Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học giải tích 12

Một học sinh có năng lực mô hình hóa sẽ tự mình “sáng tạo” mô hình của bài toán, tự khám phá và tìm hiểu cấu trúc bài toán, có thể hiểu được bản chất của vấn đề thực tiễn từ đó giải quyế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGHỆ AN – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Xuân Chung

NGHỆ AN – 2018

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin phép được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS Phạm Xuân Chung, người thầy không chỉ đã dạy bảo chúng tôi trên bục giảng những năm tháng đại học, thầy còn tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Ngành Toán, Viện Sư Phạm Tự Nhiên, Phòng Đào tạo Trường Đại Học Vinh đã tạo điều kiện thận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các giáo viên tổ Toán – Tin, các em học sinh lớp 12C4, 12C5 Trường THPT chuyên Phan Bội Châu đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong quá trình thực nghiệm sư phạm

Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng khó tránh khỏi một số sai sót và khiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn

Tác giả

Võ Anh Tú

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu về năng lực mô hình hóa toán học 6

1.1 Trong nước 6

1.2 Ngoài nước 7

1.2 Năng lực mô hình hóa toán học 8

1.3 Biểu hiện, cấp độ của năng lực mô hình hóa toán học 15

1.4 Vai trò của năng lực mô hình hóa toán học đối với học sinh THPT 17

1.5 Dạy học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực 17

1.6 Đặc điểm và nguyên tắc thiết kế hoạt động mô hình hóa toán học 19

1.7 Thực trạng bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trung học phổ thông 21

1.8 Kết luận chương 1 26

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12 27

2.1 Các định hướng xây dựng biện pháp 27

2.2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học Giải tích 12 ……… 28

- Tăng cường hoạt động trải nghiệm trên các tình huống thực tiễn dẫn đến hình

thành kiến thức mới ……… 28

- Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong các chủ đề ………39

- Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc thiết kế các hoạt động mô hình hóa toán học ………54

2.3 Kết luận chương 2 ……….64

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ……….65

3.1 Mục đích thực nghiệm ………65

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm ……….66

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm ……… 66

3.2.2 Nội dung thực nghiệm ……….66

3.3 Đối tượng và phương pháp thực nghiệm ………68

3.4 Kết luận thực nghiệm ………71

KẾT LUẬN……… 72

Tài liệu tham khảo ……… 73

Phụ lục ……… 77

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong thời đại mới, khi mà nước ta đang trên con đường phát triển và hội nhập với thế giới việc đòi hỏi nguồn nhân lực có trình độ, có năng lực, có sự tư duy, sáng tạo càng trở nên cấp thiết, vì vậy công cuộc giáo dục và đào tạo luôn được ưu tiên hàng đầu và là nền móng là cốt lõi trong việc đào tạo nhân tài

Thực tế ở các nước tiên tiến trên thế giới, đổi mới và phát triển giáo dục luôn được chú trọng và quan tâm đặc biệt là làm sao để bồi dưỡng và phát triển năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn, những vấn đề xung quanh cuộc sống hàng ngày của chúng ta

Trong đổi mới giáo dục nước ta hiện nay, các vấn đề thực tiễn cũng thường xuyên được đưa vào các chương trình học, sách giáo khoa, sách bài tập … nhằm mục đích giúp các em học sinh có thể vận dụng những tri thức đã học vào giải quyết các vấn đề thực tế trong cuộc sống Trong giáo dục, từ lâu toán học đã là môn khoa học cơ sở, đóng vai trò cực kỳ quan trọng không chỉ trong phát triển văn minh nhân loại mà còn gắn liền với thực tiễn cuộc sống xung quanh chúng ta một cách mật thiết Mác và Ăng – Ghen đã chứng minh rằng khoa học, trong đó toán học là cốt lõi không những phát minh mà còn luôn luôn phát triển trên một cơ sở vật chất nhất định, đó là thực tiễn đời sống – những vấn đề tưởng như không hề liên quan lại nhưng lại có mối liên kết với toán học

Trong quá trình dạy học toán ở THPT, chúng ta đặc biệt chú trọng đến bồi dưỡng cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học vào các môn khoa học khác và bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào đời sống Điều đó cho học sinh thấy rõ mỗi liên hệ giữa toán học và thực tiễn, thấy rõ toán học là một dạng phản ánh của thực tại khách quan, thấy rõ nguồn gốc, đối tượng và công cụ của toán học Lâu nay, không ít giáo viên dạy Toán ở trường THPT khi dạy học các hoạt động

như: Dạy học khái niệm, phương pháp giải toán thường là nêu tên khái niệm, đưa

ra phương pháp giải và cuối cùng là các bài tập củng cố, rèn các kĩ năng giải các bài toán ứng dụng trong nội bộ toán học mà chưa quan tâm đến việc hình thành cho các em năng lực giải quyết vấn đề để khi các em gặp những bài toán thực tiễn cần vận dụng tri thức, kiến thức toán học để giải quyết thì các em lại không hiểu, hoặc không có hướng giải quyết Vô hình chung các em cho rằng toán học chỉ là một môn học khô khan, không có sự liên kết với thực tiễn, “học toán chả để làm gì!” hay “học toán chỉ để thi, để vào đại học, sau này công việc của bản thân đâu cần vận dụng toán học” Vì vậy việc bồi dưỡng năng lực toán học vào giải quyết vấn đề cho học sinh THPT là một vấn đề cực kỳ quan trọng và cấp bách Tuy nhiên chúng ta thấy rằng năng lực toán học là một phạm trù rất rộng, để giải quyết một vấn đề trong toán học, học sinh không những phải trang bị đầy đủ kiến thức

và kỹ năng mà còn học sinh còn phải có năng lực tư duy, suy luận logic, ghi nhớ, tính toán, tưởng tượng, sáng tạo …Vậy năng lực nào có thể bao quát nhiều năng lực khác nhau đưa lại hiệu quả cao trong dạy học toán?

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, chúng ta có thể sử sụng mô hình như là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử “Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin” Một học sinh có năng lực mô hình hóa sẽ tự mình “sáng tạo” mô hình của bài toán, tự khám phá và tìm hiểu cấu trúc bài toán, có thể hiểu được bản chất của vấn đề thực tiễn

từ đó giải quyết bài toán một cách logic và khoa học Như vậy ta thấy rằng để hình thành năng lực mô hình hóa ta phải hình thành cho cho học sinh rất nhiều năng lực thành phần bao gồm tư duy, suy luận, phân tích, tổng hợp, tưởng tượng, sáng tạo, biểu diễn, mô tả vấn đề

Ở Việt Nam đã có những công trình nghiên cứu về mô hình hóa toán học và vận dụng phương pháp mô hình hóa vào dạy học ở cấp THPT, tiêu biểu phải kể

đến những công trình của tác giả Nguyễn Danh Nam, Lê Thị Hoài Châu, Phan Anh, và một số nhà nghiên cứu khác Các công trình trên đã chỉ ra những bài toán có vận dụng phương pháp mô hình hóa, vận dụng phương pháp mô hình hóa

đó vào các bài toán thực tiễn, giúp các em học sinh hiểu rõ được nguồn gốc và bản chất của các vấn đề đó nhưng lại chưa chú trọng đến việc hình thành và bồi dưỡng năng lực mô hình hóa cho học sinh Trong thực tiễn cuộc sống có vô vàn các bài toán khác nhau, việc hình thành nên năng lực mô hình hóa sẽ giúp các em thể hiện được năng lực tư duy, suy luận và sáng tạo trước những bài toán mới – đó là nội tại, năng lực bản thân của mỗi con người, hình thành nên một phản ứng, một bản năng xử lý vấn đề một cách khoa học, có trình tự, có logic Chính vì những lý do

đó tôi xin chọn đề tài luận văn là:

“Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học giải tích 12”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu những vấn đề cơ bản của năng lực mô hình hóa toán học, nội dung Giải tích 12, làm sao để hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh, Luận văn xác định các biện pháp bồi dưỡng năng lực

mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học Giải tích 12 nhằm phát triển năng

lực mô hình hóa toán học cho học sinh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi sau đây:

- Mô hình, Mô hình hóa là gì?

- Năng lực mô hình hóa toán học là gì? Nó được đặc trưng bởi những yếu tố nào? Biểu hiện của nó ở cấp trung học phổ thông?

- Cách thức bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học Giải tích 12 như thế nào? Có tính khả thi không?

4 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học Giải tích 12, nếu xây dựng được một số biện pháp thích hợp bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thì có thể phát triển cho học sinh năng lực này, đồng thời góp phần nâng cao chất lương dạy học môn Toán

ở trường trung học phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các sách, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến lý thuyết

mô hình, mô hình hóa, năng lực, năng lực mô hình hóa toán học, các nội dung thực tiễn Giải tích 12, các tài liệu về giáo dục môn Toán, về tâm lý học, lý luận dạy học, chương trình, sách giáo khoa phục vụ cho đề tài thông qua một số phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, chọn lọc

5.2 Phương pháp điều tra, quan sát:

- Điều tra thực trạng dạy học nội dung Giải tích 12 thông qua dự giờ, trao đổi với giáo viên, sử dụng phiếu điều tra và phân tích kết quả

- Tham khảo ý kiến của các nhà giáo dục về các vấn đề liên quan

- Quan sát việc thực hiện các hoạt động học tập của học sinh trên lớp học

5.3 Phương pháp thực nghiệm:

- Thực nghiệm tiến hành với đối tượng học sinh lớp 12 THPT nhằm kiểm nghiệm trên thực tiễn tính khả thi của đề tài nghiên cứu

- Phân tích định tính các kết quả thực nghiệm, làm cơ sở để minh chứng cho tính hiệu quả của đề tài

6 Dự kiến cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn có 3 chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học Giải tích 12

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu về năng lực mô hình hóa toán học

1.1.1 Ở trong nước

Ở nước ta hiện nay đã có một số nghiên cứu về mô hình hóa toán học, điển hình là tác giả Nguyễn Danh Nam với một loạt các công trình về mô hình hóa đặc biệt là trong “Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THPT” đã phân chia một cách khái quát các cấp độ của năng lực mô hình hóa toán học cũng như đưa ra một số ví dụ và tiêu chí cụ thể làm thước đo để phân bậc mức độ thông hiểu và vận dụng năng lực mô hình hóa toán học ở các em học sinh Đây cũng là cơ sở cho những nghiên cứu tiếp theo về việc phát hiện, bồi dưỡng năng lực mô hình hóa trong dạy học toán hiện nay, đặc biệt là theo hướng tiếp cận mới khi nhiều bài toán thực tiễn được đưa vào sách giáo khoa và cả đề thi THPT Quốc gia

Nghiên cứu của tác giả Phan Anh “Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích” cũng đã làm rõ việc xây dựng mô hình toán học hóa các tình huống thực tế cuộc sống trong quá trình dạy học học sinh trung học phổ thông thông đồng thời nâng cao và phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn qua hai nội dung

là Đại số và Giải tích Tác giả Nguyễn Văn Bảo trong công trình “Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn” đã trình bày hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn bằng cách vận dụng năng lực toán học, tuy vậy luận án không đi sâu vào năng lực mô hình hóa và đề cập đến việc phát triển năng lực này Hai tác giả Trần Trung trong

“Vận dụng mô hình hóa vào dạy học môn toán ở trường phổ thông” và Phan Thị Thu Hiền trong luận văn thạc sĩ “Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học đại số lớp 10 ở trường THPT” lại chỉ đề ra việc “vận dụng” và “xây dựng” mô hình hóa toán học vào dạy học chứ không đề cập tới năng lực mô hình hóa trong toán học Tuy vậy các báo cáo này cũng nhấn mạnh vai trò và tầm quan trọng của

mô hình hóa trong toán học ở bậc phổ thông

Các kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán học hiện nay chỉ dừng lại ở việc chỉ ra và vận dụng phương pháp mô hình hóa toán học nhưng lại chưa đi sâu vào năng lực mô hình hóa trong toán học cũng như làm sao để bồi dưỡng và phát triển năng lực này cho các em học sinh trong dạy học các nội cụ thể hay trong một lớp

cụ thể

1.1.2 Ở ngoài nước

Mô hình hóa toán học và ứng dụng toán học vào thực tiễn là một trong những trọng tâm của toán học thế giới trong những năm qua, hay cũng chính là mối liên kết của toán học và thực tế cuộc sống xung quanh chúng ta Mô hình hóa toán học lần đầu được đưa ra thảo luận là tại Hội nghị Freudenthal năm 1968 Hội nghị xoay quanh các vấn đề liên quan đến toán học và thực tiễn như học sinh không thể giải quyết các bài toán trong cuộc sống hàng ngày dù đã đạt được kết quả cao trong môn học này qua đó chúng ta thấy rằng việc dạy học toán không thể xa rời thực tiễn được Henry Pollak, nhà toán học người Mỹ, một trong những người tiên phong trong mô hình hóa toán học, sau những công trình nghiên cứu của ông về

mô hình hóa toán học như “Sự tương tác giữa toán học và các môn học khác trong trường học” tại ICME-3 năm 1976 và vào năm 1979 mô hình hóa toán học đã được đưa vào dạy học trong nhà trường Từ đó đến nay mô hình hóa luôn là một chủ đề nóng trong dạy học và trở thành một vấn đề toàn cầu (Blum, 2007, [16])

Năng lực mô hình hóa toán học được đề cập một cách khá chi tiết và rõ ràng trong “Mô hình hóa và ứng dụng trong giáo dục toán học” tại ICMI lần thứ 15 năm

2007 Ngoài ra Hội nghị cũng đã đề cập đến các vấn đề khác như tăng cường phát triển phương pháp mô hình hóa toán học trong nhà trường phổ thông, đánh giá vai trò ý nghĩa của mô hình hóa đối với toán học Tiếp đó tại ICTMA 13 vào năm

2010, năng lực mô hình hóa trong dạy học toán tiếp tục được đưa ra thảo luận và phân tích kỹ càng hơn, vai trò của công nghệ thông tin trong mô hình hóa toán học cũng được đề cập

Các nhà toán học đi đầu trong việc phát triển năng lực mô hình hóa ở học sinh là Blum, LeiB, Ferri và Careira Những nhà toán học này đã đưa ra quan điểm

“nhận thức” trong mô hình hóa thông qua việc phân tích quá trình mô hình hóa và những vấn đề khác nhau để làm rõ quá trình nhận thức đồng thời tái tạo lại quá trình đó để nhận ra những khó khăn, rào cản đối với học sinh liên quan tới mô hình hóa

Tác giả Mogens Niss trong nghiên cứu “Những bước tiến trong nghiên cứu và phát triển mô hình hóa toán học” đã nêu được những thành tựu mà quá trình mô hình hóa toán học đã đạt được đồng thời ông cũng khẳng định sự quan trọng của

mô hình hóa toán học trong việc xây dựng một môi trường dạy học phù hợp và lí tưởng, thúc đẩy việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

1.2 Năng lực mô hình hóa toán học

Định nhĩa 3: Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người thỏa mãn các đặc điểm và tính chất của một hành động cụ thể là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc hành động đó

Từ những định nghĩa có thể thấy năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẽ gắn với tính sáng tạo tuy có khác nhau về mức độ Hầu hết các công trình nghiên cứu tâm lí học và giáo dục học đều thừa nhận:

“Con người có năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng, thừa nhận sự tồn tại

của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho sự hình thành và phát triển của năng lực khác nhau”

Tóm lại năng lực là khả năng giải quyết một vấn đề, giải quyết càng trọn vẹn càng xuất sắc thì chứng tỏ được năng lực càng cao, ngược lại nếu không thể giải quyết vấn đề thì chứng tỏ rằng năng lực còn hạn chế hoặc chưa có năng lực đó Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng định nghĩa năng lực của chương trình giáo dục phổ thông mới “Năng lực: là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [3]

1.2.2 Năng lực toán học

Theo V.A Krutecxki năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân, trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ đáp ứng những yêu cầu trong hoạt động toán học (học tập và nghiên cứu)

Cụ thể hơn:

Định nhĩa 1: Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí của con người mà đáp ứng được những yêu cầu của hoạt động toán học và tiếp thu, lĩnh hội các tri thức, kỹ năng trong lĩnh vực toán học một cách nhanh chóng, dễ dàng và sâu sắc ở những điều kiện tương đương

Định nghĩa 2: Theo Krutecxki: “Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động toán học và những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là

một môn học, đặc biệt là nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học”

Năng lực toán học được hiểu từ 2 góc độ:

Góc độ lĩnh hội (học tập, tiếp thu) toán học: Những năng lực học tập chương trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng, vững chắc và có kết quả cao về kiến thức, kỹ năng, kỷ xảo tương ứng của môn toán Cụ thể hơn học sinh càng có năng lĩnh hội (học tập, tiếp thu) toán học thì càng có sự vận dụng linh hoạt và phong phú

về kiến thức, kỹ năng trong môn toán

Góc độ khoa học (sáng tạo) toán học: Năng lực sáng tạo, phát hiện những điều mới mẻ mà trước đó chưa biết Thông qua học tập, nghiên cứu, con người có thể hình thành nên những tri thức mới, hoàn thiện những kết quả, nh kiến thức còn dở dang và phát triển, sáng tạo chúng lên tầm cao mới

Năng lực toán học ở mỗi học sinh khác nhau về mức độ Do vậy dạy học toán, vấn đề quan trọng là lựa chọn nội dung, phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối

tượng học sinh đều được nâng cao dần về năng lực toán học cho các em học sinh.

A.N Cônmôgôrôp nhà toán học nỗi tiếng của nước Nga cho rằng: “ Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để các em đó tiếp thu nắm được toán học trong nhà trường trung học dưới sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt” V.A Krutecxki thì nói đến năng lực toán học của học sinh là nói đến trí thông minh trong học toán

Trong cùng một điều kiện dạy - học toán như nhau có những học sinh tiếp thu nhanh hơn, vận dụng tốt hơn so với một số em khác, các khả năng đó được hình thành và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán

Sự hiệu quả trong việc giải quyết vấn đề của một con người thường phụ thuộc vào các năng lực mà cá nhân đó nắm giữ, bao gồm cả vấn đề về toán học Sự đam

mê, hứng thú, sự chăm chỉ và ý chí phấn đấu cô gắng cũng ảnh hưởng đến kết quả của quá trình học tập toán học Ngoài ra sự ủng hộ, khuyến khích và hỗ trợ từ môi trường học tập, gia đình và xã hội cũng là một yếu tố nâng cao hiệu quả học tập môn toán

1.2.3 Mô hình, mô hình hóa toán học

Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số định nghĩa:

- A là mô hình của B đối với một hệ thống X bao gồm các đặc điểm cụ thể nào

đó nếu A được xây dựng hoặc thiết kế giống như B theo những đặc điểm đó

- “Mô hình là một vật hay hệ thống đóng vai trò đại diện hoặc thể hiện cho vật hay hệ thống vật mà ta cần nghiên cứu” [18, tr.175]

- “Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu” [21, tr.347]

Tóm lại, mô hình là vật trung gian, là một vật được đơn giản hóa từ chủ thế hay bản gốc, nó giữ nguyên các đặc trưng cơ bản của bản thế giúp chúng ta thuận lợi vào dễ dàng hơn trong việc nghiên cứu Như vậy, mô hình có một số đặc trưng sau đây:

- Mô hình là đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, do đó mô hình phải bảo toàn được đặc trưng cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quyết định) Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu) Tính chất này là nguyên liệu để con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc Vì thế

mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả và mô hình có thể

là “thô thiển và chưa hoàn thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chính của thực

tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới Tuy nhiên không phải trong trường hợp nào mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc, có những trường hợp một số yếu tố

của mô hình cần sự tỉ mi để phù hợp với quá trình học tập và nghiên cứu Ngày nay, với sự phát triển của công nghệ, khoa học và kỹ thuật, con người có thể vận dụng nhiều công cụ hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên mô hình

có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể sử dụng để dự báo được những hiện tượng có thể xảy ra trong thực tiễn [8]

- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, con người suy đoán, phân tích, tổng hợp những khía cạnh, những đặc điểm mà mình cần sử dụng để tạo nên mô hình, có thể coi đó là một quá trình trừu tượng hóa Trong quá trình này, con người đã xóa đi những dấu hiệu không phải là bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn Điều này đã làm cho phương pháp mô hình hóa có tính chất cách mạng, có tính phát triển mạnh mẽ Vì vậy quá trình thiết kế mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực

- Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc, nếu có một mô hình có thể

mô tả hoàn toàn vật gốc thì mô hình đó đã chính là vật gốc, hay đúng hơn là ta đã

không cần vật gốc Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc, mặt đặc trưng hoặc là mặt ta cần để nghiên cứu Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng Tuy nhiên để lắp ráp và sắp xếp chúng lại một cách logic để có đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu là không hề đơn giản

- Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không phải

là cái bất biến Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước đó Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn

- Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để

mô tả hiện thực khách quan Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: Mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất”

mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác [12], [15]

Mô hình được thiết kế như một vật để thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của các vật thể thực tế (Mason & Davis ,1991) Thông qua

mô hình, ta có thể chỉnh sửa và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật gốc Tuy nhiên, điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế

mô hình và hoàn cảnh áp dụng của mô hình đó (Swetz & Hatler, 1991; Verschaffel, 2002) Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để

mô tả về một hệ thống nào đó Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ Vật lý, Sinh học, và Kĩ thuật điện tử) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế, Xã hội học và Khoa học chính trị) [8]

Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán của Việt Nam có tương đối ít các bài toán về mô hình hóa, chỉ chiếm khoảng vài phần trăm số lượng các bài toán, bài tập Bài toán có thể được xây dựng từ các môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học hoặc có nguồn gốc từ thực tế cuộc sống Sau đó, các công cụ và ngôn ngữ toán học được sử dụng để xây dựng các mô hình Đây gọi là quá trình toán học hóa Bài toán sau đó được giải bằng kiến thức toán học Cuối cùng lời giải dược chuyển sang ngôn ngữ thực tiễn và được hiểu trong ngữ cảnh thực tế [8], [9] Theo Swetz & Hartzler (1991), quy trình mô hình hóa toán học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [10], [28]:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Nắm bắt được vấn đề thực tiễn, hình thành các

giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề được nêu ra, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Vận dụng các phương pháp và công cụ toán

học thích hợp để giải quyết yêu cầu của bài toán, hay bài toán toán học, hay mô hình toán học

- Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Làm rõ được ý nghĩa lời giải của bài toán đối với

tình huống trong thực tế cuộc sống (bài toán gốc)

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Nhận xét về các giả thuyết, làm rõ các hạn chế của

mô hình toán học gặp phải cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, so sánh với thực tiễn để cải tiến mô hình đã thiết

kế

Có nhiều khái niệm khác nhau về năng lực mô hình hóa và nó gồm nhiều kĩ năng thành phần Blomhj và Jensen định nghĩa năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước [17] Maab định nghĩa năng lực mô hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình mô hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định [25] Như

vậy có thể hiểu năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra Nhiều nhà nghiên

cứu đã thiết kế hệ thống các tình huống và bài tập mô hình hóa để xác định những

kĩ năng mà học sinh cần đạt được để giải quyết tình huống thực tiễn dựa theo quy trình trên.”[20], [23], [24] Từ đó, các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán học đó là:

(1) Đơn giản giả thuyết

(2) Làm rõ mục tiêu

(3) Thiết lập vấn đề

(4) Xác định biến, tham số, hằng số

(5) Thiết lập mệnh đề toán học

(6) Lựa chọn mô hình

(7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị

(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

Như vậy, sử dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học giúp học sinh phát triển các kĩ năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ giáo viên tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn và giúp học sinh hiểu sâu kiến thức, rèn luyện các kĩ năng giải quyết vấn đề [12], [20], [23], [24], [28]

1.3 Biểu hiện, cấp độ của năng lực mô hình hóa toán học

Trong quá trình giảng dạy và học tập môn toán, học sinh có thể thể hiện ra rất nhiều năng lực khác nhau, vậy đâu là biểu hiện cho thấy học sinh có năng lực mô hình hóa toán học Biểu hiện năng lực mô hình hóa toán học cấp trung học phổ

thông theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, [4]:

– Học sinh xây dựng được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình,

sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn

– Học sinh giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

– Học sinh lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, ) để đưa đến những bài toán giải được

Các hoạt động và bài tập mô hình hóa phải được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Khi mới bắt đầu sẽ luôn luôn có khó khăn, nếu như ngay lập tức để cho các em học sinh tiếp xúc với các bài toán phức tạp, các em sẽ bị chán nản và mất đi sự hứng thú Vì vậy nên cho các em tiếp xúc dần dần ở các bài

toán đơn giản, chú trọng vào việc tạo động lực và hứng thú trong việc học tập nghiên cứu của các em Vì vậy, khi xây dựng hệ thống các tình huống và bài tập

mô hình hóa, giáo viên cần chú ý đến các cấp độ mô hình hóa Sau đây là cách đánh giá cấp độ mô hình hóa dựa theo Ludwig và Xu (2010) [24]:

- Cấp độ 0: Học sinh không hiểu và không năm bắt được tình huống cũng như

yêu cầu của đề bài đã đặt ra và không thể vẽ, phác thảo hay viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề

- Cấp độ 1: Học sinh chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không thể đơn giản

hóa tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến các công cụ cũng như kiến thức

về toán học nào

- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh tìm mô hình thật qua

cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học

Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được hai kĩ năng mô hình hóa đầu tiên

- Cấp độ 3: Học sinh có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn chuyển đối

được một số đặc điểm thành các luận điểm toán học, nhưng không thể làm việc với

nó một cách rõ ràng trong thế giới toán học Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được các kĩ năng mô hình hóa từ 1 đến 4

- Cấp độ 4: Học sinh có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn,

làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được các kĩ năng mô hình hóa từ 1 đến 7

- Cấp độ 5: Học sinh có thể trải nghiệm quá trình mô hình hóa toán học và

kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được đầy đủ 8 kĩ năng mô hình hóa ở trên

1.4 Vai trò của năng lực mô hình hóa đối với học sinh trung học phổ thông

Hiện nay trong nhà trường phổ thông các bài toán thực tiễn đã xuất hiện nhiều hơn, ngay cả trong đề thi đại học, luôn có những câu hỏi về các bài toán trong thực

tế cuộc sống Để giải quyết những bài toán này đòi hỏi học sinh phổ thông phải có những năng lực và kỹ năng cần thiết đặc biệt là năng lực mô hình hóa toán học, năng lực này không chi bao hàm nhiều năng lực khác nó còn phát triển về mặt tư duy toán học cho học sinh Chính vì vậy năng lực mô hình hóa đóng một vai trò thiết yếu trong việc dạy học ở nhà trường phổ thông

1.5 Dạy học môn toán theo hướng tiếp cận phát triển năng lực

Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh Cần tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề Đó là cách hữu hiệu nhất giúp học sinh có sự hiểu biết toàn diện và vững chắc, nâng cao được vốn kiến thức, kĩ năng toán học nền tảng, từ đó hình thành và phát triển các năng lực nói chung và năng lực toán học nói riêng

Cùng với đó, chúng ta cần linh động trong việc sử dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học theo hướng chủ động, tích cực Tùy theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình thức tổ chức dạy học thích hợp như tự học, học nhóm; học trong lớp, thực hành ngoài lớp , mỗi hình thức có một nhiệm

vụ riêng nhưng cần liên kết chặt chẽ với nhau hướng đến mục tiêu phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh, tránh rập khuôn, máy móc Qua đó tiến hành các hoạt động trải nghiệm giúp học sinh có cái nhìn mới mẻ về toán học đồng thời vận dụng được các tri thức, kiến thức, kỹ năng toán học vào thực tế cuộc sống

Các phương tiện, công cụ để học Toán là cần thiết; chúng hỗ trợ học sinh khám phá, phát hiện và thể hiện các ý tưởng toán học trừu tượng một cách cụ thể

và trực quan, đồng thời cũng là một trợ giúp tích cực cho giáo viên nâng cao hiệu quả giảng dạy Vì vậy, cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy học tối thiểu theo quy định đối với môn Toán Có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm phù hợp với nội dung học và các đối tượng học sinh Tăng cường sử dụng công nghệ thông tin và các phương tiện thiết bị dạy học hiện đại một cách phù hợp và hiệu quả

Thái độ học tập có ảnh hưởng lớn đến cách học sinh tiếp cận giải quyết vấn

đề và đạt hiệu quả trong việc học toán Giáo viên cần giúp học sinh phát triển niềm tin về vị trí, vai trò tích cực của toán học đối với đời sống con người trong xã hội hiện đại Giáo viên cần giúp học sinh hiểu rằng, đối với những vấn đề trong toán học, có thể có những cách khác nhau để đi đến câu trả lời chính xác và việc giải quyết các vấn đề toán học luôn đòi hỏi sự nỗ lực cao, ý chí cố gắng và sự kiên trì bền bỉ Chúng ta cần khuyến khích học sinh phát triển sự đam mê, hứng thú, sự phấn đấu, học hỏi, tìm tòi và khám phá để có thể đạt được những thành công trong việc học tập bộ môn toán

1.6 Đặc điểm và nguyên tắc thiết kế hoạt động mô hình hóa toán học

Một số nghiên cứu gần đây đặt ra nhiều câu hỏi nghiên cứu liên quan đến việc vận dụng mô hình hóa trong dạy học toán ở trường phổ thông: Làm thế nào để thiết

kế các hoạt động mô hình hóa có ý nghĩa đối với học sinh? Thiết kế các hoạt động

mô hình hóa như thế nào? Những khó khăn trong việc thực hiện các giai đoạn khác nhau của quá trình mô hình hóa là gì? Cấu trúc nhận thức liên quan đến năng lực

mô hình hóa và những kĩ năng nhận thức nào liên quan đến giai đoạn nào của quá trình mô hình hóa? [6] [13] [1]

Hoạt động mô hình hóa có đặc điểm là yêu cầu học sinh toán học hóa các tình huống, thường là các tình huống thực tiễn Toán học hóa là thành phần quan trọng của bài toán mô hình hóa vì nó dựa trên các ý tưởng toán học quan trọng giúp học sinh có thể đào sâu và phát triển sự thông hiểu toán học Đây là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong tình huống thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận Mô hình hóa sẽ giúp giáo viên thiết lập các hoạt động nhóm mới trong lớp học nhằm tạo ra sự xung đột về kiến thức và thúc đẩy quá trình hợp tác Hoạt động mô hình hóa tạo cơ hội cho học sinh hiểu được tình huống thực tiễn theo nhiều cách khác nhau để từ đó chia sẻ kế hoạch, xây dựng mô hình, tranh luận về những ưu nhược điểm của mô hình, đưa ra quyết định và công bố kết quả Vì thế, giáo viên cần lựa chọn các tình huống thực tiễn đòi hỏi việc thu thập các số liệu, hình ảnh hay hiện tượng xã hội

Theo An (2013), để giải quyết một tình huống mô hình hóa, học sinh sẽ trải qua ba giai đoạn của một tình huống được đặt trong ngữ cảnh thực tế từ phức tạp đến đơn giản [1]:

- Tình huống thực tế: Là tình huống xuất phát từ môi trường bên ngoài toán

học, không có các đối tượng, kí hiệu và cấu trúc toán học Trong tình huống này, thông tin có thể không đầy đủ, dữ liệu có thể quá nhiều hoặc quá ít, yêu cầu đặt ra thường không rõ ràng dẫn đến có nhiều phương án để giải quyết vấn đề

- Tình huống toán học hóa (ứng với mô hình thực tế): Là tình huống vẫn chứa

đựng những yếu tố đặc trưng của tình huống thực tế ban đầu, nhưng đã được đơn giản hóa, lí tưởng hóa, đặc biệt hóa, thêm các điều kiện, giả thiết phù hợp đồng thời hạn chế những yếu tố không cần thiết cho phép học sinh có thể sử dụng công

cụ toán học đã được học để giải quyết vấn đề Giáo viên có thể thiết kế được nhiều tình huống toán học hóa khác nhau của cùng một tình huống thực tế

- Tình huống mô hình hóa (ứng với mô hình toán học): Là tình huống bao gồm

các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó ứng với các yếu tố

cơ bản và mối quan hệ của chúng trong tình huống thực tế Do đó, ở mức độ phức tạp của các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế sẽ tăng dần từ tình huống mô hình hóa đến tình huống toán học hóa và tình huống thực tế Hiện nay các bài tập

và ví dụ trong sách giáo khoa môn Toán phổ thông chủ yếu là “tình huống không đặt trong ngữ cảnh thực tế” và “tình huống mô hình hóa” Vì thế, nếu đưa quá trình

mô hình hóa vào dạy học, bắt đầu với một tình huống thực tế sẽ làm học sinh gặp phải những khó khăn nhất định [11], [12] Vì vậy, trong dạy học toán, giáo viên có thể thiết kế các hoạt động mô hình hóa như sau:

- Xuất phát từ một tình huống thực tế để thiết kế hoạt động Tình huống này phải phù hợp với đối tượng học sinh và chứa đựng tri thức toán học mà các em đã được học

- Xác định danh mục những kiến thức, kĩ năng toán học mà học sinh cần có

để xây dựng mô hình toán học và giải bài toán bằng công cụ toán học

- Tạo mối liên kết giữa tình huống thực tế và toán học: Làm cho tình huống

rõ ràng hơn (lí tưởng hóa, đơn giản hóa, đặc biệt hóa); Đưa ra các giả thiết phù hợp; Xác định các biến số trong tình huống; Thu thập thêm dữ liệu thực tế cho tình huống; Mô tả chi tiết tình huống mô hình hóa

1.7 Thực trạng bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh trung học phổ thông

Như đã nói ở trên hiện nay phương pháp mô hình hóa chưa thực sự phổ biến

và được sử dụng thường xuyên trong các trường học phổ thông, điều này cũng dễ hiểu vì nội dung sách giáo khoa toán phổ thông thường rất nặng về mặt kiến thức, các thầy cô giáo cũng như các em học sinh ít có điều kiện và thời gian để tiếp xúc

và vận dụng mô hình hóa một cách trơn tru để giải quyết bài toán Ở sách giáo khoa toán phổ thông hiện hành có rất nhiều các bài toán có nội dung thực tiễn và

có thể vận dụng phương mô hình hóa toán học để giải quyết nhưng đa số chúng lại

có thể giải quyết thuần túy bằng toán học hoặc các thầy cô sẽ trực tiếp hướng dẫn cho học sinh các bước “chuyển đổi” từ các bài toán thực tiễn về bài toán thông thường và các em học sinh chi việc giải bài toán toán học Nếu các em học sinh không cần tư duy, không cần đọc hiểu, không tự xử lý các bước chuyển đổi từ một bài toán sang mô hình toán học, giải quyết nó và quay trở lại vấn đề thực tiễn mà chỉ giải quyết các bài toán đã có sẵn thì rõ ràng các em học sinh không thể phát triển và nâng cao năng lực mô hình hóa toán học của bản thân Tôi dã thực hiện một cuộc điều tra về các giáo viên trung học phổ thông trên địa bàn thành phố Vinh

mà tôi được tiếp xúc trong quá trình học tập và nghiên cứu để tìm hiểu việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa cho các em học sinh trung học phổ thông qua ứng dụng Google Form (hình ảnh) Có 4 câu hỏi được trình bày dưới dạng trắc nghiệm chọn phương án Sau khi điều tra kết thúc, có 22 giáo viên đã gửi kết quả về cho tôi

Khảo sát 1

Sau đây là kết quả khảo sát:

Bảng 1:

Thầy (cô) thường xuyên nêu ví dụ về mô hình hóa toán học 41% Thầy (cô) thỉnh thoảng nêu ví dụ về mô hình hóa toán học 59% Thầy (cô) hiếm khi nêu ví dụ về mô hình hóa toán học 0%

Qua bảng 1 ta có thể thấy được mức độ phổ biến về việc sử dụng mô hình hóa trong dạy học, hầu hết các thầy (cô) trung học phổ thông đã và đang vận dụng phương pháp mô hình hóa toán học vào dạy học Trong bối cảnh mà các bài toán thực tiễn xuất hiện nhiều hơn trong sách giáo khoa cũng như trong đề thi đại học, việc gia tăng số lượng các bài toán về mô hình hóa là điều cần thiết

Bảng 2:

Thầy (cô) thường xuyên giúp học sinh có những trải nghiệm tình

huống thực tiễn liên quan đến toán học

0%

Thầy (cô) thỉnh thoảng giúp học sinh có những trải nghiệm tình

huống thực tiễn liên quan đến toán học

14%

Thầy (cô) hiếm khi giúp học sinh có những trải nghiệm tình huống

thực tiễn liên quan đến toán học

86%

Để học sinh có những trải nghiệm trực quan về các tình huống trong thực tiễn liên quan đến toán học sẽ giúp cho các em có thêm những kiến thức về thực tế cuộc sống, giúp các em hiểu cặn kẽ về các bài toán thực tiễn sử dụng phương pháp mô hình hóa, qua đó bồi dưỡng và nâng cao năng lực mô hình hóa cho các em Tuy vậy việc trải nghiệm này thường mất khá nhiều thời gian do vậy các thầy (cô) thường hiếm khi tổ chức các buổi trải nghiệm trực quan như thế này

Bảng 3:

Thầy (cô) thường xuyên xây dựng hệ thống bài tập về mô hình hóa 9%

Thầy (cô) thỉnh thoảng xây dựng hệ thống bài tập về mô hình hóa 36% Thầy (cô) hiếm khi xây dựng hệ thống bài tập về mô hình hóa 55%

Việc xây dựng hệ thống bài tập rất hay được sử dụng trong việc bồi dưỡng, củng cố một kỹ năng, năng lực hoặc một một phần kiến thức quan trọng Đa số các thầy (cô) đều có xây dựng hệ thống bài tập về mô hình hóa nhưng chưa thật sự chú trọng

Bảng 4:

Thầy (cô) thường xuyên ứng dụng công nghệ thông tin vào thiết

kế mô hình hóa toán học

0%

Thầy (cô) thỉnh thoảng ứng dụng công nghệ thông tin vào thiết kế

mô hình hóa toán học

9%

Thầy (cô) hiếm khi ứng dụng công nghệ thông tin vào thiết kế mô

hình hóa toán học

91%

Công nghệ thông tin luôn là một công cụ hữu hiệu trong dạy học môn toán, ngày nay, các bài giảng có thể được trình chiếu thông qua các phần mềm như Power Point, Word Soạn thảo các văn bản về toán học cần phải dùng đến những phần mềm như Latex, Matlab…; chưa kể rất nhiều trang web online trên Internet như Desmos, Geogebra hỗ trợ vẽ đồ thị, vẽ hình 2D 3D … Tuy nhiên ở bậc trung học phổ thông, hầu như các thầy (cô) lại không vận dụng công nghệ thông tin vào mô hình hóa toán học

Qua thống kê trên ta thấy rằng đa số các giáo viên đều chú ý việc lồng ghép các ví dụ và bài toán sử dụng mô hình hóa để giải quyết tuy nhiên họ lại gần như không bao giờ để học sinh tự trải nghiệm các mô hình hóa toán học hoặc không sử dụng công nghệ thông tin vào việc xây dựng mô hình hóa toán học Chính điều này

là một hạn chế và trở ngại cho việc bồi dưỡng năng lực mô hinh hóa cho các em học sinh

Khảo sát 2.

Để nắm rõ hơn thực trạng về việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa ở các em học sinh trung học phổ thông, chúng tôi đã tổ chức một buổi khảo sát nhanh về khả năng giải quyết các bài toán thực tiễn sử dụng phương pháp mô hình hóa ở các lớp 12C4 và 12C5 Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu sau khi đã có sự đồng ý từ Nhà trường

Câu hỏi: Các em có gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán thực tiễn trong nội dung sách giáo khoa Giải tích 12 hay không ?

Sau đây là kết quả thu được:

Qua bảng thống kê trên, có 42 em học sinh trên 70 em được khảo sát đều trả lời bản thân gặp nhưng khó khăn nhất định trong việc đọc hiểu và giải quyết bài toán thực tiễn, gần một nửa trong số còn lại cho rằng những bài toán này khá dễ dàng và bản thân có thể giải quyết một cách nhanh chóng và những em còn lại thì gặp rắc rối ở một số bài toán cụ thể hoặc gặp một số vấn đề khi giải quyết bài toán Tuy vậy đa số học sinh được hỏi ý kiến đều thích và muốn học các tiết học

có những nội dung liên quan đến những những ứng dụng của Toán học trong thực

tế, tìm hiểu nguồn gốc thực tiễn của toán học nhưng ở trên lớp có khá ít thời gian

để các giáo viên có thể tổ chức những hoạt động và xây dựng hệ thống bài tập thực tiễn cho các em

1.8 Kết luận chương 1

Chương 1 đã trình bày khá cụ thể và làm rõ được khái niệm mô hình toán học, năng lực mô hình hóa toán học, cũng như vai trò quan trọng của việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh trung học phổ thông Đồng thời, luận văn cũng chỉ ra rằng, việc rèn luyện, phát triển cho học sinh năng lực mô hình hóa toán học là vấn đề có tính nguyên tắc và là một nhiệm vụ của giáo dục toán học ở

42, 60%

15, 21%

13, 19%

Thống kê mức độ khó khăn khi giải

quyết các bài toán thực tiễn ở chương

trình Giải tích 12

Cao Trung bình Thấp

nước ta Luận văn cũng đề cập đến vấn đề liên quan tới chương trình và sách giáo khoa cấp bậc trung học phổ thông của Việt Nam, đặc biệt là sách giáo khoa giải tích 12 Đây sẽ là cơ sở quan trọng để tác giả đề xuất một số biện pháp cụ thể nhằm nâng cao năng lực mô hình hóa toán học cho các em học sinh trung học phổ thông trong chương 2

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH

HÓA TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12

2.1 Các định hướng xây dựng biện pháp

Để bồi dưỡng năng lực mô hình hóa cho các em học sinh ở trung học phổ thông chúng ta cần rèn luyện và phát triển cho các em các kỹ năng thành phần của năng lực mô hình hóa (Đã được nêu ở trang 20, mục 1.1.2) Để rèn luyện các kỹ năng này chúng tôi xin đưa ra một số biện pháp cụ thể như sau:

- Tăng cường hoạt động trải nghiệm trên các tình huống thực tiễn

Thứ nhất việc được trải nghiệm các hoạt động thông qua các bài toán thực tiễn

sẽ giúp các em có sự tiếp xúc một cách tự nhiên với các bài toán, làm cho các em quen thuộc với các ngôn ngữ khác với ngôn ngữ trong tóa học, các định nghĩa, các yếu tố về vật lý, hóa học, sinh học … tránh đi sự khó khăn trong bước đầu làm quen với bài toán, các em có thể hiểu và xác định được các yếu tố có trong bài toán, giả thiết là gì, yêu cầu và mục tiêu của bài toán là gì qua đó rèn luyện cho các

em các kỹ năng (1) (2) (3) (8)

Thứ hai trong quá trình hoạt động diễn ra các em sẽ nắm tường tận được các

bước hình thành của mô hình toán học bao gồm (4) (5)

- Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn

Xậy dựng các hệ thống bài tập theo chủ đề là một phương pháp thường được

sử dụng không chỉ trong việc bồi dưỡng, phát triển năng lực mà còn để củng cố kiến thức, hình thành và hoàn thiện các kỹ năng tính toán và biến đổi trong toán

học (4) (5) (6) cũng như tăng cường tính tự lập, tính tư duy, sáng tạo của học sinh

- Ứng dụng công nghệ thông tin

Sử dụng công nghệ thông tin trong dạy học toán ngày càng phổ biến và hữu ích, đặc biệt trong việc ứng dụng vào mô hình hóa toán học Các phần mềm mô phỏng những chuyển động hình học, chuyển động điểm, sự biến thiên của đồ thị hàm số để cho người học có thể quan sát được “điều” mà các phương tiện khác khó có thể thực hiện được

Đối với các học sinh chưa quen thuộc và chưa hình thành được năng lực mô hình hóa với các bài toán có tính trừu tượng thì các phần mềm công nghệ thông tin

sẽ giúp các em bước đầu làm quen và xác định được các khái niệm thông qua các hình vẽ, các biểu đồ chuyển động, qua đó hình thành nên các kỹ năng (6) (7)

Một số phần mềm thường được sử dụng hiện này như: Geometer’s Sketchpad, Cabri Geometry, Maple, Mindmap (vẽ bản đồ tư duy) không chỉ hỗ trợ việc học tập môn toán nói chung mà còn góp phần nâng cao sự hiệu quả trong việc dạy học

mô hình hóa nói riêng

2.2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học Giải tích 12

Biện pháp 1.Tăng cường hoạt động trải nghiệm trên các tình huống thực tiễn dẫn đến hình thành kiến thức mới

Như đã trình bày ở mục 2.1, việc tăng cường hoạt động trải nghiệm trên các tình huống thực tiễn là một trong những biện pháp tốt nhất để các em học sinh tiếp xúc với các bài toán thực tiễn một cách tự nhiên, cho các em cái nhìn trực quan và

rõ ràng về các bài toán, qua đó hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học Sau đây là một số hoạt động trải nghiệm ở chương trình Giải tích 12 mà chúng tôi đã thực hiện:

Hoạt động trải nghiệm 1: Gửi lãi kép

Mục đích hoạt động:

- Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực mô hình hóa

- Hình thành kiến thức về công thức lãi kép: 𝑇 = 𝑎(1 + 𝑟)𝑛

Trong đó: 𝑎 là tiền vốn ban đầu, 𝑟 là lãi suất (%) hàng tháng, 𝑛 là số tháng,

𝑇 là tiền vốn lẫn lãi sau 𝑛 tháng

Chuẩn bị

- 4 bảng trắng kích thức 80𝑐𝑚 × 60𝑐𝑚, 8 bút viết bảng

- Chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm sẽ trả lời một câu hỏi của giáo viên Tiến trình hoạt động

Giáo viên thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xét bài toán thực tiễn

Một ngân hàng A thực hiện chi trả tiền lãi suất theo thể thức lãi kép có kì hạn một năm với lãi suất 7,56% một năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi một năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu Đức muốn gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số

tiền Đức nhận được (cả vốn lẫn lãi) bao nhiêu triệu đồng?

a) Sau 1 năm;

b) Sau 2 năm;

c) Sau 3 năm;

d) Sau 4 năm

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học và giải bài toán toán học

+ Đây là một bài toán tương đối đơn giản về mặt xác định các yếu tố và thiết

lập mô hình toán học do trong bài toán các yế tố này đã được đề ra cho sẵn bao

gồm vốn ban đầu, lãi suất và chu kỳ, học sinh chỉ cần ghi nhớ được công thức tính lãi suất là tìm được số tiền nhận được (yêu cầu của bài toán) Học sinh xác định

được các yếu tố cần thiết của bài toán là:

1 Lãi suất: 7,56%/1 năm

2 Vốn ban đầu: 100 triệu

3 Chu kỳ : 1 năm, 2 năm, 3 năm, 4 năm

4 Số tiền nhận được: chưa biết (yêu cầu của bài toán hay yếu tố cần tìm)

Điều này giúp các em rèn luyện được các kỹ năng thành phần (1), (2), (3) của

năng lực mô hình hóa toán học

+ Để tìm được số tiền mà Đức nhận được bao gồm cả vốn lẫn lãi sau 1 năm thì học sinh phải xây dựng mô hình toán học là công thức sau:

𝑃1 = 100 + 100.0,0756 = 100 (1,0756) + Để tìm được số tiền mà Đức nhận được bao gồm cả vốn lẫn lãi sau 2 năm (với điều kiện Đức không rút tiền lãi và vốn sau năm đầu tiên) thì học sinh phải xây dựng mô hình toán học là công thức sau:

𝑃2 = 100.1,10756 + 100.1,0756.0,0756 = 100 (1,0756)2

+ Để tìm được số tiền mà Đức nhận được bao gồm cả vốn lẫn lãi sau 3 năm (với điều kiện Đức không rút tiền lãi vào cả 2 năm trước đó) thì học sinh phải xây dựng mô hình toán học là công thức sau:

Các bước tính toán trên lại nhằm rèn luyện cho học sinh các kỹ năng thành

phần về toán học (4), (5)

Bước 3: Câu trả lời cho bài toán thực tiễn

Sau khi tổ chức cho các nhóm tiến hành hoạt động thiết kế mô hình hóa theo các yêu cầu của tình huống thực tiễn, học sinh cần trả lời cho câu hỏi của bài toán thực tiễn đặt ra

Dựa vào mô hình đã xây dựng 𝑃1 = 100 (1,0756) ≈ 107,56 (triệu đồng) các

em đưa ra câu trả lời cho bài toán thực tiễn:

Sau 1 năm số tiền Đức nhận được cả vốn lẫn lãi là: 107,56 (triệu đồng)

Dựa vào mô hình đã xây dựng 𝑃2 = 100 (1,0756)2 ≈ 115,69 (triệu đồng) các em đưa ra câu trả lời cho bài toán thực tiễn:

Sau 2 năm số tiền Đức nhận được cả vốn lẫn lãi là: 115,69 (triệu đồng)

Dựa vào mô hình đã xây dựng 𝑃3 = 100 (1,0756)3 ≈ 124.38 (triệu đồng) các em đưa ra câu trả lời cho bài toán thực tiễn:

Sau 3 năm số tiền Đức nhận được cả vốn lẫn lãi là: 124.38 (triệu đồng)

Dựa vào mô hình đã xây dựng 𝑃4 = 100 (1,0756)4 ≈ 133,85 (triệu đồng) các em dễ dàng đưa ra câu trả lời cho bài toán thực tiễn:

Sau 4 năm số tiền Đức nhận được cả vốn lẫn lãi là: 133,85 (triệu đồng)

Ngoài việc chi trả lãi suất của ngân hàng theo thể thức lãi kép theo công thức:

𝑃𝑛 = 𝑃0(1 + 𝑟)𝑛, trong tự nhiên còn có nhiều hiện tượng tăng trưởng hay suy giảm như: sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức 𝑚(𝑡) =

𝑚0(1/2)1𝑡; công thức tăng trưởng dân số 𝑆(𝑛) = 𝐴(1 + 𝑟)𝑛; sự sinh trưởng của các loài vi sinh vật 𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒𝑟𝑡, … tất cả các hiện tượng trên đều tuân theo quy luật của hàm số có dạng 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)

Bước 3 giúp các em học sinh rèn luyện được kỹ năng thành phần (8) của năng

lực mô hình hóa đồng thời phát triển được năng lực tổng quát hóa có vai trò bổ trợ

và xúc tiến năng lực mô hình hóa toán học

Bước 4: Củng cố và hoàn thiện năng lực mô hình hóa qua một số bài tập khác, rèn luyện khả năng tư duy tổng quát hóa, tương tự hóa, nghiên cứu và phát hiện

sẽ là bao nhiêu người?

Hóa chất

DDT là một loại hóa chất nguy hiểm, nó phân rã theo công thức 𝑚 = 𝑚0𝑒𝑘𝑡,

trong đó m0 là lượng DDT ban đầu, k là một hằng số, t là thời gian, m là lượng DDT sau thời gian t Giả sử rằng vào năm 2003 có 0,8 109 kg DDT trong môi trường

và 𝑘 = −0,0211 Tìm lượng DDT còn lại trong môi trường sau năm 2018

Hoạt động trải nghiệm 2: Làm cánh cửa cổng ra vào

Bác Hùng mới lắp đặt bộ cánh cửa cổng số liệu được cho như hình vẽ Biết rằng chi phí cho mỗi mét vuông làm cửa có giá 1.000.000 (VNĐ) Hỏi số tiền Bác Hùng phải trả là bao nhiêu?

Mục đích hoạt động

- Bồi dưỡng rèn luyện năng lực mô hình hóa

- Hình thành kiến thức về tính diện tích hình phẳng thông bằng cách sử dụng

công cụ tích phân

- Phát triển và hoàn thiện các kỹ năng tính toán, đặc biệt là kỹ năng tính toán

và biến đổi tích phân

Tiến trình hoạt động:

Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Toán học hóa:

- Đọc hiểu bài toán sau đó học sinh cần thiết lập mô hình mới để tính diện tích một cách nhanh chóng và chính xác

- Học sinh cần phải lập giả thuyết và thu thập thêm thông tin như: phần trên của cổng có hình dạng parabol, bề rộng của cánh cổng; chiều cao của cổng ở vị trí thấp nhất và cao nhất là bao nhiêu?

- Học sinh phải xác định các khái niệm toán học liên quan trước khi thiết kế

mô hình toán học Trong trường hợp này các yếu tố toán học bao gồm: diện tích, ứng dụng của tích phân, chi phí tiền cổng.

- Thiết lập mô hình toán học dựa trên các giả thuyết đã đưa ra

- Để tính diện tích học sinh có thể phân chia cửa cổng thành hai phần:

+ Phần thứ nhất: Tính diện tích hình chữ nhật có kích thước 2,4m × 2,4𝑚 + Phần thứ hai: Tính phần còn lại của cánh cổng Để tính được phần còn lại học sinh phải biết xác định đường Parabol biểu diễn cho hình dạng của phần còn lại của cánh cổng đó là hàm số 𝑦 = − 5

12𝑥2+ 0,6 Khi đó, diện tích cần tính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 𝑦 = − 5

12𝑥2+ 0,6; các đường thẳng 𝑥 =

−1,2; 𝑥 = 1,2 và trục hoành

Bước 2 Giải bài toán:

Học sinh sử dụng giấy, bút, thước, máy tính cầm tay để mô hình hóa tình huống trên Học sinh phân chia cánh cổng thành hai phần, lập hàm số biểu diễn phần trên của cánh cổng Theo công thức tính diện tích học sinh tiến hành tính diện tích cánh cửa như sau:

Gọi 𝑆1, 𝑆2 lần lượt là diện tích cánh cổng của phần thứ nhất và phần thứ hai

Ta có:𝑆2 = 2,4.3 = 7,2 (𝑚2) 𝑆1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

𝑦 = −125 𝑥2 + 0,6; các đường thẳng 𝑥 = −1,2; 𝑥 = 1,2 và trục hoành nên ta có:

Vậy số tiền bác Hùng phải trả là 8.600.000 (𝑉𝑁𝐷).

Bước 3 Hiểu và thông dịch:

Học sinh nhận ra rằng để tính diện tích cánh cổng thì phải phân chia cánh cổng thành hai phần 𝑆2 là diện tích của hình chữ nhật còn 𝑆1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 𝑦 = −125 𝑥2 + 0,6; các đường thẳng 𝑥 = −1,2; 𝑥 =1,2 và trục hoành Do đó học sinh cần liên hệ đến việc vận dụng tích phân để xác định diện tích phần còn lại

Bước 4 Đối chiếu thực tế:

Sau khi đề xuất được phương án tính diện tích như trên, học sinh cần kiểm tra lại tính khả thi của phương án đã đưa ra và tìm hiểu các giải pháp khác Chẳng hạn:

- Xem xét lại các giả thuyết: Nếu không phân chia như phương án trên liệu có tính được diện tích hay không? Có phương pháp nào có thể áp dụng cho tình huống trên hay không? Phương án nào đáp ứng nguyện vọng người dân, …

- Suy nghĩ về các phương pháp toán học khác? Sử dụng các phần mềm toán học khác để tìm Parabol trên?

Như vậy, thông qua bài toán trên, học sinh được làm quen với việc sử dụng toán học giải quyết tình huống thực tiễn, lập giả thuyết, xây dựng mô hình và đối chiếu với ngữ cảnh thực tế Khi giải quyết tình huống này, kết quả hoạt động cho