tham khảo "giảng và giải toán giải tích 12" phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu môn toán lớp 12
Trang 1VINH KHANG - PHẠM HOÀNG CHÚNG
GIẢI TÍCH
Bién soạn theo chương trình của
ĐỘ Giáo đục va Dao tao
Ôn thi Tú tài, Cao đẳng, Đại học
Chương trình cơ bản
NHÀ XUAT BAN
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HG CHÍ MINH
Trang 2t UNG DUNG DAO HAM BE KHAO SAT VA VE BO TH] CUA HAM SO
|1 SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN 0ÙA HÀM SỐ
A TOM TAT LÍ THUYẾT
1 Tinh don diéu cha ham sé Định nghia: Cho ham sé y = fix) xac định trên K ( là khuảng, đoạn hay nửa khoảng)
Ham sé f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu V xì, x¿ € Ri x, < xy
3 Ki) < Ms)
Hàm số /Ix) nghịch biến (gidm) trén K néu ¥ x), x © Ki x) < Xe
=> flay) > Axe) Ham sẽ đẳng biến hay nghịch biến trén K gọi chung là đơn điệu Lrên K
2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Cho hàm số y = fix) cd dao ham trén K a} Néu fix) => 0 Vx e R, f) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
thì hàm số xì đồng biến trên K
bì Nếu xì <0Wxc K, fíx) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
thì hàm số #x) nghịch biến trên K
3 Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Qui tắc: Dể xét tính đơn điệu hàm số y = /fx) ta thực hiện:
1 Tim Lập xác định Tính /Ƒx)
9 Tìm các điểm tại dé f(x) bằng không hoặc ƒ'(X) không xác định
3 Sắp xếp các điểm trên theo thứ tự tăng đẩn và lập bảng
B GIẢNG VẢ GIẢI BÀI LẬP SGK
aS
* Giẳng giải Bec J: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Tính đạo hàm của ham sé (tinh fo)
Bước 3: Tìm các điểm x, mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
xác định
Bước 4: Sắp xếp các điểm x, theo thứ tự tăng dắn, sau đó lập
bảng biến thiên của hàm số
Buóc 5: Nêu kết luậ
về các hiến và nghịch biến
a} Tap xác định D = l$
Deo ham v` = 3 — 3x = D exes Bang bién thién
3
2 y' + 0 &
: 25
Ỳ KP rác 3 Ten
= =o
Từ bảng biến thiên cho thấy: hàm số đồng biến trong khoảng Í= : ;| va nghich bién trong khoáng | Š + 2)
b) Tập xác định D = š Hao ham y' =x? + 6x—7T=0
x, = -3-V16 = -7 hoae x, = -3+ 16 =1 Bảng biến thiên
: Hàm số đồng hiến trong các khoảng (-% ¡ 7) và (1; +) nghịch biến trong khoảng (—7; 1)
Ghi chứ: Đề bài này không đòi hỏi phải tính giá trị của hàm số taix =—7 va x = 1 Vi vy trong bang bién thién ta chỉ cần làm như sau:
x _m =F 1 +œ
v + ũ - 0 ~
Se lo TT
cì Tập xác định D = % y’ =4x*— 4x = 4x (x7- 1) =0 @ xX, =0, Xay=21
Bảng biến thiên
x| — -1 0 1 ee
y - 0 + 0 Tà LƠ +
Nết luận: Hàm số nghịch biến trong các khoảng (—% ; —1) va (0; 1)
đẳng biến trong các khoảng (=1; 6) và (1; + } đ) Tập xác định D = lš
y'= -3x” + 34 =0 @ x = 0 hoặc x=
2
3
Bảng hiến thiên
'
¥ = 0 +
l
i
Kãi luận Hàm số nghịch biến trong cae khoảng (—œ; Ö} và
3 HH Suy lệ- #6
biển thiên ; x |— - 1 Me
(2 ++ «| đồng biến trong khoảng \o ig}
+ Nêu kết luận về các khoảng đẳng biến, nghịch biến y
z : ~ : F ‘ \ : UY 92 = : J + # Ciăng giải: Xem lại phần giảng giải ở bài tập 1 as
` 3 a) Tập xác định D = BNI)
%
=
6
eee 0197
a ar
Đạo hàm không xác định tại x = 1
Bảng biến thiên
x | -« 1 +
+ =— ae} +” HS z
<0Wx#z#1
Kết luận: hàm số nghịch biến trung các khoảng (—œ ; L) và (L; +ø}
bì Tập xác định D= # XI1]
vs x”—8x Loe Streit = any 1
1-x 1-x G 1~*%
y'=-l- : ~<0Yvx#l
(i_ xy
y“ không xác định với x = 1
Bảng biến thiên
¥ TS a = SS
Ilam số nghịch biến trong các khoảng (—=œ; 1) và (1; +œ]
c) Tập xác định D.= {xe-R/x*-x-202 0}
Ta cé: x*-x-20=0 x, Ko mỉ Làn») TỶ
_1+v1-§0 _
Gee =5 x°~x—?0 > vớđix < -4huặc x >5
Tập xác định của hằm số: D = (—%; -4] +2 [ã; +}
; 2x-
¥ oa Oat
2x? -x—20 2
= y 4 với xe(-s; - 4] và y' > 0 với xe [B ; 4+)
Bảng biến thiên
x —” 4
v = 0 +
ae +O = Ỷ 0 đã) ee F770 f pa * r to ` Kết luận: Hăm số nghịch biển trong nửa khoảng (+; -4] và đồng biến trong nửa khoảng [5; +=}
d) Tập xác định l1= 3# \| +3)
¿_ =#x!T—18 _ -3x” +0)
— Gis} GF =97 Bang bién thién + ~m= -ö +0
y « 0 wx e D, không xác định với x = +3
Xg = = =
ũ 4
y SH SN to Nết luận: Hầm số nghịch hiến trong các khoảng (—œ¡ =3), (=3; 3)
va (3; +2),
3
* Giảng giải
Buc 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 9: Tính đạo hàm của hàm số
Bước 3: Tìm các điểmx, mà tại đó hàm số bằng Ø hoặc không xác định
Bude #: Xét dấu đạo hàm trong các khoảng (có thể lập bảng biến thiên) và rút ra kết luận
Giải Tập xác dinh cua ham s6 D= %
2
Bao ham gle at x= +]
(lex) Hàm số có đạu hàm trong (=1; 1) và không âm trong khoảng đó nên hàm £6 đồng biến trong khoảng (—1; 1)
Ta cũng thấy y' < Ú #x = (cm ¡ =1112(1 ¡1 #)
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (—s; =1) và (1; +œ)
4
# Giảng giải: Xem phần giảng giải ở bài tập 3
Giải
Ta có; 2x-x°=0 < x=0 hofcx=2 2x—x” >0 với x c [0; 5]
=> Tập xác định của hàm số D = {0 ; 2]
: 1+
YS arn co ET
v2x—Xx
Ham s6 y= 2x -x” có đạo hàm trong tập xác định và y' > 0 với
xe (0; 1) do đó đẳng biến trên khoảng (0; 1); y' < Ú với x © (1; 2) nên nghịch hiến trên khaảng (1; 3)
* Giảng giải
Cho a< x< b, chứng minh rang: g(x) < h(x) Bước 1: Biến đổi các hàm số của bất đẳng thức về dạng một
Bude 2: Lay dao ham của hàm số đó
Bioe 3; Chiing minh ham sé don diéu trén (a, b)
Bước 4: Suy ra điều phải chứng minh:
a<x<b Lhi f(a) <f(bì (hoặc f(a) > f(b)) > dpem
Giai
a) Xét ham sé y = Ax) = tanx— x trên ‘a, x)
honey
KG — 0W 1 2 f¬ RÌ
Ta có y' = ƒ(x) = =y—~1 =tnn°x>0Wxe|0;—
cos’ x yoy
- fc 5
Hàm số /Äx) c6 dao ham trén | 05 |
AK
f nt)
và dao ham f9 >0 Ye e|0; 2 |
` #
Do đó hàm số đẳng biến trên khoảng đó
Suy ra với xe[@¡ 5] tạ e6 /ƒ00 > /(0) = 0 hay tanx -x > Ö
X
Vay tanx > x wail <x <2),
5 b) Xét hàm số y = gí8) = lăn x ~ x - T7 trên (0; 2)
-1-x' =tan?x-x*
Tacs: y= gi =—;
cos’ x Theo két qua cau a) tanx > xVx (0 : Sỹ
Ta céa'(x) = tan*x — x? > 0 trén ụ 2]
`
:
Suy ra ham sé g(x) = tanx — x “ss đồng biến trên|0 : zh \
Do đó g(x) > g(0) = 0 hay tanx > x + ene nae XS
l2: CỰC TRỊ CỦA HÀM Số
Á TÔM TẤT LÍ THUYẾT
1 Khái niệm cực trị Định nghĩa: Cho hàm số y = flx) xác định và liên tục trên khoảng ta; b) và điểm xụ= (8; bì
a) Nếu cá số h > 0 sao cho x; e (a; b), (xo — h; xo + hì C (a; b} ta
có fix) < fio) ¥ x = (Xu-h; XÓ + h), x # x, thi ta néi fix) dat cue đại tại xu và xu) là giá trị cực đai của hàm sé fix)
b) Cũng với các điều kiện như phần a) và fx) > #Xu) VX c (xy — h; xo + hì,
x # x¿ thì ta nói /1x) đạt cực tiểu tại xạ và /{xa) là giá trị cực tiểu cua fix),
Cực đại hay cực tiểu của 8x) gọi chung là cực trị của f(x)
2 Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
Dinh lí 1: Giả sử hàm số y = fx) Lien tục trên K = (xo = h; xo + hi,
h > 0 va cé dao ham trén K hoặc trên K{xi]
n) Nếu ƒf{x¿ì > Ú trên (xạ - h; xo) và ƒ(x) < 0 trên (xạ; xà + h thì xa là một điểm cực đại của /fx)
11
Trang 3b) Nếu ƒ(x) < 0 trên (xạ— h; xạ) và ƒ'íx) > 0 trên (xu; xị + hì thì
xụ là một điểm cực tiểu của Ax),
Định lí 3: Giả sử bàm số y = /fx}) có đạo hàm cấp hai trong
khoảng (xụ — h; xạ + h) yới h > 0 Khi đó:
ñ) Nâu ƒ'(x„! = 0; ƒ(x,) > 0 thi xụ là điểm cực tiểu,
Ù) Nếu ƒ{x„) =0; ƒ"(x„) < 0 thì xạ là điểm cực đại
8 Qui tắc tìm cực trị
* Qui tắc 1: (Áp đụng định lí 11
1 Tim tập xác định Tính /*(x)
2 Tìm các điểm tại đó ƒ{x) bằng 0 hoặc ƒx) không xác định
3 Lận bằng biển thiên
4 Từ bảng biển thiên suy ra các điểm cực trị
* Qui tắc 9: (Áp dụng định lí 3)
1 Tìm tận xáe định Tính ƒ(x)
# Giải phương trình Ƒ(x) = 0 và kí hiệu x; (ỉ =1, 2, .) là các
nghiệm của nó,
3 Tính ƒ'{x) và /ƒWx,)
1 Dựa vào riấu của ƒ”(x,) suy ra tinh chất cực trị của điểm x
B GIANG VA GIAI BAI TAP SGK
1
* Giảng giải
Bước ï: Tìm tập xác định Tính ƒ{x),
Bude 2: Tim cae diém tai dé f(x) bang O hode /"ix) khéng xac
dink
Bide 3: Lap bảng biến thiên
Bước 4; Tu bang biến thiên suy ra các điểm cực trị (chủ ý: x, là
điểm cực trị nếu /'(x) đổi đấu khi x di qua x.}
n) Tập xác định D= 3
y'= 6x" + 6x — 36-= Bix? + x- 6) =0 x =-3 howe x 22
12
Bang bién thién
v + = +
Y ee TE "Te Ân Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = —3 và đạt cực tiểu tại x = 3
Đổ thị có điểm cực đại (—3; 71) và điểm cực tiểu (2; -54)
b) Tap xác định D = R
Đạo hàm y’ = 4x" + 4x = 4x(X” + 1) = 0 x=0
Bảng hiến thiên
> 0 +
Ham sé ¢6 diém eve tiéu 14 x, = 0,
¢) Tap xác định D = RB \{0}
Bao ham y=1-4+ 20x = +41; khong xác định taix=0
x
+
<.|z
Bảng biển thiên
x|Tm= -1 0 1 +#
Ỷ oe yl-T) oi SG ao
Ham số có điểm cực đại là xep,=—1 và điểm cực tiểu xựy = 1
dì Tập xác định D = ä y°= 8X3(1 - x)? -9xŸ(-—x)= x*(bx® - 8x43) = 0
3
eeelixalix=—
Bang bién thién
a
x|-# 5
y ie ce + Ũ = q Ệ
y Yai ee
yl)
13
2
Suy ra hàm số có điểm rực đại tại xa = š và điểm cực tiểu xey = 1
* Ghỉ chai: Tại điểm x = 0 đạn hàm bằng 0 nhưng đao hàm không
đổi đấu khi x đi qua x = Ø nên điểm x = 0 khônÈ phải là điểm cực trị
e) Ta cỏ: —xsie(x-1) +8 s0reR
8 4
Do đó ⁄x°”~x+1 xác định với mọi x e R hay tập xác định của
hàm số D = #,
xi XS on 2
Bảng biến thiên
1 + [ 3 +o
= Di oe
Hàm số cú điểm rực tiểu x¿y = 3:
* Giảng giải
Bước 1: Tìm tập xás định Tính /'(x)
Buúc 3: Giải phương trình ƒ(x) = ñ và kí hiéu x; (i =1, Z, ) là các nghiệm của nó
Bude 3: Tinh f*(x) và Te)
Bước 4: Dựa vào đấu của f'&,) suy ra tính chất cực trị của điểm
xị (nấu ƒ (x/)<Ũ => x, là điểm cực dai; néu f(x) >0 = x, là
Giải
a) Tập xác định = 3
y'tx) = 4x" 4x = Oc> ue = 0 X= 41
14
y"ix)= 12x" -4
yi0Qh=-4<0 =x =0 1a diém cực đại: xu =0
y(tl) = 8>0 => x =+1va x =1 1a ede diém cue tiéu, b) Tập xác định D = &
y'(x) = 2cos2x-1= 0 oxsttske kee
y"() = - 48in 2x
y [2+] = ~4sin | <0=>35= g ké#
y [-Z+ke] = asin$ 0 su a= Z tkn, ke &,
_£) Tập xác định H = R
y =cosx-sinx
y =0 € eosx = ginx= 0+ VÕ eos(x <2) =F
an
te te) ; =
=+7+k?n
4
exes 4
y" =-sinx - cosx
y(0) =-1<0> Xp =9 V5 ~k28)=1>0=9 Kẹp = =2 + kẽm
d) Tập xác định D = &
y(x) = 6x’ -8x°-2=0e>x=41
y"(x) = 20x" -6x yl) =-204+6=-14<0>x4 5 1 y)=20-8=14z0 z3 Xọy =Ì
1ã
3
* Giảng giải
Sử dụng Định nghĩa đạo hàm xét xem hàm số có đạo bàm tại
x, = 0 hay khong?
pe OW su
~ Xét ae của ham sé y = vị
Sử dụng Định nghĩa về cực trị của hầm số để chứng minh hàm số
đạt cực trị tại x„ =0
- Xét ham séy = v| trong khoảng (xa - h; xo + h)ì, x + x„với
hz0
* Nếu fix) < fix) V x e (xạu-h; xo + h), x4x,thi ta ndi fix)
đạt cực đại tại x) va Ax,) là giá trị cực đai của hàm số ñx)
* Néu fix) > Jlxul V x e (x,—h; xo + h), xz x„thì ta nói /1x)
đạt cực tiểu tai x) va fixo) la giả trị cực tiểu của hàm 86 fix),
as
Giải
Tao - AY ` - coi _
Xét giới hạn của tỉ số x của hàm số y = VÌx| tại xạ = Ú ta thấy;
jin Yo hip, BOA NO 8S les
feo Age Ax số Ax xi» AX
a fim Ss 2 ve Ax <0
pee Ax | Ax| boo voi Ax > 0
Từ đó ta thấy hàm số y = v|x không có đạo hàm tại x =0
Mặt khác, xét y = vị trong khoảng (0 — h; 0 + hì với h > 0
Ta ed ix} > Ove e (O-h 0 thjjx#0
Theo định nghĩa hàm so y = Pd đạt cực tiểu tại x = 0
* Giảng giải
Ham sé y = x" mx°—9x+1 luôn luôn có một điểm cực đai và
một điểm nựe tiểu nên hảm số cả 9 nghiệm phân biết (hay là #(x)
đổi đấu khi x đi qua x, và x,)
“MÃ 1JjadHEE tHTC - —
Bước ¡: Tìm tập xác định của hàm số Tính /(%)
Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó ƒ'(x) =0
: Tập bảng biến thiên lừ đó suy ra điều cần chứng minh
Hàm số y = x” - mx”-3x+1, với mọi giá trị của tham số m, đếu
có tập xác định T = Tỉ
y'= 8x2 - 3mx =9 = Ú &3 xị = move se a m+ vm! +6
Với moi gid tri cla m ta đều cổ xị < 0 < x¿
Hàng biển thiên x|-™” XI
y + ũ - 0 +
Y ya, +
eh eta = eae os HE aif
Từ bảng biến thiên ta thấy rằng với moi gia tri cia tham si m
dns im?
hàm số đã cho có x,,, = — Va Xu, = ——
Xã +
® Giang gidi Bước 1 Tìm tập xác định của hàm sữ Tinh y’
Bước 8: Biện luận nghiệm (tức là tìm cực trị) của phương trình
y trung trường hợp s=0 va az 0
Bước 3: Áp dụng định lý Viet và đư kiện bài toán đưa ra ta tìm a, b
Giải
Với mọi giá trị của a và b hàm số đều cỏ tập xác định D = 3
Pao ham y' =Ba”x” 1 đax —9
Nếu a= 0->y' <0 vxe # hàm số luôn nghịch biến và không có
eile tri
Nếu a + Ophvong trinh y' = ñluôn ca 2 nghiém phan hiệt:
Cer a ee a Như vậy với a he 0 thì hàm số có xua & 9a ~ 7 la| hs: ~#a ng + TÍa
Bảng biển thiên xị_-% Xị Xa +0
y' + 0 - 0 +
y “ai chia ac ¿ ieee unt +o
Theo định lí Viết, Ea có;
5 2a + Tịa| Mas.”
ee mere
~2a + 7
-Š AM + THAI, vê: gụ
9 Ba ) Ba
Td (2) suy ra -2a+7a = = Thay kết quả vào (1] ta được:
5 gi + ie 81 4 6
“5 ote? Ge See ba oS
pees Pile Beal
a 25 5 t=-= 5 a= 9
Theo diéu kign etia dé bai ta phai ¢6 yep > yer > 0
4( 65
+ Với a =—— : 5 ta có, từ (I Xen =- = 9 Bg ey
0518
5 =! (-2) a6 36 lop = ¥0) = —| —— Bế eee ou Yor = ¥0) a ef 5, 9+b gt as
š B1 \ 25 : Véi a= <= CỔ, 1) Xà =— : + Với a os tir (1) Xe; a Khi đó
=) eer) (33) (81 ay £25)
= ¥| — | = —| —} | —| +2) —]}—| -9 +b Yer= Yi)" glas! lar) 7 laser) ~ cer) ooo be ba bee
243 243
* Kết luận: Hễ thỏa mãn cáe yêu cầu của bài toán, ta phải có:
k9 p nh "“
i= gi be 5 hoge a= 5253 b> 2
6
+ Giảng giải
Giai
Tập xác djnh D = Ik x’ +2mx + m?-1 =0@Ằx¿=-m-l;x¿; =-m-+l
Bang biến thiên
x|-2 —m—1 _m —m + 1 +2
v + 0 = = 0 +
y Yeo ee Hàm số đạt cực đai tại x = 9, tương đương với —m — 1 = 2 e> m = -3
3 GIÁ TRỊ LŨN NHẤT VÄ GIÁ TRỊ NH NHẤT CỦA HÀM SỐ
A TOM TAT Li THUYET
1, Định nghĩa Cho ham số y = fix) xác định trên tập D
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ƒfx) Lrên D néu fix) <MY¥xeD và ton tai xD sao cho fix,)=M, ki hiéu M= max fix ;
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = fix) trén tap
D néu f(x) > m ¥x ¢ D va tin tai x,¢ D sao cho f{x,) =m, ky hiệu m = min f(x)
2 Qui tắc fim giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ham số liên tục
trên một đoạn
* Qui tắc
1 Tìm eác điểm xị, xụ xu trên khoảng fa ; b) Lại đó /xì =0 hoặc /'ix) không xác định
5 Tính fla), fll), 1X1), Axe) Axa
19
Trang 43 Tìm số lớn nhất AI và số nhâ nhất m trong các sế trăn
Ta có M = maxƒ(x) ; m = min/{x)
ta; bi fn ¡bộ
B GIẢNG VẢ GIẢI BÀI TẬP SGK
1
* Giẳng giải
Bước 1: Tìm các điểm xị, x¿, xụ trên đoạn [a ; b] tại đó
f(x) = 0 hoặc /'(x) không xác định
Bue 2: Tinh fla), Ab), Ax), fixe) xu)
Bước 3: Tìm số lứn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
Ta có M= max Fox) ;m= mịn)
* Chú ý: Đối với hàm phân thức bậc nhất hàm số luận đẳng
biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định thì GTLN và
GTNN của hàm số là những giả trị ở các điểm đầu mút
a) Hàm xác định và có đạo hầm tại mọi x e R
Ta có: y = 3x” -6x-9=0œ>x=-1;x=3
Vì -1 và 3 thuộc đoạn |~4 ; 4] ta tính các giá trị của hàm số tại
cúc điểm —4 ; 4 ;~1; 3
Ta có: y = (=4) =—41 ; y(4) = 15; y(—1) = 40 ;Y(3)=8
Giá trị nhủ nhất của hàm số trên |~4; 4) là
piny = min {41,15 ,40, 8} =-41
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [—4; 4] là:
max y = maxi-41, 1ö, 40, 8] = 40
[+]
Xét hàm số trên đoạn [0; ð] ta thấy y' = Ú tại x =8 e [0 ; 5]
Ta tinh các giá trị của hàm số tại các điểm x=0:x=5;x=3
Tá cú: y(0) = 35 ; y(5) = 40; y(3) =8
Giá trị nhỏ nhất của hàm số Lrên [0 ; ð] là:
min y = min {3ð , 40, 8] =8
Joe]
Giá trị lứn nhất của hầm số trên [0 ; ã| là:
maxy = max 35 , 40 „BỊ = 40
I0]
bh) Làm tương tự cau a)
Tập xác định D = R
ý = 4x) — 6N =0 tt x xe +(Ệ
iny = in |yớõi (3) [2h = min( 2 56 eae
Tan ee ray ANS I + 4]
= 2, 66, -+|= 56
a ee on gy 2
Bởi vì +f không thuộc đoan [3; 5] nên ta có:
min y = min [y(2), y(5)] = min [6, 552) = 6
max y = max |6, 553) = 5ã2
fas)
e) Tập xác định của hàm số D = (—z ¡1.1 ; +)
PP ee Oe
` (Eig Hàm số luôn đẳng bién trén méi khodang xác định
Do d6 y(x;) < yix) Vx,, x € D va x, < x,
= miny = min [y(2), y(4)] = y(2) = 0
3
= tlụ(Ø) =Y{4) = —
max y = max {y(2), y00} = yt S
"Tương tự nhị? trên
min y = min{yi-d), y(-2)} = y(-3) =
max y = max {y(—3), y(-2)} = y(-2) = d) Tap xác định D = | aj 4
ý = =m=E— <0 Yx e D hàm số nghịch biến trên D
vỗ - 4x với xị < x¿ La cú y(x:) > yx) ¥x,, x, ¢ D
min y = min{y(-1), y(U} = y() =1
max y = max |y(~1), y(Ù} = y(-I = 3
3
* Giảng giải
Su dụng công thức tính chu vi và điện tích hình chữ nhật để đưa đến những dữ kiện liên quan
Tinh dao ham của hàm số và tìm các giá trị mà tại đó đạo hàm bang 0 Sau dé áp dung cách lìm GŒTLN (hoặc GTNN) để suy ra vấn
để cần tìm
Cách khác: Vì hai cạnh của hình chữ nhật là những số không âm
nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauehy để giải quyết bài toán
Diện tích lớn nhất chính là khi dấu *=” trong BBT Cauchy xảy ra
Giải Tổng của hai cạnh hình chữ nhật bằng nửa chu vì bằng 8em
Gọi độ dài một cạnh hình chữ nhật là xem] thì cạnh kia có độ
dài (8 - x)em Với x © [0 ; 8] Diện tích của hình chữ nhật là:
y = 8É) = x(8~— x] =—x” + 8x với tập xác định D = |0 ; 8]
Dao ham y'=-2x+8=0 4 x=4 max$ = max{S(0), Si), S(4)} = max{0, 16}= 16 (0 a
Vậy hình chữ nhật chu vi 16em có điện tích lén nhất là hình vuông cạnh 4cm,
* Giảng giải xem phần giảng giải ở bài tập 2
Giải
Gọi độ đài một cạnh hình chữ nhật x (m) thì độ dài cạnh kia là Sm)
Chu vỉ hình chữ nhật có điện tích 48m? 1a;
àI
¥ = fœ) = 8Íx+ 8) - 3x + T5 3 (; +z)
x) x
y=2- = =Oe>x= 43 (Loại x=-448 ngoài |
Bang biển thiên
vị 0 4/8 shee
y + Se ee quấn 2X nc
Suy ra miny = y(4./3) = 16/3 Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48m thì hình vuông cạnh 4/3 m là hình có chu vi nhỏ nhất
®#Giảng giải Ham số liên tục trên D là (a;b), [a;b] hoặc (a:bl Hước 1: Tìm tập xác định Tính ÿ'
Bude 2: Lap bang biến thiên, sau đó đưa ra kết luận
© Chi ý: Trường hợp này hàm số cố thể không cé max, min
Giai a) Dễ thấy tập xác định D = 8 và 0 < y š 4, y=4œx=0
Vậy giá trị lớn nhất maxy = 4
* Ghi chú: Nếu theo đúng qui tắc trong sách giáo khoa, ta tính
Bx
_gq+x
* Hằng biến thiên
x | -» 0
v + 0 E
= maxy = y(0) = 4
¥
+0
bì Tập xác định D = # y'= 12x5—12x” = 184)(1- x) =Ú cà x=0;x =k
22
23
a
ig 2 Đường tiệm cận đứng Sgt ml
2
* Bảng biển thiên ¿ ` : yy - fay ee “es i , ï
fee eS
mg 3~2x—5K” -
' = đứng của đổ thị hàm số y = ƒ#Ixì nếu ít nhất một trong các điều ie ep eas oe ape ee imi
: : eee GP SG [mm = +; lim ƒ@&) =+ sị lm ƒ(w) = - ø; lim ƒ(x) = — = " : 4 2 4 i col pee 9x ai os aoe le~ se [a 32x Sx! \
5 :
Từ bảng biến thiên cho thấy max y = y() = 1 B GIẢNG VẢ GIẢI BÀI TẬP SGK : ci Bog 3 = Các đường tiêm cận đứng là x = -1 va x = Ỹ
k ú ti a eee on im ————-~ = -= = tiệm cận ngang lay = -=
ee “ Bước 3: Nhận đạng các loại tiệm cận bằng các dấu hiệu sau: dẻ TXĐ.D=K\N {0} ere le we Se ì : 2 f eee
oe SOR H2 Trên nửa khoảng (—ø ; 0] hàm số nghịch biến nên Tiệm cận đứng: lim” Ses
lim an Te
ˆ
mịn y = y(0) pin = 0 Trên nửa khoảng (0; +z: g ) ta có y >0 V Y x lim f(x) : i toc@x=a 1a tigm cận ii i đứn đứng TTa có: Ji N x , ne 9 là tiệm cận đứng i Ea l0 ơ da vs
Vậy mịn y = 0 Tiệm cận ngang: NHAN ete —S5 12 = ¿+ => đổ thị không có tiệm cârế ngang
lim f(x] = h + y:= b là tiệm cận ngang ae l4 lận ti X3, X4
bì Tạ có y =1 = =0 x= 2 [loại x = ~3 không thuộc (0; + = )) * Chú ý: Tất cả các hàm đa thức đều không có tiệm cận en - Ỷ 4 xu ee _ TÔ HE Anh VU đ) TXĐ: D = l \ {1}
lim! =m
3 — a) TXĐ:D=ä#\(?} Giải 44-I=0@x=12 đời => tiệm cận đững là x = 1
y = +
im ——=
ae a lla Se di sa O-xb=0cx=49a) 8% va ao ie ee sa YRS lim ee
x : lim = +0 lim —— = +0 er a 4 1 | eS lg] udine TIEM CAN 5, l “+19 lim — ~1=> y = -I là đường tiệm cận ngạng 7= met Go x? — be vx
1, Đường tiệm cận ngang eS 445 Ds ih lin nh = 0= x=0 là tiệm cận ngang
See ose
Dinh nghia: Cho ham s6 y = fix) xac định trên một khoảng vệ lim = pac = foe
a 3
han dang (— ; a) hoae (b; +» ) hoge (= ++) Đường thẳng ý = yụ Bech | ee ss =x =-1 là Liệm cận đứng b) TXP:D=3\ {13}
là đường tiệm cận ngang của dé thi ham số y = fix) néu ít nhất im 2 aT =
Ko x
một trong các điều kiện sau được thỏa man:
lim f(x) = y, ; lim fix) = y,
24
27
Trang 55 KHẢO SÁT SỰ BIEN THIEN VA VE D6 THỊ BÙA HÀM Số
A TOM TAT LÍ THUYẾT
1 Sơ đổ khẩu sát một hàm số y = ffx)
a) Tìm tập xúc thịnh của hàm số,
b) Sự biến thiên
Xét chiều biến thiên
+ Tim đạo hàm /'14x)
+ Tìm các điểm Lại đồ đạo hàm #'{x) bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu của đạo hàm ƒ'(x) Suy ra chiêu biến thiên của hãm số
b) Hàm số trùng phwong y = ax" + bx? +e (a # 0) Tập xác định D = E, cỏ giới hạn ở vô cực là vô cực, là hàm số chin Đạo hàm y' = 4ax” + 2bx = 2x(2ax” + h}
Nếu ab>0 hàm số có một cựfc trị:
Nếu ah < 0 hàm số cá ba cực trị
Đả thị không có tiệm cận, Các dạng đỏ thị:
làn và,
3 Sự tương giao của các đổ thị
Giả sử hàm số y = /Ix) có đổ thị là (C¡) và y= g(x) e6 đỗ thị là (C;)
Các đường cong (C¡) và (C;) giao nhau tại các điểm có hoành độ
là nghiệm của phượng trình /tx) = g(x) (1)
B, GIANG YA GIAI BAI TẬP SGK
1
w Giảng giải
Bước 1: Tùm tận xúc định của hảm số,
Bước 8: Sự biến thiên
* Xét chiều biến thiên
Bảng biến thiên xÌ=œ =1] 1 +
y - 0 Ẵ Ũ =
~ Giao điểm của đỏ thị với trục tung (0; 2
— Giao điểm của đồ thị với trục hoành
ax! 48x +2 = 0 (x+1)(-x?+x+2) =0
$x=-lxz=5
)
Tim gidi han tai v6 cue, ede gidi han vô cực và tìm tiệm ol ap + Tìm các điểm tại đó đạo hàm f'(x) bing 0 hoặc không xác định, oH i aa vã được để thị hàm sế như
3
a) Hàm aố bậc ba: y = ax" + bx® + ox +d (a #0) - (cx + dị * Tim các giới hạn tại vũ cực; Các giới hạn tại v : ực Tu
Tập xác định D = l, có giới hạn ở vô cực là võ cực Nếu ad ~ bc > 0 hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định Giới hạn của hàm số bậc ba y = axÌ + bx” +ex+d (8 #0): lim y = lim x" [1 em 5) ae
Đạo hàm y' = 3ax” + #hx + e là một tam thức bậc hai Nếu ad — be < 0 hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khaảng xác định lim y = too (a>0); lim y = †se (a<0) ea ge
Nếu A’ = b —Sac < 0 thì hàm số luôn đồng biến trên D, với a > 0 Tả thị có tiệm cận đứng x = 43 tiệm cận ngàng y =— Giới hạn của hàm sỡ bậc bốn y = ak” + bx” +cx (a #0): oe nee CS
Nếu A'= bỀ ~ âae > 0, phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân 3 3 3 ở z Các dạng đổ thị: ec 5 x eee ee en a == 2 + 0
dạng dưới Bước á: Vẽ đổ thị Dụa vào bảng biến thiên và các yếu tổ xác v + Ũ - 0 +
4 5 a Sự biến thiên: y' = 3 - 8x? = Ú + x= +1 Dé thi
: Te 5 Các giới hạn tại vô cực: lim y = x” (-1 + = + 3) = +m pho oe oo ae a See
— a ae Giao điểm của để thì với trục hoành:
iy sia i++ si x + 4x" + 4x =O0¢>x=0,x=-2
Ronee ¬ | x? x”
31
98 29 30
Tọa độ một số điểm (—1; 1), (1, 9) (~8; =8) : ` b) Tâp Xác định: 1m i pane Sen Hane
y =-4x) Tài + 16x = 0 Axe + ‘ ï OO KAO Lima x! [1 22 toe Ki Lượt v re Giới hạn Lại vô cực: ! Le vs J Đả thị (hình bên)
an And - ci ete x' lv, x | -1 0 1 +o = 1 3 vn e) Tập xác định D = 3# Bảng biến thiên y 18 x l6\ - AGUA ray EL9=:(-x) +(x}=g=y0)
ví = thể +2 +9 = 3Íx+ 2] +2 >0vee R Xa š i 0 = nf ee aioe Si) Do đó, đổ thị hàm số nhận trục tung làm trục đổi xứng
Các giới hạn ‘ac gidi han Lại tại vô vô cực: : y : 1 Oo : TS Đổ thị if ; KL ằ7ằ7cẻ 45 4x - 4x3 = 0 1g
i =—#z, limy=+ ae =e eae rae Đây là hàm số chẵn vi : ' "Hệ"
3 - y(-x)=-(_x)' +8(_x}`~L= z() Điểm đặc biệt; A(3;10) B(-2;10), ich die
_= ẽăã acc 6/0462 ( RDO 65,08 thi han sidbao tric tung ame —Ạ
CS j MS llỂ2NgýttCMI l4 4/22 (MÔN myd | =Ý®
Một số điểm của đỗ thị (~1; =8), (0; 0), (1; 11) h y * 5
Bả thị hình bên
d) Tap xác định D = %
"=-6x°=0ox=0,y'<0vx40
lim, y = +, tim y =~
Bảng biến thiên
x| -= 0 +
x = 0 =
y| +x
stan ae =o
Các điểm thuộc để thị (0, 5), (1; 3), (-1; 7)
Đã thị hình bên
32
a
ce) Tập xác định D = 8
V = 8X) +2 -0ex-0ey=-3
Giới hạn tại vô cực: lim y = +a
kare
3
—~®
Dé thi (hinh ban): Đây là hàm số chan vi
y(-x) = -2(—)' ~ (-x)' +3 = v(*)
Do đé, đổ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng
Điểm đặc biệt: A(1;0) H(-1;0)
—_ Giảng giải
Buốc [: Tìm tập xác định D = R\ tạ]
Bước 3: Sự hiến thiên
* Xét chiều biến thiên:
35
Trang 6
* Dao ham y’ = _ad be Bảng biến thiên Đã thị Đổ thị
(ex + ay? x |—« 1 + ¥
* Pat D = ad — be w ~ =
+1 > 0: ham số tăng trong từng khoảng xác định, Y ek eA ee a
+D <0: hâm số giảm trong lừng khoảng xáe định ~%| 1 id x
4
+ lim y=-z, lim ,y =+œ (D<0) tung (0; - 3), với trục haành + ae i jt x
x4) {ty (-3; 0: Một số điểm của đồ thị t3 d-1
1
wf 2) lau ý; Giao điểm của hai tiệm aes 1
“a
ặ ai cận là tâm đối xứng của độ thị b) Tap xác định: D = m\L‡]
x= ~< là tiệm cận đứng Đồ thị (hình bên) ——n
tna = jim + = = Sy = ze là tiệm cần ngang i ee (2x - 4} ” \ Tiệm cắn: ị ' * Giảng giải " - ae
x Tiệm can: et ile Tướng dẫn của bài tập 1
" > * Loa, : : TL AI N M ea 5 2 #
Tim nghiệm của phương trình bang dé thị hàm số:
Buớc 4: Về đả thị Dựa vào bang biến thiên và các yếu tế xác => x= 5 là tiệm cân đứng li = + x 2 est í * Khảo sát eác hàm số và xem xét nghiệm của phương trình
! -2 l i s 8 fe Giải lim y =lim X— z-1=>y = 1 là tiệm cận ngang 5 + Cau a: đồ thị ham số y = xỄ - 3x” + 5 với đường thẳng y = 0
a) Tap xác định D=R Xí KT” 4 g_- 4 Bảng biến thiên + Câu b: để thị hàm số ¥ =- 2x4 3x° với đường thẳng
Sự biển thiên Ki 1 as
Bang biển thiên 3 Po Š
+: iệm cậ ân: Jim ¥ lí =—ưy ony lim y=+w 1ï = 4 ¥ : q a =e ¥ a 5 + a) Xét ham sé y =x! — 3x7 +5
143 eee a8 ti: (0 _1) (1 gì (¡ | (3 _ 54 2 x=Ũ y=5
ate rt» 1
oy
= y =1 là tiệm cần ngang của đổ thị + lim y =-=, lim y =+
-=— —
La
x lee eee a
Đỏ thị hàm số y = x”— 3x? +:5 chỉ cắt trục hoành tức là cất
đường thắng y = 0 tai điểm duy nhất, Từ đó suy ra rằng phương
trình xŸ— âx” + 5 =0 chi có 1 nghiệm,
b) Tương tự câu a) khảo sát và vẽ đổ thị hàm số y = -9x” + 8x”
-2 để biết số nghiệm của phương trình -9xŸ + 3x” - 9 = 0 Ta
cũng có thể thực hiện như sau:
-Ðx "+ 8x) - 3= 0 4 2x" - ax" = -2
Khao sat ham sé y = 2x" - 3x"
Tập xác định:
D=R
y’ = 6x’ - 6x
y=06 fx -6x=00 |
x=) y=-l Giới hạn ở vô cực:
lim y=-—z, lim y= +=
Ko vế
Bồ thị hàm số y= 9x5 — 3x? là đường cang trong hình bên Đồ thi ham số w = 2x° — 3x” chỉ cắt đường thẳng y = —2 tai mot điểm,
Điều đó chứng tỏ phương Lrình 2x) - 8x” = -2 chỉ có 1 nghiệm
Điều đó cũng có nghĩa phương trình —2x* + 3x? — 2=0 chi cd
mét nghiém
¢) Xét ham số y = 2x" — x” có tập xác định:
D=R
y'=4x-4x” =0 <= Hiern lye Giới hạn ở vô cực:
limy = =
Bang bién thién
x |-* -1 0 1 +
y + 0 = 0 0
ý ee ve 8
Đổ thị hàm sé y = 2x? - x” chỉ cắt đường thẳng y = -1 tại hai Điểm Do đó phương trình 3x” — x = —1 có hai nghiệm
5
* Giảng giải
Câu c: Biện luận số nghiệm phương trình bằng đề thị:
Phương trình chứa tham số m có đạng Ñx) = m; đặt y = ftx) là (Ơ) và
y =m là đường thẳng (d) Vẽ (C) và (d) trên cùng để thị, dựa vào số điểm chưng của (C) và (d) để tìm nghiệm của phương trình
Phương trình chứa tham số m có dạng ffx) = kx + m: đặt y = Rx) là (C) va y = kx + m là đường thẳng (d)
Tim tiép tuyén voi (C) song song véi (d)
Dựa vào số điểm chung của (Œ) và (đ) để tìm số nghiệm của
phương trình
Phương trinh chứa tham số m có dạng ffx) = mx + b: đặt y = ffx) là (Ú) và y = mx + b là đường thẳng (d)
Tìm điểm cố định M,(x;,y„) mà đường thẳng (d) đi qua
Tìm tiếp tuyến với (C) đi qua M,(x,,y,)
Dựa vào số điểm chung của (Œ) và (đ) để tìm số nghiệm của
phương trình
a) Tập xác định D = #
lim y = +, lim y = -—m
y =-3x°+3-0cx=+1
bì Ta có: x'-3x+m=0-x'+3x+l=1lim
“Đặt k = 1 + m Số giao điểm của đồ thị hàm số y = —*’ +Äx+l
với đường thẳng y = k là số nghiệm của phương trình xỶ — 3x + m = 0
"Từ đó thì ta thấy
+Nếu k<-—l1©©1+m<-1»m<-2 thì có 1 nghiệm + Nếu k = —Lc>1 + m=~1©m=-2 thì có 3 nghiệm
+ Nếu -1 < k < 1+m<ä3«+-8<m <2 có 3 nghiệm
+ Nếu k » 3<» 1+ m >3 em > 2 có Ì nghiệm
Tóm lại từ đồ thị ta suy ra số nghiệm của phương trình xÌ — 3x + m = 0
- phụ thuộc tham số m như sau:
` có 1 nghiệm nếu m < —3 hoặc m > 2
+ Phương trình có 2 nghiệm nếu m = -2 hoặc m = 2 + Phương trình có 3 nghiêm nếu -2 < rn < 3
so -l<
6,
* Giảng giải Tính y', rồi sử dụng điều kiện đẳng biến suy ra điều cần chứng minh Xác định tiệm cận đứng rồi sử dụng điều kiện bài toán để tìm m
Xem lai phần hướng dẫn khảo sát ở các bài tập trên
4ã
Trang 7
Giải
‘
a) Tap xác định của hàm số: D < (~¬-$ Ju(= Bie)
2) a )
Bao ham: ga Se vm và Yxe D
(2x + m)
Da đá hàm số luân đẳng biến trên mỗi khoảng xác định của nd
b) Ta có: lim y = ~ =vậy tiệm cận đứng của đỗ thị là x = `
Điểm A(- 1; v2) thuậc đường thẳng x = sĩ khi và chỉ khi
aoe =]
2
«» m = 2
2x —]
3x-+2
Tập xác định D = E \Ị-1Ị
lim ye+o, lim y=
c) Voi m =2tacé y =
—m =>» tiệm cin difng x = -1 Jim y=l= tiệm cận ngang y = 1
y= hg s4: >OV¥xeD
4(x +1)
Đảng biến thiên
Xx | —m —1 +0
~ Sésomer 5% 1
1 lậu er sie trae
Mật số điểm thuộc để thị
(ipso) 0d) (Seah ad
44
Đề thi
ore
id 3 W
IÑ
ce # Giảng giải
Xem lại phẩn hưởng dẫn Ichéo sát ở các bài tập tren Thay Lọa độ điểm (-1;1) vào hàm số ta được vấn dé cẩn tìm
7
oa cớ Từn ftx,) Smu đồ áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến W-y¿ =f(x,Xx-#*,):
Tir y,,
eet
Giát a) Đỏ thị hàm số qua điểm (—1 ; 1) khi và chỉ khi
] eee i 1
==f“ -Í-l +m<»>m = —
1 4 1) to 4
l Với m =
1 To
tụ =—K +aXx +1
Ta cé: y nhà ti
Tập xác định: D = R
y.=ex+x=0€@œx=0eœy=l
Giới hạn ở vẽ cực:
limy =+#2
Ty
Đăng biến thiên X_|—= Ũ +a
y lon 42
wb yONe ede pated
Dé thj (C) nhu hinh bén dudi, ' Đây là ham sé chin vi £ ¥ Ging lạng giải vidi
1 1
¥(-x)=3(-x)'+ (xy +1=y(x)
Do đó, đổ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng
¢) Điểm thuộc (Ö) eá tung độ bằng ‘ có hoành độ là nghiệm của
phương trình:
l Tin
Tố tt tÀ S4 1 a of! 1 , ext
Nhu vay (C) có hai điểm cú tung độ bằng là [= ¿ j và Í1 2) :
L \ 4
Phương trình tiếp tuyến của () tại điểm [-1 : : \ la:
4)
' 7 1 yay y{ (Hl )[x + + |ejey ~ =—9x 2x -— Z
46
Tinh y', sau đó sử dụng bảng biến thiên rút ra kết luận (hoặc có the dùng quy tắc 2 trong bài toán tìm cực trị để xáe định mì)
‘Thay x =-9 vào phương trình x + (m + 3)x° +1—-m-~Ũ từ đó suy ra m
Giải á
R) 'ĩa có y' = 3x” + BÍm + 8x =0 € xi = 0, x= cảm — 2
‡ Nấu cảm — 3= 0 cm =8 ta cố y 3.0 Vx 6 lX, ham số không
có cực trị Vậy để hàm số có cực trị thì phải có -ăm -8+0 Nếu -ăm 3>0>m<-3 thì ta có hẳng biến thiên sau:
CÓ Bảng biển thiên
3
v + 9 +
¥ yi)
Khi đó điểm cực đại là x =
2
Vậy để có điểm cực đại tại điểm x = —1 ta phải có -Šm- 2=-1
3
2 b) Dé thi (C,) cất true hoanh tai diém x =—2 6 nghĩa la—2 là
=o m=
một nghiệm của phương trình x"~(m+8}x”+1—m = 0 tức là phải có:
\ (-B') + (m + 3~#)"+1~m = 0 © 8m+õ =0 T8 =-
47
9
* Giảng giải
Câu a và b xem lại phắn hướng dẫn ở các bài tập trên
Câu œ: Trục tung có phương trình x = 0 từ đó suy ra y Tính Í{x)
phương trình tiến tuyến
‘ # Gợi ý trả lừi câu hỏi
| sau đó áp dụng công thức
¥-¥o =£(x,Xx-x,)
Giải
a) (G) đi qua điểm {0 ; —1) khi và chỉ khi:
;.ím t 10 - 2m + ]
0-1 ase
b) Với m = 0 ta có: y Š +1
=1 Hàm số có tập xác định D = 3%XMII, tiệm cận đứng x = 1, tiệm
can ngang y = 1; y’ =" <0 vee D
(x-1)
Bảng biến thiên
x |—ữ ] +00
Dé thi:
48
we
¢) Bồ thị cắt trục tụng tại điểm P(0; —1 ) Phương trình tiép tuyén tại điểm P(0 ;—1)là: y = y(0Mx - 0Ì -1@y=-2x =1,
ON TAP CHUONG |
Xem tóm tắt lí thuyết về các điều kiện đẳng biến, nghịch biến của hàm số
Xét hàm số y = -x” +2x”—x—Ï có bập xác định D =
y'= <8! cận =1 = Ú £>x= 2,X=1
Pa diel iA : i, f 1 yrOvdixe|/—;l vay <0với xe “0 Z}u( =e)
8 4 \ 3 Suy ra ham sé y =~x' +2x?—x-7 déng hién trong ( : 1Ì ) và
nghịch biến trong | —; 5 va (15+) Xét hàm số y = Ta có tập xác định D= 3 \I1I
Bao ham y' = ( = <0 ¥x e D Vay ham số luôn giảm trung : 1 ay
từng khoảng (—» ; 1} va (1; +2)
Xem tóm tất lí thuyết
Ham y = x! — 2x7 +2 có đạo hàm
Đạo hàm cấp hai y"=12x!—4., Theo qui tắc 2, tìm cực trị, La
thay y’(0)=—4 < 0 = điểm cực đại xen =Ũ Ÿÿ(-1)=8x>0,y(?=8z0<=
Xem tom tắt lí thuyết:
Ta cá: Jim y =~ư, Jim y =~=% = x= 2 là đường tiệm cận đứng
2
2+
lim y = Jim 5 Š =-= Đồ thị cá đường tiệm cận ngang y = —9,
x
4
Xem tóm tất lí thuyết
5
# Giảng giải
Be c: Sử dụng biệt thức delta để biện luận nghiệm
(C,) luôn cất trục hoành tại hai diém phan bist <> A> 0 |
Giải
aJ Với m = 1 tacé y = 2x7 + 2x Hàm số không có tiệm cận
y=4x42=0 4 x ng Bảng biến thiên:
y = ụ Py
¥ +2 I2 CÀ ga ere TÔ) +
3
D6 thj
b) Téng quát y = 2x” + 2mx + m~— 1 có tập xác định D= ä y' =4x + ?m =0 © x= —5- Buy ra y > Ovdix>-F
3]
ví <0 với x<— tức là hàm số nghịch biến trên (-«:-3
? đẳng biến trên (-$ tt «|
†
Ù Bể hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+z) thì phải có điểu
z
( kiện (-1; +} -B,+0lo-Fs- -lem22
i k3 3
ii) Hàm số đạt cực trị tại x = >: Để hàm số đạt cực trị trong ˆ khoảng (-l; -=) ta phải có -F e(-lj+e) @-1<-F
h esis «m3:
> €) Xét số nghiệm của phương trình 9x” + 2mx +m -1 = 0(*)
gỉ: a của (*):
; Al =m? -2(m—-1) = m’-2m+2=(m-1?+1>0%m Nhu vay GIẢN, trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt Điều đó
6 nghia dé thi (C„) luôn cất trục hoành tại hai điểm phân biệt
với mọi mm
_#* Giảng giải
Câu b: Trong phương trình f(x) =—*” + 3x” + 9x + 2 thay x=x-1
Câu c: Từ f'(x,) =-6 => x, = y, bài toán dua đến tìm phương
trình tiếp tuyến tại một điểm
Giải
a) Tập xác định D = BR
x=-l y=
= x=3 y=29
ya Sx! +62 +9= 0.6
Giới hạn tại vô cực:
61
Trang 8
jim fix) = +0, lim f{x) = — m
Bảng biển thiên
xX |-œ =1 3 +
+ Ị = + = |
Bả thị (hình bên)
b) fix 1U >0
c+ —8(x— 1] + 8w ~— 1+9 >0
oo ox + 4x>0 œ 0<x«<4
c) f'(x) = —Bx + 6
M"(,) = -6 > -6x, +6=Gox, =2
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x; = 9 là:
y = f(2)x - 3] ! ƒ(2) « 9(x - 9) - 84 = y
> y=9x+6
7
T
Giải
an) Tập xác định D = +3, lim y = ~%, lim y = +
yoo ax°+6xsO0cx=0,x=-2
Bang bién thién:
x |-= -2 0 =
= v #t j = 0 +
3) từ để thi ta thay:
Nếu a <1c»m «<9 phương trình có 1 nghiệm
Nếu JTÈ =1 2m =9 phương trình có 9 nghiệm
2
“4 Néu 1< <6 2<m < 10 phuong trinh c6 3 nghiém
2
+ Nếu =5 <> m =10 phương trình có 2 nghiệm
2
Ta có: Acn(-2;5) và B.r(0;1)
Áp dụng công thite *—*4 = ¥—¥a tg được:
H~XẠ WnT—YA xt2 Vy=5
a | eee
> -4(x + 2) = 2(y — 5)
©4xt+2y-2=0
@ 2x+y-1=0 Vay phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu là:
2x+y-1=0
8,
a) Tập xác định D = & Đạo hàm
fŒ) = äx° - 6mx + (9m - 1) >0 Vxe R
$> Á = 8m” -9(2m - 1}= 9(m - 1) <0 em =1
Hàm số đẳng biến trên tập xác định nếu m = 1
b) Hàm số bậc ba có một cực đại một cực tiểu khi tam thức bậc hai đạo hàm có hai nghiệm phân biệt, tức là phải có:
A' = 9(m - 1)” >0 «+ m z1 A= %m-1P >0omel
f (4) > 6x c B(x - m) > 6x m « 0
9
* Giảng giải: Xem lại phần giảng giải ở các bài tập trước
Giải
a) Tập xác định D= 1# jim f(x) = fo
f(y) = 2x" — 6x = 0 x= 0,x=+3 Bảng biển thiên
Bổ thị
*f\x) - 6x) -6=0©x =#1
g trình tiếp tuyến với đề thị
ểm (_1; —1) là:y = ƒ(-DÍx + 1]-1 œy =4x+3
lg trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (1 ;—1) là:
thị ta thấy
=3 «»m =- 8 phương trình có 3 nghiệm
“+
<=-6<m<8 phương trình có 4 nghiệm
«> mn = 3 phương trình có 3 nghiệm
>“ m-> 8 phương trình có 2 nghiệm
=—=Ũ
= ~4x) +4mx = 4x(-x” +m) = 0 @© Dan Ấn
nan © Xác định điểm sực đại A(x,,uyụ) và điểm lá tiếu _ ý ‘iti Se a a uả KÝ Nếu m < 0 phương trình /(x) = 0 có một nghiệm, Hàm số ©
B(x;,y„) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm AB eó đạng: TS KG ue kửý “hé : th yến: trị
hoặc _Š—*8 _ #Ÿ —#a Xu =Xp WA ~ÿn, £ phương trình có bà nghiệm Với m = 3 hoặc m = 10 phương Asche lt, It att cực i oe:
có 2 nghiệm
52 : 53 54 55
- =m =] 1n — 3 Yo + ¥, 1) x + & =e, +3 2
-x + 2mx”~ 3m + 1 =0 Co
Có nghiệm: Đật x? = t > 0 thì (*) tré thanh:
—t? + 3mt — 2m + 1 =0 1
Phương trình (?) cú nghiêm khi phương trình (**) có nghiệm
không âm Diểu này xảy ra nếu xảy ra ít nhất một trong các
trường hợp sau:
j -2
)P=- Et sọ Tọa m=
# > i
A=m*-2m+120 vn eR
mies 1
ii) 5 MU <>¡im>0 Tu
|P = 2m-1L>0 m > 5
Két hop i) va ii) ta thấy với mọi m dé thị (Œ„) luôn cắt trục hoành
¢) (Cy) có eực đại, cực tiểu khi đạo hàm y = 0 có bn nghiệm Điều
này xảy ra nếu phương trình -x? + m = 0 có hai nghiệm, tức là
khi m >0
11
* Giảng giải
Câu b: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) với ong
thắng y = 3 + m, sau đó đưa về phương trình bậc hai để biện luận
nghiệm theo biét thie delta,
Cau c: Goi MOxy.¥y) Va N(xy, yy) ‘Theo định lý Viet tà có:
Hi
0/0391) ý W1
Xy + Xy = (Xy,Xy lA nghiém cia
phương trình 3x +{(m +l)x+m—3=0,xz#-l)
Độ dài MN nhỏ nhất > MN? nhỏ nhất
Cau d: Goi Six: yo) € (C), sau dé vist phương trình tiếp tuyến của
(C) tại 5 Xác dịnh tọa độ điểm P và Q bằng cách tìm giao điểm của
tiếp tuyến với hai tiệm cận Áp đụng công thức tọa độ trung điểm
trong mặt phẳng để xác định tọa độ trung điểm của PQ = đpem
Giải a) Tap xác định D = 3 V|-1I
56
r
i Tiém can:
lim y = —-z, lim y = ++ => Dé thị có tiệm cận đứng x =—1
-1 kak,
lim y = 1 > Dé thi cé tiem can ngangy = 1
_~- biến thiên
Tee ay
1 thị
=
=
2 ` -
1 pe 3-2-1 ss Ole ine 8 x
1 hương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x + m
ï(C) là:
=2x+m © +1 x+120
@t thite cua ("):
WR = im + 1* — 80m - 3) = m? — 6m - 25 = (m-3)" +16 > 0 Vm nên
lương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là đường lắng y = 3x + m luân cắt (C) tại hai điểm phân biệt
} Ta có các hoành độ xự,xạ lẫn lượt của các điểm N, M là TiEhiệm cuả phương trình (*) nên theo định lý Viet:
Độ đài MN nhỏ nhấtc> MN” nhỏ nhất
“Ta có:
MN? = (xy - xy)" = (vy -YN}
(xu — xự}” +[(2x„ + m) -(2x¿, + m)Ƒ S(xu — x„} = SUqq + Xp)? — 4K yxy]
s loa) = at ~ Š[m - 6m + 25] 2 3 j 4
=š|(m-3) Ti nón
hay MN>25 Dấu hằng xảy ra cm - 3= 0 hay m =3 Khi đó, độ dài nhỏ nhất
của MN la 2/3
dì Giả sử S(xạ; yo} e (C) Phương trình tiếp tuyến của (Œ) tại 8 là
-2
= mr r1 [x-Xạl+y,
Giao điểm P của tiếp tuyến với tiệm cận đứng x =- l là
š -2 2 P(-1;y, ) với Sige qa ety = XU
by ch 2 +¥.]
x, +1
Giao diém Q ctia tiép tuyén véi tiém cin ngang y=1 la Q(xg; 1)
vdi xq théa mãn hệ thức:
-2
Ree se
3 x, +3 3
——— - =y,- Le ~* +1] = ——
“Hi aera x, +1 X, +1
Xạ tô
Toa dé cua P va Q lần nije 1a P41; Q(2x, +1; 1)
\ x, +1)"
Trung điểm của PQ là I cé toa dé la:
Xi d2 8ï ðị ch ni
Ae cm =
Vậy 8Œạ; yụ) chính là trung điểm của PQ
_ Giảng giải Câu e: Từ phương trình ƒ”(x)=0 = xạ = y„ Tĩnh f{x), bài oe
a ve viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Giải
8) ƒ(x) =x”-x-—4 ƒ'(sinx) =0 © sin”x - sinx - 4 =0 Phương trình trên vô nghiệm hỏi vì sin’x —sinx <2 VxeR
0 đó: sin” x— sỉnx —4 < - 2 VX,
a; ) ficosx) = 0 <> 2eosx-1=0
Soosx= Sexst tt kas ked
` 1 FUC0Disn 1<0‹ rap Phung trinh tiếp tuyến với để thị hàm số tại x = ; là:
BG
a : 1 J0 191 te Tí,
Thay vào f'(x) ta được: r(z\ ae as
Thay x = 2 xảo fix) ta duge f (3) a Phuong trinh tiép tuyén
eae a) 12
tủa đổ thị tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình
j (x) = 0 là ; y = _n
59
Trang 9HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VA HÀM Số LôGARIT
1 LUY THUA VA CAC TINH CHAT CUA LOY THUA
A 10M TAT Li NHUYẾT
1 Lũy thừa với số mũ nguyên
Định nghĩa: Cho n là một số nguyên dương, a là một số thực
ta gọi lũy thừa bậc n của a là tích của n thửa số hằng a, kí
hiệu là a"
Trong biểu thức ä” thì a là cơ số, n là số mũ:
Với a z 0 thì:a? =i1;n”" tàu
— Các tính chất của căn bạc a:
fee = Vab ; Vỹ 3 (e
(vay" = va" ; i
a ce lẻ
|la khi n chấn
ñũy thừa với số mũ hữu tỉ
Jinh nghĩa: Cho số thực a > 0 và số hữu tỉ r =,m,n eZn>0 Loy thita cla a vdi sd mi r, kí hiệu a” xác định boi:
a Sah va”
5 Lay thira với số mũ vô tỉ
nh nghĩa: Cho a là một số dương, œ là một số vô ti Day so
tỉ (n,), ad” = lm a* với œ = lim r,
6 Tính chất của lãy thừa với số mũ thực
8 =n° =Ứa
a“af' = a**l i =a’-! (a} = att
"hứa (2) De
(ab)” = a".b l§) bế
‘ 1 (2) =# £ _
5 x 3.8 ‡Ð}s#—;
a) Ta co 1 Tj 2'\3
xt
5 «2°, do dé thi tu tang dan etia ba sé la: 2°'; 1°"; (3)
Giải
=(#"‡
144 3
b) 1444 : 98 | AI = (I8) = (2'}* =2'¢
ae eee 3 it
a) 99.87° = (9.27)' = (8137)! aS be a
=8'-8
(1T vass' < lợn 2 ( TY” «dối + ái s (2°) +}
esa) + 0,25 ? = 16" (4) = 164 +43 = (2*)# +(2")
= 2642? = 2°49) = B+ 92 = 40
4
he — | ` #
a) (0,04)"* ~(0,125) 3 = [im] ofa)
a) Với n lẻ với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất tây lộ (8) (5 ? -(2 } = 5-2? 2 125-4 =121 : :
Định nghĩa: Cho số nguyên dương n = 2 và số thực b Nếu có số ` Giảng giải by bi bề 9 = Ka Keni ees tim sbmb Ề si) vn (300 +
kết quả xét số nghiệm của phuong trinh x” = b ta thấy: Áp dụng các tính chất của lũy thừa: c) at TH vã S33 78 1d 400xc6z
1
+ Nếu n chẩn, với b < 0 thì không có căn bậc n của b, với b = 0 Vb Vb Lids Bh eee: oe 0
có duy nhất căn bậc n của b là 0 Với b > Ö có hai căn bậc n của b (va)” = ya” Va = Wa Res (Áo: ha có b? (3b ae: Ì
b kí hiệu là -Ÿb va" = Sử dụng các tính chất: bầu —n 'hấ g3 ?bã~a fb3 3
eS a| khi n chấn 1 We ae 3 2
a
63
Lee ete pel cee eee at dn Ae + Nếu œc NỈ thì tập xác định D= R i) a <0 dé thi ham số có tiệm cận ngang là trục Ôx và
a#+bê a9 +bề + Nếu œacZVN” thì tập xác định D = RX|0] Xác định với xe 3 sao cho x°-1 #0 œx# +1 cận đứng là trục Oy
5 + Néu a eR\Z tap xae dinh D =(0;00), Tập xác định cda ham sé: D = R\{-1; 1} Bồ thị của hàm số luôn di qua điểm (1;1)
#ị Ry
Tap xdc dinh D =(0;+0)
REG ach"
alTa e6: 2V5 = J2°5 = 20: 3,2 = J32.9 = VIB
30 > 18 = V20 > 18 tue la 25 > 3/5
b) 8/8 = 63 = V108 ; 3/6 = V3*6 = V54
54 <108 = v54 < VI0§ tức là 3/6 < 63
Vico sé 7>1 nén 7 > 7,
64
n trên khoảng xác định Đã thị
tiệm cận đứng là trục Öy và tiệm
ngang là trục luôn đi qua điểm
1)
[a nhin vao dé thi cla ham số lũy
thừa trên tập D=(0;+ø) trong
nột số trường hựp ở hình bên
] NG YA GIAI BÀI TẬP SGK
Giảng giải
A p dụng các tinh chất của hàm số lũy thừa
“Xét hàm số lũy thừa: y = u”
“Tập xác định của hàm số y = u" tùy thuộc vào œ
+ Nếu ue W* thì tập xác định D = R
y=u'>y=ơu"'".u yex" > y’ = ax! Ta cd y' > 0 trén khoang (0;+00) nén ham s6 đã cho đồng biến
"Tiệm cận: lim y =, lim y= to
x ot
a) (ex -x1}| = 3(ax° -X 1)8" (ax! = 1)
4x-1 3(2x* -x*# 1)3
) |e | =2 (8x+1)* '(8x+ nee 2 (8x 1p!
9 [6-s)Š Ï~v8(6=s)#'(6=sƒ =-J8(6=x)”!
Sele areas
4(4-x-x”}t
= đồ thị không có tiệm cận
g biến thiên:
fe \{0}
Tập xác định D =
Trang 10tr
y= si < 0x R\ |0] nền hăm số luôn nghịch biến trên từng
khoảng xác định
Tiệm cận: lim y = -, lim y = +0
xo x¬U'
= x=0 là tiệm cận đứng
Jim y =0>y = 0 là tiệm cận ngang
Bảng biển thiên
Ỳ mm i +x hero alae
Dé thi
Ỳ
od
1E-
1 O Se x -4-1
~2
* Giảng giải: Xem lại phần giảng giải bài tận 5 của bài lũy thừa
Giải
a) Ta có: 4,1 >1=> (4,1)"’ > 17 <1
igh iy" +
b)(0,3)°" = (=| = a
Vi5>1va0,3>0nén 5 > 5°
Suy ra air < Thay (0, 2 <1
SG sO ght 682 Oude C0 acer TU
Sop 1
vào tính chất của hàm số lũy Lhừa xem hàm số đồng biến nghịch biến trên TXĐ (hoặc sử đụng tính chất 0<b<a :
X>0-z8 >Ù”, lẻ rút ra kết luận
<0—a`<bP
Giải 4) Theo Lính chất của hàm số lũy thừa y = x” với a> 0 trén tập p= (0; +œ)ta có y = ax*”! >0
“yx D hàm số đồng biến trên D:
m số y = x'” đồng biến, 3,1 < 4/1 nên (8,17! < (4,38)”°
ong tu cau a) hàm y = x?" đẳng biến trên (0; +0)
-10 12 = (ey: _ (B8
me 11 (it) lí
Tương Lự các câu a), b) ta cd (0,3) > (0, 3®
3 LOGARIT
nghĩa Cho các số dương ä và bvwới an z1 Bố œ thỏa mãn thức a" = b thì œ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí
hiệu log, b
a = log,b = a" = b|
Pink chất Với a >0,a#1 và h> 0 ta có:
log, 1=0; log, a =1 lai” = b; log, a” =o
b được viất gọn là logb hay lgb
a
Lãgarit cơ số e được gọi là lôgarit tự nhiên, log,b được viết gọn log, x™ = 2n 1o, ||
1
là lnh ‘ log, b log,b=———
log, b.log, ¢ = log, ¢
log, () = log, b- log, e
'Sử dụng các công thức để giải bài tập 1:
log, a” =alog,a=a (log, a = 1)
Định lí 1 Với a, b;, by > 0, a¥1 ta cs:
| log, b,b, = log, b, + log, b, | Định lí 2 Với a, Pie? Oe a #1
i “Jog, (be) = log, b + log, c
1 ng, et = log, 0E, b, — | log, b
Đặc biệL log, = = — log, b (b > 0)
Dinh li 3 VGia,b>0,a 41, a¢R ta cd:
log, b* = alog, b
Dac biét log, Yb = + log, b
8 Đổi cơ số Cho a, b,e>0,a + 1,eœ + 1 ta cổ:
log, b > = log, 3° = lên =ã
ch ` d) log,„ 0,125 = log,„ (0,5)° = Blog, 9.5 = 3
Dac biét log, b = ae (b ¥ 1)
log, b =
log „ b:= + tog, b
te
B GIANG YA GIAI BAI TAP SGK
* Giảng giải: - P8 — gives? =3?=9
alm? = gins
e =x
8
ai =a 28 ng 98 = aD
Ho
log , bP = đụng b
2 a
ðe= lim | 1+ = qlee) „ 08l0g;3 — 88:8” =3?=9
# Giảng giải fy Ta cb: log, 10 logy 2.5 slog; 2+ logy b= 1 loess 4] HAM SỐ MŨ, HAM SO LOGARIT c
Áp dụng công thức đổi cơ số:
Cho a, b, ¢> 0,a # lle = 1 tacé:
Jog b log a log, b =
ca 1
Đặc biệt log, b = ——— (hb z 1)
log, a
log, b = +1og, b
a
a)log, 6.log, 9 log, 2 = log, 9 log, 6 log, 2
1 E¿2
= log, 9.log; 3 = ie
ũ
_log,2 _ 2log,2 _ 2
~ Tog, Tog, 2° Slog; 2 _3 b) Ta có: log, b” = 2log, lbị
log,; b° = 4log,, lb|= 2 log, |b|= 2log, |
=> log, bỶ + log,„ b° = #log, |b+ Zlog, |b| = 41og, |b
# Giảng giải
yigies =B>4=9? =log,5ñ> 2 = log,l0>3 (*)
M lật khác: log, 30 = log, 5.6 = 1 + log, 6
‘Bet = 6 <25=5% = log, 6<2 — log, 30=1+log,6<3(**)
1 iy (*) va (**) suy ra log, 10 > log, 30
ï dụng các công thức:
log, (x,x,) = log, x, + log, x, lng „ x” = £ log, x
a log, a =!
] log, a
- lagh=
Giải 'a có: 1350 = 37.5.30
„ 1350 = log,, 3°.5.30 = log,, 3° + log,, 6 + log, 30
= 2log,, 8+ log,,5+1= 2a+b+1
} Ta c6: log, 15 = log, 15 = 7 Hes 16
So sánh hai số với một sế nào dé réi đưa ra kết luận Sử ee
các tính chất của bài tập 5 trong bài lũy thừa,
Giải ayTacé 5=8?9~j = log, 8>1
aa Pe 7! slog, 41
= log, 5 > log, 4
b) Ta cé; 2>1 0,3" > 0,3°
Ble 5") 56° log, 3>0 = log,, 2 < log, 3
= log,,2<0
72
1 1
= log; 3.5 = s (98, 3+1) (*)
1 1
1 a
© 8s" Tog, 15 log, (3.5) 1+ log, 6
p> logs 5 = 5-1 = log, 3 = 5G (7)
kết quả vio (*) ta duge: logy, 15 =3{ S11] a(i-c)”
# Giang giai
A TOM TAT Li THUYET
1 Hàm số mũ Định nghĩa: Chơ số a > 0, a #1 Ham số y = a* được gọi là hàm
số mũ œơ số a
Túp xúc định: D = TY
‘TAD: D=-R
Bao ham: y =a" Ina
"Chiểu biến thiên: a > 1 hàm số luôn đồng hiến;
0<a< 1 hàm số luôn nghịch biến,
: : trục Ox là tiệm cận ngang
Bề thị: đi qua các điểm (0;1) và (1;a), nằm phía trên trục hoành
:
ee ta chứng minh được
Gigi
[er e* ¡[a" Ï = a*/na(a > 0, a # 1)
| ben = a"! Maul (x)
Sự biển thiên + Nếu a > 1 hàm số luôn đẳng biển 0<bzl + Nếu 0 < a < 1 hàm số luôn nghịch biến
Đà thị: Luôn đi qua 2 điểm (0; 1) và (1; a)
Có tiệm cận ngang là trục Ox
2 Ham sé légarit
Định nghĩa: Cho số a > 0, azl Hàm số y = hàm số lôgarit cơ số a
Tap xúc oe en +0) a
-a) Tập xác định 7 = R
_y'=4'ln4>0,Vx = hàm số đồng biến trên lR
_Giới hạn đặc biệt:
lim 4* =0Q=> duéng y = 0 (truc hoanh) lA duéng tién cin ngang lim 4" =+m
.—
“Đỗ thj luôn đi qua điểm (0; 1)
Xác định thêm một số điểm
log, x dude gọi là
-Bề thị (hình bên)
yạ y= loguXx
Đạo hàm | [In nef 22 eee == = [og, x] =~ =-
Sự biến thiên
+ Nếu a > 1 hàm số luôn đồng biến trên D
+ Nếu 0 < a < 1 hàm số luôn nghịch biến
Dé thi: Dé thị hàm sẽ luân đi qua các điểm (1; 0] và (a; 1! có đường tiệm cận
đứng là truc Oy
b) Tập x4c dinh D= &
y’ -+ Inz.Vx = Hằm số luôn nghịch biển
Giới hạn đặc biệt: lim () = 400, lim (5) =0
75