếp tục lặp lại quá trình như trên đối với các đoạnthẳng của tập F1 để thu được tập F2, F3, Tập còn lại sau quá trình đó làtập Cantor

Hình 1.2: Hình ảnh tập Cantor thu được sau một số lần sử dụng hệ hàm lặp

Tập Cantor là tập bất biến qua hệ hàm lặp {fi}2

i=1 trên [0; 1], gồm hai ánh

xạ được xác định như sau

nên f1, f2 là các ánh xạ đồng dạng với tỉ số k1 = k2 = 1

3.

Ta có F1 = f1(F0) ∪ f2(F0), F2 = f1(F1) ∪ f2(F1), Bằng quy nạp ta thuđược Fi+1 = f1(Fi) ∪ f2(Fi) với i = 0, 1, 2,

hoặc x ∈



2

3; 1



Nếu x ∈



0; 13

thì x ∈ Fi+1 = f1(Fi) ∪ f2(Fi) với i ∈N Nhưng ta lại có

f1(Fi) ⊇ f1([0; 1]) =



0; 13

C ⊆ f1(C) ∪ f2(C) (1.4)Bây giờ, ta chứng minh C ⊇ f1(C) ∪ f2(C)

Với mỗi x ∈ f1(C) ∪ f2(C) ta có x ∈ f1(C) hoặc x ∈ f2(C)

Ta xét trường hợp x ∈ f2(C) Khi đó, tồn tại x2 ∈ C sao cho

x3 ∈ Fi+1 sao cho 3x − 2 = x3 hay

i=1

Từ các kết quả trình bày ở Chương 1 làm xuất hiện hai vấn đề cơ bản Một

là, cho hệ hàm lặp {fi}n

i=1, yêu cầu đặt ra là tìm tập fractal sinh bởi hệ hàmlặp đó Cụ thể là lập chương trình vẽ tập fractal, là tập bất biến qua hệ hàmlặp cho trước Hai là, bài toán ngược, cho trước một tập (một đối tượng hoặcmột mô hình nào đó), hãy tìm hệ hàm lặp sinh ra tập đã cho ấy Đây là vấn đềkhá khó Trong thực tế nói chung, ta chỉ tìm hệ hàm lặp sinh ra tập bất biến

mà gần giống với tập cho trước Sau đó, tìm cách thay đổi các yếu tố trong hệhàm lặp để tập bất biến thu được càng “giống” với tập ban đầu càng tốt.Vấn đề thứ nhất được ứng dụng nhiều trong hội họa, điêu khắc, kiến trúc,

mô phỏng các mô hình của động lực học, của y học, sinh học, địa chất,

Vấn đề thứ hai nói trên thường được ứng dụng nhiều trong nén ảnh và xử

lý ảnh Thay vì phải dùng các phương pháp nén phức tạp ta chỉ cần mất rất ít

bộ nhớ để lưu trữ hệ hàm lặp thì ta đã có thể lưu trữ và gửi các hình ảnh đimột cách đơn giản nhất

Có một vài cách xây dựng tập fractal, trong phần này chúng tôi chỉ đề cậpđến việc xây dựng fractal từ hệ hàm lặp bằng thuật toán xác định

2.1 Cấu trúc của các tập fractal

Định lí 1.2.7 là chìa khóa để giải quyết vấn đề thứ nhất nói trên Từ côngthức trong Định lí 1.2.7, tập bất biến A∗ được xác định bởi A∗ = lim

k→∞Fk(A)

với A ∈ C (X) bất kỳ Do đó, dãy {Fk(A)} là xấp xỉ tốt với tập bất biến A∗

Ta gọi Fk(A) là tập tiền fractal (pre - fractal) cấp k của A∗ Mệnh đề sau đây

đề cập đến cấu trúc của các tiền fractal

2.1.1 Mệnh đề ([1]) Cho hệ hàm lặp {fi}m

i=1 trên không gian mêtric đầy đủ

(X, d)vàF là ánh xạ được xác định bởiF (A) =

m[

Do đó, A0 = A∗ Ta có điều phải chứng minh.

2.1.2 Mệnh đề ([4]) Cho An là dãy các tập compact khác rỗng trong X và giả

sử An là dãy giảm, nghĩa là A1 ⊇ A2 ⊇ · · · Khi đó, An hội tụ về A = \

n∈N

An

theo mêtric Hausdorff

Chứng minh Cho trước ε > 0 Do A ⊆ An với mọi n ∈ N nên

A ⊆ (An)ε = {x : d(x, a) < ε, a ∈ An}

Mặt khác, với lân cận ε của A thì

(A)ε = {y : d(x, y) < ε, x ∈ A}

là một tập mở Họ {(A)ε} ∪ {X \ An : n ∈N} là một phủ mở của A1 Vì A1 làtập compact nên tồn tại một phủ con hữu hạn Điều này có nghĩa là, vớiN ∈ N

nào đó ta có (X \ An) ∪ (A)ε ⊇ A1 với mọi n ≥ N Do đó, An ⊆ (A)ε Vì vậy,

D (A, An) ≤ ε với mọi n ≥ N Suy ra An → A

Cho trước n ∈ N∗, ký hiệu I = {1, 2, , n},

In = {i1i2 ik | ij ∈ I, j = 1, 2, , n},