Một số tính chất của môđun bất biến tự đồng cấu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN BẤT BIẾN - TỰ ĐỒNG CẤU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 6/2018... TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HẰNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN BẤT BIẾN - TỰ ĐỒNG CẤU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 6/2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HẰNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN BẤT BIẾN - TỰ ĐỒNG CẤU

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 84 60 104LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Đinh Đức Tài

Nghệ An, 6/2018

MỞ ĐẦU

Năm 1969, trong [5] Dickson và Fuller đã nghiên cứu các môđunbất biến dưới các tự đồng cấu của các bao nội xạ của chúng Lớp cácmôđun này trên vành kết hợp đã được Lee và Zhou tiếp tục nghiêncứu trong [10] và lớp môđun này được gọi là lớp môđun bất biến - tựđồng cấu Do đó, môđun M được gọi là một môđun bất biến - tự đồngcấu (automorphism - invariant) nếu bất biến dưới mọi tự đồng cấu củabao nội xạ chính nó Hay nói cách khác, môđun M được gọi là mộtmôđun bất biến - tự đồng cấu nếu mọi đẳng cấu giữa hai môđun concốt yếu của M đều có thể mở rộng thành tự đồng cấu của M Nhưvậy, mọi môđun tựa nội xạ hoặc giả nội xạ đều là các môđun bất biến

- tự đồng cấu

Đối ngẫu với khái niệm môđun bất biến - tự đồng cấu đã được jeet Singh và Ashish K Srivastava đưa ra năm 2012 trong [13]: Môđun

Sur-M được gọi là bất biến tự - đồng cấu đối ngẫu (dual automorphism

- invariant) nếu với mọi K1, K2 là các môđun con bé của M thì mọitoàn cấu f : M/K1 → M/K2 với Ker(f )  M/K1 đều có thể nângthành đồng cấu f0 : M → M

Trong thời gian gần đây, lớp môđun bất biến - tự đồng cấu và lớpmôđun đối ngẫu của chúng đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâmnhư: Singh và Srivastava [14]; Surjeet Singh, Ashish K Srivastava [13];Noyan Er, Surjeet Singh, Ashish K Srivastava [11];

Trên cơ sở tài liệu tham khảo [11], chúng tôi lựa chọn đề tài "Một

số tính chất của môđun bất biến - tự đồng cấu" nhằm có thêm sự hiểubiết về các lớp môđun này và một số ứng dụng của chúng

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luậnvăn gồm 2 chương và được bố cục như sau:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Nội dung chính của chương này chủ yếu trình bày các khái niệm,các tính chất cơ bản nhằm phục vụ nội dung của Chương 2

Chương 2 Một số tính chất của môđun bất biến - tự đồng cấu

Nôi dung của chương 2 được trình bày trong 2 phần:

2.1 Môđun bất biến - tự đồng cấu

Nội dung của phần này dành để trình bày định nghĩa, ví dụ và một

số tính chất của lớp môđun bất biến - tự đồng cấu và ứng dụng.2.2 Một số kết quả đặc trưng vành qua lớp môđun bất biến - tự đồngcấu

Trong mục 2.2 chúng tôi giới thiệu một số kết quả về đặc trưngmột số lớp vành thông qua các tính chất của lớp môđun bất biến - tựđồng cấu

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của TS Đinh Đức Tài Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơntới: các Thầy giáo, Cô giáo trong Bộ môn Đại số (Viện Sư phạm Tựnhiên), Trường Đại học Vinh; Phòng Đào tạo Sau đại học; gia đình vàbạn bè đồng nghiệp về sự giúp đỡ, động viên cả về tinh thần lẫn vậtchất, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học này

Nghệ An, tháng 6 năm 2018

Tác giả

A /− B hoặc A ≤e B: A là môđun con cốt yếu của B

A  B : A là môđun con bé của B

A ∼= B : A đẳng cấu với B

A ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B

ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm)

E(M ) : Bao nội xạ của môđun M

Soc(M ) : Đế của môđun M

End(M ) :Vành các tự đồng cấu của môđun M

u-dim(M ) : Chiều Goldie của môđun M

Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh của đồng cấu f (tương ứng)

M(I) : ⊕i∈IM (tổng trực tiếp của I bản sao của M )

MR(RM ) : M là một R-môđun phải (trái)

Mn(S) : Vành các ma trận vuông cấp n với các hệ tử trên S

M od-R: Phạm trù các R-môđun phải

Rad(M ) : Căn của môđun M

J (R) : Căn Jacobson của vành R

Z(M ) : Môđun con suy biến của môđun M

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn đượchiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét làmôđun unita phải hoặc trái

Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bảncủa Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm và tínhchất này đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôichủ yếu tham khảo trong tài liệu [16]

Trên vành R, một R- môđun phải M được gọi là môđun đơn ple) nếu M 6= 0 và không có môđun con nào khác ngoại trừ 0 và chính

(sim-nó Môđun M được gọi là môđun nửa đơn (semisimple) nếu thỏa mãnmột trong các điều kiện tương đương sau:

1 Mọi môđun con của M là một tổng của các môđun con đơn

2 M là tổng của các môđun con đơn

3 M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn

4 Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa 1.1.1 Một cặp các đồng cấu M0 →f M →g M ” đượcgọi là khớp (exact) tại M nếu Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng

0 → M0 →f M →g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắn (short exactsequence).

Định nghĩa 1.1.2 Nếu f : M → N , f0 : N → M là các đồng cấuthỏa mãn f ◦ f0 = 1N thì ta nói rằng f là một toàn cấu chẻ (splitepimorphism) và f0 là một đơn cấu chẻ (split monomorphism)

Dãy khớp ngắn 0 → M0 →f M →g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắnchẻ (split exact) nếu f là đơn cấu chẻ và g là toàn cấu chẻ

Trong lý thuyết vành, một trong những lớp iđêan đặc biệt đó làlinh hóa tử Nhiều tính chất của các lớp vành cũng như các đặc trưngcủa chúng đã được nghiên cứu thông qua lớp iđêan này

Định nghĩa 1.1.3 Cho vành R và A ⊂ R là tập con khác rỗng Linhhóa tử (annihilator) phải (trái) của tập A trong R là tập hợp r(A) :={b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tương ứng, l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A}).Một cách tự nhiên chúng ta có linh hóa tử của phần tử a là trườnghợp đặc biệt khi tập A = {a} và linh hóa tử của tập A là tập hợp thỏamãn tính chất linh hóa tử cả hai phía trái và phải

Cho M là R-môđun phải Một phần tử m ∈ M được gọi là phần

tử suy biến phải của M nếu iđêan phải rR(m) /−RR Tập hợp các phần

tử suy biến của M được gọi là môđun con suy biến của M và kí hiệu

là Z(MR) Như vậy chúng ta có

Z(MR) = {m ∈ M |mI = 0, với I là iđêan phải cốt yếu của R } haynói cách khác Z(MR) = {m ∈ M |rR(m) /−RR} Chúng ta kí hiệu Zr(R)

và Zl(R) lần lượt là các iđêan phải, trái suy biến của R

Môđun M được là môđun suy biến nếu Z(M ) = M Nếu Z(M ) = 0,

ta gọi M là môđun không suy biến Chúng ta lưu ý rằng, môđun M -suybiến nếu và chỉ nếu M ∼= A/B, trong đó B là một môđun con cốt yếucủa A

Phần tử x của vành R được gọi là lũy linh (nilpotent) nếu tồn tạimột số tự nhiên m > 0 sao cho xm = 0 Khi đó số nguyên dương nhỏnhất n sao cho xn = 0 được gọi là chỉ số lũy linh của x Tập con Acủa vành R được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên n > 0 saocho với mọi dãy x1, x2, , xn ∈ A ta có x1.x2 xn = 0 Tập con A củavành R được gọi là iđêan lũy linh nếu mọi phần tử của nó là phần tửlũy linh.

Iđêan một phía A của vành R được gọi là T-lũy linh (T-nilpotent)trái (phải) nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho với mọi dãy a1, a2, , an ∈

A ta có a1.a2 an = 0 (tương ứng, an a1 = 0) Như vậy T-lũy linh làiđêan lũy linh nhưng điều ngược lại không hoàn toàn đúng

Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x Giả sử I

là một iđêan của vành R và g + I là một phần tử lũy đẳng của R/I Tanói rằng phần tử lũy đẳng này có thể nâng tới modulo I hay lũy đẳngnâng modulo I nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho g + I = e + I.Đặc biệt, nếu I là iđêan lũy linh, nghĩa là mọi phần tử của I là lũylinh (xn = 0, ∀n ∈ N ), thì mọi phần tử lũy đẳng của R/I đều là lũyđẳng nâng

Cặp các phần tử lũy đẳng e1, e2 của vành R được gọi là trực giao(orthogonal) nếu e1.e2 = e2.e1 = 0 Một phần tử lũy đẳng e ∈ R đượcgọi là lũy đẳng nguyên thủy (primitive idempotent) nếu e 6= 0 và vớimọi cặp các lũy đẳng trực giao e1, e2 thỏa mãn e = e1 + e2 thì e1 = 0hoặc e2 = 0 Một iđêan phải (trái) của vành R được gọi là iđêan nguyênthủy nếu nó có dạng eR (tương ứng, Re) với mọi lũy đẳng nguyên thủy

e ∈ R

Vành R được gọi là vành nguyên tố (prime ring) nếu R thỏa mãnmột trong các điều kiện tương đương sau:

(a) Mọi iđêan phải (trái) khác không I là iđêan trung thành, nghĩa

là r(I) = 0 (tương ứng, l(I) = 0);

(b) Với mỗi cặp các iđêan I1, I2 6= 0 ta có I1.I2 6= 0;

(c) Với mọi x, y ∈ R thỏa mãn xRy = 0 ta có x = 0 hoặc y = 0.Iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/P là vànhnguyên tố Hay nói cách khác, P nguyên tố nếu và chỉ nếu với mỗi

x, y ∈ R thỏa mãn xRy ⊆ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P Giao của tất

cả các iđêan nguyên tố của vành R được gọi là căn nguyên tố (primeradical /lower nil radical) của vành R, kí hiệu N (R) Vành R được gọi

là nửa nguyên tố (semiprime) nếu N (R) = 0

Môđun NR được gọi là sinh bởi MR (MR - sinh) nếu tồn tại toàncấu f : MR(Λ) → NR, với tập chỉ số Λ nào đó Nếu tập chỉ số Λ hữuhạn thì ta nói rằng NR là hữu hạn sinh bởi MR (hữu hạn MR - sinh).Môđun NR được gọi là hữu hạn R- sinh nếu tồn tại hữu hạn phần tử

x1, x2, , xk sao cho NR = x1R + x2R + + xkR Môđun thương của

MR cũng được gọi là môđun M - xyclic Môđun M - xyclic không đẳngcấu với M được gọi là môđun M - xyclic thực sự (proper M-xyclic).Môđun NR được gọi là Λ- sinh, Λ là tập chỉ số bất kỳ, nếu tồn tại mộttoàn cấu f : R(Λ) → NR Kí hiệu σ[M ] là phạm trù con đầy đủ củaMod-R, trong đó vật là tập tất cả các R-môđun con của các môđun

MR- sinh

Đế phải của MR, kí hiệu Soc(MR), là tổng các môđun con đơn của

MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của M Nếu MR khôngchứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR) = 0

Căn của MR, kí hiệu Rad(MR), là giao của tất cả các môđun contối đại của MR, là tổng của tất cả các môđun con bé của MR Nếu

MR không chứa môđun con tối đại nào thì ta định nghĩa Rad(MR) =

M Đặc biệt, chúng ta đã biết Rad(RR) = Rad(RR) = J (R) Do đókhông sợ nhầm lẫn, ta luôn kí hiệu J (R) để chỉ căn Jacobson của vành

R và cũng là Radical của RR Nếu MR là môđun hữu hạn sinh thìRad(MR)  MR

Một môđun con NR của MR được gọi là cốt yếu hay môđun conlớn (essential or large) trong MR, kí hiệu N /− M , nếu NR ∩ K 6= 0với mọi môđun con K 6= 0 của M Môđun con NR của MR được gọi làmôđun con bé (small or superfluous) trong MR , kí hiệu N  M , nếuvới mọi môđun K ⊆ M sao cho K + N = M thì K = M

Môđun con K được gọi là đóng trong M nếu K không có mở rộngcốt yếu thực sự trong M Nếu K là một môđun con của môđun M ,

sử dụng Bổ đề Zorn, tồn tại môđun con tối đại C của M thỏa mãn

C ∩ K = 0 Khi đó C được gọi là môđun con bù (complement) của Ktrong M Do đó, K /− M nếu và chỉ nếu 0 là bù của K

Một môđun MR 6= 0 được gọi là đều (uniform) nếu mọi môđuncon khác không của MR cốt yếu trong MR Hay nói cách khác, MR làđều nếu với mọi môđun con khác không U và V của M , ta luôn có

U ∩ V 6= 0 Chúng ta nói rằng M có chiều Goldie hữu hạn (chiều đềuhữu hạn) nếu nó không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđuncon khác không Nếu M có chiều Goldie hữu hạn thì tồn tại một sốhữu hạn bé nhất n sao cho M không chứa một tổng trực tiếp có nhiềuhơn n môđun con khác không Khi đó, số n được gọi là chiều Goldiecủa M Kí hiệu u-dim(M ) = n Môđun M có u-dim(M ) = n nếu vàchỉ nếu tồn tại một tổng trực tiếp n môđun con đều cốt yếu trong M Như vậy, chiều Goldie của mọi mở rộng cốt yếu của M đều bằng chiềuGoldie của môđun M

Môđun con N của M được gọi là bất biến đầy đủ (fully invariant)nếu f (N ) ≤ N với mọi f ∈ End(M ) Chúng ta sẽ xem xét các kháiniệm tổng quát sau: Cho N là một môđun con của M và S = End(M )

là vành tự đồng cấu của M Môđun N được gọi là môđun con π-bấtbiến đầy đủ (π-fully invariant) của M nếu với mỗi s ∈ S thỏa mãn

0 6= s(M ) ≤ N , tồn tại n > 0 sao cho Ssn(M ) ≤ N

Chúng ta dễ thấy rằng, một môđun con bất biến đầy đủ là π-bấtbiến đầy đủ Nhưng điều ngược lại không đúng trong trường hợp tổngquát, chẳng hạn như: xét vành R = Z2 Z2

x2 = x và do đó xR là môđun con π-bất biến đầy đủ của RR nhưng

nó không là môđun con bất biến đầy đủ của RR Bởi vì, xR không làiđêan của R

Môđun M được gọi là có tính chất aben nếu với mọi m ∈ M , a ∈ R

và e ∈ R là một lũy đẳng thì mae = mea Vành R được gọi là vành cótính chất aben nếu RR là môđun có tính chất aben

Chúng ta có một số tính chất liên quan:

Mệnh đề 1.2.1 Cho M là một R-môđun và S = End(M ), các điềukiện sau là tương đương:

1 S là vành có tính chất aben;

2 M là một môđun có tính chất abean như một S-môđun trái;

3 Ker(e) là một môđun con π-bất biến đầy đủ của M với mọi e2 =

e ∈ S;

4 lS(e) là một iđêan trái π-bất biến đấy đủ của S với mọi e2 = e ∈ S.Chúng ta đã biết, R là vành chính quy mạnh nếu và chỉ nếu R làvành chính quy có tính chất aben Từ Mệnh đề trên chúng ta có hệquả sau, một mối liên hệ giữa lớp vành chính quy và lớp vành chínhquy mạnh

Hệ quả 1.2.2 Cho M là một môđun và S = End(M ) Các điều kiệnsau đây là tương đương:

1 S là vành chính quy mạnh;

2 S là vành chính quy và Ker(e) là môđun con π-bất biến đầy đủcủa M với mọi e2 = e ∈ S;

3 S là vành chính quy và lS(e) là iđêan trái π-bất biến đầy đủ của

S với mọi e2 = e ∈ S

Mệnh đề 1.2.3 Cho M là một môđun tựa xạ ảnh và I ≤ L ≤ M Nếu L là môđun con π-bất biến đầy đủ của M , thì L/I là một môđuncon π-bất biến đầy đủ của M/I

Vành R được gọi là rút gọn được (reduced) nếu nó không chứa cácphần tử lũy linh khác không Chúng ta sẽ chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.4 Cho M là một môđun tựa xạ ảnh hữu hạn sinh Nếu mọimôđun con tối đại của M đều là môđun π-bất biến đầy đủ thì S/J (S)

là vành rút gọn được

Môđun M được gọi là nửa nguyên thủy (semiprimitive) nếu cănJacobson J (M ) = 0

Hệ quả 1.2.5 Cho M là một môđun tựa xạ ảnh hữu hạn sinh Nếu

M là môđun nửa nguyên thủy và mọi môđun con tối đại của M đều làπ-bất biến đầy đủ thì S là vành rút gọn được

Vành R được gọi là chính quy yếu phải (right weakly regular) nếu

I2 = I với mỗi iđêan phải I của R Hay nói cách khác, vành R đượcgọi là chính quy yếu phải nếu với mọi a ∈ R ta có a ∈ aRaR

Định lý 1.2.6 Cho M là một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh và S =End(M ) Giả sử mọi môđun con tối đại của M đều là môđun π-bấtbiến đầy đủ, khi đó các điều kiện sau tương đương:

1 S là vành chính quy mạnh;

2 S là vành chính quy yếu phải

Mệnh đề 1.2.7 Cho M là một môđun tựa xạ ảnh và I là một môđuncon bất biến đầy đủ của M Nếu mọi môđun con thương đơn của Mđều là M -gp-nội xạ thì mọi môđun con thương đơn của M/I cũng làM/I-gp-nội xạ.

CHƯƠNG 2MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN BẤT BIẾN - TỰ

ĐỒNG CẤU

Năm 1969, Dickson và Fuller [5] đã nghiên cứu lớp môđun bất biếndưới tự đồng cấu các bao nội xạ của chúng Lớp môđun này trên vànhkết hợp đã được Lee và Zhou [10] tiếp tục nghiên cứu và chúng được gọi

là lớp môđun bất biến - tự đồng cấu Môđun M được gọi là một môđunbất biến - tự đồng cấu (automorphism - invariant) nếu bất biến dướimọi tự đồng cấu của bao nội xạ chính nó Hay nói cách khác, môđun

M được gọi là một môđun bất biến - tự đồng cấu nếu mọi đẳng cấugiữa hai môđun con cốt yếu của M đều có thể mở rộng thành tự đồngcấu của M Như vậy, mọi môđun tựa nội xạ hoặc giả nội xạ đều là cácmôđun bất biến - tự đồng cấu

Dickson và Fuller cũng đã chứng minh được rằng, nếu R là một đại

số hữu hạn chiều trên trường có nhiều hơn 2 phần tử thì R là môđunbất biến phải nếu và chỉ nếu mọi R- môđun phải không phân tích đượcđều là môđun bất biến - tự đồng cấu

Tiếp theo, chúng ta nhắc lại các câu hỏi trong các bài báo của Lee

và Zhou [10], Clack và Huynh [4], Singh và Srivastava [14] lần lượt nhưsau:

(Q1): Vành R có phải là vành đơn hay không khi mọi R- môđungiả nội xạ phải là môđun tựa nội xạ phải [4]?

(Q2): Vành R có phải là vành đơn hay không khi mọi R- môđunbất biến - tự đồng cấu là môđun tựa nội xạ phải [14]?