Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học đại số lớp 9

Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh thực hiện các thao tác tư duy khi giải bài tập toán thông qua việc tìm tòi các lời giải, khai thác các ứng dụng của bài toán, tìm bài toán đặc biệt, b

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BẠCH THÚY VINH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 9

Chuyên nghành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG

NGHỆ AN - 2018

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo, TS Nguyễn Thị

Mỹ Hằng, người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Lý luận và

Phương pháp dạy học bộ môn Toán, Viện Sư phạm Tự nhiên; Phòng Đào tạo Sau Đại

Học, Trường Đại học Vinh đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận văn

Tác giả xin gửi tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp lòng biết ơn sâu sắc, những người

đã cổ vũ động viên tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

tr tr c

T c u v

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 3

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 3

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN 3

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Một số vấn đề khái quát về tư duy 5

1.1.1 Khái niệm tư duy 5

1.1.2 Đặc điểm của tư duy 5

1.1.3 Một số vấn đề cơ bản về tư duy toán học 6

1.2 Thao tác tư duy 7

1.2.1 Phân tích - Tổng hợp 8

1.2.1.1 Phân tích 8

1.2.1.2 Tổng hợp 10

1.2.1.3 Mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp 12

1.2.3 So sánh 15

1.2.4 Tương tự hóa 16

1.2.5 Trừu tượng hóa - Khái quát hóa 17

1.2.5.1 Các định nghĩa 17

1.2.5.2 Mối quan hệ giữa trừu tượng hóa và khái quát hóa 18

1.2.6 Đặc biệt hóa 20

1.2.7 Mối liên hệ giữa các thao tác tư duy 20

1.3 Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy 22

1.3.1 Kỹ năng 22

1.3.2 Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy 22

1.4 Một số đặc điểm của học sinh Trung học cơ sở 23

Theo [49], một số đặc điểm của lứa tuổi HS THCS được kết luận như sau: 23

1.4.1 Đặc điểm hoạt động học tập 23

1.4.2 Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ 23

1.4.3 Một số đặc điểm nhân cách chủ yếu 24

1.5 Điều tra thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy trong dạy học ở trường Trung học cơ sở 25

1.5.1 Khó khăn và sai lầm trong việc thực hiện thao tác phân tích, tổng hợp 25

1.5.2 Khó khăn và sai lầm trong việc thực hiện thao tác so sánh 26

1.5.3 Khó khăn và sai lầm trong việc thực hiện thao tác tương tự hóa 27

1.5.4 Khó khăn và sai lầm trong việc thực hiện thao tác trừu tượng hóa, khái quát hóa 29

1.5.5 Kết luận chung về việc thực trạng thực hiện các thao tác tư duy trong dạy học ở trường Trung học cơ sở 30

a) Đối với học sinh: 30

b) Đối với giáo viên : 31

1.6 Kết luận chương 1 32

NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY

HỌC ĐẠI SỐ LỚP 9 34

2.1 Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh phân tích nội hàm và ngoại diên của khái niệm, cũng như khả năng vận dụng các khái niệm đó vào việc giải các bài tập 34

2.2 Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh biết cách làm rõ ý nghĩa của từng yếu tố, điều kiện đã được cho trong giả thiết và tìm các khả năng vận dụng của định lý 41

2.3 Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh thực hiện các thao tác tư duy khi giải bài tập toán thông qua việc tìm tòi các lời giải, khai thác các ứng dụng của bài toán, tìm bài toán đặc biệt, bài toán tương tự và bài toán tổng quát 46

2.4 Biện pháp 4: Tập luyện cho học sinh thực hiện các thao tác tư duy thông qua việc giải các bài toán có nội dung thực tiễn 56

2.5 Kết luận chương 2 68

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 69

3.1 Mục đích thực nghiệm 69

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 69

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 69

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 72

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 83

3.3.1 Đánh giá định tính 83

3.3.2 Đánh giá định lượng 85

3.4 Kết luận chương 3 88

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các môn học ở trường THCS, môn Toán có một vai trò rất quan trọng vì toán học là công cụ, là phương tiện của nhiều môn học khác Môn Toán có khả giúp học sinh phát triển các phẩm chất và các năng lực, đặc biệt góp phần rèn luyện tư duy logic Hơn nữa toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và có vai trò quan trọng trong hầu hết các hoạt động của con người Vì vậy, nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trong trường phổ thông là một yêu cầu cần thiết

Một trong những quan điểm chủ đạo về đổi mới phương pháp dạy học ngày nay là xem quá trình học tập của học sinh là quá trình hoạt động Các kiến thức, kỹ năng, thái độ học sinh có được đều là kết quả của quá trình hoạt động của học sinh Chính sự tích cực, tự giác của học sinh trong việc tham gia các hoạt động nhận thức tạo nên hiệu quả học tập

Trong hoạt động dạy học theo phương pháp tích cực, giáo viên cần giúp học sinh có thói quen tích cực, chủ động Muốn vậy giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện ra kiến thức mới Nói cách khác, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa

Khi dạy học môn Toán cấp THCS, đặc biệt là môn Toán lớp 9, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp học nên thừa nhận một số mệnh đề không phải là tiên

đề, mô tả một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, hoặc chấp nhận một số chứng minh chưa thật sự chặt chẽ Mặc dù vậy, chương trình toán THCS nhìn chung vẫn mang tính lôgic, hệ thống nên học sinh muốn lĩnh hội được các kiến thức toán học bắt buộc phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu của chương trình Các phương pháp suy luận, chứng minh, các quy tắc, kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách ẩn tàng thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể chứa đựng chúng trong quá trình học tập bộ môn Do đó, để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinhTHCS, muốn cho học sinh học toán có hiệu quả

thì người giáo viên dạy toán phải khéo léo rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy

Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy đối với hiệu quả học tập môn toán của học sinh THCS nên trong quá trình dạy học môn Toán chúng tôi luôn để ý đến rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy

Quá trình học toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện các thao tác

tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, Chính vì vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của việc giảng dạy toán là dạy cách nghĩ, dạy tư duy GV cần làm cho HS biết ý nghĩa và tác dụng của từng loại thao tác, mối quan hệ giữa các thao tác, cách thức thực hiện, phối hợp các thao tác

Tư duy phải được phát triển trong quá trình học thông qua việc được thường xuyên được rèn luyện, bồi dưỡng Và việc làm cần thiết trước hết là rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh Rèn luyện các thao tác tư duy được quan niệm như thế nào là đầy đủ và đúng đắn, hoạt động đó phụ thuộc những điều gì, được tổ chức như thế nào là những vấn đề quan trọng cần được tìm hiểu, nghiên cứu Đây là những vấn đề thuộc lĩnh vực của phương pháp dạy học

Đã có một số công trình nghiên cứu đến các thao tác tư duy, tuy nhiên chưa

có đề tài nào nghiên cứu về việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh THCS trong dạy học Đại số lớp 9 một cách cụ thể và đầy đủ

Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài: "Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh THCS trong dạy học môn Đại số lớp 9” với mong muốn trình bày một cách có hệ thống về thao tác tư duy, nêu một số biện pháp rèn luyện các thao tác

đó, góp phần nâng cao chất lượng dạy học bộ môn Toán ở trường THCS

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích của luận văn là nghiên cứu các thao tác tư duy về mặt lý luận và thực tiễn, từ đó xây dựng các biện pháp dạy học phù hợp cho môn Đại số thuộc chương trình lớp 9 nhằm rèn luyện cho HS các thao tác này

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận văn có nhiệm vụ làm sáng tỏ các vấn đề sau:

- Quan niệm về thao tác tư duy, các loại thao tác tư duy, sự cần thiết phải chú

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xây dựng được một số biện pháp dạy học hợp lý, có cơ sở khoa học thì

có thể rèn luyện các thao tác tư duy cho HS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THCS

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận:

Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu trong nước và ngoài nước về các vấn đề có liên quan đến các thao tác tư duy và cách thức rèn luyện chúng

5.2 Điều tra, quan sát:

Nhận thức và thực trạng dạy học của giáo viên toán THCS về bồi dưỡng kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS, thực trạng về việc thực hiện các thao tác

tư duy của học sinh

5.3 Thực nghiệm sư phạm

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

- Làm sáng tỏ vai trò của các thao tác tư duy trong học tập toán

- Nêu được một số khó khăn và sai lầm của HS THCS khi đứng trước những

bài toán mà việc giải quyết đòi hỏi phải có kỹ năng về các thao tác tư duy

- Xây dựng một số biện pháp dạy học góp phần rèn luyện các thao tác tư duy cho HS ở Trường THCS thông qua việc dạy học môn Đại số ở lớp 9

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Nội dung Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số vấn đề khái quát về tư duy

1.2 Thao tác tư duy

1.3 Đặc điểm tâm lý của HS THCS

1.4 Khảo sát thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy trong dạy học ở trường THCS

1.5 Kết luận chương 1

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện các thao tác

tư duy cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THCS

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp

2.2 Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện các thao tác tư duy cho

HS trong dạy học môn Toán ở trường THCS

2.3 Kết luận chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chương

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề khái quát về tư duy

1.1.1 Khái niệm tư duy

Theo từ điển Tiếng Việt “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như: biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lí”[19]

Theo [21], tác giả Nguyễn Thị Mỹ Hằng đã viết: “Tư duy à qu trì h h thức ph h hữ thuộc tí h b chất, hữ ố ê hệ có tí h quy u t của sự

v t và h ệ tượ tro h ệ thực kh ch qua ”

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Theo [43], [44], tư duy có những đặc điểm cơ bản được trình bày như sau:

- Tính "có vấn đề" của tư duy

Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống gợi vấn đề Muốn giải quyết vấn đề mới đó, để đạt được mục đích mới đó, con người phải tìm tòi cách thức giải quyết mới, nghĩa là con người cần phải tư duy

Ví dụ 1.1: Giải phương trình  2  2 

x  x x  x   (Sau khi HS đã được học cách giải phương trình bậc hai một ẩn số)

Tình huống này gợi vấn đề với các em tại thời điểm đó vì chưa có một thuật giải nào có thể giúp các em giải được một phương trình bậc bốn một ẩn số Do đó, buộc các em phải suy nghĩ để tìm cách giải phương trình đã cho

Các em có thể phát hiện có biểu thức đồng dạng 2

2

x  x, điều này giúp các

em liên tưởng tới việc đặt ẩn phụ Và sau khi đặt ẩn phụ 2

2

tx  x thì phương trình ban đầu trở thành phương trình 2

2t   t 3 0 đã có thuật giải

- Tư duy có tính gián tiếp

Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy Con người sử dụng các kết quả nhận thức vào quá trình tư duy để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng nhờ vào ngôn ngữ Trong quá trình tư duy, con người sử dụng những công cụ, phương tiện để nhận thức đối tượng mà không thể tri giác chúng một cách trực tiếp

- Tư duy có tính trừu tượng và khái quát

Tư duy có khả năng tách khỏi sự vật, hiện tượng những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những cái chung, bản chất cho nhiều sự vật và hiện tượng Trên cơ

sở đó mà khái quát những hiện tượng , những sự vật riêng lẻ nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm

Ví dụ 1.2: Công thức tính diện tích hình thoi 1

2

S ab, trong đó a b, là độ dài các đường chéo hình thoi (diện tích hình thoi bằng một nửa tích độ dài các đường chéo hình thoi) Để có được công thức tổng quát trên, chúng ta đã gạt bỏ những chi tiết không quan trọng như hình thoi làm bằng chất liệu nào, độ dài các cạnh có mối quan hệ như thế nào, đặt trong phẳng hay trong không gian, mà chỉ

giữ lại yếu tố bản chất là độ dà c c đườ chéo hì h tho để có được công thức

mang tính khái quát trên Công thức này được sử dụng cho nhiều trường hợp tương

tự với nhiều con số khác nhau

- Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ

Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể thực hiện được Ngôn ngữ là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy và là vỏ bọc của tư duy Nếu không có tư duy thì ngôn ngữ trở nên vô nghĩa Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy

- Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức cảm tính

Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhận thức này làm chỗ dựa cho tư duy

1.1.3 Một số vấn đề cơ bản về tư duy toán học

Toán học với tư cách là một khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng đa dạng, phong phú trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng và phương pháp nghiên cứu Toán học là một đối tượng của tư duy, và như là một tất yếu, xuất hiện một loại hình tư duy, đó là tư duy toán học

Mục tiêu giáo dục phổ thông là đào tạo con người với đầy đủ các phẩm chất cao đẹp, có năng lực thực hiện các công việc có ích cho xã hội Cụ thể hóa mục tiêu này trong môn Toán là:

- Kiến tạo những tri thức cơ bản, cần thiết, tiên tiến nhất cho học sinh, đặc biệt là tri thức phương pháp như là phương tiện và kết quả của quá trình tư duy

- Rèn luyện những kỹ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học

và trong thực tiễn cho học sinh

- Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh

- Trau dồi những phẩm chất tốt đẹp cho học sinh

- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có tố chất về toán học

Để đạt được mục tiêu này, người giáo viên cần chú ý tập luyện cho học sinh các hoạt động trí tuệ phát triển các loại hình tư duy thông qua việc dạy học môn Toán

Nhiều nhà toán học đã bày tỏ ý kiến của mình về tư duy toán học Chẳng hạn, nhà toán học A Ia Khinsin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư duy toán học là:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia rành mạch các bước suy luận;

- Sử dụng chính xác các ký hiệu;

- Tính có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở (dẫn theo [22, tr 127])

1.2 Thao tác tư duy

Thao tác tư duy không hẳn đồng nhất với tư duy Quá trình tư duy là quá trình thực hiện các thao tác tư duy để đạt được mục đích đặt ra Việc rèn luyện các thao tác tư duy cuối cùng cũng nhằm vào mục đích chung là phát triển tư duy cho

HS, một trong các mục tiêu chính của quá trình dạy học Có thể liệt kê, mô tả một

số thao tác tư duy cụ thể dưới đây của các nhà khoa học:

Theo M N Sácđacôp [36], tư duy được thực hiện và phát triển trong những hình thức riêng của nó như phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối liên hệ

và quan hệ; hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa chúng

Theo G Polya [35], thao tác tư duy bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, đặc biệt hóa và khái quát hóa

Trong [43], [11], các tác giả cho rằng thao tác tư duy bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa

Nguyễn Bá Kim trong [28] không gọi là thao tác tư duy mà gọi là các hoạt động trí tuệ cơ bản, chúng bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa

Theo tác giả Hoàng Chúng [10], thao tác tư duy bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các thao tác tư duy cơ

bản sau: phân tích, tổ hợp, so s h, tư tự hóa, trừu tượ hóa, khái quát hóa

trọn vẹn các sự vật và hiện tượng" [36, tr 88]

"Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ" [28, tr 46] "Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó" [10, tr 16]

Mỗi một đối tượng, mỗi một quan hệ mà chúng ta nghiên cứu đều có những thuộc tính, trong số các thuộc tính này có những thuộc tính bản chất, thuộc tính không bản chất, thuộc tính chung, thuộc tính đặc trưng

Trong [17], nhóm tác giả cho rằng thuộc tính bản chất là thuộc tính gắn liền với một đối tượng Nếu mất thuộc tính bản chất thì đối tượng đã cho sẽ trở thành một đối tượng khác Thuộc tính bản chất là điều kiện cần thiết để phân biệt đối tượng này với đối tượng khác

Thuộc tính đặc trưng của đối tượng là thuộc tính chỉ đối tượng đó mới có Thuộc tính đặc trưng là điều kiện cần và đủ của khái niệm

Ví dụ 1.3: Phân tích khái niệm hình thoi

Nhìn hình thoi là một tứ giác từ các thuộc tính của cạnh, góc, đường chéo ta thấy:

- Nhìn từ yếu tố cạnh: Hình thoi là hình có các tính chất sau:

Đa giác lồi có 4 cạnh (tứ giác); tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau; tứ giác có các cặp cạnh đối diện bằng nhau; tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau

- Nhìn từ yếu tố góc: Hình thoi là tứ giác có các tính chất sau:

Tứ giác có các cặp góc đối diện bằng nhau

- Nhìn từ yếu tố đường chéo: Hình thoi là tứ giác có các tính chất sau:

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau

Tất cả các thuộc tính trên đều là thuộc tính bản chất của hình thoi, còn độ lớn của các cạnh, vị trí của hình, chất liệu làm nên hình, màu sắc của hình, là các thuộc tính không bản chất

Tuy nhiên, không phải thuộc tính bản chất nào cũng là thuộc tính đặc trưng của hình thoi Chẳng hạn, thuộc tính "tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau" không phải là thuộc tính đặc trưng vì không phải "tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau" nào cũng đều là hình thoi

Phân tích mối quan hệ giữa các thuộc tính chúng ta thấy các thuộc tính "tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau", "tứ giác có các cặp cạnh đối diện bằng nhau", "tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường" có thể kéo theo nhau (đó chính là các thuộc tính đặc trưng của khái niệm hình bình hành); "tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau" có thể kéo theo "tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau" và ngược lại; "tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau" cùng với "tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau "có thể kéo theo" tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; tứ giác

có hai đường chéo vuông góc với nhau " và ngược lại; (đây chính là các thuộc tính đặc trưng của khái niệm hình thoi)

Từ các quan niệm đã nêu, tuy có một vài điểm khác nhau, nhưng nhìn chung thì phân tích về thực chất là tìm cho ra cấu trúc của sự vật và hiện tượng, bao gồm những thành phần chủ yếu nào, quan hệ giữa các thành phần đó như thế nào, mỗi một thành phần như vậy với tư cách là một thành phần của cái chung lại bao gồm những gì

Phân tích là làm nhiệm vụ tách cấu trúc để nhận thức cấu tạo của các thành phần, mối quan hệ giữa các thành phần, từ đó hiểu được bản chất của đối tượng, sự vật, hiện tượng

Trên cơ sở xem xét các định nghĩa đó, có thể quan niệm về phân tích như sau:

Ph tích à qu trì h dù trí óc t ch c toà thể ra từ thà h phầ theo

c c dấu h ệu và thuộc tí h của chú hằ ục đích h ê cứu chú đầy đủ và

s u sắc h

Có thể có hai hình thức phân tích như sau:

Hình thức thứ nhất, đó là tách cái toàn thể thành các thành phần theo một dấu hiệu nào đó

Chẳng hạn như phân tích khái niệm số nguyên thành hai bộ phận: số chẵn và

số lẻ; phân tích khái niệm số nguyên thành bốn bộ phận: chia cho 4 dư 1, chia cho 4

dư 2, chia 4 dư 3 và chia hết cho 4; phân tích biệt thức  b2 4ac của tam thức bậc hai f x ax2 bxca0 thành các trường hợp 0,0 và 0, Việc tách như thế nào còn tùy vào đặc điểm, yêu cầu, mục đích của mỗi bài toán cụ thể

Hình thức phân tích thứ hai, đó là tách ra một thành phần, tập trung chú ý vào thành phần đó, thu thập các thông tin từ việc nghiên cứu thành phần vừa tách

"Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể" [10, tr 16]

"Tổng hợp là một hoạt động nhận thức, phản ánh của tư duy, biểu hiện trong việc xác lập tính chất thống nhất của các phẩm chất và thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có thể có được, trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ và các quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó, trong việc liên kết và kết hợp chúng và chính như vậy là đã thu được một sự vật và hiện tượng nguyên vẹn mới" [36, tr 97]

"Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất những thuộc tính, những thành phần đã được phân tách nhờ phân tích thành một chỉnh thể nguyên vẹn" [44,

tr 116]

Ví dụ 1.4: Từ việc phân tích các thuộc tính của hình thoi nhìn từ các góc độ

như cạnh, góc, đường chéo và mối quan hệ giữa các đối tượng đó rồi tổng hợp lại

để có định nghĩa về khái niệm hình chữ nhật dựa trên các thuộc tính đặc trưng của nó:

"Hình thoi là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau"; " hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau"; "hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau"

Mặc dù có nhiều định nghĩa khác nhau về tổng hợp nhưng đều thống nhất rằng tổng hợp là kết hợp các thành phần đã được tách nhờ phân tích thành một chỉnh thể nguyên vẹn, từ đó nhìn nhận lại để biết được các thuộc tính của đối tượng, dấu hiệu bản chất của đối tượng

Trên cơ sở xem xét các định nghĩa vừa nêu, có thể quan niệm về tổng hợp như sau:

Tổ hợp à qu trì h dù trí óc ê kết hữ thuộc tí h, hữ thà h phầ đã được t ch hờ ph tích thà h ột chỉ h thể theo ột ục đích x c đị h

hằ đe ạ ột kết qu ớ , ột sự h ểu b ết ớ ào đó về h ệ thực

Có hai hình thức tổng hợp tương ứng với hai hình thức phân tích trên như sau:

Hình thức tổng hợp thứ nhất đó là hợp nhất các đối tượng vừa phân tích, chẳng hạn như hợp nhất hai đối tượng số chẵn và số lẻ sẽ được khái niệm số nguyên

Hình thức thứ hai là gắn một thông tin vừa thu nhận được từ việc tách một thành phần ra nghiên cứu vào cái chỉnh thể nguyên vẹn

Ngoài hai hình thức tổng hợp nêu trên, có thể có một hình thức khác của tổng hợp, đó là trước tiên nhìn nhận sự vật hay hiện tượng trong sự nguyên vẹn của nó

một cách bao quát với mục đích định hướng cho sự phân tích

1.2.1.3 Mố qua hệ ữa ph tích và tổ hợp

Có nhiều luận điểm nói về mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp, chẳng hạn như: F Engels viết: " Trước hết, chúng ta thấy bức tranh tổng quát, trong đó các chi tiết còn mờ nhạt ít nhiều Nhưng dù đã nắm được toàn bộ tính chất chung của bức tranh các hiện tượng đến thế nào đi nữa, cách nhìn ấy vẫn không đủ để giải thích những chi tiết kết thành toàn bộ bức tranh ấy, và chừng nào chúng ta chưa giải thích nổi các chi tiết thì chúng ta cũng chưa thể có một quan niệm rõ rệt về bức tranh chung được" (dẫn theo [36, tr 105])

"Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động cơ bản của quá trình

tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều được diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp" [28, tr 46]

"Phân tích và tổng hợp là những thao tác trái ngược nhau, đồng thời lại liên

hệ chặt chẽ với nhau, là hai mặt của một quá trình thống nhất" [10, tr 16] "Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ qua lại mật thiết với nhau, tạo thành sự thống nhất không tách rời được: Sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp, còn

sự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích" [44, tr 116]

Trong dạy học giải bài tập toán, Hoàng Chúng cho rằng: Trước tiên, phải tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, tránh thói quen không tốt của một số học sinh là đi vào ngay các chi tiết trước khi nhìn bài toán một cách tổng quát, hiểu bài toán một cách toàn bộ Sau đó, phân tích bài toán: Cái gì chưa biết, phải tìm? Những cái gì đã cho? Mối liên hệ giữa cái chưa biết và cái đã cho là gì? Từ cái đã cho suy ra điều gì? Điều gì có thể suy ra cái chưa biết, [10]

Từ các luận điểm trên, chúng ta có thể thống nhất rằng:

- Bất kỳ hoạt động nhận thức nào và từ đó là bất kỳ hoạt động học tập nào, cũng được thực hiện thông qua các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp;

- Sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp, còn sự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của sự phân tích;

- Trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn vẹn đồng thời là tổng hợp các thành phần của nó vì phân tích một cái toàn vẹn ra từng thành phần cũng chỉ nhằm mục đích làm rõ mối liên hệ giữa các thành phần của cái toàn vẹn

ấy Phân tích cái toàn vẹn là con đường để nhận thức cái toàn vẹn sâu sắc hơn, kỹ càng hơn

- Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trái ngược nhau, không tách rời nhau của một quá trình thống nhất vì chúng cùng một mục đích là phục vụ quá trình tư duy, phục vụ việc giải quyết vấn đề

Sự thống nhất của hai thao tác phân tích và tổng hợp còn thể hiện ở chỗ: cái toàn vẹn ban đầu (tổng hợp I) định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào Kết quả của phân tích là cái toàn vẹn ban đầu được nhận thức

sâu sắc hơn, đầy đủ hơn (tổng hợp II)

Ví dụ 1.5: Hai địa điểm A và B cách nhau 152 km Bác An đi xe ô tô từ A

đến B, với vận tốc 50km/h Đi được 3h bác An xuống đi bộ với vận tốc 4km/h Hỏi bác An đi bộ trong thời gian bao lâu?

Gọi đoạn đường tổng cộng là St, đoạn đường đi xe là Sx, đoạn đường đi bộ

là Sb, thời gian đi xe là Tx , thời gian đi bộ là Tb, vận tốc đi xe là Vx , vận tốc đi

bộ là Vb Hành trình của bác An đi từ A đến B gồm 2 chặng đường: đi ô tô và đi bộ

Có thể hướng dẫn HS suy nghĩ tìm lời giải bằng phương pháp phân tích qua các câu hỏi:

1) Hãy nêu yêu cầu của bài toán? (Dự kiến câu trả lời: Tìm Tb)

2) Nêu công thức liên hệ giữa Tb với các đại lượng khác?

(Dự kiến câu trả lời: TbSb Vb/ )

3) Hãy nêu các thông tin và các công thức liên hệ của các đại lượng trong công thức vừa nêu với các đại lượng khác trong đề bài?

(Dự kiến câu trả lời: Sb St Sx152Sx; Vb4km h/ )

4) Nêu cách tìm Sx? (Dự kiến câu trả lời: SxVx Tx 50.3 150( km) )

5) Hãy viết lời giải bài toán

Sơ đồ lời giải bằng phương pháp phân tích như sau:

(Dự kiến câu trả lời: SxVx Tx  50.3 150(  km))

2) Hãy liên hệ Sx với Sb và St, từ đó tìm Sb?

(Dự kiến câu trả lời: Sb St Sx 152 150   2(km))

3) Hãy liên hệ Vb với Sb và Tb, từ đó tìmTb?

(Dự kiến câu trả lời: VbSb Tb/ 2 / 40,5(km h/ ))

4) Hãy viết lời giải bài toán

Sơ đồ lời giải bằng phương pháp tổng hợp như sau:

Có thể biểu diễn các phương pháp phân tích và tổng hợp trên một sơ đồ như sau :

Có nhiều định nghĩa về so sánh của các nhà khoa học, chẳng hạn như:

"So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau của các sự vật và hiện tượng của hiện thực" [36,tr 110]

"So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau,

sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức" [44, tr 116]

"So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính giữa chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có gì giống nhau và khác nhau" [10, tr 21]

Ví dụ 1.6: So sánh các tính chất của hàm số yx và hàm số y x để thấy những điểm giống nhau và khác nhau của hai hàm số này:

Điểm giống nhau: Tập xác định R; tập giá trị R; đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ; mọi điểm nằm trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ; là hàm số lẻ trên tập xác định

Điểm khác nhau: Tính biến thiên (hàm số yx đồng biến trên tập xác định; hàm số y x nghịch biến trên tập xác định) Mỗi điểm thuộc đồ thị hàm số yx

có hoành độ và tung độ cùng dấu; Mỗi điểm thuộc đồ thị hàm số y x có hoành

độ và tung độ trái dấu

Nhờ có so sánh mà người ta có thể nghiên cứu được những dấu hiệu giống nhau và khác nhau bên ngoài và có thể trực tiếp quan sát được các sự vật, hiện tượng Đồng thời, các dấu hiệu và quan hệ bên trong mà không quan sát trực tiếp được, chỉ thể hiện trong hoạt động tư duy của HS cũng được nghiên cứu

Mặt khác, nhờ so sánh mà người ta còn tìm thấy cả những dấu hiệu không bản chất của chúng “Chỉ có so sánh các đối tượng và hiện tượng với nhau, con người mới có thể định hướng đúng đắn trong thế giới xung quanh, phản ứng như nhau đối với những cái giống nhau trong đối tượng và hành động khác nhau dựa vào sự khác biệt trong đối tượng” [43, tr 227]

Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh so sánh các sự vật, hiện tượng theo nhiều góc độ khác nhau Chính sự so sánh các sự vật và hiện tượng theo nhiều góc

độ khác nhau sẽ giúp cho quá trình khái quát hóa hay dự đoán bằng tương tự một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn, có cơ sở hơn

Từ các định nghĩa và các luận điểm vừa nêu, có thể thống nhất với quan niệm rằng:

So s h à x c đị h sự ố hau và kh c hau ữa c c sự v t và h ệ tượ tro tất c c c ố qua hệ có thể có hằ ột ục đích h thức ào đó

Bằng cách so sánh mà HS đã nghiên cứu, tìm hiểu được các sự vật và hiện tượng với các dấu hiệu giống nhau và khác nhau, chung và riêng của chúng Nhờ so sánh, HS đã hình thành được những hình tượng phong phú, đa dạng, trong sáng, trực quan về những điều đã học Từ đó làm tăng thêm tính tích cực, chủ động, tự giác và làm cho việc ghi nhớ lại các tài liệu đã học cũng như củng cố trí nhớ cho HS tốt hơn, đầy đủ hơn

1.2.4 Tương tự hóa

Trong [21], tác giả Nguyễn Thị Mỹ Hằng đã viết: Tư tự hóa à qu trì h

dù trí óc để kết u về sự ố hau của c c đố tượ ở ột số dấu h ệu, thuộc

tí h kh c từ sự ố hau của c c đố tượ ở ột số dấu h ệu, thuộc tí h ào đó

hằ ục đích tạo ra ột kết qu ớ , vượt qua ột trở ạ

Theo G Polya [35, tr 19]: "Sự khác nhau căn bản giữa tương tự và những loại giống nhau khác là ở ý định của người đang suy nghĩ Những đối tượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó Nếu bạn có ý định quy mối quan hệ trong đó các đối tượng phù hợp với nhau về những khái niệm đã định thì bạn sẽ xem những đối tượng giống nhau ấy như là những đối tượng tương tự Và nếu bạn đạt tới những khái niệm rõ ràng, thì tức là bạn làm sáng tỏ sự tương tự"

"Tư tự là chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng

khác của cùng một cái tổng quát" [27, tr 9]

Nói về vai trò của tương tự, Kepler cho rằng: "Tôi vô cùng biết ơn các phép tương tự, những người thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tương tự đã giúp tôi khám phá ra các bí mật của tự nhiên, đã giúp tôi vượt qua mọi trở ngại" (dẫn theo [17, tr.148])

Hoạt động 1: GV yêu cầu HS thực hiện bài tập a bằng cách tùy chọn

Hoạt động 2: GV yêu cầu HS không thực hiện phép tính hãy trả lời nhanh bài tập b, đây chính là rèn luyện thao tác tương tự hóa Từ đó yêu cầu HS phát biểu được một quy tắc tổng quát để đổi một phân số có mẫu là lũy thừa của 10 thành số thập phân, đây chính là rèn luyện thao tác khái quát hóa

Hoạt động 3: GV yêu cầu HS không thực hiện phép tính hãy trả lời nhanh bài tập c), thao tác này giúp HS củng cố quy tắc tổng quát vừa tìm được ở các góc độ khác nhau, từ đó giúp HS thấy được lợi ích của thao tác tương tự hóa, thao tác khái quát hóa

và thấy hứng thú với môn học

1.2.5 Trừu tượng hóa - Khái quát hóa

1.2.5.1 C c đị h hĩa

Tác giả Nguyễn Thị Mỹ Hằng đã viết: "Trừu tượ hóa là quá trình dùng trí

óc tách những đặc điểm bản chất ra khỏi đối tượng, đưa những đặc điểm đó vào quá

trình tư duy nhằm giải quyết vấn đề Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc chuyển

một tập đối tượng vào một tập đối tượng lớn hơn chứa tập ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm bản chất của các phần tử trong tập hợp ban đầu" [21]

G Polya cho rằng: "Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp

đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu" [35, tr 18]

Đào Văn Trung đã cho rằng "Từ trong những sự vật khác nhau, tìm ra những tính chất chung của chúng và quy kết lại, phương pháp tư duy này gọi là sự khái quát" [42, tr 169]

"Trừu tượ ho là quá trình dùng trí óc gạt bỏ những mặt, những thuộc

tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố cần

thiết cho tư duy Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tượng

khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ chung nhất định" [44, tr 117]

Theo Hoàng Chúng: "Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung trong

các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng Muốn khái quát hóa, thường phải so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau" [10, tr 23]

"Khi khái quát hóa, chúng ta tách ra cái chung trong các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú ý tới những cái riêng này Chẳng hạn, khi xem xét hình dáng của các vật, ta gạt qua một bên kích thước, màu sắc, chất liệu, công dụng, … của các vật đó Đó là trừu tượng hóa" [10, tr 27]

"Trừu tượ hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập

hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập xuất phát" [28, tr 46]

1.2.5.2 Mố qua hệ ữa trừu tượ hóa và kh qu t hóa

"Khái quát hóa có mối quan hệ mật thiết với trừu tượng hóa Trừu tượng hóa

là sự nêu bật và tách những đặc điểm không bản chất ra khỏi các đặc điểm bản chất Trừu tượng hóa là điều kiện ắt có nhưng chưa đủ để khái quát hóa" [27, tr 10]

"Sự trừu tượng hóa là một thành phần không thể tách được của quá trình khái quát hóa" [37, tr 5] "Trừu tượng hóa và khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với nhau

Nhờ trừu tượng hóa, ta có thể khái quát hóa rộng hơn và nhận thức sự vật sâu hơn Không có khái quát hóa và trừu tượng hóa thì không thể có khái niệm và tri thức lý thuyết được" [10, tr 27]

Trong quá trình tìm hiểu các sự vật và hiện tượng riêng lẻ thì lúc đầu ta trừu xuất các tính chất và các mối liên hệ bản chất khỏi các dấu hiệu và các mối liên hệ không bản chất Sau đó, nhờ khái quát hóa các tính chất và các mối liên hệ bản chất

đó ta thu được các kiến thức có tính tổng quát dưới dạng các khái niệm, các định lý, quy tắc, công thức,

Như vậy, mọi kiến thức tổng quát có tính chất lý luận dưới dạng các khái niệm, các định lý, quy tắc mà HS đã chiếm lĩnh được trong quá trình học tập đã đạt được qua quá trình trừu tượng hóa, khái quát hóa

Theo Nguyễn Bá Kim, có hai dạng khái quát hóa thường gặp trong môn Toán được biểu diễn bằng sơ đồ sau [27, tr 5]:

Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái riêng lẻ

đến cái tổng quát Khái quát hóa từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hóa đến cái tổng

quát đã biết

Khái quát hóa đến cái tổng quát

chưa biết

 

2 2

Trong [21], tác giả Nguyễn Thị Mỹ Hằng đã viết: "Đặc b ệt hóa là quá trình

dù trí óc chuyể từ v ệc h ê cứu ột t p hợp đố tượ đã cho sa v ệc

h ê cứu ột t p hỏ h chứa tro t p hợp đã cho hằ ục đích k ể

h ệ ạ tí h đú đắ của kh qu t hóa, quyết ột vấ đề"

Trong [17, tr 147], các tác giả cho rằng “Nếu bằng đặc biệt hóa ta tìm được một mệnh đề đúng thì càng thêm tin tưởng vào giả thuyết là đúng, còn nếu qua đặc biệt hóa

ta nhận được mệnh đề sai thì ta có thể hoàn toàn bác bỏ dự đoán”

“Đặc b ệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho

sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” [35, tr 19]

“Đặc b ệt hóa là chuyển từ khái niệm có ngoại diên rộng sang khái niệm có

ngoại diên hẹp (còn gọi là giới hạn khái niệm)” [22, tr 73]

Ví dụ 1.8: Đặc biệt hóa mệnh đề "Tích của một số chẵn những thừa số âm

luôn là một số dương" theo nhiều cách như sau:

- Lấy số thừa số bằng 2 chúng ta có mệnh đề: "Tích của hai số âm luôn là một số dương" Tiếp tục quá trình, lấy hai thừa số bằng nhau chúng ta có mệnh đề:

"Bình phương của một số âm luôn là một số dương"

- Lấy các thừa số bằng nhau chúng ta lại có mệnh đề: "Lũy thừa bậc chẵn của một số âm luôn là một số dương" Tiếp tục lấy số mũ bằng 2 chúng ta tiếp tục có mệnh đề sau: "Bình phương của một số âm luôn là một số dương"

1.2.7 Mối liên hệ giữa các thao tác tư duy

Theo [27], Nguyễn Bá Kim cho rằng: "Phân tích - tổng hợp là bản chất của hoạt động tư duy nói chung, của khái quát hóa và những hoạt động trí tuệ có liên quan nói riêng Khái quát hóa và những hoạt động trí tuệ có liên quan chỉ là những dạng xuất

hiện của phân tích và tổng hợp Vì vậy, khi tập luyện cho HS khái quát hóa và các hoạt động trí tuệ có liên quan, cần có ý thức rèn luyện cho họ khả năng phân tích và tổng hợp, coi đó là cơ sở để thực hiện các hoạt động trí tuệ"

Cũng trong [27], ông cho rằng tương tự hóa là "tiền thân" của khái quát hóa, là biểu hiện ban đầu của khái quát hóa: "Phép tương tự có thể xem là tiền thân của khái quát hóa, bởi vì việc chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát là một bước để đi tới một trường hợp riêng bất kỳ của cái tổng quát đó"

Trong [36], tác giả cho rằng phân tích và tổng hợp được coi như các hình thức cơ bản của hoạt động tư duy, là các yếu tố tạo nên tất cả các hình thức khác của tư duy Tư duy dù ở dưới hình thức nào đi nữa cũng không thể thực hiện được nếu như không có các thao tác phân tích và tổng hợp

Chẳng hạn, việc nghiên cứu phân tích các sự vật và hiện tượng thường thực hiện được là nhờ có so sánh, điều đó cho phép tìm ra các dấu hiệu, các thuộc tính bản chất và không bản chất, các mối liên hệ của một nhóm sự vật hoặc hiện tượng nào đó

Các dấu hiệu và các mối liên hệ bản chất được trừu xuất bằng con đường phân tích sẽ được trừu tượng hóa, còn sự tổng hợp và khái quát chúng sẽ dẫn đến các kiến thức có tính lý luận và tổng quát

Ví dụ 1.9: Cho bài toán: Giải phương trình x   3 x 5 2

Bạn hãy tìm bài toán tổng quát của bài toán đã cho

Nếu chúng ta nhìn vế trái của phương trình là tổng của hai biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối, mỗi biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là một hàm số bậc nhất, vế phải của phương trình là một hằng số nào đó thì có thể khái quát thành bài toán tổng quát hơn như sau: Giải phương trình mx   n px   q r, m p  0

Nhưng, nếu chúng ta nhìn vế trái của phương trình là tổng của nhiều biểu thức giá trị tuyệt đối, mỗi biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là những hàm bậc nhất và vế phải là hằng số thì ta có bài toán tổng quát hơn nữa như sau:

Giải phương trình m x1  k1  m x2  k2   m xn  kn  p, với điều kiện tồn tại ít nhất hai số m ki, j sao cho m ki. j  0

Phân tích mối liên hệ giữa các con số 3,5 và 2 trong phương trình đã cho ta thấy 5 3 2 nên có thể giải phương trình bằng cách sử dụng các bất đẳng thức về trị tuyệt đối nhằm đánh giá vế trái của phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng vế phải

Vì vậy nếu chúng ta nhìn vế trái của phương trình là tổng của hai biểu thức có chứa trị tuyệt đối dạng x  m1   x m2 , vế phải của phương trình là m1  m2 thì ta có bài toán tổng quát hơn như sau:

1.3.2 Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy

Từ việc nghiên cứu về hành động tư duy, thao tác tư duy, quy trình thực hiện các thao tác đó và quan niệm về kỹ năng nói trên, chúng tôi quan niệm về kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy như sau:

Kỹ thực h ệ c c thao t c tư duy à b ết thực h ệ ở c c ức độ kh c nhau c c thao t c đó hướ tớ ột ục đích đặt ra tro hữ đ ều k ệ thực t ễ cho phép

1.4 Một số đặc điểm của học sinh Trung học cơ sở

Theo [49], một số đặc điểm của lứa tuổi HS THCS được kết luận như sau:

1.4.1 Đặc điểm hoạt động học tập

Động cơ học tập của học sinh THCS rất phong phú đa dạng, nhưng chưa bền

vững, nhiều khi còn thể hiện sự mâu thuẫn của nó

Thái độ đối với học tập của học sinh THCS cũng rất khác nhau Tất cả các

em đều ý thức được tầm quan trọng và sự cần thiết của học tập, nhưng thái độ sự biểu hiện rất khác nhau, được thể hiện như sau:

- Trong thái độ học tập: từ thái độ rất tích cực, có trách nhiệm, đến thái độ lười biếng, thiếu trách nhiệm trong học tập

- Trong sự hiểu biết chung: Một số em có mức độ phát triển cao và sự ham hiểu biết nhiều lĩnh vực tri thức khác nhau còn một số em thì mức độ phát triển rất yếu, tầm hiểu biết nhiều hạn chế

- Trong phương thức lĩnh hội tài liệu học tập: Một số em có kỹ năng học tập độc lập, có nhiều cách học còn một số em thì hoàn toàn chưa có kỹ năng học tập độc lập, thường học thuộc lòng từng bài, từng câu, từng chữ

- Trong hứng thú học tập: Một số em có hứng thú biểu hiện rõ rệt đối với một lĩnh vực tri thức nào đó và có những việc làm có nội dung còn một số em thì hoàn toàn không có hứng thú nhận thức, cảm thấy việc học hoàn toàn do gò ép, bắt buộc

Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra, để giúp các em có thái độ đúng đắn với việc học tập thì phải:

- Tài liệu học tập phải súc tích về nội dung khoa học

- Tài liệu học tập phải gần gũi với cuộc sống của các em để các em dễ dàng hiểu rõ ý nghĩa của tài liệu học

- Tài liệu phải có sức thu hút, gây cho học sinh hứng thú học tập

- Trình bày tài liệu phải tạo động cơ cho học sinh có nhu cầu tìm hiểu tài liệu đó

- Phải giúp đỡ các em biết cách học, có phương pháp học tập phù hợp

1.4.2 Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ

Ở lứa tuổi học sinh THCS trí nhớ thay đổi về chất Học sinh THCS có nhiều tiến bộ trong việc ghi nhớ tài liệu trừu tượng Các em bắt đầu biết sử dụng

những phương pháp đặc biệt để ghi nhớ và nhớ lại Khi ghi nhớ các em đã biết tiến hành các thao tác như so sánh, hệ thống hoá, khái quát hóa, đặc biệt hóa Tốc độ ghi nhớ cao hơn và khối lượng tài liệu được ghi nhớ cũng tăng lên Ghi nhớ máy móc ngày càng nhường chỗ cho ghi nhớ logic, ghi nhớ ý nghĩa Hiệu quả của trí nhớ trở nên tốt hơn, các em không muốn thuộc lòng mà muốn tái hiện bằng lời nói của

mình Vì thế giáo viên cần phải:

+ Dạy cho học sinh cách ghi nhớ logic

+ Cần giải thích cho các em hiểu sự cần thiết của ghi nhớ chính xác, không được thiếu hoặc sai một từ nào khi ghi nhớ các định nghĩa, các định lí, các quy tắc

+ Rèn luyện cho các em có kỹ năng diễn đạt chính xác nội dung bài học theo cách riêng của mình

+ Khi tổ chức cho HS thực hiện quá trình ghi nhớ, giáo viên cần làm rõ cho học sinh biết là hiệu quả của ghi nhớ chỉ đo bằng sự nhận dạng, mà còn bằng sự tái hiện

Sự phát triển chú ý của học sinh THCS diễn ra rất phức tạp, vừa có chú ý chủ định bền vững, vừa có sự chú ý không bền vững Ở lứa tuổi này, sự chú ý của

HS phụ thuộc rất nhiều vào đối tượng học tập Vì vậy có những giờ học thì các em không tập trung chú ý, nhưng có những giờ học khác thì các em lại làm việc rất nghiêm túc, tập trung chú ý cao độ

1.4.3 Một số đặc điểm nhân cách chủ yếu

Học sinh THCS bắt đầu xuất hiện sự quan tâm đến bản thân, đến những phẩm chất nhân cách của mình, các em có biểu hiện nhu cầu tự đánh giá, nhu cầu so sánh mình với người khác Các em bắt đầu tự xem xét mình, có mong muốn một nhân cách tương lai cho mình, muốn hiểu biết mặt mạnh, mặt yếu trong nhân cách của mình

Sự tự ý thức ở lứa tuổi này được bắt đầu từ sự nhận thức hành vi của mình,

từ những hành vi riêng lẻ, đến toàn bộ hành vi và cuối cùng là nhận thức về những phẩm chất đạo đức, tính cách và khả năng của mình

Đặc điểm quan trọng về tự ý thức của lứa tuổi này là mâu thuẫn giữa nhu cầu tìm hiểu bản thân với kỹ năng chưa đầy đủ để phân tích đúng đắn sự biểu lộ của nhân cách

Ý nghĩa quyết định để phát triển tự ý thức ở lứa tuổi học sinh THCS là cuộc sống tập thể của các em, nơi mà nhiều mối quan hệ giá trị đúng đắn, mối quan hệ này sẽ hình thành ở các em lòng tự tin và sự tự đánh giá của mình

Như vậy trên cơ sở phát triển tự ý thức và thái độ nhận thức thực tế, trên cơ

sở yêu cầu ngày càng cao đối với chúng, vị trí mới mẻ của các em trong tập thể, đã làm nẩy sinh khát vọng tự tu dưỡng nhằm mục đích phát triển cho bản than những nét tính cách tốt, khắc phục những nét tính cách lạc hậu, những khuyết điểm, sai lầm của mình

1.5 Điều tra thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy trong dạy học ở trường Trung học cơ sở

1.5.1 Khó khăn và sai lầm trong việc thực hiện thao tác phân tích, tổng hợp

Có nhiều em không biết nên tiến hành phân tích một khái niệm, một định lý, một bài tập bắt đầu từ đâu Có em đã biến đổi giả thiết của định lý dẫn đến một điều không chính xác và vận dụng điều đó để suy luận thành kết luận của định lý Một số

em không hiểu được các ý, thấy khó khăn trong việc xây dựng các bước lập luận để chứng minh định lý, không thấy được mối quan hệ giữa các định lý, khái niệm

Một số em hiểu định lý chưa cặn kẽ nên vận dụng định lý trong giải bài tập chưa thật sự chặt chẽ Khi phân chia bài toán thành các trường hợp riêng để giải, nhiều em lại không biết tổng hợp để cho đáp số cuối cùng của bài toán,

Ví dụ 1.10: Với bài toán, giải phương trình 2x 1 3x2 (1), nhiều HS đã giải như sau:

Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là 2 (2)

Nhiều học sinh không hiểu bản chất của dấu Giá trị tuyệt đối nên giải như sau : (1)  2x  1 3x    2 x 3

Ví dụ 1.11: Tìm giá trị của tham số m để phương trình 2

3

m b

x x

m a

không có giá trị của m thỏa mãn đề bài"

Tuy nhiên, do GV phân tích không sâu sắc nên dẫn tới tình trạng là HS

(1) phải có 2 nghiệm rồi mới ứng dụng định lý Viet

Kết quả đó dẫn tới các sai lầm trong lời giải toán

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là x 0

Mặc dù đáp số của bài toán trên là đúng nhưng lập luận chưa chính xác Phép bình phương hai vế là chỉ là phép biến đổi hệ quả

1.5.2 Khó khăn và sai lầm trong việc thực hiện thao tác so sánh

Cũng vì lý do chính là HS đã không cẩn thận khi phân tích nên dẫn tới tình trạng là không tìm được hoặc tìm sai dấu hiệu bản chất, xác định không đúng cái giống nhau của sự vật, hiện tượng

Lý do khác nữa là do nhiều em không biết được mục đích của việc so sánh hoặc cách thức so sánh nên liệt kê một cách không có hệ thống các dấu hiệu của các đối tượng được so sánh mà không rút ra được một kết luận nào có ích cho sự việc vừa thực hiện

Ví dụ 1.13: Tìm sự giống nhau của hai hằng đẳng thức :

HS không hiểu bản chất vấn đề ở đây là a b   a ( b) hoặc a b   a ( b)

nên hai hằng đẳng thức thực chất là một (hằng đẳng thức này được suy ra từ hằng đẳng thức kia bằng cách thay b bởi b )

1.5.3 Khó khăn và sai lầm trong việc thực hiện thao tác tương tự hóa

Trong học tập, các em học sinh sử dụng thao tác tương tự hóa nhưng không phải em nào cũng biết tương tự hóa chỉ mang tính dự đoán, các kết quả của tương tự hóa đều phải chứng minh mới khẳng định được tính đúng đắn của nó

Chẳng hạn như việc chuyển các phép biến đổi của các phương trình sang phép biến đổi của các bất phương trình; chuyển từ việc giải bài tập này sang giải bài tập kia có cùng dạng, cùng cấu trúc; , không phải tất cả các thao tác chuyển đó đều chính xác Tuy nhiên, có nhiều em đã công nhận tự động các kết quả tương tự đó

   

   

        để giải bất phương trình trên

Nhưng lời giải của HS trên sai lầm vì với x  4; 3 thì 2

x  x  và khi nhân hai vế của   với biểu thức này ta phải đổi dấu bất phương trình của  

Từ dạy học chủ đề phương trình sang dạy học chủ đề bất phương trình có nhiều nét tương tự, nhưng không phải sự suy luận tương tự nào cũng chính xác Chẳng hạn, các em có thể công nhận những phép biến đổi như sau là đúng:

+) ( ) ( ) 0 ;

( ) ( )( )

0

( ) 0( )

0)()

()

x g x f

x g x

g x

Ví dụ trên cho thấy rằng nếu GV chưa phân tích kỹ từng yếu tố, từng phép biến đổi và các em HS chưa có ý thức trong việc tìm hiểu các dụng ý của lời hướng dẫn giải bài toán, thì có thể rất ít HS làm được các bài toán tương tự với bài toán đã giải

1.5.4 Khó khăn và sai lầm trong việc thực hiện thao tác trừu tượng hóa, khái quát hóa

Để khái quát hóa tốt, điều quan trọng là phải biết tìm ra thuộc tính bản chất của từng đối tượng riêng lẻ Một trong những biểu hiện sai lầm của các em HS là không tìm được dấu hiệu bản chất, nhầm lẫn giữa dấu hiệu chung và dấu hiệu bản chất (tức trừu tượng hoá sai); các em không dự đoán được một số trường hợp suy biến của bài toán tổng quát,

Tuy nhiên khái quát hóa đó không đúng (số 27 không là số nguyên tố)

Nguyên nhân sai lầm ở đây là do cái chung (tận cùng bằng 7) không phải là dấu hiệu bản chất để các số 7, 17, 37 là số nguyên tố nên đã khái quát hóa sai

Ví dụ 1.17: Giải bài toán:

1) Hình lục giác lồi có bao nhiêu cạnh và đường chéo?

2) Trước một cuộc họp, 6 người bắt tay nhau, mỗi người bắt tay tất cả những người khác và không đôi nào bắt tay nhau lần thứ 2 Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?

Có thể HS sẽ không khó khăn khi giải bài 1) nhưng lại lúng túng trước bài

số 2) Các em đã không thấy rằng nếu cho mỗi người đứng ở mỗi đỉnh của lục giác lồi và khi hai người bắt tay nhau thì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau bằng một đoạn thẳng , đoạn thẳng đó hoặc là cạnh của lục giác hoặc là đường chéo của lục giác

Ví dụ 1.18: Từ các bài toán:

Tuy nhiên, việc khái quát hóa đó không đúng (khi tử bằng 0 hoặc phân số là

số âm) Nguyên nhân sai lầm ở đây là do các em HS chưa biết phân chia thành trường hợp riêng

1.5.5 Kết luận chung về việc thực trạng thực hiện các thao tác tư duy trong dạy học ở trường Trung học cơ sở

a) Đố vớ h c s h:

Qua thực tiễn dạy học, chúng tôi thấy có không ít HS nắm không vững các thuộc tính của khái niệm, không biết thuộc tính nào là thuộc tính bản chất, thuộc tính nào là thuộc tính đặc trưng HS không biết thuộc tính đặc trưng là thuộc tính như thế nào Một số HS không biết phân chia một khái niệm thành các thành phần riêng rẽ HS không nắm được mối liên hệ giữa các khái niệm, không biết xác định một khái niệm trong một hệ thống các khái niệm Nhiều HS còn lúng túng khi vận dụng khái niệm vào giải bài tập HS không hiểu nguồn gốc ra đời của một số khái niệm, không biết các ứng dụng thực tiễn của khái niệm

Khi học định lý, có một số HS không nắm vững cấu trúc lôgic của định lý, không biết cách khai thác giả thiết của định lý hướng tới mục đích xác định gì Hs không tìm hiểu các phương pháp chứng minh một định lý, không biết và không có nhu cầu khái quát hóa hay đặc biệt hóa một định lý Một số em Hs cũng không có nhu cầu và không khai thác được các ứng dụng định lý

Tương tự như vậy, đối với việc giải bài tập, việc phân tích cái đã cho và cái phải tìm nhiều em còn chưa nắm vững Chẳng hạn, với bài toán giải và biện luận của phương trình theo tham số, Hs lại chuyển thành bài toán đi tìm tham số Bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm lại chuyển về tìm nghiệm

x Đối với các bài toán cần phải phân chia thành các trường hợp riêng lẻ, các em

không biết dựa vào đâu lại có thể phân chia được như vậy Điều này dẫn đến phân

chia các trường hợp không đầy đủ, không độc lập, lúc thừa, lúc thiếu Có những HS tưởng đã biết cách phân chia song lại không biết sử dụng thao tác tổng hợp nhằm kết hợp các trường hợp lại để cho kết quả cuối cùng của bài toán

Đa số HS khi giải các bài tập trong sách giáo khoa cứ làm theo hướng dẫn

mà không đặt vấn đề suy nghĩ xem tại sao bài toán này lại được giải như vậy Điều

đó dẫn tới tình trạng là các em đã không giải được các bài toán có cấu trúc tương tự,

và sẽ dẫn tới khó khăn trong việc giải quyết các vấn đề trong thực tiễn Chúng ta có thể kết luận như sau:

- Nhiều HS gặp khó khăn và dẫn tới sai lầm trong khi giải các bài tập thuộc môn Đại số ở lớp 9

- Nhiều HS thực hiện thao tác phân tích chưa thành thạo, chưa đầy đủ Một

số HS không biết thực hiện thao tác tổng hợp để đưa ra kết luận cuối cùng về vấn đề đang nghiên cứu, tìm hiểu Nhiều HS chưa nhận thức được đầy đủ về mục đích của việc so sánh Đa số HS thấy việc khái quát hóa là phải tìm ra một bài toán tổng quát mới, là khó khăn, chỉ dành cho đối tượng các em HS khá, HS giỏi

- Có thể nói nguyên nhân chính của việc HS gặp khó khăn và sai lầm trong khi thực hiện các thao tác tư duy là do HS chưa nhận thức đầy đủ về vai trò, ý nghĩa mục đích và đặc biệt là cách thức tiến hành các thao tác đó

b) Đố vớ giáo viên :

- Một số GV ngại việc dạy khái niệm một cách cẩn thận vì cho rằng mất quá nhiều thời gian và không quan trọng nên chỉ phát biểu sơ qua Do đó dẫn tới HS không nắm được bản chất của khái niệm, nội hàm của khái niệm

- Một số GV cũng ít sử dụng các phương tiện dạy học hỗ trợ cho việc kết nối, hệ thống hóa các khái niệm, các định lý, các chủ đề với nhau nên HS không thấy được mối quan hệ giữa các chủ đề, sự thống nhất của môn học

- Hầu hết các GV đã có ý thức trong việc bồi dưỡng thao tác tư duy cho HS, tuy nhiên GV vẫn chưa nhận thức đầy đủ về tầm quan trọng, mục đích và ý nghĩa của các thao tác này Đặc biệt, GV chưa có một cách thức dạy học phù hợp nhằm rèn luyện cho HS các thao tác đó

- Đối với thao tác khái quát hóa, đa số GV chỉ hiểu theo nghĩa là tìm bài toán tổng quát mới, và họ xem đó là một việc làm khó khăn, chỉ có thể dành cho đối tượng các em HS khá và giỏi

- Nhiều giáo viên khi ra bài tập làm thêm cho HS lại phụ thuộc quá nhiều vào tài liệu tham khảo mà không biết vận dụng các thao tác tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa để tạo các bài toán mới đa dạng, phù hợp

1.6 Kết luận chương 1

Mục đích của chương 1 là tìm hiểu về cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh THCS trong dạy học môn Đại số ở lớp 9

Các kết quả đạt được của luận văn được tóm tắt như sau:

- Hệ thống hóa các quan điểm của một số tác giả ngoài nước và trong nước

về các thao tác tư duy Có nhiều định nghĩa về các loại thao tác tư duy, nhưng xét

cơ bản là có sự thống nhất với nhau Luận văn tập trung vào việc tìm hiểu, nghiên cứu các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa

- Luận văn đã chỉ ra thực trạng của việc thực hiện các thao tác tư duy của giáo viên và HS ở trường THCS thông qua các cách thức sau:

Dự một số tiết dạy môn Đại số ở lớp 9 thuộc các trường THCS; Phân tích các kết quả nhận được một số bài kiểm tra; Trò chuyện, phỏng vấn một số giáo viên Toán THCS trên địa bàn tỉnh Nghệ An, có đối chiếu với kinh nghiệm của cá nhân qua việc trực tiếp giảng dạy của mình ở trường THCS

Kết quả khảo sát cho thấy HS còn gặp nhiều khó khăn và sai lầm trong khi thực hiện các thao tác tư duy Nguyên nhân có thể do họ chưa nhận thức đầy đủ về vai trò, mục đích, ý nghĩa của các thao tác Đặc biệt, họ chưa được rèn luyện và chưa có cách thức thực hiện các thao tác tư duy đó

GV đã có ý thức trong việc bồi dưỡng, rèn luyện các thao tác tư duy cho HS, nhưng họ vẫn chưa nhận thức đầy đủ về tầm quan trọng, mục đích, ý nghĩa của mỗi thao tác, và họ chưa có một cách thức dạy học phù hợp

Đa số GV đều cho rằng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS là có thể và cần thiết

Việc nghiên cứu, tìm hiểu những cơ sở lý luận và thực tiễn của việc thực hiện các thao tác là cơ sở quan trọng trong việc đƣa ra các biện pháp sƣ phạm thích hợp nhằm rèn luyện, bồi dƣỡng cho HS có các thao tác này

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH

TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 9

2.1 Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh phân tích nội hàm và ngoại diên của khái niệm, cũng như khả năng vận dụng các khái niệm đó vào việc giải các bài tập

Trong [28, tr 338], tác giả cho rằng "Khái niệm là một hình thức tư duy

phản ánh một lớp đối tượng Một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện, thứ nhất là bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, thứ hai là toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm đó"

"Khi ta định nghĩa một khái niệm thì nội hàm và ngoại diên của nó được xác định Ngoại diên của khái niệm sẽ còn sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái niệm Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc nắm vững những khái niệm Toán học cũng như những khái niệm thuộc bất kỳ một môn học nào"[25,

tr 189]

Trong [28, tr 357], tác giả cho rằng "Tập luyện cho học sinh phân chia khái

niệm là tạo tiền đề cần thiết để biện luận trong những bài toán quỹ tích, dựng hình

và giải nhiều bài toán khác dựa trên sự phân chia trường hợp"

Trong [21] tác giả Nguyễn Thị Mỹ Hằng cũng đã viết: "Phân tích nội hàm sẽ làm sáng tỏ hơn vai trò của các thuộc tính của khái niệm, phân chia khái niệm sẽ giúp

HS hiểu cụ thể hơn về ngoại diên của khái niệm, qua đó, HS sẽ biết được khả năng vận dụng khái niệm vào giải quyết các vấn đề toán học"

Mục đích của biện pháp 1 nhằm giúp cho HS phát triển kỹ năng phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, so sánh Từ đó, HS hiểu rõ hơn về khái niệm, vận dụng được khái niệm vào giải các bài tập

Có thể thực hiện biện pháp 1 theo các bước như sau:

- Xác định các thuộc tính của khái niệm Xác định thuộc tính nào là thuộc tính bản chất, thuộc tính nào là thuộc tính đặc trưng của khái niệm

- Đưa ra các ví dụ thỏa mãn định nghĩa khái niệm, đồng thời đưa ra các phản

ví dụ, tức là các đối tượng không thỏa mãn định nghĩa khái niệm

- Phân chia khái niệm thành các thành phần theo từng dấu hiệu, thuộc tính của nó

- Nghiên cứu, tìm hiểu các tính chất của các thành phần vừa tách Xác định mối liên hệ giữa khái niệm đó với các khái niệm khác mà HS đã biết

- Kết hợp các mối liên hệ thành một khái niệm hoàn chỉnh, đầy đủ các tính chất của nó vừa tìm hiểu, nghiên cứu

Sau đây, chúng tôi phân tích một số ví dụ thuộc môn Đại số ở lớp 9 nhằm minh họa cho biện pháp 1:

Ví dụ 2.1 : Phân tích khái niệm căn bậc hai số học

" Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 " [3, tr 4]

- Xác định các thuộc tính bản chất của khái niệm căn bậc hai số học:

Thứ nhất, để tồn tại căn bậc hai số học của a trước hết a phải là một số không âm, kí hiệu là a, còn gọi là phép khai phương Số âm không có căn bậc hai

số học

Thứ hai, x được gọi là căn bậc hai số học của số không âm a thì x là một căn bậc hai của a, vì vậy 2

x a Thứ ba, x được gọi là căn bậc hai số học của số dương a thì x 0; x được gọi là căn bậc hai số học của 0 thì x 0; x được gọi là căn bậc hai số học của số không âm a thì x 0

Hội của các thuộc tính trên chính là thuộc tính đặc trưng của căn bậc hai số học