27 đề thi thử sức vào lớp 10 môn toán

tham khảo tài liệu "27 đề thi thử sức vào lớp 10 môn toán" phục vụ nhu cầu học tập, luyện thi vào lớp 10 của học sinh

Trang 1

PHẠM TRỌNG THƯ (GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp)

Í)- Dành cho học sinh thi vào lớp 10 đại trà và lớp 10 chuyên

Ô) Ôn tập-và»nâng cao kĩ năng làm bài

Ô)-Biên soạn theo nội dung và cấu trúc dé thi cia Bộ GD&ĐT

NHA XUAT BAX TONG HOP THANA PHO HO CHI MINH

Trang 2

Nhằm giúp học sinh củng cố hoặc bổ sung kiến thức tốn lớp 9-

Phần II ĐỂ THỊ - ĐÁP ÁN

Giảm 27 để thí cĩ đáp án để học sinh tự rèn luyện kĩ năng giải

Trang quá trình biên soạn, dù tác giả đã cố ging nhưng cuốn sách vẫn cĩ

thể cồn những khiếm khuyết ngồi ý muốn Chúng tơi rất mùuà nhận được

sự gấp ý chđn thành của các thấy, c8 giáo, các cm học sinh để trong Jan tai

bản sau sách được hồn chỉnh hơn

'Yác giả rất cảm ơn Nhà xuất bản Tổng hợp TP HCM, Cơng ty TNHH

MTV DVVH Khang Việt đã động viên, khuyến khích và tạo mọi điểu kiện

để cuốn sách này sớm đến tay bạn đọc

vải B>0, 2C _CWATB) —~ với A>0 và A+BŸ, MA+B A-B :

ee ƠNG CASE) nn AB Boo Ase,

8 CAC BAI TOAN BIEN HINH Bail Vai gid wi nào của x thì các biểu thức sau cá nghĩa?

|x +420 k) Ta thấy x”

Nên d2+2x+2012 cĩ nghĩn với mọi x

Bài 2 Thu g fea các biểu thức a) A=QT-392+2-VÐ92

-— ee ae

~ fia a2 "đai

_ (10 + 26-205 345 |

V2-V5 (W643)

Po ie eae

4 p=2+3 f2+ j2+x3 pai yo+\2+y2+ là al2-J2<v2+v3,

Giải a) A=|MT-3| 3|+|b-v?|=-vW7-3)~@- ý?)=I

z : Tang Việt 27 46 thi thử súc vào lãp 10 mơn Tzán - Fram Trọng Thư

Lot di đều lbnả I =<: Tkese0 3 ay D = Jae 0e 2+ 2+ NB a? -a+j2+V3)

E am e) Biểu thức x3x+5 +v5— -x cĩ nghĩa khi 2 ng c-š<x <5 au = GS = Nhằm đáp ứng nhụ cẩu cúc em học sinh lửp 9 về tài liệu tốn dùng cho túc CHU ĐỀ THƯỜNG Gap ` ` =2+ J3a|2+vJ2+/3 412 ~ bi 3 = 2439/2 -2+3)

õn tập, luyện tập và cũng cố kiến thức hoặc kĩ năng cần thiết phuc vụ cho = f) Bidu thie fe ~4 cú nghĩa khí xï-4>0@œx >4 ©l|a|>2 F bile cử" “Nhi fade đ=t

các kì thi vào lớp 10 THPT và lớp 10 chuyền trên tồn quốc Chúng tơi biển Chu dé 1 CAN THUC BAC HAI (2012 1319 k ứ oh ek het Xu À

soan cuốn sách 2Z ĐỀ THỊ THỨ SỨC VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Ẹ Hết, b g) Biểu thức dàng cổ nghĩa khi 4- x” >0e>x” <4 |xi <2 “pais Cho tiểu thức E -(34- - “|

¬ |

Cuẩn: sách gầm hai phần 2 = oa i h) Biểu thức vx? 43x —4 cĩ nghĩa khi x° +3x—4>0 ©$(x— DJ(x + 4)>0 (vớix>0:x #l;x #0),

: 1 Với số dưỡng a, va được gọi là căn bậc hai số học của a 7 gg 5

is 'HỦ pf; THƯỜNG GẶP ï Rút B: b) Tim x nguyễn để P nhận giá trị nguyên Khẩn [ CÁC € + , Số 0 cũng được gọi là căn bắc hai số học của 0, ] px Giải a :

; ự z ^

2x41 1 vai a) Tacé P= - ‘ ——————

oo Lag? 1 Wx :]| xtvx+l |

_2xtl-f+ feat) x4vx rs vx

tổ Hằidti Ra VXỀ 3

Je _(ýx-3)+3 3 b) Tacé P=—— St SS

Vai mai | Biểu thức VX —3 cĩ nghĩa khi x— 3> Ú >> 3 =(J5+10(6 -2J5}=(6+25)(6=2v5)=36~20 = 16 SO asia

kG ¿Nhiều 'Biểu thức V5—x cĩ nghĩa khi 5—x >(Ú© x <5 «2-3 6+ V2) = 2 = V3 N29 + a4 9 9 ED ee o> neta thi ee Ly

lim xã 'Y5x? +2012 cĩ nghĩa với mại x (vì 5x” +2012 >0 với mọi x ) =/\B=0{5+0=@5<p.V3+0=v8 -lÊ <2, : c4: (TH +2 fea +|y aa oe 2) +2 i=

Tap iwe Tiểu thức Vx? —4x 4.4 = =(x~2]ˆ =|x 3|> 0 cả nghĩa với mọi x ng h?- der |x-

27 dé Thi tht séc waa Wp 10 mon Tốn - Phạm Trọng Thự | È Gty TRHH MTV VVH Kháng Việt 27 để + thử sức vận lún 10 mén Toin — Pham Trong Thu Y tự TNHH MTV IVVH khang VIỆ1

MATS TN ies aan khi Jx-4-2>0

Ne 8 SRA eee” hi ahead ed

a) Rut gon biéu thife P

b} Tim cắc giá trị của x để P >0

Giải a) Điều kiện x >Ư x # l

Be RSE TEN MT Ge eM a biểu đc ~aŸ

Qx+jy)” 2ỷy — _vx-jy _

Bài 9 Cho biểu thie P= 4 -* 4 =

REN COREA OAK

C BAI TAP BE NGHI

đài 1 Thu gọn cúc biểu thức

OU pada ferences fp tak fas tei ML)! BS (Wi a, b> 0, ae),

Lae 1 Pa ree a—xah

- 2 Thu san các hiểu thức

- v2 + 432/5 —J2+2 vI0

SEN EEN Sve W344 yl 62 — 5426

€ cay Ja-2 fia

a TAY h5

VI2+6V24J2+2+v2.j2- 2+2 v28+10./3 — [2810/3 2+3 Rods 2

Bài 3 Cho A=J4+V12+3V3 +J4—J12+3 V3 Chứng minh A = 6 +2V3,

Bài 4 Rút gụn hiểu thức T = AJx+2x/£x—l +wjx—3./x—I (vdix 21)

2 3 =

Bai 5 Cho biểu thức P= “2ˆ =9 ae 9, 0Á yy! + Devi way

xvx tyjy Chứng minh biểu thức P khong phụ thuộc x và y với x>0, > U,xey

¢) Tim cae gid tri cla a sao cho T <0

_——

~64x-9++ 4x4-91fdx-4- Bằi7 Cho biểu thức P— CÝ 6\Jx—9 +VWx+6vJx—=9)(vVK—4 2),

x—4vJ/x—4

a8) Tìm điều kiện của x để cho P cĩ nghĩa

b) Rút gọn hiểu thức P

Fae eee Bãi 8 Cho biểu thức AT ĐH oun?

~xÍx 4-1 ay

hb) Gid sth x > 1, Chitng minh yy =

¢) Tim gid tri ahd nhat của y

= = 5 1 v3+5 1

=Ix3+l-3y3<6+=i3+J3 E No -p 5| ads, 0 s33, 2 Se

và tp neu a>b 4) D= (a-hy Bs jab š va

Trang 3

37 đế thi thir site wan Mp 10 mon Todn = Pham Trạng Thư 1w TNHH WMTW DVVH halla Vidt

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIAC VUONG

A KIEN THUC CAN NHỚ Xét tam giác ABC vuông tại A, dung cao AH DaLBC =a, AC +b, AB=c,

AH=h, CH=b', BH =e’

* Các hệ thức lưựng trung tam giác vuông A

cá =h te hỶ=a,b .e=uc -h,c=u.h

DE? DF’ BD’ DC’ ADT b) AE.AB=

Giai a) Trong tam giác vuông ADH, ta có

mm 1 1

TT „+ 2 (1) DE- BD" AD

Trong tam giác vuông ADC, ta cd

=R~2/4~2v3 =8+2-J(V3—ÐD° =8+2(V3=1)=6+23 (-? }-2 ae e XP e Trong tam giác vuông ADC, ta có AF.AC=AD? (4)

Bài 4 T=V(VX—I+U +Vj@ÄX=1<DP =VX<1+11|#x—1- | —— nếu ä >18 Fest tu say rt

7 : Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB e BC=a, CÁ =b, |

Mx-I+l=(VS=l=l) néu vx-1-1<0 ra + tang= 5% cota ="

:l*tn°a= L ¡Il‡eotˆ®S——- Giải aaa igs Bi css 2aụ—9 2a 3(t? +9} 18

j cos sing cos: sin? =: aie _J2vx-l nếu xề2 bị Theo giả thiết + hop PP nợ os ; =2t+—

* Tỉ số lượng giác của hai goe phu nhau Vé phan st Bere) i B

ee Gea cong SINH xen ố Ê JOM Ap dung tinh chất đường phan gide

Fg Sat? <r nt? ss er, Néua+f =90" thi sina = cos, cosa =sinf; lana = cot; cota = tanp j ‘ Hike, Bees eee ) = a=tU+9.t>3,Iec2) % ay

nh a trong cho tam giác vuông ABC, la có

ì ` Vy FT ii 200666056! Hé thite pitta các cạnh và các góc của tạm giác vung AD_AB_ AD

pipe b

3 3b(a — b) G by +20? +B? BP BNE BUY ccna và t>3,tcZ b=asinB=acosC ; c=asinC =acosB; b=clunB=acolC; ¢=btanC = beotb — => — _ be _ AS (1)

Taté Peg = Le (6,9) 18} > ae (45, 90; 333}: nang TẢ:

ĐC BC AB BC AB+BC atc (a+b)q=b) tớ divs B CAC BAI TOAN BIEN HÌNH

` Bats oti WF LivoS) 20 Dodd y Rip a by

2 : h Bài4 Cho tam giác ABC cần tai A, dung cao AH Kẻ HK vuông góc với

ai : ae Trong tam gide vudng AMC tacd CM" = AM" CÁC” (D

AC tai K Chitng minh(AH -CK)(tanC + cosC)= (AH +CK)(tanC —cosC)

Ja 142 r=] 0! e " '.'" fee isa V1 Trong tam giác vuông ABN, là cũ c Giải s

t————=——=—: = : 3.4JX“ˆ —*——-—= vXx-~| -=—*-— te Ẳ

> i

Hư an} ^l§jx ah dacs twee Phd Oh 7} 4 4 BN?=AB LAN? (2)

“Trong tam giác vuông AHC, tá có

ee Vậy giá trị nhỏ nhất của y là -+ ki vx -L=0eox-—- bass dog gi ; tine - 7 > c= A

a OK = = ee 27-18 thi thr sule yao lon 10 mân Tain — Pho Trong Tru

ety TH atv yt nang viet

Từ (1) và (2) suy ra —— = | Í7 Chứng mỉnh rằng —— “=— ` — (I 5

giác vuông AEN, lạc

—¬- Bài Chứng mình rằng sink _L-+cosx ie Bài 9 Cho hinh binh hinh cé A =a,cde duting phiin giác của các góc A, B, €, D

- Trung tam giác vuông AEN, tạ có A B

Beni L6 6à kceai AE SR BN - OR See Giải cấL nhau tạo thành tứ giác MNPO (như hình vẽ),

tan coạC túnC-eosC tanC+cosC Taed (1) <> (1 —cosK)(1 + cosx) =sinxsinx <> 1-cos?x =sin?x u) Chứng mình tứ giác MNPQ là hình chữ nhật `

AD? AB* AN" M

— hay (AH~CK)(tan€ + cos) = (AH +CK)(tanC — cos) es 8 b) Chứng minh Q c^ ky - oe et “ bà

Ï Bài 5 Cho tam giác ABC nhọn có AB=c, RC =n,CA =b Chứng tinh: 2 men, (ng Am is a ee an ` BC AM AN’ E D C N

| ne et oa 1296 0ú Bài 8 Chứng minh cdc hiểu thức sau không phụ thuộc œ : |

SP =(AB-BCy sin—cos—- ie << ° (do AD=BC, AE= AM)

fai ts Giải A =(cold — tanu}” — (cotd + lang)” Bài 10 Cho tứ giác lỗi ABCD có các đường chéo AC và BD cắt nhau

tại Ô, góc Bài3 AB>AC=> H thuộc doan CM a

Ké dufing cao AH (He BC) va dat AH =h, HC =x, # Giải

= : 1 h ä) Trong tam giác vuông ABC, ta cd

Trong Làm giác vuông AHB, ta co Á =coLŠu ~2cotg.land + tanŠœ —(e0LÈa + 2cotatana + tan2a) =—4tana,cota =—4 (dpem) BRR EE St EMA OEE Saar: 3 a

AC? = CH.BC = 2CH.BM

fot +apl.sáp z É C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bải 11 Chứng mình ny Biles: 2CM_ BC _ BC (Be Š

“VN

Se bao aN a I0 10 g 2M |

Hay (a—x} =c° =hŸ Bài 1 Cho tạm giác ABC sô tí À tại Á, đường cao AH, Hạ HM vuông góc với a)sin'x—cos”x =2sin'X~l

HC AC” ACE NAC) C H ah B

ee i so ea Buca oc AB, Cling minh HA + HM =\BHHC + VBM.MA by cot?x = cos*x = cot?x c0s"x, ae SDM ĐC

at oP at oe Ee she 4 5 Bài 3 Cho hình vuông ABCD PIN thẳng đi qua A cất cạnh BC tại M cất / 2 42 ¥

‘

ms ee h 2ax =a" +b" - ZabeosC (dpem) 1 cì| siax “ai +[coss mii)

etdntemcotix Ss) a) Trong tâm giác vuông AHB, taco AH" =AE.AB (l) Bài 6 Chứng minh: đường thing DC tai N, Chứng minh ——+=——1 =7 ' À sinx cusX j

eae 3 :

TT Trong tam giác vuõng AHC, tà có AH” =AF.AC (2)

RELEASE A = fe XI X: = Bài 3.Cho tam giác ABC vuông tai A, ke đường cao AH, trung tuyến AM eS ak TỔ HC

AB_ AF

b) sin*x +cos"x wo |_—deinteccark + Baia Secs (AB > AC) Chứng minh: ‘

cosa+sinad cosa-sina tìn°ú—]Ì ° Tiel) va(2)suy ra AE.AB=AP.AC>— aa KẾ sinx + cosx —1 2cus amet sữa gã:

ở SN Saget pte sane “en essay yy 20M -() °) — — oi si b) Tam giúc ABC căn tài À A

————————_- - oe = .BM 5 —cú§

poe AG Giải Bài 4 Cho tam giác ABC có đường cau AH (He BC) Kẻ HE, HE lần lượt vuông fcosx [ tt tn | “+ taux =2sinx

cos) củsx

sin? >, sin?x(1—cos?x) _ sin?xsin? với AB, B, Fe AC) ni ea

a AE a) VT- ain date ntit x(I oF x) _ sin = x kóc Ta A CA AC) Bài 12 Chứng minh hiểu thức sau không phụ thuộc vào x 4®tam giác AEF cân tại A E c

pc Z d ị cos” x CDS”X 8) Chửng minh —— = a * nã sinx+ eo2x=1 Bài 5

See Seer ee otis Bai 5.Cho tam gide ABC nhya c6AB=¢,BC=a,CA=bva AH là đường cáo iis — lS oe meee thors ‘

VT =a'+b* =(a? +b)? -2a7b? =[(a +b)? — Zab]? —2a7h? cia tam gide ABC Ching minh b? ~c? ==a(bcosC -ceosB) 4sin 4 cos°x — 4cotlx

“Trong tam giác vuông AHC, tá có Ẹ

=(1-2ab)? -2a2h? = | —4ah + đa “hÊ — 2a°bŸ =1—4ab + 2á bŸ Bài 6 Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến AM và AM=ÁC e) C=2(sinfx +cosŸx +sin xceos 2x)” —(SinŠx + cos”x) bỀ=ÁC? =CHỈ+AH” (2)

=1~=4sin xcqs°x +2sin xeos°x (đpem): “Chứng mình: tanC = 3ranH D HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

na my Beetle ee rae

Pe Berg 2 )VT= sinŸx —¢os*x(1 —2cos?x + cos*x) _ sin*x —cos*x(I — cos*x)* Bài 7 Cho tam giác ABC ng slat A, M thuộc BC Bài 1: Trong tam giác vuông ABC, ta cá Ậ — Tung, nành BH) = BC{beosC - evosB

cos*x —sinˆX(1~2sinˆx +sinŠx) - cos'x—sin x(1—sinfx)? Chứng minh: 3MAŸ = MB” ~ MC”, HA” =BH.HC = HA =vVHH.HC (1) 7 b : ce B a

sin*x —ecos?xsin’x — sin*x(1—cos?x) _ sin'xsin?x Bài 8,Cho tam giác ABC vuông cân tại A Đường cao AD (De BC), kể DE, Trong tam giác vuông AHB, ta có

| i Pete +

=“) i = ss DF lini Ba eat UCN Bài 6 (Hình vẽ xem lại BTBN bài 3)

l0ï`x X0 xà cú -sinx) (0s txodcSx JE lắn lượt vuông góc voi AB, AC (Be AB, F< AC), Chifag minh HMÊ = BM.MA co HM = JBM.MA (2) B

H Ké AH 1 BC (H thude doan CM) Ta cé tanB=——, tanC = —_

—— =tan°x (dpem) Ñ—-|_—\ bì BC.BE.CE = AD” Công (1) và (2) theo vế => đpcm

BH cil

1

Mặt khác tam giác ACM côn tụi Á nên CH= HM= 5oM = 4 BM = BH

Do ử ø tanC~35B- ÍTHỰ VIÊN TINH BINH THUAN| = 2 , " s

Trang 4

27 a6 thị tử sức vân lâp †0 mộn Tuần - #hạm Trạng Thư

Bải7 Hạ MH LAB, MK LAC=>MH=HB,MK=KC g

Tứ giác AHMK là hình chữ nhật HLM

Suy ra MH=AK,MK= AH

MA? =MK*+AK* (I)

MA? =MH*+AH* (2)

Cong (1) và (2) theo vé, ta được

2Ma? = (MH? + AK2)+(MK? + AH?) =(MH? + HB?) + (MK? +KC*)

Cty TNHH MTV 3VH Khang Việt

Tw (1) vA (2) sny ra MN = MB =NB=(AB ~BCjin=+

Tương tự QM =(AB~BCJeus= - Suy ra Suwpg =MN.OM =(AB~ BC) sïn 20057 Bài10: Hạ AH L BD, CK L BD(HeBD, KeBD) Dién lich tam giie ABD Hy Spy = ; BD AH= = BD.OA.sina

i (1) có hai nghiệm n biét x, =———

s atebt=b cathy =38b—L,._ 2-2-2 (mem, Az0 Je ghiệ m p 1,2 3n

À= NT a +b`-l .h.L (a+bƒ-3nbm+b)-l ee 3ab(a+b) l-3nb-L 3 A=0 (1) có nghiêm kép x, = Ny a Mwy “it \ Me

„ Biến đổi A về A= A” >0 với mọi m

hoặc Á= At K >0 với mọi m

+ Phương trình (I) cá nghiệm x, và xạ

khia z 0và A >0 Từ đó suỳ ra điểu kiện của m

‹ Biến đổi các hệ thức đã cho vỄ các biểu thức theo x, +X; Và x,X; VÀ sử

Tìm m để cúc nghiệm của (1)

thỏa mãn một số hệ thức cho

trước đụng hệ thức Vi-éU S=x,+%,.P=x,x,

suy ra các giả trị của m

+ Đấi chiếu giá trị m vừa tìm với điều kiện và kết luận,

Tìm một hệ thức giữa các

nghiệm của phương ưình (L) độc

lập đối với m

+ Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hat

Cho phương trình bãc hai aX? +hx+c=U (as) (11 Ta có:

+ Phương trình (1) có hai nghiệm Irái dấu khi và chỉ khi P < 0,

Az0 P>d, S>0

+» Phương trình (I) có hai nghiệm đương khi và chỉ khi

+ Phương trình (1) cá hai nghiệm âm khi và chỉ khí

II, Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai

1, Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ta lầm như sau:

„ Tìm điều kiện xác định của phương trình;

„ Quy đồng mẫu thức và biến đổi vẻ phương trình bậc nhất hoặc bậc hai (ong điều kiện xúc định đã nêu);

» Giải phường trình nói trên và chọn nghiệm thôa mãn điều kiện xác định

2z, Phương trình tích

Phương pháp giải

„ Đưa phương trình đã cho về dạng A B C =0 (*)

«+ Giải phương trình À = (Ì: B =0 và C = 0 tá được nghiệm của phương trình (*)

® Nếu ET () cá một nghiệm đương thì FT (1) có 2 nghiệm

-#® Nếu PT (2) võ nghiệm hoặc có hai nghiệm âm thì PT (1) vô nghiệm

4 Giải phương trình hằng cách đặt ẩn phụ

« Đặi điều kiện để phường trình đã chủ xác định (nếu có);

® Đậi ẩn phụ, biến đổi nhưững trình đã cho thành phương trình theo ẩn mới

VÀ giải phương trình đó;

+ Giải nhướng trình mới với ẩn ban đầu và xác định tận nghiệm

; Oi oh chang thaeg pap Dang 7, Phiting trinh dang (x +a){x+ b)(xt+e)(a td)=k (1)

với a+b=ec+d

> (Uy dave viết thành ix? +(a+ b)x +ab][x? +(c #d)x +ed] =k

= Bat t=x*+(a+ box ta dude phường trình +ab)(t +cđ) =k (2)

=- Giải (2) tìm L từ đó tìm x, Peng 2, Phương trình dạng (x+a)Ÿ+(x+b}! =c ()

Tữ (2) khai triển và rút gọn tà được nhương trình trùng phương theo t:

~_ Giải phương trình trên tìm t, từ đỏ tìm x

Đạng 3 Phương trình dạng ux +bx? +ex” +khx+k?a=0(1) (kì <0)

đối vớiL: aũ?2k]+ht+e=0 (3)

~ Giải (3) tim t, tif dd tìm x :

5 Phương trình chứa ẩn ở trong giá trị tuyệt đối

oo L|A=-B)

6 Phương trình chứa ẩn ở trong dấu căn bậc hai

- Đặt điều kiện để phương ưình đã cho xác định (nếu có); :

~ Tìm cách chuyển vế thích hợp rỗi bình phương hai vế để làm mất dấu căn

giải phương trình tìm dược; thử lại kết quả, Dee bree

Nếu phương trình đã cho được biến đổi về dạng VA =B thi ta dùng phương

: 1 I Dién tich tam gide BCD IA: Se, =— BD.CK = — BD,OC.sinu yA et kA ES tr ` sunbed ites » bang sau:

a) Trang tam giác vuông ADB và tam giác vuông ADC, ta có ‘ È ReneS 4 B= ‘eh Abe hab ai 4b dab im củu phương trình bậc hai được tếm tất trong bang sau:

và DC” =EC, AC (2) Bài 11 a? A$ + 40h _ | (dpe), A'>0 (1) cớ hai nghiệm phân biệt X14 Rare

Từ (1) và (2) suy ra DC FC AC 3) a) VT =(sinˆx —eos°x)(SỈn x + eos”x)= sinˆx ~ (1~ sinˆ&) (đpem) Ífụ=sinˆx i A'=0 (lì có nghiệm kép x, = x = Ni

lí là 2 re NÊN TÌ -IÊN = eœ)Cáchi: Đặt =u+v=l = : Độ it mail

Trong tam giác vuông ABC, tà có AB” = RD.BC và AC” =CD.CB bì VT- = * vos?x = ee ee ees = cot®xcos?x (dpem) \v =cos x co (1 vô nghiệm

šuym DB A Per ` (4) Ñ en ee oe | Ta có C=2(02+v2+uv) ~(0 + - : chú ý

3 = 5 +—— + cos"x +2¢ hb : 3 3 3v# * i 3 lê ala

ĐC, AC BC a o mate fet WP gate ee ee =2[(u+v]” = 2uv+uv]” =[fW +v”} 20") ~_Nếu phương trình (l) cú a+b+e=0 thì (1) có một nghiệm x, =1 con

Tử (3) và (4J suy ra “Ty =| a | BR Ẫ | —tan7x—cot?x =20~uvŸ — flute - uv} ~2ux!J Am a:.-< 1

ain sik ácE =51 (11 cotˆx) +(1 + lanˆx)— tìnÊx — eotPx =7 (đpem) 12% 1 3uvy ay a b :

oy Tete pH XU 2n hi hae site EBD Ệ ae : Bs s i + t : =2(1~2uy+w v'}~(L~2w) ĐÁ : S2 - Neéu phương trình (|) có a-b+c=0 thì (1) có một nghiệm x, = -l cồn aes, = asi d)VT= "— Ắ.ẮỐ & ee =2(1-2uv+ wy? )~(1~4uv+4uˆvˆ}+ 2uˆvˆ i

AB BC K3 BE Bc? Sỹ tnỄ 2 ee nh =2~4uv+2u2v2—I 4uv ~ u2v2 +2u2v° =1 (đpcm) ee) = "7

ay BC? ety ` ect (đncm) wesintxdeos'x [u? =sin"x+cos*x +2sin" xcosfx Nếu phương trình bậc hai ax? + bx +e=0 (a # ĐỊ có hai nghiệm xạ, x; thì

Từ (5) và (6) => BE.CF -“ (7) cosa {v= sin*xcos?x i =sin XCOS x Xy+Xy 7 _ 4X3 = =

Sinx +cosx — 1 2cosx sinx + (casx —1) 2cosx 2 _ yt -2v? 2 auvev?y- ut +2v7

eS = e iin é eS 6 SF y= —2v')=2(a" + Zuvtv Jew tev : coor rà

a a 7 3 ` l-cox — sinx-cosx+l co — sinx-(osx-l) NHI Nế TT 06 2g 3 = 1 3uusdv2cu + 2v) Ngược lại, nếu hai số u và v có lổng u+v=§ và tích uv=P và § >4P thì

3 and 3 „ ; =2u2+4uv+2vˆ =ú” +2vˆ =0 +4uv+4v” =(u+ 2V ‘ et 7 1 `

Từ (7) và (8) suy ru Hee AB, AO tpn: sin?x = (cosn 3 We = 2eosx(1~ cosx) 4 suit tua +2 243° =1 (apem) Và vlà các nghiệm cũu phương tình X ~SX+P e

BC BC tu 2 =(sin?x = cos*x +2sin’xcos*ay’ =[(sin"x + cos"x P=! (dpem) + Một số dạng thường gặp

Bài 9 (5:7! (ìn—opcn Š Cho phường tình ax” + bự + e = 0 (1) (với a, b,c chứu tham số mị x là ẩn số) " x = a, b, t số m, số]

TIỀN THẾA + ar ee : am) += ° TK ịu + tmx) -—_ Py ai Chui dé 3 PHUONG TRINH BAC HAI VA MOT SO — Cách giải

*XẺ 'HƯ TRÌNH HAI Ề ane

b) Trong tam giác vuông AMH la có sin’ = MIS => MB = ABsin = ũ) CN rs ore PHUONG TRINH QUY PHƯƠNG BẬC (Tim m để (1) có hai nghiệm lượn:

eA al ; # =cosx) (1+ ann =F poems = Am (dpem) A KIEN THUC CAN NHỚ [Phân biệt xị và x; — Ỷ

EE OS REPS ee TH ch hơn se ' oer 1 Phương trình bậc hai và cách giải ig „ Tìm m để (|) có nghiệm kép và („ (1) có nghiệm kén csuz0 vũ Ã =0

EE Phung trinh bic hai cd dang ax? — bx +¢=0 (a #0) (1) va bigtsd Á = h” — đấc

LtÍnh nghiệm kép đó, i

Ad

27 of tm trữ sức vảo lân 15 môn Tuần - Phạm Trạng Trụ a ty TNHH MTV DVVH Khang Việt = ty THHH MTV ðVVR: Khang Vid

a ee ——= —— = 27 để thị thữ súc vào lép 10 mện Tưän — Phạm: Trạng Thu —— 5

Dạng 1 Giải và biện luận phương trình bậc hai và các dạng toán liên quan Bài 1 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

(m+l)x° +2tm-2)x+m- 7=0 (1)

Giải (1) có dạng ax” + bx + Ð với =m +1, b=2(m= 2), h=m—3,¿=m—7

4 j)Nếu m+I=0 hay m=~I thì (11 ở thành -6x-8=Uc9#=~—:

0 Nếu m+L#£0 hay mz—L dĩ (1) là phương trình bậc bai có biệt số A'=tm~2)” - m+1)(m~— 7)= 2m+ LÍ

+ A<f€©S2m+ll<U<s+ mat, Phương trình (L) và nghiệm

+ồ ÀŸ'=0<>2m+l1l=U©m= _ Phương trình (Í) có nghiệm kén 3m 5

ni+/ 3

XP + A> Oc Im+l =O m> = Phương trình (1) có hài nghiệm phân biệt

_2-m#‡v2m+ll

m+1

| - kẻ wes! (1) v6 nghiệm

5 n i 4 m ` (1) có nghiệm kép xị =xạ = nà m==l:{l) có nghiệt! § = T”

° m>— (1) có hai nghiệm nhãn hiết Xị › = ——

Bài 2 Cho phương trình x —2(m~3}x+ m =0 (lh

_#) Tính A'

-b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? có

iệm kép? vô nghiệm?

Trang 5

2T để †hi thử sức vàu lúp 1ð mũn Toán - Phạm Trọng Thu

Phương trình (I) có nghiệm kép © À' =0 =m =

Phương trình (I) vỗ nghiệm A'< em >ếi

Bài 3, Tìm các giá trị k để phương trình sau có nghiệm duy nhất

(k—Ix? + (2k -Dx+k+3=0 (1)

Giải

Phương trình (1) có dạng ax? +bx +e =Ð với a=k~1,b=3k—l, e<k+3

và hiệt số A=(2k~ HỂ -4(k =1)Œ+3)=~I2k+13

: k-lz0 3 Phermeg trinh (1) e6 nghiém diy ohit a k-1=0 howe T8 k= hoiie k="

Bài 4 Chứng minh nếu 4a, >2(b, +b,) thi it nhất một trong hui phương trình

x°~ux+b,=d (1) vd x? —a,x+b,=0 (2) có nghiệm,

Giải

Ta cé A, =a?-4b,, A, =a}—4b,, Suy ra A, +A, =a? +43 —4(b, +b,) (3)

VA ajay > 2(bị + hy) = 2ãia; > 4(bị + by) = —4(b, +by)> -2aja,

(3Ì A, +A, >a? +3 —2a,a, =(a, -a, P20

ViA, +A, >0 néned ít nhất một trong hai nhượng trình đã chủ có nghiệm

Bài 5 Cho phương trình bậc hai ax” +bx+c= (a#0) (D), giả sử ä, by c là

các số thỏa mãn 5a +4b + óc =0, Chứng minh (1) có hai nghiệm phân biệt

Giải dUAC AAT Fe Từ5a+4b+óc=0=>b—=- 8£ ÕÊ _, 2 = 258 + 6iic + 360

4 16

Ae No 7 cdg Dane 4

Tả cổ A=b2-4ac 28 im _fa 2cy a +32c +0

Suy ra dpem,

Bài6 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì

phương trình cŠxŸ ~ (bŠ +e? ~a°)x + bỂ =D(#) võ nghiêm,

Giải

—a?y? —de7b? = (h? +7 — 0? +2eb)(b? +c? =a? —2ch)

=[(b+c)* —a7][(b—e)? -a?]=(b +e + ab +e—a)(b—c4ay(b—c—a)

e là độ đãi ba cạnh cia tam gide nén A<0, do dé (*) v6 nghi¢m

es x, +1=0(1)

Bie &

Xổ +X„ + =0 (2) Lily (1) writ (2) thee tite ve (m~lt,+l~m

=€m=l huặc x, =1

« Với m =] ta có phường trình xˆ+x~l=0 vô nghiệm

* VỚI x„ = l,thay vào (2) la suy ra m= ~2, Ngược lại m = =2 thì phương trình x)=2x+1~0 có nghiệm kếp x=l và phương uìnhx”+x—2=( cú nghiêm

x, =1.%) > —2 Vậy với m =~2 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung x = l

Dạng 2 Hệ thức Vi-ét và các dạng toần liên quan

| Bài 8 Tìm m để phương trình mx ~2vx +m =f (l) (m #8} có nghiệm

Giải Đặt vx =y20, phương trình da cho tnd thinh my? ~2y+*m=0 (*)

Vì mz0 suy ra nhường trình (*) không có nghiệm y =0

bể phương trình (L1 có nghiệm thì phương trình (®) phải có nghiệm đường tức là

A‘=l-m? 20 Bah 0 fe #02831

2 m>0 S=—>0

m

Bài 9 Cho phương trình x? —2(m—Nx +m-3=0 (*) a) Chứng minh (*) luén od hai nghiệm phân biệt XỊ, Xs Tìm một hệ thức

kiỮa x(và x+ độc lập đối với m

b) Tim m để (*) có một nghiệm hằng -2 và tỉnh nghiệm thứ hai

Tm m để (*) có hai nghiệm trái dấu

_ Giải 8) Phươn s trình (°) có dạng 1X” + bà +e =0 với u=1.b==2(m =1), b=-(m~1).c=m-13

lbiiy Si 2l aca "TP 5 4¢m? — 8m + 16)~2(m.— S)(m — I) = 30m” lim +25)

ar "Ï““ &) 1" .ố hoặc m~—7 (loại)

Từ (2>m =P+3 (3) Thay (3} vào (1) ta được §=2(P +2) Vậy giá trí m cần lim là im = 3 :

Vậy hệ thức cần lìm là x, + x; =2(X¡X; +2} Bài 11 Cho phương trình x2 ~(3m+2)x—3~ 2m =0 (1) |

h) Bé phueng trink (1) c6 nghiém bing =2 thì a) Chứng mình rằng nhương trink (1) luGn có hai nghiệm phần hiệt xị, x; với

(~2}”~24m I-3)tm<30344+4m=4+m =320%m =.: -: las ahd ale

be tee St tea x sẽ 5 2) (1) có dang ax? +Bx+c=0 vđia=l,b=-(3m+2),e=~3~2m

Fr : 6 Vậy với m =š thì (l) có một nghiệm hằng —2 còn nghiệm thứ hai bằng s e] Phương trình {1) có lui nghiệm trái dấu khi P <0 + m—3< 0 cm = 3

Eäi10 Cho phương trình (m — px? 4 2¢m -4)x+m-5=0 (1)

2 pis vss Be a a) Tim m dé (1) cd hainghi¢m phin bidt x,, x5 thoamin x, nu

2 18.41 b} Tìm mì để (|) có hai nghiệm phân biệt Rye Xs théa min ae =3

= m

Nên x,x, =3=—— =3=m ~5= 3m =3 => m =1 (thỏa mãn (®)) 2 fe m#l vàmzã

Bài 12 Cho phương trình x” + px~2=0 (1) và x” +gx+2=0 0)

Chứng minh nếu ø và b là nghiệm của (1) cền e và d là nghiệm của (2) thì

(a=e)(b — cl(a +d)(b +đ) = 2(g” ~ pŸ) Œ9, |

Giai

Tá cổ (a —¿)(h — c)(a +U)(b 4d) = (@b-ac—be+c? Kub+ad+bd +d?)

Theo hệ thức Vi-ét, tà có a+ b p, ab=2, c4+d =-q, cd =2 và ah =cổ VT(*) = (cd — ae — bế +€ŸJ(ed củd + bú +d?)

=[e(+ đ) - cía + b)|[d(c + d)+ địa +b)] = (pe — qe)(—dy — dp) : = =d(b ~ q⁄(q +p) =2(gˆ ~ p”) (đpcm) -

Bài 13 Cho phương trình x” + mx+nñ=5=0 (11, Tìm m, n sao chủ

Vai x, on Xs -= ta được m=-l6 va n= (thỏa man (*)),

Vậy các giá trị cẩn âm là m==l6 và naa,

eis Ca BRIO 5 wae

oj =r Pee edd ea sbeok:

Ấp dụng h p dụng hệ thức Vi-éI, la c6 x; ~ xy “3 XIXạ vã ` :

(ot) #45)" ~2XIXa +X +1 _ T16

Xp tXp+XyXy +1 a (_*.),{ |

te lệ eed

= : ca 2x 6 2 = 4-20

320 RES B= x sox? -2x-7=0 “ Biệt số Á' = 8, Phường trình có hai nghiệm x, =I-22 x;=l+22

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x =8

-đị Điều kiện Kea]

ee 83 IT pare 414) + 12a =x 3} 17K? 1) ,

x" -16=0 km

xà hs

c3~

és Š # his 4 =3+x105 Vậy phương trình đã cho có hài nghiệm Xị = yo ¬

€)XẺ +2x” -3x -6=l €#(x+2)(x” lo.) el

x= ae

Vay nhương trình đã cho có bạ nghiệm x = = =H

đ) x” + x” 12x -16=lle+(x—2)@ˆ hang vi? ini

x? 43x4+820

Phương trình x°+3x+8=U vỡ nghiệm yi A=-23 <0,

Vay nhường trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 2

ai x-1=0 L(4m—l)x-I=0_ (2 Thyau cầu hài toán thì (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác I tức là

{A=(4m-1)7 4420

tm

at e(am=1.1-te0 4

b) x* —x(-4x? +2 #3) =x(4x" le | Giải

19 Giải các phương trình —ˆ _8Jx!—7x? Lú=0,

8) Đãt u =%” [u >0] tà có phương trình uŸ — 7u +6 = Ú

=l2= ated [eed

B=6 |x? =6 _x=tv6 V4 ý v Z ss x=tl

Vậy phương trình đã chu có bến nghiệm ce

CYNu=i+/6= x?si+ V6 x= ave vã,

` Vay phương trình đã cho có hai nghiệm x = 41+ vã

+ Cho phương trình xỶ ~2(m ~ l)x? +2m +1<=0 (1) Tìm mì để (1)

4 nghiệm phận biệt b)Có 3 nghiệm phân biệt e) Võ nghiệm

Giải Bat u=x? (u>0), Phương trình (1) trở thành uw? —2(m + u+2m+1=0 @)

Trang 6

= 2? để thị thử sắc vắc lép 10 môn Toân - Phạm Trọng Thứ “= 0ty TNHH MTV DWWI| Kháng Việt 3? để thí thù sửe vâa Múp 10 môn Teán - Pham Trọng Thu b Eiy TNHH MTV DVVH Khang Việt A'=m2; S=2(m+l); P=2m+l Giải phương trình này ta được x,» =243V2 « Khi x< rage Phương trình đã cho tương đường —5x-2=4—x esx ——-— (nhậm) 2 1 —— an ee

a)(1) có 4 nghiệm phân biết © (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Vậy không tìm được giá m thỏa mãn để bài

Bài 21, Giải các phương trình

4

= 2 Phương trình đã cho trở thành uˆ -6u+8=Q | So (thỏa điều kiện)

Với u=2, ta có x°~2x=2 hay xŸ~2x—-2=0

Giải phương trình này tú được xỊ, : =I+v5

Với u=4, ta có x” -2x=4 hay x?~2x—4=0

Giải phương trình này ta được x; „=l+ v5,

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x, ; GI j7: Xà =I12+j5

bì (x-l)(x+2)(x—06)(x - 3) =34©(x—x~ 3)(x +2)(x - 6)=34

eo (x? —4x 4+ 3p(x* —4x-12)=34 (1)

Đất u=x? —4x=(x—2)? 4 ue-4

Phường trình (|) rd thank (u + 3)(u-12) =34 2 u* ~9u-70=0

c€>u=l4 hoặc u—-Š (loại)

Vay phương trình đã cho có hai nghiêm xị ; =2+ 32, 1+3

SN <7 Phương tinh di cho wd thanh (1—1)4 + (+1)! =82 hay (2-20 +? +0? +214 1)? = 82 9 18 460? -40=0 (1) Giải (1) ta được L= +2

Vậy phương trình đã cha có bẩn nghiệm x =3; x si x=-2+3

Vậy phương trình đã chủ có hai nghiệm x =3+ M3;x=2+2‹

#Öý sm¿ Ìí thuyết xét đấu f{x) =ax + b (á = 0)

Nên 6x=-l4

Bài 23, Giải các phương trình sau:

bì |3~4xˆ|-|R- x°|=0

a) =|2x+5|

tì Ix? 43x -10] +x? ~4|=0

Giai

42 3x” -|=3x+5 3x7 -2x-6=0 a) 1K 2 = c + -

27 để thị thử sức văs lốp 10 miền Tsến - Phạm Trọng Thự _" 8 —- -— — CN TNH MIT Or Khang Wet 27-06 thi Whit ste yao 44p°10 mn Todn — Pham Tong Thu K ty TWH MV OVH Khang Wat

sho hằng xét dấu ta có các trường hợp sau: ~ = Vậy phường trình đã cho có hai nghiém x= về o_o is ` = 2 4-2 Ị _ P=m°~4<0 ~23<m <2

„ Nếu K<~ +: Phương trình đã cho tương đương - 4—3x~ 3X” =x +4= Reb aE Athans Bean te jax? +(a+2)x4+20+4=0 (1) icant 1680 + 2ems2 x? +3x —10|> (1 V4 và |? -4|>0 wx 7 : eT fx<0 = „ đun s sò 4 œ- -34ims-7

ni ee! a 4 oe ST ,ax” +(3u+ 2)x + 2u + 4= 0 (2) hà m>0 3 x” ? +3x ~I0|+ |x? -4|=00 a ee Kc>4|x=-5€>xä=2 „ Nếu Ks= #Ƒ&( PHường trình đã Chờ tượng đương 4+ +21 +x—4= wed

Wis sLdfc:ÄgbfE cho cá agitÊ > ex? =4n-2= 029 x= (ain) hode x= vt0 (loại) Ty te " re = x3

anh Ak cho Rn ae 3

= p = lä cho có nghiệm x ` Š ae : ren thà Pee š Bài 29 Với giá trị nào của m thì phương trình

124 Giải và biện luận phương tảnh kể ~2mx ~2m|= x(x 42) ‹ Nếux>l: Phương trình đã cho tưởng đương 4 + 3X = x°-K+á= ~ =-2 a 2 “ Bx TÔ te

| + ne i poe | „ : ct {= ng Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi | ® „ XỔ + 4x — 1|x +2|+ m + 5 =0 (3) có bốn nghiệm phần biệt

Giải 33⁄42~2x~6=0©>x= LÝ (nhận) hoặc x = (loai) iets te Giải

3

Ta có |) 20m8 2m|=|x(x + 2| — call 0 = gi 1A _ Vola= 2, in (tee 3x2 9464820 về nghiệm, Ta có (*)c>|x+2[ —2[x+2]+m+1=0 ()

x2 _2mx —2m =x(x+2) (m+l)x=—m q) Vậy phương trình dã cho có hai nghiệm x=———;——: #=—g Do đồ a =2 thôn mãn, Đặt ú =|x + 2| >0, (D trở thành nÊ ~2u+m+1=0— @)

xŠ- 2m 2m=¬x[1-+2) 5 “nh -m=0G) Vi táo of ale — + X8 LÊ c0 0l a a cig rain (1) lodn cd: hat aghigm tdi du, trường -Yêu cầu bài toan <> (2) cd 2 nghiệm phân biệt u,,u„ thỏa uy >uị >0

Xét (lì ? hựn này không thốa mãn vì lúc đó phương trình (®) có hai apr ee

or , m “Ta xét dấu các hiểu thức x ~ 2 và x—3 «@«‡P=m+l>0«<s-l<m<0:

+ Nếu m z -1 thì (1) có nghiệm x Ki —— = 7 ; Hat Vậy giá trị cần lm của a là a =0 hoặc a =2 §=2>0

+ Né@u m=-1 thi (1) v6 nghi¢m x+2 2 0 HỆ E, Bài 27, Giải phương trình: x? +542 X = -5=0 Ni ương trình đã cho có bốn nghiệm phan biét khi -1<m <0

+ Ké1 (2): x-3 = | - 0 = * Bài 30 Giải cúc phương trình sau:

+ Với m = —l thì piiương trình đã chủ có nghiệm x =—l Nếu -2<x<3 : Phương trình đã cho tương đường KỆ BỊ x =x-4=re x =| x-1 OL 2 i sự” : of? bai a1

+ Với m z -I thì phương trình đã cho có nghiệm.x =—l; een kee, 254-7 x? =2 5 x= 42 (nhdn) Tin tài tn ae mate 1 Pek 10 =x" —4a+4 od

Bài 25 Giải các phương trình sau: *Néu x >3 : Phương trình đã cho tương đường ——T — =x+2 _ tay ĐỊT có eyo f2x(3- a) 9 VR 1 =k x=

a) |4+3x|- 4x2 +x—4|= b) wae Sr eatid tinge) Vậy phương trình đã cho có hốn nghiệm : Beek +3x-120 x” —3x+150

| | jx-3]-1 [ae 2=x* -2x—8 esx? -2x-10=0 <> eo Ake _-13 v5 ” 2 2 at as 3 2

Giải = x =1-YI1 {loi} a 3 2x—L=(-x" + 3x-1)° 2a—L=x° +9x* +1—6a7 — 64 + 2x"

Trang 7

#7 để thị thử sức vàz lớp 10 mon Toán - Phạm Trạng Thư 7

[ Bài 31 Giải phương trình vx+3 =vậwT—R+v7—x

Giải x~3>

Điều kiện 42x =>» 4<x <7

7-x>0

Với diéu kiện trên, phương trình đã cho tương đương

x+3=2x —B+7—x+2 (2x ~B) =x) «> (2x —§\ = X) =

«3 (2x—B)(7T—x)=4ex? -1Ix+30=0©©x=5 hoặc x =6

Vậy phương trình đã cho có lai nghiệm là x =3; x =6

Bài 32 Giải các phương trình sau:

Whee x" —Bx" + 16x" +27x—90=0 8 2 nae (e—3)(x” — 5x* 4 x 430)=0 a ged

Oty TNHH MTV OVVH Khang Việt

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =0 x =i

¡33 Giải các phương trình sau:

Phan Ve +5x42 (u30) từ” +ãx =u” —2

ng trình (*) trở thành uˆ—3u-4=0 € u=4 hoặc u =~—l (loại)

Bat ua yx? 3x 411 (u>0), Phương trình (*) trổ thành uŸ + 3u ~15=0=>u=3

CVới =3 thì vx2 —~3x+11=3 c+ x? <âx +2— 0x = Ï hoặc X<=2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x= l; x=

xẻ a 5 -(x-3) > 2x! -3n4 lee =%

Phương trình đã cho trở think a= yàn9

Visa VBsx 5n cao | TC “ti

vŒ +x)(6 — x) =0 B Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x= -3; x =6

b) Biển đổi nhương trình đã cho vé dang

J2x43 4x41 =(2x +3]+(x+l)+22x+3)(x+I)—6 (9)

Với điểu kiện 4 z—I

Địt u= V2x +3 + Vụ +] (>0) thì nÊ =3x +4+2/(3x +3)0X£1)

u=3 u=~2 (loại)

EU byxt inti Nang:

TÌN 2

Giải a) Datu =3x? +5x42 Phifting trinh da cho trd thinh vu-3=1+ 0 u20 ‘uO

2

œ=&0sxs1, I*2(X~x)+TVXx” =x+1x+? fx N1 )-3x—x” =0©x~—xŸ (3x T—x? —3)=0 Bas

Äy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=Ö, x =l:

4 Phương trình chứa ẩn ở trong dấu căn bậc hai với cách giải khác

37 Giải phương trình Vx? 47x 410 =30x +2420 45-6

Gia

_ Vậy phương trình đã cho có bai —- là x=<2 hoặc x=4:

Bai 38 Gidi phuung tinh x(x = 1) + fax +2) = vx? (*)

Do đó phương trình (*) không có nghiệm x > `

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x =0-

Bài 39 Giải các phương trình sau;

Với điều kiện trên phương trình đã cho tưởng đương

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x>5:

Cty TNHH ATW DVM Khang Wit

Với điểu kiện trên phương trình đã cho tương đương

ei +i +4j@QE=I 1-1 _= cvxr-l +I«/x=1-|~S—œ

—_ đrường hơn Ì: fitness

eye Via te eats 2 gaT =n 3

27 dé thi thy stic vas ip 10 mon Ton - Pham Trong Thu

Bai 41 Gidi cde phifdng trink sau:

a)2x?+2x+l=4x+l b) Jx—2 + fy —3+N2-5

Với điểu kiện trên, phương trình đã cho tương đương 4x? +(4x +1—2x4x+l+l)=0 9ˆ +(4x+l =17 =0 2x=0

c) Bidu kiện x25

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tưởng đương

x?—3x+2=24J3x—B

<> (x? — 6x +9)+(3x-8)-2V3x—-8+1=0 (x3) +(v3x—8- 1)? =0

OBE sung Ađển đúc Cho ¡>0, h> 0 thì van 2P

Đng thức xăy ra khi và chỉ khi ä = h

(bất đẳng thức trên gọi là bat dang thie Cauchy)

“0ng thco từng vế cũa (2) và (3), ta được:

XÃ +x-l+vx -X+l<xg#l (4) hợp (4) với phương trình đã cho ta được x?—x+1<x +Lhay Êx- rsa Ding thife xfiy ra khix =1 (thỗa mãn (l))

gid tri vào phương trình đã cho thấy x=l là nghiệm duy nhất của trình đã cho

(3)

At}

Trang 8

Bải 44 Giải phương trình Anh ND ` x-u=0 iu 0au 0e goi sheet

Giải iai u=x?—Bx+lô 2 i

x+u-7=0 kế |

Điểu kién x > 1 | peal gre nso EB,

+ Dễ thấy x= 5 là nghiệm của phương lrình (*) Su Ôn

=> ph trình (*) không có aghiệm x > 5, h lu= K+

isi ` 44 1i Jiểu kiện x>-3, Pat PRES ;

- Vớix< 5 tì 0<x-—l <4, Do đó yee a a aa TẾ TÊN ” wars —.v20 2

x =

: 6 nghiệ \ và,

=> phương trình (*) không có nghiệm x < 5 h “Ta có hệ Que VY? 2tu2 —v2)= vu e»(u—v(2u+2v +1) =0

Vậy phương trình 1ã cho có một nghiệm duy nhất x = 5 a 22 c5

| Bài45 Giải phương tình Xx? +3 +VI0—x? =5 | » Su~v hoặc v<~200+

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm &=+‡vÏ1, x= +6

8) 4+/4+jx =% b) 2x41)? = “+ ai ee

Giải a) Điều kiện x >0, Để phương trình e6 nghiém thix2 44/4 =6 Đặt h=4+vx

27 dé th) thit- sue vas 5p 10 mon Ton — Pham Treng Thu

Bài 3 Chứng mình rằng một trong hai phương trình sau có nghiệm

Ke px+4=0 (1) va x? +fx + 4=) (21 với mọi số thực p, q thỏa mãn pq > 16

Bài 4 Chủ phương trình (3m = l]x” +2(m ~1)x-m+2=0(1)

a) Chứng mini với mọi tn phương trình (Í) luôn luôn có nghiện,

h Tìm m để phương trình (1) có hai nghiêm x,, xạ sao cho 'Xị — x¿|= 2

Bài 5 Chứng mình rằng nhường trình súu:

(x—a}(x =b)+(Xx— bJíX =c}+(x—c)4x—a)= 0 có nghiệm mọi a, b, e

Bài 6, Chứng mình rằng nếu a, b, c khác Ö thì tốn tại một trong các nhường trình sau có nghiệm: ax? + 2bx+c=0 (1); bx? + 2ex +a =0 (2); cx? +2ax+b=0 (3),

Bài 7 Chứng minh rằng tần tụi một trang các phương trình sau có nghiệm với mọi a, b, e,

x°-2x—-a°=h~2=0 a)

x? +4x+6c+1=0 (3) xŸ~2(h+e)x+ 2b + đa —3= (3)

Bài B Tìm các số a, b sao cho các phương Winh x? + ax +6=0, x+bx+l2=U

có ít nhất một nghiệm chung và |a| + |h|nhỏ nhất

Bãi9, Chứng mình rằng tốn tai mot wong cde phương trình sau có nghiệm với mọi a, b, c,

x°-2(a+2010)x—5he=U — (}

xÌ+2(b~2011e-?ca=U — (2) x?~2(c+2012)x-9ab=0 @}

Bài 10, Chứng mình nếu phương trình x°+4mx+n=0 (I) có nghiệm thì PT yee AT f :

x“ #4| k tố mx +n ¬ =0 (2)cũng có nghiệm (m, n, k là các tham số,

` 3 \

k 40)

Bai 11 Cho phương trình bậc hai ax”+bx+e=0 (1), cy? +by+a=0 (2)

a} Chứng minh nếu x¿ là nghiệm của nhường trinh (1) thì + là nghiệm của phương trình (2)

b) Gọi x,x; là nghiệm của phương trình (1); vị,y; là nghiệm của phương trình (2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=x‡+yŸ +xj+y2 khi œ, b.c thay đổi

Sty TNHH MTV DVVH #1ang Việt

Bài 12 Cho phương trình bậc hai ax°+hx+c=0(az0) có hai nghiêmxị, xạ,

“Đại S„ = xƑ +x7 (neN”) Chứng mình a5,„; + b5„,¡ £cS, =0,

Bài 13 Chó phương trình x? ~2(m ~2)x +0 =0 (1Ì

8] Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép

Tìm m dé (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp 2012 nghiệm kia

al 14 Tìm a để phường trình bậc hai x +ax+1=0 (1) cổ hai nghiêm XỊ Xa

-8ÿ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệtx, và xa

Tìm một hệ thức liên hệ giữa xị và x; độc lập đối với tham số m

'Tìm m để phương trình (1} có hai nghiệm phân biệt đểu dương

Tìm m để phương trình (1} có hai nghiệm phân biệt đểu âm

'Tìm m để phương trình (11 có hai nghiệm trái dấu

8 Gọi xị và x; là hai nghiệm của phương trình 2x? -2mx +m? -2=0

gid tri In nbat cha A =|Xị + x; + 2x¡X; — 4|,

9 Lập phương trình bậc hai mà có các nghiệm số xị, x; thôu mãn hệ thức

` 4xịX; ~5(Xị +xX;)~ 4=0

| 1%) -D=-

my yoy -D 5 a)x? +x? -6=0

Bai 22 Gidi phudng trinh (x — 2011)7 +(x +2012)! -(2x +1)"

—-Ú; (1) có hai nghiệm phân biệt Xị ;

g)x* +3x3—- 257 43x +1-0 i KP

A=(Sm=1Ÿ ~4(ñmÊ ~2m —5) 925m? - 10m +1—24m* + 8m +20

=m 2 _om+1+20=(m—- fy’ +2020 với moi m => đnem

Bài 25 Giải phương trình vx +1 +2(x+1)=x~I+xÍ[=x e3V1—xÊ,

Bài 26, Giải các phương trình sau:

= (1) có hai nghiệm nhân biệt Vậy (1) có nghiệm với mọi in

Bài 27 Giải các nhương trình sau:

Pee aoe er | CEL, PE ET, Peat tye csabat Lciort

Phương trình đã cho tướng e5 3x? TT +ca = e) vk +yy—1 +MzZ- 2~3= 2x +y=?)

a —— Piped Geer a phương trình đã cho có nghiệm mọi ä, b, c

v9x~L x WAL =b? ac; At =c?—ab; Ai =a? be

Bài 28, Giải các phương trình sau: eb AL +A +84 = 50208 ~2ae +2cŠ 2nh+ 2a” ~2be)

Ai, = (b +e)? —(2be+4a—3)=b* +e" —da 43

Bal7 Aj =l+a° +b+2=a° +b43;

Tá có 2Á + Aš + Aš =2(a THỊ t(b+ LÍ +(e~ 3} >0 => dpem, Bài 8 Gọi nghiệm chung của hai nhường trinh di cho lA x, ,ta co:

X°+tax,+6=0 (l và x)+hx,+12=0 (2)

Suy ra 2x? +{a+b}x, +18=0 (3)

Để có xụ thì (3] phải có nghiệm, Lức là A =(a +h)°—l44>0 © lat b| >12,

Ta có 12=|a + h| <|a| + |b| Đẳng thức xảy ra ti = = | a}

|i+h|=l2 la+b=

+ Với ntrb=l2th TM +l2Xụ+lÊ=0 © xu =-3, Thay x, =—3 vio (1) va (2) ta được a=5, h=7, + Với a+b=—12 thì 2x2 -12x, +1B=06x, =3, Thay x, = 3 vào (1} và (2) ta được a=~—5; b=-—7, Bài 9 AJ =(a+2010)” +5bc; A2 =(b—2011)°+7ea : AS =(¢ +2012)? 49ab

Ta cổ (5be)(7ca)(9ah) = 35a he? >0

= 5U, 7cụ, 9ạb có ít nhất một tích không âm,

Bài 10 + Phương trinh (1) có nghiệm thì $mÊ —n>0

- Phương trình (2) có biệt số A' = fy = tị am —n)>0

+ Vậy (|) có nghiệm thì (2) cũng vỉ nghiệm

Baill a) Gọi x„ là nghiệm của phương trình (1) tả có ax? rbx, +c=0(*)

Vi x, #OnGn ta chia hai vế của phương trình (*) chủ xả tà được

Ä 2

l 1 TH, ,

a u(t ụ {=| =0 Vậy nếu x„là nghiệm của phương trình (1) thi Z

“oy ũ

là nghiệm của phương trình (2)

b) Với xị, x; là nghiệm của (1) thì ch, ấn là nghiệm của (3)

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Bãi 14 Điều kiện (1) có hai nghiệm xụ, x; khi Á =a2 ~4 >0 <s|ã|>2 (%)

Bit a- X.-¿—- A+B=(Xị +xy}” — 2x xz =a? -2

16 Điểu kiện (1) có hai nghiệm xạ, x; khi A=—m? +4>0 © |m|<3-

Trang 9

27 để 1| thử sức vào lân f0 múa Ton — Phạm Trạng Thụ

2 c a _3m?=2m-6 1 3{m-3) 19}, 19

Vậy hệ thức liên hệ giữa xị, x; độc lập déi vai m la x, +82 -4x) x2 =—6

€J{1) có hai nghiệm phân biệt đểu dương

'm#3

m—3#0 dl«m <ll mz}

ck oo, Am-2) 30 2 Nhàn «3<m<II

P>U TRE: m «< 2 hoặc m >3

đổi và thu gạn-phương trình đã cho ta được 2xŸ ~ LIx” -6=Ö,

phương trình trên (ta đtije x = +6

Thương trình đã cho có hai nghiệm « Á >0 &> =m + ‡4>0e =2<¡m <2

Vậy phương trình đã cho có hai ñghiệm là x =-1+ V5

c] Phương trình đã cho viết lại [x(x— ĐI” = |x#(x= ĐỀ +2 (D hay

& PP I [x(x - IP —4xtx—1) -3=0 Đặt t=xíxT-l)= x-—| -—=tI>-—

5 a Kc oa 4 4 Kết hựp điểu kiện của nhương trình (1) 12 JZ

oo[rri7+ Sx 4 1642 ]-2 00% parx+16+ =u,

(*) td thin (w+ a= = 0 69 a? tu-2-0eu=t hoặc = + Với u=2 thì hoặc ever +120=0

g)x=-24 3 byes hoặc yoo

Bai22 Dat (A2 ttyoaxel

Y =x+2012

Phương trình đã cho trở thành uŠ + về =(u+ v)Ÿ

©Ồu+vŸ =nŸ + đuŸy + 6u2v2 + 4uv + vÝ c> 4uŸy + uÊy? ý 4uvÌ =0

#> nv[uÊ + v2 +(3u + 6uy+3v2)]=() © uVuUÊ + vŸ+3(u+v}2]=0

x-20I11=(

z+|x+2012=U i uzy=0 x SH dc laDo u%

Ip trình đã cha tương đương (Jx+ -1~x X\/24vVx+l-vl=x+lI)=0

Mist Vi-x [erie - 3v: +l+l=vl=x (44x+l)+lt4VXtlzl-x

27 al thị thử sửa vào lốp 19 tiên Toán — Pram Treng Thu L eset cae UNE TOD We "n 2ï để thí thŸ súc vã: lập 1Ø trôn Toản = Pham Tiong Thu x = Chy TNHH MHTU DVVH Khaflp Việt

KHIỂN RE TẾ = —— ‘ x>— Ị 1 * Nếu hui tiếp tuyến của một đường ii ƒ Hriyển của một đường tron cất nhau tại một tròn cất nhau tại một điểm điểm thì: thì: 3 Số điểm Hệ thức piữa :

Phương trình đã chủ tưởng đương 4x+l+I+|jk+1 —3| =2|Sã +1 -3| (73 `: Paine ụ nh Xe exe TT, Điểm đó cứch đều hai tiếp điểm Vị trí tương đối chưng d,R,R Đặtu=v/X+1, u>0 ï Re NOR =0 = Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tỉa phân giác của a

Phương trình (*) trả thành u+-1+|u—3|=2|u~2| (7*) 9x~l * gỐc tao bởi hai tiếp tuyến Ă

„Nếu D<u<?:(®*) œu+1+3—~u=4—2u c3 0 =0 (nhận), Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của ợ 2 R-R<d<R+ + Nếu 2<u <3: (**) cu+1+3—u =2u~4 @œu =4 (loại) a u=#+x⁄X.u>0 gúc tạo bởi hai hán kính đi qua các tiến điểm

+ Nếu u> 3: (**)+>u+l+u—3<=2u— 4$ -2=~4 (log]) ĐANG đi), PIỊC XÉT T tàu 'MA=MB ; Hai dường tròn cất nhau

dc c7 "TẾ ea kiện x>-~5 Đặtu =vx+5,uz0 MA, MB là tiếp tuyển của (O) = AMO = BMO ,

¡Điều kiện x > =I, í xi - VỊ trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 4

es VAN) SP HA GE/Ự SE oe Xét đường trồn (O; R) với đường thẳng a Goi d là khuảng cách từ tâm O đếu ˆˆ_ Hai đường tròn tiếp xúc ngoài 1Ì

(x”—6x+Ð9)+[(x +l)—44/x+l+4]=0 <&(x~3)ˆ +(Vx+1~2)” =0 cea x<0 I—x5T đường thẳng a a

eo TT on x73, Vậy y phương trình có nghiệm e x =3 x?-x-S§=0 |x—x-5=0 Zz Vị trí tương đối 5 Số diểm | Hệ thức giữa

}Điễu kiện x >0: ÿ > E z>2 x+120 _ | oft I exer? = i

Với điều kiên trên, phương trình đã cho tương đương — ` " Pears + : h1 , Hai duting wan tiếp xúc trong

Vậy phương trình có nghiệm (x; y; z) = (1; 2; 3) N THỨC CÂN NHỚ Ÿ Đường thẳng a không cất đường tròn |

đ) Biểu kiện 7 € x £ 9 : NH0 ki vi Bế đ hwcg>ù dế tước pon Hai đường tròn ngoài nhau

img aca bà a ae một đường tràn tâm O, bán kính R 4 of} b

Suy ra vx -7 = V9-x <2 (1) ng mật phẳng, tập hợp các điểm M nhìn đoạn Tô a L 1 d=R

Mặt khác: x” - lồx +66 =(x —ÑJ)+23>2 () cho trước đưới một góc vuông là đường tròn H 0 d=0

re nh AB (tim 1A tung diém O cia doan AB), e Đường thẳng a tiếp xúc đường tròn ,

Từ (1) và (2) = phương trình đã cho có nghiệm ©> 4 ~7=9—x © x =8, g kính là dây lớn nhất của đường trồn Đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ

x~&=0 sng một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm °

day khong qua tâm thì vuông góc với dây ấy A B 4 ey 3

x — Nox-1.5] 9x —l oa nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm a Đường thẳng a cắt đường tròn

62

_ Nếu một dưỡng thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông gúc với Nhi Eêk Ái 4g 22 20Y 2 <L1.- 2.14 A sim taển sa địểhơ trên « Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O; R) và (G; R} với R>R* Đặt OO'=d (khoảng cách

j.i8~ tend of eet

Trang 10

27 đổ thi tnủ súc vào iðp 10 r»ộn Tân - Phạm Trạng "hư

đ CÁC BÀI TỐN BIỂN HÌNH

Ï Bài1 Cho tam giác ABC vuơng tri A(AB > AC) đường cao AI, Trên nity)

mặt phẳng bờ BC chứa Á vẽ nửa đường trịn đường kính BH cẩt AB tại E vị

nữa đường tron dường kính CH cắt AC tại F Chứng mình:

¬

b) Goi O va O' Lin lượt là trung điểm của HB

và HC, lúc đĩ O là tâm của đường trăn (Q)

đường kính HB và © là tâm của đường trịn

(Ư'1 đường kính HC

Ta ca:

Ea = đ› (do lam giác QHE can tai O)

Fy =H) (do tam giác THE cin tai 1)

= EP ii tiếp tuyến của đường trịn (O] (D |

Chứng minh tương tự EF là tiếp tuyến của đường trịn (Ø) — (2)

Từ (1) và (2)>= dpem J

| Bai 2, Cho tam giéc ABC vudng tai A, duting cao AH, Kẻ từ B và C các bê?

tuyến BD, CE với đường trịn tâm A, bán kính AH,

a) Chứng mình ba điểm D, Á,E thing hing va BD song song với CE

b) Chứng minh đường thẳng DE tiếp xúc với đường trịn đường kính BC t¡'

Giải

a) Goi (A) là đường trưn tầm A, ban kinh AH

Vì AHLBC và AH là bán kính của đường trịn

{A) nên BC là tiếp tuyến của đường trịn đĩ

Vĩ BH, BD li hai itp wyén eta (A)

, Gty TNHH MTV OVW Khang Viet

¢ oi M 1 trung diểm củu BC, ta cĩ M lã tầm của đường trịn đi qua hà điểm

„€, Trong hình thang vuơng BDEC tì cĩ AM DB (do AM là dưỡng trung 1), mắt khic BD 1 DE nén AM 1 DE => dpem

3 Cho đường trịn (O; R), đường kink AB Tiến tuyến tại M bất kì trên

- R)(M khác A và B) cắt các tiếp tuyến tại A và B theo thứ tư ở C và D

a) Chứng minh CD=CA+BD va COD =90", (b) Chứng minh AC.BD = R?; MAB = DMB

¢) Biét MAB=60", Ching minh tam giác MBD là tam giác déu va tinh tích của tam giác đĩ theo R

Giải .CM=CA và DM=DB vra CM+MID-=CA+DB

y CD=CA+DB " ¬ (C = AOMC (c.c.c) nén COA =COM

OC là tia phân giác của MOA

tự OD là tia phân giác của MOB

fa OC LOD hay COD=90"

tam giác vuỗng COD, ta cd

MD=OM? =AC.BD-R

=DB = ADMBE cân tai D> DMB= DBM

DBM=MAB (gĩc cĩ cạnh tương ứng vuơng gốc)

h} Chứng minh BD là nhân giác của OBM

e} Từ M kẻ đường thẳng song song với OB, đường thang nay cd OA tai N

Chứng mình tum giác MNO cần tụi N,

Giải

a) MA là tiếp tuyến của đường trịn (O; R} nên MA - ĐA lại A

Tỉa AD nằm giữa hai tủa OA, AM và MAD < 459, OAM =900 nên AD là đường phân giác của OAM,

Theo tính chất đường phẫn giác

Độ LAO dị DM AM

Mặt khác AM =BM

Do dé Hy eee oe DM BM h) Tả thấy AADM=ABDM [c.g.c) va theo gid thidt MAD= 43" nén MBD = 45",

chứng minh tưởng tự như cấu a, BD là tỉa phân giác của gĩc OBM

HIẾN: [NMO “ MOB (so le wong)

[MOB =NOM (inh chất tiếp tuyến)

= AMNO cin iN

Bài 5 Cho nửa đường trịn (O) cĩ đường kính AB Kẻ hai dây AC và BD cất

nhau ở điểm I nằm trong nửa đường trịn Từ I kể dường thẳng 1H 1 AB, Chứng minh AB” = AILAC+ BI.BD

= NMO-= NOM

Giải Hai tam giác vuâng ABC và AIH cĩ chung gĩc A nên đồng dạng

On B Bài6, Cho hai đường trịn (O, R) và (O%,R')tiếp xúc ngồi tại A Đường

thẳng nối OO' cất (O) tại B, cắt (Ơ) tại C Gọi M là trung điểm của BC Kẻ

„ dây EF vũng gúc BC wi M, EẦ kéu đãi cất (Oai D, w) Chứng minh F,D,C thẳng hàng

b) Xét vị trí tướng đối của MĐ và (Œ)

e) Xét vị trí tướng đổi của BF và đường trên đi qua bà điểm M,A,D _

Giải thiy DE L D€ ah

Cho ba duting tron (0, Ry, (O'R), 10") citing tiếp xúc với một

thẳng (d) và tiếp xúc với nhau từng đơi niột, Chứng mình rằng nếu r là

AB=AC+CB = 2V/RRF=2VRr +2/Ðr = đpcm

Chú hà đường trịn (Ơi; Ry), (Oy, Ra), (Ox, Rad khong cất nhau cĩ tâm

Ư; cùng nằm trên một đường thẳng Chứng mình cá đường trịn (Ĩ, R)

le với cả ba đường trịn trên thì bán kín R phải lớn hơn bán kinh =

đg các đường trùn đã cho

Giải

Chicdn xét trường hợp tiếp xúc nguài

nếu (O, R) tiếp xúc trong với cả ba

tron thi nư phải chứa củ ba đường trịn HN

lơ hắn kính của nĩ nhi lớn hơn)

27-08 1hi thử sức vào lớp *Ù mê Taản = Phạm Trọng Thứ

C BÀI TẬP ĐỂ NGHỊ

Bài 1.Tam giác cân ABC(ABH= AC)]nội tiến trong đường trịn tâm O Dun,

tình hình hành ABCI Tiếp tuyến tại C của đường trịn cất đường thẳng AT tai

điểm N Chứng minh:

a) AD là tiếp tuyển tại Á của đường trồn

b) Bà đường thẳng AC, BĐ và ON đồng quy tại một điểm?

Bài 2, Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính ÁB Từ một điểm M trên nửu

dường Iron ta vẽ liếp tuyển xy Kẻ AD vuơng gúc xy và BC vuơng gúc xy

a) Chifng minh MC = Mb

b) Chifng minh tang AD + BC cĩ giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm M trê:

nifa đường trồn

e) Chứng mình đường trịn đường kính CD tiến xúc với AB

đ) Xúc định vị ưí điểm M để ABCD cĩ diện tích lớn nhất

Bài 3 Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O; R) sao cho OM =2R Đường

thẳng đi qua M cất đường trịn lại Á và B suo cho AB =R (A nằm giữa M vũ BỊ

a) Tính tỉ số lượng giác của gĩc BMO :

b) Qua M ké cat wyén khae cat dutng won (O; R) tai C vA D, ha OK yudng

gúc với CD So sánh hai dây AB và CD, biết ofS

Bài 4 Cho tam giác ABC vuơng tại Á, cĩ đường cao AH

a) Chứng minh AABC ©? AHBA,

hb) Vé duting tron tam A ban kính ÁH, kẻ hai tiếp tuyến BD và CE

Chứng minh CE I-BI= BC, CE.BD=AH

ve) EH ed AC tại N HD cất AB tại M Chứng mình tứ giác NHMA là tình chữ nhật

Bài 5 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Một dây CŨ cất AE lại E Một

dường thắng (d) tiếp xúc với đường trồn tại B cất các tỉa AC, AD lắn lượt tại M

và N Chứng minh:

a) Chitng minh AACB ~~ AABM

b) Chitug minh AC.AM = AD.AN

€} Tiếp tuyến tại C cắt (d) ở 1 Chứng minh IB=1M

Bài6 Cho đường trịn O, đường kinh AB Một dãy CD cit AB tai I, Từ các

điểm A,Ø, R kẻ AH, OE, BK vuơng gĩc với CD Đường thẳng OE cắt BH ở E

a) Chứng mình F là trung điểm của HB

h) Chứng minh 2OE =|RK - AH|

Gtự TNHH MTV DVVH Khang VIệt

7 Từ một điểm M trang đường trịn (Ư) dựng hai dây vuơng gúc AB và CD, minh MA? + MB? + MC? +MD? =4R?

ø Cho tam giác ABC cĩ A=908+C

Ching minh ACB < 45°

ing mình tiến tuyến tại B với đường trịn ngoại tiếp tam giác đẳng thời là

ư của Lam giác

1à giao điểm của tiếp tuyến nĩi trên với ÁC,

minh: HH”=AH.HC

]à bán kính đường trồn ngoại tiếp tam giác ABC

minh; AB? +AC* =4R?,

một đường thẳng (d) cho hai điểm A, B Các đường thẳng tia Ax,

m trong nửa mãi nhẳng bờ là đường thẳng (d) và cùng vung gúc với

x lấy một điểm C, trên ly lấy một điểm D thỏa AB” =4AC.BD Vẽ trồn lâm € và D và theo thứ tự, tiếp xúe với (d) tại các điểm A, BH,

h hai đường trịn đĩ tiếp xúc nhau

¡ DẪN GIẢI

JOA 1 BC (do AABC cân)

AD // BC (gt) £

- AD = đpem

à ưung điểm của AC

là hình bình hành nên BD và AC cất nhau tại L(1}

1a hai tiếp tuyến của (Œ) nên ON di qual (2)

#7 đỆ thl thủ sức vàn lún 10 mén Toda — Pham Trong Thứ

=> DAM = MAO = AADM = AAEM = ME = MD

Mi ME LAB Suy ra AB là tiếp tuyến tai E với đường trịn đường kính CD,

4) Sxycu =~CD(AD + BC) =+-CD.AB

AB khơng đổi, S„s.ụ lăn nhất khi CD lớn nhất

Ta thấy CD<AB,AB lên nhất khi CD= AB, lúc đĩ M là điển chính giz,

AB Vay Sayep dat gid ứị lần nhất khi M là điểm chính giữa cung AB

Bài3 a) Ha OL AB

h

Tạ cĩ OA =OB= AB=R = AOAB déu cd duting cao, Ọ = TU

—z— 2 Í3 Tum giác vuơng OIM ed IM=yOM? -OF = yar? ae ae Vậy

ae Aa sinBMO = —— =~,

en oM 4

cosBMO = mae 4

OM 4 IinHMO = es 2 ¢utBMO = vi3

IM l3 3

Bài 4

rn b) Ta ed OK 23 _ ok <X2 An< vn =ƯI=CD+AB

AB 2 2

._, [BAC =AHB THOS ol) Se

của đường trịn LA) = CE = CH A My

Tương tư BD, BH là hai tiếp tuyến của đường

tron (A) > BD =BH 2 Nén CE + BD=CH+BH=BC

PP a Ue ihe nee Reve ATE tend 4 A112 CH RH FREAD

Cy THHH MTV OVVH Kiang Vist

1H là hai tiếp tuyến của (Õ; R) => TC = IB

3 ÍÊB =TRC ¬ IÊM =IMC = 1C =IM

IC=IM=IB

đường trung bình của tam giác ABH

là trung điểm của HB, cịn EF là đường

nh của tam giác KHE nên EE = EK

Trang 11

e) Do C¡ =B; và H chung nên tam giác CBH đồng dạng tam giác BAN Hàn An t Hầm số đã cho có dạng ý = Ax? +Bx+C 7.” by : VÉ ae i : Ánh _ _ n =

BH _ CH 2 n số bậc hai = mi sy wạ =2m(x, +H —Sm vdi moi me mx, —3)—-y, =O vai moim

TT SN th ơi _ : Để lim cổ đã cho lí He sf bho nbd unl (eg SO

= số bậc hai có dang y=ax*,a 40 B+0 ˆ |5m+3+0 7270, |*Ú”2 vạ f lên cổ ái 3 đ) Gọi C' là điểm đối xứng của C qua tâm của đường tron > CBC’ = 90" tổm tắt 1 4 1 oy 2S ee

Do đó BCẺ + BC? =CC? =4R? (1) KH x0) aT 3m @20 = o n=2 hoặc m=-T = |n=z \ tặc m=~~: ` P Đa

Mà (AE 1n “2 0B//ÁC=sBi Ê hay Êa =Œ AB=BC' @) | dịnh D=R : Tap xdc djnh D=R mez nae 3 3 him so y ae j là đường thẳng (3)

Từ | ` ae ee a te oe a tưng tint = tí 5 : 3 mA(— l; 3), B(3: 4) có nằm trên đồ thị (d) của hầm số trên không? aise (1) va (2) => dpem i x > 0, Số To oe minh rằng him số y =(-mˆ +rmn— 2)x + 201 I luôn luôn là liày ết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B Cho biết vị trí

Kẻ DE 1 AC, ta cá: ` y | ‘ là một parahol {P) quay hễ | Đỗ thị là một parnhnl (P) quay bể Ỷ aa của hai đường tháng đó sare trên cùng một mặt phẳng tọa độ

CD? = DE? + EC? hướng dường của wyc Oy, d6 | lồm theo hướng âm của trục Oy, đổ : _ PC

‘ao Ge a gốc toa độ O (nhận O kam | thi di qua gốc toa d6 O (nhận O làm Ham số đã chu cú dạng y=ax+h với a=~mˆ +m~—2, h=201 l và B không thỏa mãn y=—x+l nên

Tu 6 Dán c F Min Oy Kum truc déixting | đỉnh) và nh§n Oy 2 ổi xứng Š

= AB? 2 2 EP D ì y 608kg, nhường 308162068) 2002004 Ta có a=-| m~ ` - Le <0 với mọi m > dpem và B đều không thuộc đồ thị (4)

=AB) + AC? + DR? 2- “ a) Ệ _ Bài 3 Cho hai đường thẳng d,: y =(m” +3m)x và d;:y = 2ax (a z0) =ax+h Tạa độ các điểm A(-l ; 2),

: 3 f Bị ệm đúng hệ phương trình

Mặt khác: (AC + DB)” = AC’ + DB? + 2AC.DB x a) Tìm a để d; đi qua điểm Als: 4 fa b font œa=>~.b=~- : peut X

Hay (AC + DBY = AC? + DB? + 42° (2) b) Tim m dé d, Ld, vừa tìm ở câu a Beans aa

Gọi F là điểm chung của đường tròn (C) và (D) tacó AC=CE và DB=FD a) Vids di qua diém A nén 1= 2a-yaa=l Vay dp: y=2s

¬ i Bai vid, ao tail ages rat hou fico me De 3 Hl /

HÀM SỐ - ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẮT VÀ BẬC Ứ parabol (P) là đỗ thị của hàm số y = ax” (a # 0) và đường thẳng (d) có Bài 4 {ls dé thj tim gid tj nhd nhat cha him sé

4 saber lames BAL y=bx<c: a) Xác định tham số m để ham số y = (m” —1)x+2012 đồng biến, nghịch biến | Giải :

1, Hàm số bậc nhất ` “¢ : vic Pv ee ee g b) Xác định tham số m dé ham sO y=(m? -4)x +2012 déng biến với rat) x-2 khi x20 `

« Hìm số bậc nhất y =ax+b,a,belR,az#0(a gọi là hệ số góc, b là tunE ax?=bx+e (1) Gñi a ` x<0

độ gốc) i ; a) Him s6 da cho ding bién khi m?7-1>0<|m|>1 en yaa 2

„- Hầm số bậc nhi y=ax + beá tập xác định Rvà đồng biến rênR kh: 1 (1) có Nhớ kép thì (d) tiếp xúc (P), | Đạp ‘ _ C

a>0: nghịch biến rên R.khin <0 1) cố Rghitm thí (d) cất (P) Hầm số đã cho nghịch biến khí m°—1<e |m|<1 MiWNgd2 y2

-_ Vị trí tưởng đối của hai đường thẳng dị: y=ax+b, dy:y=a'x+b' ¬ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH b) Hàm số đã cho đẳng biến với mọi x > 0 khi m°~4>0>|m| >2 Qua diém BCO; -2) va C(-2; 0)

dị #dạ c>a=a' và hzb, Tim m,n dé bar oo là hàn số bậc vn Bài 5 Chứng mình đường thẳng (d): y=2m(x + l) - 5m luân luôn đi qua môi BỊ đường thẳng hàm số y = |¬|—2

dị = dạ c>a=a' và b=h' - Y=(2n—I)(3m+4)x” -(Šm + 3)x ~ 7m” + mn~2 điểm cố định với mọi m cai U đường thẳng gấp khúc CBA

f đi Ih V3 Sức vào p tộ một Tai - Đại Tạng Ty —- : — 2ï É thí thử sức vào lðp 1Ø môn Toãn ~ Pham Trọng Thư Gly TWhH MEV DVVH hang i

a) Vẽ đô thị của hầm số trên im số đã cho có dạng ÿ =aX” với a= mỶ - 3m + 5 3 liếm cố Hị is

See 2 Phương trình đường thẳng MN là y =—x —1 (lương tư cách gidi BTDH 6b), ä sử M(x„; Yụ,) là điểm cố định thuộc (d)

b) Từ để thị tìm giá trị nhỏ nhất của hầm số : $y ñn fein 4 i ss thay ace i L1 sài li xì

` —_— Tạ có a= OD <u vdi maim > dpem 3 Ta e6 y, =mx, -3m—2 vi moi m mix, —3)-3-y,„ =l vải mụi m 4j34.uc0L 8 0£m Giải _ Km về 1 ‘ oe ở luốc là sẽ Đường thẳng (d) song song với MN cd dgh gym he (mm #—l) i kẽ Sas

pe )=ä3 ©(mˆ -3m + 5}(—l} =3 ©$ mím ~4) = e2 m = TH: K.`:2-y <0 `

5 if _ Tàn nà Tà „ Với giá trị nào của mì thì đồ thị hàm số y = [{x)= (mỸ + 2m ~ 3)XẺ, | Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là -Š=2x+m 2 3 ‘

y=|2~x|+|x—3|= nai hi me 3 Bd iden cute dai by Có điểm cực tiểu, 4 n =2 nên điểm M(3; -2) thuộc (P)

|~¿+x+x~ x» Giải wa | ẨẰ=x +3‹+4m =0 (9) TẬP ĐỀ NGHỊ

panes EM ESS | cho c6 dang y= ax? vdia =m? +2m—3=(m—1m +3) dúểp xức (P)©s {®) có nghiệm kép © A=9-16m=0e>ma—- [ìm m, n để hàm số sau là hàm số bậc nhất

ì Ề m-—i< m-i1> y=(3n—1)m + Í)x“ - (4m + 3)x~- 2mˆ+mn~5:

b) Từ đỗ ki de a ee ch “leash "P th Vậy ty "hứng mình hầm số y =(mỂ + m+ lì +2012 luôn đẳng biến trên *

Bài 9 Cho hai đường thẳng d,; y=(n™ ~Sm+5)x +2011 va dy :y=x+2012, m-1>0 m-1<0 Bài 15 Cho parabol (P): y=ax? và điểm A(V2: =D 0 hàm số y = f(x) =(-m* —2m—4)x",

a) Xác định m để d, cất dy: ố đã cho có điểm cực tiểu khi a > 0 2h ân 0l " +3<0 a) Xác định a biết (P) đi qua điểm A, Vẽ (P) g minh hàm số đã cho nghịch biến trong B*

b) Xác định m để d,/'dạ K bà sớa bì Viết nhương trình đường thẳng (đ) đi qua điểm M(0; 2) và cú hệ số góc m cứ,

e) Xác định m để d, 1d), _ANHGPSPEESRETRPET | PERE ae TERE cia MLEILQHSốt 013M4 BiỂm pên BI đi giá trị nào của m thì đổ thi hàm số y = f(x) = (m + Ù(mẺ - 3)x”

— d) Chứng minh có hai đường thắng đi qua M và tiếp xúc với (P) x 3 x

Giải dé thi parabol (P) của hàm số đồ = i Ểm cực đại bì Có điểm cực tiểu

a)d, edt dy <9 m*-Sm+Sele>m’-3m-440 mel va med, ntung độ của điểm M thuộc (P} có hoành độ x = ~2, 5 is 1 Cho parabol (P): Xe?“ đường thẳng (đ): y =3m(x = Ï]~ 3m + Ì

bì dị / dạ c mỄ—5m+3=1@ mŠ ~5m+4=0£>m=1 hoặc m=4, i NCL; —1) là điểm thuộc (P) Viết phương trình đường thẲng MN ®) (#3 4i que dite Ald, 3) RE Teas, a cu oat f Mu ` c) dị + d; e>(mẺ — 5m + Š).l = le m” -5m+6=€Œm=2 hoặc m-3 | Giải : xã : " ÿ xe »ag si 3à l"3g 804 thui 2i one

Bài 10 Xác định hầm số y =ax + b có đổ thị Ú, hiết | ¢dinh D=R Parabol (P) đi PR thi PACA LEN "9 RACER Yes b parabol (P): ý =— Tìm a và b.để đường thẳng y =ax + b di qua ä) d song song với dị: y = 3x +7 và cất trục hoành tại điểm có hoành độ là °- a độ và qua các điểm có lọa b) Phương trình đường thẳng d cẩn ñm là y = mx +2 W(Ú; —1) và tiếp xúc wai (PF,

b) d song song với đường thẳng d;: y =—2x 4 Ivà cất đường thẳng =H), (42; =4) Parabol 2 a : :

dy: y = 5x +3 tai diémcé hoanh dé bang 3 Ÿ ạ= -I<0 nên đỗ thị quay bễ e} Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là Tet 2 NG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

a) d/d; =đ:y=3x+h(b#7) X=-2vàoy =¬xF pote ie (*), A'=m* -—4 " và BH hoặc m= 5

Mã dị cất trục hoành tại điểm có hoành độ là 2 nên 3,2+ b =0= b = ~6 ey =-(-2)? =-4 Vay M(-2) -4) fe -p - (4) cất (P) hai điểm phân biệt khi và chỉ khi A' > 0 c |m| >2 Yr) : pS as

Vay d: y= 3x-6 tự cách gidi BTDH 6b, 1a tim (P) đ} (đ) tiến xtc (P) > A’ = Deo m= #2 - ihgy a=? +m-+1=[ m *3) a i a

pak 4 ding Vdi m= d,:y z2! ¡ vi m=— 5: == sf ,

By dtd, eb ols ee ` NNG Binh: ng ng VỊ uh ae ` e 7 oe a vi “a đi ĐK, Tả có a=-m2—2m~—4=-(m+1)2—~3<0 với mọim b) m=-Ì

: di ande d0xe04:111di6»zcd b= ¥— 2, ậy có hai đường thẳng đi qua M và đếp xúc với : Ì š

Mã d; cắt đường thẳng d; tại điểm có hoành độ bằng 3 nên 2 đà lồ VAN š ~ êm +húm” +4) và dựa vào bằng xét đến

'4 Cho parabol (P): y=—*-.Gpi M và N là hai điểm thuộc (P) và có Y=24~2, ý =-2x +2, -

~2.3+k=5.3+3—=k =24 Vậy d:y=-2x+24

Bài 11 Cho hàm số y= f(x) = (mỂ ~ 3m ~ 5)”

a) Chứng mình hầm số đã cho nghịch biển trong l5”

b) Tim m dé K( - l) = 5

số có điểm cực đại khi a< em <-2 hoặc -l<m<2

Số có điểm cực dụi khi a>©+-2<m<7—l hoặc m >Š

ha lần lượt là -4; 1 Viết phương trình của đường thẳng (4) song song | Bài l6, Cho parabol (P);: y= 3" đường thẳng (d)}: y =mx —3m - 2

— = ot et “_ t PA — oe om ke at so e ee a sais ~ z mia we eee - S Parabol Bộ (P) di qua diém cd định M|ễ: i};

Trang 12

27 dý |hi thủ sức vân Idg 10 món Toản - Phạm Trgng Thự

Bài 6 Vì (d): y =ax +b đi qua M(Ø; —Ù nên h=~—] Tụ có y =aX—]

Phương trình hoành độ giao điểm của (P] và (d) là vi =ax-1

cox? =2ax+2=0 (*), Asa? -2

(đ) tiếp xúc (P) © Œ*9) có nghiệm kép «» A'=0 cu =+2

Vậy giá trị phải âm là a= #2; b=l,

Chỉ đề 6: TU GIÁC NỘI TIỀP TRONG ĐƯỜNG TRÒN

A KIẾN THUC CAN NHG

1 Bằng tóm tắt các góc có liên quan đường tròn

Góc nội tiếp cố đỉnh nằm trên

đường tròn và hai cạnh chứa hai dây

Cty THHA MTV DVWH Khang Vist

đóc có đỉnh ở bên trong đường tròn

ach thông dụng chứng minh tứ giác nội tiếp

_ Đấu hiệu Kết luận

# các tim giảc vưõng có cạnh

Tứ giác ABCD nội tiếp |

Tứ giác ABCD nội tiếp

B CAC BAI TOAN BIEN HINH

Bài1, Cho tam giác ABC (AB< AC]có ba góc nhọn nội tiến trong đườn;

tròn (O: R) hai đường cuo AD và BE cất nhau tại H (De BC, Be AC)

n) Chứng mình tứ giác AEDB và CDHE nội tiến

b} Chứng minh CE.CA + DH.DA =CD(CB~+ DB), ce) Chiing minh OC 1 DE

Giai

a) Vi AEB = ADB =90” (giả thiết)

nên tứ giác AEDB nội tiếp được trong đường tròn đường kính AB

lứng mình tứ giác ABEC nãi tiến

se = ABC (gd¢ tao bili một tiến tuyến và dây)

[1ý TNHEI MĩV VVH Khang Vist Suy ra ADBH ~! ADAC => Bi ng => DH.DA = DB.DC (2)

Cong (1) va (2) theo vế ta được CE.CA + DH.DA = DC(CB + DB),

= ACx = DEC

a ra ACx =DEC = DE # Cx (góc ử vị trí so le trong)

3, Chủ tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tầm © và một điểm D hất

lên cạnh BC Đường tròn di qua Ð và tiếp xúc với cạnh AB tại B và đường

đi qua D tiếp xúc với cạnh AC tụi C cắt nhau tại điểm E, ( |

là điểm cố định mà ED đi qua

B và Ê¡ =C (đúc tạo hởi một tiếp tuyến và dây)

ác ABEC nội tiến được trong đường tròn,

‘Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh Á, đường cao AH, Đường tròn tâm

'kinh AH, cất đường thẳng AB tại D và cất ÁC tại E, trung tuyến AM

Ig mình BDCE nội tiếp trong một đường tròn Xác định tầm Œ của

#T đồ thì thứ sức vân lốp 10 mon Toan = Phach Tron Thu

bì AHAD có HÀ = HD =» AHAD cần tại H= A, =D

Mà A =Ê (gốc có cạnh tưởng ứng

vung gốc)

Suy ra D=C

Hai điểm D và C cing nhin doan BE

dưỡi những gúc bằng nhau nên năm trên

đường trùn đường kính có Lâm ©Ö là giao

điểm các đường trung trực cla DE, BC

€) AAMC cần lại M=+ A2 =C= D= Áa,

Ma D+ Ey) = 90) = Ã3 + Ei.=90 > dpem

Bài 4 Từ điểm Ä ngoài đường tròn (Ở) kẻ hai cát luyến ABC (B nằm giữa Al]

và CIvà AMN (M nằm giữu A và N), BN và CM cất nhau ử 8

a) Chitng minh CAN + BSM = 3CBN

b) XGt AABN và AAMC có A chung wi BNA = MCA (cùng chấn BM)

Nén AABN&-AAMC ding dang => po ees =dpem

cất cạnh BŒ tại D, cất đường tròn () tại E Gọi M,N lần lượt La Rink chic:

eda D trén AC, AB

a) Chứng mình tứ giác AMDN nội tiếp được trong đường tron

hb) Cho MAN =a (re goe nhọn), Chứng minh Saye =LADAE sina

ty TNHH AT Dưvn Khang vig

> Tit gidc AMDN n6i tiếp đường tròn A

kinh AD c6 tam | trung điểm eda AD,

Hà giao điểm của MN ya AD

minh M, Q, P,N, C cùng nằm trên một đường trồn,

minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định khi M, N

Giải MAP =MBP =45°

nội tiếp được đường on => MPN =90" (1)

AB (không đổi) #7 để thì thủ sức vào lôg %0 mãn Toán — Phạm Trofg Thự

eÌ AAQN vuông cân tại Q nên AN = AQV? (4) AAPM vuông cân tại Pnên AM=APA2 (5)

Ta có SAng _ Ag (hai tam giác cố chung đường cao hạ từ P) (6) SApu AM

Sapa) APE đội ĐH 2 Par =" (hai tam gide có chung đường cao ha tit M) (7) Saun AN

Từ (4), (6), (6) và Ở)= <8 ~ 1,

Sayin 2

Bai 7 Cho hinh thang ABCD (AB CD, AB < CD)

nội tiếp trong đường tròn (O) hai đường thẳng AID

và BC cắt nhau tại F ngoài đường tròn E là giao

điểm hai đường chéo của hình thang (như hình vẽ}

a) Chứng minh tứ giác AEOD nội tiếp

được trang đường tròn

(quan hệ góc nổi tiếp và góc ở lâm cũng chấn một chấn một cung) (Ì)

Mặt khác AED = 2ACD (góc ngoài của một tam giác bằng tổng

hai góc trong không kể với nó) — (2)

Từ (1) và (1= AOD = AED= dpem

bì 'Ta có: AOC—2ADC (quan hệ góc nội tiếp và góc ở tầm cùng chấn một cung}

=FDC+FCD

= APC + AOC = APC + FDC +FCD =2y, "

Bài 8 Cho tam giác ABC có ba gúc nhọn xà góc A =6 nội liếp trong dườớg |

tròn (O; R), tiếp tuyến tại A của dường trồn edt BC tai D,

a) Tinh BÓC và độ dài BC theo R

F be h) Chứng minh DĐ ae

c) Vẽ bán kính OM vuông góc với BC (M trên cung nhỏ BC}, AM cất BC

tại E Chứng minh AM là phân giác của BÁC và ADAE cân tại D 3

DAC = ẤBC (cùng chấn AC) vàgéc Õ chung

S3 ADAC “2 ADBA (g.g) = đem,

M LBC= MB-MC GÀ D

là phân giác của gác BỌC

| sd DAE = ; sdACM DAE = AED => đpem

BAM = MAC= AM là nhân giác của BAC

x thife xdy ra khi M JA trung điểm của AB

Cho tam giác ABC cin tai A néi tiép trong duting tron tim O Trên

AB lấy một điểm D, Một điểm E trên đoạn thẳng DB và một điểm

Sty TNHH MTV DVVH Khang Việt

ao điểm của OM vd BC, uưn giác CIO vuông tại I Ta có:

DS)

Sa

M

sd AED = 1 (st AC + saii)= (08 AC +slMC) =2 sdACM

ø tam giấc ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O; R), cho M di

DC va AAMB thay ADC =AMB ; AC= AB; AD=AM

tỨng mình tứ giác ADEF nôi tiếp được trong đường tròn

80

Trang 13

S7 gá thì thử sức vào lốp 10 mơi Toản — Phạm Trọng Thự

hay DCH < ABC (do AABC cân tại A)

Tương tự AC <DAC => ABC < DBC

Suy ra DỀB < BE = DB <DC= ĐC <1 (1)

Xét AAEB và AAFC thấy:

BBA =FCA (cing chin AD) ;

EB=FC: AB = AC

nên AAEB = AAFC AE=AF lộ)

Từ (1) và (2)=>đnem

h) Theo cau a) AAEB= AAFC = EAB=CAF > EAF = BAC

nén AABC va AEAF déu cfin => ABF = ABC (3)

Matkhic ABC=ADC (cing chin AC) (4)

Tir (3) va (4)-=9 AEF=ADC => dpem

C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 Chủ nửa đường tiồn (O) đường kính AB, C là một điểm trên doan thing

AB (C khơng trùng O) Nối € với một điểm M hất kì trên nửa đường trịi

Đường thẳng vuơng gĩc tại M với CM cất các tiếp tuyến tại A và H ở E và F

a) Chứng minh ACME và BCME là các tứ giác nơi tiếp

b) Chứng minh ECF =1v

Bài 2 Cho tam giác ABC đền,Trên nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa điểm 4

lấy điểm D sao cho DB =DC va DCB = SACB

Gty TNHH MTV DVWVH Khang Việt

7 Cho tam giác ABC nội tiến đường trịn; P, Q, R theo thứ tự là điểm chính

của các cung BC, CA, AB; Ð là giao điểm của AP và RQ

Chứng mình AP vuơng pĩc QR

cất CR tụi 1 Chứng mình tam giác IPC cân tại P,

từ một diểm S ở ngồi đường trịn (O) ta kẻ một tiếp tuyến SA và mơi SBC (với BÁC < 90°), Phân giác của gĩc BAC cất dây BC tại D và cất (QO) tại điểm E, Các tiếp tuyến của đường tràn (Ø) Lại C va tai E cất diém N Goi P, Q lan lượt là giáo điểm của các cập đường thẳng AD và

g nita du®ng trồn dường kính AR =2R,€ là điểm chính giữa cung AB

AC lay điểm F bất kì, Trên BE tấy điểm E sao cho BE = AF

g minh AAFC =ABEC,

g minh EFC là tìm giác vuơng cân,

D là giao điểm của đường thẳng ÁC với tiếp tuyến lại B của nửa

n Chứng mình BECD là một tứ giác nội tiếp,

ho gĩc vuơng xOy Một đường trịn (C) di động bản kinh R tiếp xúc

iểm A cố định với OA =a và cắt Oy lại B và C

akira = xe b) Chứng mình ABẺ + AC? =4R}

#7 dể 1nl thđ súc vào lấp 10 mãa Tến — Phạm Trọng Thứ Bes

Do dé AGD+ ABD =180" => dpem A b) ViABD =90" nên AD là đường kính

của đường trịn ngoai tiếp tứ giác ABC

Do dé tim của đường trịn ngoại tiếp này

là trung điểm của AD

Bais B me x57 iG Trong tam giác ABC cĩ A= 60" > B+C=120° ef

sd ABE = sdAB+sdBE

Ji 6 2 tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) ẾC (giả thiết)

= BHC=CHB' = 180" —A = 120"

=> BOC = 2A =120"

(gĩc nội tiếp và gĩc ở tâm cùng chắn mội cung)

= BIC = BHC = BOC =120ˆ (cùng chấn BỂ) £ OBIC nội tiếp nên

Suy ra 1, H, O nim trên cụng chứa gĩc 120” dựng trên CIB-2v @) : đoạn thắng BC = đpcm pele nội tiếp nên

Giả sử ABCD nội tiến trong đường trịn (O) Ta chứng mình và (4) > AID = CIB > GID + GIA = BIA + CIA = CID = BIA (5)

ADBC AG CO.=ACRD Q) ya (3) suyta ACID = ABIA => CD = AB

'Từ đỉnh A ta kể tỉa Á* cất BD tại K (nằm trong tứ giác) suo cho DAK = BAC, theo gid thiết AG=QC, AR =RR, BP =PC,

— sdQCP +sdAR

A

ee Xét AAKD và AABC cĩ DAK = BÁC : BAC = EMC = ly i Wee os "

b) Xác định tầm của đường tron di qua bến điểm A,B, BC / tự CA -CBE=1v =AAKD + AABC Sở SON C] _ sđQC + sứCP + sđAR

Bài 3 Cho I, © lin lượt là tâm đường trịn nội tiếp, tâm đường trồn ngoại Uˆƒ To Ai uate tong E Hi SBCÁD=ACRB vì) Buel oO AGN Ue

tam giác ABC vdi A = 60°, Goi H Id giao diém ctia ede duting cao BB' và CŨ FT ee Tong oi aA vi D B _ sIÃC + 4C + stÂB _ gục

Chứng minh rằng B, C, Ơ, H, Ï cùng thuậc một đường trịn F2 PHI L ae ae An a ea

Bài 4 Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tổng các tích số các cạnh aa — = Ep 7 ABCD =AG.BK (2) c BP LOD hay AP 1 QR

đối bằng tích số đường chéo ( định lí Piơlêmê} =ECM + MCF whe 4 Biel 25: 4Se sae GRE

nei ié si i Ee oe Cộng (1) và (2) theo xế la được đpcm 2 ` 1 P

Bài 5 Cho điểm S nằm bên ngồi đường trịn (O) qua § vẽ tiếp tuyGn SA, © SHAM 4 MBF =MBA+MBF-lv A h ~ ae j; VÀ %2) khong xế Ss cpeu CIP ; " (hy

tuyến SBC cla duting tron Tia phan giác của gĩc BÁC cất đây BC tai D, dive ư i ye Thy M_ -

trịn (Ở) tại E, Chứng “HH há SE 2 BC đểu = By =C; +60" Tacé ADS aeeB SHEE Sune (1) (gde ed dinh d trong đường tron) ee a > (2)

Bai6 Cho géc xOy, mat diém Ï trên đường phân giác Ot của nĩ và hai điểm A a le 3 D ys Na eh)

B trên cạnh Ox, Các đường trịn ngoại tiếp các tam giác OAI, OBI cất cạnh GY C clin tai D=» Bz = C2 =30° Từ (1) và (27CIP=ICPES AIPC cân tại P

.# đ (hi thd ete và lốp 10 mộn Tốn ~ Phạm Trọng Thự Oty TNIIH| MTV DỤVH Kháng Việt 3ƒ đÉ thị thỪ gứe väz lũp 10 mên Tện - Phạm Trọng Thư ly TMAH MTV OWE Khang wit

Suy ra | ——+=— =] hay yeep PC” — =—_+— GN cD cP

Bài 9 a)Tacé AC=CB—AC=CB :

CAF =CBF (cing chin FC)

Mặt khúc AE = BE (giả thiếp) F

Nên AAFC = ABEC (c.g.c)

b) Theo câu a) ta cĩ

CE=CF= AECF cân tạiC2CEFECFE 4 0

Ma CFE =45",Nén FCE =180" —(CEF 4 GRE) = 180° — 90° — 90°

Vậy AECF vuơng cần ở C

e) Vì BD là tiếp tuyến nên ABD =90°

Mặt khác DAB = 45°(gĩc nội tiếp chấn BC)

Nên ADB=45" va BEC=BEF-FEC=180" —45" =135°

=<, sdAB+sdkC

3

NC

mC Be je tŒ (do NE=NC)-

Suy ra ADB + BEC= 180", Vậy tứ giác BDEC nội tiến được đường trồn

Bài 10

a) Goi B’ H điểm đối xứng của B qua O

Tacd Al =Az va AB=AB’

Ma C= Az (cùng chấn AB)=+ ÂI =Ê)

Ngồi ra A; +A3+C;=90" => Ai 4 An + Aa =90"

cue

trung điểm của BD=AB'=AD=AB H

fo CAD vudng tai A cho AD? + AC? = CD? =4R?

4 AC? =4R?,

Cbủ đề 7 GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH

z LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUC CAN NHỚ

Các bước giải bài tốn bằng cách lập phương trình

1 Lập phương trình

Ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

u diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết

\p phương trình biểu thị mối quan hệ các đại lượng

Giải phương trình vừa lập,

số nhỏ là x„ số kia là x +1, bite kiệnx>0,xe Đ(*)

L hai số là x(x +1), tổng của hai số là x+(x~1)=2x+l,

để bài ta cĩ phương trình x(x +1)-(2x +1)=89 <> x? -x-90=0

'Điải phương trình ta được xị =—9; x; =10,

“Ta thấy nghiệm xị = -9 khơng thỏa mãn điểu kiện (*)

tan

j4 Mật canơ xuơi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách nhau 24 km, lúc đĩ, cũng từ A về B một bè nứa trơi với vẫn tốc dịng nước là 4

Khi đến B cunơ quay lai và gấp bè nứa tại điểm C cách A là 8 kmúh,

nh ván tốc thực ca nỗ

Bài 2 Khoảng cách hai bến sơng A và H là 30 km Hui chiếc thuyển ma]

khởi hành cùng một lúc từ hến sơng A đến bến sơng B Vận tốc thuyển thự nhất hơn vân tốc thuyền thứ hai là 3 km/h nên thuyển thứ nhất đến hến Ste

_H trước thuyên thứ hai nửa gid Tinh văn tốc thực của mỗi thuyền

n tốc xuơi dịng cũa canơ là x + 4 (kmih),

n lốc ngược dịng của canơ là x =4 (km¿h),

ï gian canơ di đến lúc nặn hè nứa là 8:#=2 giờ Thời gian thuyển thứ nhất đi từ hến sơng A đến bến sơng B là th)

1+3

Thời gian thuyền thứ hai đi từ hến sơng À đến bến song B là XS x £ 5 xuơi đồng của canơ là xưa Ch)

Theo để bài Là cĩ phương trình a => <> 60(x +3)- 60x = x(x + 3) Blan ngược dịng đến chỗ gặp bè của canơ là xa th)

24 16 +

-4

=2

rts 24x —4) 4 16(% + 4) = 2(x7 -16) 9 x? 20x =0, thương trình ta được xị = 20; x; =0,

hấy nghiệm x; =0 khơng thậ mãn điểu kiện x > 4

vận tốc thực của can lũ 20 ki,

Ta thấy nghiệm x, =—L5 khơng thỏa mãn điều kiện x > 0, A Vậy vận tốc thực của thuyển thứ nhất là 15 kmíh, vận tốc thực của thuyền

thứ hai là 12 km/h, Bài 3 Một õ tơ chuyển động đều với vận tốc đã định để di hết quãng đườn:_

dài 120 km Đi được nửa đường, người đĩ nghỉ 3 nhút nên để đến B ddag he,

hải tïng vận tốc 2 km/h, Tinh vin tie ban đầu

di đội vệ sinh mơi trường làm chung một cơng việc thì lầm xong

if, Nếu mỗi đội làm một nành để làm xang cơng việc ấy, thì đội thứ

Giải 1 an thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ, Hỏi mỗi đơi làm một : + tas

Ta cĩ 3 nhút = me | cơng việc ấy trong hao lầu?

X X43 Wx

Giải phương trình ta được Xị =4Ẽ; x; =-5Ú,

Ta thấy nghiệm x; = -50 khơng thảa mãn điểu kiện x > Ứ,

lÚ đĩi lầm được i cơng việc

Phen dé bai ta oo phương trình A + : = 4 x? -2x-24 = 0

xX «+6 4 M1 phutong wink ta được 4, =6; x, =—4

Mithiy nghi¢m x„= 4 khơng thỏa mãn điển kiện x > 0

|

Trang 14

#7 dể \hì thử sức vào lắp 1ự mãn Teản = Phạm Trọng Thư

Vậy đội thứ nhất làm một mình xong công việc là 6 giữ, đôi thứ hai lãm

một mình xong công việc là 12 giữ

Bài 6 Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể khẳng có nước để lam diy be)

trong # giờ Nếu chảy riêng thì vài thứ hai chảy đẩy bể nhanh hơn vồi thứ nhị,

là 4 giờ Hỏi chảy riêng thì mỗi vòi

ải chảy trong bao lâu bể sẽ đầy nước? Ở _

Giải

Gọi x (h) là thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng làm đẩy bể, x >0,

Cả hai vòi cùng chãy làm đây Bể không có nước trong - gid thi mỘt giả c¡

hai voi lam day 2 bể,

24

Theo để bài ta có phương trình cha TS Ở 28x Ở96=0

X x+4 24 Giải phương trình ta được xị =B; X;y = 2 Ta thấy nghiệm xạ =ỞỞỞ

không thỏa mãn điều kiện x >U 5

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy đẩy bỂ là 8 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy

đẩy hể là I2 giờ

Bài7 Một khu vườn hình chữ nhật có chiểu rộng bằng : chiều dài và có an

vi bing 84 m Tắnh điện tắch của khu vườn ấy:

Giải Gọi x (mỳ là chiéu rộng của hình chữ nhật (x >(), chiểu dài của hình chữ

nhật là a (m)

2

Theo để hài ta có phường trình af + 3] =84 c+ 74 =84 ề x = L2 (thỏa!

Diện tắch của khu vườn là xây =12-2360 m?,

Bài8 Tắnh các kắch thước của hình chữ nhật có diện tắch 3375 em? bic! |

rằng nếu lăng mỗi kắch thước thêm 25 cm thì diện tắch lãng 3625cmẼ

Giải

Goi x; y (cm) là các kắch thước của hình chữ nhật (x >0, y >0) (*), ta có:

Diện tắch của hình cliữ nhật là xy = 3375 (cm2)

Tăng mỗi kắch thước 25 cm thì diện tắch là (x + 25)(y +25) (em)

25(x+y)+625 =3625 o x+y =120

ty=l xy=3375

Củy TNHH MTV DVVH Khang Việt

để hài ta có phương trình (x+25)(y +235)Ở xy =3625

7 suy ra x và y [A nghiệm của phương trình XỶ -120X+3375=0

¡ phương trình ta được X, =75; X; = 45 (thỏa mãn điều kiện (*)}

¡2 dãy thì số ghế còn lại là xỞ2 (dãy)

tời ngồi trên mỗi đãy ghế là = (người)

số dãy ghế trong phòng họp (x nguyên; x > 2)

- Trong một phòng có 120 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên cúc

ế Nếu ta bởi đi hai đãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại ta phải xếp thêm

đì mới đũ chỗ Hỏi lúc đầu cá mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp

+2 (cm) là độ dài cạnh góc vuông kia,

P BE NGHỊ

nh huyền của một tam giác vuông bằng LŨ cm Hai cạnh góc vuông $ bằng 10 cm Hai cạnh :

Ộhơn kém 2 cm Tắnh độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đú

Ính lắ Pi - ta - go, tả có: xỢ +(x +2)Ợ =102 ẹ 2x2 +4x + 4= 100 + 4x 26 =0, Giải phương trình ta được xị =

nghiệm xạ =~ậ không thỏa mãn điều kiện x >0

Ộ dài các cạnh góc vuông là 6 cm và 8 cm

6; Xạ =-Ả,

+ Tina hai số biết tổng của chúng !I vàtổng bình phương của chúng bằng ự5

Hai 616 khdi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km

'ạ tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B trước ỏ tô

.37 để thi thử sửc vào lêp 10 roôn Taản - Phạm Trang Thu

thứ hai ta 2 5 ee ỘTắnh vận tốc của mỗi xe

Bài 3 Hãy: Tê vệ sinh môi Irường làm chung một công việc thì làm xong trụ Hà

6 giờ, Nếu mỗi đội làm mội mình để làm xang c8 việc ấy, thì độ thi nhất tân thời gian ắt hn so với đội thứ hai là 5 giữ Hải mỗi đôi làm một mình công Ư

ấy trung bao lậu?

Bài4, Hai vòi nước cùng chấy vào một cái hể không có nước để làm đầy he

việp

3ã 7

trung = giờ Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đẩy bể nhanh hơn vòi thứ nhất

là 4 giờ, Hải chảy riêng thì mỗi vôi nhải chảy trong bao lâu bể sẽ đây nadeỢ?

Bài 5 Tắnh cúc kắch thước của hình chữ nhật có điện bay 40 cmẺ biết ring ng ing mdi kich thước thêm 3 cm thì diện tắch tăng 4R cmỢ,

Bài 6 Trong một phòng có 8Ú người họp, được sắn xến ngồi đếu trên các vay ehé New ta bớt đi hai diy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại ta phải xếp thêm lại

nƯười mới đủ chề Hỏi lúc đấu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp hạo

nhiêu người ngồi?

Bài7, Người la hòu H kg chất lỏng loại I với 6 kg chất lông loại II thì la đưir một hỗn hợp có khối lượng riêng Hà 700 kglm`, Biết rằng khốt lượng riêng củ chất lùng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là 200 kgúnỢ

Tắnh khối lượng riêng củu mỗi loại chất lỗng

D HƯỚNG ĐẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Bail

Gói x, y lÀ 2 số phải tim

x1iyElH x+yell Se

Theo để Parquesnee: eee einen

|x?+y?=05 |(x+yll-2xw=65 |ay=28 Theo Hệ thức Vi-ét đổo,x và y là nghiệm của phương trình XỢỞIIX+28=U!

Giải phương trình tà được Xị =4 X; =7 Vay bai sO cin tìm là 4 và 7,

Bài 2 Van we 3 16 thứ nhất là 60 knửh, vận tốc ô tô thứ bai la 50 km/h,

Bài 3 Đôi thứ nhất làm một nrình xong công việc là 10 giữ, đội thứ hai làm ỦẺ

một mình xong công xiệc là | Sgiờ, Bài 4 Thời gián vòi thứ nhất đẩy hể là L4 giả, thời gian vòi thứ hai day be |

lũ giờ, Bài 5 Các kắch thước củu hình chữ nhật là 8 em va Sem

Bài 6 Số đây ghế lúc đầu là lắ đấy và mỗi dãy xếp 8 người ngồi

inh cha 4 fe

Cty TMHH MT LH Kluang Việ1

7 Gọi x (kg/mỢ) là khối lượng riêng của chất lồng leai I, x > 200

x~ 200 (kgảmỢ) là khối lượng riêng của chất lảng loại II

Cha dé 8 BAY DANG THUC TRONG DAISO

CAC DANG THUONG GAP THUC CAN NHG

Dang 1

các phép biến đổi tương đương, các tắnh chất của bất đẳng thức niệm bất đẳng thức :

méah dé "A>B","A<B","A>B","A<B" dive gọi là bất đẳng thức,

là về trái B gọi là vẽ phải và A, B là hai hiểu thức số

ệA>BoeA-BohAc<BoOA-Be<(

h ệAỪRẹ2A-Bz0,A<sB4++A-B<0

chat:

Ề Bec ehdt2; A> Boo ALC>BIC chit 3: + V6iC>0:A>Bes ACS BC +VdiC<0:;A>B ACK RCO

Ậ? để thị thử sửc vào lúp 18 mân Tzán Ở Pham Trọng Thư

3) Phương pháp:

Để chứng minh A z B1a sẽ chứng minh A-ỞBz0(nghĩa là ta sử dụng định,

nghĩa tắnh chất cơ bẳn để hiến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến mọi

BDT ding hay mội tắnh chất đúng hoặc có thể sử dụng BĐT đúng hiến đổi di,

đến BDT can ching minh)

Dạng 2 Phương pháp phần chứng

Để chứng minh bài tuần có dạng A = B Ta tiến hành như sau:

Giả sử điểu trái với B biến đổi dẫn đến mâu thuẩn với À hay dẫn đến mƯ:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b,

Dạng 4 Phương pháp phân tắch làm trội ~ ước lượng

Muốn su sánh tổng số hữu hanS=a, +a, + 4a, (1)hote tắch hữu hạn

Ế Ộủy 8a 8, (2) với một số,

+ Ta gia sử tìm được một hàm ỳ và một hầm g, phân tắch được số hạ ng tổng

quất a, về đạng:

- ay =f(k}Ở f(E +1) nếu gặp dạng (1)

_ g(k+l)

Ở #k)

+ Sau đó cho k chạy từ 1 đến n (dựa vào đó để chứng minh BĐT)

Dạng 5 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Đối với hai sd a, b tay ý, ta có;

+ |a+ b|<|aj + b| + {ll || =|aỞỊ

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ảb z0

B CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

a)a+b22Vab, vai moi a, b20 (

h) at +b? 2 ab? +a1h, với mọi a,bz0 (2)

c)af +bỲ >ahỢ +a`b, với mọi số ả và b (3)

- Đẳng thức xây ra khi vã chỉ khi a = h >0

Vay a+b>2vab, vdi mgi a, b2 0

(Vậy at >nb + ah, và, b>0,

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ả = h

y a'+bỲ >ab + Êb với mọi a,b

Giải

Ộđẳng thức đã cho tưởng đương

Oty TNEH MTV DWH Xhang vigt

\()c>af Ởaồh + hỶ ~ abỸ >0<a 0i Ở h)ỞhỲ(à Ởb)>0

-_ẹ(a-b)(4=hỲ)>0 <3 (a =h)Ê(aỲ + ah + bỂ) >0 (ệ)

-Đo a,b> nên (#) đúng, Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=h >0,

<> (aỞb)* (a +ab+bồ)>0 ẹ ta nl +3] | 20 voi moia, b

, Chứng mình: Ya, b, e, d, e tạ luôn có a? +b? 407 +d? 2ath+ct+d +e)

2 aaa? | [8 sere? }z0 : a 2 fa 2 a 3 a 2

ae a De tee] 200

G b| *l5 ặ - : a ) c1)

D Do | Ở-b | VÌ re c z - dÌ ent >I J vdi moi i +ự.b,6 a, b d de:

(*) đúng, đẳng thức xảy ra khi va chi khib=c=d=e=Ở

Cho các số duung x y z thỏa mãn x+ y tz= 1, Chứng minh rằng: |

ee br oad viet eee 2x2 + xy 4 2y? 4 V2" 4 yz 227 +227 +x +2x7 >5,

Tạ cú 4(2x? + xy +2y2) = Sixty)? 43(xỞy)? 25x ty)

27 dể th: thÙ sức vào lún 10 mũi Tzáq Ở Pram Tron Ther

Công (1), (2) và (3) và kết hựp x ~ y+# = L suy ra đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z>q - -

| BaI4, Cho O <a, be <1 Chitng mink: 24) +b) beỲ) <3 +aÊh+ bỀccc2a, Ở|

Vậy với 0<a,b,e<1 thì Yat +b +eÌ)<3+aẼb + b2c + cẼa,

Dạng 2 Phương pháp phản chứng atb+e>0 (ly

Bài 5 Các số a, b, c thỏa 3 ab+ bc+ ca >0 (2) Chứng mình a >0, tui, c>,

abe >Ũ (3) Giải

Vi vai trò của a, b, e là như nhau nên ta chỉ chứng mình o> 0 Gil sit asl

Trường hợp a =0 không thể xảy ra được do (3),

De đé a<Ũ, từ (3)=>be<0 (2)=a(h +c) >-bc >> h+e<0Sa+b~c<0(vô lắ do (1) Vậy a> 0

tarp tet) zavanit-t =4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b>0

a Bs ae, Ph a eet Se-i=ke c+a rie > 3 WỞ-U+VY U-Y+W utyỞw

yas 2|y } Pex? 2À

vế với vế củn (1), (2) và {3) ta có điều nhải chứng mình,

Cho a,b, ằ > 0, Chứng minh:

a i b = Ẻ ti Ì#+5(h+c]) 2b+5(c+a) 2c+5(a+b) 4

Giải _ 3y +32 Ở7K

2c+ 5(a + b)=z >Ú Ở 54+ 7z

2

Trang 15

Ta cd VTŒ)= ae eed Cg sở % k? (KEUk k-L k (n+l3ýn+nvn+l vn vn+l 3{1 Cho x >(, y >0 Chứng mình TT TT» 2X—Y

Chứng minh (*) ta chỉ cẩn chứng minh 23.0: <l=7 Công các đẳng thức trên lại vế theo vế, được S=I~-T<IVneN “ _

ST : 3 3 TBàï14 Cho a, b, c là độ đài ba cạnh của một tam giác Chứng minh: .-

Ấp dung bất đẳng thức Tá La có: ane toe as Giải = 4 Cho ab2 1 Chứng mình iat ee Tan

VI) HT v3 Ei +52 Jc "¬= ng các BĐT trên lụi vế theo ve: S<1-— <1 YneN,n 22 Suy ra dpem Tacé pin gt 8 Cho a,b, ¢ 18 dé dai ba canh cia mot tam gide, Chitng minh:

: atb+e b+e a+b+c Deas 2 3 2

| dy ra khi và chỉ khi a =b= >0 ae ere) cs | eo ee MT sẻ ee te aa

Dang tiduaty ra: kaa 12, Chứng mình —-—:—:::——<===——— VneN ——< Cho a >0,b>0,c>0, Chứng minh:

Vậy BĐT đã được chứng mình 246 ?n V2n41 a+b+e a+c a+b+c ; 3 ‘ sais

Bi th 1 4 is- 13 5 "hee pels 2n-l wea: „la có: atb+c atb a+b+c a abe3b?) "geet be+3c* ca+3a rahe

Bài HẠ: Chứng mộ = 23 Saath nền { 246 2n 3 2 2 2 lồng cle ROT win nee hon Wieder eA 3) Ea; ee Sas bod, Ching ae 8ú c8 2 ad 9)

ai ae Se Gea Oh dt BP Sen IF b+c c+n a+b nˆ tbˆ +c“<l+a“h+h“e~c^a

1 Án Mi Đ? 42 đề nj) 2-1 41 61) (3n}~l Dạng 5 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Cho a, b, c, d là các số đương, Chứng minh:

+ TwA.B TY Hit VkeN e©I=(A+Bjk+A BM a ae FRAN ist > Nao call Bài 15 Cho fal<1, [b—1]<2000, |à —c < 2010 Chứng mình |ab —c|< 4020 Be thn ding tne eet ee

A+B=0 [A=] "=1 Í “1.33.5 5.7 (Œn-D@ngl) 2n+l 7 Gili (a+bì(a2+b°) (b+el(h2+c”) (e+djle* +d")

+ Đồng nhất hệ số ta có x 1 = POWs Fa kee Chứng minh: Ta có |ah~c|=|a(b~ L1} +(ä —e|| {eee EE,

: ! 1VneN 3 [ate —1] + fae] alfb—I] + Jaq <1 2010 + 2010 = 4020, (d+ayid? +a) 4 Cho k =1, 2, 3 ñ ta cổ như sau; So EM TY BH me lềdd se cùệu ; ae ÑÌ9, Cho a, b, c là độ đài ba cạnh của AABC với a <h <c,

3 Cải Bãi 16 Cho f(x] =ax” + bx+c thỏa mãn 4|Iix|< h mọi x tha —1<x $1 Khứng mình lã+4 b+c)* « Chả,

1 1.7 ep ee CÔNG PÓh: bal+[b]+ lsh Cho a, by ¢ fa cde sO the thda min at +b? +67 =1

- Tư a} 5 t A=f)=a+b+e A+B=2(a+e)=2(a+C) 111 11 Chifng minh néu ajay > 2¢b, + by) thi it nhdt một trong hai phương tinh iy ee sii ips ì -

Công các đẳng thức trên lại vế theo vế, ta được: §=1~——— <lvneN’ kelvk Vk Vkri _A+B-2C | A-B og ge Sea moe ace a Ae eh aA

#† để thì thử xũc vào M9 10 môn Todn = Phạm Trọng Thứ Ss Cty TNHH MTV DVVH Kharg Vật 7 để thị trữ súc vậo 1p 10 môn Tadn ~ Phạm Trọng Thú il ủy TNHH MTV DVVH Khang Việt

2442 a2 +b? 4c? — 2be — 2ae + Zab 20-49 (a + bc} 20 (đúng) AE Ay =a] —4b, <0 A =a} -4b, <0 {Chara baivab a1, Ching minh 2" 33, _ ` =A eae :

Bài 15 Cho a > b và a aE ae uy ra BĐT được chứng mình 24 F bt +ct xe ct SN ete d3 tại 5 A, +42 <0 a7 +43 <4(by +2) S2ayag > (a =a+)Ê « 0 (Võ lí] — dpem

Bai 16 Cho a, b, ¢> 0 va ab+ be «ca = 1 Chứng mình; 4 BDT 43 cho titdng đương 2+a“+b Le (a~bj(aŠ +b`) (h+c)\(ŒhÊ+c1) (c+djte°+d”) (dđ+a)(dˆ ta?) gai 12 Giả sit cúc BĐT trên đều là sai

man : ge ey - “lạnh “Tụ chứng minh: — mtb () a? +2he <0(1), b> + 2ae <0 (2), ¢? + 2ah <0 (3)

dies? View? are 2 2 4b? —2ab ~ab(a” + bể ~2áb) <D c3 (a2 + bỂ ~2abXI =ab) <0 ~bị(a?+b°) 4 2 2

ằ + 2 3 “Cộng (1) (2) và (3) theo vế = (a 1 b+ c)” <f (và lí) ông ( —= Pp đnem,

Bai 17 Choa, b,c > Ova abe =1 Chứng mình: —by(1-ab) <0( ding do(a—by =0 va ab= 1) That vay: Ẳ H sử tấn 6i g \

a b é # b # BDT được chứng minh 3 Giả sử lồn tại hã số x, v, z thỏa đồng thữi các BĐT trên

———*+————†+———>—-—+* + &

Xÿcl+i 8a2+| vV8bÖ+| 20% +1 2a? +1 2b? 41

Bài 18 Chứng mình SA tan oe ae VneN”

Bai21.Cho a, b, c,d > 0 Chitng minh: :

a+b bee c+a địa <3

atb+c btctd c+d+a dta+b

Bai 22 Cho ja+ b+c| 2009, |e] < 2009 Chifng minh:

D HUGNG DAN GIAI VA DAP SO

Bai1,Do x, y > 0 nG@n ta cé BPT 44 cho tong dudng

3x3 2 (2x—y)(x? +x¥+ yyeox +y? —x°y—xy? 20

Suy ra BĐT được chứng mình

Bài 2 Do x, y #0 nên ta có BĐT đã cho tương đương

ety’ ~ x7 V(x? - y txt + xây? + y!)<0

ai trò của a, b, e trong BĐT là như haw, Gia st asbse, ed:

—a*(b+c—a)] + [abe — bŸ( + e— b)]+[nhe - c°(ä +h— e)J>0

e—a)—aˆ2(e—a)]+ [ah(c - b)— bÊ(e - b)]+[ae(b — e)— cÊ(b— e]] >0

(1)

bo a? TH ce ~a*b—Jab? <> b} +a -a2b-ab? 20 b)(a? +b? — ab) —ab(a +b) = 0 <> (a +-b)(a—b)? = 0 (ding)

(3)

= a* +b? 4c? ~(a?b + b%c +c?ä) =a2(1— b)+ bŸ(1—e)+ cÊ(E—a)

Z<a(1 =b)+ b(l—c)+c(I—al ea) (đó (I—a)(1

esta? | 2ab+ b? ya? +b?) S4in* +b7)

eta’ 2a"? +b) +2a%a—b)-2b"(a—b)2 0 eta? —b? 7? = 2(a—by (a? +ab4 b?)20 (dpem)

bt +e! bạc 3) TươởntỨ ———z—T.? (2)

me (b+exb +e?) 4

et +04 : giếng GÌ (e+dyer +e) 4

dt +at — '(8)

(d+ay(d? +a?) Cộng (1), (2), Œ) và (4) theu vế = đpem

Bài 9, Vì ä éb=(ä+b+c)2 <(b+b+cl}? =(2b+ cj”

Để chứng minh BĐT đã cho La cẩn chứng mình: (2b +c)" <9be (I)

đb-c<2c-c=

Taco Bài 10

Từ nỄ +bŠ +c? =1=|a|< 1,|h[<L|e|<)<>1+n>0,1+b>0,1+c20 Œ)<3(1+AB+E+ab+ be + ei tab+2 xa bớt ab+ be

2 epee dtatb†€) c0 túng)

+ca + 201 ta)(1 + bà + c]+

=a Yri ae Suy ru BĐT được chứng mỉnh

a=-l, b=0,c=0 b=-1 c=0, a=0- c=-l.a=0.b=0

Đẳng thức xẩy ru khi và chỉ khi

(y—z? = >0,-x} ay? >,(x —w|" —zˆ>U

=-~(Xty—27(X+z~y) Ú #z~xJÊ (vô lí) = đpem

g (1), (2) và (3) theo vế , ta được AI

hg thức xảy rủ khi và chỉ khi a =

i 2 L2 -_ “+ [HP eet +h = (toby? + 20h b+ 2 22 2ha-o-—2 = 25

Trang 16

#7 để thị thử sức wâo lếp †ũ mộn Taắn = Pham Tropa Thu

Cộng (1), (2) và (3) theo vế suy ra đụcmI

(4)

a +1

Ti (*) va CF) suy ra ve Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b=c =1:

1 1 Bails Sid =———<

a +1)

114

: man 2x Ea

Cty TNHH MTV OVVH Khang Việ:

fede tif oh + Suy ra dpem

at+htc+d c+d+a ath+e+d

d+a dựa „ d+a+c (4) a+b+c+d d~+a+h a+h+c+d

ng (1),(2).(3) và (4) theo vế = dpem

; atbec=A A+B~=2(a +c)= 2(a +C})

22, Dat ‡a -b+c=B=>(A-B=2h

3, Thco giả thiết 4|a~b+c|<l>4—~1sa~h+e<l<+4~-2<ä~=b<2

|a+b+c|<I -lsa+b+csl |-24a+b<2 PRR Rae sả

yra TẾ th số =(a 2b) hat x +bys

tị lớn nhất của T4” ve ace - Sains =#Z, b=0,c=#l:

115

22-8 thi this ste vao lop 10 man Teán ~ Phạm Trọng Thủ

Chu dé 9

CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRI LON NBAT, NHO NHAT

A, KIẾN THỨC CAN NHO

| CAC BAI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRUNG ĐẠI SỐ

1 Định nghĩa Cho hầm số y = f(x) xác định trên miễn D Ta nói:

a) SốM được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) củu hàm sổ y = i{x) trên Ð (kí hiệu M = max I(x) hay M = maxy ) néu hai điểu sau được thỏn mãn f(x)sMWxeD

nh eÚD: fx,)=M

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y =fYx) rên D (kí hiệu m =min tix) hay m =rniny) nếu hai điểu sau được thỏa mãn f(x) >m ¥xeD

a ED: f(x,)=m

2 Một số phương, pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số + Phương pháp 1 Dựa vào tính chất A?" >0 n =N”,

+ Phương pháp 2 Sử dụng |a + b|< |a| + lb|, [ai

Các đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi ab > 0,

+ Phương nhắn 3 Dùng BBT Cauchy

+ Phương pháp 3 Phương nhấp miễn giá trị của hàm số

Ce sé phuwing phdfe xẻ ; Để tìm GTIL.N và GTÝNN của hàm số y = f{xI

trên một miễn D tú tiến hành như sau: ì

~ Tìm điều kiện để phương trình ú = f(x) có nghiệm (với ä là một giá trị tùy ý của hàm số y = Í{x) trên miền D

- Từ điểu kiện trên biến đổi dẫn đến dạng yị éä é y¿

- Kết luñn max Í(x)=y;, min [{x) = Vị, xeh sel

il CÁC BÀI TOÁN VE GIA TR LON NHAT, NHO NHAT TRONG HINH HOC PHANG

1, Toan gid trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học là gì?

Đó là những bài toán có dạng sau: Tìm GTLN hoặc GTNN của đại line hình học y (độ dài của một đuạn thẳng, chu vi của một hình, ) sao cho y) £ y £ *:

Trong đó yì,y; là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y, đổng thể:

phải chỉ rũ vị trí của hình học y để tại đó y đạt GTNN y = y; (miny = y,} hol®

ng nhấp 1 Sử dụng BĐT tam giác, độ dài đường gấp khúc,

'ổi ba điểm A, B, C ta luôn có AB + ÁC >BC

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn thing BC

0 dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc cá uli A và B

ig phap 2

lụng quan hệ giữa đường vuäng góc, đường xiên, hình chiếu, Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông

ie với đường thẳng có độ dài ngắn nhất

tạng hai dường xiên kẻ Lừ một điểm tới một đường thẳng, đường xiên nàn chiếu ltn hơn thì dan hen va ngược lại,

g pháp 3 Sử dụng các BDT trong dường tròn

ững kính là dây lớn nhất của đường tròn

png bai đầy không bằng nhau, dây nào lớn hứn thì cú khoảng cách từ tâm

since = B C' , COSA = —, La BC" 11a = AB „ CDt0œ =— =— AC

Cho tam giác ALIC có AB =a, AC = by AB =c, Ta có:

a? =b? +c? —2becos A (xem lại BTĐH- bài 5- Chữ để 2) Cho tam giác ABC có BAC = ứ (ø là góc nhọn), Ta có;

37 để Ihi thử sức uàu lôg #0 môn Toản — Phạm Trong Thư

H CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐẠI SỐ

Do (x —2)? £0 véi mọi x => A >2008 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x =2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2008 khi x = 2

geet,

8

Ệ :

4

Bài 3 Tìm giá trị lên nhất cửu € = -4x” +4x +2011

Cty [NHI TV 3/VH Khang Việt

Bế C (V601 t, x°—7x+l Giải

2(œ —1)Ẻ+(x~l)+l I 1

=23+— +—-

(qœx-1? x-l1 @-1U

Vậy giá trị lớn nhất của € là 2012 khi x =

giá trị nhỏ nhất của F là 2007 khi {x: y) = (3; 2)

Tìm giá trị lớn nhất của T=x” + y, biết x, y là nghiệm của phương trình

Six? + y?) = 2007 - Bry (*), | Giải :

* je x? sy? +4(X? + yŸ +2xy) =2007 có T = 2007 — 4(x + v)Ê

Wir + yy’ 20 => A(x +9)? $0 = T52007

Bing thite xy ra khi và chỉ khi ‘ ace 2 ee

27 GE thi thd sée who [ap #0 mon Tats - Pham Trong Ths

Tà có 1=\x-2011)+(2012—x)|s|x-2011|+|2012-x)/ =A Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi (x—2011)(2012—x) 204 2011sx 2012

Vậy giá trị nhỏ nhất của Á là | khí x thỏa mãn 2011<x<2012

Bai9 Tim giá trị nhủ nhất của B= |x-I|+ [x= 2|~ |x— 3|+ |x- 4| (*) 4

Gidi

Ta có 3=[x—l)+(4—xI|<|x— l|+|d—x| tì Đẳng thức xẫy rà khi (x— LJ+—x)>0€>1<x <4

Tương tự I=|(x—21+(3—x1|<|x- 2|+|Ä-x| (3

Đẳng thức xãy ra khi (x~21(3-x]>lle>2<x<3

Từ (1) (2)=B>4

lexe4 :

bing tngexiyra bhi (9 gg PORES Viw mịnB =4

[ Bai 10 Tìm giá trị lăn nhất, giá tị nhỏ nhất của C =|x - |- |x - 3] ‘|

Sử dụng =_ phắp 3

Bài 11 Cho x y > Ö thỏa mãn x+ y =— = 1, ‘Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức

| A=—-+—:

Giải

peor eA i 3s he -Ä3‡3_ z “z-3 1 @)

x°—£+l : hỏ thất của A ==

Tiêu đề	27 Đề Thi Thử Sức Vào Lớp 10 Môn Toán
Trường học	Trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam
Chuyên ngành	Mathematics
Thể loại	Đề thi thử
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	36,94 MB