DẠNG 39 tìm MIN MAX của hàm hợp TRÊN đoạn

CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất..  Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn..  Tìm giá trị lớn nhất – giá t

2 Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 đoạn.

Định lý 1: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

Quy tắc: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số yf x  liên tục trên a b;  ta làm như sau

B1: Tính f x'  và tìm các điểm x x1, , ,2 x mà tại đó n f x '  0 hoặc hàm số f x' 

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

 Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

 Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

 Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để chứng minh bất đẳng thức

 Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào bài toán thực tế

 Một số ứng dụng sự biến thiên của hàm số

 …

BÀI TẬP MẪU

DẠNG TOÁN 39: TÌM MIN – MAX CỦA HÀM HỢP TRÊN ĐOẠN

(ĐỀ MINH HỌA 2021) Cho hàm số f x  , đồ thị của hàm số yf x  là đường congtrong hình bên Giá trị lớn nhất của hàm số g x f  2x  4x

trên đoạn

3

; 22

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.

2 HƯỚNG GIẢI:

Cách 1.

B1: Đạo hàm – tìm nghiệm của đạo hàm (đặt ẩn phụ nếu cần)

B2: Lập bảng biến thiên tìm ra giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

Ta có: g x  2f2x 4

Ta có bảng biến thiên của hàm số y g x  :

Từ bảng biến thiên ta có: trên

3

; 22

 

3;12

Đặt   1 3  

20203

g x  x  x f x 

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của hàm số g x  trên đoạn  3; 3

Xét   1 3  

20203

g x  x  x f x 

, với x   3 ; 3

Ta có g x  x2 1 f x 

  0

g x   f x  x21

0 3

x x

[ 4;3] ,hàm sốg x( ) 2 ( ) (1 f x   x)2đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm.

Lời giải Chọn A

Từ bảng biến thiên, suy ra g x( ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 4;3] tại

  2   2 1 0   1 

g x  f x  x   f x    x

2 4

Dựa vào đồ thị hàm số yf x  ta thấy đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm

số yf x  tại ba điểm lần lượt có hoành độ là: 3;1;3 Do đó phương trình

 

313

x x x

x x x

g - +g >g +g .

Với xÎ -[ 1; 2] thì g x( ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A g 2 B g 1 . C g  1 . D g 0 .

Lời giải Chọn A

Vẽ đồ thị hàm số y= f x¢( )

và Parabol ( )P y: = - -x2 x 1 trên cùng hệ trục tọa

độ như hình vẽ

+ Ta thấy g x¢( )= Û0 f x¢ =( ) x2- -x 1

102

x x x

é êê

 1;2  

1;2

14245max min

  4 2  4 2 2 6 8

g x   x f x x x  x 2 x2f4x x 2 4 x

 Với x 1;3 thì 4 x ; 0 2

3 4 x x 4 nên f4x x 2 0

.Suy ra 2f4x x 2 4 x0

,  x 1;3

.Bảng biến thiên

Suy ra  

   

1;3

maxg x g 2 f  4  7 12

Câu 9. Cho hàm số yf x  có đạo hàm cấp 2 trên , hàm số yf x  có đồ thị

như hình vẽ bên

Giá trị lớn nhất của hàm số

sin 3 cos2

t  x

.suy ra    min 1  2 70

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x  0 1

Với h 33f  3

, h 3 3f  3

.Vậy max3; 3 3f  3

Lập bảng biến thiên của hàm số trên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên 2; 1  và 2;6.

Suy ra f  1  f 2

và f  6  f  2

(1)Hàm số nghịch biến trên 1; 2

Ta có :      

1 1

Dựa vào bảng biến thiên, ta có min1;4 f x  24 x 1

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Đặt 2sin cos2 2 3 sin 3.

Tất cả các giá trị của m để bất phương trình f  x1 1  m

có nghiệm là

A m 1 B m 2 C m 4 D m 0

Lời giải Chọn B

Xét hàm số f  x  1 1

Đặt t x1 1 1,   x 1Khi đó: f  x1 1 m

có nghiệm khi và chỉ khi f t m t, 1;

có nghiệm

Từ bảng biến thiên ta thấy f t m t, 1;có nghiệm khi và chỉ khi m 2.

nguyên của tham số m để phương trình f(sin )x m có đúng hai nghiệmthuộc đoạn [0; ]?

Lời giải Chọn C

Đăt tsin ,x để phương trình f(sin )x m có đúng hai nghiệm x[0; ] thì

phương trình f t( )m có đúng môt nghiệm t [0 :1). Dựa vào đồ thị ta có

[ 7; 2),

m    do m nguyên nên m  { 7 : 6; 5; 4; 3}.    Vậy có 5 giá trị

có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới Gọi M m lần,

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( 2- 2x)

trênđoạn

= = ç ÷çè ø÷> =

.Suy ra M+ > , m 7 M m>10 và 2

Câu 2. Cho đồ thị hàm số yf x 

như hình vẽ bên dưới Biết rằng m là tham số

thực, giá trị nhỏ nhất của hàm số g x f x x2 2mx m 2 tương ứng1bằng:

Lời giải Chọn D

 thì tham số m bằng

12



Lời giải Chọn A

Lời giải Chọn C

Dấu bằng xảy ra khi

giá trị thực của tham số m để hàm số g x x2 2m x m2  4 f f x    đạt giátrị nhỏ nhất ?

Lời giải Chọn A

0 03

00

Lời giải Chọn C

g x  f x m  f x n x  x f x m  f x n  x .

Thay lần lượt x 2, x 3 vào  * ta có

,

2g 3 g x g 1   6 x 1;3

.Đặt uf x , v g x   với 1 u 5, 2 v 6, xét

Vậy P M  2m107.

là 3 ,

43

0,824

+) Nhận xét: Đồ thị của hàm số yf x'  cắt trục hoành tại 5 điểm phânbiệt có hoành độ lần lượt là 2; 0; 2; 5; 6 nên phương trình f x '  0 có 5

nghiệm phân biệt là x1 2;x2 0;x3 2;x4 5;x5  Hơn nữa6

' 0, 2; 0 2; 5

f x    x  và ngược lại f x' 0, x 0; 2  5; 6 Ta lập bảngbiến thiên của hàm số yf x 

H2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường yf x y' , 0,x2,x0.

H3

là hình phẳng giới hạn bởi các đường yf x y' , 0,x2,x5

H4là hình phẳng giới hạn bởi các đường yf x y' , 0,x5,x 6

được cho như hình vẽ bên dưới

Biết rằng f  0  f  6 g 0  g 6 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Vậy      

0;6

maxh x h 6

bên Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình  2

Do đó x0;2  t 1; 2 Khi đó bài toán trở thành có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để phương trình f t  m có nghiệm t 1;2

.Quan sát đồ thị hàm số yf t 

Đặt t t x  2x22 x

với x   1; 2

.Hàm t t x  

liên tục trên 1;2

và t x  2 ln 2 2 ln 2,x  2 t x   0 x 0

dưới đây Giá trị lớn nhất của hàm số g x f 2x sin2x trên đoạn 1;1 là

A f  1 B f  0 C f  2 D f  1

Lời giải Chọn B

Ta có   2  1cos 2 1

.Đặt t2x Với x   1;1 thì t   2; 2

Theo giả thiết ta có f x 

có đạo hàm và liên tục trên 0;5  f x 

đạt giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 0;5

Trên 0;5

max 2 min

A m  4. B m  3. C 0 m 5. D m  2.

Lời giải Chọn B

 

0 1 2

Khi đó g x f t m với t  1; 3  Dựa vào đồ thị ta có

1;3

3 5

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min[ 3;1] g x( )g( 1)

Chọn đáp án A

(0) 3, (2) 2018

f  f  và bảng xét dấu của f x( ) như sau:

Hàm số yf x( 2017) 2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x thuộc khoảng 0

nào sau đây?

A (0; 2) B (  ; 2017) C ( 2017;0) D (2017;)

Lời giải Chọn D

Ta có: yf x( 2017) 2018 0 

Từ BXD của f x

ta suy ra BBT của f  x

nhu sau:

Từ BBT ta có:

1 2

2015

2017 2( 2017) 2018

2017

2017 0

x x