DẠNG 44 KHỐI TRÒN XOAY bài TOÁN THỰC tế

Chú ý: + Hình chóp có đáy là một đa giác nội tiếp mới có mặt cầu ngoại tiếp... + Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục của đáy hình chóp với mặt phẳng trung trực của một

DẠNG TOÁN 44: KHỐI TRÒN XOAY (BÀI TOÁN THỰC TẾ)

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Các công thức cơ bản về khối tròn xoay

1.1 Mặt cầu Khối cầu

+ Diện tích của mặt cầu có bán kính R là:

24

S= πR

+ Thể tích của khối cầu có bán kính R là:

343

V = πR

+ Diện tích của chỏm cầu có chiều cao h của mặt cầu có bán kính Rlà: S =2πhR

+ Thể tích của khối chỏm cầu có chiều cao h của khối cầu có bán kính Rlà:

2 Mặt cầu ngoại tiếp

2.1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

2.1.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (hay hình chóp nội tiếp mặt cầu)

là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình chóp

Chú ý:

+ Hình chóp có đáy là một đa giác nội tiếp mới có mặt cầu ngoại tiếp

+ Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục của đáy hình chóp với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.

2.1.2 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp đặc biệt

+ Hình chóp có các đỉnh nhìn một cạnh (giả sử SA) dưới một góc vuông thì mặt cầu ngoại tiếp có bán kính 2

SA

R=

.+ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (giả sử SA) thì mặt cầu ngoại tiếp

có bán kính

2 24

SA

R= r +

(với rlà bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)

+ Hình chóp đều thì mặt cầu ngoại tiếp có bán kính

22

SA R SO

=

(với SAlà cạnh bên, Olà tâm của đa giác đáy)

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì mặt cầu ngoại tiếp có bán kính

22

SA R SO

=

(với SAlà cạnh bên, Olà tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)

2.1.3 Thể tích lớn nhất của khối chóp đều nội tiếp mặt cầu

+ Thể tích lớn nhất của khối chóp đều đáy tam giác nội tiếp mặt cầu có bán kính R

là:

3 max

R

h a= =

+ Thể tích lớn nhất của khối chóp đều đáy n-giác nội tiếp mặt cầu có bán kính Rlà:

3 max

2.2 Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

2.2.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (hay hình lăng trụ nội tiếp mặt

cầu) là mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của hình lăng trụ

Chú ý: + Chỉ có hình lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp mới có mặt cầu ngoại

2.2.2 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một số hình hình lăng trụ đặc biệt

+ Hình lập phương có cạnh bằng athì mặt cầu ngoại tiếp có bán kính

32

a

R=

+ Hình hộp chữ nhật có các cạnh a b c, , thì mặt cầu ngoại tiếp có bán kính

2.2.3 Thể tích lớn nhất của hình hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu

+ Thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có bán kính Rlà:

a= R

2.3 Mặt cầu ngoại tiếp hình nón

2.3.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình nón (hay hình nón nội tiếp mặt cầu) là

mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đáy của hình nón

Chú ý: Mặt cầu ngoại tiếp hình nón có tâm thuộc đường cao của hình nón, bán kính

(với l h, lần lượt là độ dài đường sinh và chiều cao của hình nón)

2.3.2 Thể tích lớn nhất của khối nón nội tiếp khối cầu

+ Thể tích lớn nhất của khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính bằng Rlà:

3 max

3281

khi chiều cao khối nón bằng

43

h= R

, bán kính đáy

2 23

r= R

2.4 Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ

2.4.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ (hay hình trụ nội tiếp mặt cầu) là

mặt cầu chứa hai đáy của hình trụ

(với r h, lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ)

2.4.2 Thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp khối cầu

+ Thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp khối cầu có bán kính bằng Rlà:

3 max

h= R

, bán kính đáy

63

r= R

3 Mặt cầu nội tiếp

3.1 Mặt cầu nội tiếp hình chóp

3.1.1 Định nghĩa: Mặt cầu nội tiếp hình chóp (hay hình chóp ngoại tiếp mặt cầu)

là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp đều

3.1.2 Công thức tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp

+ Công thức tính bán kính mặt cầu nôi tiếp hình chóp có thể tích V và diện tích toàn

=

4 Thể tích khối tròn xoay

+ Thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số( )

cùng nằm phía trên trục hoành hoặc

cùng nằm phía dưới trục hoành trên đoạn [ ]a b;

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Các bài toán liên quan đến diện tích hình tròn xoay

 Các bài toán liên quan đến thể tích khối tròn xoay

 Các bài toán liên quan đến giá vật liệu

 Các bài toán max-min về diện tích

 Các bài toán max-min về thể tích

 Các bài toán về giá vật liệu rẻ nhất

 Các bài toán về giá nhân công rẻ nhất

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhàcủa mình bằng một tấm kính cường lực Tấm kính đó là một phần của mặt xungquanh của một hình trụ như hình bên Biết giá kính 1m2 kính như trên là 1.500.000đồng Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình mua tấm kính trên là baonhiêu?

A 23.591.000đồng B. 36.173.000đồng.

C 9.437.000đồng D. 4.718.000đồng

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán thực tế về hình trụ

+ Gọi R là bán kính của hình trụ Theo hình vẽ ta có góc ở đỉnh bằng 60°

801.1500000 9436000400

đồng

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 3

có thể làm theo hai mô hình: mô hình 1 hộp là một hình lăng trụ đứng cóđáy là hình vuông và 5 quả bóng sắp chồng lên nhau, các quả bóng đềutiếp xúc với các mặt bên của hình lăng trụ, hai quả bóng ở trên cùng vàdưới cùng tiếp xúc với hai mặt đáy của hình lăng trụ; mô hình 2 hộp là mộthình trụ và 5 quả bóng đều tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình trụ,hai quả bóng ở trên cùng và dưới cùng tiếp xúc với hai mặt đáy của hìnhtrụ Diện tích vật liệu mà nhà máy sản xuất tiết kiệm được khi chọn mô hìnhtốn ít vật liệu hơn gần bằng bao nhiêu?

A.

2251,32cm

268,67cm

2110,56cm

+ Làm theo mô hình 1: Diện tích vật liệu ( )2

1 4.20.4 2.4.4 352 cm

.+ Làm theo mô hình 2: Diện tích vật liệu ( )2

2 2 .20.2 80 cm

S = π = π

.Vậy diện tích vật liệu tiết kiệm là ( )2

1 2 100,67 cm

S= −S S ≈

thể tích bằng 1m3 từ vật liệu là tôn Biết giá tôn là 70.000(đồng/m2) Bác An

làm tiết kiệm nhất thì số tiền đó (lấy gần đúng đến hàng đơn vị) bằng bao

nhiêu? (Biết các mối hàn tốn vật liệu không đáng kể)

A. 387.507đồng B. 307.564đồng C. 387.506đồng D. 307.565đồng

Lời giải Chọn B

+ Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ là h R, (0<h R, )

Ta có:

2

2

11

muốn làm một cái chặn giấy có dạng khối trụ( )T nội tiếp mặt cầu( )C sao chothể tích của khối trụ ( )T là lớn nhất (Biết rằng: khối trụ nội tiếp mặt cầu làkhối trụ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu)

Thể tích phần pha lê bị bỏ đi (lấy gần đúng đến hàng phần trăm) là:

A.

3563,53cm

31770,39cm

3769,81cm

32418,39cm

Lời giải Chọn B

+ Gọi h r, lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ ( )T ; Rlà bán

kính của ( )C Thể tích của khối cầu là

34.3

c

V = π R

và

2 22

21m vật liệu giấy có giá 10.000 đồng Hỏi công ty đó sản xuất ra 1triệu hộp đựng sữa bằng mô hình tiết kiệm vật liệu nhất thì tốn hết bao

A. 600.000.000đồng B. 6.000.000.000đồng.

C. 553.580.000đồng D. 5.535.800.000đồng

Lời giải Chọn C

TH1: Hộp được làm theo mô hình hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông.+ Gọi a b, là cạnh đáy và chiều cao của hình hộp Ta có:

2

2

11

a

= ⇒ =

và diện tích vật liệu làm một cái hộp là:

+ Gọi h R, lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ Ta có:

2

2

11

A

30,5dm

30,3dm

30,6 dm

+ Ta có tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên đường cao

3 32

=

AK

.+ Chu vi đường tròn đáy của cái mũ chính là chiều dài x của dây cung MN.Mặt khác số đo cung MN bằng số đo góc ở tâm nên sđ

¼ = °60

MN

suy ra độdài dây cung MN bằng

16

độ dài đường tròn Ta có:

1.2

.+ Gọi r là bán kính của đường tròn đáy của cái mũ, ta có x=2πr ⇒ =2π

x r

332

=

Vậy thể tích cái mũ là:

21

π

lòng trong đựng nước của bể Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởimột cái gáo hình trụ có chiều cao là 5cm và bán kính đường tròn đáy là 4cm.Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần

múc là múc đầy gáo) Hỏi sau bao nhiều ngày thì bể hết nước biết rằng ban

đầu bể đầy nước?

A.282 ngày B.281 ngày C.283 ngày D.280 ngày

Lời giải Chọn B

+ Thể tích nước được đựng đầy trong bể là V =2.3.2 12 m= ( )3

.+ Thể tích nước đựng đầy trong gáo là

sau 281 ngày bể sẽ hết nước

Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu Biết thể tíchcủa bồn chứa nước là

1283

π

( )m3 Diện tích xung quanh của cái bồn chứanước bằng:

4 2 .4 48

S =π x + x x = π ( )2

m

quế có dạng hình nón Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau;biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế Biết thể tíchphần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu

Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế Tính tỉ số

h

r

r =

163

h

r =

Lời giải Chọn A

+ Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu)

343

c

V = πr

.+ Thể tích khối nón (phần ốc quế)

213

N

V = πr h

+ Theo đề:

Người ta làm một con đường nằm trong sân Biết viền ngoài và viền trongcủa con đường là hai đường elip, elip của viền ngoài có trục lớn và trục bélần lượt song song với các cạnh của hình chữ nhật và chiều rộng của mặtđường là 2m Kinh phí của mỗi

2

m

làm đường là 600.000 đồng Tính tổng sốtiền làm con đường đó

A 283.904.000 đồng B 293.804.000 đồng C.

294.053.000 đồng D 293.904.000 đồng.

Lời giải Chọn C

Gọi ( ),( )E1 E2 lần lượt là viền ngoài và viền trong của con đường;

Diện tích con đường là: S= −S1 S2 =1500π −1344π =156π m2

Vậy số tiền làm con đường là 156π

.600000 = 294.053.000 đồng

Câu 10 Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay ( )H

, một mặt phẳng chứatrục của ( )H

1

2 4 13

63

non

V = π = π

.+ Thể tích phần giao là:

.

2

13

V = m

dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy

và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng Biếtrằng chi phí trung bình là 1.000.000 đ/m2 và ở nắp để hở một khoảng hìnhvuông có diện tích bằng

29 diện tích nắp bể Tính chi phí thấp nhất mà anhTiến phải trả (làm tròn đến hàng trăm nghìn)?

A 22000000đ B 20970000đ C 20965000đ D 21000000đ

Lời giải Chọn D

Gọi độ dài chiều rộng, chiều cao hình hộp lần lượt là: x h m, ( ) ⇒

Chiều dài của hình hộp là: 3x

216

6x x

Diện tích phần xây

6 39

nắp có thể tích bằng

3500m3 Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôichiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng

2/m Khi đó, kíchthước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất là:

A Chiều dài 20m chiều rộng 10m chiều cao

5m6

B Chiều dài 10m chiều rộng 5m chiều cao

10m3

C Chiều dài 30m chiều rộng 15m chiều cao

10m27

D Một đáp án khác

Lời giải Chọn B

Gọi chiều dài bằng 2 m ;x( ) x>0

, chiều cao bằng y( )m ;y>0

Ta có

2 5002

y x

=.Khi đó diện tích cần xây dựng bằng

cao bằng 200 mm Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằngthan chì Phần lõi có dạng khối trụ có ciều cao bằng chiều dài của bút chì và

Thể tích phần phần lõi được làm bằng than chì:

2 10 0, 2 0, 2.106 6

r

V =πR h=π − = − π ( )m3

.Thể tích chiếc bút chì khối lăng trụ lục giác đều:

27 3.10 0, 2.1010

( )m3

.Giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì:

và chiều cao bằng 200mm Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi đượclàm bằng than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dàicủa bút và đáy là hình tròn có bán kính 1mm Giả định

31m

gỗ có giá a( triệu đồng),

31mthan chì có giá 9a (triệu đồng) Khi đó giá nguyên vật liệulàm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A 10,33.a (đồng) B 97,03.a (đồng) B 103,3.a (đồng) D 9, 7.a (đồng)

Lời giải Chọn D

Diện tích lục giác đều có cạnh bằng 3mm là

27 32 ( bằng 6 lần diện tích tamgiác đều cạnh bằng 3)

Thể tích khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng 3mm và chiều cao bằng 200mm là

1

27 3

200 2700 32

mm

Thể tích phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng 200mm và đáy là hình tròn có bán kính 1mm là V2 =200.π mm3

Thể tích phần thân bút chì làm bằng gỗ là 3 1 ( )

3 2

⇔ =

.Diện tích xung quanh của bể cá :

24

xq

8

4x x x

x x

318dm

Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng x y z+ +

bằng:

A

26dm3

19dm2 D 26dm

Lời giải:

Chọn B

đậy, đáy là tam giác đều để đựng 16 lít nước Để tiết kiệm chi phí nhất (xem

tấm thủy tinh làm vỏ bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình là.

và chiều cao cố định Người đó xây các bức tường xung quanh vàbên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thướcnhư nhau (không kể trần nhà) Vậy cần phải xây các phòng theo kích thướcnào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường).

Đặt x y h, , lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng.

Theo giả thiết, ta có

384.3 =1152→ =

hình vẽ dưới đây Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp

bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate nguyên chất Vớikích thước như hình vẽ, gọi x x= 0

là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tíchlớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là 0

đvttKhi đó thể tích chocolate nguyên chất là

1 31

4 4

− =

thể tích hộp tức là0

3.64 484

· 60

EIF = °

(như hình vẽ) Biết giá gỗ 2 triệu/m2, giá kính 1,5 triệu/m2 Giá vật

liệu (lấy gần đúng đến hàng đơn vị) để làm một hộp nữ trang bằng bao

nhiêu?

A. 375.369đồng B. 355.369đồng C. 335.369đồng D 315.369đồng

Lời giải Chọn D

+ Diện tích vật liệu phần thân là

2

1 2 ABFE 3 ADHE 1350(cm )

S = S + S =

Giá vật liệu làm phần thân là:

1 2000000 27000010000

t

S

(đồng)+ Diện tích vật liệu làm phần nắp là:

2 2 2

n

S

(đồng)Vậy giá vật liệu là: 315369(đồng)

lại) , trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón hợp với đáy một góc 60°

Lời giải Chọn A

M O

Gọi x là chiều cao của hình nón nhỏ; 30 x−

là chiều cao phần lớn (Điều kiện:

Câu 3 Một ly nước có hình dạng là một hình nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ: là thiết

diện qua trục của hình nón), đường sinh SA=15cm

Bác An lấy ly nước uống ba lần thì hết nước trong ly Lần 1 bác uống đến vịtrí điểm B, lần 2 bác uống đến vị trí điểm C Biết ba lần bác An uống cùngmột lượng nước bằng nhau Chiều dài của đoạn BC (lấy gần đúng đến hàng

phần chục) bằng bao nhiêu?

A 3,1cm B 2,9cm C 2,7cm D 4,5cm

Lời giải Chọn C.

Gọi V V V, , 1 2 là thể tích của khối nón có đường sinh SA SB, ,SC

+ Theo đề bài ta suy ra

1 2 2

23

+ Lại có:

2

2 2 2

1 1

1313

OA SO

ππ

trí cho cổng chào có hai hình trụ Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấnxoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng 20 vòng đèn Led cho mỗi cột, biết bánkính hình trụ cổng là 30cm và chiều cao cổng là 5π

m Tính chiều dài dâyđèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng

+ Cắt hình trụ theo đường sinh của nó rồi trải liên tiếp trên mặt phẳng 20lần ta được hình chữ nhật ABCD có AB=5 mπ

và20.2 20.2 0,3 12 m

BC = πr= π = π

.+ Độ dài dây đèn Led ngắn nhất trang trí 1 cột là

( ) (2 )2 ( )

.Chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng là:

3114,923m

Lời giải Chọn A

2 3 32

2

5 .1 5

V = π = π

.Vậy thể tích còn lại:

3

2 1 12, 637

V = −V V ; m

ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm, theo hai cáchsau (xem hình minh họa dưới đây):

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng

- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đóthành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích

của hai thùng gò được theo cách 2 Tính tỉ số

1 2

V V

A

1 21

V

V =

1 22

V

V =

1 2

12

V

V =

1 24

V

V =

Lời giải Chọn B

+ Theo cách 1: Ta thu được hình trụ có chiều cao h=50

120 .50

V π

π

=  ÷ cm3+ Theo cách 1: Ta thu được hai hình trụ có chiều cao h=50

1 22

V

V =

để làm loại chai nước có kích thước phần không gian bên trong của chai nhưhình vẽ, đáy dưới có bán kính R=5cm

, bán kính cổ chai r=2cm

, AB=3cm

,6

V = πcm

B

3412

V = πcm

C

3464

V = πcm

D

3494

V = πcm

Lời giải Chọn A

+ Thể tích khối trụ bán kính đáy là R chiều cao CD là:

2

V =πR CD =400 cmπ 3