Đề tài chứng minh công thức của nguyên tố turnstile

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ANTEN VÀ TRUYỀN SÓNG Đề tài: Chứng minh công thức của nguyên tố Turnstile Giảng viên hướng dẫn : ThS.Nguyễn H

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ANTEN VÀ TRUYỀN SÓNG

Đề tài: Chứng minh công thức của nguyên tố Turnstile

Giảng viên hướng dẫn : ThS.Nguyễn Hồng Anh

Mã lớp BT: 112086

MỤC LỤC

I Một số khái niệm cơ bản 3

1.0 Phương trình Maxwell Vector điện thế 3

1.1 Khu xa 4

1.2 Công thức điện trường bức xạ tổng quát 5

1.3 Hệ số định hướng 7

1.4 Hàm phương hướng 8

1.5 Dipole điện 9

II Nguyên tố Turnstile (Tuanike) 11

2.1 Khái niệm nguyên tố Turnstile 11

2.2 Cường độ điện trường 12

2.3 Hàm phương hướng 13

2.4 Hệ số định hướng cực đại 15

III Nguồn tham khảo 16

I Một số khái niệm cơ bản

1.0 Phương trình Maxwell Vector điện thế

- Phương trình Maxwell tổng quát bao gồm cả nguồn điện và từ:

(1.1) {rot H =iω ϵ p E +J e

rot E=iωμ H−J m

¿E= ρ

m

ϵ

¿H= ρ

m

μ

- Xét trường hợp chỉ có nguồn điện, phương trình Maxwell được viết lại như sau:

(1.2) {rot H =iω ϵ p E +J c(I)

rot E=iωμ H (II )

¿E= ρ

m

ϵ (III )

¿H =0(IV )

Với:

E – biên độ phức của vector cường độ điện trường

H – biên độ phức của vector cường độ từ trường

ϵ p=ϵ(1−i σ

ωϵ)−¿ hệ số điện thẩm phức của môi trường

ϵ−¿ hệ số điện thẩm tuyệt đối của môi trường Đối với chân không ϵ=ϵ0=10−9

36 π

F m μ−¿hệ số từ thẩm của môi trường Đối với chân không μ=μ0=4 π 10−7H

m

σ −¿điện dẫn suất của môi trường

J e

−¿ biên độ phức của vector mật độ dòng điện

ρ e−¿ mật độ khối của dòng điện

- Để giải phương trình (0.2), ta đưa ra vector trung gian là vector thế điện A e

Theo (IV) trong (0.2):

(1.3) H=rot A e

Nghiệm của (0.2) có thể được biểu thị qua vector A e:

(1.4) E=¿-−iωμ A e

iω ϵ p grad÷ A

e

Thay (0.4) vào (0.2), ta có:

(1.5) Δ A e+k2A e=−J e

Với:

Δ A e=grad÷ A−rot rot A

k =ω√ϵ p μ= ω

v (v là vận tốc pha của sóng trong môi trường) Nghiệm phương trình (0.5) có dạng:

(1.6) A e= 1

4 π∫

V

❑

J e e

−jkr

r dV

Với:

r −¿khoảng cách từ điểm xác định A eđến điểm nguồn, nghĩa là đến điểm có dòng điện hoặc dòng từ trong thể tích V

e ikr

−¿ số hạng biểu thị sự chậm pha của vector thế A eở khoảng cách r đối với nguồn Trong đó kr là góc chậm pha, k gọi là hệ số pha Đối với chân không

k =k0=ω

c =

2 π

λ0 c=3.108m/ s là vận tốc ánh sang trong chân không

λ0 là bước sóng trong chân không

Nếu dòng điện phân bố trên mặt S hoặc đường l thì công thức chuyển thành:

(1.7) A e= 1

4 π∫

S

❑

J e e

−jkr

r dS

(1.8) A e= 1

4 π∫

l

❑

J e e

−jkr

r dl

1.1 Khu xa

- Khu xa (Far-field region) là miền không gian bao quanh hệ thống dòng, có bán kính

r khá lớn (r >> 2 λ) Khi ấy ta không thể bỏ qua sự chậm pha của trường tại điểm khảo sát Trường ở khu vực này có đặc tính sóng lan truyền, vì vậy khu xa còn được gọi là khu sóng hay khu bức xạ

Ký hiệu R và ρ là vector bán kính của điểm khảo sát M và của điểm tích phân, ta có:

(1.1) r =R−ρ

(1.2) r =√¿

α−¿góc giữa vector R và ρ

Như vậy, với điều kiện của hệ thống dòng ở khu xa (ρ<R¿, ta có thể khai triển biểu thức của r thành chuỗi lũy thừa đối với R ρ theo Taylor series:

(1.3) r =R [1− ρ

R cos α +

ρ2

2 R2sin2α +…]

Mặt khác, khi điểm khảo sát ở khu xa, nghĩa là Rkhá lớn, khiến có thể bỏ qua các số hạng bậc cao ở biểu thức trên Thay (1.3) vào (1.1) với khai triển 2 số hạng, ta có:

(1.4) r ≅ R−ρ cosα

Áp dụng công thức (1.1) vào giả thiết trên, ta được:

(1.5) A e= 1

4 π

e−ikr

R ∫

V

❑

J e e ikρ cos α dV

Xét (i R , i ρ¿ là các vector đơn vị trên trường R và ρ, ta biểu diễn α dưới dạng:

cos α=i R i ρ

Như vậy, ta có thể viết lại (1.5) như sau:

(1.6) A e= 1

4 π

e−ikr

R ∫

V

❑

J e e ikρ cos α dV

Xét riêng phần tích phân, ký hiệu là G´e(ϴ , ϕ), ta có:

(1.7) G´e

(ϴ , ϕ)=∫

V

❑

J e e ikρi R i ρ dV

Trong trường hợp nguồn phân bố theo mặt S và đường l:

(1.8) G´e (ϴ , ϕ)=∫

S

❑

J e e ikρi R i ρ d S

(1.9) G´e

(ϴ , ϕ)=∫

l

❑

J e e ikρi R i ρ d l

Với:

ρ i R i ρ=ρ i R

1.2 Công thức điện trường bức xạ tổng quát

- Đặt ψ (R )= e

−ikR

R , ta biểu thị công thức (1.6) dưới dạng:

(1.10) A e= 1

4 π ψ ( R) ´G

e

(ϴ , ϕ)

Từ (0.4) và (1.10), ta có thể xác định được E thông qua (1.6) bằng các tham số sau:

(1.11) d iv A= 1

4 π(grad ψ ´G+ψ÷ ´G)

(1.12) grad ψ =grad(e−R ikR)=−(ik+1

R)ψ i R

(1.13) ¿G= 1

R sin θ¿]

Thay (1.12) và (1.13) vào (1.11), đồng thời bỏ qua các số hạng giảm nhanh hơn R1 (vì xét tại khu xa), ta có:

(1.14) g rad (¿A )=−k

2

4 π ψ(G i´ R)i R=−k2

4 π ψ G R

(1.15) rot ( A)= 1

4 π rot (ψG)=

1

4 π ( grad ψ × G+ ψ rot G )

Với:

(1.16) grad ψ ×G=¿−(ik+ 1

R)ψ i R ×G

(1.17) rot G= 1

R sin θ[

∂

∂ θ(sin θ G θ−∂G ϕ

∂ ϕ )]i R

Sau khi đã bỏ qua các số hạng giảm nhanh hơn R1 ở khảo sát khu xa

Như vậy, thay vào (1.15), ta có

(1.18) rot G=−ik

4 π ψ i R × G

Mà ta lại có:

(1.19) i R ×G=i R ×(G R+G ⊥)=i R ×G ⊥

Với G ⊥là thành phần của vector G trên hương vuông góc với vector bán kính R, và

có tính chất:

(1.20) G ⊥=G θ+G ϕ

Nên:

(1.21) r ot A=−ik

4 π ψ i R ×G ⊥

Thay thế vào các biểu thức trong (1.9), (1.10), ta có thể viết lại chúng dưới dạng:

(1.22) {grad(¿A e)=−k2

4 π ψ G

e R

r ot A e=−ik

4 π ψ i R × G e ⊥

Lại đặt:

{ωμ=kW ωϵ= k

W

W =√μ ϵ

Thay vào (0.4), ta viết được:

(1.23) ´E=−ik

4 Π

e−ikR

R ¿

Ta lại có { G e ⊥=G e θ+G e ϕ

G em ⊥=G m θ+G m ϕ

Nên có thể viết được phương trình tổng quát của điện trường bức xạ như sau:

(1.24) ´E=−ik

4 Π

e−ikR

R [(W G ϴ e+G ϴ m)i´ϴ+(W G ϕ e−G ϕ m)i´ϕ]

(1.25) { E´ϴ=−ik

4 Π

e−ikR

R (W G ϴ e

+G ϴ m

)i´ϴ

´

E ϕ=¿− ik

4 Π

e−ikR

R (W G ϕ e

−G ϕ m

)i´ϕ

Với:

(1.26) {G´ϴ=(G¿¿x cosϕ+G y sin ϕ)cosϴ−G z sinϴ¿G´ϕ=−G x sin ϕ+G y cos ϕ

là công thức của hàm bức xạ trong hệ tọa độ cầu

- Mật độ công suất bức xạ điện từ (Radiation Power Density)

(1.27) ´S avg= 1

2 W( |E ϴ|2+|E ϴ|2)´i R=|E|2

2 W´i R

1.3 Hệ số định hướng

- Hệ số định hướng (Directivity) của anten ở một hướng nhất định là tỷ số của mật độ công suất bức xạ tử anten với mật độ công suất bức xạ trung bình ở mọi hướng Nếu hướng không được chỉ định trước thì hướng được xét là hướng mà có mật độ công suất bức xạ lớn nhất của anten

Ta có công thức hệ số định hướng:

(1.28) D(ϴ1, ϕ1)=S(ϴ1, ϕ1)

S o

Với:

S(ϴ1,ϕ1) là mật độ công suất bức xạ của anten ở hướng (ϴ1, ϕ1) đã cho tạo khoảng cách R

S o= P Σ

4 Π R2 là mật độ công suất bức xạ trung bình ở mọi hướng

Từ (1.27), ta có công thức:

(1.29) S(ϴ1,ϕ1)=|E(ϴ1, ϕ1) |2

2W

Thay vào công thức (1.28), ta có:

(1.30) D(ϴ1, ϕ1)=|E(ϴ1, ϕ1) |22 Π R2

W P Σ

Mặt khác, ta có quan hệ giữa biên độ cường độ trường bức xạ tại hướng bất kì

E(ϴ1, ϕ1) và hàm hướng phương hướng chuẩn hóa và giá trị cường độ trường ở hướng bức xạ cực đại:

(1.31) |E(ϴ1, ϕ1) |=|E max|∨F m(ϴ1, ϕ1)∨¿

Do đó, từ (1.30) và (1.31), ta có hệ số định hướng ở hướng bức xạ cực đại D max:

(1.32) D(ϴ1, ϕ1)=D max F m2

(ϴ1, ϕ1)

Mặt khác, ta lại có công suất bức xạ ở mọi hướng P Σ có thể được tính bằng tích

phân của mật độ công suất bức xạ theo mặt kín u bao bọc anten

(1.33) P Σ=∫

u

❑

S(ϴ1, ϕ1)du

1.4 Hàm phương hướng

- Hàm phương hướng ´f (ϴ , ϕ) của hệ thống bức xạ là hàm số đặc trưng cho sự phụ thuộc của cường độ trường bức xạ theo hướng khảo sát, ứng với khoảng cách R không đổi Trong trường hợp tổng quát, hàm phương hướng là vector phức, bao gồm các thành phần theo ϴ và ϕ

(1.34) ´f (ϴ , ϕ)=f ϴ (ϴ , ϕ)´i ϴ+f ϕ (ϴ , ϕ)´i ϕ

Với:

(1.35) {f ϴ=W G ϴ e

+G ϴ m

f ϕ=W G ϕ e

−G ϕ m

Như vậy, phương trình ´E= ´E ϴ+ ´E ϕ dựa trên (1.25) có thể viết lại dưới dạng:

(1.36) ´E=−ik

4 Π

e−ikR

R ´f (ϴ , ϕ)=−ik

4 Π

e−ikR

R (f ϴ ´i ϴ+f ϕ ´i ϕ)

- Áp dụng (1.25), (1.35) vào (1.27), ta viết lại (1.27) dưới dạng:

(1.37) ´S avg= k2

2 W (4 ΠR)2(f ϴm2+f ϕm2)´i R

Như vậy, hàm phương hướng theo công suất được đặc trưng bởi

(1.38) f m2(ϴ , ϕ)=f ϴm2+f ϕm2

Chuẩn hóa hàm phương phướng trên, ta có:

(1.39) F m2(ϴ , ϕ)=(f ϴm¿¿2+f ϕm2)

{f ϴm2+f ϕm2}max

¿

- Hàm phương hướng vector phức hợp là hàm thể hiện sự phân bố không gian của các đặc trưng biên độ, pha, phân cực của trường

(1.40) ´f (ϴ , ϕ)=f m(ϴ , ϕ) e iΦ(ϴ , ϕ)

´

p (ϴ, ϕ )

Với ´p (ϴ, ϕ ) là hàm phương hướng cực tính

Chuẩn hóa phương trình (1.16), ta có được hàm phương hướng vector phức hợp

chuẩn hóa.

(1.41) F (ϴ , ϕ)=F´ m(ϴ ,ϕ )e iΦ(ϴ ,ϕ)

´

p (ϴ , ϕ)

Với:

(1.42) F m (ϴ , ϕ)= √f ϴm2

+f ϕm2

¿√ {f ϴm2+f ϕm2}∨¿max¿

1.5 Dipole điện

- Giả thiết có không gian đồng nhất, rộng vô hạn và giả sử trong thể tích V hữu hạn cảu không gian ấy có dòng điện phân bố với mật độ khối J e Lại giả thiết thể tích hữu hạn nói trên là một đoạn thẳng dẫn điện, rất mảnh, có độ dài l (với l ≪λ), được đặt tại tâm của hệ tọa độ vuông góc, dọc theo trục z Giả sử dòng điện chảy theo phương trục z, có biên độ và pha đồng đều trên đoạn thẳng đó Nguyên tố bức xạ nói trên được gọi

là dipole điện.

- Dipole điện rất nhỏ (Infinitesimal Electric Dipole) là phần tử dẫn điện thẳng, rất

mảnh, có độ dài l rất nhỏ so với bước sóng, trên đó có dòng điện mà biên độ và pha

ở mọi điểm đều như nhau

- Trong khi xét trường bức xạ của Dipole điện, các thành phần từ G m đều bằng không.

- Chọn hệ tạo độ theo Fig 1b, ta có

i ρ=i z

Do đó: i ρ i R=cosθ

(1.43) G´e (ϴ , ϕ)=∫

V

❑

J e e ikρcos θ dV

Vì dòng điện chảy theo trục z, nên trong trường hợp này G e(ϴ , ϕ) sẽ chỉ có một thành phần theo z Ta xét trong trường hợp Dipole điện rất nhỏ so với bước sóng (l << λ), và coi e ikρcosϕ≅1, với giả thiết là dòng điện có biên độ và pha phân bố đều theo Dipole, ta có thể viết:

∫

V

❑

J e dV =´i z I e l

Do đó:

(1.44) G´e(ϴ , ϕ)= ´G z e=´i z I e l

Figure 1: Dipole điện rất nhỏ và trường bức xạ của nó trên tọa độ cầu

II Nguyên tố Turnstile (Tuanike)

2.1 Khái niệm nguyên tố Turnstile

- Nguyên tố Turnstile (hay còn được gọi là Crossed-dipole) là một tổ hợp của hai Dipole (Điện hoặc Từ), đặt vuông góc nhau trong không gian, được tiếp điện sao cho dòng điện (hoặc dòng từ) chảy qua cặp Dipole đó có biên độ bằng nhau, còn góc pha lệch nhau 90 độ Hình 2 thể hiện nguyên tố Turnstile được bố trí bằng cặp dipole điện với trường bức xạ của nó:

Figure 2: Nguyên tố Turnstile với cặp dipole điện

2.2 Cường độ điện trường

- Theo giả thiết, ta có dòng điện chảy trong cặp Dipole điện có cường độ bằng nhau,

và góc pha lệch nhau 90 độ Như vậy, quan hệ dòng điện trong 2 Dipole có thể được thể hiện bằng phương trình sau:

(2.1) I

2

e

e

−iΠ

2

=−i I1e

Hàm bức xạ trong trường hợp này sẽ có 2 thành phần theo i x và i y (từ 1.44)

(2.2) {G´ x e=I1e l´i x

´

G e y=I2e l´i y

Thay vào phương trình (2.1), ta có:

(2.3) { G e x=I1e l

G e y=−I1e l

Áp dụng công thức trường trong tọa độ cầu (1.26):

(2.4) {G ϴ e=I1e l (cosϕ−isin ϕ )cos ϴ

G ϕ e=−I1e l(sin ϕ−i cos ϕ)

Áp dụng công thức Euler: e ix=cos x+isin xvào (2.4):

(2.5) {G ϴ e=I1e l e−i ϕ cosϴ

G ϕ e=I1e l e−i(ϕ+ Π

2)

Thay (2.5) vào công thức điện trường bức xạ tổng quát (1.25), ta có:

(2.6) {E´ϴ=−ikW

4 Π

e−ikR

R I1

e

l e−i ϕ

cosϴ ´i ϴ

´E ϕ=−ikW

4 Π

e−ikR

R I1

e

l e−i(ϕ+ Π

2)´

i ϕ

Ta lại có vector cường độ điện trường ´E= ´E ϴ+ ´E ϕ Theo đó, ta viết được vector

cường độ điện trường ´E như sau:

(2.7) E=´ −ikW

4 Π

e−ikR

R I1

e

l e−i ϕ(cosϴ ´i ϴ+e−i(ϕ+ Π2)i´

ϕ)

(2.8) ´E=−ikW

4 Π I1

e

l e

−i(ϕ+kR)

R (cosϴ ´i ϴ−i ´i ϕ)

Mà vector ´E ϴ lại vuông góc với ´E ϕ, nên ta có:

E=√E ϴ2

+E ϕ2

E=−ikW

4 Π I1

e l e−

i(ϕ+kR)

R ¿

(2.9) E=−ikW

4 Π I1

e l e−i(ϕ+kR)

R sin

2ϴ

Như vậy, tổng kết lại, ta có:

Vector điện trường: ´E=−ikW

4 Π I1

e

l e

−i(ϕ+kR)

R (cosϴ ´i ϴ−i ´i ϕ)

Cường độ điện trường: E=−ikW

4 Π I1

e

l e

−i(ϕ+kR)

R sin

2

ϴ

Với :

k =9.109(N m2

C2 ) là hằng số Couloumb

W =√μ ϵ là trở kháng sóng

l là độ dài của Dipole Tất cả phương trình được xét tại khu xa

2.3 Hàm phương hướng

- Đối chiếu (2.6) với (1.34), (1.36), ta có thành phần của hàm phương hướng:

(2.10) {´f ϴ(ϴ , ϕ)=W I1e l e−i ϕ

cosϴ ´i ϴ

´f ϕ(ϴ ,ϕ )=W I1e l e−i(ϕ+ Π

2)´

i ϕ

Do đó, ta có hàm phương hướng biên độ chuẩn hóa sẽ có các thành phần:

(2.11) {¿F ϴ (ϴ , ϕ)∨¿cosϴ

¿F ϕ (ϴ ,ϕ )∨¿1

Từ (2.10), ta rút được:

(2.12){ arg f ϴ=−ϕ

arg f ϕ=−(ϕ+ Π

2 )

Chọn f ϕ là thành phần phân cực gốc, ta có

(2.13) Φ (ϴ , ϕ)=arg f ϕ=−(ϕ+ Π

2 )

Như vậy, ta có thành phần của hàm phương hướng cực tính:

(2.14){ P ϕ= f ϕm

+f ϕm2= 1

√1+cos2ϴ

P ϴ=√1−P ϕ2e i(argf ϕ−arg f ϴ)

√1+cos2ϴ e

−i Π

2

Như vậy, hàm cực tính tổng quát có dạng:

(2.15) P (ϴ, ϕ )= cos ϴ

√1+cos2ϴ e

−i Π

2´i ϴ+ 1

√1+cos2ϴ´i ϕ

Thay (2.11) vào (1.42), ta có module của hàm phương hướng chuẩn hóa

(2.16) F m(ϴ , ϕ)=(1+cos2ϴ

2 )12

Từ đây, thay vào (1.41), ta nhận được hàm phức hợp chuẩn hóa của nguyên tố

Turnstile:

(2.17)F (ϴ , ϕ)=´ (1+cos2 2ϴ)12

−i(ϕ+ Π

2 )

√1+cos2ϴ e

−i Π

2´i ϴ)

Ta nhận thấy hàm phương hướng biên độ của nguyên tố bức xạ không phụ thuộc tọa độ ϕ Đồ thị phương hướng biên độ của anten trong mặt phẳng vĩ tuyến là đường tròn (hình 3a), còn trong mặt phẳng kinh tuyến được xác định bởi hàm (1+cos2ϴ

2 )12 (hình 3b):

Figure 3: Đồ thị biên độ của nguyên tố Turnstile

Ta nhận thấy hàm phương hướng pha của nguyên tố bức xạ cũng không phụ thuốc tọa độϴ, mà được xác định bởi arg của thành phần phân cực gốc

Φ (ϴ , ϕ)=arg f ϕ=−(ϕ+ Π

2 )

Như vậy đồ thị phương hướng pha trong mặt phẳng ϕ=const có dạng đường xoắn ốc Archimedes Hình 4 thể hiện đồ thị phương hướng pha trong mặt phẳng xy (ϴ= Π

2 ¿

Figure 4: Đồ thị pha của nguyên tố Turnstile

2.4 Hệ số định hướng cực đại

- Trường bức xạ của nguyên tố Turnstile được xét được coi như là mặt cầu, như vậy,

từ (1.33), ta có tích phân theo tọa độ cầu:

(2.18) P Σ= 1

0

2 Π

dϕ∫

0

Π

|E max|F2m(ϴ1, ϕ1)R2sin ϴ d ϴ

Do đó, thay (2.18) vào (1.30):

(2.19) D(ϴ1, ϕ1)= 4 Π F m2

(ϴ1, ϕ1)

∫

0

Π

∫

0

2 Π

F2m(ϴ1, ϕ1)sin ϴd ϴ dϕ

Mà hàm phương hướng chuẩn hóa F m(ϴ1, ϕ1) có giá trị = 1 ở hướng cực đại, nên từ (2.11), ta xác định được hệ số định hướng ở hướng cực đại:

(2.20) D max=

4 Π

∫

0

Π

∫

0

2 Π

F m2(ϴ1, ϕ1)sin ϴd ϴ dϕ

Ta lại có, từ (1.39) và (2.11), ta có hàm phương hướng chuẩn hóa theo công suất

của nguyên tố Turnstile là:

(2.21) F m2(ϴ , ϕ)=1

2(cos

2

ϴ+1)

Như vậy, hệ số định hướng ở hướng cực đại theo (2.20) là

D max= 8 Π

∫

0

Π

∫

0

2 Π

(cos2ϴ+1)sinϴ d ϴ dϕ

=1.5

Biểu thức hệ số định hướng của nguyên tố bức xạ, theo (1.32) có dạng:

D=3

4(cos

2

ϴ+1)

III Nguồn tham khảo

1 G.H Brown, The “Turnstile” Antenna, Electronics 9, 15 (April, 1936)

2 C.A Balanis, Antenna Theory Analysis and Design, Fourth Edition (2016)

3 Phan Anh, Lý thuyết kĩ thuật Anten (2007)

4 J.D Kraus, Antenna and Wave Propagation, 3rd Edition (2001)