DẠNG 03 xét TÍNH đơn điệu của HS BIẾT BBT

DẠNG TOÁN 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊNKIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K.. Bước 5: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến

DẠNG TOÁN 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K

1 Định lí 1.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x'( ) ≥ ∀ ∈0, x K

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x'( ) ≤ ∀ ∈0, x K

thì hàm số f không đổi trên K

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa

khoảng Khi đó phải có thêm giả thiết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’ Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b;

Bước 2: Tính đạo hàm y′= f x′( )

Bước 3: Tìm nghiệm của f x′( )

hoặc những giá trị x làm cho f x′( )

không xác định

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

BÀI TẬP MẪU

Cho hàm số f x( )

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

A (−2;2 )

B. ( )0; 2

C (−2;0 )

D. (2;+∞)

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xét sự đơn điệu của hàm số khi biết bảng biến thiên

2 HƯỚNG GIẢI: Dựa vào định lý về sự đơn điệu

- Nếu f x′( ) 0, > ∀ ∈x K

thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

- Nếu f x′( ) 0, < ∀ ∈x K

thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 1)

− +∞

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3;+∞)

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;3)

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

● Đồng biến trên các khoảng

1

;2

, liên tục trên mỗi khoảng xác

định và có bảng biến thiên như hình sau Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (−∞ −; 1)

đạo hàm y′ <0

nên hàm số nghịch biến

Nhìn bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy y′ >0, ∀ ∈ −x ( 2;0)

.Suy ra hàm số y= f x( )

đồng biến trên khoảng (−2;0)

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y= f x( )

đồng biến trên các khoảng(−∞ −; 1)

và (−1;0)

.Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−1;0)

liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 5)

và (− −3; 2 )

ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;5 )

iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (− +∞2; )

iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞ −; 2 )

Lời giải Chọn A

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trênkhoảng (−∞ −; 2 ;)

nghịch biến trên khoảng (− +∞2; ).Suy ra: ii) Sai; iii) Đúng; iv) Đúng

và (2;+ ∞)

.Vậy hàm số f x( )

đồng biến trên khoảng (2;+ ∞)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−2;0)

+

=+

ax b y

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞2; )

Dựa vào đồ thị hàm số f x′( )

có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞2; )

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)

Dựa vào đồ thị hàm số f x′( )

ta thấy -Trên (−∞; 2)

: f x′( ) 0≤

nên hàm số nghịch biến trên (−∞;2)

Dựa vào đồ thị hàm số f x′( )

ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1;3

Dựa vào đồ thị hàm số f x′( )

ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞1; )

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

không đổi dấu nên x=0

không là điểm cực trị Nên

Xét hàm số y=2019− f x( )

Ta có y′= −f x′( ) ( )

y′> ⇔ f x′ <

.Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng ( )0;1

thì f x′( ) <0

.Vậy trên khoảng ( )0;1

Ta thấy trên khoảng (0;3) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến trên (0;3)

Vì thế f(0)> f(3).

có bảng xét dấu f x'( )

như hình vẽ

, liên tục trên mỗi khoảng xác định

và có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta suy ra, hàm số y= f x( )

nghịch biến trên khoảng(1;+∞)

Vậy chọn đáp án C

Câu 3: Cho hàm số y= f x( )

có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

đồng biến trên khoảng (−∞;0)

Từ bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

, ta có bảng biến thiên của hàm số( )

- Hàm số y= f x( )

nghịch biến trên các khoảng (−1;0)

và (1;+∞)

suy ra khẳng định ii) đúng

- Khẳng định iii) và khẳng định iv) sai

Vậy có 2 khẳng định sai trong 4 khẳng định trên

x x

:

Từ bảng xét dấu của g x′( )

ta thấy hàm số y g x= ( )

đồng biến trên cáckhoảng

20;

ta có bảng xét dấu của g x'( )

Từ bảng xét dấu của g x'( )

suy ra hàm số y= f (3 2− x)+2019

đồng biến trên1

nghịch biến trên từng khoảng(−∞ −; 1)

m∈ −

sao cho hàm số y= f x m( − )

đồng biến trên khoảng (−2;0)

Sốphần tử của tậpSlà

Lời giải Chọn A

Đặt g x( ) = f x m( − ) ⇒ g x′( ) = f x m′( − )

.( ) 0

g x′ =

12

Để hàm số y g x= ( )

đồng biến trên (−2;0) ⇔ m+ ≤ −2 2 ⇔ ≤ −m 4

.Suy ra S= − − − − − −{ 9; 8; 7; 6; 5; 4}

khi và chỉ khi t∈ −∞ −( ; 7)

hoặc t∈( )2;5

.Suy ra f t( )

đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 7)

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y= f (3+x)

nghịch biến trên khoảng (−2;0)

 Mức độ 4

Câu 1: Cho hàm số y= f x( )

có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= f (12x+ +1 m)

cóđúng ba điểm cực trị?

x= −

và đổi dấu qua

112

x=−

nên hàm số đã cho có một điểm cực trịtại

112

x=−

Xét hàm số y g x= ( )= f x( 2−5)

Ta có y′=g x′( ) 2 = x f x′( 2−5)

2 2

x x

2 2

x x x

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3)

nên cũng đồng biến trênkhoảng ( )0;1

và y t=

( ) ( ) ( )2 ( ) ( 2 )

y′ =g t = f t′ − t− + = f t′ − t − +t 

.Với t∈( )1;3

với 1< + < ⇔ − < <x 2 3 1 x 1.Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (− 1;1)

, do đó hàm số cũng đồngbiến trên khoảng (−1;0)

A

2

;2

= + với

1 2

x> − (Đồ thị ( )C

có TCĐ là

1 2

x= −)

Dựa vào đồ thị ta thấy

x x

t t t

1 1;01

1 1; 2

x x

x a x

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng (− −2; 1)

Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞;0)

và ( )2;3