LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN

• Phần I : Xác suất Câu 1. (2 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng của nó. Phân phối nhị thức. Phân phối chuẩn. Câu 2.(3 điểm) Hãy cho 10 bài tập cho các nội dung ở câu 1, có tính toán và giải chi tiết. • Phần II : Thống Kê Câu 3. (2 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau. Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình. So sánh 2 giá trị trung bình. Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ. Câu 4. (3 điểm) Hãy cho 10 bài tập cho các nội dung ở câu 3, có tính toán và giải chi tiết.  

 Phần I : Xác suất

Câu 1 (2 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau.

- Biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng của nó.

- Phân phối nhị thức

- Phân phối chuẩn

Câu 2.(3 điểm) Hãy cho 10 bài tập cho các nội dung ở câu 1, có tính toán và giải

chi tiết

 Phần II : Thống Kê

Câu 3 (2 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau.

- Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình.

- So sánh 2 giá trị trung bình.

- Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ.

Câu 4 (3 điểm) Hãy cho 10 bài tập cho các nội dung ở câu 3, có tính toán và giải

chi tiết

MỤC LỤC

PHẦN I 5

Câu 1 5

1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc và đặc trưng của nó 5

1.2 Phân phối nhị thức 7

1.3 Phân phối chuẩn 7

Câu 2 9

PHẦN II 19

Câu 3 19

3.1 Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình 19

3.2 So sánh 2 giá trị trung bình 20

3.3 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ 21

Câu 4 22

BÀI LÀM

 Phần I : Xác suất

Câu 1 (2 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau

1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc và đặc trưng của nó:

1.1.1 Khái niệm

Hàm số X xác định trên không gian mẫu của một phép thử thì được gọi là biến ngẫunhiên nếu mọi số thực x thì (X ≤ x) sẽ là một biến cố của phép thử

Lúc này, ta cũng gọi (X ≤ x) là một biến cố ngẫu nhiên X

Tóm lại, khi nói cho một biến cố ngẫu nhiên ta có thể hiểu nó là hàm gắn với mộtkhông gian mẫu của một phép thử nào đó Biến ngẫu nhiên sẽ thường được kí hiệu bằngcác chữ cái như X, Y, Z,…

Gọi X ( Ω ) là tập giá trị của biến ngẫu nhiên X Lúc này, căn cứ vào tập X(Ω) người

ta chia biến ngẫu nhiên X thành 2 loại là: Biến ngẫu nhiên liên tục và biến ngẫu nhiên rờirạc rời rạc

 Biến ngẫu nhiên rời rạc nếu X(Ω) là hữu hạn: X(Ω) = {x1, x2, … , x n} hay là vô hạnđếm được: X(Ω) = {x1, x2, … , x n …}

1.1.2 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất ( còn được gọi là phân bố hay hàm tập trung xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là X(Ω) và Pi = P(X = xi ) với xi ϵ X(Ω) thỏa mãn được các tínhchất sau:

1) Pi ≥ 0 với xiϵ X(Ω),

x i ∈ X (Ω)

p i = 1,Với X(Ω) = {x1, x2, … , x n} hoặc X(Ω) = {x1, x2, … , x n …}

Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc:

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1,x2, ,xn} Kỳ vọng của X, kíhiệu là E(X), là một số được tính theo công thức

Ý nghĩa: E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ trung bình của X Vì thế kỳ vọngE(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X Kỳ vọng của X không nhất thiết thuộc tậpgiá trị của X.

Phương sai:

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1,x2, ,xn}

Phương sai của X, kí hiệu là V(X), là một số được tính theo công thức:

1.2.1 khái niệm, định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là phân phối nhị thức với tham số n, p, kí hiệu X

B (n,p), nếu tập giá trị của nó X(Ω) = {0,1,2 , … n} và

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2 (σ > 0, kí hiệu

X N (μ , σ2)nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

Đặt U = X−μ σ thì U có phân phối chuẩn: U~ N(0,1).

Ta có công thức tính xác suất cho X~ N(μ,σ2) như sau:

Từ đó lập được bảng phân phối xác suất X là:

P{−3 ≤ X< 0}=0(Vì là biến cố không thể)

P{X ≥0,1}=P{X=1}+P{X =2}=2

3

2.2 Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp gồm có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại

B để trưng bày Có một khách hàng mua ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong các sản phẩm cònlại Tìm phân phối xác suất của X – số sản phẩm loại A mà khách mua được

Bài làm

Ta có tập giá trị của X : X(Ω) = {0,1}

Gọi A = “sản phẩm lấy trưng bày là loại A”

A và A là nhóm đầy đủ của P(A) = 8/10, P(A¿= 2/10

Xác suất mà khách hàng mua được sản phẩm loại B sau khi lấy 1 sản phẩm loại A đểtrưng bày:

Áp dụng công thức đầy đủ ta được:

2.3 Cho năng suất của hai máy tương ứng là các biến ngẫu nhiên X,Y (đơn vị: sản

phẩm/ phút) ta có bảng phân phối xác suất sau:

EY > EX : năng suất trung bình của Y cao hơn X.

V(Y) < V(X) : năng suất của Y ổn định hơn X

Vậy nên chọn mua Y

2.4 Một doanh nghiệp cần mua một loại trục máy có đường kính từ 1,18cm đến

1,22cm Có hai nhà máy bán trục máy này và đường kính của các loại trục máy được sảnxuất ra là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với các loại số đặc trưng cho trong bảng:

Đường kính trung bình (cm)

Độ lệch chuẩn

Giá bán

Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào?

Bài làmGọi Xi là đường kính trục máy do nhà máy i sản xuất với i=1,2

Tỉ lệ trục máy của nhà máy sản xuất ra đúng với yêu cầu của doanh nghiệp là:

2.5 Một công ty bán 3 loại hàng là A,B,C với giá bán tương ứng là 21,2 ; 21,35 ; 21,5

(USD) trên mỗi đơn vị sản phẩm Gọi X1,X2,X3 tương ứng là số hàng hóa A,B,C bán

trong 1 tuần và là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình µ1 = 1000, µ2=500,

µ3=300 và độ lệch chuẩn lần lượt là 100,80,50

Tính xác suất doanh thu Y của công ty trong 1 tuần vượt 45000USD

Bài làmGọi số doanh thu là Y

Ta có Y= 21,2X1+21,35X2+21,5X3

Với E(Y)=21,2 µ1+21,35 µ2+21,5 µ3=21,2.1000+21,35.500+21,5.300=38325

Với V(Y)= 21,22σ12+21,352σ22+21,52σ32=8567289

P{Y >45000}=0,5−φ(45000−38325√8567289 )=0,5−φ (2,28 )=0,0513

2.6 Thời gian X được tính bằng phút của một khách hàng được chờ để phục vụ món

ăn là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình 4,5 và phương sai 1,21

a) Tính xác suất khách hàng phải chờ để được phục vụ từ 3,5 đến 6 phút ; không quá3,5 phút và không quá 6 phút

b) Thời gian phải chờ tối thiểu là bao nhiêu, nếu tỉ lệ khách hàng phải chờ phục vụvượt quá thời gian đó không quá 5%?

1,1 ≥1,65 x0≥ 6,315.

Vậy x0= 6,315 phút

2.7 Lợi nhuận X thu được khi đầu tư số tiền là 500 triệu đồng vào một dự án có bảng

phân phối xác suất như sau:

a) Tính xác suất để đầu tư không bị lỗ

b) Đầu tư trên có hiệu quả không? Vì sao?

Bài làma) Đầu tư không lỗ suy ra X≥ 0

P=P ( X =0)+P ( X =10)+P ( X=20 )+P ( X =30)=0,2+0,2+0,25+0,1=0,75

b) E(X) = (−30) 0,1+(−15) 0,15+0.0,2+10.0,2+20.0,25+30.0,1=4,75

Vì E(X) > 0 dự án trên đầu tư có lãi, có hiệu quả

2.8 Một cơ sở sản xuất các bao kẹo Số kẹo trong mỗi bao là một biến ngẫu nhiên có

phân phối xác suất như sau:

a) Tìm trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao

b) Chi phí sản xuất của mỗi bao kẹo là 3X + 16, trong đó X là biến ngẫunhiên chỉ số kẹo trong bao Tiền bán mỗi bao kẹo là 100$ Không phân biệt số kẹotrong bao Tìm lợi nhuận trung bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗi baokẹo

Bài làm.

a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số kẹo trong bao

E( X)=18.0,14+19.0,24+ 20.0,32+21.0,21+22.0,09=19,87

E(X2)=182.0,14+192.0,24+202.0,32+212.0,21+222.0,09= 396,17

Phương sai D ( X )=E(X2)−E ( X )2=396,17−19,872=1,3531

b) Gọi Y là biến ngẫu nhiên lợi nhuận cho mỗi bao kẹo

Ta có: Y=100 –(3X+16)= 84 – (3X)

Lợi nhuận trung bình là

E (Y )=E (84−3 X )=84−3 E ( X )=84−3.19,87=24,39

Độ lệch chuẩn là : σ (Y )=√D (Y )=√D (84−3 X )=3√D (X )=3,49

2.9 Số lượng xe ô tô mà một đại lý bán được trong một tuần là một BNN có phân

phối xác suất như sau:

a) Xác suất đại lý bán được nhiều nhất 3 xe trong một tuần

b) Kỳ vọng và phương sai đại lý bán được trong 1 năm

c) Nếu chi phí cho hoạt động của đại lý bằng căn bậc hai số xe bán được với 5triệu đồng Tính chi phí hoạt động trung bình của đại lý trong vòng một tuần

Bài làm

Ta có X là số xe bán được trong một tuần

a) Xác suất để bán được nhiều nhất 3 xe trong tuần

P ( X ≤3 )=P ( X=0 )+P ( X=1)+P ( X=2 )+P ( X =3)=0,1+0,1+0,2+0,2=0,6

b) Kỳ vọng : E ( X )=0.0,1+1.0,1+2.0,2+3.0,2+4.0,3+5.0,1=2,8

Phương sai: (X )=E(X2)−E ( X )2=10−2,82=2,16

c) Đặt Y là chi phí trong 1 tuần ta có: Y =√X+5

Chi phí hoạt động trung bình E (Y )=E(√X)+5

E(√X)=1.0,1+√2 0,2+√3.0,2+√4 0,3+√5 0,1=¿1,55

→ E (Y )=6,55

2.10 Từ kết quả phân tích các số liệu thống kê trong tháng về doanh số bán hàng (D)

và chi phí cho quảng cáo (Q) (đơn vị triệu đồng) của một công ty, thu được bảng phânphối xác suất đồng thời như sau:

a) Tính giá trị trung bình và phương sai của doanh số bán hàng

b) Tính giá trị trung bình và phương sai của chi phí cho quảng cáo

c) Nếu chỉ chi phí cho quảng cáo 1.5 triệu đồng thì doanh số trung bình là baonhiêu?

d) Nếu muốn doanh số là 300 triệu đồng thì trung bình phải chi phí cho quảngcáo bao nhiêu?

Bài làma) Ta lập được bảng phân phối sau:

Giá trị trung bình và phương sai của doanh số bán hàng là:

Ta lập được bảng phân phối xác suất của X với điều kiện (Y= yj) là:

Câu 3 (2 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau.

3.1 Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình

Để kiểm định một giả thuyết , ta lập giả thuyết H0: μ0 là một số đã biết và một trong các đối thuyết của H1 theo yêu cầu đề bài

X~ N(μ, σ2) với μ chưa biết Kiểm định giả thiết về tham số μ

Tìm giá trị của tiêu chuẩn kiểm định từ số liệu mẫu:

U =X−μ0

σ √n (trường hợp đã biết phương sai)

T = X−μ0

s √n (trường hợp chưa biết phương sai)

Giả thuyết Miền bác bỏ khi biết phương

2 là giá trị tới hạn chuẩn mức α , α

2 , được tra ở bảng LaplaceVới t(α n−1)

Tìm giá trị của tiêu chuẩn kiểm định từ số liệu mẫu:

- Trường hợp đã biết phương sai:

Giả thuyết Miền bác bỏ trường hợp đã

biết phương sai (1.1)

Miền bác bỏ trường hợpchưa biết phương sai (1.2)

H0: μ1=μ2

H1: μ1<μ2 W α={U ;U <−u α} W α={U ;U <−u α}

H0: μ1=μ2

H : μ >μ W α={U ;U >u α} W α={U ;U >u α}

2 là giá trị tới hạn chuẩn mức α , α

2 , được tra ở bảng Laplace

Khi chưa biết phương sai nhưng biết σ1

Khi phương sai chưa biết và có thể khác nhau ( với n1, n2 < 30)

Giá trị tới hạn Student với bậc tự do k =[ (s1

2

n1+

s22

n2)2(s1

3.3 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ

X~ A(p) với p chưa biết Kiểm định giả thiết về tham số p

Ta lập giả thuyết H0: p= p0 là một số đã biết và một trong các đối thuyết H1 theo yêu cầu đề bài

Tìm giá trị của tiêu chuẩn kiểm định từ số liệu mẫu:

2 là giá trị tới hạn chuẩn mức α , α

2 , được tra ở bảng Laplace

Câu 4 (3 điểm) Hãy cho 10 bài tập cho các nội dung ở câu 3, có tính toán và giải chi tiết.

4.1 Một công ty tuyên bố rằng 40% người tiêu dùng ưa thích sản phẩm công ty sản

xuất ra Để kiểm nghiệm tuyên bố đó, người ta điều tra 400 người tiêu dùng sản phẩm đócho thấy rằng 120 người trong số đó ưa thích sản phẩm của công ty Với mức ý nghĩa là5%, hãy xem tỉ lệ trong tuyên bố của công ty có cao hơn thực tế hay không?

Bài làmGọi p là tỉ lệ người tiêu dùng ưa thích sản phẩm của công ty (p là tỉ lệ thực tế)

Với giả thuyết :

Miền bác bỏ: W α={U ;U <−u α}={U=−4,082;U ←1,65}

Vì Uqs rơi vào miền bác bỏ nên ta Bác bỏ H0 , chấp nhận H1

Tỉ lệ tuyên bố của công ty là cao hơn so với thực tế

4.2 Giám đốc một hãng sản xuất giày da muốn xác định xem có sự khác biệt về năng

suất giữa ca ngày và ca tối không Ông điều tra 100 công nhân của ca ngàysản xuất đượctrung bình 74,3 (phần/1 giờ/người) với độ lệch chuẩn 16 và 100 công nhân ca tối sản xuấtđược trung bình 69,7 với độ lệch chuẩn là 18 Với mức ý nghĩa 5% hãy xem có sự khácbiệt năng suất giữa hai ca hay không?

Bài làmGọi μ1, μ2 tương ứng là năng suất trung bình của mỗi công nhân làm việc ca sáng, catối

Vì U nằm ngoài miền bác bỏ nên ta chấp nhận giả thuyết H0

Với mức ý nghĩa 5%, không có sự khác biệt về năng suất trung bình giữa hai ca

4.3 Để khảo sát giá bán của hai cửa hiệu thực phẩm lớn A và B, người ta điều tra

ngẫu nhiên giá bán của 12 mặt hàng thông dụng nhất như sau:

Mặt hàng Cửa hiệu A Cửa hiệu B Mặt hàng Cửa hiệu A Cửa hiệu B

6 0,65 0,79 12 1,79 1,99Với mức ý nghĩa là 2% hãy xem có sự khác nhau về giá bán ở hai cửa hiệu hay không?

Bài làm

Mặthàng Xi

Mặthàng Xi

Ta có |T|<t(11)0,01 Hay nói H0 nằm ngoài miền bác bỏ, ta chấp nhận H0

Giá bán trung bình của hai cửa hiệu là như nhau

4.4 Tiền lương hàng tuần trung bình của 30 công nhận ở xí nghiệp A là 180 nghìn

đồng với độ lệch chuẩn là 14 nghìn đồng.Ở xí nghiệp B, tiền lương trung bình hàng tuầncủa 40 công nhân là 170 nghìn đồng với độ lệch chuẩn 10 nghìn đồng Tiền lương trungbình mỗi tuần của hai xí nghiệp trên có khác nhau không khi với mức ý nghĩa là 5%?Cho biết là tiền lương mỗi tuần của hai xí nghiệp là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn cócùng phương sai

Bài làmGọi X,Y là số tiền công nhân ở hai xí nghiệp A,B nhận được mỗi tuần

Ta thấy U thuộc vào miền bác bỏ Nên ta bác bỏ H0, chấp nhận H1

Hay nói các khác là tiền lương hai xí nghiệp khác nhau

4.5 Khối lượng một loại sản phẩm do nhà máy sản xuất là biến ngẫu nhiên phân phối

chuẩn N (500,8,52

) Sau một khoảng thời gian hoạt động, chủ nhà máy nghi ngờ rằng khốilượng sản phẩm có xu hướng giảm, nên tiến hành cân thử 25 sản phẩm và thu được kếtquả:

Khối lượng (g) 48 48 49 49 50 51

0 5 0 5 0 0

Số sản phẩm(n)

Có thể nói là khối lượng sản phẩm đang giảm đi

4.6 Một nông trại chăn nuôi gà đem cân ngẫu nhiên 15 con gà và thu được như sau:

415

4 3,75

3,8

3,9

4,02

3,6

3,8

3,2

3,82

3,4

3,75

4 3,5

Biết khối lượng gà là biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với phương sai0,04

a) Khối lượng gà trung bình năm ngoái là 3,3kg/con Năm nay người ta thay thựcphẩm mới để cho gà ăn Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về loại thức ăn mới.b) Có nên báo cáo là khối lượng gà trung bình năm nay là 3,7kg/con hay không?

Bài làma) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng gà khi xuất chuồng

Vì H0 nằm trong miền bác bỏ Nên ta chấp nhận H1

Khối lượng gà năm nay cao hơn năm trước, thức ăn có tác dụng với gà

Vì H0 nằm ngoài miền bác bỏ nên ta chấp nhận H0

Báo cáo trên là đúng

4.7 Trọng lượng của một hộp sản phẩm đóng gói bằng máy theo quy định là 6kg Sau

một thời gian sản xuất, người ta tiến hành kiểm tra 121 hộp sản phẩm tính được trọnglượng trung bình là 5,975kg và phương sai mẫu là 5,7596

a) Với mức ý nghĩa là 5% hãy cho kết luận về sự hoạt động của máy đóng gói trên

b) Giả sử giá trị đúng của μ=6,2 , tìm xác suất sai lầm loại II và lực lượng của kiểmđịnh

Bài làma) H0: máy hoạt động bình thường và H1: máy hoạt động không bình thường

Vì -0,1146 nằm ngoài miền bác bỏ nên chấp nhận H0

Máy vẫn hoạt động bình thường

4.8 Những người nộp hồ sơ xin hoàn thuế liên bang cho tới trước ngày 31 tháng 3

nhận được khoản hoàn thuế trung bình là 1056USD Xét tổng thể gồm những người nộp

hồ sơ cuối cùng trong vòng năm ngày cuối kỳ hoàn thuế (thường là từ ngày 10 tháng 4đến 15 tháng 4)

a) Một nhà nghiên cứu cho rằng những người nộp hồ sơ trong năm ngày cuốitrung bình nhận được khoản hoàn thuế thấp hơn so những người nộp hồ sơ sớm.Phát triển giả thuyết hợp lý sao cho khi bác bỏ H0 sẽ ủng hộ cho lập luận nhànghiên cứu

b) Với mẫu gồm 400 người nộp hồ sơ hoàn thuế từ ngày 10 tháng 4 đến 15tháng 4, khoản tiền trung bình là 910USD Dựa trên kinh nghiệm trước đây, có thểgiả định độ lệch chuẩn tổng thể là σ =1600 USD Với mức ý nghĩa là 5%, ta kếtluận được gì? Thực hiện lại quy trình kiểm định theo phương pháp giá trị tới hạn

Bài làma) Ta có H0 sẽ là giả thuyết những người nộp hồ sơ trong những ngày cuối sẽnhận được khoản hoàn thuế cao hoặc bằng 1560USD Và H1 là giả thuyết của nhànghiên cứu

Miền bác bỏ: W α={U=−1,83 ;U <−u α=−1,65}

Ta thấy U nằm trong miền bác bỏ, nên ra bác bỏ H0

Khoản hoàn thuế của những người làm đơn vào ngày cuối ít hơn 1056 USD

4.9 Giám đốc của công ty thực phẩm muốn xác định liệu một kiểu đóng gói mới có

làm tăng lượng hàng bán được hay không Chọn ngẫu nhiên 30 quầy tương đương nhau

gồm 15 quầy bán hàng được đóng theo gói mới và 15 quầy khác bán hàng được đóngtheo gói cũ, tính được trong thời gian nghiên cứu lượng hàng bán được tại mỗi quầy hàngđóng gói mới có trung bìnhX là 130 hộp với s1=10 ; hàng đóng gói cũ có trung bình Y là

117 hộp với s2=12

Với mức ý nghĩa 5% hãy

a) Xem kiểu đóng gói mới có làm tăng lượng hàng bán ra hay không? Giả sửlượng hàng bán được theo hai kiểu đóng gói có phân phối chuẩn và cùng phươngsai

b) Kiểm định H0 : μ1−μ2=2; H1=μ1−μ2>2

Bài làma) Gọi lượng hàng trung bình bán ra theo kiểu mới và cũ lần lượt là μ1, μ2

T > t Ta thấy H0 thuộc vào miền bác bỏ Nên ta chấp nhận H1

Kết luận: với mức ý nghĩa 5% kiểu đóng gói mới làm tăng lượng hàng bán được rathị trường