HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1

đâị số tuyến tính

Hướng dẫn giải bài tập Giải tích 1

Giới hạn của dãy số

Ths Phạm Hồng Phong

Website: violet.vn/phphong84

Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng

Ví dụ 1:

1

n

n n



0



1

n



1 1



1

1

n



Chọn số tự nhiên n0 1 1



 

Khi đó  n n0 :| u n  1| 

1

n

n n



 (theo định nghĩa)

Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn

Ví dụ 2:

 

1

1

1 n

n n





Xét khoảng

Chứng tỏ: | u n  u n1 | 1

2

1

2

k

u

k

Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với chỉ số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ

2 1

1

2 1

k

u

k

    

 | u n  u n1 | 1

Hai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoảng này Vậy không tồn tại giới hạn

Ví dụ 3: Tìm giới hạn của dãy   2

1

n

n

k

n u





2

1

1 1

1

n

k

u





2 1

1 1

n

k

n n

n u

n n









 

lim n 1

n

u



Ví dụ 4

5 lim

n

n

n n

6

n n

n

 

     

 

0

5

n

n

n n

Chứng tỏ

Ví dụ 5

lim n 1, 0

n

   

n



0

lim n 0



Đặt n a  1 n  0  a   n 1n  nn

TH1 a  1

lim n 1

n

a



TH2 0  a  1 lim 1 , 1 1

lim

n

n n

n

a b





Sử dụng TH1, limn n b 1  nlim n a  1.

Chứng tỏ dãy truy hồi

Ví dụ 6

 u n ,u1  2;u n1  2  u n

là dãy tăng và bị chặn trên

Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này

Dùng qui nạp, chứng tỏ u  n 2

Giả sử  n k u: n  2 Khi đó với n  k 1

Vậy dãy bị chặn trên

2

u    u  u  u  u  u Vậy dãy tăng

limu n a

   a  2  a  a2   a 2 0  a  2

Chứng tỏ dãy

Ví dụ 7

 

! ,

2 1 !!

n n

n

n





là dãy giảm và bị chặn dưới

Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này

n

n



Vậy dãy bị chặn dưới

0  u n

Vậy dãy giảm

limu n a

1

lim

n





1

0 2

1

2

n

u

!

2 1 !!

n

n n





Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn

Ví dụ 8:

 

1

1

n

n

n n











2

( 1)

k

k k

u



Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k

Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau

2 1

2 1

( 1)

k

k k

u









Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1

Vậy dãy đã cho không có giới hạn

Một số giới hạn cơ bản

1 1) lim 0, 0



1

ln

1

n n

a a

4) lim n p 1,

n



 

5) lim n 1, 0

n

p

n n

n

a a



7) lim n 0,| | 1

n

1 8) lim 1

n

n

e n



n

a n

a

n



ln

p n

n

p



Ví dụ 9 lim ln5 0

n

n n

100

2n

n

n

4

!

n

n n



5 4

log

2n

n

n

Ví dụ 10 Tìm giới hạn của dãy

n

HD Nhân lượng liên hợp

Ví dụ 11 Tìm giới hạn của dãy

HD Phân tích 1 1 1

n n  n  n

Ví dụ 12 Tìm giới hạn của dãy

sin cos lim

n

n





HD Sử dụng định lý kẹp

Ví dụ 13 Tìm giới hạn của dãy

8

lim 2 2 2 n 2

n

  

HD Phân tích, biến đổi số mũ

Ví dụ 14 Tìm giới hạn của dãy

3 2

sin( !) lim

1

n

n







HD Dùng định lý kẹp

Ví dụ 15 Tìm giới hạn của dãy

2

3 1 2

2

3 lim

5

n

n

n n





  

  

HD Sử dụng giới hạn của dãy số e

Ví dụ 16 Tìm giới hạn của dãy

2

1 2 3

lim

n

n



   

 

HD Sử dụng đẳng thức 1 2 ( 1)

2

n n

   

Ví dụ 17 Tìm giới hạn của dãy

3 ( 1) lim

1

n n

n n



 



HD Tìm hai dãy con