TÓM TẮT MỘT SỐ CÔNG THỨC MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

2.2 Kiểm định giả thuyết thống kê, một mẫuKiểm định cho kỳ vọng : 1.

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng Dụng

TÓM TẮT MỘT SỐ CÔNG THỨC Môn: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

1.1 Các công thức xác suất

Công thức cộng và nhân xác suất:

• P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB), và P Pn

i=1Ai
= PiP (Ai) −P

i<jP (AiAj) +P

i<j<kP (AiAjAk) −

• P (AB) = P (A)P (B|A) và P (A1A2 An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1A2) P (An|A1A2 An−1)

Với A1, , Anlà một họ các biến cố đầy đủ:

• Công thức xác suất đầy đủ: P (F ) = P (A1)P (F |A1) + P (A2)P (F |A2) + · · · + P (An)P (F |An)

• Công thức Bayse: P (Ak|F ) =P (Ak)P (F |Ak)

P (F ) .

1.2 Biến ngẫu nhiên (BNN):

• BNN X rời rạc: E(X) =P

ixipi, và Var(X) =P

i(xi− E(X))2pi=P

ix2

ipi− [E(X)]2

• BNN X liên tục: E(X) =R∞

−∞xf (x), và Var(X) =R∞

−∞(x − E(X))2f (x)dx =R∞

−∞x2f (x)dx − [E(X)]2

1.3 Các hàm phân phối xác suất cơ bản

Phân phối nhị thức, X ∼ B(n, p)): P (X = k) = Cnkpkqn−k, k = 1, , n và E(X) = np, Var(X) = npq

Phân phối Poisson, X ∼ P (λ) P (X = k) = e

−λλk

k! , k = 1, 2, , và E(X) = Var(X) = λ

Phân phối siêu bội, X ∼ H(N, K, n): P (X = k) =C

k

KCN −Kn−k

Cn N

và E(X) = np, Var(X) = np(1 − p) N − n

N − 1

 , p =K

N.

Phân phối mũ, X ∼ Exp(λ): f (x) =

(

λe−λx, x ≥ 0

0, x < 0 , và E(X) = 1

λ, Var(X) = 1

λ2

Phân phối chuẩn, X ∼ N (µ, σ2): f (x) = 1

σ√2πe

−(x−µ)2

2σ2 và E(X) = µ, Var(X) = σ2

Định lý giới hạn trung tâm: Nếu X1, , Xnlà đôi một độc lập và E(Xk) = µ, Var(Xk) = σ2, X =

Pn k=1Xk

n khi n đủ lớn, thì

X − µ

σ/√n ∼ N (0, 1).

2.1 Khoảng tin cậy

Khoảng tin cậy cho kỳ vọng :

• Biết σ2, X có phân phối chuẩn hoặc cỡ mẫu n đủ lớn: x − zα/2

σ

√

n≤ µ ≤ x + zα/2

σ

√ n

• Không biết σ2, và X có phân phối chuẩn: x − tn−1α/2 √s

n≤ µ ≤ x + t

n−1 α/2

s

√ n

Khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể P , n > 30 : ˆP − zα/2

s ˆ

P (1 − ˆP )

n ≤ P ≤ ˆP + zα/2

s ˆ

P (1 − ˆP )

n Trong đó: ˆP =

X

n, X là số phần tử thoả tính chất A trong mẫu gồm n phần tử

1

2.2 Kiểm định giả thuyết thống kê, một mẫu

Kiểm định cho kỳ vọng :

1 Biết σ2, X có phân phối chuẩn hoặc cỡ mẫu n đủ lớn: z0=X − µ0

σ/√n ==> Dùng bảng 1.

2 Không biết σ2 và X có phân phối chuẩn: t0=X − µ0

s/√n ==> Dùng bảng 2.

3 Không biết σ2, X có phân phối bất kỳ, cỡ mẫu đủ lớn: z0=X − µ0

s/√n ==> Dùng bảng 1.

Kiểm định cho tỉ lệ tổng thể, n > 30 : z0= P − pˆ 0

r p0(1 − p0) n

==> Dùng bảng 1 Trong đó: ˆP = X

n, X là số phần tử thoả tính chất A

trong mẫu gồm n phần tử

2.3 Kiểm định giả thuyết thống kê, hai mẫu

Kiểm định cho kỳ vọng :

1 Biết phương sai, phân phối chuẩn hoặc cỡ mẫu đủ lớn: z0=sX − Y

σ2

n1

+σ

2

n2

==> Dùng bảng 1

2 Chưa biết phương sai, có phân phối chuẩn và cỡ mẫu đủ lớn: z0=sX − Y

s2

n1

+ s

2

n2

==> Dùng bảng 1

3 Chưa biết phương sai, có phân phối chuẩn, cỡ mẫu nhỏ và σ1= σ2:

Sp=(n−1)s

2+ (n2− 1)s2

n1+ n2− 2 , t0=

X − Y

Sp

r 1

n1

+ 1

n2

==> Dùng bảng 2 với df = n1+ n2− 2

Kiểm định cho tỉ lệ tổng thể, n1, n2> 30 : z0=s Pˆ1− ˆP2

ˆ

P (1 − ˆP )

 1

n1

+ 1

n2



==> Dùng bảng 1 Trong đó: ˆP = X + Y

n1+ n2

, ˆP1= X

n1

,

ˆ

P2= Y

n2

, X và Y lần lượt là số phần tử thoả tính chất A trong mẫu gồm n1và n2phần tử

Bảng quy tắc bác bỏ H0:

Đối thuyết H1 Miền bác bỏ Trị số pv

Hai phía W α =nz 0 : |z 0 | > zα/2o 2 [1 − Φ(|z 0 |)]

Một phía trên W α = {z0: z0> z α } 1 − Φ(z0)

Một phía dưới W α = {z0: z0< −z α } Φ(z0)

Bảng 1

Đối thuyết H1 Miền bác bỏ (một mẫu) Miền bác bỏ (hai mẫu) Trị số pv Hai phía W α =nt 0 : |t 0 | > tα/2,n−1o W α =nt 0 : |t 0 | > tα/2,dfo 2P (T > |t 0 |) Một phía trên W α = t0: t0> tα,n−1

W α = t0: t0> tα,df

P (T > t0) Một phía dưới W α = t0: t0< −tα,n−1

W α = t0: t0< −tα,df

P (T < t0) Bảng 2

2.4 Phân tích phương sai (ANOVA) một nhân tố, cỡ mẫu bằng nhau

Quan sát một mẫu cóN = kngiá trị quan trắc, trong đóklà số phương thức xử lý của nhân tố, và mõi phương thức xử lý cóngiá trị quan trắc

Bài toán kiểm định: H0: τ1= τ2= · · · = τk= 0 vs H1: τi6= 0, với ít nhất một i Bác bỏ H0 khi: F = M SWM SB > Fα;k−1,k(n−1)

Giữa các nhóm(SSB) SSB = nPk

i=1(¯yi·− ¯y··)2=Pk

i=1

yi·2

n −y··2

k−1

Trong từng nhóm (SSW) SSW =Pk

i=1

Pn j=1(yij− ¯yi·)2= SST − SSB k(n − 1) M SW = k(n−1)SSW F =M SWM SB

Tổng (SST) SST =Pk

i=1

Pn j=1(yij− ¯y··)2=Pk

i=1

Pn j=1y2ij−y··2

N kn − 1

2.5 Hồi quy tuyến tính đơn

Đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X : y = ˆβ0+ ˆβ1x Trong đó: ˆβ1=

P n i=1 xiyi−

Pn i=1xi
Pni=1yi

n

P n i=1 x2i−

Pn i=1xi
2

n

=Sxy

Sxx, và ˆβ0= ¯y − ˆβ1x.¯

Sxx=Pn

i=1(xi− ¯x)2=Pn

i=1x2

i−

Pn i=1xi

2

n và Sxy=

Pn i=1(xi− ¯x)(yi− ¯y) =Pn

i=1xiyi−

Pn i=1xi

Pn i=1yi

n

Hệ số tương quan mẫu : R2

XY = β2 Sxx

SST Trong đó: SST =

P

i(yi− y)2

2