BÀI tập lớn đại số TUYẾN TÍNH đề tài BÌNH PHƯƠNG cực TIỂU

Nói chung việc tìm ra hàm số fx là gầnđúng, việc tìm ra hàm số xấp xỉ của hàm số fx bằng phương phápbình phương cực tiểu sẽ rất phức tạp nếu không biết trước dạng củahàm số xấp xỉ.. - Ph

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA- ĐẠI HỌC QUỐC GIA

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - -

Giáo viên: Cô Nguyễn Xuân Mỹ

Danh sách thành viên và phân công công việc:

+ Nêu cơ sở lý thuyết:

-Nguyễn Hoàng Trúc Ngân 2010435+Viết chương trình ứng dụng:

-Nguyễn Hoàng Trọng Nhân 2013970+Tìm các ứng dụng khác:

-Nguyễn Hoàng Thanh Minh 2011618

+Trình bày báo cáo:

a/ Giới thiệu chung

Phương pháp bình phương cực tiểu thường được dùng để lập côngthức thực nghiệm Giả sử cần tìm mối quan hệ hàm số giữa hai đạilượng x và y, muốn thế ta tiến hành thí nghiệm rồi quan sát, đo đạc,

ta nhận được bảng tương ứng:

Việc từ bảng trên lập ra mối quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi làlập công thức thực nghiệm Nói chung việc tìm ra hàm số f(x) là gầnđúng, việc tìm ra hàm số xấp xỉ của hàm số f(x) bằng phương phápbình phương cực tiểu sẽ rất phức tạp nếu không biết trước dạng củahàm số xấp xỉ Một trong các hàm số xấp xỉ đã biết và rất hay dùngtrong các bài toán thực tế có dạng:

a¿y=ax+¿

b¿y=a x2+bx +c

b/ Giải phương trình hồi quy dạng y = a x + b bằng phương pháp bình phương cực tiểu

Với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm, x ∈ Rn Trường hợp Ax = b vô nghiệm

+ Phương pháp khử Gauss không đưa ra nghiệm chính xác + Phương pháp thay thế: tìm ´x ∈ R n sao cho ´x là gần nhất để trở thành nghiệm theo nghĩa khoảng cách Euclide, tức là ‖A ´x−b‖2 nhỏ

nhất Nghiệm ´xtrong trường hợp này được gọi là nghiệm bình

phương cực tiểu

- Vì các cặp số (x1,y1), (x2, y2), … , (xn, yn) nhận được từ thí

nghiệm chỉ là những giá trị gần đúng của x, y nên chúng không hoàn toàn là nghiệm đúng của phương trình y = ax + b nghĩa là:

y1 – ax2 – b = v1y2 – ax2 – b = v2

………

yn – axn – b = vntrong đó : vi là các sai số

- Phương pháp bình phương cực tiểu nhằm xác định các các hệ

số a và b sao cho tổng bình phương của các sai số nói trên là bénhất

- Nghĩa là :

Như vậy a, b phải thỏa mãn hệ phương trình:

- Rút gọn ta có hệ sau:

CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ:

Giả sử A ∈ R m×n , b ∈ R m , x ∈ R n

Định nghĩa 1 Hệ không nhất quán

Hệ Ax = b không có nghiệm gọi là hệ không nhất quán

Định nghĩa 2 Nghiệm bình phương cực tiểu

Nghiệm ´x của hệ không nhất quán Ax = b thỏa ‖A ´x−b‖2 nhỏ nhất gọi

là nghiệm bình phương cực tiểu

Giả sử F : R n → R, f : R n → R m và f i : R n → R

Định nghĩa 3 Bài toán bình phương cực tiểu

Bài toán bình phương cực tiểu là bài toán tìm điểm cực tiểu địa

phương x* của F(x) = 12∑

i=1

m

[f i(x)], trong đó fi : Rn → R là hàm cho trước và m > n

Định nghĩa 4 Điểm cực tiểu địa phương

Cho số dương nhỏ δ và hàm số F(x) Điểm x* gọi là điểm cực tiểu địa phương của F(x) nếu F(x*) ≤ F(x), ∀x thỏa ¿ < δ

+ Nửa xác định dương nếu xTMx ≥ 0, ∀x ∈ Rn , x ≠ 0

Định nghĩa 7 Gradient của F là

Định nghĩa 8 Ma trận Hessian của F là

Định lý 1 Nếu x* là một điểm cực tiểu địa phương của F(x) thì F’ (x*) = 0

Định lý 2 Nếu x là điểm dừng của F(x) và F”(x) xác định dương thì

x là một cực tiểu địa phương của F(x)

**Nghiệm bình phương cực tiểu của hệ không nhất quán

Xét hệ phương trình không nhất quán Ax = b

Định lý 3 Nghiệm bình phương cực tiểu

Kết quả từ định lý 3: nghiệm bình phương cực tiểu của Ax = b là nghiệm ´x thỏa

ATr´x = 0 Khi đó:

ATr´x = 0 ⇔ AT (A´x − b) = 0 ⇔ ATA´x = ATb

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:

Tìm hàm bậc 1f ( x )=a+bx sao cho đồ thị của nó đi qua (hoặc gần) các điểm của tập hợp D cho trước

Tađi tìmnghiệm X bằng công thức : A T A X= A T B

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:

Tìm hàm bậc 2f ( x )=a+bx +c x2 sao cho đồ thị của nó đi qua (hoặc gần) các điểm của tập hợp D cho trước

Ta có : X =(A T A)−1.(A T B)

Ta giải được X=(−910

2 13 21

T

1 Bài toán xử lý số liệu thí nghiệm, tìm dạng đồ thị, dự đoán kết quả:

Phương pháp bình phương cực tiểu được ứng dụng trong việc

xử lý số liệu, dự đoán kết của thí nghiệm Cụ thể, ta xét bài toán sau:

Bài toán: Sinh viên thực hiện thí nghiệm: Sử dụng ampe kế đo

cường độ dòng điện qua một bóng đèn sợi đốt khi thay đổi hiệu điệnthế thì thu được bảng số liệu sau:

Hãy xác định hàm số thể hiện mối liên hệ giữa U và I dướidạng hàm bậc nhất Dự đoán nếu giá trị của U bằng 5(V), 6(V) thìgiá trị của I lần lượt bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi hàm số cần tìm là: I (t)=α +β U (t)

Trong đó: + I(t) là cường độ dòng điện tại thời điểm t (A)

+ U(t) là hiệu điện thế tại thời điểm t (V)

+ α , β là hệ số cần tìm để xấp xỉ hàm số thỏa yêu cầu bàitoán

Theo phương pháp bình phương cực tiểu:

Ta xét các ma trận sau:

Theo phương pháp, ta giải phương trình ma trận sau để tìm ra α , β:

α=0,025 β=0,027

Vậy hàm số xấp xỉ cần tìm là I (t)=0,025+0,027 U (t)

Dự đoán kết quả thí nghiệm: do hàm số trên là hàm số xấp xỉ, nên ta

có thể dùng để xấp xỉ, dự đoán 1 giá trị nào đó, cụ thể:

+Với U(t) = 5(V) thì I(t) = 0,025 + 0,027 5 = 0,16 (A)

+Với U(t) = 6(V) thì I(t) = 0,025 + 0,027 6 = 0,187 (A)

Ta có dạng đồ thị của hàm số như sau:

Vậy ta có thể sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu cho việc

xử lý số, cũng như dự đoán gần đúng số liệu khi biết những số liệuthí nghiệm khác

2 Bài toán xác định chi phí hỗn hợp:

Sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu có thể xác địnhphương trình biến thiên của chi phí dựa trên các số liệu chi phí thực

tế phát sinh với mức độ hoạt động của máy móc trong một khoảngthời gian nhất định Cụ thể bài toán như sau:

trình dự toán chi phí bảo dưỡng máy móc thiết bị theo yếu tố địnhphí (b) và biến phí (a) Dựa vào số liệu về chi phí bảo dưỡng máymóc thiết bị y (đơn vị 1.000.000 VND) và số giờ hoạt động thực tếcủa máy móc x (đơn vị 100 giờ) trong 6 tháng như sau:

Vấn đề đặt ra là làm sao để có thể xây dựng phương trình dựtoán thỏa yêu cầu bài toán?

Phương pháp giải quyết vấn đề:

Phương trình dự toán chi phí hỗn hợp có dạng tổng quát nhưsau: y=ax+b

Trong đó: + y là biến số phụ thuộc, phản ánh chi phí hỗn hợp vớimức độ hoạt động x

+ x là mức độ hoạt động

+ a là độ dốc tuyến tính, phản ánh mức độ biến phí trên 1đơn vị mức độ hoạt động

+ b là hằng số, phản ánh tổng định phí trong tổng chi phíhỗn hợp

Theo phương pháp bình phương cực tiểu:

Theo phương pháp, ta giải phương trình ma trận sau để tìm a,b.

Vậy phương trình dự toán chi phí bảo dưỡng máy móc thiết bị là

y=0,492133 x – 0,046966.

Do đó, nếu tháng tới dự kiến sử dụng máy móc thiết bị trong x0

(100 giờ) thì chi phí bảo dưỡng sẽ bằng: y0=0,492133 x0− 0,046966.

3 Các bước chạy chương trình

Bước 1: Nhập số lượng điểm ‘N’ cần tìm hàm f, sao cho đồ thị của

nó đi qua (hoặc gần nhất) các điểm đó

Nhập các giá trị hoành độ x và tung độ y của “N’ điểm trênNhập bậc của hàm f cần tìm: ‘s’

Bước 4: Hiển thị hàm f lên màn hình

Hiện các điểm đã nhập và vẽ đồ thị hàm số f lên hệ trục tọa độ

4 Đoạn code

N=input('Nhap N : ');%N la so phan tu trong du lieu

a = zeros(N,1);%khai bao ma tran 0 có N hang 1 cot

ma=max(a,[],1)+1;% tim gia max cua ma tran a

s=input('Nhap bac ham so can ve ');

plot(a, b, 'b*', 'MarkerSize', 5, 'DisplayName', 'Cac diem da cho');

% Hien cac diem da co len do thi

hold on;

A = zeros(N,s+1);%khai bao ma tran 0 có N hang s+1 cot

B = zeros(N,1);%khai bao ma tran 0 có N hang 1 cot

% Nhap cac gia tri vao ma tran A

B = b;% Nhap cac gia tri vao ma tran B

heso = inv(A'*A)*(A'*b); % ma tran chua he so hàm y=fx

% A' la ma tran chuyen vi cua A

p=zeros(1,s+1); %khai bao ma tran 0 có 1 hang s+1 cot

disp('y=');disp(k); % Hien thi ham so y=fx

x=linspace(mi,ma);%lay cac diem tu minx-1 den maxx+1

y=polyval(p,x);% xac dinh gia tri y tuong ung voi tung gia tri x

plot(x,y, 'r', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', 'Phuong trinh can ve ');xlabel('Truc x');% tên truc toa do x

ylabel('Truc y');% tên truc toa do y

grid on;% hien luoi toa do

legend show;%hien chu thich

5 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hàm bậc ba f ( x )=α x3+β x2+γxx+δ

với D={(-3;-1.4); (-2;-1.3); (-1;-0.6); (0;0.1); (1;0.9); (2;1.8);(3;2.9)}

Ví dụ 2: Cho bảng dữ liệu (45;86), (15;70); (40;90); (35;78), trong

đó các hoành độ cho biết thời gian tính bằng phút mà bạn Bình họctrong đêm trước ngày thi của 5 môn học và các tung độ cho biết sốđiểm (thang điểm 100) mà bạn Bình đạt được Xấp xỉ bảng dữ liệutrên bởi một hàm bậc nhất

 TÀI LIỆU THAM KHẢO 

1 Báo cáo đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường - chủ nhiệm đề tài: Huỳnh Thanh Toàn

2 Tài liệu cô Nguyễn Xuân Mỹ

3 Tài liệu thầy Đặng Văn Vinh

TỔNG KẾT

Phương pháp bình phương cực tiểu là phương pháp hay vàmạnh, giúp ta có thể giải quyết lớp bài toán khảo sát tính chất hàmnhưng chỉ cho biết sự liên hệ giữa các giá trị hàm số qua dạng bảng

số liệu, qua các điểm mà hàm đi qua Tuy nhiên, phương pháp nàycũng đòi hỏi nhiều số liệu, các bộ dữ liệu phải tốt, đồng thời cũngđòi hỏi việc lựa chọn tốt dạng hàm số