tham khảo sách "cẩm nang ôn luyện thi tốt nghiệp - đại học - cao đẳng toán theo cấu trúc đề thi của bộ giáo dục" phục vụ nhu cầu học tập, ôn luyện thi đại học cao đẳng
Trang 1ThS ĐÀM THẾ PHONG - ThS NGUYỄN TIẾN TRUNG
ThS NGUYEN HOANG CUONG - TRAN DUC HẬU
GN LUYEN\THI TOT NGHIEP - ĐẠI HOC - CAO DANG
NZ
Trang 2CHý ÍNHH MIY DVVH Khong Việt phan i: TỔNé HỢP CHUVÊN ĐẺ CAN Ow TAP
2) Tìm các điểm x; (¡ = l, 2, .) thuộc tận xác định của hàm số mà tai đồ đạo
hàm của hàm số bằng Ư hoặc hàm số liên tục nhưng khơng xác định 3) Xét dấu f'{x) Nếu F{x) đối dấu khi đi qua x; thi him số đạt cực trị tại x¡
Quy tắc 3:
1) Tim P(x) 2) Tim cde nghiém x; (i = 1, 2, .) của phương trình ['(x) = 0
3) Tính f”(x) và tính F”(x¡) Khi đĩ:
Biện luận vê nghiệm của phương trình, bất phương trình cĩ tham số: Chú hàm số y = [(x) xác định và liên tục trên miễn D và tấn tại giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miễn D (kí hiệu lần lượt là M, m) Khi đĩ:
1) Phương trình f{4) = œ cố nghiệm khi và chỉ khi m <œ <M
2) Bất nhương trinh f(x) 2m cĩ nghiệm khi và chỉ khi M >ứ
3) Bất phương trinh f(x) sm cĩ nghiệm khi và chỉ khi m < ơ
4) Bất phương trình f{x) > m nghiệm đúng với mợi x € D khi va chỉ khi m>œ
Le mút cù
Ban đọc thân miển!
BO sich “Cam nang on luyện thí Tối nghiệp, Của đẳng, Đại hạc Tuần ”
được hiện soạn dành cho học sinh chuẩn hị thi Tốt nghiện THPT, chuẩn hị thi
tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng,
Cuốn sách chia thành các chuyên để, hầm sắt theo cấu tric ra dé thi ela BG
Giáo dục và Đào tạo Mỗi cuốn đều cĩ hai nhần:
Phin L TONG TAP CHUYEN DE CAN ON LUYEN
Trong mỗi chuyên để, tác giả trình bày 2 hệ thống bài tốn song song với
nhau: Hệ thống các ví dụ mẫu, cơ bản và Hệ thống bài tập rèn luyện kỹ nắng
giải tốn Ở phẩn hệ thống các ví dụ mẫu, lời giải các bài lâp được trình bay
khuơn mẫu, dựa trên kiến thức quy định trong sách giáo khoa, trong đĩ, cĩ
nhiều các nhận xét, chú ý dành cho hục sinh phi nhớ cách phân tích hài tốn,
cách đặt vấn để cho lời giải, hệ thống hố kiến thức (hành các dụng hài, loại
bài tốn, các kĩ thuật giải tốn, kinh nghiệm giải tốn, .) a phan hài lập õn
luyện, tác giả sấn xếp khơng theo trật tự dạng bài tốn dé hoc sinh phải tự mình
xác định dạng bài tốn, xác định vùng kiến thức cẩn sử dụng và cách giải một
cách linh hoạt, nhuẩn nhuyễn (độ khĩ, hệ thống tưởng ứng và được trích dẫn
trong các để thị đại học gắn trong những năm gần đây)
Phần II CÁC ĐỂ, THỊ THỦ VÀO ĐẠI HỌC, CAO DẲNG (THE0 CẤU
TRÚC QUY ĐỊNH CỦA BỘ GIAO DUC VA DAO TAQ)
Các để được biên soạn mới theo cẩu trúc ra để thi của Bộ Giáo dục và Đào
tạu, cĩ kèm theo hướng dẫn giải, Các để thi thử này sẽ giúp các em học sinh tự
rèn luyện kỳ nãng làm hài thi, tự xác định mức đơ nấm vững kiến thức và độ
thành thạo các kỹ năng giải taần tương ứng
Trong quá trình biên soạn sách, cấc tác giả đã nhận được sự đúng gĩp, trao
đổi ý kiến của nhiều đơng nghiệp là các giáo viên nhiễu năm tâm huyết ơn
fi Sa cho hye sinh thí tốt nghiệp, cao đẳng, đại học Các chuyên để được trình
bày cũng chính là các tài liệu chất lọc trong các bài giảng luyện thi của các tắc
gid sau nhiều năm tâm huyết giảng day
Tủy vậy, sách cĩ thể cịn cĩ những khiếm khuyết Xin quý bạn đọc lượng
thứ Nhấm tắc giả rong tiếp tục nhận được từ các em học sinh, các quý đẳng
nghiệp những lời động viên và gún ý về địa chỉ: trungnttthnue.edu,vn
Các tác giả
1 HỆ THỐNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Tính dưa điệu của hàn: số
Điều kiện cân: Hàm số {(x) cĩ đạo hầm trên K thì
a) f(x) ding bit kéo theo ['(x) z 0 với mụi x € D,
bỳ (x) nghịch biển kéo theo Ƒ'(x) < 0 với mọi xe Ð
Dieu kién di: Him s6 f(x) cd dao ham trên D thi a) F(x)>0 với mọi x eD kéo theo [(x) đồng biến trên D,
by PO) <0 vdi moi x ED kéo theo I(x) nghich biến trên D
œ) [(x}=0 với mọi x = D kéo theo fix) =€,C là hằng số, trén D
Cực trị của hàm số: Các điểm cực đại và cưc tiểu được gọi chung là điểm:
cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được gọi chung là cực trí của hãm sẽ Điểm M(xạ:f(x„)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của để thị
Điễu kiện cẩn để cĩ cực trị: Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hầm tại xụ và đạt
cực trị tại điểm đĩ thì f'(x;)=0
Điều kiện đủ để cĩ cực trị: Giả sử bàm số ý = Í{x) liên tục trên khoảng (Xạ =h;xụ +h) và cĩ đạn hầm trên L2 hoặc trên D\ƒxo]}
a) Nếu {x)>(Ì trên khoảng (x; =hị xạ) và Ÿ(x)<Ư trên khoảng (Xạ; Xụ+h) thì
Xu là một điểm cực đại của hàm số f(x)
b) Nếu f(xì)<0 trên khoảng (x„ —h;Xạ) và f{x)>0 trên khoảng (x;;X, ~h}
thì x¿ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Quy tắc trên cĩ thể phát biểu ngắn gọn như sau: Nếu khi qua điểm xạ từ trả:
sang phải, đạo hàm f{x) đổi dấu từ dương sang âm (tương ứng, từ âm sang
đương) thì tai xụ hầm số đạt giá trị cực đại (tưởng ứng, cực tiểu)
Tim cực trị bằng đạn hàm cấn hai: Nếu tại điểm xụ mà f{(x„)=0 thi:
8) xụ là điểm cực tiểu nếu f"(x,)>0;
b) x, là điểm cực đại nếu f"{x„) <Œ
suy rắc J:
Tim Po)
Nếu f"{x¿) > Ú thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xạ,
Nếu f”{x¡) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xụ
Giá trị lán nhất và giá trị thơ nhất của hàm số? Cho hầm số y = [(x) xác
dink trén tap D
a) $6 M được goi la gid ti ldn nhat cla him s@ y = [(x) trên tập D nếu
f(x)<M với mọi x thuộc D và tổn tại Xp €D sao cho [(xg)=M,
Ký hiệu M “mật f(x) b) Số m được gọi là giá trị nhé nhat cla ham sé y = f(x) trên tập D nếu
f(x)>m với mọi x thuộc D và tổn tại xụ eD sao chu f(xạ)=m
Ký hiệu m= minf(x) b
Nhận xét, Đạo hầm Ÿ{x) giữ nguyên đấu trên đoạn [a:b] (hàm số f(x) đẳng
biến hoặc nghịch biến trên đoạn [a:h]) thì nĩ đạt được giá trị lên nhất và giá
trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn đĩ
Chú ý: 1) Đổi với bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = {xì
xác định trên đoạn a; b] trong trường hợp Iä chưa cĩ bẳng biến thiên, bạn đọc cĩ thể làm theo cách ngắn gon hon như sau:
Bậc ! Tìm mọi giá trị của tham số thuộc tập xác định của hàm số lầm cho
dao him bing 0 hodc khơng xác định Chẳng hạn là x); x2, :
Bước 2 Tinh các giá trị của hầm số tại hai đẩu mút và các điểm xị; Xa,
(fia), f(b), Í{x¡), f6¿), ) (Chú ý rằng tá chỉ tính giá trị của hàm số tại những
điểm x); %;, nằm trong đoạn [a; h]) Khi đĩ số lớn nhất trong chúng là giá
trị GTLN của hàm số trên đoạn [a; h], số nhỏ nhất trong chúng là GTNN của hàm số trên đoạn [a; bị Tức là eae max{ f(a), f(b), (xi), f(x), ]
min f(x)=min{ f(a), f(b), f0c)), {{(x2), ]
xeju, b}
3) Nếu trong bài tốn, hầm số y = f(x) xác định trên tập hợp D khơng phải là một đoạn (cĩ thể là một khoảng, nửa đoạn, ) thì để tim GTLN, GTNN cia hàm số trên lập đồ, ta nhải lập bằng biến thiên của hàm số (trên tập D),
5) Bat phương trình f(x) < m nghiệm đúng vải mọi x = D khi và chỉ khi M <a,
Điểm uấn của đã thị hà» số: Nếu hầm số y = f(x) cĩ đạo hầm cấp hai trên một khộng chứa xụ, f?(x¡) = 0 và f"@¿) đổi đấu khi x qua xạ thì điểm (x); f(xu)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số
(Xạ), xạ >a (tương ting, x, <a) sao cho ia % =a 1a đễu cĩ ,Jm fe,)=L
Ký hiệu L.= lim f(x) (L= lim F(x})
Biểu kiện cần và đủ để cĩ giới hạn lim f(x)=L là các giới hạn lim, f(x),
lim f(x) đều tổn tại và bằng L
ra
Tiệm cận ngàng: Cho hầm số y = [{X) xác định trên mội khoảng vơ hạn (là
khoảng đạng (a;~ ø}, (—=:b) hoặc (=œ;+ œ)) Đường thẳng y =yạ là tiệm
cận ngang của đổ thị hầm số y = f{x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn lim f(x)=y0, lim f(x)= v0
hầm số y = f(x) nếu lim f(x)=| f(x)- ax~b |=0
—— Gin nang on luuên (túi Tốt wgiúệp, Can đằng, Ti lạc Tốu, P.I ~ âm Thế Phone ly TNHH MTV DVWVH Khang Việt
i ee yet aa ata is R # : aay +: -1)-le0(*) cd tệm phân biệt,
1) Các bước ni acs oan ai vã ni đỗ thị của hầm số Ví dụ 1 Cho hàm số y= < ~mÍx ~l]~l,m là tham số Vậy phương trình tiến tuyến là y =2x +2 trinh x’ —m(x—1)-!=0 (*) cd ba nghiệm phân biệ
+ Tìm giỏi hại tại vỊ-cwc và gid ban vO Bue (iu Gd) Ook Alen IO Thal Sac bỳ Khi m hice phưững a ơng pete : i { Ẵ 2 sie on 4 eg () kiện là phương tắnh x” +x+l—mx=Ũ {**) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 1, đường tiệm cận của để thị hàm số ©) Khim =1, ug nhương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) vuơng gĩc với đường Khi đĩ hệ phương trình sau cĩ nghiệm 3 tương đương với
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đụo hàm, xét chiều biển thiên của hàm số, tìm cực trị thang y = - a I, : : ( ) A>O e —4(1 m)>0 mi
NT nh nhàng, : đ Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số tiếp xúc với truc hồnh Thể k từ (2) vào (l) ta được x”—x (3s I)x +249 2x +2=0©x=-l (} +1+1-m+0 me3 H3
Bài tôn tương giao giữa các đồ thị làm số: a ⁄3 x3 Xụ =-l ss
thẻ 11
Glog idm cals had 40 thị: Cho bại để thị hin 6.y = iv ym fete) Minot TÂN a + #0 2.0 = * Véixg 1, te dhtge yy= 0 về được phương tình Uếp tuyến là y =2x- Du TPEBẾChomsfy=-jxivx to
+ ea ish Pošnh dã Binh điểm của hai dé thi li f(x) = fax}: 35 HƯng * Với xạ =—], ta được yạ= 0 và được phương trình tiếp tuyến là y = 2(x + l) +0 b) Tim trên đổ thị hàm số hai điểm phân biệt A và B sao cho chúng đối xứng + oe nghiệm phân biệt của phương trình hồnh độ giao điểm bằng số giáo 0 tự 2K+2 mi : với nhau qua trục tung
điểm của (C;) và (C:) oe 3 Cách 2: Theo giả thiết, hệ số gĩc của tiếp tuyến là k = 2, vậy gọi phương Lời giải
An oo wid a — của pvc trình, ta cĩ thể vẽ đổ thị hàm sẽ +2 338 ps tiến tuyến là y = 2x +b, khi đĩ hệ phương trình sau cĩ nghiệm a) Bang biến thiên:
lade chi can lầp bảng biển thiên của hàm số % x =x=2x+b ÍI [x= =
x=- _—a = Địng Ú Í{x) = gím): là phương trình hồnh độ giao điểm của (C) với một 2) : nt ; :
3
Dang 2 {(x) = kx + m: ld phuting trinh hodnh dé giao điểm của (C) với một eo LES 2 AG i cgay feats Op an Ih 28%
ace
Đổ thị
phương trình {i ) 2 ) tá: nghiệm (uybiểm :của ,Bệ trên, nếu cốc là Cách †: Gọi M(x¿; ye) * tiếp điểm khi đĩ phương trình tiếp tuyến tại À 4 xei alee 5
tị ()=1;'() tĩ dạng y—yu =[3xố =1 ](%=u} CỆx-x) (Gx+l)=0 |, L ‹ Thế vào (2) la được m=3 và m=~
Trong trường hợp, ›(x) = ax + b (là đường thẩ' soe _
tiếp tuyến của đường (C¡)
Trang 3
bị Gọi A(Xa: Y4), B(Xu; yụ) là hai điểm thuộc đổ thị hằm số thoả mãn yêu c,
bài toán, khi đó, La có;
L Khảo sát sự hiển thiên và vẽ để thị hầm số khi im = 1
2 Tìm m để đỗ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bã điểm phân biết có
hoành độ xị,x;,x; thoả mãn điểu kiện Kt +x} + xì <4,
\ 17 Giới hạn: lim y=—s; lim y= +ø
trong đó x¡ x; là hai nghiệm của (2)
lệ #0
-X =—2 các điểm mà từ đó kẻ đưực hai Liếp tuyến với (C] vuông gúc Với nhau
B] Cho hàm số y= xÌ~3° có đồ thị (C) Tìm trên (C] mại điểm mà qua đó kể
„ được duy nhất một tiếp tuyến tới đổ thị hầm số (C)
©) Cho ham sO y = -xŠ+3x~2 có đổ thị (C) Tìm trên để thị hàm số những
a} Gọi điểm cần tìm là Mi -21, Gọi phương trình tiếp tuyến qua M cố dang
y =k(x - — 2 Khi đó, hệ phương trình sau có nghiệm
x°~3x+2=k(x—)~2 () 3x? -3=k (2)
“Thế k từ (2) vào (1) tw due x7 -3x+2=(3x?-3)(x-1)-2 ++2x2~3x” (1+) +6 4= 0œ (x~2)[2x2 +(1~31]k+2_=0
'x-2=0 6)
=>
[ant 4(1-28)e+2=0 (4)
Như vậy, với mọi t, hé luân có nghiệm x = 2, suy ra (thay vào (2)) tạ được
k=0, tức là có một phương trình tiếp tuyến là y = -2 (d) Đương nhiên, không thể có tiếp tuyển nào khác của đổ thị hầm số vuông góc với (q) vì khỉ
đó nó phải có dang x = c Do vậy, để cá yêu cầu bài toán thì phương trình (4)
cú hai nghiệm phân biệt x`, x” sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến tại hai
điểm có hoành độ lẫn lượt là x', x” bằng —l, tức là ta phải có
55 -
Thế ing vào (5) ta thấy thoả mãn
Vậy, rên đường thẳng y = -2 có duy nhất một điểm thoả mãn yêu cầu bãi
27"
b) Goi M(xu:X - 3i) là điểm cần tìm và gọi hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm
số đi qua M là k thì phương trình tiếp tuyến có dạng y =k(X-Xp}+ x, —axk
X=Xụ
n 2
ee (x=x0) [2x+x)-3]=0 |
x= 5(3-x0) Vậy, để hệ (l), (2) có nghiệm duy nhất, ta phải có
Xu =5(3-5;)}© Xạ =lyụ =-~2 Kết luận: Trên đổ thị hàm số có duy nhất một điểm thoả man yêu cầu bài
todn la M(1; —2)
) Gọi M(o;0) điểm cẩn tìm thuộc trục hoành Gọi đường thẳng tiếp tuyến qua
Mia y= k(x — œ) Khi đó, hệ phương trình sau phải có ba nghiệm phân biệt
5 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đỗ thị (C) của hàm số y = là -2(x” 1)
"Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0: 2) và tiếp xúc với (C)
hiến thiên và vẽ đỗ thị hầm số (1) khi m = 1, Tim m dé dé thi ham số (1} có
ba điểm cực trị A B, C sao chủ OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc
trục tung, B và C là hai điểm cực trị cồn lại
(D-2010) Cho hầm xố y=—x` - x° +6 Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
trình tiếp tuyến tại M có dạng y = (2x) - #xo|(X —Kụ} +6 —2(x5 -1J(U)
Lại đo, tiếp tuyến di qua À nên tạ có
Với xụ -:3Ê „ thay vào (1) được các tiếp tuyến là y = 7% +2
Cách 3; Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến đi qua Á, khi đó, phương tình kiếp
tuyến có dạng y = kx + 2 và hệ phương trình sau cú nghiệm
b) Nếu (2) có hai nghiệm dương, chẳng hạn 0 < tị < t;, thì (L) sẽ có các nghiệm
lẫn lượt xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là —/tạ;— tị :Vtị:Vb; Khi đó, theo
giả thiết ta phải cú
(8)=ýR -(-ý8)ssW§=3ã =9
Như vậy, điều kiện là phương trình bậc hai (2) có hai nghiệm dương tị, t;
(tị < t;) thoả man t; = 9t) Đáp số: m vế Hư 2 18
€) (D-2011) Cho hàm số y — , Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị (C) của
Loi giải a) + Khdo sat sy bién thién và vẽ đỗ thị hàm số y _ 2x41 : x+
Bằng biến thiên:
x | -o Si sả y` + + -
Phudag trinh (*) e6 A=m?48>0,m 2
niên đường thẳng luôn cắt (C) tại điểm
Trang 4Cain nang de tuyere th Ti nghiệp, Cao đẳng, Đại học Toán, P.l— Pam The Phong Ý cự TNHH MT VWH khang Việt
` ; JOA? OB? B? — OA7.OB? cos? AOB
= 4 loa? OB? -(0A08) (vi OA.OB =|ÐA|L|OB|co>AOB›
Ym e R nên luôn có 2 nghiệm phẩm hiệt, tức (đ) luôn cất (C) tai hai diém A, B phân biệL Hoành độ các giao điểm tại A, B là Xi, xạ (khi đồ, xị, x; là nghiềm của phương trình ( l}), ta có Xị + x; zz -m và XI.Xạ = ĐUẾ 5 Khi đõ, ta có: ; :
2 1 Do do: d¢A, Ox) = d(B, Ox 3
Phương trình (1) có is: eee it) Xo (3)
Cẩm nang ôn luyện thí Tất nghiệp Cao đẳng, Đại học Toán, P1 — Đàm Thế Phạng
(3) loại vì điểu kiện hai nghiệm của {2) phân biệt Áp dụng định 1í Viết, thay vào (4 ta được (1-3k)+4k +2=0k =—3 (thod min (*))
Kết luận: Giá trị cần m là - =-3,
Ví dụ 8, Cho hà
a) Khảo sát sự biến thiên vi vẽ vã thị (C) của ham sé (1)
b) Goi [ là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C)
sao cha tiếp tuyến với (C) tại M vuông gác với đường thẳng IM
c) Tìm điểu kiện của m sao cho đường thẳng = x + m cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, BH sao cho tiếp tuyến tai Á và B của (C) song sang vải nhau
Lời giải a) Ban doc tf giải
=1
là điểm cẩn m Khi đó ta có hệ số góc của đường thẳng IM là:
2x, —l 3
P 2 ‘ 1 Tan có hệ số gúc tiếp tuyến với (C) tại M là y'(X¿}=—————#
(xạ =1) 2o S2 hig I 1 4
(xp -1) (Xo =) Xạ=Ũ Zÿyo=l s[ ũ Yo Xọ=2 >yy=3 Kết luận: Vậy có hai điểm thoả mãn yêu cầu bài toán là M¡(0; 1), M;(2; 3)
e) Ta có phương trình hoành độ giao điểm
ma Sax+meox? +(m-3)x+1-m=0 (*)
x—
(vì x = I không phải là nghiệm của (*))
Dễ thấy A =(m~—3}” —4(I-m}=m? ~2m~5>(m nên phương trình (*}
luôn có hai nghiệm thực phân Bi Kay Xm, và do đó các hệ số gốc tiếp tuyến
1 (xu -!Ÿ
a : 2 ts x© (xạ =I} =(xs =1 (x.-1" — (xa-1)
Cúch khác: Dựa vào tính đối xứng của để thị hàm số, la có thể lí luận như
sau: Nếu đường thẳng y = x + m cất đỗ thị hầm số đã ch tại hai điểm A, B
mà tại đó hai tiếp tuyến với đỗ thi hầm số song song thì hai điểm A, BH nhải
đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I(I; 2) của đổ thị hàm số (do để thị có
tính đối xứng) nên L là trung điểm của AB, hay I thuộc đường thẳng y = x + m
+ Bể được hai tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ dương thì điều kiện là
- phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt (hai nghiệm này chính là hai hoành đõ tiếp điểm), tức là
A'>p 2m+2>0 S>0 «& Hy om>l
P>0 3
m+2
s)z0 ear
240 + bé có hai tiếp tuyến thì điểu kiện là nhương trình (*} có hai nghiệm phan
— biệt Xị; Xạ, LỨc là
Ciểm nang dn hipier tai TEE nghidp, Cao dang, Dai hoe Todn, Pl ~ Dam Taé Phong
¥
Khi đó, hai tiếp điểm tượng ứng có hai tung độ là y¡ = = Tử? 2 v= i
Hai tiếp tuyến tuyến tương ứng nằm hai phía Ox khi và chỉ khi VÀ yụ=
1 i \ ñ ĐT +4
x +1 x34 KpXo $Xp4XQ tl -
fe ye eget i ees EMERG 4 2
x Khi dd, gol M(xyiyy) ¥y +
nguyễn, suy ra xụ nguyễn và 2yạ =l—
Š' tăng sổ) (đpcm]
= Xu+2
I
2 Ixy +4 - điểm thuộc oe thị hầm số, M có các tua độ nguyên khi và chỉ khi x, nguyen
Sch}
esd ek aes 4m+2 sa e ÿ (2) “Thử lại với x, =—1 —> y, =O=> M( I; 0) (thod maa)
m isa : 2 : Thử lại với xụ =3 => yụ =1 = M(-3; 1} (thod min)
từ một điểm M bất kì thuộc đỗ thị hàm số đến hai tiệm cận của nó bằng một
hằng số không đổi Tìm những điểm thuộc đỗ thú hầm số có taa độ là những
Số nguyên Tê
by Cho ham số y= 2Š —Ẻ với đổ thị (C) Cho M là một điểm bất kì thuộc (C),
tiếp tuyến củu (ơi tại Ye cất hai đường tiệm cận tại ede diém A, B Goil 1a
giao điểm của hai đường tiệm cận Chứng tỏ rằng điểm M là trung điểm của
AB và điện tích tam giác [AB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
Lừi giải
Tà có Šá }Xu _ l*(2X¿ —1) whe 2 2 trang diéin cia AB
Dé thay B(2x,, —1; 2) 18 giao cha tiếp tuyến vửi tiệm cận ngang
Đường tiệm cận đứng: x=—2 hay x+323=D (D)
an Pe NET _ 5 ,
=x¿ đồng thdi, M, A, B thing hing nên M là
a) Khi nao thì đường thẳng d có phương trình y = —x + m cất đỗ thị tại hai điểm? Gọi A, B là hai giao điểm ấy, xác định tập hợp các Irung điểm Ï của
AB khi m thay đổi
bỳ Tìm điểm thuậc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ nó tới trục hoành bằng
hai lần khoảng cách từ nó tới trục tung
Lừi giải
Qx?—x+1_
ee
có hai nghiệm thực nhân biệt khi và chỉ khi phương trình
h(x} =3x? -2(2+m)x+1+m=0 cd 2 nghiệm thực phân biệt khác I
Thế vào (2) ta được y, =5xị 2 Lại do điều kiện (*) niên ta có
¬
trình đường thẳng cắt In tại hai điểm A B sao cho M là trung điểm AB
2 =
b) Chủ hàm số y có đỗ thị (C) Tìm điểm M thuộc (Cj sao cho
“khoảng cách từ M tới giao điểm I của hai đường tiệm cân của (C) đạt giá trị
nhỏ nhất,
a) Vi M 1a trung điểm của A, B nên đường thẳng cẩn tìm đi qua điểm M Gọi phương trình đường thẳng cẩn tìm có dạng (d): y= (x2) +5, Khi đó, (d} cất (C) khi và chỉ khí phương trình sau có hai nghiệm
K3
xi Điều kiện là Á = (5k~2)” ~20(1 —k)(10k +13) >0 (2)
Ki a, (1) có hai nghi@m 1 x4, xy (tung ng 1a boanh dé hai giao diém A, B)
P dung định lí Viết và thco giả thiết M là trung điểm của A, B nên ta có
Ð) Ta có an Đẻ thị hàm số (C) có hai đường Liêm cận là
Trang 5Cam nang ôn luyện thì Tối nghiềp, Cao đằng, Đại Học Toán, P.! ~ Bay Thé Phong a THHH MỸV DVVH Khang Việt
Ap dung bit Anh thức Cũsi, ta có
7 +2=x22 +2
BỀN os te b b(xy —IƑ
\ a ) yy ‘(x lâm
Tức là MI > /2V2 +2, Deu bằng xảy ra khi dấu bằng của Bất đẳng thức
Côãi xảy ra, tức là khí
b) Cho hầm sổ y = 4x” ~4mx +mŠ ~2m., Tìm m để giá trị nhỏ nhất của ham sé
~3; (| bằng -
¢) Tìm m để phương Lrình sau cố nghiệm V2 ~2(m+4)x + 5m + 0+3~x=U
đ) Tìm m để bất phương trình mÍdàŠ~2+2+1]+ x(2-x)}<U có nghiệm
Cúch khác: Cụ thể theo chú ý sau: Ta có „2o: 728 00À045 500 4022012 cu vi
x
Vậy: Giá trị lần nhất của hàm số ý = x`— 6x” + 9x + 10 trên đoạn [0, 4| bằng
gaa Ta) = max {6 14; 1Ó 14} =l4: giá trị nhỏ của hàm số w = xỶ ~ 6x” + 9x + 10
ñ
[-t trên "N (0; 4] bing oe f(x) = min} 6; 14; 10; 14} = -6
* Dap sd: DSi vdi bam sé y = |I +2cosx| +|I+ 2sin x| ta od;
min f(x) = 4/3 — 1; max f(x)=2(2 ~ 1) R R
b) Tả có Í '(x) = 8X — 4m; (x) = Ô khi và chỉ khi x = Tả xét hai trường hợp:
“Trường hợp 1: m > 0 (tức E > 0), Ta có bảng xét đấu như sau;
cẩu hài toán trở thành mỶ ~6m +16 = -I (vô nghiệm)
lồng hợp 3; ~4 <m #0 (tức —2 ‘ $0), Ta 06 bang xét đấu như sau:
Cain nang ôn luyện thị Tất nghiệp, Can đẳng, Dat hoe Teds, P1 — Đàm Thể Phong
Yêu cầu hài toán ted thanh —2m =-1 = m = ; (không thoả mãn}
Kết luận: Các giá trị của m cẩn m là m=l
c} Phương trình đã cho tương đương với
Từ đó, la có ( e[l; 2] Khi đó ta có và t =x” ~2x +2 và bất phương trình
3 CAC BAI TAP ON LUYEN
3 Bai tập rèn luyện kĩ năng
Bai
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị hầm số (1)
2, Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị hầm số (1), biết tiếp tuyến đồ cất trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phần biệt A, B và tam giác OAH tấn tại gốc toạ độ O
3 = -x thì tiếp tuyến này cất hai trục toạ độ ở cùng một điểm O là gốc : ' ee =1
Ni 2 en độ tức là A trùng với B nên không có tam giác OAB) Cine hen inl Thi xợu gel N6) W y aig «© 90 oe , ý
vi : = 7 Cách 2: Từ giả thiết rằng tiếp tuyến cất bai trục toạ độ tao thành tam giúe Giao điểm của đỏ thị với trục hoành là (0; 0); (+ v2 ;0) 0
l $00 cfin nén ta suy ra tiếp tuyến song song với đường thẳng y = —x hoặc đường re cp đc [ ; linea no là I thẳng y = x, tức là phương trình tiếp tuyến có dạng: y =—x + h(*) hoặc y =x+¡
sỉ af at
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (~z; ~ ) và (~ ` ¡ #2); bee Gợi xụ là hoành độ tiếp điểm khi đó ta có eee eee en thien, in ket ing:
Đổ thị: Ỷ (Xo) Say SS (2p $9) SL TU: 0A =-g (1 +z), nghịch biến trên các khoảng
tung là (0; 0); với trục hoành là (0; 0);
%, Cách 1: Ta có y C13 is Kết luận: Phương tình tiếp tuyển cẩn tìm là y=~—x +2 2 Ta có phương trình x”|x”~ 2 =m ứ) (@x2 2;0)
sổ vi Bai 2 Cho hàm số y = 2x” - 4x” (1) (1)©»2xÏlx?~ 2| =2m (2) 2 Ph
nên phương trình tiếp il diểm ¢ o sắt sự biến thiên và vẽ đổ thị của bầm số (1), Khi đó, (2) là phương trình hoành độ giao điểm của đổ thị hàm số (C') : " -. - ue z nà tấp: ` a 1
4 2 i ‘
Vie ae vào VAO (2x, +3) (2x9 +3) ~ tị : : Giải = K 4 2 PB
điểm B ¬ ei 0<2?m<2 +0 «m< l ae mero
| (2x9 +3) im, pee ID =D sels,
Két lugn: 0< | 4
Bài 3 Cho hàm số y =x”— (3m + 2)*” + 3m có để thị là (C„) m là tham số ede su bid thiên và vẽ đổ tử kim of
il nies (2xq +3) ay — te a ae oe 0 2 Tìm m để đường thẳng y = -1 cất đổ thị (C„) tại 4 điểm phân hiệt đểu có hn _ an lỏng tuyển của đổ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó di
le H228 sa :
Thay vito (*) ta được các phương trình tiếp tuyến: CT CT TXD:D=R
Đ:D=R
=x (loại vì không cất trục Öx, Oy tại 2 điểm : phân biệt) Từ Si ACen reo hry ‘ \ : fee
" Te bing biển thiên ta có: Chiểu biến thiên: y' = 4x`~ 4x; y' =0 xe=0vx=†l¡ lim =+œ biến thiên: Ta có y'=12a? 198, ¥<0<3| 7); y()=1.y(=-1
và v=-x +2 (thoả mãn)
Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cẩn tìm là y=—x +2,
Chú ý: Do (*) nên cần kiểm tra để loại nghiện -—-—'"' ˆ
chắc chấn suy ra tì có được tam giác OAB (
TT sỡ động biến trên các khoảng (-1; Ô); (1; +); nghịch biến trên các
| Kong (=ø; —l); (0; 1); him sé dat eye đại bằng Ú tại x = 0, dat cực tiểu
Trang 6Cẩm màng ön luyện thí Tối nghiệp, Caa đẳng, Dại học Tuần, P.1 — Dâm Thể Phong
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (—œ; Ø) và (1¡ +); Hàm số
nghịch biến trên khoảng (0: 1); CĐ(0: L), CT(H — lì
Bề thị: Bạn đọc tự vẽ
Viết phương trình dường thẳng tiếp tuyến với để thị hàm số (1)
Đường thẳng A với hệ số góc k và đi qua điểm H(-; -9) có phương trình
y=kx +k—9, A là tiếp tuyến của đổ thị hàm số (11 khi và chỉ khi hệ phương,
Bai Cho hàm số y=x”=3x?+4 (1)
Khảo sắt sự biến thiên và vẽ đổ thị hàm số (1)
, Chứng minh rằng mọi đường thẳng di qua điểm I(l; 2) với hệ số góc k
(k >3) đều cắt đổ thị của hàm số (1) tại ba điểm phan biét I, A, B đồng thời
1 1a trung điểm của đoạn thẳng AB
Kết luận: Hầm số đẳng biến trên các khoảng (—œ›; 0) và (2; «e);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
Bổ thị: hụn đọc tự vẽ 2,Gọi (Œ) là đã thị hàm số (1) Ta thấy I(1: 3) thuộc (C)
_ Đường thẳng d đi qua 1C; 2) với hệ số góc k (k > - 3) có phương trình
cy=kx— k+ 2 Ta có phương trình hoành độ giao điểm
or - 2.l—(k+2)=-k— 3<0nênx = I không là nghiệm của (*)
“Suy ra d luôn cắt (C) tại ba điểm phân biệt Iíx; yị); A(xạ; y4); B(xụ: vs) tới Xa.Xụ là nghiệm của (®)) Vi theo dinh If Viel x4 +xg=2=2x, va A
Ung thuộc d nên [ là trung điểm của đoạn thẳng AB (dpem)
(Cho hàm số y =—x” + 3x" 43(m?— t)x-3m?—1 (1),m là tham số,
m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm eve tricia dé thi ham
{1) cách đều gốc toa độ O
Giải -P 43-4
_ hiếu hiến thiên: y° =~ 3x+6x =>y'=Uc2 | TIẾT
luân: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (—~œ; D) và (2; +œ]
Hàm số đồng biến trên khoẳng (0; 2)
15
Cẩm sang ôn luyện thí Tất nghiệp, Cao đẳng, Đại hẹc Toán, PỊ = Dàm Thế Phong
Để thị hàm số có điểm cực đại CĐ(2: 0}: điểm cực tiểu CT0; _4)
Ham 8 có cực đại, cực tiểu y’ = 0 cé hai nghiệm phân biệt và đổi dấu
liên tiếp qua 2 nghiệm <= U(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Gọi A(xa; yA), B(Xn; Van) lẩn lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đổ thị
Khi đó ta có: xạ = 1 #m; x,=Ï -m
Từ đồ tn cố: yA=-2m' - 2; yn =—2m”— 2 Vậy rung điểm Ï của AB có toa độ là (1; ~2)
Khi dé OA = OB «+ OIL AB <> OLAB=0
«> I.(~2m) - 2(-4m*) = 0 <> 2m(4m’- 1) =0
œ@4m'- | =0(@ìm+0) om=+ ì thỏa mãn (*) Kết luận: Những giá trị cần tìm của m là: m = = ;:
Bai 7 Cho him sy = 2%
x+1
1 Khảo sắt sự biến thiên và vẽ đỗ thị (C) của hàm số đã cho
2 Tìm toa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cất hai trục Ox,
Oytại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng T
Giải 1.*TXĐ:D= R\|-1)
* Chiểu hiến thiền: y` = — >0Yxz~- l1
2 en ) (dé thay (2) vo nen SE Ree nghié
%j=1 0 => y=)
1
Cẩm nang Su luyện thí Tốt nghiệp, Của đẳng, Dat hige Toin, Pt — Dam Thế: Phong
Bài 8 1L Khảo sát sự biến thiên và vẽ đỗ thị của hầm số y = 2x”- 9x” + 12x~— 4
Tacé yil)= 1: y(2) =0; vị ;Ì" >
Ta có bảng xét dấu đao hầm;
{
xX | -2 1 2 +
y" | Te) “ 0 +
Kết luận: Hầm số đồng biến trên các khoảng (_-z; 1) và (2; +); Hàm số
nghịch biến trên khoảng (I: Z) Các điểm cực trị là CĐ(I: 1), CT(2; 0),
Oy va phẩn đối xứng của nó qua trục Oy (như hình vẽ)
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đỗ thị (C') và đường thẳng y=m- 4 Bosch c+0<m-4<l©4<m<§ã
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đỗ thị (C) của hầm số đã cho
- Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3: 20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cất đỗ thị (C) tại 3 điểm phân biệt
Kết luận: Điều kiện của m là a ek
m 424 Bai 10 Goi (C,,) là đổ thị của ham sé y = mx + 2 (*) (m là tham số}
Đường tiệm cận đứng: x =0 (xì Xi yao, key: căn +2)
=o
Đường tiệm cận xiên: y = TA (vì : im fy - 14) = dim + =0)
1Á Bằng biến thiên:
1, Gọi (Cụ) là đồ thị của bầm số y= hà - Bit yt + (*) (ma thamsd)
ö sắt sự biến thiên và vẽ đỗ thị của hầm số (*) khi m = 2
M là điểm thuộc (C„) có hoành độ bằng —I Tìm m để tiếp tuyến của
Trang 7
Bb thi: Ban doe uf ye,
2 Ta cú y` =x” - mx nên hệ số gúc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng — l lì
1 Khảo sát sự hiến thiên và vẽ đổ thị hàm số (I)
2 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đề thị hàm số (1) tại hai diém A, B sao cho
Kết luận: Hàm số đẳng biến trên các khoảng (0; l) và (1; 2);
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (—s; 0) và (2; +);
2 Ta 06 y°(2) = —L nên phương trình tiếp tuyến với đổ thị tại điểm uốn là 4:
y- ị =-l(x- 2) hay y=—X + ; (hệ số góc bằng k= -L) Giả sử Mu(xu; yu)
là một điểm bất kì trên để thị, khi đồ hệ số góc liếp tuyến với đồ thị hầm số tai My la k = y"(xq) = x2 4x, 43.Tacd
x|-= ]
g Ä 0 - 0 + Kết luận: Hàm số đồng biển trên các khoảng (—œ:¿ l), (3; +z): hàm số nghịch
TNHH MIV DVVH Khang Viet
ö sắt sự biến thiên và vẽ đỗ thị him sé (1) khi m = 2
m m để đổ thị hàm số (I) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc
LB đối xứng nhau qua gốc toa độ nên nếu A(x, y) thì B(-x, -y) (điều
x, y khác 0) Vậy để thoả mãn yêu cầu bài toán thì phải tổn tai một cặp
đối xứng A, B e (C„), tức là hệ sau phải có nghiệm (x; y} # (Ú; 0) (*):
ta tìm được x thì hé (I) luôn xác định được y (cụ thể y = x"), Do dé: (1)
=0 + ¥(O} = 2; (2) =—2
Cée diém eve tri: CB(0; -+), CT2: 2) 2 2 Chidu bicn thign: y’=x°-4x+3>y'=0 4 | * =e biến trên khoảng (1; 3); CB(1; 5), CT(3s 1) x=?
=3 Bảng biến thiên: : : *\ có bằng xét dấu đạo hằm:
lim y=+, li = i i =1, : 4 si 1 0
im | ga L3 tr i) E im, _ 5 =p | Có bằng xét dấu đạo hầm: , Ie 3(BU) Xết luận: Hàm số đồng hiến trên các khoảng (—%; 0) va (2; &);
=> đồ thị có tiệm cận xiên là y = “pth a e0 7 0 + lên ier) € điểm cực trị : CĐ(0; 2), CT(2; ~2)
Bồ thị: Bạn đọc tự vẽ
Cam nang Gr luyen thi Tat nghigp, Cao đẳng, Dại hục To#n, P.1 — Đàm Thế Phong HH MTV OVVH Khang Viet ý Cẩm năng Ore luyện tht TO nghiệp, Cao đằng, Đụi học Toán, P.1 - Dăm Thế Phen; | ŸTNHH| MĨM DVVH khang Việt
ài Ý:v=—w` + 3mx2 ~ 3(1~ mÌ Ầ — mỂ (11 0n là tham số; =m- i + ae: + a +
Bai 16 Cho ham số: ý =—x” + Jmx* — Hil s 3x tm` — mỸ (1) (m là tham số ~3x” + ómx + 3(1 ~ m”) = ~3(x ~ m) + 3=» y` =0 x) =m-l Sa) hồ sine T :
ae : ; KT hân ng biến thiên:
, x0 \ 2: Ta có y' =—-3x” + 6mx + 3(1 — m”) =—3(x — m)” + 3 has reid tu + hệ ( có nghiệm w + |
Chiêu biến thiên: y` = 3x” + 6x =>y'=U «| _ „:(0)=0i y2) =4, 0= 9m + 9(1 — m?) = 9+0 suy ra y' =0 có 2 nghiệm x: z x; và y` đổi as 16 a (x1)? =(m 12
: : chi qua Xị và xạ suy ra hăm số đạt cực trị tại Xị và Xa cl, ŒT; P
Đặt m = —k` + 3k Dựa vào đỗ thị hàm số ta suy ra phương trình (1) có h2
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ñ< m< 4
tận: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đổ thị hàm số
Kết luận: Với m < —3 hoặc 0< m < 3 thì him số có ba điểm cực trị
(2m - l)x - mỄ x—l
mm ~ 9)<0s9 |
Bài 18, Cho hầm số: y = () (m là tham số)
2 Tìm m để đỗ thị của hầm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y =x
Giải
SN =
1 Với m=-—l ta có hàm số y = x= i
es ax? ED (6 +1) x? 4 1(x? 41)
Trang 8Cẩm nứng ôn lưyện thị Tốt nghiệp, Cao đẳng, Đại học Tuủn, P.1 - Đặm Thế Phong
"Từ bảng biến thiên, ta kết luận:
max yv=y(1)= v2; min = min{y(—1), y(2)) =0
xel-l
Cúch khác: Sau khi tỉnh đạo hầm, m được x = | 1A điểm tới hạn, ta kết luấn:
pas foo =max{f(1);f(—0):f(2)} = f(1)=2
na) = min{f(1):f(-1);1(2)} =f(-1)=0
mx? +(3m? -2)x-2
x+3m Tim các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hầm s6 {1}
sổ {1} có cực đại và cực tiểu, đẳng thời các điểm cực trị của đỗ thị cùng với
ốc loa độ Ơ tạo thành một Lam giác vuông tai O
đ) Gọi (Cm) là đỗ thị của hàm sé y =
Chứng mình rằng với m bất kì, đỗ thị (Ca) luôn luôn có điểm cực đại, điểt:
cực liểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng -/20
f
e) Cho hàm số: y= =" (1) am ft tham 56) Tim m dé dé thi ham «i
(1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ duong |
my y'`=0có 2 si i nhân hiệt và đổi dấu liên tiếp qua 2 nghiệm đó
4> X” + 4x +4 ~ mỄ = 0 (8) có hai nghiệm phân biệt khác —2
; A'>O Xe m2 s6 # , 3 >
~ |(-2)?+4.(-2)+4-m? 20 |-m? eo
` Beis iS
"Yêu cầu bài toán em? =1
) Ta có y` =
đại cực tiểu của đổ thị hàm số lẫn lượt là A{xị; VÙ, Yị = 2X; + 2m + l
ee
ra m=-2V2-5
‘Néu 6m - 2=0 m= š thì yesA~2 vii x # 1, đổ thị không có tiệm
cận đứng Vậy với các giã trị m # 0 và m + thì để thị hầm số có tiệm cận
„ Khi đó hàm số có cực đại và cực tiểu khi va chỉ
'Với điều kiện đó, ta gọi xị, x; là hai nghiệm của (*), khi đó ta có toa độ các ste
Cẩm nng ôn luyện trì Tất agile: Cao đẳng, Dại học Tuần, P1 - Đàm Thể Phong
Vây ta được 2 phương trình tiếp và lày=-x- 5+ 2/2,
Từ đó suy ra đổ thị hàm số luôn có cúc điểm cực đại, cực tiểu
g) Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
Kết luận: Với m > 1 thì (d„) cất đồ thị (L) tại hai điểm phân biệt
GIG] HAN, NGUYEN HAM, TicH PHAN
VA UNG DUNG COA TicH PHAN
THONG KIEN THUC TRONG TAM
Nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu đối
đ mọi x thuộc miễn xác định của hầm số, ta có Fˆ(x) = f(x)
ếu F(x) là nguyên hàm của hàm số f{x) thì tất cả các nguyên hàm của I{x)
éu cd dang Fix) + C, với C là hằng số tuỳ ý Tập hợp tất cä các nguyên
ầm của hàm số í{x) được ký hiệu là: [f(x)âx =F(x)+C
a+l fe‘ax =e*+C
“"=
ok : _feosxax = sinx +c fsinxdx =-cosx +
my
fe dx =tanx + C ees
"cos" x Fae x
ũi ' số phương pháp tìm nguyên hàn:
ứng pháp đố biển số Có thể đổi biến theo một trong hai cách: x =g(th
iểu thức ở vế phải cho ta nguyên hàm của hàm số thco biến t Do đó sau
| tìm được nguyễn hàm này, cẩn phải thay trở lại biến x bởi hàm t=@(%)
đâm ngược của x =œ(t)
dx =-cotx +C
N Cẩm năng ân luyện thụ Tối ›ạliệp, Cao đu, Đại lục Toán, P.I ~ Đàn The Phong T
+ N@udjt u-q(x) va F(x)=g(u)u;thì [f(x)dx= [g(u)du
Phép biến đổi vị phản: Công thức đổi biến Jf(x)dx= (rl g(x) |gidt trong
dé, x=g(t), cho thấy có thỂ coi dx, dt là những ký hiệu ví phân và ta co
thể sứ dụng phép biến đổi vi nhần gïdt= a(g(t)) j
Một số phân biến đổi vỉ phẩm:
Phương pháp tính nguyên hàm từng phẩm Giả sử u(x), V(x) là hai hàm số có
đạo hàm trên đoạn [a: b] Khi đó Íuvfdx =
u,v— jwxex Như vậy, công thức trên đưa việc tìm nguyên hàm của hàm số f{x) =u(x).(x)
vẻ việc tìm nguyên hàm của hàm sổ ø(x}= u'(x).v(x}, trong đó nguyễn hàm:
của g(x} là đã biết hoặc có thể tìm được mội cách không quá khó khăn
Tích: phân: Cho f(x) là hầm số liên tục trên đoạn (a; b] Giả sử F(x) là một
nguyên hầm của f{x) trên đoạn [a, b] khi đó, hiệu số F(b) - F(a) được gọi là
tích phân từ a đến b (hay tích phẫn xắc định trên đoan fa; b]) của hàm số
=0(L) có dạo hầm liên lục trên đoạn [œ ; A] sao cho ð(0)=a,g(B)=b và
()<b với mọi Le[œ:PJ Khi đó ]laoa = [Rwowtiav
th phân từng BỊ Nếu u(x) và en là hai hm số cá đạo hầm liên tục
đoạn [a; hị thì hen (x)dx =(u)v(x))|" ch {x)w(x)dx (có thể viết
8 1(x)>e(x) trên đoan [a:b] thi dién tich hinh phẳng 8 gidi han bởi các
đổi biến số: Cho hầm số /f¬) liên tục trên đoạn Lư : b] Giả sử hàm sế
Ciủn nang ấn luuệu tỉ Tết nghiệp, Caa đẳng, Đại học Toân, P.] - Dâm Thể Phenc
Tổng quát, ta có công thức tính diện tích phan hình phẳng giới hạn bởi các
b
đổ thị y—[(A).y =gÍx), x=a, x=hlà: S= fired g{x)|dx
a
Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng § giổi hạn bởi các
đường y=f(X),y=0 x=a, x=h và có, quanh trục Ox được tính theo công
h thức W =x[[t(x)Ÿ dx
1
Tổng quát, thể tích cña vật thể nhận được khi quay hình phẳng Š, giới hạn bài các dường y=f(X).y=p(x),x=u, x=b(ưong đú f(x)+g{(x) trên doan
h
[a; h]) quanh trục Öx được tính theo công thức van] (19) (s(x) fo
2 HE THONG Vi DW MAU BIEN HINH
» an aot V3sinx— eae
Ù 1 fin(x+v? +1 ox m ital
os
I V2x+1-J2x-1 \2x+l V2x-1 a) Ta có: —————
V2x+1+V2x—1 - 2 2 Vay nén re fs x+—= ee idx 2x—ldx =1, ~h -sh:
Trang 9Suy ral ~2VI+ ®sinx +C
Cách 3: Đất L=l+4sinx Khi để: đt =4cosxdx và Lá có
= ÍT- 2“Lsinx—l sinx+L) ae aan)
I + cosXx —sinx
Cẩn nang ôn tuyén (thí Tết nghiệp, Cña đẳng, Dựi học Todn, ba ~ Bim TM Phon,
k) Tn biến đổi như sau:
2ginx +cosx = A(V3sinx —cosx)+ B(V3 cosx +sinx)
Ta có Ï=xIn|x+ x+ ve +1)- a
extn rk? 1)-3 [pea
=xia(x4vx? +1)-va? +1+€
1 m) Tính tích phân [= rae Dat
x—2 x+3
x-2
*hú ý: Nguyên hàm, tích phân hàm phân thức
ặm số trong dấu tích phần có đạng F(x)= ae „# đồ P(x), Q(x) là các đa Đương an ta chủ yếu quan tâm xài : hàm phân thức thuộc một
Cẩm nang ẽn luyện thí Tất nghiệp, Cao đẳng, Đại học Taản, PT ~ Dâm Thé Phony
a Cúch 3: t = f(tanx), khi dé ta hiéu t=: Í{u) với u = tanx và đL=f'.u*dx trong
ham, tich phan ham 5 lượng giác:
"biểu thức trong dấu tích phân biểu thức lượng giác có đạng Fors” x taux)
thì có thể đặt ẩn phụ bằng mội trong bai cách:
Asinx + beosx = A(a, sinx +b, cosx)'+ B(a, sinx + by cosx)
"ay sinx + by cosx
{ay sinx +b, cosx}
a, sinx + b, cosy cosx
Giải: Đặt t tin nề ie re x=0=t=0;x=Š=tel
6 Nếu biểu thức trong dấu tích phân có dang —"“=— ET—~, ta tìm hài số
(a; sinx +b, cosx) thực A, B thod mãn đẳng thức
asinx +beosx 1 1
h
1, Đối với tích phân hầm lượng giác có dạng I= fe(sin x,cosx dx Tuy thuật
với sinx, cosx) Cách giải: Đặt t= tanx (hoặc có thể đặt t = cotx)
ứng 2 f(sinx,cosx)= =f(sinx,—eosx} (có thể hiểu là f(x) là hàm số lẻ đối
đi cosx) Cách giải: Đặt L= sinx
Trang 10
Giải: Ta có Kier dt ae” 4 sinx sin2x sin3xdx Suy ra I= | sinx sin 2xsin 3xdx - Ísinxsin2xsin3xdx=0 :
pai 0 ỹ lỦyra 4I= [—°"" dụ
- X = £(sinx,cosx) : : aS
| -2sin* x dx ja cosxsinx Se cosx—4sinx
Đặt L=cosx => dt =- sỉn xdx; =5 1012 +gn2x T 5 (cosx + sinx)” ee ee Re
Giải: T L4 + 8 *
cee iB ; 2 -x=d = TU 2 ay 8 6 4[=|———— -I)du= [ no gt
: cos2x — 2c082x-l 2cos” x—l 0z nL—4e0st ‘P5sint—4cost sung - ~4c08x š
Từ đó, suy ra cay 7 ‘ af 7 Ta được 1= [ý (-1)dt= 2 [ate i (cost+ sint) ¿(eostrsin)” ð( ren ee 3 R Hiệu 5 ad : =
3 x ate Ssinx —4cosx 4, ; ee COSXT— ~4sinx 4 ai b
3 8 KHI Ti: SH” 5, mame § (cosx+sinx)" r 1, Ham số bên trong dấu tích phân có dạng (aa att h trong dé
=—-| J |[ldt | 5 J đãai |———dLt- J Va-1 |-=——dt -] sinx +e08%_ ® x ye : „1, 8 là các số nguyên đương, f(%,y, w) là hàm hữu tỉ của các biến
Loệ 1 fi Boi} (211) tf a) -)} Te eg ee h ÑBhân về dạng, T(®,È!, Èt)kÙ Tú = (0N rong đó (0) là hàm
au, ð in” x ens" x + sin” x
'
Ú tỉ với bién sé mdi t
Dang 4 Có thể sử dung kết quả sau đây để áp dụng gidi m6t s6 bai todn hay
một lớp các bài toán, Cho f(x} là hầm số liên tục trong đoạn [0:2a] Khi đỏ
ta có công thức I= † f(x)dx= ID +T(2a—x) ]dx
2a a 2a q d) Tính tích phân I= ng tacó 1= | aa! ale
1 I I avr ety ua 2 yet sane? x2(I+2e')+e = š :
——du= u= |eos”u.—-du = |ldu X+C +2XE _ ~„— - l 1 3 3
lea le u+1 cos u cos*u } : } ; : ! a) Tạ có - RẺ TT it ices Iy=3 finn de =3 finx(na) = (tex) = 5
2 ` 2m Ề z= i ¡ +BJ_-3|+5 Ñ ñ1+2e" e a T1 2
: xi Les mì 1 1 1 x -3* [+ +2M(L+ +e") afi cine 7 sia Pein pal
4 = Zanes oS Pin này ưu nnn SS 3 2 3 sf I at
số, a khác Ú Xét tam thức bậc hai bên trong dấu tích phân, đặt t= | 050i = [- ts 7 Inx ¿ en TÌw = jain x) 4) I= fe cosxdx
Camel 2) - = pve uae f 6 3 ' ah i g) I= |cosxIn(cosx +1)
4? | a : : “a na e9): enn +1 mg| =ua(3)-5 :
7 | cos ul
không xét trường hợp a < 0 vì khi đồ biểu thức bên trong dấu căn [luôn ẩm Hướng dẫn: Đặt x? +2x +2 =x+t an "hon a3 2+u (2+u} _ : Lat gidt
i i ũ " 1 với {=T— x, ta có : với x =Ú thì t= œ; với x = m thì L = 0
: " \) Eni dei emcee c) Tĩnh ích phân 1= ÍÍ2x a = f(x-t)sin’rdt = [rsin*tdt — fesin*tdt =n fsin?rdt -1
a — HH £2— tae Noa A foteeaeo ÊÊta vá BE fiend
+) [2° -u? Jaw
73
Trang 11Cam nang én luyện thí Tết nghiệp, Can đẳng, Đại hạc Toán, P.Ƒ— Đầm ThE Phony TNHH MTV DVVH Khang Việt
hì Dùng phương pháp tích phân từng phần (lần thứ nhấu:
I u=(nx}Ẻ -„ JdU= 3(nx} ax
g phương pháp tính tích phân từng phần (lần thứ hai) 1z Tỉnh bằng phương pháp tích phần từng phẩn:
thứ hai): v=x”dx v=a Vay If =[ xúnx) ~2x(lnx)? +6xÌnx ~ -6& |) 6-2c Nuyk Trung -Ú
veo |v=e" fe In(x + I)dx omar A 1 TT con 2 _ x(l-cos*x) cu ¥ cn: 3
Vậy, ta có Ï =(x'e 3x7c* + 6xe* —6e Ih 6 ~2c 3 TT Ra ing ly = ca © Ị (+0 (I+Ð, ta
1 ì a
Đó em guyen ham I= |cosxIn(cosx +1 )dx u=Xx
Khi đó I=-xˆcosx +2 [xeosxdx nạ phương pháp tích phân từng phần: dv =——dx ~ |v =tanx
VÌ =€osx w=sinx giá | io
fich phan I= |xsinxcos2xdx
: , la cổ T= 41)dx =sinx, mie pees S5 bu
ta được |xcosxdx =xsiax— |sinxdx = xsinx + cosx +C Jeosxin(cosx ) - sinx.ln(1+eosx)+ TT yey alee 4 rae ũ
Vậy ta cú: 1 =—x?cosx +2xsinx + 2cosx+C ———dx = fe dx = |(1—cosx)dx = x—sinx +C 1 Oo I rs in ax -sinx)dx
Í+cosx l+cnsx Vậy La có: Lm n H2—- €6 T=— |x(sin3x —s
hương pháp tính tích phân từng phân (lần thứ nhất a 2 32 2
Sh CONES PREZ ee eRe Dens : Maduge = =sinx.In(1+cosx)+x-sinx+C 2 ‘
lH MTV DVVH Khang Việt Gaim nang dn luyện thi Tối nghiệp, Cao đẳng, Đại học Toận, pỊ~ Đàm THE Phony MIV DYVH KHong Xiệt
ie mi” lve Uh 73 hvouax cose SẮC Ệ ¿ xl ave ; ! aa ; + i= [es -3i+2 dx = [-— _- dx = {5-4} ;í-(t-2) jÀkte2 tài K đó tu có x=2>t=3,x=6>1=5
Cha $: 1, NEu him dưới dấu tích phần có dạng A(x).f{x) trong dé A(x) 1a dy Lời giải vom nh tích phân I = Pu
$ ì =2x-x (X+ÙD(X-3) Xx+l x— ặ `
u=A(x) = a wl A+B= A= 2 LÊ t+1 cos?t sit fan ue re Lg ae ong thite
dy = F(x)dx v= fi(xjax 2(A+B)x-3A+B=1-x =| SA+Bai 1 li z fe 3x2 +3x+3— — AB : e
2 Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng A(x (x)f[e th: trong đó A(x) là một dị 2 = fits u(t Ja fam —.- jana Jonata Kê * “3+2 (x-I}P ir x-l x+2
dv=[Íc Jax v= file \dx | 1 3 34 a
- ai =~-(In|x+l|+In|x~3)+C =~-In|s?~2x-3|+C = “an ld xo pea =
e) 1= f——_— -_ ¿ eet ete 3l 3 d)I=Í[ = ox’ +l a —ảx Pi ge t+i = 0 ee a Sp gary Tinh Ty: 1, = [—inxdx “4 h = Jns(m) -leu[-I _ Bái liom to # 6
s1-Í SG Ve aoa wae ve" n3 c* a ge =3e” +2 Vay T= +h =2(er+ ki i
Trang 12
—_| a¢sint)= [za d{sint)= u
2
TỶ 1 v6 Š(a-)- n =\ 1: (Qav3 2-N2 9 2),
be 3x+10 0) Tinh tich phan I= f©;*———"dx
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 3 + x — XỈvà y=2x + l
Lf 0E2 ¡cả cb4= rcos5t - cos] es, ta 06.1 = ti dx = [= ati ate Cách Ì: ĐẠL x= “sint, tẻ|Tỗi | suy ra dx = “costal va? ~bˆx? =aeosL = 2 2
ron eo 8 ee ` sa cost 1 a= tal ~ fess dt [1 te HÌ 2 Nếu hàm số dưới dấu tích nhân có dạng aR a ta ce ' 2y-y? =-y ©œ3y-y!=0 =5
m) Tinh tich phan T= a= Geet 3 3 ' - 4 Re fat PP
a Z ‘ thể đặt ấn số phụ là x= tang te| 5:5}, Vậy Be Jay +yMy= JBy-y XS ”
Cin nang ân luyện thí Tất nghiệp, Cao đẳng, Di học Tuần, irr — pant Thế Phong: H MIV DVVH Khang Việt Cẩm nàng ôn luyện thí Tết nghiệp, Cao đẳng, Dựi học Toần, P.1 ~ pam Thé Phony MTV DVVH Khang Wigt
Cách ï: Về đỗ thị của các hàm số như hình hên
Ủng là S= fe —2x+ lax nên đẫn đến kết quả sai
thể làm như sau: Vẽ đổ các đổ thị của các hàm số:
6 a) Tinh diện tích hành giới hạn bởi các đường ý = — — y =
Vế trái của phương trình là bàm số y = ek đồng biến còn vế phải cũ;
ä) 'Ta có nhương trình hoành độ giao điể
X phương trình là hầm số y = (5) nghịch biến nên phương trình cú nghiệ¡;
duy nhất Dễ thấy nghiệm này là x = 0
b) Tinh dign tich hình phẳng là S= lí +e ')-s(e _e “fs
aL 2 2 5 e
Ví dụ7 a) Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay mién sau quanl
bị Tìm thể tích của vật thể tràn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sa!
quay quanh true Ox: y? = 4x, y =x
c) Goi miễn giới hạn bởi các đường y = 0 va y = 2x — x? 1a D Tinh thé tich vii thể được tạo thành do ta quay D quanh trục Oy
d) Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng gi!
hạn bởi các đồ thị y = xe"; y=Ũ; x=Ú;x=l
- =vI=y ứng với cung OS;
Ji —y ng với cung ST
Trang 13
& du=dx w vay, theo định lí 1, phương trình f{x) = 0 có nghiệm trong khoảng (0; l),
Ta tinh 1, bang phương pháp tích phân từng phan: Xe ange „ahụm phải chứng minh
2 ety, dat g(x)=ax™ + bx™! ~cx™?,
= feet Lee lÌ _1 Fax =| de® | -(+ oll Peers BAI TAP ON LUYEN
cac H4 La 4 he h phê TS ah 1 N dx 3 a Inx
wee : | ’ - eo) 1) Tih tich pi “ai Xsinx+e0sx Dit t= 2x+1=sx=2( -1), dx =tdt af B00 = 3 | aro — iz Vay
thể áp dung trong việc khảo sát các phương trình ÉJd§x+:0x2Bix§x : it = Inx a nes Ty, nên ta chọn v
Định lí ï Cho hàm số y = f(x) xác định và liên Lục trên đoạn [a; b] va giá xử BI = if Tear noe s4 (È 1 I)-I uy oi 5 Tưng As by sa
Leer ei ặ = [4} 1+ perinesconny dx = [x + In|xsỉn x + cosx| |# 3 4
om #†iÔng phương Eìth Ty?" HÔNG số độ hiep) Š Tt mj2 v2 Bài 4 Tỉnh tích phan l= J(cos'x- I Joos? xdx eo oh pate t e*_L
liên tục nên suy ra: “Mi oS ị i
hệ To biện if
doan [c; d] nén F(c) < F(d) (mau thudn vdi gia thiét), cos’ x acl nị J J Sadia Lips atin
i i inh ax? +bx? +¢x+d=0 od nghiém trong k x = Ề | ‘
khoảng (0; 1) nếu các hệ số của nó thoả mãn đẳng thức sa n9 6 Ï= hae ! ical thấu ì bu? Ta có 1, = Joos’ xdx re Joost xcosxdx= l =tlh x}d(sinx) + Tinh Jeoôx ‘
5 i = 2 = a =—| x+=sin2x | =— ‘ : ; Giải ki c š : Lại có he em xdx penne af 3 } 4 t t=tanx => dt= —\ dx; gad — PHÙ ane a8 a) Xét hàm số f(x)=ax” +bx” +cx+d là hầm số liên tue trên tập số thực ° oi ¬¬ = ie „ Lấy sina 18h ; ade
2 sy 4, " ws Í đó ta có 1= Jae site [[Ê+I+a “i
: |3,3 1, |v3-3
11 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = xÌnX, y = 0, x = e,
Tỉnh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khí quay H quanh trục Ox
Giải
hương trình huành đỗ giao điểm của các đường y = xinx và y = 0 là
ln =0<>x= l, Vậy thể tích của khối trồn xoay là:
Đặt t= sinx + c0sx =dI = (cosx — sinxjdx = —/2 sin [: Eas
xi Đặt u=Inx;dv=x'dx => du=—dx =
Dat u=5- 3cos2x > du = 6sin2xdx; u(0) = 2, w= §
Cách 2: Đặt t— ce x 4 4sin? x => =cos2x + 4sin” x =s 2tdL= 3sin2xủx
y_INHH MTV D/VH Khang Viet
Trang 14vet * leanne + aa (RÐebi 1+ sin2x 2 fc by 2
Bai 24 Tinh tich phiin 1 = f —x|dx
Cẩm nàng ân I3ện thí Tốt nghuệp, Cao đẳng, Đwi học Toán, p.T ~ Đầm Thể Phan;
Chuyên đề 3 : : :
PHUONG TRINH, BAT PHUONG TRINH HE PHUONG TRINH BẠI Sữ
1 HỆ THỐNG KIẾN THỨC TRONG TAM
1,1 Phương trình, bất phương trình vô tỉ
Aột số phép biến dai tong đường phường trình vô 1Ì
E(x)>0
| f(x)=e'(x)} (*)
aims on lu =g(X)
(dấu ngoặc đơn (fix) 2 0) chủ phép ta chọn lựa một trong hai biểu thức fxị
hay g(x) khí xét dấu: biểu thức nào để xét dấu hơn thì ta dùng)
Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình võ tỉ
i 20 F{x)>g(x) (*)
Dang | di(x) = a(x)
8) Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Từ phươn;
kia ta được một phương trình bac hai mét ẩn
«Phương trình đối xứng hai ẩn x, y là một phương trình của x, y mà khi ta tha)
x bửi y và y bởi x thì phương trình không thay để
12A
Hệ đối xứng loại I là hệ gồm hai phương trình đối xứng hai ẩn
; giải hệ loại này, ta đặt ẩn phụ S=x+y, P=xy với điểu kiện S° >4Pta
Nha về một hệ mới với các ẩn §, P, Khi đó x, y IA hai nghiệm của phương
ĐỂ giải hệ loại này, ta có thể làm theo 2 cách sau:
1: Khử số hạng tự do từ một trong hai phương trình (chẳng hạn, nhân
ế của phương trình (1) với d;, nhãn hai vế của phương trình (2} với dị rấi
W vế thcu vế của các nhương trình IÌm được đó) ta được một phương trình ' quả dạng Ax” + Bxy +Cy? =0, Khi đó, ta có thể thực hiện một trong hai
làm sau:
thứ nhất:
riêng y = 0 (hole x = 0)
#0, đặt x= ty, đưa về phương trình : AỦ + BL+ C = 0
thứ hai: Coi phương trình này là phương trình bậc hai đối với y (hoặc
h x), giải phương trình rút y theo x (hoặc rút x theo y) Sau đó, từ biểu Tìm được, thế vào phương trình I1) hoặc (2), ta fìm được x rỗi sau đó là
m được y (hoặc tìm được y rồi sau đó xác định được x)
ch 2: Từ hệ khử yŠ để đưa về phương trình bậc nhất đối với y Từ đó rút y
+, thay vào một trong hai phương trình của hệ ta được một phương trình
ng phương dn x
E THONG Vi DY MẪU ĐIỂN HÌNH
H1, Giải các phương trình sau:
Nhận thấy chỉ có giá trị = thoả mãn (1)
KẾT LUẬN: Tập nghiệm của phương trình là f1}
Với L<x <2, la được eee eee (théa man)
k-T+Wx-1- i=" ites ave = IS
với điểu kiện (**) thì hệ điều kiện (***), (4*) không thoả mãn, tức
ữ trường hợp này, phương trình không có nghiệm
hựp x =0 Đương nhiên, thay vio (1), thod man
0 là một nghiệm của nhương trình
# ý: Lời giải trên khá thông minh, cho ta một kinh nghiệm trong việc giải toán tương tự: đánh giá, chín nhỗ tập xác định của phương trình Học sinh
hớ hai trường hợp biến đổi công thức từ căn bậc hai của một tích thành của các căn bậc hai như sau:VA.B=vA.B nếu A > 0, B > 0;
V=A.V~B nếu A <0, B < 0, Ngoài cách giải như trên, ta cũng có
bài toán môt cách đơn giản như sau:
+2Jx?(x- 1)(x-2) =x(x+3)
Trang 15
IH MTV OVVH Khang việt
đi luận: Tập nghiệm của phương trình là \
Khi đó phương trình đã cho tưng đương với
Cẩm nang õn luyện thí Tốt eghiệp, Can đẳng, Đại học Toán, Pị = Dâm The Phony
THỊ: >4, khi đó theo (1) ta suy ra 3v2<19~(4}° =3—v <1, Suy ra (u- 4) +(l— v)(u°v +? +1)>0, tite là (2) không có nghiệm
Suy ra (u~4)+(L~v)(62v+eu°+1]}<0 (2) không có nghiệm
TH3: u =4 khi đó theo (2) ta suy ra v = 1 Thoá mãn phương trình (1)
Khi đó ta có 3/3x+1—l+x—5
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là x = 5
h) Giải phương trình 2x? ¿16x +18 +4x?—I=2x +4
xs-4- V7
Điều kién: | -444/7 <x <-1 (4)
x2l Khi đó, phương trình đã cho tưởng đương với
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là {—!: 1}
Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:
a) Vx? 4x44 Vx? ext lev2x? 42049
bị Ÿ x-I=l-vX+2 6) v2w+3+vX+1=3x+2x2 +5x+3~l6
LINHH MTV DVVH Khang Việt
lập nghiệm của phương trình là {-1; 0]
tập nghiệm của phương trình là {=1; =2; 7]
-lsx<7 -lsxs7
Điều kiện 5 + 4x > 0
Khi đó, đặt y=x?+x—L (1), ta đưa phương trình đã cho vé dang
Do điều kiện xăng nên ta có y#—l;:z#-l
Nhân các vế của cả ba phương trình với nhau rồi rút gọn ta được xyz = 1 (4
Cộng các vế của cả ba phương trình ta được x?+y2+z? =3,
Mặt khác, x” + y`+zˆ >34fxyz =3 (do (4)) nên đẳng thức xảy ra khi và dị!
khix=y=z=1 (vi x,2,y 4-1)
Thif lai, x = 1 thoả mãn nhương trình (*)
Kết luận: Phương trình có tập nghiệm là (1 II
$124/2—x =5x —15 (vô nghiệm vì vế trái nhỏ hon 0)
a `
ý luận: Tập nghiệm của phương trình là §] :
h khác: Đặt u= J2+x và v= v2-x x {u, v2 0), phương trình đã cho trở 3u—6y + đuy =nỄ + 4v2 (1)
1 có (3) tổ (3) © 3(u — 2v)=(u— 2v)2c> (u - 2v} = (u— 2v} ba eT Iu=3v
đu = 2v + 3, thế vào (4) ta được
— (v+3j'+vŸ=4e 5v + 12v + 5 =0 (Vô nghiệm vì v > 0),
Giải các phương trình sau:
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là (2; 3}
Từ đó La có hệ phương trình
xizi=2y [x°+l=2y x 4+1=2y
TY xh-y°+2(x-y)=0 3 a (x~y)|x +xy+y +2]=0 2 a
Giải hệ này ta được nghiệm là
Từ (1), ta suy ra x = 2 Từ (2), ta suy ra x =—3 Từ (3), suy ra x=-3
Vậy tập nghiệm của phương trình là {a 3; 4},
lk=-~2,ta có vj3x~2 =~2% (vô nghiệm vÌ x > 2)
án; Tập nghiệm của phương trình là {1; 2},
th 2: Dat t=J3x-—2 0" =3x-2 hay a =s(Ẻ +2), ta đưa phương trình
cho về nhương trình với ẩn t: 312 — 3 — (È tao]
Trang 16Cẩm nang ơn luyện thi Tất nghiệp, Cà đằng, Đại học Tấn, nự ~ Đầm The Phong
Như vậy, dấu của F'(x) trên Í-g 3) chính là dấu của (2x— 1) én Í-z: 3
'Ta cĩ bằng biến thiên
g) Gidi phuong winh J3x+1 =-4x? +13x-5 {Ù
"Thế (8) vào (2) ta được phương tinh Bly* —414y + 529-0 y¥ eS
"Thử lại ta nhận được tập nghiệm của (1) là {3]
j) Giải phương trình xỶ +-6x” ~17Ix—40(x+1)J5x=I+20=0— (1)
Như vậy, hầm số f(1) đồng biển trên khoảng (I; +}
Nhận xét rằng, nhương trình (1) được biến đổi về dạng f(x+2)=({2(5%~l ~
X+2>1
à với (*), ta cĩ
ee ban f() thì (1) được thoả mãn khi và chỉ khi
nên theo tính chất vừa nhận xét của hà?”
Điều kiện x e|[—4,4] Khi đĩ ta cĩ
Vậy min f(x)= eel a(t)=s(4)=8
max f(x)= deal g(t)= e(3)-2
Kết luận: Phương trình f(x)=m cĩ nghiệm x€ [#4]
+» min f(x)}<m< max I(x) c»t°<m<8
xe|—+:3] x [4:4] 2
Hất phương trình
Vidu 5 Gidi cde bất phương trình sau:
Cúch 1: Khi đĩ, bất phương trình ( |) tương đương với
x-Ve-14 a(x? xt) (2)
1- p(t -x+1)
Nhận xét rằng 1 f(x? x +1) <0<91<2(x? -x +1)
2x? -2x+1>0 ding với mại x
nên (2) tương đương với bất phương trình
AINHH MTV DVVH Khang Viet
lếu x > 0, chia hai vế của (3) cho Vx t được
2
nộ bi äy ra khi va chi kt fi-x=ve (4)
án thấy rằng, đấu bằng ở (2) xảy ra khi và chỉ khi Nhân thấy rằng # y ioe fed (3)
(dấu bằng thứ nhất là ä = b, dấu bằng thứ hai là điều kiện để |a + b|=a+ b)
Dễ thấy rằng (4) đúng thì (5) đúng Vậy nên
c} Ta cĩ
§+2x—x°>0 I
eo ụ) 6x—320
§=2a—x? >(6x—3)
R+2x—x” >6x—3©
(2)
()ư2?<xs<4 ()ì=1<x<2
Vậy, tấp nghiệm của bất phương trình là (E: 4]
d) Giải hất phương trình 3x” +5x+4- 3x” +5x+2 >1, (1) Đặt L=3x” +5x +4, bất phường trình trở thành
4Y, lập nghiệm của hất phương trình trên là (: + »Ì
Êu x > 2, bình phưứng hai vế phương trình ta dược
Pez 4x 4x x 4x M+ a
/
ẾU x < —5, tà viết lại (*) dudi dang
x*<-Š5nên y3—x >0 nên (3](5—x +J(x 5) >,/(6-4x)
di bất phương trình x.—> 35
xi4
1Í đĩ tì xét hai trường hợp:
Trang 17
Nếu x < 2, vế trải của bất phương trình nhận giá trị âm, cịn vế phải l sĩ
dương, Vậy bất phương trình võ nghiệm trong trường hợp này,
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là (2:5 ]Lo[25:+e)
h) Điễu kiện x <[1;3] Khi đĩ ta biến đổi bất phương trình trở thành
y(x—1) +2 +x/x—I >j-x +24v3—-x
Đặt t()=⁄ẻ+2+vt dễ đăng xác định được rằng f(t) đẳng biến trẻ:
[U+œ) Khi đĩ, bất phương trình được viết dưới dạng hàm số Ìì
f(x—1)>f(3—x) Do tính chất của f(L] nên bất nhưỡng trình tương ducing
với điểu kiện x~1>3—x c€+x>2,
Kết luận: Tân nghiêm của bất phương trình là (2:3]
INHH MTV DVVH Khang Việ†
pty +x+y=8 tỳ: nụ oon 2x+y+2=7 ()
x? —3y? +2xy—x+5y—2=0 (2) 3x + 2y =23 (2)
ax+2y- Jay =1 ae b —xÌ =7 (1)
x+l~.J/3y+l =4 (2) xiayten=-2 (2) x-y+y =4 x°4+'y” -3x+4y=l
(do x #0)
din: HE cO 2 nghiém 1a (1,-1), (-2-2)
tt u=—x+y;v=~xy ta dua hé phitong tinh da cho tré thành
Ê—~2v+u=0 Soi [payee
-=
Veu=-l —v+Uu=—l =2,v=3
N t¿-ot cõn‡ | ”” TU HT ng
f =0 x=ly=0
KH =2.y=3 tà cĩ hệ [~*‡* Ÿ ~Ỷ tệ này vơ nghiệm)
ẤL luận: Hệ phương trình cĩ các a nghiệm 1a (0;-1),(1;0)
t thấy, (x; 0) khơng là nghiệm của hệ (vì khơng theả mãn phương trình 1)
vn tá xét y >0, Khi đĩ, chía hai vế của từng phương trình cho y, ta được
HH MT¥ DVVH Khang Viet Cẩm nang ủn luyện Hhỉ Tế! nghiệp, Cao đẳng, Đi ee Tử học Tốn, PT - Đầm Thể Phù, _—.—
Suy ra ta cĩ hệ - —=l => a ete “e3
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là (1: 2), (-2; 5)
a) Gidi hệ x? +y? -xy-2(x+y)=-31 x+xy+y=ll
Đây là hệ phương trình đối xứng loại l
Đặt 0=x+y;v=xy (Điều kiện: uŸ - 4y > 0#) hệ phương trình trở thài:h
id ~3v~u=-3l r5 ~3(11~u)-2u=-3I
®
> | pei x +dy ak - vy =ủœ aie-Jy-0 [Wy =3vx Ỳ c
k=y = 0, để thấy khơng thỏa mãn hệ
i yy =3Vx suy ray = 9x và từ nhương trình thứ hai của hệ ta cĩ u+v=ll v=ll-u
© = „ thơng thod (*)) Sx =3x +105 9x7 —8x-1=0e> 1
Chú ý: Tuỳ từng bài cụ thể, chúng ta cĩ thể đặt điều kiện về ẩn mới như ¿ (*) (chẳng hạn như ở câu b, sau khi đặt ẩn mới khơng cẩn đặt điều kiên cùi
ẩn, sau khi giải m các nghiệm, thay vào hệ điều kiện ban đầu, fim a, y Kh
đĩ phương trình bậc hai tìm được cĩ thể cĩ nghiệm hậc khơng cĩ nghiều Ế tuỳ thuộc vào biệt thức A =uˆ —4v là đương hay đm)
e) Tacé x? +y? =(x+y)? -2xy;
x"ty*=(x+y)C =ay+yÈ)=(x+y)|(x=yŸ ~3y|
Thế x + y = 4 vào la được x? +y? =16~2xy; x`+y”=4(16—3xy}
y rằng (0; Y) khơng thoả mãn hệ phương trình Da đĩ, ta cĩ thể biến
Thế các hệ thức này vào (2) ta được: a
Cu nang ân luyện thí Tốt nghiệp, Cao đẳng, Đại học Toản, P.I = Đàm Thế Phony
Kết luận: hệ phương trình đã cho eĩ các cặp nghiệm là (4-2) [-33):
i) Tit phudng tinh thif hai suy ra x khác 0 Do đĩ, hệ phương trình đã cho tươn,,
xã x
=6 aly +z)=6
Dặt C=z, ta cĩ hệ e a dệt"
Bat S=y+z, suyra SỈ ed abc, Hee 438+4)=0<9 S=3
x=hy=2 y+z=3 |y=2?;r=l thỏa mãn)
: 3 - 3
ừ Ing trình (1): ?x+2y~ JXy =3—=2(x+y)= jXy +3 x+y>0
ido xy > 0 nén x >0, y > 0 Hệ phương trình tương đương với
'đã cho tướng đường với hệ
'=?)~y +x=-2 y-y?4+x=5 (y-2)(y? +y+2)=1-x (3)
Inxét: do y? +y+2>0 Vy eR nên la cĩ thể chia các trường hợp như sau:
E hợp l; Nếu y > 2 thì theo (1) phải cĩ x > 1, theo (3) phải cĩ x < 1
g hợp 2 : Nếu y < 2 thì theo (1) phải cĩ x < 1, theo (3) phải cĩ Rol
nay mâu thuẫn,
hợp 3 : Nếu y = 2 thì theo (1), (3)1a được x = I (thod man)
Lay (1) uri (2) vế theo vế ta được xy =2
Laicd (1) <9 (x—y) +(x-y)+2xy-4=0
x-y=0 x-y=-l
+ Từx= y =Ú và xy= 2 tủ được các cấp nghiệm (d2:x2),(-v2:-2) ụ
thận xét 2x” +2xy+2y2+5=x? +yể +(x+y) +5 >0,
Iy ra phương trình tương đường với x — ý = Ú, suy ra x = y hương trình thứ nhất của hệ, ta cĩ phương trình
+ Từx-y= l và xy =2 ta được các cặp nghiệm (1;2),(~2:-1) +3=5x <> 2(x? -x)+3(I-x)=0
Fe VE 2 2
Ví dụ 7 Giải các hệ phương trình : et hai ee
2y? -3y=x" —2 2y)+3=5x =0 thì hệ trở thành a : vơ nghiệm
tự t_9 x°~4xy+vw2 =1 (I alt axy +3y at yy (1) ae Khi
Trang 18
inc x=hy=—2 ey Xét k=-2, suy ra 222 ‡E=bye#' SỐ -131423<0Ó0 ta khổ
Kết luận: hệ có bốn nghiệm (1; -2), (-1; 2}, [Fe ~) (5) le Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm là (I;4), (~1:-4)
g8 Tìm mọi giả trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
yŸ=x”—~4x+mx (2) Lời giải
sử hệ có nghiệm duy nhất là (xạ; vụ) Khí đó, do hệ phương trình đã cho
phương trình đối xứng kiểu 2 nên nếu nồ có nghiệm (xy; yo) thi cing cs
m dang (yo; Xo) Suy ra, dé (xp; vo) IA nghiệm duy nhất thì điểu kiện là
Yo life 1A nghiêm có đạng (Xa; XuÌ
Cách 2: Từ (2) ta suy ra phương trình hệ quả x= * „ thể vào (1) rẻi rứ Aes? aero
đi đến kết quả bài toán Chú ý rằng, phải thử lại nghiệm trong trường hŸ
này để loại đi các nghiệm ngoại lai nếu có
Chú ý: Trong cách 1, có thể giải như sau:
25
iad sit, m re Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
; (x-y)[x? +x(y-3)+y? -3y+m]=0
1 Bg? a)
i i \ÿ ` =x -4x+mw%
IS, ye i —4tt bie i-3>0 j : y (0)
ly? —3ty? =4 yr= 6 44 y? =x? -4x+mx
=
t=-2 => x =—2 (thod man (*))
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là (~2|
Cẩm nàng ồn luyện ta Tốt nghiệp, Can đẳng, Dại hạc Toán, ĐỊ - Đầm: The Phone y TNHH MTV DVVH Khong Viet
Tim m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:
Be ng Zoe 2 2
—~>Il—0=l-—xt=Ì -—-<l-0=l
Thuyền cal oS sili 2 mer yx" +mx+2=2x+1
Giải
ách J: Yêu cầu hài toán c x” + mx + 2 = (2x + 1)” có 2 nghiệm phân hiệt
hơn hoặc bằng =2 e> 3x + (4 — m)x - ! =0 cổ 2 nghiệm phân biệt lớn
Như vậy ta được phương trình -3Ẻ + 2t=m (2) với 0<L<1 và do đồ
(1) có nghiệm «> (2) có nghiệm Lhuộc nửa đoạn [Œ; l) Cy)
Xét ham sé (a) = —3Ú + 2t= m trên nửa đoạn [0; 1), tacé Ÿ () = —6É + 2 -;
iS “hoặc bằng ——
, 2
(x) = 3X” + (4- m)x - 1 Vì ä,£ < Onén f(x) =0 ludn co 2 nghiém phân
trái dấu, Vậy yêu cầu bài tuần c> f{x) = Ö có đúng l nghiệm thoả x<0
ác Sài Vš x4 1
có hai nghiệm thực phân biệt: x4 2x-8=.jm(x—2) 2 4 2 2
Giải Phương trình tưdng đương voi: (x — 2x + 4) = a{m(x -2)
Diéu kién: x = 2 Khi đó phương trình đã cho tướng đương với
Cẩm nang ôn luyện thị Tốt nghiệp, Cao đẳng, Đựi học Tuần, P.1— Đàm Thể Phin H MT DVVH Khang Việt
2x-l=x?
Bai 7 Gii wong trinh 2,)x +2 2 +1- =
Si : aoe "thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nền
feo 2 = [Att ae=[Ix‡] @)
Phương trình 2 x+2+2jk+1—jJX+l=4 (Điều kiện: x > - I) ; x ay o> Ayla +1+ 1? “xã +l=4©2(jx+l+l)-
© gxtl=2«x+l=4ex=3
Bài 8 Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
m(yiex? =i? +2)=2y1-x" +alext-Ji-x
tổ
2) ta suy ra nếu xạ là nghiệm của phương trình thì xạ > 0 (do vế phải
ñm, và x=0 không là nghiệm của phương trình) Vậy ta xét x > Ũ
hỉ đó, vẽ trái là hàm số y = x` đẳng hiến trên khoảng (0; +); vế phải là