Thiết kế tình huống học tập hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trung học phổ thông

Thực trạng công tác đánh giá kết quả học tập môn Toán ở trường phổ thông 1.4.1 Nhận thức của giáo viên về biểu hiện năng lực mô hình hóa toán học của học sinh ở trường phổ thông 1.4.2 N

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI HẢI VÂN

THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG HỌC TẬP HỖ TRỢ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN – 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI HẢI VÂN

THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG HỌC TẬP HỖ TRỢ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Xuân Chung

NGHỆ AN – 2018

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO LỰA CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 4

3 KHÁCH THỂ, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 4

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 5

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5

7 DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 6

8 CẤU TRÚC LUẬN VĂN DỰ KIẾN 6

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN VỀ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 9

1.1.1 Năng lực 9

1.1.2 Năng lực toán học 10

1.1.3 Mô hình hóa toán học 11

1.1.4 Năng lực mô hình hóa toán học 16

1.2 ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 19

1.2.1 Đánh giá, đánh giá năng lực mô hình hóa toán học 19

1.2.2 Phiếu đánh giá theo tiêu chí năng lực mô hình hóa toán học 22

1.3 TÌNH HUỐNG HỌC TẬP ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 27

1.3.1 Tình huống học tập 27

1.3.2 Tình huống học tập đánh giá năng mô hình hóa toán học 28

1.4 THỰC TRẠNG CÔNG TÁC ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 29

1.4.1 Nhận thức của giáo viên về biểu hiện năng lực mô hình hóa toán học

của học sinh ở trường phổ thông 30

1.4.2 Những khó khăn và sai lầm khi thực hiện hoạt động mô hình hóa toán học của học sinh bậc THPT 31

1.4.3 Các phương pháp, công cụ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh 32

1.4.4 Thực trạng các bài toán thực tiễn trong chương trình sách giáo khoa phổ thông và trong các đề thi 33

1.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 35

CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG HỌC TẬP MÔN TOÁN HỖ TRỢ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH 36

2.1 QUY TRÌNH THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG HỌC TẬP HỖ TRỢ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH 36

2.2 THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG HỌC TẬP CỤ THỂ NHẰM HỖ TRỢ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH BẬC THPT 39

2.2.1 Thiết kế tình huống học tập bóng chuyền 39

2.2.2 Thiết kế tình huống học tập độ dốc của cầu thang 42

2.2.3 Thiết kế tình huống học tập đo chiều cao ngôi nhà 45

2.3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG HỌC TẬP MÔN TOÁN HỖ TRỢ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH 49

2.3.1 Tăng cường nội dung thực tiễn trong các tình huống học tập 49

2.3.2 Đa dạng hình thức, cách biểu diễn và cách đặt câu hỏi nêu vấn đề trong các tình huống học tập 51

2.3.3 Cập nhật số liệu, thông tin mới trong tình huống học tập 55

2.3.4 Thường xuyên kiểm tra và điều chỉnh tình huống nếu chưa phù hợp để nâng cao chất lượng đánh giá 57

2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 58

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 59

3.1 QUY TRÌNH SỬ DỤNG TÌNH HUỐNG HỌC TẬP HỖ TRỢ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 59

3.2 SỬ DỤNG CÁC TÌNH HUỐNG HỌC TẬP CỤ THỂ HỖ TRỢ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH BẬC THPT 62

3.2.1 Sử dụng tình huống bóng chuyền 62

3.2.2 Sử dụng tình huống độ dốc của cầu thang 67

3.2.3 Sử dụng tình huống lãi suất ngân hàng 71

3.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 75

KẾT LUẬN 76

NHỮNG CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ TRONG LUẬN VĂN

1 Bảng

Bảng 1 1: Khung đánh giá các mức độ năng lực toán của PISA 11

Bảng 1 2: Rubric năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THPT 26

2 Hình vẽ Hình 2.1: Hình ảnh minh họa tình huống học tập bóng chuyền 40

Hình 2.2 Đồ thị mô tả quỹ đạo chuyển động của bóng chuyền 41

Hình 2.3: Hình ảnh minh họa cho tình huống độ dốc cầu thang 43

Hình 2.4: Mô hình toán học tình huống độ dốc của cầu thang 44

Hình 2.5: Nhà G - Trường THPT Chuyên Đại học Vinh (hình ảnh minh họa) 46

Hình 2.6: Mô hình toán học của tình huống đo nhà theo cách 1 47

Hình 2.7: Mô hình toán học của tình huống đo nhà theo cách 2 47

Hình 2.8: Đồ thị mô tả quỹ đạo đường đi của quả bóng 50

Hình 2.9: Hình ảnh minh họa cho bài toán bóng đá 50

Hình 2.10: Trạng thái hiện tại của thẻ nhớ 53

Hình 2.11: Bảng lãi suất Ngân hàng Bắc Á (trái) và Viettinbank (phải) 56

Hình 3.1 Bài làm của HS Nguyễn Nam Hải trong tình huống bóng chuyền 64

Hình 3.2 Bài làm của HS Đào Gia Khanh với tình huống bóng chuyền 64

Hình 3.3: Giấy nháp và bài làm của HS Phạm Thành Đạt trong tình huống 68

Hính 3.4: Bài làm của học sinh Lê Quang Tuấn trong TH độ dốc cầu thang 68

Hình 3.5: Giấy nháp và bài làm của HS Phan Văn Thành trong TH lãi suất 72

Hình 3.6: Bài làm của HS Hoàng Thùy Kim Yến trong tình huống lãi suất 72

3 Sơ đồ

Sơ đồ 1.1: Sơ đồ quá trình mô hình hóa toán học của Pollack, 1979 13

Sơ đồ 1.2: Sơ đồ cuả Swetz & Hartzler, 1991 15

Sơ đồ 1.3: Sơ đồ của Blum & Leiβ, 2006 15

Sơ đồ 2.1: Quy trình thiết kế tình huống học tập đánh giá năng lực mô hình hóa 37

Sơ đồ 3.1: Quy trình sử dụng tình huống học tập hỗ trợ ĐG NL mô hình hóa 61

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Toán học là môn khoa học gắn liền với đời sống thực tiễn, là công cụ để giải quyết các vấn đề có trong thực tiễn Trong thời kì phát triển và bùng nổ công nghệ như hiện nay, Toán học lại càng khẳng định được vai trò và vị trí của

nó trong đời sống Xã hội không ngừng vận động và phát triển và để đáp ứng được nhu cầu đó, con người cần có những hiểu biết, những kiến thức, kĩ năng, trình độ chuyên môn cao, có tính độc lập và sáng tạo Cùng với những yêu cầu trên, không thể thiếu được sự thay đổi về phương pháp giáo dục, đánh giá kết quả giáo dục, nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt là phát triển những năng lực toán học nhằm giải quyết các vấn đề trong thực tế một cách có hệ thống và chính xác nhằm thúc đẩy và phát triển xã hội, hướng đến làm chủ cuộc cách mạng công nghệ 4.0

Trong quá trình đổi mới và nâng cao chất lượng giáo dục, bên cạnh việc đổi mới phương pháp dạy học tích cực, chủ động thì đổi mới về đánh giá kết quả giáo dục cũng là vô cùng cần thiết Mục tiêu đánh giá kết quả giáo dục nói chung và đánh giá kết quả giáo dục môn Toán nói riêng là cung cấp thông tin chính xác, kịp thời, có giá trị về sự phát triển năng lực và sự tiến bộ của học sinh, từ đó điều chỉnh các hoạt động dạy học và có kế hoạch cải thiện và thúc đẩy năng lực trong quá trình học tập tiếp theo của học sinh Do đó, đánh giá kết quả giáo dục đóng một vai trò quan trọng đối với giáo viên, học sinh và các nhà quản lý giáo dục Đánh giá năng lực người học có tác động mạnh mẽ đến các thành tố còn lại trong quá trình dạy học như nội dung, phương pháp, phương tiện dạy học bởi kết quả của đánh giá là cơ sở của việc đưa ra các quyết định, xác định nguyên nhân và có các biện pháp cải thiện việc dạy và việc học, nâng cao chất lượng dạy học Vậy, đánh giá năng lực học sinh như thế nào, bằng

những công cụ gì? Đánh giá học sinh ở những năng lực nào để có thể mang lại được hiệu quả giáo dục tốt nhất?

Dự thảo đổi mới chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã nêu rõ đặc điểm môn Toán ở trường phổ thông là góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, nhân cách học sinh; phát triển kiến thức và kĩ năng then chốt, tạo cơ hội để học sinh trải nghiệm, áp dụng toán học và đời sống thực tiễn; tạo dựng sự kết nối giữa toán học và thực tiễn, toán học với các môn học khác đặc biệt là các môn học thuộc lĩnh vực giáo dục STEM Mục tiêu chương trình cũng đã chỉ ra các năng lực toán học cốt lõi trong đó bao gồm năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán, góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi Như vậy, năng lực mô hình hóa toán học là một trong những năng lực cốt lõi mà mục tiêu chương trình đã

đề ra, chứng tỏ sự cần thiết và tầm quan trọng của của nó trong giáo dục môn Toán ở trường phổ thông Qua quá trình mô hình hóa các tình huống thực tiễn cho thấy sự liên hệ chặt chẽ giữa Toán học và thực tiễn, giữa thực tiễn với những kiến thức trong sách giáo khoa dưới góc nhìn của Toán học Phát triển năng lực mô hình hóa ở trường phổ thông là góp phần giúp học sinh vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa; giúp việc học toán của học sinh trở nên thiết thực và ý nghĩa hơn, tạo động lực và niềm say mê học Toán cho các em

Trên Thế giới, giáo dục toán học gắn với thực tiễn là lý thuyết được phát triển bắt đầu từ Hà Lan và năm 1968 Ý tưởng cơ bản của trường phái này dựa trên triết học về toán học và giáo dục toán học của nhà Toán học người Hà Lan Freudenthal (1905-1990) Mô hình hóa trong giáo dục Toán chính thức được đề xuất đầu tiên tại Hội nghị của Freudenthal năm 1968 Tại đây, các nhà giáo dục toán cũng đã đưa ra nhiều vấn đề liên quan đến mô hình hóa Tại sao phải dạy Toán để có ích? Tại sao nhiều học sinh không sử dụng kiến thức toán học đã có

để giải quyết các vấn đề trong thực tế mặc dù đạt thành tích xuất sắc trong môn học này? Nối tiếp những ý tưởng trên, nhiều hội nghị và các nghiên cứu đã được tiến hành chẳng hạn như Hội nghị các nước nói tiếng Đức (1977), Mô hình hóa được đưa vào nhà trường sau nghiên cứu của Pollak (1979)… nhằm thảo luận về

mô hình hóa trong giáo dục toán và nó đã trở thành một chủ để nổi bật từ giai đoạn này cho đến ngày nay Từ những năm cuối thế kỉ XX, các quốc gia châu

Âu đã tập trung nghiên cứu giảng dạy và đánh giá năng lực thông qua 2 dự án: Định nghĩa và lựa chọn năng lực (Definition and Selection of Competencies, DeSeCo) và Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (Programs for International Student Assessment, PISA) Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn đặc biệt được các nước OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development) quan tâm thông qua chương trình đánh giá học sinh quốc tế của PISA PISA nhấn mạnh mục đích của giáo dục toán là phát triển khả năng học

sử dụng toán trong cuộc sống hiện tại và tương lai Ở nhiều nước, kết quả PISA được thảo luận để đổi mới chương trình môn Toán ở nhà trường đặc biệt là vấn

đề mô hình hóa toán học, ứng dụng của toán học trong thực tiễn để hiểu thế giới tốt hơn, giải thích các hiện tượng, giải quyết vấn đề và đưa ra quyết định Như vậy, trên Thế giới, năng lực mô hình hóa và đánh giá năng lực mô hình hóa cũng

đã được quan tâm, song ở Việt Nam việc áp dụng kì thi đánh giá năng lực, đặc biệt là năng lực mô hình hóa toán học chưa được áp dụng nhiều trong quá trình dạy học ở trường phổ thông Đã có một số nghiên cứu về mô hình hóa toán học

và đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trong trường phổ thông nhưng chưa được phổ biến rộng rãi Do ảnh hưởng của giáo dục truyền thống quá chú trọng vào đánh giá tổng kết nên chưa chú trọng và dành sự quan tâm đúng mức cho đánh giá quá trình học tập của học sinh Hơn nữa, việc đổi mới giáo dục từ tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực đã mang lại không ít thách thức cho học sinh, giáo viên và các nhà quản lý giáo dục trong việc thay đổi đánh giá năng lực người học, chuyển từ đánh giá kết quả học tập (học được gì từ

những điều đã dạy) theo lịch trình thời gian nhất định (giữa kì, cuối kì, cuối năm học) sang đánh giá sự tiến bộ (làm được gì từ những điều đã học) so với chính mình, nên không bị ấn định thời gian cụ thể Do đó, cần phải có những công cụ, những tình huống nhất định hỗ trợ giáo viên trong việc quan sát các biểu hiện, từ

đó thu thập các dữ liệu đánh giá năng lực của học sinh và có những điều chỉnh thích hợp trong toàn bộ quá trình dạy học

Xuất phát từ những lý do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Thiết kế

tình huống học tập hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu những vấn đề cơ bản của năng lực mô hình hóa toán học và việc đánh giá năng lực của học sinh, Luận văn làm rõ các biểu hiện đặc trưng của năng lực mô hình hóa, xác định những mức độ của năng lực mô hình hóa toán học, đặc điểm của tình huống học tập đánh giá năng lực mô hình hóa toán học Từ đó, thiết kế một số tình huống học tập đánh giá năng lực mô

hình hóa toán học của học sinh trung học phổ thông

3 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu

Hoạt động đánh giá và hoạt động học tập của học sinh

3.2 Đối tượng nghiên cứu

Tình huống học tập để hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh ở trường trung học phổ thông

3.3 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung môn Toán ở trường trung học phổ thông

4 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học môn Toán ở trung học phổ thông, nếu xây dựng và thiết kế tình huống học tập phù hợp thì có thể hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa toán

học của học sinh, qua đó góp phần phát triển năng lực mô hình hóa toán học và nâng cao chất lượng học tập môn Toán của học sinh

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của năng lực mô hình hóa và đánh giá năng lực

mô hình hóa của học sinh trung học phổ thông

- Nghiên cứu về các mức độ biểu hiện, đặc điểm đặc trưng của năng lực

mô hình hóa được bộc lộ thông qua quá trình dạy học môn Toán ở bậc trung học phổ thông

- Thiết kế các tình huống học tập môn Toán nhằm hỗ trợ việc đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh

- Kiểm tra tính hiệu quả của công cụ hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa của học sinh ở bậc trung học phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các sách, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến lý thuyết đánh giá, năng lực, năng lực mô hình hóa toán học, đánh giá năng lực, các nội dung dạy học môn Toán ở bậc trung học phổ thông, các tài liệu về giáo dục môn Toán, về tâm lý học, lý luận dạy học, chương trình, sách giáo khoa phục vụ cho

đề tài thông qua một số phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, chọn lọc

6.2 Phương pháp điều tra, quan sát:

- Điều tra thực trạng dạy học nội dung môn Toán và đánh giá năng lực mô hình hóa của học sinh thông qua dự giờ, trao đổi với giáo viên, sử dụng phiếu điều tra và phân tích kết quả

- Tham khảo ý kiến của các nhà giáo dục về các vấn đề liên quan

- Quan sát việc thực hiện các hoạt động học tập của học sinh trên lớp học

7 Dự kiến đóng góp của luận văn

- Hệ thống hóa những cơ sở lí luận về năng lực và năng lực mô hình hóa toán học, đánh giá và đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông

- Xác định các biểu hiện năng lực mô hình hóa toán học của học sinh ở bậc trung học phổ thông

- Thiết kế một số tình huống học tập để học sinh hoạt động trải nghiệm và qua đó bộc lộ năng lực mô hình hóa

- Đề xuất một số tình huống nhằm hỗ trợ giáo viên trong việc đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh ở bậc trung học phổ thông

8 Cấu trúc luận văn dự kiến

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Thiết kế các tình huống học tập hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh

1.1.3 Mô hình hóa toán học

1.1.4 Năng lực mô hình hóa toán học

1.2 Đánh giá năng lực mô hình hóa toán học

1.2.1 Đánh giá, đánh giá năng lực mô hình hóa toán học

1.2.2 Quy trình đánh giá năng lực mô hình hóa toán học

1.3 Tình huống học tập hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học

1.3.1 Tình huống học tập

1.3.2 Tình huống học tập đánh giá năng mô hình hóa toán học

1.4 Thực trạng công tác đánh giá kết quả học tập môn Toán ở trường phổ thông

1.4.1 Nhận thức của giáo viên về biểu hiện năng lực mô hình hóa toán học của học sinh ở trường phổ thông

1.4.2 Những khó khăn và sai lầm khi thực hiện hoạt động mô hình hóa toán học của học sinh bậc THPT

1.4.3 Các phương pháp, công cụ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh

1.4.4 Thực trạng các bài toán thực tiễn trong chương trình sách giáo khoa phổ thông và trong các đề thi

1.5 Kết luận chương 1

CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG HỌC TẬP MÔN TOÁN

HỖ TRỢ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA

HỌC SINH 2.1 Quy trình thiết kế tình huống học tập hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh

2.2 Thiết kế các tình huống học tập cụ thể nhằm hỗ trợ đánh giá năng lực

mô hình hóa toán học của học sinh bậc THPT

2.2.1 Thiết kế tình huống học tập bóng chuyền

2.2.2 Thiết kế tình huống học tập độ dốc của cầu thang

2.2.3 Thiết kế tình huống học tập đo chiều cao ngôi nhà

2.3 Một số biện pháp thiết kế tình huống học tập môn Toán hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh

2.3.1 Tăng cường nội dung thực tiễn trong các tình huống học tập

2.3.2 Đa dạng hình thức, cách biểu diễn và cách đặt câu hỏi nêu vấn đề trong các tình huống học tập

2.3.3 Cập nhật số liệu, thông tin mới trong tình huống học tập

2.3.4 Thường xuyên kiểm tra và điều chỉnh tình huống nếu chưa phù hợp

để nâng cao chất lượng đánh giá

2.4 Kết luận chương 2

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Quy trình sử dụng tình huống học tập hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học

3.2 Sử dụng các tình huống học tập cụ thể hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh bậc THPT

3.2.1 Sử dụng tình huống bóng chuyền

3.2.2 Sử dụng tình huống độ dốc của cầu thang

3.2.3 Sử dụng tình huống lãi suất ngân hàng

3.3 Kết luận chương 3

KẾT LUẬN

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề lý luận về năng lực mô hình hóa toán học

1.1.1 Năng lực

Năng lực là một thuật ngữ được sử dụng nhiều trong nghiên cứu khoa học cũng như trong cuộc sống hằng ngày Do vậy, khái niệm năng lực cũng có nhiều cách tiếp cận và nhiều quan điểm khác nhau Các nhà tâm lý học cho rằng

“Năng lực là sự kết hợp kiến thức, kĩ năng, thái độ có sẵn hoặc ở dạng tềm tàng của một cá nhân, là tổng hợp các đặc điểm thuộc tính tâm lý cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động

ấy đạt hiệu quả cao” Theo dự án Định nghĩa và lựa chọn các năng lực (Definition and Selection of Competencies, DeSeCo 2002) đã xác định: “Năng lực như là một hệ thống các cấu trúc tinh thần bên trong và khả năng huy động kiến thức, kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành và thái độ, cảm xúc và giá trị đạo đức, động lực của một người để thực hiện thành công các hoạt động trong bối cảnh cụ thể” Một cách tiếp cận khái niệm năng lực khác dưới góc độ giáo dục của nhóm tác giả Nguyễn Lộc, Nguyễn Thị Lan Phương đó là mô tả cấu trúc các thành tố năng lực theo định hướng chức năng bao gồm: kiến thức và kĩ năng nhận thức (là tri thức nhân loại mà người học thu nhận được); kĩ năng thực hành

và kinh nghiệm sống (người học có được thông qua trải nghiệm trong cuộc sống); thái độ (hứng thú, tích cực, sẵn sàng chấp nhận thách thức,…); động cơ học tập (nâng cao học vấn, kì thi, nguyện vọng của cha mẹ,…); xúc cảm (yêu thích khoa học, văn chương, nghệ thuật,…); giá trị (yêu gia đình và bản thân, tự tin, có trách nhiệm,…); đạo đức (ứng xử trong gia đình và xã hội) Cuối cùng các thành tố này đều đặt trong bối cảnh và tình huống thực tiễn để xây dựng các vấn đề hoặc nhiệm vụ học tập [10]

Hiện nay, trong Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (tháng 12/2018), năng lực được hiểu là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển

nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động, tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực hiện thành công một loạt các hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể Trong luận văn này, chúng tôi đồng ý với định nghĩa mà Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã nêu ra

Như vậy, với những khái niệm và cách tiếp cận trên, ta có thể rút ra một

số điểm chung của năng lực như sau:

- Năng lực là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng sẵn có và thu được thông qua quá trình học tập, rèn luyện của người học

- Năng lực bao gồm các thành tố: kiến thức, kĩ năng, thái độ và các thuộc tính cá nhân (xúc cảm, động cơ học tập, niềm tin, ý chí,…)

- Năng lực được hình thành và phát triển nhằm giải quyết các hoạt động thực tiễn, trong bối cảnh và điều kiện nhất định

1.1.2 Năng lực toán học

Với cách định nghĩa đã nêu ở mục 1.1.1, ta có thể hiểu rằng năng lực toán học là thuộc tính cá nhân được hình thành và phát triển thông qua quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động những kiến thức, kĩ năng liên quan đến Toán học cùng với các thuộc tính khác như hứng thú, niềm tin, ý chí để giải quyết các vấn đề trong nội bộ toán học hoặc các tình huống có trong thực tiễn

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học bao gồm các thành phần cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Trong khung đánh giá năng lực Toán học của Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (The Programe for International Student Assesment, PISA) cho rằng: “ Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự việc và công

cụ để mô tả, giải thích và dự đoán được các hiện tượng Nó giúp con người nhận

ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra các phán đoán và quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm.” Khung đánh giá này cũng đề cập đến 3 mức độ năng lực toán phổ thông, cụ thể được thể hiện trong bảng dưới đây [4]:

Cấp độ 1

Ghi nhớ, tái hiện

- Nhớ lại các khái niệm, đối tượng, định nghĩa và tính chất toán học

- Thực hiện một cách làm quen thuộc

- Áp dụng một thuật toán tiêu chuẩn

Bảng 1 1: Khung đánh giá các mức độ năng lực toán của PISA

1.1.3 Mô hình hóa toán học

Theo các nhà khoa học Mason & Davis, mô hình là một vật được dùng để thay thế mà qua đó ta có thể thấy được những đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế (dẫn theo [11]) Mô hình có thể được hiểu là đối tượng vật lý, mô tả bởi

các vật thể có kích thước nhỏ hơn kích thước vật thật (như là mô hình không gian mô tả các khối trong không gian, quả đại cầu mô tả cho trái đất,…), hoặc

mô hình trong trí não, mô tả bởi các ngôn ngữ trừu tượng hoặc mô hình tổng quát Thông qua mô hình, ta có thể thực hiện các thao tác khám phá và nghiên cứu các tính chất, đặc điểm mà không cần sự có mặt của các vật thể thật Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả

về một hệ thông nào đó Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (vật lý, sinh học, kĩ thuật điện tử) đồng thời trong cả khoa học xã hội (kinh tế, xã hội học, khoa học chính trị) (theo Bách khoa toàn thư mở Wikipedia) Mô hình toán học được biểu diễn dưới nhiều loại khác nhau như: Mô hình số học (bảng phép toán, bộ số); Mô hình đại

số - giải tích (phương trình, hệ phương trình, bất phương trình): Mô hình được biểu diễn bằng hàm số và đồ thị, bảng biểu; Mô hình hình học Các mô hình toán học được tạo ra nhằm mục đích giúp ta mình họa các sự vật hiện tượng hay khái niệm, các tình huống thực tế, mô tả những đặc điểm, tính chất đặc trưng của nó để từ đó có những quan sát, nghiên cứu và giải quyết vấn đề một cách dễ dàng hơn

Mô hình hóa toán học có thể hiểu một cách đơn giản là quá trình tạo ra những mô hình để giải quyết các bài toán trong nội bộ toán học hoặc các bài toán thực tiễn Có nhiều định nghĩa và mô tả về khái niệm mô hình hóa toán học trong giáo dục tùy vào những lý thuyết và mục đích khác nhau của từng tác giả Edward Hanson (2001) đã cho rằng: “Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện lời giải và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không được chấp nhận” (dẫn theo [11]) Theo tác giải Trần Vui, mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế thành vấn đề toán học và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến nó [14] Như vậy có thể thấy được rằng, mô hình hóa toán học là quá

trình diễn ra theo cả hai chiều, từ thực tế đến toán học, từ lời giải có được trong toán học quay lại giải quyết bài toán thực tế Đưa các mô hình vào quá trình dạy học là ý tưởng xuất hiện vào khoảng những năm 70 của thế kỉ trước và những thập kỉ gần đây, phương pháp dạy học mô hình hóa trong nhà trường càng được thúc đẩy bởi nó ngày càng cần thiết để đáp ứng những yêu cầu phát triển của xã hội Sử dụng mô hình toán học vừa giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng toán học, tư duy logic, giải quyết vấn đề vừa cho các em thấy được mối liên hệ chặt chẽ giữa toán học với thực tiễn, ứng dụng toán học trong thực tiễn Mô hình hóa cho phép học sinh được trang bị khả năng sử dụng được những kiến thức Toán học được để giải quyết những vấn đề trong cuộc sống hằng ngày, để từ đó các

em có một sự thích thú và đam mê đối với môn Toán

Để mô tả được quá trình mô hình hóa toán học được diễn ra như thế nào, các nhà khoa học cũng đã đưa ra những sơ đồ để thấy được rõ hơn các bước diễn

ra khi thực hiện mô hình hóa Một trong các sơ đồ của quá trình mô hình hóa đầu tiên được đề xuất bởi Pollack (1979) Sơ đồ biểu diễn một cách đơn giản về quá trình mô hình hóa như là một sự chuyển đổi giữa thế giới thực và thế giới Toán học Vấn đề trong thế giới thực được chuyển và thế giới toán học và giải quyết trong thế giới đó, sau đó lại trở về áp dụng cho thế giới thực

Sơ đồ 1.1: Sơ đồ quá trình mô hình hóa toán học của Pollack, 1979 [11]

Các mô hình được phát triển sau đó đã thừa kế những ưu điểm của mô hình đơn giản trên và chi tiết hóa các bước một cách cụ thể hơn Theo nghiên

Thế giới toán học

Thế giới thực

cứu của Swetz & Hartzler (1991) thì mô hình hóa các tình huống thực tiễn trong dạy học toán cần tuân thủ theo quy trình gồm 4 giai đoạn (dẫn theo [11]):

Giai đoạn 1: Quan sát các tình huống thực tiễn, phác thảo các tình huống

và phát hiện các yếu tố quan trọng (như biến số, tham số) có tác động đến vấn đề đó;

Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn ngữ toán học Từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng;

Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để

mô hình hóa và phân tích mô hình;

Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận

Quá trình mô hình hóa có thể được xem như một chuỗi các hoạt động khép kín, nhằm mô tả những tình huống trong thực tiễn và kết quả của nó lại quay trở lại giải thích, giải quyết các vấn đề nảy sinh và cải thiện thực tiễn Ta cũng có thể mô tả quá trình mô hình hóa một sự kiện nào đó thường xảy ra với

ba giai đoạn cơ bản sau đây [11]:

- Giai đoạn xây dựng mô hình, đó là quá trình tìm “vật” đại diện; thông thường cần sự liên tưởng đến những vấn đề tương tự Trong giai đoạn này, vai trò của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng Nhờ trí tưởng tượng và trực giác, người ta loại bỏ những mối quan hệ thứ yếu của đối tượng nghiên cứu, thay nó bằng những “hình mẫu” chỉ mang tính chất, những mối quan hệ chủ yếu

- Giai đoạn nghiên cứu trên mô hình: Trong gia đoạn này, mô hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm khác nhau

- Giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình: Trong giai đoạn này, kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu để đối chiếu, làm cơ sở để điều chình mô hình

Quan sát, hiểu và xây dựng mô hình

Hiểu và thông dịch

Sơ đồ 1.2: Sơ đồ cuả Swetz & Hartzler, 1991 [11]

Không dừng lại ở việc mô tả, giải thích các tình huống trong thực tiễn

bằng các công cụ toán học như quá trình toán học hóa, quy trình mô hình hóa

đòi hỏi nhiều khâu hơn, rèn luyện nhiều kĩ năng khác cho học sinh, đòi hỏi phải

giải quyết các bài toán và xem xét chúng trong hoàn cảnh thực tế để điều chỉnh

mô hình và áp dụng mô hình cho những tình huống tương tự Nói cách khác,

toán học hóa là một phần trong quy trình mô hình hóa Điều này cũng được thể

hiện rõ trong sơ đồ của Blum & Leiβ (2006) dưới đây:

Sơ đồ 1.3: Sơ đồ của Blum & Leiβ, 2006 (dẫn theo [11])

Kết luận toán học

Sơ đồ trên cũng được xem là cơ sở cho phần lớn các hoạt động mô hình hóa và các phiên bản khác của sơ đồ hiện nay Trong sơ đồ trên ta thấy rõ được các bước trong quá trình mô hình hóa và sự khác biệt hơn của nó là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tiễn và mô hình thực Bảy bước được trình bày trong sơ đồ trên bao gồm (1) Hiểu nhiệm vụ trong thực tế; (2) Đơn giản hóa tình huống, xây dựng cấu trúc của tình huống; (3) Chuyển từ mô hình thực thành mô hình toán học (toán học hóa); (4) Giải quyết bài toán trong thế giới toán học; (5) Trình bày/ diễn giải kết quả trong thực tế; (6) Xem xét dự chấp nhận được của kết quả; (7) Áp dụng mô hình cho những tình huống tương

tự

1.1.4 Năng lực mô hình hóa toán học

Theo Blomhøj và Jensen (2006), năng lực là khả năng sẵn sàng hành động của một ai đó để phản ứng lại trong một tình huống nhất định Cũng theo đó, năng lực mô hình hóa toán học được cho là sự sẵn sàng của một ai đó để thực hiện tất cả các phần của quy trình mô hình hóa toán học trong một tình huống nhất định

Dựa trên quan điểm định nghĩa năng lực mô hình hóa toán học của Blomhøj và Jensen (2006) và quy trình về mô hình hoá của Blum & Leiβ (2006) thì biểu hiện về năng lực mô hình hóa toán học của học sinh cũng có thể được phân chia theo từng cấp độ khác nhau, tùy thuộc và các bước trong quy trình mà học sinh thực hiện được Cụ thể, trong nghiên cứu so sánh năng lực mô hình hóa toán học của học sinh Đức và Trung Quốc, tác giả M Ludwig và B Xu đã phân chia năng lực mô hình hóa toán học thành 6 cấp độ liên tiếp [18]:

Cấp độ 0: Học sinh không thể hiểu tình huống và không thể phác thảo hoặc viết bất kì thứ gì trong vấn đề gặp phải

Cấp độ 1: Học sinh chỉ có thể hiểu được vấn đề thực tế đưa ra nhưng không thể cấu trúc và đơn giản hóa tình huống hoặc không tìm được sự kết nối nào đến những ý tưởng toán học

Cấp độ 2: Sau khi điều tra vấn đề thực tế được đưa ra, học sinh tìm thấy được mô hình thực tế thông qua việc cấu trúc và làm đơn giản hóa nó nhưng học sinh không biết làm thế nào để đưa nó trở thành vấn đề toán học

Cấp độ 3: Học sinh không chỉ tìm thấy được mô hình thực tế, mà còn chuyển được nó thành vấn đề toán học nhưng không thể giải quyết một cách rõ ràng trong thế giới toán học

Cấp độ 4: Học sinh có thể giải quyết vấn đề toán học từ vấn đề thực tế, làm việc với bài toán thực tế này trong thế giới toán học và đưa ra được một kết quả toán học

Cấp độ 5: Học sinh có thể trải qua toàn bộ quy trình mô hình hóa toán học

và làm rõ lời giải một bài toán trong mối quan hệ với tình huống đưa ra

Ở một nghiên cứu khác của Kaitja Maaβ (2006) về thế nào là năng lực mô hình hóa, dựa trên những cơ sở về mặt lý thuyết của Blum và Kaiser trước đó, Kaitja Maaβ đã xác định được 5 thành phần năng lực được mô tả chi tiết dưới đây [16]:

- Năng lực hiểu vấn đề thực tiễn và thiết lập được mô hình dựa trên thực tiễn bào gồm: việc tạo ra các giả thuyết/giả định (assumptions) cho vấn đề và đơn giản hóa tính huống; nhận ra các đại lượng ảnh hưởng đến tình huống, đặt tên cho chúng và xác định các biến số chính; xây dựng mối quan hệ giữa các biến số; tìm kiếm những thông tin có sẵn và phân biệt giữa những thông tin liên quan và không liên quan

- Năng lực thiết lập một mô hình toán học từ mô hình thực tế bao gồm: toán học hóa những đại lượng liên quan và mối liên hệ của chúng; đơn giản hóa những đại lượng liên quan và mối quan hệ giữa chúng nếu cần thiết, giảm số lượng và đề phức tạp; lựa chọn những khái niệm toán học thích hợp và trình bày tình huống bằng các đồ thị

- Năng lực giải quyết vấn đề toán học trong mô hình toán học đã thiết lập bao gồm: sử dụng các chiến lược như phân chia vấn đề thành các vấn đề bộ

phận, thiết lập mối quan hệ với các vấn đề tương tự hoặc xem xét lại vấn đề, xem vấn đề ở dạng khác, thay đổi số lượng hoặc dữ liệu có sẵn, v.v ; sử dụng những kiến thức toán học để giải quyết vấn đề

- Năng lực trình bày lời giải toán học trong tình huống thực tế bao gồm: giải thích lời giải toán học trong hoàn cảnh ngoài toán học; khái quát hóa những giải pháp được phát triển từ tình huống đặc biệt; xem xét các giải pháp cho một vấn đề bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học thích hợp hoặc diễn đạt giải pháp

- Năng lực xác nhận giải pháp bao gồm: kiểm tra và phản ánh những giải pháp được tìm thấy; xém xét một số bộ phận của mô hình hoặc một lần nữa thực hiện lại quá trình mô hình hóa nếu giải pháp không phù hợp với tình huống; phản ảnh một cách làm khác để giải quyết vấn đề hoặc phát triển giải pháp một cách khác biệt; đặt câu hỏi tổng quát cho mô hình

Kế thừa các kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước, chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán (2018) đã đưa ra những thành phần của năng lực mô hình hóa toán học [2]:

- Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình đã thiết lập;

- Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Tương ứng với ba thành phần nêu trên thì chương trình cũng đã xác định những biểu hiện cụ thể đối với học sinh trung học phổ thông:

- Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị,…) đề mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn;

- Giải quyết những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập;

- Lý giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt nhận biết

được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hóa,…) để đi đến những bài toán giải được

1.2 Đánh giá năng lực mô hình hóa toán học

1.2.1 Đánh giá, đánh giá năng lực mô hình hóa toán học

Đánh giá là một thuật ngữ được sử dụng nhiều trong khoa học cũng như đời sống hằng ngày Theo các nhà khoa học, đánh giá là quá trình hình thành những nhận định, phán đoán về kết quả công việc, dựa vào phân tích những thông tin thu được đối chiếu với những mục tiêu, tiêu chuẩn đã đề ra nhằm đề xuất những quyết định thích hợp để cải thiện thực trạng, điều chỉnh và nâng cao chất lượng hiệu quả công việc [9]

Khái niệm tổng quát trên có thể được áp dụng và giáo dục đó là đánh giá

là việc thu thập thông tin một cách hệ thống để rút ra được kết luận về đặc điểm của con người, chương trình giáo dục, cơ sở giáo dục,…theo một mục đích nhất định Theo định nghĩa trên, có 3 quy mô đánh giá chủ yếu là đánh giá theo quy

mô nhỏ (lớp học) để thu thập thông tin về sự tiến bộ của học sinh, đánh giá quy

mô trung bình (trường học) về chất lượng giáo dục của nhà trường, đánh giá diện rộng (quốc gia) để đánh giá mục tiêu giáo dục và chính sánh giáo dục quốc gia [10]

Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét việc đánh giá theo quy mô lớp học

và đối tượng người học chủ yếu là học sinh THPT Theo quan điểm truyền thống, đánh giá người học là quá trình xác định vị trí của người học sinh trong nhóm và xác định việc đạt mục tiêu giáo dục Hiện nay, trong công cuộc đổi mới giáo dục trong đó có việc đổi mới đánh giá thì đánh giá là quá trình người dạy quan sát việc học tập của người học, mô tả, thu thập, ghi chép và giải thích việc học của học sinh để từ đó có những biện pháp cải thiện việc dạy Không những thế, đánh giá còn thể hiện qua việc học sinh quan sát, suy nghĩ về việc học của chính mình dựa theo mục tiêu giáo dục để có những điều chỉnh phù hợp nâng

cao chất lượng học tập Như vậy, đánh giá vừa là hoạt động của giáo viên vừa là hoạt động của học sinh, nên chúng tôi đồng ý với khái niệm đánh giá học sinh của nhóm tác giả Nguyễn Lộc, Nguyễn Thị Lan Phương đã đưa ra như sau:

“Đánh giá năng lực người học là quá trình thu thập thông tin; phân tích, xử lý

và giải thích những chứng cứ về sự phát triển năng lực người học; xác định nguyên nhân, đưa ra những biện pháp cải thiện việc dạy và học để học sinh tiến

bộ theo hướng mục tiêu giáo dục” [10]

Như vậy, với định nghĩa trên ta cần chú ý những điểm sau:

- Chứng cứ thu thập phải chứng mình được rằng người học có thể thực hiện theo các tiêu chuẩn cụ thể

- Cách thức đánh giá xuất phát từ những kĩ thuật của tập hợp kết quả đầu

ra nêu trong chuẩn năng lực

- Kết quả đánh giá phải giúp người đánh giá đưa ra các quyết định về việc học sinh đạt tới mức độ nào của năng lực cần đánh giá và lập kế hoạch can thiệp

sư phạm để đảm bảo người học có thể cải thiện năng lực của bản thân

Trong giáo dục, dựa vào đặc tính, mục tiêu, thời gian diễn ra đánh giá mà

có những sự phân loại khác nhau Xét theo tính liên tục và thời điểm đánh giá thì đánh giá trong giáo dục được chia thành các loại là đánh giá quá trình và đánh giá tổng kết Còn nếu xét dựa theo tiêu chuẩn tương đối của nhóm người cùng được đánh giá và chẩn về mức độ thành thạo đáp ứng chuẩn mực mong đợi thì đánh giá trong giáo dục được chia làm 2 loại là đánh giá dựa theo chuẩn và đánh giá dựa theo tiêu chí

Đánh giá dựa theo chuẩn là so sánh thành tích của các đối tượng cùng được đánh giá với nhau Đó là hình thức đánh giá đưa ra những nhận xét về mức

độ cao hay thấp trong năng lực của cá nhân so với những người khác cùng làm bài thi Có hai hình thức so sánh trong đánh giá dựa theo chuẩn: (1) So sánh thành tích của cá nhân nay với cá nhân khác trong nhóm mẫu khảo sát, ví dụ só sánh điểm thi của các thí sinh cùng tham gia vào kì thi THPT QG; (2) So sánh

thành tích của cá nhân trong tương quan với nhóm đại diện, ví dụ so sánh điểm của một thí sinh với điểm trung bình của cả nước Do vậy, đánh giá dựa theo chuẩn có tính chuẩn và có khả năng suy rộng cho tổng thể Mặt khác, đánh giá dựa theo chuẩn thường sử dụng những câu hỏi trắc nghiệm khách quan hoặc có câu trả lời ngắn gọn nên khó có thể đánh giá được một số năng lực như là kĩ năng phân tích và diễn giải thông tin, kĩ năng trình bày, báo cáo hay thảo luận Đánh giá dựa theo chuẩn phù hợp với mục tiêu xác định mức độ thành tích của học sinh cuối khóa học, kì học, năm học,…

Khác với đánh giá dựa theo chuẩn, người học được đánh giá dựa trên các tiêu chí đã được xác định rõ ràng về thành tích đạt được so với chuẩn đầu ra hay mục tiêu đã đề ra, thay vì được xếp hạng trên cơ sở kết quả thu được của những học sinh thuộc mẫu khảo sát Như vậy, khi đánh giá dựa theo tiêu chí, chất lượng thành tích không phụ thuộc vào mức độ cao thấp về năng lực của những người khác mà phụ thuộc vào mức độ cao thấp của chính người được đánh giá với các tiêu chí cụ thể đã đặt ra Hay nói các khác, đánh giá năng lực dựa theo tiêu chí sẽ giúp trả lời cho câu hỏi: liệu một người này có thể làm điều gì đó được không?

Cụ thể, trong luận văn chúng tôi đề cập đến việc sử dụng các tình huống học tập hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hóa của học sinh trong phạm vi lớp học thì việc lựa chọn loại hình đánh giá dựa theo tiêu chí sẽ là phù hợp hơn Đánh giá cũng như phát triển năng lực mô hình hóa có thể được tổ chức trong quá trình học tập môn Toán như sau: đưa ra những tình huống giả định mang tính thực tiễn để học sinh tóm tắt thông tin đã cho; lựa chọn những mô hình toán học phù hợp để chuyển bài toán từ thực tế thành bài toán trong nội bộ toán học

và giải quyết nó; đưa lời giải trở lại giải quyết tình huống thực tiễn để đánh giá

và cải tiến mô hình nếu cần thiết Nghĩa là các tình huống học tập được thiết kế

để học sinh thông qua đó có thể bộ lộ những hành vi, biểu hiện từ đó là cơ sở để đánh giá mỗi cá nhân theo một bảng tiêu chí được xây dựng sẵn Qua những

mình chứng thu thập được và đối chiếu với những tiêu chí, giáo viên và học sinh

có thể cùng xem xét được năng lực của học sinh đạt đến mức độ nào và cần có những tác động gì để học sinh có thể đạt đến mục tiêu đề ra Tuy nhiên, năng lực

mô hình hóa toán học của học sinh được hình thành và phát triển qua các giai đoạn giáo dục liên tiếp Do vậy, đánh giá năng lực này cần thu thập chứng cứ trong một thời gian đủ dài, đặt học sinh trong một chuỗi tình huống hoặc hệ thống tình huống có mối liên hệ chặt chẽ, chỉ rõ sự tiễn bộ trong từng cá nhân người học chứ không thể đánh giá người học qua một vài tình huống đơn lẻ Trong suốt quá trình học tập của học sinh, giáo viên luôn phải chú trọng trong việc đặt học sinh vào những tình huống học tập, từ đó tạo điều kiện cho học sinh bộc lộ những biểu hiện dựa theo các tiêu chuẩn và tiêu chí nhất định của năng lực mô hình hóa

1.2.2 Phiếu đánh giá theo tiêu chí năng lực mô hình hóa toán học

Dựa trên sự phân tích về quy trình mô hình hóa toán học và những biểu hiện của năng lực này của học sinh bậc THPT đã được nêu ra trong Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể môn Toán (12/2018) của Bộ giáo dục, chúng tôi xin đề xuất Rubric (phiếu hướng dẫn đánh giá theo tiêu chí) nhằm mô tả cụ thể hơn những biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học dưới đây:

Tóm tắt thông tin cần thiết cho việc giải quyết vấn đề

Phát biểu tình huống thực tiễn một cách logic bằng ngôn ngữ của bản thân

Phân

tích thông tin

trong

tình huống

Phân loại thông tin

có ảnh hưởng hoặc không ảnh hưởng đến việc thiết lập

mô hình toán học

Giải thích chính xác những thông tin quan trọng, những đại lượng ảnh hưởng đến mô hình toán học

Nhận ra mối liên hệ giữa các đại lượng xuất hiện trong tình huống

Lựa chọn và

bỏ những thông tin không mang tính bản chất

Liên kết tình

huống với

mô hình toán học

đã biết, đã từng gặp trước đó

Kết nối những thông tin và mối liên hệ giữa các đại lượng để tạo

ra mô hình toán học phù hợp với tình huống đặt ra

Nhớ lại

những

kiến

Gợi lại những kiến

Kết nối, biến đổi linh hoạt

Tự đặt câu hỏi để tìm ra kiến thức

thức đã học có thể giải quyết được bài toán đơn giản

kiến thức toán học sẵn có để giải quyết các bài toán phức tạp có nhiều bước

nào có thể giải quyết vấn đề

Thiết lập

mối quan hệ

với các

vấn đề

tường tự

So sánh các vấn

đề tương

tự, quen thuộc đã từng gặp trước đó

Giải thích những kết nối với vấn đề tương tự

để tìm giải pháp

Khái quát một lớp bài toán có cùng đặc tính để đưa ra quy trình giải quyết chung

Vận dụng linh hoạt quy trình có sẵn để giải quyết bài toán, xử lý các tình huống mới phát sinh

Chủ động giải quyết bài toán dựa trên kinh nghiệm và kiến thức sẵn có

giải trong

hoàn

cảnh

thực tế

Mô tả cấu trúc, công thức, công cụ

sử dụng trong lời giải

Chuyển đổi lời giải bài toán trong toán học thành giải pháp trong thực

tế

Giải thích được sự tương ứng, mối liên hệ giữa các đại lượng toán học và thực

tế trong hoàn cảnh nhất định

thành phần và xem xét các mối quan hệ

để tìm ra điểm đặc trưng của tình

huống

Tổng hợp để khái quát được một cấu trúc, tổng thể mới

Vận dụng linh hoạt kiến thức và kinh nghiệm

để giải quyết các bài toán tương tự

Đưa ra những nhận xét, phân tích

ưu nhược điểm của giải pháp

đã lựa chọn trên một số tiêu chí nhất định

Đối chiếu,

so sánh nhiều hướng giải quyết khác nhau

Trở lại mô hình toán học để tìm

ra những giải pháp

mở cải tiến mô hình

Phân tích và lựa chọn giải pháp tốt nhất trong các giải pháp khả thi

Khái quát hóa giải pháp cho một loạt vấn

đề tương tự

Mô tả mức độ

Nhận biết được thông tin trong tình huống, giải quyết được một số bài toán đơn giản, chưa có định hướng

rõ ràng trong việc mô hình hóa để đưa ra giải pháp

Am hiểu tình huống trong thực tế, xác định được thông tin quan trọng hoặc không quan trọng, giải quyết được các bài toán đơn giản, đánh giá được tính đúng sai trong giải pháp

Thu thập, phân tích, kết nối các thông tin hữu ích trong tình

huống có tính mới,

có khả năng chuyển đổi ngôn ngữ từ thực tế sang toán học, có khả năng giải quyết các bài toán phức tạp nhiều bước, đánh giá được giải pháp dựa trên các tiêu chí có sẵn

Xác định rõ ràng vai trò của các thông tin được cung cấp trong tình huống, giải thích được về mối quan hệ giữa các đại lượng, có khả năng giải quyết và tổng quát bài toán trong

mô hình toán học, phân tích và

có những thay đổi giải pháp cho phù hợp với thực tế

Hiểu sâu sắc thông tin tường minh

và ẩn tàng trong tình huống thực

tế, biến đổi, kết nối thông tin đa dạng,

chuyển đổi linh hoạt giữa ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ đời thường, chủ động trong giải quyết các tình huống phức tạp, so sánh nhiều giải pháp để tổng quát và chọn ra giải pháp tối ưu nhất

Bảng 1 2: Rubric năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THPT

1.3 Tình huống học tập đánh giá năng lực mô hình hóa toán học

1.3.1 Tình huống học tập

Theo từ điển Tiếng Việt, tình huống là toàn thể những sự việc diễn ra tại một nơi, trong một thời gian, buộc người ta phải suy nghĩ, hành động, đối phó, chịu đựng Trong khoa học giáo dục, tình huống được cho là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong đó, chủ thể có thể là người, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó (theo [9]) Trong đó, hệ thống có thể hiểu là những sự kiện, hiện tượng diễn ra dẫn tới một vấn đề cần giải quyết Tùy theo vai trò và những tác động của người thầy mà tình huống có thể phân chia thành 2 loại đó

là tình huống học tập lý tưởng và tình huống dạy học Đối với tình huống học tập lý tưởng, thầy giáo là người đưa ra những tình huống sao cho trò có thể tự đảm đương trách nhiệm kiến tạo tri thức, tự điều chỉnh những kiến thức của họ

để đáp ứng nhu cầu của môi trường chứ không phải ý muốn của người thầy Còn trong tình huống dạy học, người thầy có vai trò tường minh với mục tiêu để học sinh học tập một tri thức nào đó

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [9], tình huống học tập lý tưởng cần thỏa mãn những điều kiện sau:

- Người học sớm có một cách trả lời (quy trình cơ sở) dựa vào những kiến thức mà họ đã có, tuy đó mới chỉ là cách trả lời sơ khai, chưa có gì đảm bảo rằng

nó hoàn toàn thích hợp với mục tiêu hoạt động của trò;

- Quy trình cơ sở phải chưa đầy đủ, kém hoặc không hiệu quả;

- Môi trường có khả năng phản hồi để người học tự đánh giá được kết quả hoạt động của mình và do đó có nhu cầu điều chỉnh kiến thức hay quan niệm để

đi đến kết quả mong muốn;

- Bản thân tình huống phải gợi ra, thúc đẩy, lôi cuốn hoạt động của học sinh chứ không phải là trò làm theo ý thích của thầy giáo

Trong luận văn này, để phù hợp với mục tiêu đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh bậc THPT, chúng tôi tiếp cận tình huống học tập theo

nghĩa: Tình huống học tập là sự trình bày, mô tả một sự kiện, hiện tượng nào

nhằm đưa ra một vấn đề mà học sinh chưa giải quyết được ngay mà học sinh cần phải trải qua các hoạt động mô hình hóa toán học mới có thể giải quyết được

1.3.2 Tình huống học tập đánh giá năng mô hình hóa toán học

Dựa trên cơ sở đã phân tích về quy trình mô hình hóa, năng lực mô hình hóa toán học cũng như những biểu hiện đặc trưng của năng lực mô hình hóa toán học ở bậc trung học phổ thông theo nhiều cách nhìn nhận khác nhau, chúng

ta dẫn đến câu hỏi: Làm thế nào để đánh giá được năng lực mô hình hóa toán học của học sinh? Tình huống học tập cần có những đặc điểm gì để có thể tạo điều kiện cho học học sinh bộc lộ rõ những biểu hiện của năng lực mô hình hóa? Cùng với sự phân tích, tìm hiểu về một số tình huống đã được sử dụng để đánh giá năng lực mô hình hóa toán học đặc biệt từ Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (The Programe for International Student Assesment, PISA), dưới đây, chúng tôi xin đề xuất một số đặc điểm đặc trưng của những tình huống học tập

sử dụng để đánh giá năng lực mô hình hóa của học sinh như sau:

a) Tính mâu thuẫn: Tình huống học tập trình bày, mô phỏng các sự kiện

nhằm đưa ra một vấn đề đòi hỏi học sinh cần phải vận dụng những tri thức sẵn

có hoặc lĩnh hội những tri thức mới để giải quyết Do đó những tình huống học tập nói chung và tình huống học tập hỗ trợ năng lực mô hình hóa toán học nói riêng cần phải có sự mâu thuẫn, mâu thuẫn giữa những cái đã biết và chưa biết, giữa nhiệm vụ nhận thức và tri thức đã có để từ đó học sinh huy động nội lực, bộc lộ các biểu hiện của năng lực mô hình hóa

b) Tính kết nối toán học và thực tiễn: Từ quy trình mô hình hóa học đã

trình bày có thể thấy để tiến hành được quy trình này thì các vấn đề phải xuất phát từ những tình huống thực tiễn, có sẵn và gần gũi với nhu cầu cuộc sống của học sinh Sau khi trải qua quá trình mô hình hóa, lời giải trong thế giới toán học lại được quay lại với thực tiễn để điều chỉnh, cải tiến những hạn chế trong thực

tiễn Do đó, tình huống đánh giá năng lực mô hình hóa cần có các yếu tố, nội dung liên quan đến thực tiễn Ngoài ra, nó cũng cần có sự cân nhắc để vấn đề đưa ra phù hợp với nội dung bài học và những hiểu biết chung của từng độ tuổi học sinh

c) Tính mở, có nhiều hướng giải quyết khác nhau: Thực tế luôn mang

tính chất tương đối và đã là vấn đề xuất phát trong thực tiễn thì có thể có nhiều con đường khác nhau để đi đến kết quả Do đó, tình huống đánh giá cũng cần phải có tính mở, nghĩa là có thể thông qua nhiều mô hình khác nhau, tùy thuộc vào điều kiện nhất định chọn ra mô hình phù hợp nhất Thông qua các hoạt động trong quy trình mô hình hóa có thể đánh giá được năng lực của học sinh

d) Tính cụ thể và trực quan sinh động: Trong khi sử dụng các tình

huống học tập đánh giá năng lực mô hình hóa toán học thì tình huống đặt ra hướng đến các đối tượng cụ thể dưới nhiều hình thức như bảng biểu, đồ thị, hình ảnh, video về sự vật hiện tượng,… Những tình huống cụ thể và sinh động, gần gũi với thực tế sẽ bước đầu tạo được hứng thú, thúc đẩy học sinh trong việc giải quyết vấn đề đặt ra

e) Tính phân bậc: Tình huống cần đánh giá được các mức độ, hiểu biết

của học sinh không chỉ về kiến thức, kĩ năng toán học mà còn về những hiểu biết về các lĩnh vực khác và mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn để đưa ra những giải pháp khác nhau Sự phức tạp của tình huống thực tiễn có thể được nâng dần lên theo từng cấp độ khác nhau giúp sự phân bậc về năng lực của học sinh được rõ ràng

1.4 Thực trạng công tác đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh ở trường phổ thông

Chúng tôi đã tiến hành khảo sát dựa trên phương pháp nghiên cứu trường hợp, nghĩa là chúng tôi đã phát phiếu khảo sát bất kì đến 24 giáo viên THPT và

thu về được kết quả như Phụ lục 2 Qua phân tích kết quả phiếu thu được, chúng tôi rút ra một số kết luận về thực trạng như sau:

1.4.1 Nhận thức của giáo viên về biểu hiện năng lực mô hình hóa toán học của học sinh ở trường phổ thông

Về các biểu hiện trong thành tố xác định mô hình toán học cho tình huống thực tế (bảng PL 2.1): Hầu hết các giáo viên được khảo sát đồng tình với các

biểu hiện nêu ra Cụ thể: Liệt kê được những thông tin có trong tình huống thực

tế, tóm tắt thông tin cần thiết cho việc giải quyết vấn đề (83,3%); Phát biểu tình huống thực tế một cách logic theo ngôn ngữ của bản thân (87,5 %); Giải thích chính xác những thông tin quan trọng, những đại lượng ảnh hưởng đến mô hình toán học, nhận ra mối liên hệ giữa các đại lượng xuất hiện trong tình huống (83,3%); Liên kết tình huống với mô hình toán học đã từng gặp trước đó, kết nối thông tin và mối liên hệ giữa các đại lượng để tạo ra mô hình toán học phù hợp với tình huống đặt ra (83,3%) Bên cạnh đó những biểu hiện được một số giáo viên cho là không xuất hiện trong quá trình hoạt động mô hình hóa nên có tỉ lệ đồng ý thấp hơn chẳng hạn: Phân loại thông tin có ảnh hưởng hoặc không ảnh hưởng đến việc thiết lập mô hình toán học (66,7%)

Về các biểu hiện trong thành tố giải quyết vấn đề toán học trong mô hình mới thiết lập (bảng PL 2.2): Đa số các giáo viên đồng ý với những biểu hiện của

thành tố này mà phiếu khảo sát đã đưa ra Nhiều biểu hiện đạt tỉ lệ phần trăm cao như là: So sánh các vấn đề tương tự, quen thuộc đã từng gặp trước đó; Vận dụng linh hoạt những quy trình có sẵn để giải bài toán, xử lý các tình huống mới phát sinh; Chủ động giải quyết bài toán dựa trên kinh nghiệm và kiến thức có sẵn đều đạt 95,8% (23/24 phiếu đồng ý) Điều đó cho thấy học sinh đã có xuất hiện những biểu hiện này một cách thường xuyên khi trải qua quá trình mô hình hóa toán học

Về các biểu hiện trong thành tố thể hiện giải pháp đã lựa chọn trong tình huống thực tế (bảng PL 2.3): Một số giáo viên không đồng tình với các biểu

hiện: Mô tả cấu trúc, công thức, công cụ đã sử dụng trong lời giải (75%); Tổng hợp để khái quát được một cấu trúc, tổng thể mới (75%) Những thành tố còn lại

có một tỉ lệ đồng ý cao hơn: Giải thích được sự tương ứng, mối liên hệ giữa các đại lượng toán học và thực tế trong hoàn cảnh nhất định (87,5%); Phân tích từng thành phần và xem xét các mối quan hệ để tìm ra điểm đặc trưng của tình huống (87,5%); đặc biệt biểu hiện “Vận dụng linh hoạt kiến thức và kinh nghiệm để giải quyết các bài toán tương tự” có đến 91,7% giáo viên đồng ý Điều đó chứng

tỏ các biểu hiện của năng lực mức đơn giản và mức độ cao (ở đây là khái quát) chưa được giáo viên chú trọng và quan tâm trong thành tố này của năng lực mô hình hóa toán học Không có giáo viên nào có thêm biểu hiện khác

Về những biểu hiện về thành tố đánh giá và cải tiến mô hình nếu mô hình chưa phù hợp (bảng PL 2.4): Có 91,7% giáo viên được khảo sát đã cho rằng

biểu hiện “Đưa ra những nhận xét, phân tích ưu, nhược điểm của giải pháp đã lựa chọn trên một số tiêu chí nhất định” và “Đối chiếu, so sánh nhiều hướng giải quyết khác nhau” xuất hiện trong quá trình đánh giá và cải tiến mô hình Những thành tố còn lại như là “Trở lại mô hình toán học để tìm ra những giải pháp mở

để cải tiến mô hình” và “Phân tích và lựa chọn giải pháp tốt nhất trong các giải pháp khả thi” đều đạt tỉ lệ đồng ý cao là 87,5% Bên cạnh đó thì biểu hiện “Khái quát hóa giải pháp cho một loạt vấn đề tương tự” được một số giáo viên cho rằng không xuất hiện trong giai đoạn đánh giá và cải tiến mô hình Điều đó chứng tỏ rằng càng ở các mức độ cao thì giáo viên thường ít chọn

1.4.2 Những khó khăn và sai lầm khi thực hiện hoạt động mô hình hóa toán học của học sinh bậc THPT

Đa số các giáo viên đều cho rằng học sinh gặp khó khăn và sai lầm ở tất cả các thành tố của quá trình mô hình hóa toán học (bảng PL 2.6) Tuy nhiên, nhiều giáo viên cho rằng học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn và sai lầm hơn ở thành tố

“đánh giá và cải thiện mô hình nếu các giải quyết không phù hợp” (chiếm 95,8% giáo viên đồng ý) và thành tố “xác định mô hình toán học cho tình huống thực

tế” (chiếm 91,7% giáo viên đồng ý) Như vậy có nghĩa là học sinh gặp khó khăn phổ biến hơn ở bước xác định mô hình và bước cải tiến mô hình trong khi trải qua hoạt động mô hình hóa toán học Những thành cố còn lại chiếm tỉ lệ cao nhưng thấp hơn 2 thành tố trên đó là: Khó khăn, sai lầm trong hoạt động thể hiện giải pháp đã lựa chọn trong tình huống thực tế (87,5%); Khó khăn, sai lầm trong hoạt động giải quyết vấn đề toán toán học trong mô hình vừa mới thiết lập (83,3%) Những thành tố này được cho là ít học sinh gặp khó khăn hơn bởi vì khi đã xác định được mô hình toán học phù hợp với bài toán thực tế thì học sinh

sẽ dễ dàng hơn trong việc giải quyết một bài toán trong môi trường toán học thuần túy và trình bày nó thành giải pháp Những kiến thức và kĩ năng để giải bài toán thuần túy đã được rèn luyện nhiều trong quá trình dạy học Không có giáo viên nào được hỏi cho rằng học sinh có những khó khăn hoặc sai lầm nào

khác

1.4.3 Các phương pháp, công cụ đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh

Về mức độ đánh giá của năng lực mô hình hóa toán học (bảng PL 2.7):

Thực trạng cho thấy, so với những năng lực còn lại, năng lực mô hình hóa ít được chú trọng hơn Có thể thấy rằng có 20,8% giáo viên được khảo sát cho rằng mình không đánh giá năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh Có 58,4% giáo viên được hỏi cho rằng mình đánh giá năng lực này ở mức độ “thỉnh thoảng” và chỉ có 20,8% giáo viên được hỏi cho rằng mình thường xuyên đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh Tỉ lệ này thấp hơn rất nhiều so với những năng lực khác như là: Năng lực tư duy và lập luận có mức độ đánh giá thường xuyên lên đến 79,2% và Năng lực giải quyết vấn đề toán học có mức

độ đánh giá thường xuyên là 58,4%

Về phương pháp đánh giá năng lực mô hình hóa toán học (bảng PL 2.8):

Giáo viên chủ yếu sử dụng 2 phương pháp quan sát và phỏng vấn để đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh (cả hai đều chiếm 95,8%)