TÓM TẮT TOÁN B2
Chương 3
LÝ THUYẾT CHUỖI
1 Khái niệm về chuỗi
Tổng riêng phần thứ n n n
k 1
S
=
= ∑ak Bản chất chuỗi n
n 1
a
+∞
=
∑
n
nlim S s
n
n lim S
n
n lim S
→+∞ không có Phân kỳ
n 1
aq
+∞
−
=
∑
Chuỗi hình học n 1
n 1
aq (a, q : Const, a 0)
+∞
−
=
≠
∑
Dấu hiệu
Bản chất chuỗi n 1
n 1
aq
+∞
−
=
∑
|q| < 1 Hội tụ và có tổng s = a
1 q −
|q|≥ 1 Phân kỳ
Trang 23 Chuỗi
n 1
1 n
+∞
α
=
n 1
( 1) n
+∞
α
=
−
∑
Chuỗi Dấu hiệu Bản chất
α > 1 Hội tụ
n 1
1
n
+∞
α
=
α > 0 Hội tụ
n
n 1
( 1)
n
+∞
α
=
−
n 1
a
+∞
=
α
∑
Chuỗi n
n 1
a
+∞
=
α
∑
Dấu hiệu
Bản chất chuỗi n
n 1
a
+∞
=
α
∑
α = 0 Hội tụ và có tổng s = 0
α ≠ 0 Cùng bản chất với
n
n 1
a
+∞
=
∑
Trang 35 Chuỗi n n
n 1
(a b )
+∞
=
+
∑
Chuỗi n n
n 1
(a b )
+∞
=
+
∑
n
n 1
a
+∞
=
n 1
b
+∞
=
n 1
(a b )
+∞
=
+
∑
Hội tụ Hội tụ Hội tụ
Hội tụ Phân kỳ Phân kỳ
Phân kỳ Hội tụ Phân kỳ
Phân kỳ Phân kỳ Chưa biết
(nhưng chắc chắn phân kỳ nếu các chuỗi đều dương)
6 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ
Chuỗi n
n 1
a
+∞
=
∑
Dấu hiệu
Bản chất chuỗi n
n 1
a
+∞
=
∑
n
n lim a 0
→+∞ ≠ hay nlim a n 0
→+∞ ≠ Phân kỳ
n
nlim a 0
Trang 47 Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi dương
Chuỗi dương n
n 1
a (1)
+∞
=
∑ và n
n 1
b (2)
+∞
=
∑
Dấu hiệu Bản chất
a n ∼ b n (1) và (2) có cùng bản chất
a n ≤ b n (2) hội tụ ⇒ (1) hội tụ
(1) phân kỳ ⇒ (2) phân kỳ
n
a
b
→+∞ = (2) hội tụ ⇒ (1) hội tụ
(1) phân kỳ ⇒ (2) phân kỳ
n
a
lim
b
→+∞ = +∞ (1) hội tụ ⇒ (2) hội tụ
(2) phân kỳ ⇒ (1) phân kỳ
8 Tiêu chuẩn Căn thức Cauchy
Tiêu chuẩn Căn thức Cauchy cho chuỗi n
n 1
a
+∞
=
∑
Tính nlim |a |n n
Dấu hiệu
Bản chất chuỗi n
n 1
a
+∞
=
∑
λ < 1 Hội tụ (tuyệt đối)
λ > 1 Phân kỳ
Trang 59 Tiêu chuẩn Tỉ số D’Alembert
Tiêu chuẩn Tỉ số D’Alembert cho chuỗi n
n 1
a
+∞
=
∑
Tính n n 1
n
a lim
a+
Dấu hiệu Bản chất chuỗi
n
n 1
a
+∞
=
∑
λ < 1 Hội tụ (tuyệt đối)
λ > 1 Phân kỳ
λ = 1 Chưa biết
Chú ý: Ta thường sử dụng tiêu chuẩn này khi trong a n có chứa giai thừa
10 Tiêu chuẩn Tích phân Cauchy
Chuỗi dương n
n 1 n 1
+∞ +∞
=
f(x) không âm, liên tục, giảm trên [1,+∞)
1
f (x)dx
+∞
n 1
a
+∞
=
∑
Hội tụ Hội tụ
Phân kỳ Phân kỳ
Trang 6Chuỗi
n 1
1 n
+∞
α
=
∑
Dấu hiệu Bản chất chuỗi
n 1
1 n
+∞
α
=
∑
α > 1 Hội tụ
α ≤ 1 Phân kỳ
Chuỗi
n 1
P(n) Q(n)
+∞
=
∑
P(n), Q(n) là các đa thức theo n Dấu hiệu
Bản chất chuỗi
n 1
P(n) Q(n)
+∞
=
∑
Bậc Q − Bậc P > 1 Hội tụ
Bậc Q − Bậc P ≤ 1 Phân kỳ
11 Chuỗi đan dấu và Tiêu chuẩn Leibniz
Chuỗi n n
n 1
( 1) a
+∞
=
−
∑
Dãy {a n } không âm và giảm Dấu hiệu Bản chất chuỗi n
n
n 1
( 1) a
+∞
=
−
∑
Trang 7Chuỗi
n
n 1
( 1) n
+∞
α
=
−
∑
Dấu hiệu
Bản chất chuỗi
n
n 1
( 1) n
+∞
α
=
−
∑
α > 0 Hội tụ
α ≤ 0 Phân kỳ
Chuỗi n
n 1
P(n) ( 1)
Q(n)
+∞
=
−
∑
P(n), Q(n) là các đa thức theo n Dấu hiệu Bản chất chuỗi n
n 1
P(n) ( 1)
Q(n)
+∞
=
−
∑
Bậc Q – Bậc P > 0 Hội tụ
Bậc Q – Bậc P ≤ 0 Phân kỳ
12 Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
Chuỗi n
n 1
|a |
+∞
=
n 1
a
+∞
=
∑ Thuật ngữ dành cho
chuỗi n
n 1
a
+∞
=
∑
Hội tụ Hội tụ Hội tụ tuyệt đối
Hội tụ Bán hội tụ hoặc
hội tụ có điều kiện Phân kỳ
Phân kỳ Phân kỳ
Trang 8Chuỗi
n
n 1
( 1) n
+∞
α
=
−
∑
Dấu hiệu
Bản chất chuỗi
n
n 1
( 1) n
+∞
α
=
−
∑
α > 1 Hội tụ tuyệt đối
0 < α ≤ 1 Bán hội tụ
α ≤ 0 Phân kỳ
Chuỗi n
n 1
P(n) ( 1)
Q(n)
+∞
=
−
∑
P(n), Q(n) là các đa thức theo n Dấu hiệu Bản chất chuỗi n
n 1
P(n) ( 1)
Q(n)
+∞
=
−
∑
Bậc Q – Bậc P > 1 Hội tụ tuyệt đối
0 < Bậc Q – Bậc P ≤ 1 Bán hội tụ
Bậc Q – Bậc P ≤ 0 Phân kỳ
13 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
Bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa n
n 0
n 0
u (x x )
+∞
=
−
∑
Bán kính hội tụ R = 1/L
Trang 914 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa n 0 n
n 0
u (x x )
+∞
=
−
∑
Tìm bán kính hội tụ R
R = 0 D = {x 0 }
R = +∞ D = \
Khoảng hội tụ (x 0 − R, x 0 + R)
0 < R < +∞
(x 0 − R, x 0 + R) ⊆ D ⊆ [x 0 − R, x 0 + R]
Khảo sát chuỗi tại x = x 0 − R và x = x 0 + R để xác định D